Простое гармоническое движение. Значение гармонические движения в энциклопедии брокгауза и ефрона

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) - система , которая при выведении её из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F , пропорциональной смещению x :

где k - постоянный коэффициент.

Если F - единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором . Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), , торсионный маятник и акустические системы. Среди немеханических аналогов гармонического осциллятора можно выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Свободные колебания консервативного гармонического осциллятора

Уравнение и его решения

Пусть x - смещение материальной точки относительно её положения равновесия, а F - действующая на точку возвращающая сила любой природы вида

F = − k x {\displaystyle F=-kx} ,

где k = const. Тогда, используя второй закон Ньютона , можно записать ускорение как

a = − k m x {\displaystyle a=-{\frac {k}{m}}x} .

Обозначая ω 0 2 = k / m {\displaystyle {\omega _{0}}^{2}=k/m} и заменяя a на вторую производную от координаты по времени x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} , имеем

x ¨ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0} .

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Величину ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} называют циклической частотой . (Имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах за секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в герцах , надо разделить на 2 π {\displaystyle 2\pi } .)

Будем искать решение этого уравнения в виде

x (t) = A sin ⁡ (ω t + φ) {\displaystyle x(t)=A\sin \left(\omega t+\varphi \right)} .

Здесь A - амплитуда, ω - частота колебаний, φ - начальная фаза .

Подставляем в дифференциальное уравнение и получаем:

x ¨ (t) = − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) {\displaystyle {\ddot {x}}(t)=-A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi)} , − A ω 2 sin ⁡ (ω t + φ) + ω 0 2 A sin ⁡ (ω t + φ) = 0 {\displaystyle -A\omega ^{2}\sin(\omega t+\varphi)+\omega _{0}^{2}A\sin(\omega t+\varphi)=0} .

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое - это означает, что материальная точка покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t . Таким образом, остаётся условие для частоты колебаний:

− ω 2 + ω 0 2 = 0 , {\displaystyle -\omega ^{2}+\omega _{0}^{2}=0,} ω = ± ω 0 . {\displaystyle \omega =\pm \omega _{0}.}

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье , суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Примеры осцилляторов

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие;
возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Ниже представлено несколько примеров.

Горизонтальная система груз-пружина

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине и находится на горизонтальной поверхности. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил и он находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется и с её стороны будет действовать сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука :

F = − k x {\displaystyle F=-kx} ,

где k имеет вполне конкретный смысл - это коэффициент жёсткости пружины.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Если нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение является периодическим.

Вертикальная система груз-пружина

В случае вертикально подвешенного на пружине груза, наряду с силой упругости, действует сила тяжести, то есть суммарно сила составит

F = − k x − m g {\displaystyle F=-kx-mg} .

Если сделать замену переменной, чтобы оперировать не величиной x {\displaystyle x} , а величиной X = x + m g / k {\displaystyle X=x+mg/k} , то уравнение движения примет вид, идентичный случаю горизонтальной геометрии, только для переменной X {\displaystyle X} .

Колебания будут происходить с той же частотой ω 0 = k / m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}} . Однако, если в горизонтальном случае равновесию отвечало состояние недеформированной пружины, то в вертикальном варианте пружина в равновесии будет растянута. Зависимости частоты от величины ускорения свободного падения g {\displaystyle g} при этом нет; g {\displaystyle g} влияет лишь на сдвиг положения равновесия m g / k {\displaystyle mg/k} .

Измерения частоты (или периода) колебаний груза на пружине используются в устройствах для определения массы тела - так называемых массметрах , применяемых на космических станциях, когда весы не могут функционировать из-за невесомости.

Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерную проекцию универсального движения по окружности.

Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r , центром которой является начало координат плоскости x − y , то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω .

Груз как простой маятник

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ , даётся формулой

T = 2 π ℓ g . {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}

где g - ускорение свободного падения. Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от g , поэтому, при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

ℓ m g sin ⁡ θ = I α , {\displaystyle \ell mg\sin \theta =I\alpha ,}

где I - момент инерции ; в данном случае I = m ℓ 2 . Небольшие углы реализуются в условиях, когда амплитуда колебаний значительно меньше длины стержня.

ℓ m g θ = I α , {\displaystyle \ell mg\theta =I\alpha ,}

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ , а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Свободные колебания гармонического осциллятора с затуханием

Уравнение и его решения

При рассмотрении осциллятора с затуханием за основу берётся модель консервативного осциллятора, в которую добавляется сила вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и прямо пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

F = − k x − α v . {\displaystyle F=-kx-\alpha v.}

Используя второй закон Ньютона, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

x ¨ + 2 γ x ˙ + ω 0 2 x = 0. {\displaystyle {\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}

Здесь введено обозначение: 2 γ = α / m {\displaystyle 2\gamma =\alpha /m} . Коэффициент γ {\displaystyle \gamma } носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение распадается на три случая.

x (t) = A e − γ t s i n (ω f t + φ) , {\displaystyle x(t)=Ae^{-\gamma t}sin(\omega _{f}t+\varphi),}

где ω f = ω 0 2 − γ 2 {\displaystyle \omega _{f}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}}}} - частота свободных колебаний.

x (t) = (A + B t) e − γ t . {\displaystyle \ x(t)=(A+Bt)e^{-\gamma t}.} x (t) = A e − β 1 t + B e − β 2 t , {\displaystyle x(t)=Ae^{-\beta _{1}t}+Be^{-\beta _{2}t},}

где β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 . {\displaystyle \beta _{1,2}=\gamma \pm {\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}.}

Гармонические движения простые и составные. Представим себе, что по кругу радиуса а (на черт. 1 изображен круг, имеющий центр в О ) движется точка N с постоянной скоростью в сторону, указанную стрелкой, причем полный оборот по окружности она совершает в течение времени Т . Проекция M точки N на направление прямой X 1 OX будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

x = a sin ⁡ 2 π t T , {\displaystyle x=a\sin {\frac {2\pi t}{T}},}

x = a sin ⁡ (2 π t T − ϵ) , {\displaystyle x=a\sin \left({\frac {2\pi t}{T}}-\epsilon \right),}

где ε есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а - амплитуда и Т - период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t ; так, длина АР изображает время Т, а длина Ар - время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р , откладывают ординату рК , равную соответственному расстоянию ОМ . Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а 1 , а 2 , а 3 ,… суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε 1 , ε 2 , ε 3 ,… - их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

α 2 + β 2 , {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2},}

а тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:

α = a 1 cos ⁡ ϵ 1 + a 2 cos ⁡ ϵ 2 + … {\displaystyle \alpha =a_{1}\cos \epsilon _{1}+a_{2}\cos \epsilon _{2}+\dots } β = a 1 sin ⁡ ϵ 1 + a 2 sin ⁡ ϵ 2 + … {\displaystyle \beta =a_{1}\sin \epsilon _{1}+a_{2}\sin \epsilon _{2}+\dots }

Из соединения нескольких простых Г. движений различного периода по одной и той же прямой получаются сложные прямолинейные гармонические движения, а из соединения двух простых Г. движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным или наклонным одна к другой прямым, получаются криволинейные Г. движения. На черт. 3 графически представлено сложное прямолинейное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin ⁡ ω t + sin ⁡ 2 ω t , {\displaystyle x=\sin \omega t+\sin 2\omega t,}

а на черт. 4 - другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin ⁡ 2 ω t + sin ⁡ (3 ω t + 3 π 8) , {\displaystyle x=\sin 2\omega t+\sin \left(3\omega t+{\frac {3\pi }{8}}\right),}

где ω = 2π:T.

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу. Полную теорию Г. движений можно найти в «Treatise on natural philosophy by Thomson and Tait» (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение (см. т. 1 стр. 722). Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге «Математический сборник» говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а 1 делят длину bc в Г. отношении, если длины ас , аа 1 и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

a c a b = a c − a a 1 a a 1 − a b , {\displaystyle \mathrm {{\frac {ac}{ab}}={\frac {ac-aa_{1}}{aa_{1}-ab}}} ,}

a c a b = − a c − a a 1 a b − a a 1 , {\displaystyle \mathrm {{\frac {ac}{ab}}=-{\frac {ac-aa_{1}}{ab-aa_{1}}}} ,}

a b a c: a 1 b a 1 c = − 1 . {\displaystyle \mathrm {{\frac {ab}{ac}}:{\frac {a_{1}b}{a_{1}c}}=-1} .}

Гармоническому отношению между тремя длинами ас , аа 1 , ab можно придать еще следующий вид:

2 a a 1 = 1 a b + 1 a c , {\displaystyle \mathrm {{\frac {2}{aa_{1}}}={\frac {1}{ab}}+{\frac {1}{ac}}} ,}

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии; см. Chasles «Traité de géometrie supérieure».

Гармонические сферические функции. Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y, z , удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

d 2 V d x 2 + d 2 V d y 2 + d 2 V d z 2 = 0 . {\displaystyle \mathrm {{\frac {d^{2}V}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}V}{dz^{2}}}=0} .}

Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством - изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон, струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

T = 2 π : k . {\displaystyle \mathrm {T=2\pi:{\sqrt {k}}} .}

Ускорение же движения пропорционально двигающей силе и обратно пропорционально двигаемой массе. Этим и пользуются на практике: при настройке музыкальных инструментов изменяют натяжение струн; для изменения скорости хода карманных часов изменяют длину пружинки маятника и т. д.

Чертеж 1. Чертеж 2.

Проекция M точки N на направление прямой Х 1 ОХ будет тогда совершать вдоль по ней, вверх и вниз, колебательное движение, называемое простым гармоническим движением и выражаемое следующим уравнением:

x = a sin(2 π t/T) (I)

x = a sin(2 π t/T- ε ) (II)

где е есть фаза, или эпоха, гармонического колебания, а - амплитуда и Т - период, или продолжительность, двойного качания точки М.

На черт. 2 движение, выражаемое уравнением (I), изображено графически. От точки А по прямой At откладываются длины, пропорциональные временам t ; так, длина АР изображает время Т ,""" а длина Ар - время, в течение которого движущаяся по кругу точка перешла из С в N на черт. 1. Затем от каждой точки, такой как р , откладывают ординату рК, равную соответственному расстоянию ОМ . Построенная кривая будет синусоида; на черт. 2 изображена только часть ее, соответствующая одному полному периоду и представляющая одну волну кривой.

Два или несколько прямолинейных гармонических движений по одной и той же прямой, около того же центра, того же периода, но различных амплитуд и разных фаз, соединяются в одно простое гармоническое движение того же периода. Если а 1 , а 2 , а 3 , ... суть амплитуды составляющих гармонических движений, а ε 1 , ε 2 , ε 3 , ... - их фазы, то квадрат амплитуды составного простого гармонического движения будет равен:

a тангенс фазы этого движения равен отношению β к α, где α и β суть следующие суммы:

α = a 1 cos ε 1 + a 2 cos ε 2 +....

β = a 1 sin ε 1 + a 2 sin ε 2 +....

x = sin ω t + sin2 ω t ,

Чертеж 3

а на черт. 4 - другое сложное Г. движение, выражаемое уравнением:

x = sin2 ω t + sin(3 ω t + 3 π / 8), где ω = 2 π /T.

Черт. 4

При соединении двух простых Г. движений различных соизмеримых периодов движущаяся точка описывает кривые линии, называемые кривыми Лиссажу . Полную теорию Г. движений можно найти в "Treatise on natural philosophy by T homson and Tait" (Vol. I. Part I, kinematics).

Гармоническое отношение . Понятие о Г. отношении введено древними геометрами. Папп в своей книге "Математический сборник" говорит, что три числа находятся в Г. отношении, если отношение первого к третьему равно отношению разности первого без второго и третьего; такое отношение названо Г. потому, что оно встречалось в теории музыки древних.

Две точки a и а 1 делят длину bс в Г. отношении, если длины ас , аа 1 и ab находятся в Г. отношении, т. е.:

ac /ab = (ac - aa 1)/(aa 1 - ab ), или

ac /ab = -(ac - aa 1)/(ab - aa 1) (III)

ab /ac : a 1 b /a 1 c = - 1.

Гармоническому отношению между тремя длинами ас , аа 1 ,ab можно придать еще следующий вид:

2/aa 1 = 1/ab + 1/ac

что нетрудно получить из (III). Г. отношение играет важную роль в высшей геометрии ; см. Chasles "Trait é de géometrie supérieure".

Гармонические сферические функции . Под именем spherical harmonie functions английские физико-математики подразумевают однородные функции V от х, y , z , удовлетворяющие дифференциальному уравнению:

d 2 V /dx 2 + d 2 V /dy 2 + d 2 V /dz 2 = 0

См . Сферические функции.

Д. Б. Гармонические движения отдельной частицы происходят под влиянием силы, направленной к положению равновесия частицы и изменяющейся прямо пропорционально расстоянию ее от него. Подобного рода силы возникают при растяжении, сжатии, сгибании упругих тел, при отклонении гибкой натянутой струны из ее положения равновесия и во многих подобных случаях. Поэтому гармоническое движение встречается в природе очень часто: все звуковые колебания, каковы колебания камертонов, струн и т. п. представляют гармоническое движение. Качания маятника при малых размахах, сравнительно с длиной его, происходят по тем же законам. Вследствие пропорциональности движущей силы расстояниям тела от положения равновесия гармоническое движение обладает замечательным свойством - изохронностью колебаний, т. е. продолжительность периода движения одинакова и при больших и при малых амплитудах колебания. По этой причине одно и то же звучащее тело (камертон , струна и т. п.) издают всегда тон одной и той же высоты, хотя и различной силы (тихий или громкий) в зависимости от силы удара. Продолжительность периода гармонического колебания (Т) зависит исключительно от ускорения (k) на расстоянии единицы длины (1 см) от положения равновесия движущихся частиц, именно

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью , то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол (фиг. 21.2). Тогда . Известно, что ускорение и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны

Что можно сказать об ускорении? Чему равна -составляющая ускорения, ? Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

Иными словами, когда частица движется по окружности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: . Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой .

Фиг. 21.2. Частица, движущаяся по кругу с постоянной скоростью.

Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за -координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза. Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Фиг. 21.3. Демонстрация эквивалентности простого гармонического движения и равномерного движения по окружности.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще одни трюк - ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.