Морфология изображений. Обзор применения математической морфологии в распознавания болезней сельскохозяйственных культур

Математическая морфология

Форма (синяя) и её морфологическое расширение (зеленое) и сужение (желтое) ромбическим структурным элементом.

Математическая морфология (ММ) - (Морфология от греч. μορφή «форма» и λογία «наука») - теория и техника анализа и обработки геометрических структур, основанная на теории множеств , топологии и случайных функциях. В основном применяется в обработке цифровых изображений, но также может быть применима на графах , полигональной сетке , стереометрии и многих других пространственных структурах.

Бинарная морфология

В бинарной морфологии двоичное изображение , представленное в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) черно-белых точек (пикселей), или 0 и 1. Под областью изображения обычно понимается некоторое подмножество точек изображения. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества. В качестве исходных данных принимаются двоичное изображение B и некоторый структурный элемент S. Результатом операции также является двоичное изображение.

Структурный элемент

Структурный элемент являет собой некоторое двоичное изображение (геометрическую форму). Он может быть произвольного размера и произвольной структуры. Чаше всего используются симметричные элементы, как прямоугольник фиксированного размере (BOX(l, w)), или круг некоторого диаметра (DISK (d)). В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной (origin). Она может быть расположена в любом месте элемента, хотя в симметричных это обычно центральный пиксель.

Наиболее распространенные структурные элементы: BOX -прямоугольник заданного размера, DISK[R] - диск заданного размера, RING[R] - кольцо заданного размера.

Основные операции

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя полностью белое изображение. Затем осуществляется зондирование (probing) или сканирование исходного изображения пиксель за пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого пикселя на изображение «накладывается» структурный элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем проверяется некоторое условие на соответствие пикселей структурного элемента и точек изображения «под ним». Если условие выполняется, то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

По рассмотренной выше схеме выполняются базовые операции. Такими операциями являются расширение и сужение. Производные операции - это некоторая комбинация базовых, выполняемых последовательно. Основными из них являются открытие и закрытие.

Базовые операции

Перенос

Пример переноса при t=(2,1).

Операция переноса X t множества пикселов X на вектор t задаётся в виде X t ={x+t|x∈X}. Следовательно, перенос множества единичных пикселов на бинарном изображении сдвигает все пикселы множества на заданное расстояние. Вектор переноса t может задаваться в виде упорядоченной пары (∆r,∆c), где ∆r - компонент вектора переноса в направлении строк, а ∆c - компонент вектора переноса в направлении столбцов изображения.

Наращивание

Наращивание изображения структурным элементом квадратом.

Наращивание бинарного изображения A структурирующим элементом B обозначается и задается выражением:

В данном выражении оператор объединения можно считать оператором, применяемым в окрестности пикселов. Структурирующий элемент B применяется ко всем пикселам бинарного изображения. Каждый раз, когда начало координат структурирующего элемента совмещается с единичным бинарным пикселом, ко всему структурирующему элементу применяется перенос и последующее логическое сложение (логическое ИЛИ) с соответствующими пикселами бинарного изображения. Результаты логического сложения записываются в выходное бинарное изображение, которое изначально инициализируется нулевыми значениями.

Наращивание темно синего квадрата дисковым структурным элементом, результирующего на ярко-голубой квадрат с закругленными концами.

Эрозия

Эрозия изображения структурным элементом квадратом.

Эрозия бинарного изображения А структурирующим элементом В обозначается и задается выражением:

При выполнении операции эрозии структурный элемент тоже проходит по всем пикселам изображения. Если в некоторой позиции каждый единичный пиксел структурного элемента совпадет с единичным пикселом бинарного изображения, то выполняется логическое сложение центрального пиксела структурного элемента с соответствующим пикселом выходного изображения. В результате применения операции эрозии все объекты, меньшие чем структурный элемент, стираются, объекты, соединённые тонкими линиями становятся разъединёнными и размеры всех объектов уменьшаются.

Эрозия темно синего квадрата дисковым структурным элементом, результирующего на ярко-голубой квадрат.

Производные операции

Замыкание

Замыкание темно синей формы (объединение двух квадратов) дисковым структурным элементом, результирующего на темно синюю форму и светло-голубые площади.

Замыкание бинарного изображения А структурным элементом В обозначается и задается выражением:

Операция замыкания «закрывает» небольшие внутренние «дырки» в изображении, и убирает углубления по краям области. Если к изображению применить сначала операцию наращивания, то мы сможем избавиться от малых дыр и щелей, но при этом произойдёт увеличение контура объекта. Избежать этого увеличения позволяет операция эрозия, выполненная сразу после наращивания с тем же структурным элементом.

Размыкание

Размыкание темно-синего квадрата дисковым структурным элементом, результирующего на светло синий квадрат с закругленными углами.

Размыканием бинарного изображения А структурирующим элементом В обозначается и задается выражением:

Операция эрозии полезна для удаления малых объектов и различных шумов, но у этой операции есть недостаток – все остающиеся объекты уменьшаются в размере. Этого эффекта можно избежать, если после операции эрозии применить операцию наращивания с тем же структурным элементом. Размыкание отсеивает все объекты, меньшие чем структурный элемент, но при этом помогает избежать сильного уменьшения размера объектов. Также размыкание идеально подходит для удаления линий, толщина которых меньше, чем диаметр структурного элемента. Также важно помнить, что после этой операции контуры объектов становятся более гладкими.

Условное наращивание

Выделение границ

См. также

Ссылки

Литература

• Л.Шапиро, Дж.Стокман. Компьютерное зрение. изд. - М .: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 752 с.
• Д.Форсайт, Ж.Понс. Компьютерное зрение. Современный подход. изд. - М .: Вильямс, 2004. - 928 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОРФОЛОГИЯ И ОБРАБОТКА

ИЗОБРАЖЕНИЙ

Одним из сравнительно новых направлений в анализе изображений является применение аппарата математической морфологии. Начало математической морфологии, использующей представления теории множеств и интегральной геометрии, было положено работами французских исследователей Ж.Матерона и Дж.Серра , занимавшихся проблемами минералогии и петрографии. Цель их исследований состояла в количественном описании физических и механических свойств материалов посредством анализа их геометрической структуры. За последующее время математическая морфология достигла состояния серьезного инструмента обработки изображений с основным применением в материаловедении, исследовании цитологических препаратов, анализе медицинских изображений.

Конечно, объема одной лекции совершенно недостаточно для сколь-нибудь последовательного изложения теоретических основ. Поэтому данная лекция имеет скорее иллюстративный характер. Здесь фрагментарно обсуждаются основные операции математической морфологии и их свойства, и приводятся результаты применения этих операций для обработки и анализа изображений (в основном двухградационных).

Следует заметить, что публикации, посвященные как теоретическим вопросам математической морфологии, так и ее приложениям в области обработки изображений, в русскоязычной литературе практически отсутствуют. При написании этого материала у нас возникали трудности с некоторыми русскоязычными названиями морфологических операций, адекватно передающими смысл названий, введенных в оригинальных англоязычных работах , на которых базируется изложение. Обозначения в основном совпадают с обозначениями, принятыми в .

Напомним некоторые основные понятия из теории множеств, которые потребуются в дальнейшем. Пусть - n -мерное пространство. Ниже обычно предполагается, что
или
, где
- n -мерное евклидово пространство, а
- n -мерное дискретное пространство (n -мерная решетка). В применении к изображениям, как правило, рассматриваются двумерные пространства. Если
и
- множества в , то объединением множеств
и называется множество , (т.е. множество, состоящее из таких элементов , которые принадлежат или ), а пересечением множеств
называется дополнением множества . Разностью множеств и называется множество . Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента. Обозначается такое множество как
. Справедливы следующие соотношения:

;

; (10.1)

.

Определим на индикаторную функцию множества следующим образом:

.

Определим также меру множества :

- для непрерывного пространства и

- для дискретного пространства .

Для изображений эти определения означают, что мерой множества является его площадь в непрерывном случае и количество узлов решетки, входящих в множество – в дискретном.

10.1. Операции математической морфологии

Двухградационное изображение можно рассматривать как индикаторную функцию набора множеств в
(как, например, индикаторную функцию множества
на рис.10.1). Для данного множества можно зафиксировать некоторый элемент (не обязательно принадлежащий этому множеству), который назовем центром (или началом) множества . Обозначим через
множество , центр которого помещен в точку . Одним из основных понятий математической морфологии является понятие структурного элемента . Структурный элемент - это множество, состоящее из двух непересекающихся подмножеств и
, для которых определено общее начало.

HM-преобразование.

Согласно , базовым преобразованием, позволяющим строить набор различных операций математической морфологии, является преобразование Hit or Miss. Нам не удалось найти адекватного перевода этому названию, поэтому далее будем пользоваться названием “HM-преобразование”. Для данного множества
и данного структурного элемента результат HM-преобразования определяется как

(Здесь через
обозначено дополнение множества .)

Нетрудно видеть (рис.10. 2), что в результате HM-преобразования на исходном изображении выделяются элементы, окрестность которых совпадает со структурным элементом (заметим, что форма окрестности определяется формой структурного элемента). Условие (10.2) выполняется для элементов, лежащих на нижней границе (например, 1- 4 позиции структурного элемента). В позиции 5
, но
, в позиции 6 , наоборот,
, но
, а в позиции 7 не выполняются оба условия.

Применяя HM-преобразование с различными структурными элементами можно выделять специфические геометрические особенности изображений.

Эрозия.

Частным случаем HM-преобразования является операция эрозии (erosion ) . Пусть в структурном элементе подмножество - пусто (
). При этом условие всегда выполняется, и в множество включаются только те элементы исходного множества , для которых выполняется условие
:

Иначе говоря, если
, а
, то в множество включаются такие элементы, для которых выполняется условие
(рис.10.3).

С другой стороны, если пробегает все возможные положения в , условие выполняется тогда и только тогда, когда принадлежит смещенному множеству
(рис.10.4). Поэтому другое, эквивалентное, представление операции эрозии имеет вид

где
- множество, симметричное относительно его начала. Это представление может оказаться полезным при численной реализации операции эрозии.

Другое представление дилатации имеет вид

, (10.4’)

как это показано на рис.10.6.

Если рассматривать множество как объект, а как фон в изображении, то дилатацию объекта можно интерпретировать как эрозию фона:

. (10.5)

Действительно,

Алгебраические свойства дилатации и эрозии.

Приведем здесь без доказательства ряд полезных свойств рассмотренных операций.

a) Дистрибутивность:

дилатация дистрибутивна относительно объединения

, (10.6)

а эрозия - относительно пересечения множеств

. (10.6’)

Свойство дистрибутивности с учетом соотношения (10.5) позволяет выполнять операции над по фрагментам, комбинируя затем результаты посредством объединения или пересечения.

б) Итеративность:

Это чрезвычайно важное свойство, поскольку оно позволяет разлагать сложные структурные элементами в композицию более простых (рис.10.7). Соответственно, операции со сложными элементами могут быть заменены последовательностью операций с более простыми. Так, эрозию некоего множества посредством структурного элемента
, приведенного на рис.10.7,

можно заменить четырьмя последовательными эрозиями со структурными элементами
.

в) инвариантность к изменению масштаба:

В этих соотношениях через
,
обозначены множества

И (рис.10.8).

Применение эрозии и дилатации.

Эрозия и дилатация – операции, предназначенные в первую очередь для выявления морфологических особенностей изображений, причем для выявления различных особенностей используются различные структурные элементы. Например, эрозия посредством круга с радиусом позволяет найти в изображении объекты, минимальный поперечный размер которых превышает
. Если же в качестве структурного элемента взять две точки, смещение между которыми определяется вектором , эрозия позволит выделить объекты, имеющие соседей в направлении и на расстоянии, заданных эти вектором (рис.10.9). (Под объектами здесь подразумеваются односвязные множества).

Более интересное применение эрозии с двухточечным структурным элементом заключается в том, что с ее помощью можно вычислять автокорреляцию изображения. Автокорреляция изображения, заданного индикаторной функцией
определяется как

где
можно интерпретировать как индикаторную функцию множества
, зависящего от параметра , поскольку

.

Нетрудно убедиться, что
, поэтому

С другой стороны, посредством эрозии и дилатации можно осуществлять фильтрацию изображений. Условной эрозией назовем операцию

а условной дилатацией - операцию

где - некоторое множество.

Введем последовательность структурных элементов
и обозначим (10.10)

последовательные эрозии и

последовательные дилатации множества посредством структурных элементов . Последовательной условной эрозией назовем операцию

а последовательной условной дилатацией – операцию

Последовательность может быть как конечной, так и бесконечной. Отметим, однако, не приводя доказательства, что если множество ограничено, то последовательные условные операции сходятся к устойчивому результату за конечное число шагов.

Пусть - бесконечная последовательность одинаковых структурных элементов, скажем, кругов радиуса с началом в центре круга. Тогда операция

Позволяет удалить из изображения все объекты с поперечными размерами менее , полностью сохранив форму оставшихся объектов. Напротив, операция удаляет внутри объектов полости с поперечным размером менее , сохраняя при этом неизменными внешние границы объектов (рис.10.10).

Заполнение и пополнение.

Выше мы видели, что в общем случае невозможно точно восстановить исходное множество после эрозии
с помощью только дилатации посредством того же структурного элемента . Дилатация восстанавливает только часть множества , имеющую меньше деталей, но наиболее существенную с точки зрения характеристик формы и размера.

Определим операцию заполнения (opening в оригинальных работах) множества посредством структурного элемента как

. (10.12)

Аналогично определим операцию пополнения (closing ) множества посредством структурного элемента :

. (10.13)

Легко показать, что

и
. (10.14)

В применении к изображениям эти соотношения означают, что заполнение (соответственно, пополнение) объектов и пополнение (соответственно, заполнение) фона суть операции эквивалентные.

Приведем без доказательства важное свойство этих операций – их идемпотентность :

и
. (10.15)

Применение заполнения и пополнения.

Так же как эрозия и дилатация, заполнение и пополнение могут быть использованы для фильтрации изображений, сглаживания границ объектов, удаления мелких объектов и узких “хвостов” (заполнение), удаления мелких полостей и узких “каналов” (пополнение). Степень сглаживания и размеры удаляемых артефактов зависят от размеров структурного элемента, который обычно выбирается в форме круга для непрерывных изображений или правильного выпуклого многоугольника – для дискретного случая. Отметим, что при фильтрации одинаковыми структурными элементами степень искажений, вносимых в полезные детали изображения, при использовании заполнения (пополнения), оказывается значительно меньшей, чем при использовании эрозии (соответственно, дилатации). Сравните, например, на рис.10.10 результаты операций и
(
и
, соответственно). Поскольку в этом примере структурный элемент симметричен относительно отражения от начала, т.е.
, то
, а
.

Более интересным представляется применение операции заполнения для описания формы объектов. Пусть анализируемое множество - круг радиуса и структурный элемент
- круг радиуса с началом в центре круга. Рассмотрим поведение функции

Легко понять, что до тех пор, пока радиус структурного элемента не превышает радиуса анализируемого множества,
. Как только превысит ,
, поскольку в результате эрозии, являющейся первой операцией в заполнении, будет получено пустое множество. В результате получим

.

Пусть теперь множество - область, ограниченная эллипсом с полуосями и , причем
. Радиус кривизны эллипса достигает своего минимального значения
при пересечении с большой осью. Поэтому до тех пор, пока радиус структурного элемента будет меньше, чем
, заполнение не будет приводить к изменению исходного множества и следовательно . С другой стороны, ясно, что как только радиус структурного элемента станет больше малой полуоси эллипса , в результате заполнения получится пустое множество и
примет нулевое значение. В промежутке от до
будет монотонно убывать от
до нуля. Поэтому
примет вид:

,

где
- монотонно убывающая функция (
).

Иногда удобнее пользоваться функцией
, характеризующей изменение меры анализируемого множества при заполнении его семейством монотонно увеличивающихся структурных элементов. На рис.10.11 приведены примеры объектов разной формы и соответствующие им функции
.

Функция может быть вычислена не для одиночного объекта, а, скажем, для изображения, содержащего множество объектов. Можно предполагать, что если все объекты имеют близкие размеры, то будет унимодальной, а если объекты образуют несколько групп по размерам, то в появиться несколько выраженных пиков при значениях , соответствующих этим размерам.

Аналогичным образом сформировав функцию

для операции пополнения, можно использовать ее для анализа расстояний между объектами и обнаружения пространственной группировки объектов.

10.2. Морфологические операции в дискретном пространстве

Обычно -мерные дискретные данные упорядочиваются в соответствии с целочисленными параметрами, образуя некоторую пространственную структуру. Если эти параметры изменяются регулярным образом (например, номера столбцов и строк в дискретном изображении), структура может быть представлена в виде решетки. Построим двумерную решетку следующим образом: определим в
два линейно независимых вектора и . Решеткой назовем множество вершин всех возможных векторов вида
, где
- целые числа. Примеры наиболее распространенных решеток приведены на рис.10.12.

Переход от непрерывного к дискретному пространству создает ряд проблем не только формального, но и практического характера. Принципиальная анизотропия дискретного пространства делает невозможным, например, поворот на произвольный угол. Возникает проблема и с определением расстояния, которое в непрерывном пространстве вводится достаточно естественным образом. Для некоторых типов решеток неоднозначным образом определяется понятие соседства. Последнее обстоятельство иллюстрирует рис.10.13. Назовем множество связным, если из одной его точки к любой другой можно проложить путь, проходящий только по точкам, принадлежащим этому множеству, при этом каждая следующая точка пути должна соседствовать с текущей.

На рис.10.13а слева приведено три возможных определения соседства для прямоугольной решетки: соседство через стороны решетки, соседство через узлы решетки и соседство через стороны и узлы. Если мы примем первое определение соседства, то обнаружим, что белое поле в правой части рисунка состоит из двух частей, не связных между собой. Следовательно, их должна разделять связная область черного цвета. Между тем, такой области нет, поскольку точки черного контура тоже не связны между собой. Если воспользуемся вторым определением соседства, получим не менее парадоксальную ситуацию: теперь точки и вне и внутри связного контура принадлежат односвязной области. Та же ситуация возникает и при третьем определении соседства.

Один из способов устранения этого противоречия состоит в том, чтобы определять по-разному соседство для белых и черных областей, скажем, для белых определить соседство через стороны, а для черных - через узлы. Но тогда одни и те же операции, выполненные на изображениях, инвертированных друг относительно друга по яркости, могут приводить к различным результатам. Другой способ состоит в выборе типа решетки, не создающего вовсе этой проблемы. К такому типу относится гексагональная решетка (рис.10.13б). Поэтому ниже будем пользоваться этой решеткой.

Влияние анизотропии дискретного пространства демонстрирует рис.10.14. Здесь показано поведение функции , вычисленной для объекта, представляющего дискретную аппроксимацию равностороннего треугольника на гексагональной решетке. В качестве структурного элемента используется дискретный аналог круга радиуса - гексагон
, где - длина стороны гексагона (см. рис.10.14а слева). В первом случае (рис.10.14а) стороны треугольника параллельны базисным векторам решетки , и вектору
, задающему третье главное направление решетки . Во втором случае (рис.10.14б) треугольник повернут на угол 90.

Эти особенности необходимо учитывать при реализации введенных выше морфологических операций в дискретном пространстве. Существует ряд операций, которые можно определить и в непрерывном пространстве, однако их применение имеет практический смысл только на решетках. Одна из таких операций нам уже известна. Это HM-преобразование. HM-преобразование, использующее различные структурные элементы, позволяет выделять особые точки на изображении. Например, точки разветвления линий на гексагональной решетке могут появляться только в конфигурациях, приведенных на рис.10.15, причем конфигурации 1-2, 3-8 и 9-14 идентичны с точностью до поворота вокруг центральной точки. Поэтому HM-преобразование с использованием структурных элементов, построенных на базе конфигураций 1, 3 и 9, позволяет выявить любые точки разветвления.

Вычисление количества связных компонент.

Полостями множества называются связные компоненты множества . На гексагональной решетке количество связных компонент и количество полостей множества связаны соотношением

, (10.18)

где символом
обозначено количество конфигураций , встречающихся в множестве . Доказательство этого утверждения можно найти в . Если компоненты не содержат полостей, то просто равно их количеству, поскольку в этом случае состоит из одной связной компоненты и, следовательно,
. Но, как мы видели раньше, HM-преобразование выделяет в исходном множестве точки, окрестность которых совпадает со структурным элементом. Используя в HM-преобразовании структурные элементы, приведенные на рис.10.16, получим

Утончение и утолщение.

Операция утончения (thinning ) определяется как

а операция утолщения (thickenning ) - как

где
- структурный элемент, состоящий из двух непересекающихся подмножеств и .

Отметим, что если начало структурного элемента принадлежит , то
, если же начало принадлежит , то
. Поэтому в первом случае
при любом , а во втором -
при любом . Чтобы избежать получения этих тривиальных результатов, всегда будем полагать, что при выполнении операции утончения (соответственно, утолщения) начало структурного элемента не принадлежит (соответственно, ). Кроме того, можно показать, что
, где
. Примеры операций утончения и утолщения приведены на рис.10.17.

И многих других пространственных структурах.

Бинарная морфология

В бинарной морфологии двоичное изображение , представленное в виде упорядоченного набора (упорядоченного множества) черно-белых точек (пикселей), или 0 и 1. Под областью изображения обычно понимается некоторое подмножество точек изображения. Каждая операция двоичной морфологии является некоторым преобразованием этого множества. В качестве исходных данных принимаются двоичное изображение B и некоторый структурный элемент S. Результатом операции также является двоичное изображение.

Структурный элемент

Структурный элемент представляет собой некоторое двоичное изображение (геометрическую форму). Он может быть произвольного размера и произвольной структуры. Чаще всего используются симметричные элементы, как прямоугольник фиксированного размера (BOX(l, w)), или круг некоторого диаметра (DISK (d)). В каждом элементе выделяется особая точка, называемая начальной (origin). Она может быть расположена в любом месте элемента (и вне его ), хотя в симметричных это обычно центральный пиксель.

Основные операции

В начале результирующая поверхность заполняется 0, образуя полностью белое изображение. Затем осуществляется зондирование (probing) или сканирование исходного изображения пиксель за пикселем структурным элементом. Для зондирования каждого пикселя на изображение «накладывается» структурный элемент так, чтобы совместились зондируемая и начальные точки. Затем проверяется некоторое условие на соответствие пикселей структурного элемента и точек изображения «под ним». Если условие выполняется, то на результирующем изображении в соответствующем месте ставится 1 (в некоторых случаях будет добавляться не один единичный пиксель, а все единички из структурного элемента).

По рассмотренной выше схеме выполняются базовые операции. Такими операциями являются расширение и сужение. Производные операции - это некоторая комбинация базовых, выполняемых последовательно. Основными из них являются открытие и закрытие.

Базовые операции

Перенос

Операция переноса X t множества пикселов X на вектор t задаётся в виде X t ={x+t|x∈X}. Следовательно, перенос множества единичных пикселов на бинарном изображении сдвигает все пикселы множества на заданное расстояние. Вектор переноса t может задаваться в виде упорядоченной пары (∆r,∆c), где ∆r - компонент вектора переноса в направлении строк, а ∆c - компонент вектора переноса в направлении столбцов изображения.

Наращивание

Наращивание бинарного изображения A структурным элементом B обозначается $A\; \backslash oplus\; B$ и задается выражением:

$A\; \backslash oplus\; B\; =\; \backslash bigcup\_\{b\backslash in\; B\}\; A\_b$.

В данном выражении оператор объединения можно считать оператором, применяемым в окрестности пикселов. Структурный элемент B применяется ко всем пикселам бинарного изображения. Каждый раз, когда начало координат структурного элемента совмещается с единичным бинарным пикселом, ко всему структурному элементу применяется перенос и последующее логическое сложение (логическое ИЛИ) с соответствующими пикселами бинарного изображения. Результаты логического сложения записываются в выходное бинарное изображение, которое изначально инициализируется нулевыми значениями.

Эрозия

Эрозия бинарного изображения А структурным элементом В обозначается $A\; \backslash ominus\; B$ и задается выражением:

$A\; \backslash ominus\; B\; =\; \backslash \{z\backslash in\; A\; |\; B\_\{z\}\; \backslash subseteq\; A\backslash \}$.

При выполнении операции эрозии структурный элемент тоже проходит по всем пикселам изображения. Если в некоторой позиции каждый единичный пиксел структурного элемента совпадет с единичным пикселом бинарного изображения, то выполняется логическое сложение центрального пиксела структурного элемента с соответствующим пикселом выходного изображения. В результате применения операции эрозии все объекты, меньшие чем структурный элемент, стираются, объекты, соединённые тонкими линиями становятся разъединёнными и размеры всех объектов уменьшаются.

Производные операции

Замыкание

Замыкание бинарного изображения А структурным элементом В обозначается $A\; \backslash bullet\; B$ и задается выражением:

$A\; \backslash bullet\; B\; =\; (A\; \backslash oplus\; B)\; \backslash ominus\; B$.

Операция замыкания «закрывает» небольшие внутренние «дырки» в изображении, и убирает углубления по краям области. Если к изображению применить сначала операцию наращивания, то мы сможем избавиться от малых дыр и щелей, но при этом произойдёт увеличение контура объекта. Избежать этого увеличения позволяет операция эрозия, выполненная сразу после наращивания с тем же структурным элементом.

Размыкание

Размыканием бинарного изображения А структурным элементом В обозначается $A\; \backslash circ\; B$ и задается выражением:

$A\; \backslash circ\; B\; =\; (A\; \backslash ominus\; B)\; \backslash oplus\; B$.

Операция эрозии полезна для удаления малых объектов и различных шумов, но у этой операции есть недостаток - все остающиеся объекты уменьшаются в размере. Этого эффекта можно избежать, если после операции эрозии применить операцию наращивания с тем же структурным элементом. Размыкание отсеивает все объекты, меньшие чем структурный элемент, но при этом помогает избежать сильного уменьшения размера объектов. Также размыкание идеально подходит для удаления линий, толщина которых меньше, чем диаметр структурного элемента. Также важно помнить, что после этой операции контуры объектов становятся более гладкими.

Условное наращивание

Выделение границ

См. также

Напишите отзыв о статье "Математическая морфология"

Примечания

Литература

• Л.Шапиро, Дж.Стокман. Компьютерное зрение. изд. - М .: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. - 752 с.
• Д.Форсайт, Ж.Понс. Компьютерное зрение. Современный подход. изд. - М .: Вильямс , 2004. - 928 с.

Ссылки

Отрывок, характеризующий Математическая морфология

– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п"отивники отказались от п"ими"ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т"и начинать сходиться.
– Г…"аз! Два! Т"и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.
– Так когда хочу – могу стрелять! – сказал Пьер, при слове три быстрыми шагами пошел вперед, сбиваясь с протоптанной дорожки и шагая по цельному снегу. Пьер держал пистолет, вытянув вперед правую руку, видимо боясь как бы из этого пистолета не убить самого себя. Левую руку он старательно отставлял назад, потому что ему хотелось поддержать ею правую руку, а он знал, что этого нельзя было. Пройдя шагов шесть и сбившись с дорожки в снег, Пьер оглянулся под ноги, опять быстро взглянул на Долохова, и потянув пальцем, как его учили, выстрелил. Никак не ожидая такого сильного звука, Пьер вздрогнул от своего выстрела, потом улыбнулся сам своему впечатлению и остановился. Дым, особенно густой от тумана, помешал ему видеть в первое мгновение; но другого выстрела, которого он ждал, не последовало. Только слышны были торопливые шаги Долохова, и из за дыма показалась его фигура. Одной рукой он держался за левый бок, другой сжимал опущенный пистолет. Лицо его было бледно. Ростов подбежал и что то сказал ему.

Пусть дано евклидово пространство E N , на множестве объектов (подмножеств) которого введены отношения включения (Ì), объединения (È) и пересечения (Ç). Рассмотрим некоторое преобразованиеY: E N ®E N (операторY).

Оператор Yназываетсяувеличивающим (increasing), если

(XÌY)Þ(Y(X)ÌY(Y)), X,YÌE N ,

то есть оператор сохраняет отношение принадлежности.

Оператор Yназываетсядилатацией (расширением ), если

Y(Ux i) = UY(x i), "x i ÌE N ,

то есть оператор сохраняет объединение.

Аналогично, оператор, сохраняющий пересечение, называется эрозией (сжатием ), если

Y(Çx i) = Ç(Y(x i)), "x i ÌE N .

Оператор называется экстенсивным , еслиY(X)ÊX иантиэкстенсивным , если

При рассмотрении последовательного применения операторов вводятся понятия:

усиливающий оператор (Y(Y(X))ÊY(X));

ослабляющий оператор (Y(Y(X))ÍY(X));

равносильный оператор (Y(Y(X)) =Y(X)).

Морфологическими фильтрами называется множество операторов, являющихся одновременно равносильными и увеличивающими .

Морфологические операции на бинарных изображениях

Классическое описание операций бинарной математической морфологии было дано в терминах теории множеств , оперирующей такими понятиями как объединение множеств, пересечение множеств и отношение включения. При этом бинарные изображения рассматриваются непосредственно как множества пикселей (Рис. 6.1.1.).

@Рис. 6.1.1. Базовые понятия теории множеств применительно к бинарным фигурам.

Определим трансляцию множества AÌE по zÎE как преобразование (Рис. 6.1.2.)

A z = {y| aÎA, y=a=z}.

Пусть даны A,BÌE. Операция

AB = {a=b| aÎA, bÎB} = U{B a } = U{A b }

называется сложением Минковского . Операция

AB= {z|B z ÍA} =U{A z }

называется вычитанием Минковского .

Множество B будем в дальнейшем называть структурирующим элементом B. Так как операции, определяемые этими выражениями удовлетворяют требованиям сохранения соответственно объединения и пересечения бинарных образов, то они называются также дилатацией (расширением) иэрозией (сжатием) изображения X структурирующим элементом B (по структурирующему элементу B) и являются базовыми операциями ММ (рис. 6.1.2).

@Рис. 6.1.2.. Базовые операции бинарной математической морфологии.

Эти операции являются двойственными по отношению друг к другу в том смысле что:

XB = (X С B V) С,

где X С – дополнение к X, а B V = {–b| bÎB}.

Следовательно, все положения или теоремы, доказанные относительно одной из операций автоматически могут быть представлены в двойственной форме относительно другой операции.

Фундаментальный результат, полученный Матероном (теорема Матерона), состоит в том, что любой увеличивающий оператор Y, инвариантный относительно трансляции, может быть представлен в виде объединения эрозий:

,

где k(Y) – ядроY(X), то есть такое множество структурирующих элементов B, чтоY(B) содержит начало координат.

Этот результат также имеет двойственную форму:

,

где Y*(X) = (Y(X C)) C .

Именно в силу теоремы Матерона эрозия и дилатация являются базовыми операциями ММ, то есть любой морфологический фильтр может быть представлен в виде объединения эрозий или пересечения дилатаций.

Введем, наконец, операции открытия изакрытия , часто используемые в морфологии. Операция

X◦B= (XB)B(6.1.1)

называется открытием X по B и имеет ясный физический смысл:

X◦Bс = U{B z | B z ÍX}.

Этот оператор является антиэкстенсивным и увеличивающим.

Закрытием X по B называется

X·B = (XB)B. (6.1.2)

Этот оператор является экстенсивным и увеличивающим.

Кроме того, оба эти оператора являются равносильными, а, следовательно, открытие и закрытие – это два простейших морфологических фильтра (рис. 6.1.3).

@Рис. 6.1.3. Простейшие фильтры в бинарной математической морфологии.

Рассмотрим геометрический смысл операторов математической морфологии на примере обработки искусственного изображения (рис. 6.1.4), который мы уже рассматривали ранее в разделе, посвященном бинарной фильтрации. На изображении представлен прямоугольный объект, имеющий «дефекты формы» типа внутренних «дырок» и внешних «выступов». Попробуем морфологическими средствами удалить эти дефекты формы объекта.

@Рис. 6.1.4. Изображение с «дефектами» типа «дырок» и «выступов»

Поскольку объект имеет прямоугольную форму, будем использовать структурирующий элемент также прямоугольной формы. Габаритные размеры структурирующего элемента должны быть не меньше, чем характерный «поперечный» размер (минимальная хорда) дефектов формы, подлежащих удалению.

Начнем с удаления внешних «выступов» формы. Для этого используется процедура открытия. На первом этапе этой процедуры выполняется операция сжатия (эрозии) объекта, которая удаляет («съедает») внешние «выступы» формы. Однако внешний размер объекта при этом уменьшается, а внутренние дефекты, напротив, увеличиваются в размерах, в связи с чем после сжатия необходимо выполнить расширение (дилатацию) объекта с тем же структурирующим элементом. В результате выполнения всей операции открытия в целом внешние размеры и форма объекта оказываются восстановлены, но внутренние дефекты формы сохраняются (рис. 6.1.5, 6.1.6).

@Рис. 6.1.5. Результат сжатия (эрозии) @Рис. 6.1.6. Результат открытия объекта объекта (удаление внешних «выступов» формы)

Рассмотрим теперь морфологическую технику удаления внутренних дефектов формы («дырок»). Для этого используется процедура закрытия. На первом этапе этой процедуры выполняется операция расширения (дилатации) объекта, которая удаляет («заращивает») внутренние «дыры» и «каналы». Однако внешний размер объекта при этом увеличивается, внешние дефекты, также увеличиваются в размерах, в связи с чем после расширения необходимо выполнить сжатие (эрозию) объекта с тем же структурирующим элементом. В результате выполнения всей операции закрытия в целом размеры и внутренняя целостность объекта оказываются восстановлены, но внешние дефекты формы сохраняются (рис. 6.1.7, 6.1.8).

@Рис. 6.1.7. Результат расширения @Рис. 6.1.8. Результат закрытия (дилатация) объекта объекта (удаление внутренних «дырок» формы)

Для того чтобы устранить и внешние и внутренние дефекты формы в данном примере необходимо сначала применить к исходному изображению (рис. 6.1.4) открытие, а затем к результату открытия – закрытие с тем же прямоугольным структурирующим элементом (рис. 6.1.9, 6.1.10).

@Рис. 6.1.9. Результат открытия @Рис. 6.1.10. Результат закрытия после открытия (полное восстановление формы)

Как видно из примера (рис. 6.1.9, 6.1.10), последовательная комбинация открытия и закрытия обеспечила полное восстановление формы исходной геометрической фигуры.

В заключение данного раздела рассмотрим особенности морфологической фильтрации изображений с круглым (дисковым) структурирующим элементом. На рис. 6.1.11 – 6.1.13 приведен результат открытия прямоугольного объекта круглым структурирующим элементом. Результат сравнения (вычитания) изображений показывает, что в результате открытия форма объекта была специфическим образом искажена – углы прямоугольника оказались скругленными с радиусом закругления, равным радиусу структурирующего элемента.

@Рис. 6.1.11. Исходный @Рис. 6.1.12. Результат @Рис. 6.1.13. Разность

объект открытия (фильтрация изображений

с круглой маской: эффект

округления углов)

Данный эффект естественным образом следует из геометрического смысла операции открытия: результат открытия представляет собой объединение всех структурирующих элементов, целиком помещающихся внутри исходного объекта. Легко увидеть, что именно в углы прямоугольника дисковый структурирующий элемент никак не может поместиться целиком. В силу этого границу объекта после открытия (закрытия) иногда удобно представлять как кривую, полученную путем «качения» структурирующего элемента по внутренней (внешней) границе исходного объекта (см. также рис. 6.1.3).

Электронный математический и медико-биологический журнал.

Том 13. Вып. 2. 2014.

«Биология приближается к важному перекрестку дорог. С одной стороны идут представители традиционных направлений – зоологии и ботаники; они идут по проторенному пути, который становится все менее плодотворным и все более однообразным, т.к. мысль исследователей, работающих в этих областях, в большинстве случаев не отличалась ни строгостью, ни творческой силой. Поэтому их работа характеризуется скудостью количественных данных и невысоким теоретическим уровнем. С другой стороны идут представители новой биологии – биофизики, биостатистики, молекулярной биологии, биоматематики и теории систем; они следуют по иному пути, имеющему истоки в математике, физике, химии и технике – областях, которые сами часто отличались изящной строгостью и концептуальной силой. Но, несмотря на свой внешний лоск и подчас блестящие достижения, работа этой второй группы ученых обесценивается из-за недостатка конкретных знаний и даже пренебрежительного отношения к детальным фактам, касающимся клеток, организмов и популяций, а также их сложной интеграции в пространстве и времени. Каждый из этих подходов к изучению жизни, взятый в отдельности, может так и не привести к цели – к широкому научному познанию жизненных явлений.

Однако есть некоторые признаки того, что за пересечением этих различных путей подхода к биологии не обязательно должно будет следовать их еще большее расхождение. В самом деле, если бы «традиционалисты» могли научиться в большей мере использовать математику и теоретическое мышление, а новая школа сделалась более «биологичной», то создалась бы по существу полная возможность эффективного сотрудничества, способного привести к величайшим революционным последствиям».

Приведенное высказывание взято из сборника статей под названием «Теоретическая и математическая биология» и принадлежит американскому биологу нового направления Т. Г. Уотермэну. Несмотря на то, что оно относится к 60-м годам прошлого века, оно актуально и в настоящее время.

Ушли в прошлое времена, когда в художественных произведениях ученый, занимающийся биологией, изображался в виде чудаковатого вида человека, гоняющегося с сачком за бабочками; постепенно уходят в прошлое времена, когда в биологию шли молодые люди, не слишком склонные к точным наукам. Биология становится междисциплинарной наукой. Но и в настоящее время в ней преобладают описания явлений, процессов, а не их объяснения. Часто отсутствуют строгие понятия, определения, законы. А это соответствует детскому или юношескому, незрелому ее состоянию.

Традиционные отрасли биологии – ботаника и зоология себя уже исчерпали. Все растущие на Земле растения изучены, составлены их определители. Животный мир планеты также достаточно хорошо изучен. Можно сказать, что в мире растений и животных все систематизировано и классифицировано. Разве что под вопросом остаются только Лохнесское чудовище, снежный человек, кыштымский карлик и недавно объявившаяся чупакабра.

Качественно новый этап в изучении жизни связан с появлением биофизики – науки, пограничной между физикой и биологией. Биофизика возникла тогда, когда была обнаружена связь между физическими и биологическими явлениями.

Дальнейшее развитие этой науки привело к постановке основного вопроса, который и сейчас стоит перед биологией, и от прямого ответа на который она всячески уклоняется. Вопрос этот можно сформулировать следующим образом:

Можно ли явление жизни объяснить исключительно с точки зрения физико-химических представлений, или с живым организмом связано особое состояние материи, отличное от тех состояний, которые свойственны неживой материи?

Представление о существовании в живых организмах особой жизненной энергии имеет большую историю, оно присутствует в философских учениях и религиях многих народов мира. Это прана индусов, Святой Дух христиан, энергия ци китайцев, ки японцев и т.д.

Во второй половине XIX века сформировалось направление в биологии, известное под названием витализма; наиболее ярким его представителем является немецкий биолог Ганс Дриш (1867–1941). Дриш считал, что механистическим подходом нельзя объяснить многие жизненные процессы. Виталистические взгляды в несколько измененном виде поддерживались и другими учеными и находят своих сторонников и в настоящее время.

Академическая наука считает подобные взгляды антинаучными. В биологической литературе можно прочитать, что виталистические концепции потерпели крах. Долгое время в качестве «доказательства» такого краха приводился тот факт, что немецкий химик Фридрих Велер в 1828 г. синтезировал

мочевину. И это в течение многих десятилетий преподносилось школьникам и студентам всех поколений как «доказательство» отсутствия грани между живой и неживой материей. А что на самом деле доказал результат Велера?

Только то, что органические вещества, вырабатываемые живым организмом, могут быть получены химическим путем. Это был первый органический синтез. Но не более того. Никак нельзя согласиться с мнением тех ученых, которые считают, что синтез Велера нанес сокрушительный удар по витализму и изгнал жизненную силу из живых организмов. Можно согласиться с тем, что Велер своим экспериментом изгнал «жизненную силу» из органической химии, хотя вряд ли кто считал, что, например, она есть в мочевине. Но ни Велер, и никто другой до настоящего времени не изгнал «жизненную силу» из живой клетки, из живого организма. Все органические вещества, какими бы сложными они не были, вне живой клетки – это мертвые вещества, или, используя название В. И. Вернадского, косная материя. И только в условиях живой клетки эти мертвые вещества приобретают особые свойства, важнейшим из которых является способность к удвоению своей массы. Именно эта способность, свойственная только живой клетке, обеспечивает непрерывность жизни на нашей планете. «Живое не создано из мертвого, и нет никаких успехов в этих исканиях». Несмотря на то, что это высказывание В. И. Вернадского относится к первой половине прошлого века, оно верно и по сей день. И по сей день еще никто не создал даже самое примитивнейшее одноклеточное существо из неживой материи. Так что говорить о крахе виталистических концепций слишком преждевременно.

Конечно, если задуматься о происхождении жизни (не важно, возникла ли она на Земле или на других планетах), то материалистический взгляд на мир не оставляет материалистически мыслящему исследователю иного выбора, как признание того, что в конечном итоге живая материя произошла из неживой. Больше ей просто неоткуда было появиться. Но это могло произойти, как и считают некоторые ученые, в такие отдаленные времена, когда на Земле существовали условия, совершенно не похожие на современные, и могли произойти такие изменения в структуре материи, которые невозможны в настоящий, относительно спокойный период существования нашей планеты. Поэтому в настоящий период образование живой материи из мертвой невозможно. Состояние современной науки не позволяет преодолеть грань между живой и неживой материей. Но некоторые ученые считают, что наука приближается к преодолению этой грани.

В мае 2010 г. группа американских ученых под руководством Крейга Вентера заявила о том, что ими создан искусственный геном бактерии и внедрен в лишенную собственного генома клетку другой бактерии. И этот геном в ней заработал. Получилась синтетическая клетка. Ей даже дали название Синтия.

Это бесспорно очень большое научное достижение. И многими средствами массовой информации оно было преподнесено как создание искусственной жизни, что не соответствует действительности. Ведь искусственный геном был внедрен в живую клетку, созданную природой, а не человеком.

Сам же геном не способен к самостоятельному существованию. К. Вентер об этом открытии высказался таким образом: «Мы создали новую жизнь на базе уже существующей, с помощью синтетической ДНК перепрограммированием клетки, превращая их в новые с заданной ДНК».

В январе 2012 г. группа японских биологов заявила, что они «сделали шаг» к протоклетке. С помощью уникальной технологии из набора органических веществ они создали модель клетки, способную самостоятельно функционировать и размножаться. Главное, чего хотели добиться исследователи, это самостоятельное деление клетки; они считают, что им это удалось. Но специалисты не согласны с этим. Их основные аргументы следующие:

Важнейшие компоненты для деления ДНК были добавлены в готовом виде, были применены синтетические катализаторы, условия были далеки от естественных, деление происходило по законам физики.

Попытки создания искусственной живой клетки продолжаются. Некоторые ученые считают, что близки к этому. Удастся им это, или нет, покажет время.

Изучение многоклеточных организмов привело ученых к мысли о том, что многие явления, например, морфогенез нельзя объяснить простым объединением клеток. Это заставляло думать о существовании надклеточных факторов, что явилось причиной появления ряда полевых гипотез. Наиболее известной является гипотеза А. Г. Гурвича. Она разрабатывалась им с 1912 г.

Согласно этой гипотезе, с живой клеткой связано особое состояние материи, биологическое поле, не сводимое ни к каким известным физическим полям. Область действия этого поля выходит за пределы клетки, и клетки оказывают своими полями влияние друг на друга. Происходит объединение клеточных полей в единое «актуальное» поле. По мнению Гурвича, клеточное поле анизотропно, оно непрерывно и преемственно.

Несмотря на то, что заслуги Гурвича признаны академической наукой, но к его теории биологического поля отношение какое-то неопределенное, настороженное, как бы здесь не примешались идеи витализма. И до сих пор всеобщего официального признания эта теория не получила.

Вообще, если мы попытаемся в словарях, справочниках выяснить значение слова «биополе» – то четкого определения его мы не найдем. Чаще всего это будут определения типа: «Биополе – псевдонаучная концепция, согласно которой существует совокупность «тонких» полей, генерируемых живым организмом» (Википедия).

«Биополе – термин, используемый для объяснения парапсихологических явлений» (Большой энциклопедический словарь).

А вот мнения физиков по этому вопросу:

«На вопрос: что такое биополе? Подавляющее большинство трезво мыслящих ученых категорически ответит: это то, чего нет и не может быть, как нет и не может быть явлений, для объяснения которых биополе специально придумано» [В. Е. Жвирблис «Асимметрия против хаоса»].

«Существование биополя, т.е. поля, которое не сводится к известным физическим полям и, следовательно, не регистрируется обычными физическими приборами, противоречит ожиданиям современной физики. До сих пор не существует никаких проявлений биополя, подтвержденных научным экспериментом» (Акад. А. Б. Мигдал).

В 80-х годах прошлого века в лаборатории института радиотехники и электроники АН СССР были проведены исследования физических полей биологических объектов (Ю. В. Гуляев, Э. Э. Годик). Выводы, к которым пришли исследователи следующие:

Никаких особых полей вокруг живых организмов нет, а то, что называют биополем это комбинация известных физике полей.

«Отныне экспериментально установленной истиной признается: человек может воздействовать на другого человека лишь с помощью двух видов излучений – теплового и электрического. И еще – через изменение влажности окружающего воздуха. Остальные излучения – магнитное, радиотепловое (идущее внутри тела), акустическое – слишком слабы».

Вот оказывается как все просто с точки зрения физиков в живом организме: электрические и тепловые поля, ну и еще кое-какие, более мелкие.

Никакого биополя, никакой жизненной энергии. Это все выдумки дилетантов, невежд, или «ученых с большой дороги». Но только у меня в связи с этим возникает простой вопрос:

Все упомянутые поля физиками хорошо изучены, и если кроме них в живом организме ничего нет, так почему же физики, хотя бы в союзе с химиками, до сих пор не создали искусственную живую клетку? Речь идет не о том, чтобы ее скомбинировать из фрагментов живых клеток, созданных природой, а создать ее «с нуля», из неорганических элементов. До сих пор это никому не удалось. И большой вопрос: удастся ли кому-то в будущем.

Или возьмем фотосинтез. В этом процессе задействованы свет и электроны, т.е. то, что физиками хорошо изучено. И если там также все сводится к известным процессам, то почему за 200 лет в проблеме фотосинтеза нет практически никаких существенных сдвигов? Пора уж физикам наладить процесс фотосинтеза в обход растений, в промышленном масштабе, и накормить голодающее население слаборазвитых стран.

Но ведь ничего такого и близко нет. И не лучшее ли это доказательство того, что не так просто устроен живой организм, как самонадеянно считают физики? И не рано ли хоронить идею о существовании в живой клетке, в живом организме биологического поля?

А теперь остановимся на вопросе: почему биологическое поле не обнаруживается никакими, даже лучшими в мире приборами. Вспомним, как обнаруживается электрическое поле, существующее вокруг заряженного тела. С помощью пробного заряда, т.е. с помощью другого заряженного тела. Представим себе, что на место пробного заряда мы поместили бы прибор, пусть самый точный, но предназначенный для измерения каких-либо механических величин. Он бы нам ничего не показал. Отсюда был бы сделан вывод, что никакого электрического поля не существует. Также как электрическое поле заряженного тела обнаруживается по действию его на другое заряженное тело, так и биологическое поле живого организма может быть обнаружено по действию его на другой живой организм.