1. Центр тяжести площади треугольника . Найдем центр тяжести тонкой однородной треугольной пластинки А 1 А 2 А 3 (рис.9.8).

Разобьем площадь треугольника прямыми, параллельными основанию А 1 А 3 , на большое число очень узких полосок. Каждую такую полоску, можно рассматривать как прямолинейный отрезок. Следовательно, центр тяжести каждой полоски находится в ее середине. Но средние точки всех полосок расположены на одной прямой, т.е. на медиане А 2 М 2 . Т.о. центр тяжести площади треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Так как точка пресечения медиан делит каждую медиану в отношении 2/1, следовательно, центр тяжести площади треугольника лежит на одной из его медиан на расстоянии 2/3 этой медианы от вершины треугольника. Если обозначим координаты вершин данного треугольника через (х 1 , у 1) (х 2 ,у 2) (х 3 ,у 3), а координаты центра тяжести х С и у С, то координаты центра тяжести будут равны,

2. Центр тяжести площади многоугольника . Чтобы найти центр тяжести площади какого-нибудь многоугольника А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 (рис.9.9), координаты вершин которого известны, разобьем данный многоугольник диагоналями на три треугольника А 1 А 2 А 3 , А 1 А 3 А 4 и А 1 А 4 А 5 . Площади треугольников обозначим соответственно S 1 , S 2 и S 3 , а их центры тяжести через С 1 (х С1 , у С1), С 2 (х С2 ,у С2) и С 3 (х С3 ,у С3).

Зная координаты вершин нетрудно вычислить площадь треугольников и координаты центров тяжести:

Аналогично получают координаты у.

Подставляя в формулу центра тяжести однородной плоской фигуры, получим: и

3. Центр тяжести дуги окружности . Найти центр тяжести дуги АВ окружности радиуса R с центром в точке О рис.9.9.

Центр тяжести С лежит на оси симметрии дуги АВ, т.е. на радиусе перпендикулярном к хорде АВ. Найти расстояние ОС. Вращая дугу АВ вокруг оси параллельной хорде АВ, получим поверхность АВВ 1 А 1 , представляющую собой часть поверхности шара и называемую шаровым поясом. Площадь этой поверхности равна. На основании первой теоремы Гюльдена. Откуда

Если обозначим половину центрального угла дуги АВ, измеряемого в радианах, через α, то и, следовательно,

4. Центр тяжести кругового сектора . Необходимо найти положение центра тяжести кругового сектора ОАВ радиуса R (рис.9.10). Обозначим половину центрального угла этого сектора через α. Искомый центр тяжести С лежит на оси симметрии данного сектора, т.е. на биссектрисе угла АОВ. Надо найти расстояние ОС. Разделим дугу АВ на n малых равных частей и точки деления соединим с центром О.

Тогда данный сектор разделится на n равных секторов. Рассмотрим сектор Оав. Приближенно его можно принять за треугольник. Следовательно, его центр тяжести лежит на радиусе делящим угол аОв пополам, на расстоянии 2/3R от точки О. В этих центрах приложены веса р i элементарных секторов.

Следовательно, центр тяжести С сектора АОВ совпадает с центром тяжести системы параллельных сил, приложенных вдоль дуги А 1 В 1 , т.е задача сводится к нахождению центра тяжести однородной дуги А 1 В 1 , решенной в предыдущем примере. Поэтому

5. Центр тяжести призмы . Чтобы найти центр тяжести однородной призмы с основанием А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 (рис.9.11), разобьем всю призму на большое число весьма тонких пластинок плоскостями параллельными основанию, проведенных на равных малых расстояниях друг от друга.

Эти пластинки можно считать плоскими многоугольниками. Центры тяжести этих многоугольников лежат на одной прямой С 1 С 2 , соединяющей центры тяжести нижнего и верхнего оснований призмы. Следовательно, искомый центр тяжести совпадает с центром системы параллельных сил р i , равных между собой и приложенных в точках, находящихся на прямой С 1 С 2 . Поэтому центр тяжести однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести нижнего и верхнего оснований этой призмы.

6. Центр тяжести пирамиды. Рассмотрим однородный тетраэдр, т.е. однородную треугольную пирамиду А 1 А 2 А 3 А 4 (рис.9.12). Плоскостями параллельными основанию, разобьем пирамиду на множество тонких треугольных пластинок, которые можно считать плоскими треугольниками.

Центры тяжести этих подобных треугольников лежат на одной прямой соединяющей вершину А 4 пирамиды с центром тяжести ее основания (точкой М пересечения медиан треугольника А 1 А 2 А 3 . Следовательно, на этой прямой лежит центр тяжести данной пирамиды. Аналогично разбивая данную пирамиду плоскостями параллельными грани А 2 А 3 А 4 , получим, что ее центр тяжести лежит на прямой А 1 К, причем К – центр тяжести треугольника А 2 А 3 А 4 , т.е. точка пересечения его медиан, а потому искомый центр тяжести пирамиды находится в точке пересечения прямых А 4 М и А 1 К. Найдем расстояние МС. По свойству медиан треугольника имеем:

и. Так как МК‖А 1 А 4 и МК=1/3А 1 А 4. Из подобия треугольников следует, что или 3МС=СА 4 . Но МС+СА 4 =МА 4 , поэтому;4МС=МА 4 , следовательно, МС=1/4МА 4 .

Центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющим вершину пирамиды с центром тяжести ее основания, расстоянии ¼ этого отрезка от центра тяжести основания пирамиды.

Рассматривая конус как предел вписанных в него пирамид, на основании предыдущего результата можно сделать вывод, что центр тяжести однородного конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести его основания, на расстоянии ¾ этого отрезка от вершины конуса.

6.1. Общие сведения

Центр параллельных сил
Рассмотрим две параллельные, направленные в одну сторону силы , и , приложенные к телу в точках А 1 и А 2 (рис.6.1). Эта система сил имеет равнодействующую , линия действия которой проходит через некоторую точку С . Положение точки С можно найти с помощью теоремы Вариньона:

Если повернуть силы и около точек А 1 и А 2 в одну сторону и на один и тот же угол, то получим новую систему параллельных сал, имеющих те же модули. При этом их равнодействующая будет также проходить через точку С . Такая точка называется центром параллельных сил.
Рассмотрим систему параллельных и одинаково направленных сил , приложенных к твердому телу в точках . Эта система имеет равнодействующую .
Если каждую силу системы повернуть около точек их приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол, то получатся новые системы одинаково направленных параллельных сил с теми же модулями и точками приложения. Равнодействующая таких систем будет иметь тот же модуль R , но всякий раз другое направление. Сложив силы F 1 и F 2 найдем что их равнодействующая R 1 , которая всегда будет проходить через точку С 1 , положение которой определяется равенством . Сложив далее R 1 и F 3 , найдем их равнодействующую, которая всегда будет проходить через точку С 2 , лежащую на прямой А 3 С 2 . Доведя процесс сложения сил до конца придем к выводу, что равнодействующая всех сил действительно всегда будет проходить через одну и ту же точку С , положение которой по отношению к точкам будет неизменным.
Точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил при любых поворотах этих сил около точек их приложения в одну и ту же сторону на один и тот же угол называется центром параллельных сил (рис. 6.2).

Рис.6.2

Определим координаты центра параллельных сил. Поскольку положение точки С по отношению к телу является неизменным, то ее координаты от выбора системы координат не зависят. Повернем все силы около их приложения так, чтобы они стали параллельны оси Оу и применим к повернутым силам теорему Вариньона. Так как R" является равнодействующей этих сил, то, согласно теореме Вариньона, имеем , т.к. , , получим

Отсюда находим координату центра параллельных сил zc :

Для определения координаты xc составим выражение момента сил относительно оси Oz .

Для определения координаты yc повернем все силы, чтобы они стали параллельны оси Oz .

Положение центра параллельных сил относительно начала координат (рис. 6.2) можно определить его радиусом-вектором:

6.2. Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.
Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.
Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.
Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

где Р - вес всего тела; pk - вес частиц тела; xk , yk , zk - координаты частиц тела.
Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P=Vγ , pk =vk γ , где γ - вес единицы объёма, V - объем тела. Подставляя выражения P , pk в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель γ , получим:

Точка С , координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема .
Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:

где S - площадь всей пластины; sk - площадь её части; xk , yk - координаты центра тяжести частей пластины.
Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади .
Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х :

Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:

Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:

где L - длина линии; lk - длина ее частей; xk , yk , zk - координата центра тяжести частей линии.

6.3. Способы определения координат центров тяжести тел

Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.
1. Симметрия . Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.
2. Разбиение . Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).

Пример . Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке (рис. 6.3). Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.

Рис.6.3

Ответ: x c =17.0см; y c =18.0см.

3. Дополнение . Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.

Пример . Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R (рис. 6.4).

Рис.6.4

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза , площадь выреза . Площадь пластины с вырезом ; .
Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1 x , следовательно, yc =0.

4. Интегрирование . Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы , для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид: .
Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

Формулы для определения координат центра тяжести площади:

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.

Пример . Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2α (рис. 6.5).

Рис. 6.5

Дуга окружности симметрична оси Ох , следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох , yс = 0.
Согласно формуле для центра тяжести линии:

6. Экспериментальный способ . Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.
Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля (рис. 6.6).

Рис.6.6

Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.

6.4. Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур

Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

Медиана треугольника есть диаметр, делящий пополам хорды, параллельные основанию, поэтому на ней лежит центр тяжести (п° 217) площади треугольника. Следовательно, три медианы треугольника, пересекаясь, определяют центр тяжести площади треугольника.

Элементарные соображения показывают, что медианы треугольника пересекаются в точке, отстоящей на две трети длины каждой из них от соответствующей вершины. Поэтому центр тяжести площади треугольника лежит на любой его медиане на расстоянии двух третей ее длины от вершины.

219. Четырехугольник.

Центр тяжести площади четырехугольника определяется пересечением двух прямых, которые мы получаем, применяя распределительное свойство центров тяжести (п° 213).

Сначала делим четырехугольник диагональю на два треугольника. Центр тяжести четырехугольника лежит на прямой, соединяющей центры тяжести этих треугольников. Эта прямая и есть первая из двух искомых прямых.

Вторую прямую получим таким же способом, разбивая четырехугольник на два треугольника (отличных от предыдущих) посредством другой диагонали.

220. Многоугольник.

Мы знаем способы нахождения центров тяжести площади треугольника и четырехугольника. Чтобы определить центр тяжести площади многоугольника с произвольным числом сторон, предположим, что мы умеем находить центр тяжести площади многоугольника с меньшим числом сторон.

Тогда можно поступить так же, как в случае четырехугольника. Площадь данного многоугольника делят на две части двумя разными способами проведением диагоналей. В каждом из двух случаев соединяют прямой центры тяжести отдельных частей. Эти две прямые пересекаются в искомом центре тяжести.

221. Дуга окружности.

Пусть требуется определить центр тяжести дуги окружности АВ длины s. Отнесем окружность к двум взаимно перпендикулярным диаметрам ОХ и OY, из которых первый проходит через середину С дуги АВ. Центр тяжести лежит на оси ОХ, являющейся осью симметрии. Достаточно поэтому определить 5. Для этого имеем формулу:

Пусть будут: а - радиус окружности, с - длина хорды АВ, - угол между осью ОХ и радиусом, проведенным к элементу значения , соответствующие концам дуги АВ. Имеем:

Тогда, принимая В за переменную интегрирования и выполняя интегрирование вдоль дуги АВ, получим:

Следовательно, центр тяжести дуги окружности лежит на радиусе, проведенном через середину дуги, в точке, расстояние которой от центра окружности есть четвертая пропорциональная длины дуги, радиуса и хорды.

222. Круговой сектор.

Сектор, заключенный между дугой окружности и двумя радиусами ОА и ОВ, может быть разложен промежуточными радиусами на бесконечно малые равные между собою секторы. Эти элементарные секторы можно рассматривать как бесконечно узкие треугольники; центр тяжести каждого из них, по предыдущему, лежит на радиусе, проведенном через середину элементарной дуги этого сектора, на расстоянии двух третей длины радиуса от центра окружности. Равные между собою массы всех элементарных треугольников, сосредоточенные в их центрах тяжести, образуют однородную дугу окружности, радиус которой равен двум третям радиуса дуги сектора. Рассматриваемый случая приводится, таким образом, к отысканию центра тяжести этой однородной дуги, т. е. к задаче, решенной в предыдущем п°.

223. Тетраэдр.

Определим центр тяжести объема тетраэдра. Плоскость, проходящая через одно из ребер и через середину противоположного ребра, есть диаметральная плоскость, которая делит пополам хорды, параллельные этому последнему ребру: она содержит поэтому центр тяжести объема тетраэдра. Следовательно, шесть плоскостей, тетраэдра, из которых каждая проходит через одно из ребер и через середину противоположного ребра, пересекаются в одной точке, представляющей собой центр тяжести объема тетраэдра.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (фиг. 37); соединим вершину А с центром тяжести I основания BCD; прямая AI есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих

через ребра АВ и поэтому она содержит искомый центр тяжести. Точка находится на расстоянии двух третей медианы ВН от вершины В. Точно так же возьмем на медиане АН точку К на расстоянии двух третей ее длины от вершины . Прямая В К пересечет прямую А в центре тяжести тетраэдра. Проведем из подобия треугольников АВН и ЮН видно, что IK есть третья часть АВ) далее, из подобия треугольников и ВГА заключаем, что есть третья часть .

Следовательно, центр тяжести объема тетраэдра лежит на отрезке, соединяющем любую вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.

Заметим еще, что прямая, соединяющая середины Я и L двух противоположных ребер (фиг. 38) есть пересечение диаметральных плоскостей, проходящих через эти ребра, она также проходит через центр тяжести тетраэдра. Таким образом, три прямые, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в его центре тяжести.

Пусть Н и - середины одной пары противоположных ребер (фиг. 38) и М, N - середины двух других противоположных ребер. Фигура HNLM есть параллелограм, стороны которого соответственно параллельны остальным

двум ребрам. Прямые HL и MN, соединяющие середины двух противоположных ребер, суть диагонали этого параллелограма, а значит, они в точке пересечения делятся пополам. Таким образом, центр тяжести тетраэдра лежит в середине отрезка, соединяющего середины двух противоположных ребер тетраэдра.

224. Пирамида с многоугольным основанием.

Центр тяжести пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину пирамиды с центром тяжести основания на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины.

Чтобы доказать эту теорему, разложим пирамиду на тетраэдры плоскостями, проведенными через вершину пирамиды и через диагонали основания ABCD (например BD на фиг. 39).

Проведем плоскость пересекающую ребра на расстоянии трех четвертей их длины от вершины. Эта плоскость содержит центры тяжести тетраэдров, а следовательно, и пирамиды. Массы тетраэдров, которые мы предполагаем сосредоточенными в их центрах тяжести, пропорциональны их объемам, следовательно и площадям из оснований (фиг. 39) или также площадям треугольников bad, bed,..., подобных предыдущим и расположенным в секущей плоскости abcd... Таким образом, искомый центр тяжести совпадает с центром тяжести многоугольника abcd. Последний же лежит на прямой, соединяющей вершину S пирамиды с центром тяжести (подобно расположенным) многоугольника основания.

225. Призма. Цилиндр. Конус.

На основании симметрии, центры тяжести призмы и цилиндра лежат на середине отрезка, соединяющего центры тяжести оснований.

Рассматривая конус, как предел вписанной в него пирамиды с той же вершиной, убеждаемся, что центр тяжести конуса лежит на отрезке, соединяющем вершину конуса с центром тяжести основания, на расстоянии трех четвертей длины этого отрезка от вершины. Можно также сказать, что центр тяжести конуса совпадает с центром тяжести сечения конуса плоскостью, параллельной основанию и проведенной на расстоянии одной четверти высоты конуса от основания.

Лабораторная работа

“ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ЗВЕНЬЕВ

МЕХАНИЗМОВ МЕТОДОМ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА”

1. Цель работы

Ознакомление с определением моментов инерции звеньев механизмов с помощью метода физического маятника.

2. Теоретическая часть

Физическим маятником называется твердое тело произвольной формы, подвешенное на горизонтальной неподвижной оси. Таким физическим маятником может быть, например, шатун 1 , установленный проушиной на ребро неподвижной призмы2 (рис. 1).

Рис. 1. Физический маятник

Если шатун отклонить от вертикального положения и затем отпустить, то он начнет совершать колебания в плоскости, перпендикулярной ребру призмы, вокруг точки . Между периодом колебаний и моментом инерции шатуна относительно его оси под действием силы тяжести существует определенная зависимость:

, (1)

где
момент инерции шатуна относительно центра тяжести,
;
сила тяжести шатуна,
;
расстояние от центра тяжести шатуна до оси подвеса,
;
период колебаний,;

, (2)

где
момент инерции шатуна относительно оси подвеса,
.

Установлено, что наименьшая ошибка при определении моментов инерции звеньев методом физического маятника получается при амплитуде колебания до . Кроме того, этот метод можно применять для звеньев, которые удобно подвешиваются на ребро трехгранной призмы (шатуны, кривошипы и другие рычажные звенья, имеющие проушины).

Вычисление ошибки при определении момента инерции можно выполнить, если принять в формуле (1)

и
.

. (3)

. (4)

. (5)

. (6)

Сначала по формуле (6) определяются относительные ошибки и, затем по формулам (5) – относительные ошибки
и
и, наконец, по формулам (4) подсчитываются относительные и абсолютные ошибки величины.

При определении момента инерции необходимо определить также силу тяжести звена и положение его центра тяжести. Сила тяжести звена определяется взвешиванием, положение центра тяжести – в зависимости от величины и формы звена – одним из изложенных ниже способов.

2.1. Определение центра тяжести небольших

Звено 1 кладут на ребро трехгранной призмы таким образом, чтобы оно находилось в равновесии (см. рис. 2). На звене отмечают точки «» и «», лежащие против ребра призмы. Затем эти точки соединяют прямой линией. Пересечение этой линии с осью симметрии
определит положение центра тяжести.

Рис. 2. Определение центра тяжести звеньев, имеющих ось симметрии

Расстояние «» от центра тяжести до точки подвеса определяют с помощью масштабной линейки.

2.2. Определение центра тяжести крупных

звеньев, имеющих ось симметрии

Звено 1 (см. рис. 3) подвешивают на нити2 , привязанной к его концам. В точке подвеса прикрепляют отвес3 . Точка пересечения нити отвеса с осью симметрии звена
и определит центр тяжести звена.

2.3. Определение центра тяжести звеньев,

не имеющих оси симметрии

Определение положения центра тяжести производится при помощи последовательного подвешивания звена на двух точках (рис. 4). При каждом подвешивании с помощью отвеса отмечают линии
и
. Точкапересечения линий
и
будет искомым центром тяжести.

3. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ДЛЯ РАБОТЫ

1) приборы ТММ25 и ТММ25а; 2) секундомер однострелочный типа СМ-60; 3) металлическая масштабная линейка; 4) весы; 5) шнур с отвесом; 6) звено (шатун, кривошип, рычаг), для которого определяется момент инерции.

4. ОПИСАНИЕ ПРИБОРОВ

Основной частью прибора ТММ25 (рис. 5) является закаленная и отшлифованная стальная призма 1 , закрепленная на стойке2 таким образом, чтобы рабочее ребро было обращено вверх. Стойка2 установлена на штативе3 , снабженном двумя установочными винтами4 и круглым уровнем6 для приведения рабочего ребра призмы в горизонтальное положение. Под призмой на стойке2 закреплена клиновидная планка5 , которая служит указателем максимально допустимых амплитуд качания звена.

Прибор ТММ25а (см. рис. 6) состоит из кронштейна 2 , наглухо закрепленного на стене анкерными болтами3 . Призма1 заделана в кронштейне2 .

Понятие центра тяжести возникло уже в древности; большой вклад в разработку теории центров тяжести внес Архимед. Несмотря на то, что понятие центра тяжести сейчас в большей мере изучается на уроках физики, нежели математики, оно играет большую роль и в геометрии. В частности, уже Архимеду понятие центра тяжести облегчило нахождение площадей некоторых фигур (например, сегмента параболы), а также объемов различных пространственных тел (в частности, шара).

В трактате «О равновесии плоских тел, или о центрах тяжести плоских фигур» Архимед излагает теорию центров тяжести аксиоматически, подобно тому, как излагает геометрию Евклид в книге «Начала». Вначале дается некоторое количество «допущений», то есть аксиом.

Здесь под «равными» опять-таки подразумеваются равновеликие, в данном случае – имеющие одинаковый вес. Смысл предложения в том, что если некие фигуры, будучи подвешенными, находятся в равновесии, то равновесие не нарушится при замене любой из них на равную по весу фигуру.

Рис. 2. Две фигуры, равные по весу третьей, равны

На основании этих предположений Архимед доказывает ряд следствий.

Доказательства в книге «О равновесии...» в основном осуществляются методом «от противного». Рассмотрим, например, следствие 1. Пусть данные тяжести, уравновешивающиеся на одной и той же длине, не равны. Тогда после отнятия чего-то от большей и прибавления к меньшей равновесие должно нарушиться (согласно аксиомам 2 и 3), а это противоречит тому, что равные тела на равных длинах уравновешиваются (согласно аксиоме 1).

Для того, чтобы это доказать, Архимед отдельно рассматривает два случая: данные веса соизмеримы либо несоизмеримы. В первом случае веса обоих тел являются кратными некоторому весу P 0: P 1 = n 1 P 0 , P 2 = n 2 P 0 . Архимед заменяет тело с весом P 1 на n 1 тел весом P 0 каждое, а тело с весом P 2 на n 2 тел весом P 0 каждое, причем располагает все эти (n 1 + n 2) тел на одной прямой так, чтобы центры тяжести соседних располагались на равном расстоянии друг от друга.

При этом, согласно предположению 6, такого рода замена не влияет на положение центра тяжести. А поскольку по следствию 3 у этих (n 1 + n 2) тел центр тяжести находится посередине, то и у исходных двух тел он находится там же. Отсюда и вытекает, что l 1 /l 2 = P 2 /P 1 .

В случае несоизмеримых весов Архимед снова ведет доказательство от противного: он предполагает, что тела с весами и подвешенные на отрезках, удовлетворяющих условию не уравновесятся. Значит, вес будет либо больше, либо меньше, чем необходимо для равновесия. Если он больше, то отнимем от некоторый вес так, чтобы оставшийся вес был, с одной стороны, все еще больше, чем нужно для равновесия, а с другой, чтобы он был соизмерим с Тогда, с одной стороны, (так как больше, чем нужно для равновесия), а с другой стороны, (потому что Получается противоречие, значит, не может быть больше, чем необходимо для равновесия. Если же меньше, чем необходимо для равновесия, значит, больше, и относительно можно провести все те же рассуждения. Итак, закон рычага доказан.

(Известно, что рычаг занимал большое место в деятельности Архимеда – не только механика-теоретика, но и конструктора реально использовавшихся механических приспособлений; часто цитируют слова Архимеда «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю»).

На основании уже изложенного понятно, как, например, найти центр тяжести трех равных точечных грузов, расположенных в вершинах треугольника ABC . А именно, центр тяжести грузов в точках A и B (рассматриваемых как единое тело) находится посредине отрезка AB , а центр тяжести всех трех вершин должен лежать на прямой, соединяющей вершину C с серединой стороны AB , то есть на медиане треугольника, проведенной из точки C , причем должен делить ее в отношении (PA + PB ) : PC = 2: 1 считая от вершины C . Поскольку те же самые рассуждения применимы и к другим двум медианам, получается, что все три медианы пересекаются в одной точке (а именно, в единственном центре тяжести) и делятся ею в отношении 2: 1 считая от вершины. Это утверждение обычно называется «теоремой о медианах». Рис. 7. Теорема о медианах доказывается с помощью закона рычага С помощью понятия центра тяжести попробуйте доказать следующие теоремы для произвольного тетраэдра DABC (то есть треугольной пирамиды, составленной из 4 треугольников). Архимед в своем произведении ищет центры тяжести некоторых плоских фигур (предполагается, что они однородны по толщине и плотности). Довольно легко понять на основании симметрии, что центр тяжести параллелограмма находится в точке пересечения диагоналей. Менее очевидно, где находится центр тяжести треугольника. Оказывается, он тоже находится в точке пересечения медиан: эту точку поэтому называют центром тяжести треугольника (а не просто центром тяжести трех вершин треугольника). Достаточно доказать, что центр тяжести лежит на произвольной медиане треугольника (поскольку он, таким образом, лежит на всех трех, он совпадает с точкой их пересечения). Архимед проводит доказательство двумя способами; мы рассмотрим только один. Архимед, опять-таки, доказывает от противного: пусть центр тяжести треугольника ABC – некоторая точка G , не лежащая на медиане AD . Соединим эту точку с точками A , B и C . Проведем отрезки DE , DF и EF , где E – середина AB , а F – середина AC . Параллельно AG проведем EK и FL (K лежит на AG , L – на BG ). Пусть EF пересекается с AG в точке M , а KL с DG – в точке N . Рассмотрим треугольник BED . Поскольку он подобен треугольнику BAC , то в нем центр тяжести расположен подобным образом и, следовательно, совпадает с точкой K (по равенству углов в треугольниках BAG и BEK , они подобны). Аналогично, у треугольника DFC центр тяжести совпадает с точкой L . У фигуры, образованной из этих двух треугольников, центр тяжести лежит на середине отрезка KL (так как треугольники BED и DFC равны) и совпадает с точкой N (что также можно показать с помощью подобных треугольников). У параллелограмма LEDF центр тяжести – точка M . Значит, у всего треугольника ABC , состоящего из этого параллелограмма и треугольников BED и DFC центр тяжести принадлежит отрезку MN . Значит, точка G лежит на отрезке MN , что невозможно, если только G не лежит на медиане AD . Итак, центр тяжести треугольника действительно совпадает с точкой пересечения медиан.