Стационарные состояния с определенной энергией . Специальный случай, когда гамильтониан оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие , не зависящее явным образом от времени (например, когда потенциалы и не содержат время ). В таком случае ядро зависит не от переменной времени , а будет функцией лишь интервала . Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени.
Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шредингера (4.14) в виде , т. е. в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4.14) дает соотношение
. (4.40)
Левая часть этого уравнения не зависит от , тогда как правая не содержит зависимости от . Для того чтобы это уравнение удовлетворялось при любых и , обе его части не должны зависеть от этих переменных, т. е. должны быть постоянными. Обозначим такую постоянную через . Тогда
с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
, (4.41)
где функция удовлетворяет уравнению
а это как раз и означает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определенной частотой. Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.41), то говорят, что система обладает определенной энергией . Каждому значению энергии соответствует своя особая функция - частное решение уравнения (4.42).
Вероятность того, что частица находится в точке , задается квадратом модуля волновой функции , т. е. . В силу равенства (4.41) эта вероятность равна и не зависит от времени. Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии - стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем.
Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределенности, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна , время должно быть полностью неопределенным. Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определенном состоянии совершенно не зависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот же самый результат в любой момент.
Пусть - значение энергии, при котором уравнение (4.42) имеет решение , и - другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению . Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шредингера, а именно:
и
; (4.43)
так как уравнение Шредингера линейно, то ясно, что наряду с его решением будет и . Кроме того, если и - два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция
тоже будет решением уравнения Шредингера.
Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии и найдены соответствующие им функции , то любое решение уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определенным значениям энергии.
Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой. Это должно быть справедливо при любых значениях и . Поэтому, используя для функции выражение (4.44) получаем
(4.45)
Так
как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены
(т. е. члены, содержащие экспоненты 
) должны обращаться в нуль независимо от
выбора коэффициентов и
. Это
означает, что
. (4.46)
Если две функции и удовлетворяют соотношению
то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.
Ниже
будет дана интерпретация выражений типа , и мы увидим, что равенство (4.46)
отражает тот факт, что если частица имеет энергию [и, следовательно, ее волновая функция ], то вероятность
обнаружить у нее другое значение энергии [т. е. волновую функцию 
] должна равняться
нулю.
Задача 4.8. Покажите, что когда оператор эрмитов, то собственное значение вещественно [для этого следует положить в равенстве (4.30) ].
Задача 4.9. Покажите справедливость равенства (4.46) в случае, когда оператор эрмитов [для этого в равенстве (4.30) положите , ].
Линейные комбинации функций стационарных состояний . Предположим, что функции, соответствующие набору энергетических уровней , не только ортогональны, но также и нормированы, т. е. интеграл от квадрата их модуля по всем значениям равен единице:
, (4.47)
где - символ Кронекера, определяемый равенствами , если , и . Большинство известных в физике функций можно представить в виде линейной комбинации ортогональных функций; в частности, в таком виде можно представить любую функцию, являющуюся решением волнового уравнения Шредингера:
. (4.48)
Коэффициенты легко найти; умножая разложение (4.48) на сопряженные функции и интегрируя по , получаем
(4.49)
и, следовательно,
. (4.50)
Таким образом мы получили тождество
Другой интересный способ получения того же результата исходит из определения -функции:
. (4.52)
Ядро можно выразить через функции и значения энергии . Мы сделаем это с помощью следующих соображений. Пусть нас интересует, какой вид имеет волновая функция в момент времени , если она нам известна в момент времени . Так как она является решением уравнения Шредингера, то при любом ее, как и всякое его решение, можно записать в виде
. (4.53)
Но в момент времени . Ранее мы выражали это соотношением фактически эквивалентна интегралу по всем значениям , т. е.
. (4.63)
Ядро для случая свободной частицы запишется как
Задача 4.12. Вычислите интеграл (4.64) в квадратурах. Покажите, что результат при этом получается в том виде, какой действительно должен быть у ядра для свободной частицы [т. е. представляет собой трехмерное обобщение выражения (3.3)].
НЕ ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ВРЕМЕНИ
НЕ ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ВРЕМЕНИ
(time-inconsistency) Особенность политики, проводимой в течение определенного периода времени, заключающаяся в том, что политический выбор зависит от обязательств, принятых в более раннее время. Если политические органы обладают доверием (credibility), они могут выбрать не зависящую от данного момента политику: например, инфляция в текущем году может быть уменьшена путем принятия обязательств о сокращении государственных расходов или об уменьшении роста предложения денег в следующем году. Когда наступает следующий год, власть может предпочесть выполнить свои обязательства, вместо того чтобы перекладывать сокращение расходов на следующий год; стимул к выполнению своих обязательств желателен для поддержания репутации, которая и делает возможным проведение политики, не зависящей от времени. Там, где политические органы не обладают доверием (credibility), им доступна только политика, соответствующая данному моменту времени; нет оснований брать на себя обязательства, в выполнение которых вам никто не верит. См. также: политика доверия (reputational policy).
Экономика. Толковый словарь. - М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .
Экономический словарь . 2000 .
Смотреть что такое "НЕ ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ВРЕМЕНИ" в других словарях:
зависящий от времени - — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN time dependent …
параметр, зависящий от времени - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN time dependent parameter … Справочник технического переводчика
коэффициент готовности, зависящий от времени - — Тематики нефтегазовая промышленность EN time dependent availability … Справочник технического переводчика
параметр, не зависящий от времени - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN time independent parameter … Справочник технического переводчика
Особый, зависящий от общих и индивидуальных психических и общеличностных свойств данного человека вид сознания, связанный с переживанием времени. Философский энциклопедический словарь. 2010 … Философская энциклопедия
Времени сознание - особый, зависящий от многих общих и индивидуальных психических и личностных свойств данного человека вид сознания, связанный с переживанием (восприятием) времени. Последнее зависит от содержания переживаний и является главным образом возможностью … Начала современного естествознания
дисциплина, зависящая от времени - Порядок обслуживания неприоритетных запросов, зависящий от времени их пребывания в системе. Если задержка в обслуживании превышает установленный порог, то запрос автоматически становится приоритетным. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные… … Справочник технического переводчика
- (от греч. phasis появление) период, ступень в развитии какого либо явления, этап. Фаза колебаний аргумент функции, описывающий гармонический колебательный процесс или аргумент аналогичной мнимой экспоненты. Иногда просто аргумент… … Википедия
Или начало Гамильтона, в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Преобразования Галилея в классической механике (механике Ньютона) преобразования координат и времени при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой. Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году. Преобразования… … Википедия
Точное решение уравнения Шредингера может быть найдено лишь в сравнительно небольшом числе простейших случаев. Большинство задач квантовой механики приводит к слишком сложным уравнениям, которые не могут быть решены точным образом. Часто, однако, в условиях задачи фигурируют величины разного порядка; среди них могут оказаться малые величины, после пренебрежения которыми задача упрощается настолько, что делается возможным ее точное решение. В таком случае первый шаг в решении поставленной физической задачи состоит в точном решении упрощенной задачи, а второй - в приближенном вычислении поправок, обусловленных малыми членами, отброшенными в упрощенной задаче. Общий метод для вычисления этих поправок называется теорией возмущений.
Предположим, что гамильтониан данной физической системы имеет вид
где V представляет собой малую поправку (возмущение) к «невозмущенному» оператору . В § 38, 39 мы будем рассматривать возмущения V, не зависящие явно от времени (то же самое предполагается и в отношении ). Условия, необходимые для того, чтобы можно было рассматривать оператор V как «малый» по сравнению с оператором , будут выяснены ниже.
Задача теории возмущений для дискретного спектра может быть сформулирована следующим образом. Предполагается, что собственные функции и собственные значения дискретного спектра невозмущенного оператора известны, т. е. известны точные решения уравнения
Требуется найти приближенные решения уравнения
т. е. приближенные выражения для собственных функций и значений возмущенного оператора Н.
В этом параграфе мы будем предполагать, что все собственнее значения оператора не вырождены. Кроме того, для упрощения выводов будем считать сначала, что имеется только дискретный спектр уровней энергии.
Вычисления удобно производить с самого начала в матричном виде. Для этого разложим искомую функцию по функциям
Подставляя это разложение в (38,2), получим
а умножив это равенство с обеих сторон на и интегрируя, найдем
Здесь введена матрица оператора возмущения V, определенная с помощью невозмущенных функций
Будем искать значения коэффициентов и энергии Е в виде рядов
где величины - того же порядка малости, что и возмущение V, величины - второго порядка малости, и т. д.
Определим поправки к собственному значению и собственной функции, соответственно чему полагаем: . Для отыскания первого приближения подставим в уравнение сохранив только члены первого порядка. Уравнение с дает
Таким образом, поправка первого приближения к собственному значению равна среднему значению возмущения в состоянии
Уравнение (38,4) с дает
а остается произвольным и оно должно быть выбрано так, чтобы функция была нормирована с точностью до членов первого порядка включительно.
Для этого надо положить Действительно, функция
(штрих у знака суммы означает, что при суммировании по надо опустить член ортогональна а поэтому интеграл от отличается от единицы лишь на величину второго порядка малости.
Формула (38,8) определяет поправку первого приближения к волновым функциям. Из нее, кстати, видно, каково условие применимости рассматриваемого метода. Именно, должно иметь место неравенство
т. е. матричные элементы возмущения должны быть малы по сравнению с соответствующими разностями невозмущенных уровней энергии.
Определим еще поправку второго приближения к собственному значению . Для этого подставляем в (38,4) и рассматриваем члены второго порядка малости. Уравнение дает
(мы подставили ) из (38,7) и воспользовались тем, что в силу эрмитовости оператора
Отметим, что поправка второго приближения к энергии нормального состояния всегда отрицательна. Действительно, если соответствует наименьшему значению, то все члены в сумме (38,10) отрицательны.
Дальнейшие приближения можно вычислить аналогичным образом.
Полученные результаты непосредственно обобщаются на случай наличия у оператора также и непрерывного спектра (причем речь идет по-прежнему о возмущенном состоянии дискретного спектра). Для этого надо только к суммам по дискретному спектру прибавить соответствующие интегралы по непрерывному спектру.
Будем отличать различные состояния непрерывного спектра индексом v, пробегающим непрерывный ряд значений; под условно подразумевается совокупность значений величин, достаточных для полного определения состояния (если состояния непрерывного спектра вырождены, что почти всегда и бывает, то задания одной только энергии недостаточно для определения состояния). Тогда, например, вместо (38,8) надо будет писать
и аналогично для других формул.
Полезно привести также формулу для возмущенных значений матричных элементов какой-либо физической величины вычисленных с точностью до членов первого порядка с помощью функций из (38,8). Легко получить следующее выражение)
В первой сумме , а во второй .
Задачи
1. Определить поправку второго приближения к собственным функциям.
Решение. Коэффициенты вычисляем из уравнений (38,4) с , написанных с точностью до членов второго порядка, а коэффициент подбираем так, чтобы функция была нормирована с точностью до членов второго порядка. В результате находим
где мы ввели частоты
2. Определить поправку третьего приближения к собственным значениям энергии.
Решение. Выписывая в уравнении (38,4) с члены третьего порядка малости, получим
3. Определить уровни энергии ангармонического линейного осциллятора с гамильтонианом
Решение. Матричные элементы от можно получить непосредственно согласно правилу умножения матриц, используя выражение (23,4) для матричных элементов от х. Для отличных от нуля матричных элементов от найдем
Диагональные элементы в этой матрице отсутствуют, так что поправка первого приближения от члена в гамильтониане (рассматриваемого как возмущение к гармоническому осциллятору) отсутствует. Поправка же второго приближения от этого члена - того же порядка, что и поправка первого приближения от члена Диагональные матричные элементы от имеют вид
С помощью общих формул (38,6) и (38,10) находим в результате следующее приближенное выражение для уровней энергии ангармонического осциллятора:
4. Сферическая потенциальная яма с бесконечно высокими стенками подвергается малой деформации (без изменения объема), принимая форму слабо вытянутого или сплюснутого эллипсоида вращения с полуосями и с. Найти расщепление уровней энергии частицы в яме при такой деформации (А. Б. Мигдал, 1959).
Решение. Уравнение границы ямы
путем замены переменных превращается в уравнение сферы радиуса Этой же заменой гамильтониан частицы (М - масса частицы; энергия отсчитывается от дна ямы) преобразуется в , где
Если вы посмотрите фильм от конца до начала, то вы, вероятно, запутаетесь, но квантовый компьютер этого не сделает. К такому выводу пришли исследователь Миле Гу из центра квантовых технологий (Cqt) Национального университета Сингапура и Наньянского технологического университета, а также другие ученые.
В исследовании, опубликованном в журнале Physical Review X, международная команда ученых показывает, что квантовый компьютер в меньшей степени зависит от «стрелы времени», чем классический компьютер. В некоторых случаях, кажется, что квантовому компьютеру как будто вообще не нужно различать причины и следствия.
Новая работа вдохновлена открытием, сделанным почти 10 лет назад учеными Джеймсом Крачфилдом и Джоном Махони в Университете Калифорнии. Они показали, что многие статистические последовательности данных будут иметь встроенную стрелу времени.
Наблюдатель, который видит данные, воспроизводимые от начала до конца, как и кадры фильма, может моделировать то, что будет дальше, используя лишь скромный объем информации о том, что произошло раньше. Наблюдатель, который пытается смоделировать систему в обратном направлении, получает гораздо более сложную задачу — потенциально необходимо отслеживать на порядок больше информации.
Это открытие стало известно как причинная асимметрия. Она кажется интуитивно понятным — ведь моделирование системы, когда время идет назад, похоже на попытку вывести причину из следствия. Мы привыкли находить это более сложным, чем прогнозирование эффекта от причины. В повседневной жизни понимание того, что будет дальше, легче, если вы знаете, что только что произошло, и что произошло до этого.
Однако исследователи всегда были заинтригованы тем, чтобы обнаружить асимметрии, связанные с упорядочением времени. Это связано с тем, что фундаментальные законы физики неоднозначны относительно того, движется ли время вперед или наоборот, назад. «Когда физика не навязывает никакого направления во времени, откуда возникает каузальная асимметрия — дополнительные расходы памяти, необходимые для устранения причины и следствия?» спрашивает Гу.
Первые исследования причинно-следственной асимметрии использовали модели с классической физикой для генерации предсказаний. Крачфилд и Махони объединились с Гу и его коллегами чтобы выяснить, изменила ли квантовая механика ситуацию.
И они обнаружили, что это произошло. Модели, использующие квантовую физику, как доказывает команда, могут полностью уменьшить нагрузку на память. Квантовая модель, вынужденная эмулировать процесс в обратном времени, всегда будет превосходить классическую модель, эмулирующую процесс в будущем.
Эта работа имеет ряд глубоких последствий. «Самое захватывающее для нас — это возможная связь со стрелой времени», — говорят ученые. «Если причинная асимметрия встречается только в классических моделях, то это предполагает, что наше восприятие причины и следствия, и, следовательно, время, может возникнуть из применения классического объяснения событий в фундаментально квантовом мире».
Наиболее знаковой является термодинамическая стрела. Это происходит от идеи, что беспорядок, или энтропия, всегда будет увеличиваться — немного здесь и там, во всем, что происходит, пока Вселенная не закончится как один большой, горячий беспорядок. Хотя причинная асимметрия не совпадает с термодинамической стрелой, они могут быть взаимосвязаны. Классические модели, которые отслеживают больше информации, также генерируют больше беспорядка. Все намекает на то, что причинная асимметрия может иметь энтропийные последствия.
