Это процесс, поведение которого не является детерминированным , и последующее состояние такой системы описывается как величинами, которые могут быть предсказаны, так и случайными. Однако, по М. Кацу и Э. Нельсону , любое развитие процесса во времени (неважно, детерминированное или вероятностное) при анализе в терминах вероятностей будет случайным процессом (иными словами, все процессы, имеющие развитие во времени, с точки зрения теории вероятностей, стохастические).
Стохастичность в математике
Использование термина стохастичность в математике относят к работам Владислава Борцкевича , который использовал его в значении выдвигать гипотезы , которое, в свою очередь, отсылает нас к древнегреческим философам, а также к работе Я. Бернулли Ars Conjectandi (лат. искусство загадывать) .
Область исследований случайных в математике , особенно в теории вероятностей , играет большую роль.
Использование методов Монте-Карло требует большого числа случайных величин, что, как следствие, привело к развитию
Определение
X t (⋅) : Ω → R , t ∈ T {\displaystyle X_{t}(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\quad t\in T} ,где T {\displaystyle T} произвольное множество , называется случайной функцией .
Терминология
Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».
Классификация
- Случайный процесс X (t) {\displaystyle X(t)} называется процессом дискретным во времени , если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t 1 , t 2 , … {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots } , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем , если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
- Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями , если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями , если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
- Случайный процесс называется стационарным , если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени t 1 , t 2 , … , t n {\displaystyle \;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}} , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным , если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным .
- Случайная функция называется стационарной в широком смысле , если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин .
- Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом .
- Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения , то и сама функция называется нормальной .
- Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими .
- Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями
, если для любого набора
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
{\displaystyle t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}}
, где
n
>
2
{\displaystyle n>2}
, а
t
1
<
t
2
<
…
<
t
n
{\displaystyle t_{1}
- Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим .
- Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы .
Траектория случайного процесса
Пусть дан случайный процесс { X t } t ∈ T {\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}} . Тогда для каждого фиксированного t ∈ T {\displaystyle t\in T} X t {\displaystyle X_{t}} - случайная величина, называемая сечением . Если фиксирован элементарный исход ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } , то X t: T → R {\displaystyle X_{t}\colon T\to \mathbb {R} } - детерминированная функция параметра t {\displaystyle t} . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции { X t } {\displaystyle \{X_{t}\}} .
Рассмотрим переменную, подчиняющуюся марковскому стохастическому процессу. Предположим, что ее текущее значение равно 10, а изменение в течение года описывается функцией 0(0, 1), где а) - нормальное распределение вероятностей с математическим ожиданием // и стандартным отклонением о. Какое распределение вероятностей описывает изменение этой переменной в течение двух лет?
Изменение переменной через два года описывается суммой двух нормальных распределений с нулевыми математическими ожиданиями и единичными стандартными отклонениями. Поскольку переменная является марковской, эти распределения не зависят друг от друга. Складывая два независимых нормальных распределения, мы получим нормальное распределение, математическое ожидание которого равно сумме математических ожиданий каждого из слагаемых, а дисперсия - сумме их дисперсий. Таким образом, математическое ожидание изменений рассматриваемой переменной на протяжении двух лет равно нулю, а дисперсия - 2,0. Следовательно, изменение значения переменной через два года является случайной величиной с распределением вероятностей ф(0, %/2).
Рассмотрим далее изменение переменной за шесть месяцев. Дисперсия изменений этой переменной в течение одного года равна сумме дисперсий этих изменений на протяжении первых и вторых шести месяцев. Предположим, что эти дисперсии одинаковы. Тогда дисперсия изменений переменной на протяжении шести месяцев равна 0,5, а стандартное отклонение - 1/0,5. Следовательно, распределение вероятностей изменения переменной на протяжении шести месяцев равно ф(0, \ДЩ)
Аналогичные рассуждения позволяют доказать, что изменение переменной на протяжении трех месяцев имеет распределение 0(0, ^/0,25). Вообще говоря, изменение переменной на протяжении временного периода, имеющего длину Т, описывается распределением вероятностей ф(0, \[Т) В частности, изменение переменной за очень короткий промежуток времени, имеющий длину АТ, описывается распределением вероятностей ф(0, л/ДТ).
Квадратные корни в этих выражениях могуг показаться странными. Они возникают изза того, что при анализе марковского процесса дисперсии изменений переменной в последовательные моменты времени складываются, а стандартные отклонения - нет. В нашем примере дисперсия изменений переменной в течение одного года равна 1,0, поэтому дисперсия изменений этой переменной в течение длух лет равна 2,0, а через три года3,0. В то же время стандартные отклоне
ния изменений переменных через два и три года равны \/2 и \/3 соответственно. Строго говоря, мы не должны говорить, что стандартное отклонение изменений переменной за один год равно 1,0 в год. Следует говорить, что оно равно “корню квадратному из единицы в год”. Это объясняет, почему величину неопределенности часто считают пропорциональной квадратному корню из времени.
Винеровские процессы
Процесс, которому подчиняется рассмотренная выше переменная, называется винеровским (Wiener process). Он представляет собой частный случай марковского стохастического процесса, когда математическое ожидание изменений переменной равно нулю, а их дисперсия равна 1,0. Этот процесс широко используется в физике для описания движения частицы, участвующей в большом количестве столкновений с молекулами (это явление называется броуновским движением (Brownian motion)).
Говоря формально, переменная z подчиняется винеровскому процессу, если она имеет следующие свойства.
СВОЙСТВО 1. Изменение Az на протяжении малого промежутка времени At удовлетворяет равенству
Az = ey/At, (12.1)
где е - случайная величина, подчиняющаяся стандартизованному нормальному распределению ф(0,1).
Свойство 2. Величины Az на двух малых промежутках времени At являются независимыми.
Из первого свойства следует, что величина Az имеет нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, стандартное отклонение равно VAt, а дисперсия равна At. Второе свойство означает, что величина 2 подчиняется марковскому процессу.
Рассмотрим увеличение переменной z на протяжении относительно долгого периода времени Т. Это изменение можно обозначить как z(T) - z(0). Его можно представить в виде суммы увеличения переменной г на протяжении N относительно малых промежутков времени, имеющих длину At. Здесь
Следовательно,
z(т)z(o) = J2?^t’ (12.2)
г=1
где?г,г = 1,2,...,ЛГслучайные величины, имеющие распределение вероятностей ф(0,1). Из второго свойства винеровского процесса следует, что величины?
?; являются независимыми друг от друга. Из выражения (12.2) следует, что случайная величина z(T) - z(0) имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно нулю, дисперсия равна NAt = Т, а стандартное отклонение - у/Т. Эти выводы согласуются с результатами, указанными выше. Пример 12.1
Предположим, что значение г случайной переменной, подчиняющейся винеровскому процессу, в первоначальный момент времени равно 25, а время измеряется годами. В конце первого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным 1,0. В конце пятого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным л/5, т.е. 2,236. Неопределенность значения переменной в определенный момент в будущем, измеренная его стандартным отклонением, возрастает как квадратный корень из длины прогнозируемого интервала. ?
В математическом анализе широко используется переход к пределу, когда величина малых изменений стремится к нулю. Например, при At -> 0 величина Ах = aAt превращается в величину dx = adt. При анализе стохастических процессов используются аналогичные обозначения. Например, при At -> 0 описанный выше процесс Az стремится к винеровскому процессу dz.
На рис. 12.1 показано, как изменяется траектория переменной z при At -> 0. Обратите внимание на то, что этот график является “зазубренным”. Это объясняется тем, что изменение переменной z за время At пропорционально величине v^Af, а когда величина At становится малой, число \/Аt намного больше, чем At. Благодаря этому, винеровский процесс обладает двумя интригующими свойствами.
1. Ожидаемая длина траектории, которую проходит переменная z в течение любого промежутка времени, является бесконечной.
2. Ожидаемое количество совпадений переменной z с любым конкретным значением на любом промежутке времени является бесконечным.
Обобщенный винеровский процесс
Скоростью дрейфа (drift rate), или коэффициентом сноса, стохастического процесса называется средняя величина изменения переменной величины за единицу времени, а дисперсией (variance rate), или коэффициентом диффузии - величина колебаний за единицу времени. Скорость дрейфа основного винеровского процесса dz, рассмотренного выше, равна нулю, а дисперсия равна 1,0. Нулевой дрейф означает, что ожидаемое значение переменной z в любой момент времени равно ее текущему значению. Единичная дисперсия процесса означает, что дисперсия изменения переменной z на интервале времени Т равна его длине.
Рис. 12.1. Изменение цены акции в примере
Обобщенный винеровский процесс (generalized Wiener process) для переменной х можно определить через величину dz следующим образом.
dx - adt + bdz, (12.3)
где а и b - константы.
Чтобы понять смысл уравнения (12.3), полезно рассмотреть два слагаемых в правой части по отдельности. Слагаемое a dt означает, что ожидаемая скорость дрейфа переменной х равна о единиц в единицу времени. Без второго члена уравнение (12.3) превращается в уравнение
dx = adt,
откуда следует, что
dx
Интегрируя это уравнение по времени, получаем
х = хо + а?,
где хо - значение переменной х в нулевой момент времени. Таким образом, за период времени Т переменная х увеличивается на величину ей. Член Ь dz можно рассматривать как шум, или изменчивость траектории, которую проходит переменная х. Величина этого шума в Ь раз больше значения винеровского процесса. Стандартное отклонение винеровского процесса равно 1,0. Отсюда следует, что стандартное отклонение величины Ь dz равно Ь. На небольших промежутках времени АЬ изменение Ах переменной х определяется уравнениями (12.1) и (12.3).
Ах = аАЬ + ЪЕУ/АЬ,
где е, как и прежде, - случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение. Итак, величина Ах имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно аАЬ, стандартное отклонение - 6л/Д7, а дисперсия - Ь2Д/. Аналогичными рассуждениями можно показать, что изменение переменной х в течение произвольного интервала времени Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием с.Т, стандартным отклонением Ьу/Т и дисперсией Ь2Т. Таким образом, ожидаемая скорость дрейфа обобщенного винеровского процесса (12.3) (т.е. среднее изменение дрейфа в единицу времени) равна а, а дисперсия (т.е. дисперсия переменной за единицу времени) - Ь2. Этот процесс изображен на рис. 12.2. Проиллюстрируем скачанное следующим примером.
Пример 12.2
Рассмотрим ситуацию, в которой доля активов компании, вложенных в краткосрочные денежные эквиваленты (cash position), измеренные тысячами долларов, подчиняется обобщенному винеровскому процессу со скоростью дрейфа, равной 20 тыс. долл. в год, и дисперсией, равной 900 тыс. долл. в год. В первый момент времени доля активов равна 50 тыс. долл. Через год эта доля активов будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 70 тыс. долл., и стандартным отклонением, равным л/900, т.е. 30 долл. Через шесть месяцев она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 60 тыс. долл., и стандартным отклонением, равным 30\ДЦ> = 21,21 долл. Неопределенность, связанная с долей активов, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности, измеренная с помощью стандартного отклонения увеличивается как корень квадратный из длины прогнозируемого интервала. Обратите внимание на то, что эта доля активов может стать отрицательной (когда компания делает займы). ?
Процесс Ито
Стохастическим процессом Ито (Ito process) называется обобщенный винеровский процесс, б котором параметры а и Ь являются функциями, зависящими от переменной х и времени t. Процесс Ито можно выразить следующей формулой.
dx = а(х, t)dt + b(x, t)d,z,?
И ожидаемая скорость дрейфа, и дисперсия этого процесса со временем изменяются. За небольшой промежуток времени от t до At переменная изменяется от
х до х + Ах, где
Ах = а{х, t) At + Ъ(х, t)e\fAt.
Это отношение содержит небольшую натяжку. Она связана с тем, что мы считаем дрейф и дисперсию переменной х постоянными величинами, которые на интервале времени от t до At равны а(х, t) и b(x, t)2 соответственно.
"Стохастический" – это слово, которое физики, математики и другие ученые используют для описания процессов, обладающих элементом случайности. Происхождение его древнегреческое. В переводе оно означает "умеющий угадывать".
Значение слова "стохастический"
"Стохастический" - это понятие, которое используется во множестве различных областей науки. Оно означает случайность, хаотичность, неопределенность чего-либо. В этике Аристотеля (его скульптурный портрет представлен выше) понятие "стохастический" – это определение, относящееся к способности угадывать. Очевидно, математики употребляли его на том основании, что элемент случайности появляется как раз при необходимости угадывать. Слово "стохастический" – это понятие, которое определено в "Новом международном словаре" как "предположительный".
Таким образом, можно заметить, что техническое значение данного понятия не точно соответствует его словарному (лексическому) значению. Некоторые авторы используют выражение "стохастический процесс" как синоним понятия "случайный процесс".
Стохастичность в математике
Употребление данного термина в математике в настоящее время широко распространено. К примеру, существует такое понятие в теории вероятности, как стохастический процесс. Его итог нельзя определить по изначальному состоянию данной системы.
Употребление в математике понятия "стохастичность" относят к трудам Владислава Борцкевича. Именно он использовал данный термин в значении "выдвигать гипотезы". В математике, в особенности в таком разделе этой науки, как теория вероятности, область случайных исследований играет большую роль. Существует, к примеру, такое понятие, как стохастическая матрица. Колонки или строки данной матрицы в сумме дают единицу.
Стохастическая математика (финансовая)
Данный раздел математики анализирует финансовые структуры, действующие в условиях неопределенности. Он призван находить самые рациональные методы управления финансовыми средствами и структурами, учитывая такие факторы, как стохастическая эволюция, риск, время и др.
В науке принято выделять следующие структуры и объекты, которые используются в финансовой математике в целом:
- фирмы (к примеру, компании);
- индивидуумы;
- посреднические структуры (пенсионные фонды, банки);
- финансовые рынки.
Основным объектом изучения финансовой математики стохастической является именно последний из них. Данный раздел базируется на таких дисциплинах, как статистика случайных процессов, теория случайных процессов и др.
В настоящее время даже людям, далеким от науки, хорошо известно по многочисленным новостям и публикациям в СМИ, что значения так называемых глобальных финансовых индексов (например, индекса Доу Джонса), цены акций меняются хаотически. Л. Башелье предпринял первую попытку описать с использованием математики эволюцию стоимости акций. Его стохастический метод опирается на теорию вероятностей. Диссертация Л. Башелье, где представлена эта попытка, была опубликована в 1900 году. Ученый доказал формулу, известную в настоящее время как формула справедливой стоимости опциона-колл. В ней отражается стохастическая вероятность.
Важные идеи, которые в дальнейшем привели к возникновению теории эффективного рынка, были изложены в труде М. Кендалла, изданном в 1953 году. В этой работе рассматривается вопрос динамики цен акций. Исследователь описывает ее с помощью стохастических процессов.
Стохастичность в физике
Благодаря физикам Э. Ферми, С. Уламу, Н. Метрополису и Д. Нейману большое распространение получил метод Монте-Карло. Его название произошло от казино, расположенного в одноименном городе такой страны, как Монако. Именно здесь занимал деньги для игры дядя Улама. Использование природы повторов и случайностей для изучения процессов является аналогичным происходящей в казино деятельности.
При применении данного метода моделирования сначала происходит поиск вероятностного аналога. До этого моделирование осуществлялось в противоположном направлении: оно использовалось для проверки результата детерминированной проблемы, полученной ранее. И хотя и до открытия метода Монте-Карло существовали подобные подходы, они не были популярными и общими.
Энрико Ферми в 1930 году применил стохастические приемы для расчета свойств нейтрона, в то время только что обнаруженного. Методы Монте-Карло в дальнейшем использовались при работе над манхэттенским проектом, хотя в то время были существенно ограничены возможности вычислительных машин. По этой причине они получили широкое распространение только после того, как появились компьютеры.
Стохастические сигналы
Регулярные и стохастические сигналы имеют разные формы колебаний. Если повторно измерить последние, мы получим колебания, имеющие новую форму, которая отлична от предыдущей, однако проявляет определенное сходство в существенных чертах. Пример стохастического сигнала – запись колебаний волн моря.
Почему же вообще необходимо вести речь об этих достаточно необычных сигналах? Дело в том, что при изучении автоматических систем они встречаются даже чаще, чем предсказуемые.
Стохастичность и искусственный интеллект
Стохастические программы в сфере искусственного интеллекта работают с применением вероятностных методов. В качестве примера можно привести такие алгоритмы, как стохастическая оптимизация или нейронные сети. Это же относится к имитации отжига и генетическим алгоритмам. Во всех этих случаях стохастичность может содержаться в проблеме как таковой или же в планировании чего-либо в условии неопределенности. Детерминированное окружение для агента моделирования является более простым, чем стохастическое.
Итак, как мы видим, интересующее нас понятие используется во многих областях науки. Мы перечислили и охарактеризовали лишь основные сферы его применения. Изучение всех этих процессов, согласитесь, очень важно и актуально. Именно поэтому интересующее нас понятие, вероятно, будет еще долго использоваться в науке.
Обнаружение радиолокационных сигналов неопределенно из-за того, что одновременно с ними присутствуют и случайные флуктуации, или "шумы". Если бы можно было предсказать точные значения шумовых напряжений или токов, их можно было бы вычесть из суммарного сигнала и после этого принять определенное решение либо о наличии, либо об отсутствии сигнала. Но такое предсказание невозможно, так как шумовые напряжения появляются вследствие хаотического теплового движения ионов - и электронов в элементах приемника и в пространстве, окружающем антенну. Лучшее, что можно сделать, это описать флуктуации напряжения статистически с помощью распределений вероятностей их значений и использовать эти статистические данные для проектирования приемника, в котором достигалось бы наибольшее возможное число успешных обнаружений при большом числе опытов. В настоящей главе дается статистическое описание шума, а в следующей главе вводятся различные критерии успешного и ошибочного обнаружения в статистических ситуациях, указывающие, какими соображениями следует руководствоваться при поисках оптимальной конструкции приемника.
Если бы напряжение в некоторой точке радиолокационного приемника, например на сетке первой усилительной лампы, было записано как функция времени, запись имела бы совершенно беспорядочный вид и казалось бы, что нет способа вычисления или предсказания значений этого флуктуирующего напряжения. Если бы одновременно были записаны напряжения в соответствующих точках каждого из набора одинаковых приемников, находящихся в одинаковых условиях,
они различались бы в деталях от приемника к приемнику. Однако некоторые грубые или средние свойства записей были бы почти одинаковы. Изучая большое число таких записей и определяя относительные частоты, с которыми рассматриваемые величины принимают различные значения, можно описать поведение флуктуирующих напряжений статистически. Такое описание производится на языке теории вероятностей, позволяющей делать логические заключения о свойствах флуктуирующих напряжений. Краткий обзор теории вероятностей дан в приложении Б. Для более полного ознакомления с ней читателю следует изучить один из учебников, указанных в литературе к приложению Б. В настоящей главе теория вероятностей будет использована для анализа шумовых флуктуаций.
Функция времени, подобная записи флуктуационного напряжения, упомянутой выше, называется временндй последовательностью, а набор временных последовательностей, подобный тому, который получается от большого числа приемников, находящихся в одинаковых условиях, известен как ансамбль. Случайная функция, значения которой описываются только при помощи системы распределений вероятностей, о чем более подробно будет говориться ниже, часто называется стохастическим процессом. Если измерения производятся непрерывно во времени, имеет место непрерывный стохастический процесс. Во многих случаях величины измеряются только в отдельные последовательные моменты времени. При этом получается дискретный стохастический процесс. Пример последнего - ежечасные или ежедневные наблюдения температуры на метеорологических станциях. Мы будем иметь дело в основном с непрерывными процессами, но многие представления могут быть применены в той же мере и к дискретным процессам. Каждый член ансамбля называется реализацией стохастического процесса.
Если член ансамбля временных последовательностей выбран случайно, вероятность, что его значение х в любой данный момент времени лежит в интервале между есть
где функция плотности вероятности переменной х. Под этим мы понимаем в применении к вышеприведенному
примеру следующее. Если напряжения измерены в одинаковых точках в большом числе идентичных приемников, число значений, лежащих в таком интервале, равно длине интервала, умноженной на достаточно малой длине интервала). Во многих случаях не будет зависеть от момента времени, в который производятся измерения. Функция плотности вероятности является основой статистического описания стохастического процесса, но сама по себе она недостаточна, так как ничего не говорит о том, как связано значение х, измеренное в один момент времени, со значениями, измеренными в другие моменты времени.
Обозначим значения временной последовательности измеренные в последовательные моменты времени через Функция плотности совместного распределения вероятностей
определяется утверждением, что вероятность выполнения неравенств
равна Для полного описания непрерывного стохастического процесса требуется задание функций распределения для всех возможных выборов моментов времени для всех положительных целых Все эти функции нормированы так, что выполняется соотношение
в соответствии с определением вероятности. Кроме того, они должны быть согласованы так, чтобы функцию распределения более низкого порядка можно было получить, интегрируя по
интервалу изменения "лишней" переменной. Например,
Любые переменных для которых выполняется равенство
называются статистически независимыми.
Функция плотности совместного распределения операционно определяется с помощью относительных частот осуществления различных комбинаций значений для и рассматриваемых моментов времени. Но, очевидно, определить полную систему функций распределения таким образом невозможно. Вместо этого для получения гипотетических распределений строится теория процессов птем применения законов физики к ситуациям, возникающим в таких областях науки, как статистическая механика или термодинамика. С помощью теории стохастических процессов вычисляются некоторые средние значения, доступные для наблюдения, и вычисленные значения сравниваются с найденными из опыта. Когда ситуация слишком сложна для такого анализа, как, например, в экономике и, вероятно, даже в метеорологии, для стохастического процесса предлагается простая статистическая "модель". Эта модель дает функцию распределения, содержащую несколько неизвестных параметров, значения которых оцениваются на основе доступных данных. Затем строятся логические заключения и, если возможно, производится сравнение с результатами дальнейших наблюдений. К счастью, существует большая теоретическая база, позволяющая рассматривать электрические шумовые процессы, с которыми приходится встречаться в задачах обнаружения сигналов. Некоторые физические основы будут изложены ниже, в разд. 3. Но сначала мы должны обсудить некоторые понятия, которые будут применяться при анализе стохастических процессов.
Пока радиолокационный приемник поддерживается при постоянной температуре и связан с неподвижной антенной,
на которую сигнал не действует, статистическое описание шума в приемнике не будет зависеть от выбора начала отсчета времени. Это значит, что плотность совместного распределения вероятностей зависит только от интервалов между измерениями, а не от самих моментов времени Такие стохастические процессы называют стационарными. Если не будет сделано других утверждений, будем считать, что изучаемые временные последовательности обладают этим свойством временной инвариантности или стационарности.
Длинная запись одиночной реализации стационарной временной последовательности для большинства моментов времени обладает одинаковыми свойствами. По-видимому, большое число отрезков, взятых из одного члена ансамбля, будет создавать ансамбль с такими же статистическими свойствами, как и у основного ансамбля. Если измеряемая переменная связана с механической системой, подобной газу, или электрической, подобной контуру, и если с течением времени система проходит через все состояния, совместимые с внешними условиями, созданными экспериментатором, сделанное выше предположение является обоснованным. В частности, средние, найденные по длинной выборке на одной реализации процесса, равны средним значениям по всем членам ансамбля в какой-либо момент времени. Стохастические процессы, обладающие этим свойством, называются эргодическими.
Например, среднее или "математическое ожидание" стационарной временнбйпоследовательности определяется равенством
где функция плотности распределения вероятностей одиночного наблюдения. Это среднее значение х не зависит от времени. С другой стороны, среднее по времени х можно определить формулой
Из-за условия стационарности это среднее по времени не зависит от момента времени в который начинается усреднение. Если, кроме того, стохастический процесс эргодический, То же самое справедливо для математического ожидания других функций аргумента х.
Легко можно представить себе процессы, не являющиеся эргодическими, например такие, где величина х постепенно перемещается в область, которую она потом не может покинуть, или если есть некоторое количество таких "ловящих" областей. Но в этой книге будет предполагаться, что все изучаемые флуктуационные процессы являются эргодическими. Справедливость такого предположения должна основываться на успехе теорий, в которых оно принято, так как, хотя это допущение и подтверждается интуицией, проверить его экспериментально невозможно. Допущение эргодичности существенно для любых задач, в которых статистические параметры приходится оценивать на основе одиночной экспериментальной реализации процесса.
