Обобщенные функции. Понятие обобщенной функции, d-функция и ее свойства

Обобщенные функции были введены в связи с трудностями решения некоторых задач математической физики, квантовой механики, электромагнетизма и т. д., где помимо непрерывных функций, описывающих непрерывно распределенные величины (масса, источники тепла, механический импульс и др.), понадобилось использовать разрывные функции для сосредоточенных величин (точечная масса, точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и др.).

Из разрывных функций важную роль сыграла единичная функция θ(x), определенная следующим образом (рис. 3.1):

Эта функция была введена в 1898 г. английским инженером Хевисайдом для решения операционными методами некоторых дифференциальных уравнений теории электрических цепей.

Рис. 3.1. Функция Хевисайда

В 1926 г. английский физик Дирак ввел в квантовой механике символ δ, названный им дельта-функцией, которая явилась первой систематически применяемой обобщенной функцией. С физической точки зрения δ-функция Дирака представляет собой плотность единичного заряда, помещенного в начале координат. Если этот заряд имеет величину m, то его плотность

Отсюда следует, что дельта-функция δ (x) обладает свойствами

(3.1)

Свойства этой функции хорошо интерпретируются при рассмотрении фундаментального соотношения

(3.2)

справедливого для любой функции f(x), непрерывной при x = 0.

Заметим, что, строго говоря, δ(x) не представляет собой функцию, так как не существует функций, удовлетворяющих соотношениям (3.1 и 3.2). Но если интерпретировать последнее соотношение как функционал, т.е. как процесс придания функции f(x) значения f(0) то оно становится весьма интересным.

Запись в виде интеграла используется просто как удобная форма описания свойств этого функционала (линейность сдвиг, замена переменных и т.д.).

Таким образом, функцию δ(x) можно рассматривать как обычную функцию, удовлетворяющую всем формальным правилам интегрирования при условии, что все заключения относительно этой функции базируются на выражении (3.2), а не на каком-либо из ее отдельных свойств.

Дельта функцию можно рассматривать как предел

получаемый в результате использования основного соотношения

Следствием данного предела является тождество

Действительно,

Получился, таким образом, некоторый формализм в применении δ-функции, с помощью которого достаточно просто были исследованы некоторые разрывные явления. В частности, было замечено, что между единичной функцией θ(x) и функцией δ(x) существует связь

которая, очевидно, не имеет смысла в рамках классического анализа, но справедлива в смысле теории обобщенных функций.

Рассмотрим некоторые свойства δ-функции.

Если f(t) не имеет разрывов в точке t, то

Гребенчатая функция

Ряд, состоящий из бесконечного числа δ-функций, сдвинутых относительно друг друга на равные расстояния

называется гребенчатой функцией. При a = 1 имеем:

Гребенчатая функция, как это видно из соотношения симметрична относительно преобразования Фурье:

.

Гребенчатая функция играет важную роль при описании процессов дискретизации сигналов. Процедуру дискретизации (взятие выборок) удобно рассматривать как умножение сигнала f(x) на заданную периодическую последовательность тактовых импульсов, задаваемую функцией Ша(x).

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ - математическое обобщение понятия функции, вызванное потребностью удобного описания многих физических и математических явлений. Следующая ситуация поясняет причины, по которым использование О. ф. бывает полезным.

Пусть дана функция . Очевидно, что предел , и , , т. е. предельная функция при не существует.

С другой стороны, для фиксированной непрерывной функции существует и, более того, существует , равный .

Естественно считать, что существует и , только он принадлежит более широкому множеству, чем множество обычных функций. Вложение пространства обычных функций в это более широкое пространство можно осуществить следующим естественным способом (попутно определив само «более широкое пространство»).

Пусть - множество финитных функций класса . Каждая непрерывная функция определяет непрерывный линейный функционал в по формуле

(*)

(при этом разным соответствуют различные функционалы ). Формула (*) задает мономорфное отображение (Мономорфизм) пространства в пространство всех непрерывных линейных функционалов в (непрерывность понимается в смысле топологии пространства , обычно задаваемой той или иной нормой).

При этом, как было отмечено в рассмотренном примере, возможно такое явление: предела последовательности функций из не существует, а предел образов этих функций, т. е. линейных функционалов из , существует.

Рассмотренная конструкция оправдывает определение и название О. ф.: О, ф. есть непрерывный линейный функционал на пространстве финитных функций.

В множестве О. ф. рассматривают операции суммы О. ф. и умножения О. ф. на число, понимая под этим соответствующие операции над функционалами.

Рассматривают также дифференцирование О. ф., что определяется формулой Здесь - О. ф., - ее производная, значение на произвольной дифференцируемой функции равно . Это определение согласовано с определением дифференцирования обычных функций.

В частности, , где - линейный функционал такой, что - знаменитая обобщенная дельта-функция Дирака. Производная дельта-функция равна функционалу , определенному формулой

Производная функции (функция Хевисайда) совпадает с дельта-функцией.

Рассматривают также операции интегрирования О. ф., свертки О. ф., преобразования Лапласа О. ф. (см., Лапласа преобразование) и преобразования Фурье (см. Фурье преобразование).

О. ф. весьма удобны при описании распределения физических величин в пространстве. Если непрерывное распределение масс в пространстве задается (обычной) функцией-плотностью, то такие понятия, как «плотность распределения масс материальной точки», «электрический потенциал простого и двойного слоя», требуют введения О. ф.

В теории уравнений с частными производными следующее обстоятельство играет значительную роль. Пусть дано уравнение с нулевыми граничными и начальными условиями. (Здесь - линейный дифференциальный оператор, - искомая, а - заданная в области функция.) Если решить уравнение для «самой простой» функции , то нетрудно получить решение задачи в общем виде: пусть такова, что . Тогда

удовлетворяет уравнению .

О. ф. были впервые рассмотрены английским ученым П. Дираком в связи с задачами квантовой механики в 20-е годы XX в. Основы теории О. ф. были заложены советским математиком С. Л. Соболевым в 1936 г. В дальнейшем теорией О. ф. занимались многие математики мира (в основном в связи с задачами математической физики). В послевоенные годы французским математиком Л. Шварцем было дано систематическое изложение теории О. ф., получивших в зарубежной литературе название «распределения».

Теория О. ф. находит все более широкое применение в различных физических, математических и прикладных исследованиях.

математическое понятие, обобщающее классическое понятие Функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие О. ф., с одной стороны, даёт возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии О. ф. находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физич. величины в точке, а можно измерять лишь её средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, О. ф. служат удобным аппаратом для описания распределений различных физических величин. Поэтому в иностранной литературе О. ф. называют распределениями.

О. ф. были введены впервые в конце 20-х гг. 20 в. П. Дираком в его исследованиях по квантовой механике, где он систематически использует понятие дельта-функции (См. Дельта-функция) и её производных. Основы математической теории О. ф. были заложены С. Л. Соболевым в 1936 при решении Коши задачи (См. Коши задача) для гиперболич. уравнений, а в послевоенные годы французский математик Л. Шварц дал систематическое изложение теории О. ф. В дальнейшем теорию О. ф. интенсивно развивали многие математики, главным образом в связи с потребностями математической физики. Теория О. ф. имеет многочисленные применения и всё шире входит в обиход физика, математика и инженера.

Формально О. ф. определяются как линейные непрерывные Функционалы над тем или иным линейным пространством (См. Линейное пространство) основных функций φ(x) . Основным пространством функций является, например, совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций, снабженная надлежащей Сходимостью (или, точнее, топологией). При этом обычные локально суммируемые функции f (x) отождествляются с функционалами (регулярными О. ф.) вида

(f, φ ) = ∫f (x)φ(x) dx . (1)

Произвольная О. ф. f определяется как функционал f’ , задаваемый равенством

(f", φ) = ‑ (f, φ"). (2)

При таком соглашении каждая О. ф. бесконечно дифференцируема (в обобщённом смысле). Равенство (2) в силу (1) есть не что иное, как обобщение формулы интегрирования по частям для дифференцируемых в обычном смысле функций f (x) , так что в этом случае оба понятия производной совпадают.

Сходимость на (линейном) множестве О. ф. вводится как слабая сходимость функционалов. Оказывается, что операция дифференцирования О. ф. непрерывна, а сходящаяся последовательность О. ф. допускает почленное дифференцирование бесконечное число раз.

Вводятся и другие операции над О. ф., например Свёртка функций, Фурье преобразование, Лапласа преобразование. Теория этих операций приобретает наиболее простую и законченную форму в рамках понятия О. ф., расширяющих возможности классического математического анализа. Поэтому использование О. ф. существенно расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, автоматизируя элементарные операции.

Примеры. 1) δ-функция Дирака:

(δ, φ) = φ(0),

описывает плотность массы (заряда) 1, сосредоточенной в точке х = 0, единичный импульс.

2) θ (x) - функция Хевисайда: θ(x) = 0, х ≤ 0, θ(x) = 1, x > 0, θ" = δ;

производная от неё равна единичному импульсу.

3) -δ" - плотность диполя момента 1 в точке х = 0, ориентированного вдоль оси х .

4) μδ s - плотность простого слоя на поверхности S с поверхностной плотностью μ:

6) Свёртка

- ньютонов потенциал с плотностью f , где f - любая О. ф. [например, из 1), 3), 4) и 5)].

7) Общее решение уравнения колебаний струны

u (х, t) = f (x + at) + g (x - at),

где f и g - любые О. ф.

Лит.: Дирак П. А. М., Основы квантовой механики, пер. с англ., М.-Л., 1932; Soboleff S., Méthode nouvelle á resoudre le probléme de Cauchy pour les équations lineaires hyperboliques normales, «Математический сборник», 1936, т. 1 (43), № 1 (резюме на рус. яз.); Schwartz L., Théorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщённые функции и действия над ними, 2 изд., М., 1959; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971.

• - ИМПУЛЬСЫ - физ....

  Физическая энциклопедия

• - СИЛЫ - величиныQi, произведения к-рых на элементарные приращения обобщённыхкоординат qi системы дают выражение элементарной работыдействующих на систему сил. Т. о., выражение элементарной...

  Физическая энциклопедия

• - физич. величины рi, определяемые ф-лами: pi=дT/дqi или pi=дL/дqi, где Т - кинетич. энергия, a L - Лагранжа функция данной механич...

  Физическая энциклопедия

• - независимые параметры qi любой размерности, число к-рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы...

  Физическая энциклопедия

• - величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами...

  Физическая энциклопедия

• - классы функций, являющиеся различными обобщениями почти периодич. функций. Каждый из них обобщает какую-то из сторон в определениях Бора почти периодических функций и Бохнера почти периодических функций...

  Математическая энциклопедия

• - экстраординарные теории когомологий,- класс специальных функторов из категории пар пространств в категорию градуированных абелевых групп. О. т. к. есть пара - функтор из категории Рпар топологич...

  Математическая энциклопедия

• - независимые между собой параметры qi любой размерности, число s к-рых равно числу степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы в пространстве...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - в механике - физ. величины pi, характеризующие движение ме-ханич. системы и связанные с её кинетич...
• - в механике - независимые между собой параметры qi, q2,..., qs, к-рые однозначно определяют положение механич. системы в пространстве, а их число s равно числу степеней свободы системы...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - в механике - величины Qi, произведение к-рых на элементарные при-рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов...

  Большой энциклопедический политехнический словарь

• - физические величины pi, определяемые формулами: pi = или pi =...
• - независимые между собой параметры qi любой размерности, число которых равно числу s степеней свободы механич. системы и которые однозначно определяют положение системы...

  Большая Советская энциклопедия

• - величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами...

  Большая Советская энциклопедия

• - независимые между собой параметры qi любой размерности, число s которых равно числу степеней свободы механической системы и которые однозначно определяют положение системы в пространстве...

  Большой энциклопедический словарь

• - Функции языка, взаимосвязанные с этноязыковыми процессами в обществе. Наиболее известны классификации Л.Б. Никольского и Р. Гарвина. По Никольскому, к Э.ф.я. относятся: 1) интегрирующая; 2) консолидирующая...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

"Обобщённые функции" в книгах

Обобщённые импульсы

Обобщённые координаты

Обобщённые силы

Обобщённые функции

Обобщенные алгоритмы

Обобщенные алгоритмы В заголовочном файле объявляются глобальные шаблонные функции, которые реализуют основные алгоритмы для контейнеров. Большинство этих функций работают с итераторами в стиле STL.Заголовочный файл STL содержит более полный набор

3.9. Обобщенные регулярные выражения

6.6.3. Обобщенные алгоритмы

6.6.3. Обобщенные алгоритмы Операции, описанные в предыдущих разделах, составляют набор, поддерживаемый непосредственно контейнерами vector и deque. Согласитесь, что это весьма небогатый интерфейс и ему явно не хватает базовых операций find(), sort(), merge() и т.д. Планировалось

12. Обобщенные алгоритмы

12. Обобщенные алгоритмы В нашу реализацию класса Array (см. главу 2) мы включили функции-члены для поддержки операций min(), max() и sort(). Однако в стандартном классе vector эти, на первый взгляд фундаментальные, операции отсутствуют. Для нахождения минимального или максимального

12.5. Обобщенные алгоритмы

12.5. Обобщенные алгоритмы Первые два аргумента любого обобщенного алгоритма (разумеется, есть исключения, которые только подтверждают правило) – это пара итераторов, обычно называемых first и last, ограничивающих диапазон элементов внутри контейнера или встроенного массива,

21. Обобщенные алгоритмы в алфавитном порядке

21. Обобщенные алгоритмы в алфавитном порядке В этом приложении мы рассмотрим все алгоритмы. Мы решили расположить их в алфавитном порядке (за небольшими исключениями), чтобы проще было найти нужный. Каждый алгоритм представлен в следующем виде: сначала описывается

7.3.5 Обобщенные Классы

7.3.5 Обобщенные Классы Очевидно, можно было бы определить списки других типов (classdef*, int, char* и т.д.) точно так же, как был опредлен класс nlist: простым выводом из класса slist. Процесс оределения таких новых типов утомителен (и потому чреват ошиками), но с помощью макросов его можно

Обобщенные типы