Возведение экспоненты в степень. Разложение в степенной ряд

Экспонента (число e) - иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Число e играет большую роль в дифференциальном и интегральном исчислениях и используется практически во всех научных сферах. Столь сухое математическое определение совершенно не раскрывает сути о физическом смысле экспоненты. Рассмотрим подробнее.

Смысл числа e

Число Пи представляет собой не просто иррациональное число, равное 3,1415, а одинаковое для всех случаев соотношение длины окружности к диаметру. Точно так же и число e имеет свой собственный смысл.

Экспонента - это базовое соотношение роста для всех растущих процессов. Любое число можно рассматривать как увеличенную единицу, любой квадрат - как масштабированный единичный квадрат, любой равносторонний треугольник - как увеличенный или уменьшенный правильный треугольник, ну а любой коэффициент роста можно представить в виде масштабированного коэффициента е.

Именно операции с числом e дадут вам возможность определить темпы роста в таких ситуациях, как прирост населения, начисление процентов по депозиту или объем полураспада радиоактивного вещества.

Дискретный рост

В качестве базового примера системы непрерывного удвоения можно привести размножение бактерий, которые удваиваются каждые сутки. Если удвоение происходит один раз, то математически мы получаем 2 в первой степени, то есть просто 2. Если удвоений x раз, то в итоге мы получаем 2 в степени x бактерий, денег или любого другого добра.

Однако система может изменяться не в 2 раза, а например на 20% или 120%. В этом случае мы можем представить удвоение не как двойку, а как 1+1 или 1+100%. В такой записи мы можем подставить любой коэффициент прироста и получить формулу роста как:

Рост = (1 + прирост) x ,

где x - это количество циклов прироста.

Благодаря этой формуле мы можем узнать, сколько бактерий мы получим из одной клетки через 30 дней. Однако бактерии делятся дискретно, то есть пока новая клетка не сформируется в течение суток, она не сможет производить новые организмы. Применяя эту формулу к деньгам, мы получим совсем другой результат.

Непрерывный рост

При начислении процентов на деньги происходит не дискретный, а непрерывный рост. Как только по депозиту начисляется прибыль в размере пары пенни, эти деньги начинают приносить уже свою прибыль. Нет нужды ждать, пока «родится» целый доллар, который начнет делиться по подобию бактерий. Достаточно сформироваться центу, который начнет генерировать свою микроприбыль.

Представим, что мы вложили $1 в бизнес, который обещает нам 100% прибыли через год. Это значит, что мы получим прирост:

Доход = (1 + 1) 1 = 2

Всего $2 - негусто. Однако если мы разобьем год на два полугодия, то мы получим по 50 центов за каждые полгода. Полученные центы уже могут самостоятельно генерировать прибыль, и тогда формула изменится.

Доход = (1 + 0,5) 2 = 2,25

Так как у нас теперь два периода удвоения, мы возвели прирост в квадрат и получили дополнительные 25 центов дохода. Если разбить нашу прибыль на 5 частей по 20 центов, то получится еще привлекательнее:

Доход = (1 + 0,2) 5 = 2,4883

Может быть, мы сможем разделить прибыль на бесконечно большое количество мелких частей и получим бесконечную прибыль? Увы, нет. Даже если мы разделим наш доллар на 100 000 частей, доход составит:

Доход= (1 + 0,00001) 100 000 = 2,71826

При бесконечном дроблении доллара прибыль будет увеличиваться на стотысячные знаки после запятой. Наши 2,71826 доллара прибыли будут стремиться к значению 2,718281828, что есть ничто иное как число Е.

И что все это значит

Экспонента - это наибольший возможный результат стопроцентного непрерывного роста за конкретный период времени. Да, изначально нам обещают 100% прибыли, то есть всего $2, но каждый цент приносит свои дивиденды и по итогам у нас оказывается ровно $2,71828 прибыли. Число е – это максимум, который мы можем получить при разбиении прибыли на суммы бесконечно малых величин.

Это означает, что если при потенциальной стопроцентной прибыли мы вложим в бизнес $1, то получим $2,718 чистой прибыли. Если $2, то мы получим 2е чистой прибыли, а если $100, то наш профит составит 100е. Таким образом, e - это предельная константа, которая ограничивает процессы роста точно так же, как скорость света ограничивает передвижение информации в пространстве. Число е – это максимально возможный результат, труднодостижимый на практике, поэтому в реальности многие процессы описываются с использованием частей экспоненты.

Использование экспоненты на практике

На первый взгляд рост изображается в виде прибавления 1%, однако, математически такая прибавка выражается как умножение на 1,01. Таким образом, при операциях с числом e мы используем степени или корни. Или натуральные логарифмы, если нам необходима обратная операция. Какой бы коэффициент прироста мы не взяли, он будет означать степень для числа е. К примеру, если мы знаем, что в течение 3 лет получим прибыль в размере 200%, то мы просто умножаем прирост (e 2) на 3 периода и получаем:

Рост = (е 3) 2 = e 6

Для лучшего понимания рассмотрим примеры.

Депозит в банке

Допустим, мы положили на депозит в банке $100 под годовую ставку в размере 8%. Выбранный банк предлагает нам полную капитализацию процентов, какую же прибыль мы получим через 5 лет? Так как банк обеспечивает нам непрерывный рост денег, через 5 лет на нашем счету уже будет:

Прибыль = 100 × е (0,08 × 5) = 149,1

Потрясающе, правда? К сожалению, реальные банки редко используют сложные проценты, а если и рассчитывают капитализацию, то по своим формулам, которые несколько отличаются от классической экспоненты.

Период полураспада

Представьте, что у вас есть 5 кг радиоактивного урана, который распадается со скоростью 100% в год. Сколько урана у вас останется через 2 года? По идее, весь уран должен распасться за первый же год, однако это не так. Через 6 месяцев у вас останется только 2,5 кг урана, который в свою очередь начнет распадаться со скоростью всего 2,5 кг в год. Еще через пару месяцев в вашем хранилище останется 1 кг урана, но и он будет распадаться с еще меньшей скоростью на уровне 1 кг в год. С течением времени вы теряете радиоактивное топливо, при этом снижается и скорость распада. Таким образом, через 2 года у вас останется:

Радиоактивный остаток = 5 × e −2 = 0,676

Заключение

Экспонента находит широкое применение в ситуациях, где что-либо непрерывно или дискретно растет. Вы можете использовать калькулятор возведения числа e в степень для подсчета результатов роста любых непрерывных процессов.

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2 x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%) x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост ) x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

y(x) = e x , производная которой равна самой функции.

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045...

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел :
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

График экспоненты, y = e x .

На графике представлена экспонента, е в степени х .
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

;
;
;

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y(x) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y(x) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
- ∞ < x + ∞ .
Ее множество значений:
0 < y < + ∞ .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Обратной для экспоненты является натуральный логарифм .
;
.

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера :
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

; ;
.

Выражения через тригонометрические функции

; ;
;
.

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Включает такую нужную для многих функцию, как калькулятор степеней. С его помощью выполнить возведение числа в степень проще простого, задайте выражение — получите результат. Калькулятор производит возведение в степень онлайн , как и любые другие функции, прямо на нашем сайте.

Как возвести число в степень в калькуляторе?

Возведение в степень — это действие умножения числа самого на себя n раз, где число x y — степень, x — основание степени, y=n — показатель степени. Чтобы возвести в степень на калькуляторе, используйте соответствующие кнопки на панели управления. Если вам нужна более подробная информация по работе с цифровой панелью калькулятора, перейдите на страницу .

Функция возведения в степень в калькуляторе представлена пятью кнопками: возведение в квадрат, возведение в куб, возведение в n степень произвольного числа, возведение в степень основания равного 10-ти и возведение в степень экспоненты.

Кнопки калькулятора, отвечающие за возведение в степень:

Возведение в квадрат и в куб

Первой степенью числа является само число. Любое число в нулевой степени равно 1. Возведение в квадрат — вторая степень, куб — третья. Квадрат числа всегда имеет положительное значение, за исключением квадрата комплексных чисел.

Эти кнопки калькулятора упрощают ввод операции: х 2 — возведение в квадрат, х 3 — в куб. Одним нажатием в поле ввода вставляется запись вида ^2 или ^3.

Пример возведение в квадрат и куб:

Возведение в n степень

Наш онлайн калькулятор возведение в степень обозначает обычной «двухэтажной» записью на дисплее, а вот в поле ввода выражения нужно, конечно, использовать циркумфлекс.

Пример возведение чисел в степень:

Вычисление степени числа 10

Нажатие этой кнопки вставляет в поле ввода запись вида: 10^(), т.е. основанием степени записывается число 10. Удобно применять, когда нужно написать возведение в какую-нибудь степень именно числа 10.

Пример, как найти степень числа 10:

Экспонента в степени

Нажав на кнопку, увидите в строке запись exp(). Чтобы посчитать число е в степени, нужно возвести число Эйлера в степень e x = exp(x). Кому интересно знать, чему равно число е: его значение 2.71828182845905.

Пример, как возвести е в степень:

Возведение в дробную степень

Допустим, нас интересует дробная степень числа x y1/y2 . Так как возведение в степень — действие, обратное к извлечению корня, расчёт сводится к нахождению корня степени y2 из числа x в степени y1. Если значение y2 чётное, то дробную степень можно вычислить только при положительном основании, так как корень отрицательного числа не существует и калькулятор в подобной ситуации выдаст вам ошибку!

При возведении в дробную степень не забывайте закрывать основание в скобки, иначе знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания!

Этот пример показывает, как возвести в дробную степень на калькуляторе:

Наш онлайн калькулятор позволяет возвести как в положительную, так и в отрицательную степень. При отрицательном значении показателя, основание должно принять вид (1/x), другими словами, числитель и знаменатель основания степени должны поменяться местами и только после этого можно начинать возведение. Калькулятор позволяет возвести число в отрицательную степень автоматически, опуская все промежуточные преобразования и выдавая сразу окончательный ответ.

При возведении в отрицательную степень всевозможных функций, в том числе тригонометрических, онлайн калькулятор автоматически учитывает их четность/нечетность по правилу знаков.

Этот пример показывает, как возвести в отрицательную степень на калькуляторе: