Думаю, что может. это сумма чисел 2 и 3. 2+3=5. 5 то же простое число. Оно делиться на себя и 1.

Как бы это не показалось странным, но два простых числа в сумме вполне могут дать еще одно простое число. Казалось бы при сложении двух нечетных чисел должно получиться четное и таким образом уже не нечетное, но кто сказал, что простое число обязательно нечетное? Не будем забывать, что к простым числам относится и число 2, которое делится только на себя и единицу. И тогда оказывается, что если между двумя соседними простыми числами разница 2, то прибавляя к меньшему из них простому числу другое простое число 2 мы получаем большее простое число этой пары. Примеры перед вами:

Есть и другие пары, которые несложно найти в таблице простых чисел по описанному способу.

Подобрать простые числа можно по таблице ниже. Зная определение, что называется простым числом, можно подобрать сумму простых чисел, которые дадут тоже простое число. То есть конечная цифра (простое число)будет делиться на себя и на цифру один. Например, два плюс три равно пять. Эти три цифры стоят первыми в таблице простых чисел.

Сумма двух простых чисел может быть простым числом только при одном условии: если одно слагаемое является простым числом большим двух, а другое равно, обязательно, цифре два.

Конечно, ответ на этот вопрос был бы отрицательным, если бы не вездесущая двойка, которая как оказывается, тоже является простым числом.А ведь она подпадает под правило простых чисел:делится на 1 и на само себя.И вот из-за не и ответ на вопрос становится положительным.Множество простых чисел и двойки дат тоже простое число.Иначе бы все остальные в сумме давали бы число чтное, что является (кроме 2) числами не простыми.О так с 2- получаем целый ряд тоже простых чисел.

Начиная с 2+3=5.

И как видно из приведнных в литературе таблиц простых чисел, такую сумму с помощью двойки и простого числа можно получить не всегда, а только идт подчинение некоторому закону.

Простым числом считается число, которое возможно разделить только на себя и на единицу. В поисках простых чисел сразу обращаем взгляд на нечетные числа, но не все из них являются простыми. Единственным простым четным числом является два.



Итак, используя таблицу простых чисел можно попробовать составить примеры:

2+17=19 и т.д.

Как мы видим все простые числа нечетные, а для получения в сумме нечетного числа слагаемые должны быть четное + нечетное. Получается, что для получения в сумме двух простых чисел простого числа надо прибавить простое число к 2.

Для начала нужно вспомнить, что простые числа это такие числа, которые могут делиться только на единицу и на саму себя без остатка. Если число имеет кроме этих двух делителей еще и другие делители, которые не оставляют остатка, то это уже не простое число. Цифра 2 тоже простое число. Сумма двух простых чисел конечно же может быть простым числом. Взять даже 2 + 3 будет 5 - простое число.

Перед тем, как на такой вопрос ответить, нужно подумать, а не сходу отвечать. Так как многие забывают о том, что есть одно чтное число, при это оно является простым. Это число 2. И благодаря ему ответ на вопрос автора: да!, такое вполне возможно, причм примеров такого довольно много. К примеру 2+3=5, 311+2=313.



К простым числам относятся те, которые делятся на себя и на единицу.



прилагаю таблицу с простыми числами до числа 997

все эти числа делятся только на два числа - на себя и на единицу, третьего делителя нет.

к примеру число 9 уже не простое, так как имеет еще делители помимо 1 и 9, это - 3

теперь находим сумму двух простых чисел, чтобы в итоге было тоже простое, с таблицей это сделать будет проще:

Из школьного курса математики мы знаем. что сумма двух простых чисел также может быть простым числом. Например 5+2=7 и т.п. Простым же называется то число, которое может делиться на само себя или же ни цифру один. То есть таких чисел довольно много и всоей сумме они также могут давать простое число.

Да, может. Если чтко знать, что именно представляет собой простое число, то это достаточно легко можно определить. Количество делителей простого числа строго ограничено - это только единица и само это число, т.е., чтобы ответить на этот вопрос, достаточно будет взглянуть на таблицу простых чисел - судя по всему, одним из слагаемых в данной сумме обязательно должно быть число 2. Пример: 41 + 2 = 43.

Для начала вспомним, что такое простое число - это такое число, которое можно поделить на такое же и на единицу. А теперь отвечаем на вопрос - да, может. Но только в одном случае, когда одно слагаемое -любое простое число, а другое слагаемое - 2.

Если учесть то, что простое число-которое можно поделить на само себя, на такое же и на 1.

То-да, может.Простой пример 2+3=5 или 2+5=7

и 5 и 7 делятся на самих себя, и на 1.

Все очень просто, если вспомнить школьные годы.

Еще со времен древних греков простые числа были очень привлекательны для математиков. Они постоянно ищут разные способы их нахождения, но самым эффективным способом «поимки» простых чисел, считается способ, найденный александрийским астрономом и математиком Эратосфеном. Этому способу уже около 2000 лет.

Какие числа являются простыми

Как же определить простое число? Многие числа делятся без остатка на другие числа. Число, на которое делится целое число, мы называем делителем.

В данном случае мы говорим о делении без остатка. Например, число 36 можно разделить на 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и на само себя, то есть на 36. Значит, 36 имеет 9 делителей. Число 23 делится только на себя и на 1, то есть это число имеет 2 делителя – это число является простым.

Числа, которые имеют только два делителя, называются простыми числами. То есть, число, которое делится без остатка только на себя и на единицу, называется простым.

Для математиков открытие закономерностей в ряду чисел, которые потом можно использовать для построения гипотез, является очень приятным событием. Но простые числа отказываются подчиняться хоть какой-нибудь закономерности. Но есть способ определения простых чисел. Этот способ найден Эратосфеном, он называется «решетом Эратосфена». Давайте рассмотрим вариант такого «решета», представленный в виде таблицы чисел до 48 и поймем, как она составлена.

В этой таблице все простые числа меньше 48 отмечены оранжевым цветом . Найдены они так:

• 1 – имеет единственный делитель и поэтому не является простым числом;
• 2 – наименьшее простое число и единственное четное, так как все остальные четные числа делятся на 2, то есть имеют не меньше 3 делителей, эти числа сведены в фиолетовую колонку ;
• 3 – простое число, имеет два делителя, все остальные числа, которые делятся на 3, исключаются – эти числа сведены в желтую колонку . Колонка, отмеченная и фиолетовым , и желтым , содержит числа делящиеся и на 2 и на 3;
• 5 – простое число, все числа, которые делятся на 5, исключаются – эти числа обведены зеленым овалом ;
• 7 – простое число, все числа, которые делятся на 7, обведены красным овалом – они не являются простыми;

Все числа не являющиеся простыми отмечены синим цветом . Далее эту таблицу можно составить самому по образу и подобию.

Определение 1. Простое число − это натуральное число больше единицы, которое делится только на себя и на 1.

Другими словами число является простым, если имеет только два различных натуральных делителя.

Определение 2. Любое натуральное число, которое кроме самого себя и единицы имеет и других делителей, называется составным числом.

Другими словами натуральные числа, не являющиеся простыми числами, называются составными. Из определения 1 следует, что составное число имеет больше двух натуральных делителей. Число 1 не является ни простым, ни составным т.к. имеет только один делитель 1 и, кроме этого многие теоремы относительно простых чисел не имеют места для единицы.

Из определений 1 и 2 следует, что каждое целое положительное число больше 1 является либо простым, либо составным числом.

Ниже представлена программа для отображения простых чисел до 5000. Заполните ячейки, нажмите на кнопку "Создать" и подождите несколько секунд.

Таблица простых чисел

Утверждение 1. Если p - простое число и a любое целое число, то либо a делится на p , либо p и a взаимно простые числа.

Действительно. Если p простое число, то оно делится только на себя и на 1, если a не делится на p , то наибольший общий делитель a и p равен 1. Тогда p и a взаимно простые числа.

Утверждение 2. Если произведение нескольких чисел чисел a 1 , a 2 , a 3 , ... делится на простое число p , то по крайней мере одно из чисел a 1 , a 2 , a 3 , ... делится на p .

Действительно. Если бы ни одно из чисел не делилось на p , то числа a 1 , a 2 , a 3 , ... были бы взаимно простые числа по отношению p . Но из следствия 3 () следует, что их произведение a 1 , a 2 , a 3 , ... также взаимно простое по отношению к p , что противоречит условию утверждения. Следовательно по крайней мере один из чисел делится на p .

Теорема 1. Любое составное число всегда может быть представлено и притом единственным способом в виде произведения конечного числа простых чисел.

Доказательство. Пусть k составное число, и пусть a 1 один из его делителей отличное от 1 и самого себя. Если a 1 составное, то имеет кроме 1 и a 1 и другой делитель a 2 . Если a 2 число составное, то имеет кроме 1 и a 2 и другой делитель a 3 . Рассуждая таким образом и учитывая, что числа a 1 , a 2 , a 3 , ... убывают и этот ряд содержит конечное число членов, мы дойдем какого-то простого числа p 1 . Тогда k можно представить в виде

Допустим существует два разложения числа k :

Так как k=p 1 p 2 p 3 ... делится на простое число q 1 , то по крайней мере один из множителей, например p 1 делится на q 1 . Но p 1 простое число и делится только на 1 и на себя. Следовательно p 1 =q 1 (т.к. q 1 ≠1)

Тогда из (2) можно исключить p 1 и q 1:

Таким образом убеждаемся, что всякое простое число входящее множителем в первое разложение один или несколько раз, входит и во второе разложение минимум столько же раз и наоборот, всякое простое число, которое входит множителем во второе разложение один или несколько раз входит и в первое разложение минимум столько же раз. Следовательно любое простое число входит множителем в оба разложения одинаковое число раз и, таким образом, эти два разложения одинаковы.■

Разложение составного числа k можно записать в следующем виде

где p 1 , p 2 , ... различные простые числа, α, β, γ ... целые положительные числа.

Разложение (3) называется каноническим разложением числа.

Простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно. В одних частях ряда их больше, в других - меньше. Чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос, существует ли самое большое простое число? Древнегреческий математик Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много. Ниже мы представим это доказательство.

Теорема 2. Количество простых чисел бесконечно много.

Доказательство. Предположим, что существует конечное число простых чисел, и пусть наибольшее простое число равно p . Рассмотрим все числа больше p . По предположению утверждения эти числа должны быть составными и должны делится по крайней мере на один из простых чисел. Выберем число, являющиеся произведением всех этих простых чисел плюс 1:

Число z больше p так как 2p уже больше p . p не делится ни на одно из этих простых чисел, т.к. при делении на каждое из них дает остаток 1. Таким образом мы приходим к противоречию. Следовательно существует бесчисленное множество простых чисел.

Данная теорема является частным случаем более общей теоремы:

Теорема 3. Пусть задана арифметическая прогрессия

Тогда любое простое число, входящее в n , должно входить и в m , поэтому в n не могут входить другие простые множители, которые не входят в m и притом эти простые множители в n входят не более число раз, чем в m .

Справедливо и обратное. Если каждый простой множитель числа n входит по крайней мере столько же раз в число m , то m делится на n .

Утверждение 3. Пусть a 1 ,a 2 ,a 3 ,... различные простые числа входящие в m так, что

где i =0,1,...α , j =0,1,...,β , k=0,1,...,γ . Заметим, что α i принимает α +1 значений, β j принимает β +1 значений, γ k принимает γ +1 значений, ... .

Числа бывают разными: натуральными, естественными, рациональными, целыми и дробными, положительными и отрицательными, комплексными и простыми, нечетными и четными, действительными и др. Из данной статьи можно узнать, что такое простые числа.

Какие числа называют английским словом “симпл”?

Очень часто школьники на один из самых несложных на первый взгляд вопросов математики, о том что такое простое число, не знают, как ответить. Они часто путают простые числа с натуральными (то есть числа, которые используются людьми при счете предметов, при этом в некоторых источниках они начинаются с нуля, а в других - с единицы). Но это совершенно два разных понятия. Простые числа - это, натуральные, то есть целые и положительные числа, которые большее единицы и которые имеют всего лишь 2 натуральных делителя. При этом один из этих делителей - это данное число, а второй - единица. Например, три - это простое число, поскольку он не делится без остатка ни на какое другое число, кроме себя самого и единицы.

Составные числа

Противоположностью простых чисел являются составные. Они также являются натуральным, также больше единицы, но имеют не два, а большее количество делителей. Так, например, числа 4, 6, 8, 9 и т. д. являются натуральными, составными, но не простыми числами. Как видите - это в основном четные числа, но не все. А вот “двойка” - четное число и “первый номер” в ряду простых чисел.

Последовательность

Чтобы построить ряд простых чисел, необходимо совершить отбор из всех натуральных чисел с учетом их определения, то есть нужно действовать методом от противного. Необходимо рассмотреть каждое из натуральных положительных чисел на предмет того, имеет ли оно более двух делителей. Давайте постараемся построить ряд (последовательность), который составляют простые числа. Список начинается с двух, следующим идет три, поскольку оно делится только на себя и на единицу. Рассмотрим число четыре. Имеет ли оно делители, кроме четырех и единицы? Да, это число 2. Значит, четыре не является простым числом. Пять также является простым (оно, кроме 1 и 5, ни на какое другое число не делится), а вот шесть - делится. И вообще, если проследить за всеми четными числами, то можно заметить, что кроме “двух”, ни одно из них не является простым. Отсюда сделаем вывод, что четные числа, кроме двух, не являются простыми. Еще одно открытие: все числа, делящиеся на три, кроме самой тройки, будь то четные или нечетные, также не являются простыми (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 и т.д.). То же самое касается и чисел, которые делятся на пять и на семь. Все их множество также не является простым. Давайте подведем итоги. Итак, к простым однозначным числам относятся все нечетные числа, кроме единицы и девятки, а из четных - только “два”. Сами десятки (10, 20,... 40 и др.) не являются простыми. Двузначные, трехзначные и т. д. простые числа можно определить, исходя из вышеизложенных принципов: если они не имеют других делителей, кроме их самих и единицы.

Теории о свойствах простых чисел

Существует наука, которая изучает свойства целых чисел, в том числе и простых. Это раздел математики, которая называется высшей. Помимо свойств целых чисел, она также занимается алгебраическими, трансцендентными числами, а также функциями различного происхождения, связанными с арифметикой этих чисел. В этих исследованиях, помимо элементарных и алгебраических методов, также используются аналитические и геометрические. Конкретно изучением простых чисел занимается “Теория чисел”.

Простые числа — “строительные блоки” натуральных чисел

В арифметике есть теорема, которая называется основной. Согласно ей, любое натуральное число, кроме единицы, можно представить в виде произведения, множителями которого являются простые числа, причем порядок следования множителей единственен, этот означает, что и способ представления единственен. Он называется разложением натурального числа на простые множители. Есть и другое название этого процесса - факторизация чисел. Исходя из этого, простые числа можно назвать “строительным материалом”, "блоками" для построения натуральных чисел.

Поиск простых чисел. Тесты простоты

Множество ученых разных времен пытались найти какие-то принципы (системы) для нахождения списка простых чисел. Науке известны системы, которые называются решето Аткина, решето Сундартама, решето Эратосфена. Однако они не дают каких-то существенных результатов, и для нахождения простых чисел используется простая проверка. Также математиками были созданы алгоритмы. Их принято называть тестами простоты. Например, существует тест, разработанный Рабином и Миллером. Его используют криптографы. Также существует тест Каяла-Агравала- Саскены. Однако он, несмотря на достаточную точность, очень сложен в вычислении, что принижает его прикладное значение.

Имеет ли множество простых чисел предел?

О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).

Какое наибольшее простое число?

Все тот же Леонард Эйлер смог найти самое большое для своего времени простое число. Это 2 31 - 1 = 2147483647. Однако к 2013 году было вычислено другое наиболее точное самое большое в списке простых чисел - 2 57885161 - 1. Его называют числом Мерсенна. Оно содержит около 17 миллионов десятичных цифр. Как видите, число, найденное ученым из восемнадцатого века, в несколько раз меньше этого. Так и должно было быть, ведь Эйлер вел данный подсчет вручную, нашему же современнику наверняка помогала вычислительная машина. Более того, это число было получено на факультете математики в одном из американских факультетов. Числа, названные в честь этого ученого, проходят через тест простоты Люка-Лемера. Однако наука не желает останавливаться на достигнутом. Фонд Электронных рубежей, который был основан в 1990 году в Соединенных Штатах Америки (EFF), назначил за нахождение больших простых чисел денежную награду. И если до 2013 года приз полагался тем ученным, которые найдут их из числа 1 и 10 миллионов десятичных чисел, то сегодня это цифра достигла от 100 миллионов до 1 миллиарда. Размер призов составляет от 150 до 250 тысяч долларов США.

Названия специальных простых чисел

Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:

1. Мерссена.

4. Каллена.

6. Миллса и др.

Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:

1. Люка-Лемера.

2. Пепина.

3. Ризеля.

4. Биллхарта - Лемера - Селфриджа и др.

Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.

Красота чисел. Антипростые числа

• Научно-популярное

У числа 60 двенадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

Все знают об удивительных свойствах простых чисел, которые делятся только на самих себя и на единицу. Эти числа исключительно полезны. Относительно большие простые числа (примерно от 10 300) используются в криптографии с открытых ключом, в хеш-таблицах, для генерации псевдослучайных чисел и т.д. Кроме огромной пользы для человеческой цивилизации, эти особенные числа поразительно красивы:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199...

Например, у числа 12 сразу шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Это избыточное число, потому что

1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 (16 > 12)

Удобная двенадцатиричная система используется в нескольких денежных системах, в том числе в древнерусских княжествах (12 полушек = 1 алтын = 2 рязанки = 3 новгородки = 4 тверских деньги = 6 московок). Как видим, большое количество делителей является критически важным качеством в условиях, когда монеты из разных систем нужно свести к одному номиналу.

Большие избыточные числа полезны в других областях. К примеру, возьмём число 5040. Это в каком-то смысле уникальное число, вот первые из списка его делителей:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 56, 60, 63, 70, 72, 80, 84, 90, 105, 112, 120, 126, 140, 144, 168, 180, 210, 240, 252, 280, 315, 336, 360, 420, 504, 560, 630, 720, 840, 1008, 1260, 1680, 2520, 5040

5040 - идеальное число для урбанистики, политики, социологии и т.д. На это обратил внимание ещё афинский мыслитель Платон 2300 лет назад. В своём фундаментальном труде «Законы» Платон писал, что в идеальной аристократической республике должно быть 5040 граждан, потому что такое количество граждан можно разделить на любое количество равных групп до десяти, без исключения. Соответственно, в такой системе удобно планировать управленческую и представительскую иерархию.

Конечно, это идеализм и утопия, но использование числа 5040 в самом деле исключительно удобно. Если в городе 5040 жителей, то его удобно делить на равные районы, планировать определённое количество объектов обслуживания для равного количества граждан, выбирать представительные органы на голосовании.

Такие высокосоставные, крайне избыточные числа и называются «антипростыми». Если мы хотим дать чёткое определение, то можно сказать, что антипростое число - такое положительное целое число, у которого больше делителей, чем у любого целого числа меньше его.

По такому определению, самым маленьким антипростым числом кроме единицы будет 2 (два делителя), 4 (три делителя). Далее следуют:

6 (четыре делителя), 12 (шесть делителей), 24, 36, 48, 60 (количество минут в часе), 120, 180, 240, 360 (количество градусов в круге), 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, 10080, 15120, 20160, 25200, 27720, 45360, 50400

Именно эти числа удобно использовать в настольных играх с картами, фишками, деньгами и т.д. Например, они позволяют раздавать одинаковое количество карт, фишек, денег на разное количество игроков. По этой же причине их удобно использовать для составления классов школьников или студентов - например, чтобы разделить их на равное количество одинаковых групп для выполнения заданий. Для количества игроков в спортивной команде. Для количества команд в лиге. Для количество жителей в городе (о чём уже говорилось выше). Для административных единиц в городе, области, стране.

Как видно из примеров, многие из антипростых чисел уже де-факто используется в практических устройствах и системах счисления. Например, числа 60 и 360. Это было довольно предсказуемо, учитывая удобство наличия большого количества делителей.

О красоте антипростых чисел можно спорить. Если простые числа неоспоримо красивы, то антипростые числа, возможно, кому-то покажутся отвратительными. Но это поверхностное впечатление. Давайте посмотрим на них с другой стороны. Ведь фундаментом этих чисел являются простые числа. Именно из простых чисел, словно из строительных блоков, составлены составные числа, избыточные числа и венец творения - антипростые числа.

Основная теорема арифметики утверждает, что любое составное число можно представить как произведение нескольких простых множителей. Например,

30 = 2 × 3 × 5
550 = 2 × 5 2 × 11,

Так что в антипростых числах тоже есть своя особая красота.