Даны две коробки имеющие. Правильная четырехугольная призма

Правило сложения используется в том случае, если у нас есть два или более множеств, которые попарно не пересекаются, то есть не имеют общих элементов. И нам нужно найти сколько элементов содержится в объединении этих множеств. В этом случае мы складываем число элементов в каждом множестве. Простейший пример: если у нас есть две корзинки с фруктами: в одной 5 яблок, а в другой 7 груш. Если мы эти фрукты пересыпаем в одну корзинку (объединяем множества), тогда в новой корзинке окажется 5+7=12 фруктов.

Правило умножения

Правило умножения используется в том случае, если у нас есть два множества, и мы составляем всевозможные пары из элементов этих множеств. Например, если взять множество, состоящее из 5-ти яблок и множество, состоящее из 7-ми груш и составить всевозможные пары из этих фруктов, то мы получим всевозможных пар.

Действительно. Возьмем первое яблоко. Мы можем положить к нему любую из семи груш, то есть получаем 7 пар. Возьмем второе яблоко, и к нему мы также можем положить любую из 7-ми груш, получаем ещё 7 пар. И так далее. Всего получается пар.

Правило умножения легко понять, если попытаться ответить, например, на такой вопрос: "сколько существует двузначных чисел? "

Пусть двузначное чиcло имеет вид , где - число десятков, - число единиц. При этом цифра может принимать значения от 1 до 9 (цифра 0 не может стоять на первом месте, так как в этом случаем мы получим однозначное число), цифра может принимать значения от 0 до 9.

Пусть , и у нас есть 10 вариантов цифр, которые могут стоять на втором месте. Тогда мы имеем 10 двузначных чисел, содержащих 1 десяток.

Затем мы берем и так же получаем 10 двузначных чисел, у которых теперь уже 2 десятка.

Так как цифра может принимать 9 различных значений, то получаем двузначных чисел.

Зная, что на первом месте может стоять 9 различных цифр, а на втором - 10, мы получаем комбинаций этих цифр, то есть все возможные двузначные числа. Здесь важно понимать, что любая цифра, стоящая на первом месте, может сочетаться с любой цифрой, стоящей на втором месте.

В общем случае правило умножения звучит так:

Если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Это правило распространяется на любое число независимо выбираемых элементов.

Если мы хотим ответить на вопрос, сколько существует трехзначных чисел, мы заметим, что в трехзначном числе первая цифра может принимать 9 значений, вторая - 10, и третья - 10 значений. И мы получаем трехзначных чисел.

Формула включений-исключений

используется в том случае, если нам нужно найти число элементов в объединении двух множеств, в том случае, если эти множества пересекаются.

Пусть множество А содержит n элементов, множество В содержит m элементов, и пересечение этих множеств содержит k элементов. То есть k элементов содержатся и в множестве А, и в множестве В. Тогда объединение множеств содержит m+n-k элементов.

Действительно, при объединении двух множеств мы k элементов посчитали два раза, и теперь один раз мы должны их вычесть.

Число элементов в множестве обозначается общепринятым значком #. Тогда формула для подсчета числа элементов в объединении трех множеств имеет вид:

## # # # # # #

Рассмотрим примеры задач.

1. Сколько трехзначных чисел содержит хотя бы одну цифру 3?

Если вопрос задачи содержит слова "хотя бы", то в большинстве случаев сначала надо ответить на противоположное утверждение.

Найдем, сколько трехзначных чисел НЕ содержит цифру 3. В этом случае на первом, втором и третьем месте в записи числа может стоять любая цифра кроме 3. То есть первая цифра может принимать 8 значений, вторая - 9, и третья - 9 значений. Тогда мы получаем трехзначных чисел, которые НЕ содержит цифру 3. Следовательно, остальные числа содержат хотя бы одну цифру 3.

2. Сколько четырехзначных чисел, кратных 5.

Мы знаем, что число делится на 5, если оно оканчивается на 0 или 5. Следовательно, в четырехзначном числе последняя цифра может принимать только два значения: 0 и 5.
Первая цифра может принимать 9 значений, вторая - 10, и третья - 10 значений, четвертая - 2 значения.

Тогда мы получаем четырехзначных чисел, которые делятся на 5.

Перестановки

Воспользуемся правилом умножения чтобы ответить на вопрос, "сколькими способами можно построить 7 человек в шеренгу?" .

Человека, стоящего первым в шеренге можно выбрать семью способами, второго можно выбрать из оставшихся шести человек, то есть шестью способами. Третьего, соответственно, пятью. И так далее. Последнего можно выбрать единственным способом. Всего получаем способов построить 7 человек в шеренгу.

В общем случае, если мы имеем объектов, которые хотим расположить в определенном порядке (пронумеровать их), то мы получим

способов расположения этих объектов.

Факториалом натурального числа называется произведение всех натуральных чисел от 1 до :

По определению 0!=1; 1!=1.

Перестановкой из предметов называется любой способ нумерации этих предметов (способ расположения их в ряд).

Число перестановок предметов равно .

3. Имеется 10 компьютерных дисков и 10 коробок от них. Найдите вероятность того, что случайным образом уложив диски в коробки, мы обнаружим, что

1. Каждый диск лежит в своей коробке.

2. Хотя бы один диск лежит не в своей коробке.

3. Два определенных диска перепутаны местами, а остальные в своих коробках.

4. Ровно один лежит не в своей коробке, а остальные - в своих коробках.

1. Пронумеруем диски и коробки. Расположим коробки в определенной последовательности. Нам нужно, чтобы при случайном расположении дисков в ряд, их номера тоже оказались расположены в той же последовательности.

Расположить 10 чисел в определенной последовательности можно единственным способом, то есть мы имеем 1 благоприятный исход.

Расположить 10 чисел в произвольном порядке можно 10! способами.

Следовательно, вероятность того, что каждый диск окажется в своей коробке равна

2. Событие "хотя бы один диск лежит не в свой коробке " противоположно событию "", и его вероятность равна

3. Событие "два определенных диска перепутаны местами, а остальные в своих коробках", также как событие "каждый диск лежит в своей коробке ", имеет единственный благоприятный исход, поэтому вероятность этого события равна

4. Событие "ровно один лежит не в своей коробке, а остальные - в своих коробках " невозможно, так как если один диск лежит не своей коробке, то обязательно должен найтись ещё один, который так же лежит не в своей коробке. Поэтому вероятность этого события равна нулю.

4. Слово "МАТЕМАТИКА" написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Найдите вероятность того, что составив все эти буквы случайным образом в ряд, мы снова получим слово "МАТЕМАТИКА".

МАТЕМАТИКА"?

Вероятность того, что на первом месте будет стоять буква М равна 2/10 - у нас две буквы М, и всего 10 букв.

Вероятность того, что на втором месте будет стоять буква А равна 3/9 - у нас осталось 9 букв, из которых 3 буквы А.

Вероятность того, что на втором месте будет стоять буква Т равна 2/8 - у нас осталось 8 букв, из которых 2 буквы Т.

Пронумеруем все буквы в слове "МАТЕМАТИКА". Найдем, сколькими способами мы можем их расположить в определенном порядке. В слове 10 букв, и мы можем их расположить 10!=3628800 различными способами.

Поскольку в слове есть одинаковые буквы, то при перестановке этих букв мы получим то же слово:

в слове "МАТЕМАТИКА" 2 буквы "М"; 3 буквы "А"; 2 буквы "Т", следовательно по правилу произведения это дает нам способов перестановки этих букв с сохранением слова "МАТЕМАТИКА".

Таким образом, вероятность снова получить слово "МАТЕМАТИКА" равна:

Сколько буквосочетаний можно составить из букв слова "МАТЕМАТИКА" ?

Из 10 букв слова "МАТЕМАТИКА" можно составить 10! буквосочетаний. Но некоторые из них будут одинаковыми, так как при перестановке одинаковых букв, мы будем получать те же буквосочетания. То есть в итоге мы получим

буквосочетаний.

Размещения

В задачах по теории вероятностей часто возникает необходимость определить, сколькими способами можно выбрать определенное число предметов и расположить их в определенном порядке.

5. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны?

Воспользуемся правилом умножения.

В первую страну мы выбираем из 9 специалистов, то есть у нас 9 вариантов выбора. После того, как специалист для поездки в первую страну выбран, у нас осталось 8 специалистов, и для поездки во вторую страну у нас 8 вариантов выбора. И так далее... в четвертую страну мы можем выбрать кандидата из 6 специалистов.

Таким образом, мы получаем вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны.

Обобщим эту задачу на случай выбора k кандидатур из n специалистов для поездки в k различных стран.

Рассуждая аналогичным образом, мы получаем

вариантов.

Если умножить и разделить это выражение на , то получим следующую формулу:

В этой задаче из множества, состоящего из элементов мы выбрали упорядоченные подмножества (для нас был важен порядок расположения элементов в подмножестве) , состоящие из элементов. Задача сводилась к нахождению числа таких подмножеств.

Такие упорядоченные подмножества называются размещениями из n элементов по k.

Размещением (из n по k) называется упорядоченное подмножество из различных элементов из некоторого множества , состоящего из различных элементов.

Число размещений из элементов по обозначается и находится по формуле:

Размещения с повторениями

6. Игральную кость бросают трижды. Сколько различных комбинаций выпавших очков при этом получится?

При бросании кости первый раз мы получим 6 различных вариантов: 1 очко, 2, 3... или 6. Аналогично при бросании кости во второй и в третий раз мы получим также по 6 различных вариантов. По правилу умножения получим число различных комбинаций трех чисел, принимающих значения от 1 до 6:

В общем случае:

Пусть у нас есть множество , состоящее из элементов.

Любой упорядоченный набор элементов множества, состоящего из элементов называется размещением с повторением из элементов по . Число различных размещений с повторениями равно

Действительно. Представим ящик с пронумерованными шарами. Мы вынимаем шар, записываем его номер и возвращаем обратно, и так раз. Сколько комбинаций из номеров мы можем получить?

Поскольку шары каждый раз возвращаются, каждый раз, вынимая шар из коробки, в которой шаров, мы можем получить различных чисел. По правилу умножения имеем

Сочетания

Рассмотрим задачу, аналогичную задаче 5, но с существенным отличием.

7. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов?

В этой задаче нам нужно выбрать 4 кандидатуры, но при этом не важно, в каком порядке мы их выбираем, нас интересует только состав выбранных элементов, но не порядок их расположения.

Если бы нас интересовал порядок расположения элементов, как в задаче 5, то мы могли применили бы формулу для нахождения числа размещений из 9 по 4:

4 различных элемента можно расположить в определенном порядке 4! различными способами. Поскольку нас не интересует порядок расположения элементов, число способов, которыми мы можем выбрать 4 элемента, не располагая их в определенном порядке, уменьшается в 4! раза по сравнению с предыдущей задачей (так как для данной задачи различное расположение данных элементов считается одним способом), и мы получаем

способов.

В этой задаче появляется понятие сочетания .

Сочетаниями из n элементов по k элементов называются подмножества, состоящие из k элементов множества (множества, состоящего из n элементов).

Внимание! Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений).

Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается

и находится по формуле:

Число сочетаний из n по k показывает, сколькими способами мы можем выбрать k элементов из n элементов, или сколькими способами мы можем расположить k объектов по n местам.

Легко заметить, что

8. В коробке лежат 8 красных карандашей и 4 синих. Из коробки наугад вынимают 4 карандаша. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 красных и 2 синих?

Всего в коробке 12 карандашей. Найдем, сколькими способами способами можно извлечь из коробки 4 карандаша. Так как нас не интересует порядок, в котором карандаши извлекаются из коробки, а только состав карандашей, это число равно числу сочетаний из 12 по 4:

Из 8 красных карандашей можно извлечь два карандаша способами.

Из 4 синих карандашей можно извлечь два карандаша способами.

По правилу произведения получаем, что извлечь 2 синих и 2 красных карандаша можно способами.

Таким образом, искомая вероятность равна:

Метод шаров и перегородок

9. Сколькими способами можно разложить 10 шаров в 4 коробки? Предполагается, что некоторые коробки могут оказаться пустыми.

Рассмотрим 10 шаров:

Будем "раскладывать шары по коробкам", ставя перегородки.

Например, так:

В этом примере в первой коробке 3 шара, во второй - 2, в третьей - 4, и в четвертой - 2. Переставляя шары и перегородки, мы получаем различные комбинации шаров в коробках. Например, переставив последний шар в первой коробке и первую внутреннюю перегородку, мы получим такую комбинацию:

Таким образом, мы получаем различное число шаров в коробках, комбинируя позиции 10-ти шаров и 3-х внутренних перегородок. Чтобы определить, сколько различных комбинаций мы можем получить, нам нужно найти число сочетаний из 13 по 3. (Или, что то же самое, что число сочетаний из 13 по 10.) Столько способов выбрать 3 места для перегородок из 13 возможных позиций. Или, что то же самое, 10 мест для шаров.

10. Сколько решений имеет уравнение в целых неотрицательных числах?

Так как переменные могут принимать только целые неотрицательные значения, следовательно, у нас есть 10 переменных, и они могут принимать значения 0, 1, 2, 3 и 4. Представим, что у нас есть 10 коробок (это переменные), и мы должны разложить по этим коробкам 4 шара. Сколько шаров попадет в коробку, таково значение соответствующей переменной. Если у нас 10 коробок, следовательно, 10-1=9 внутренних перегородки. И 4 шара. Всего 13 мест. Нам надо расположить на этих 13 местах 4 шара. Число таких возможностей:

В общем случае, если нам нужно разложить шаров в коробок, мы получаем комбинации из шаров и внутренней перегородки. И число таких комбинаций равно числу сочетаний из по .

В этой задаче мы имели дело с сочетаниями с повторениями.

Сочетания с повторениями

Сочетаниями из элементов по элементов с повторениями называются группы, содержащие элементов, причем каждый элемент принадлежит к одному из типов.

Что такое сочетания из элементов по элементов с повторениями можно понять с помощью такого мысленного эксперимента. Представим ящик с пронумерованными шарами. Мы вынимаем шар, записываем его номер и возвращаем обратно, и так раз. В отличие от размещений с повторениями нас не интересует порядок записанных чисел, а только их состав. Например, группы чисел {1,1,2,1,3,1,2} и {1,1,1,1,2,2,3} считаются одинаковыми. Сколько таких групп из номеров мы можем получить?

В конечном итоге нас интересует сколько элементов каждого типа (всего n типов элементов) содержится в каждой группе (из k элементов) , и сколько таких различных вариантов может быть. То есть мы находим, сколько в целых неотрицательных решений имеет уравнение уравнение - задача аналогична задаче по раскладыванию n шаров в k коробок.

Число сочетаний с повторениями находится по такой формуле:

Таким образом, число сочетаний с повторениями - это количество способов представить число k в виде суммы n слагаемых.

Вопрос: Определить, поместится ли одна коробка внутри другой

Ответ:

Сообщение от Joy

максимум 13 влазит

Нет, не 13... Если быть точным, то, то есть, примерно 12,7279... Положить прямоугольник на прямоугольник - это простенькая задачка... А вот воткнуть меньший параллепипед примерно вдоль наибольшей диагонали большего параллепипеда... Это да. Там ещё поиск нужных углов поворота маленькой коробочки вылезает...

Вопрос: Можно ли разместить одну из коробок внутри другой?

Ответ: Dimension , Алгоритм решения, сначала мы сортируем длины сторон коробок, чтобы потом их сравнить, но! Мне нужно выполнить всё это через оператор if, очень буду благодарен если хотя бы алгоритм напишите, код я уж сам как нибудь=)

Вопрос: Открыть одну форму внутри другой

Скриншот:

Есть код:

Но он открывает отдельно форму программы, а мне нужно чтоб в самой Form1 (не на всю форму) открывалось окно Form2, Form3 и так далее.

Ответ: Спасибо огромное выручили всё заработало

Теперь буду начинку программы писать.

Добавлено через 22 часа 49 минут
Столкнулся вчера с такой проблемой (весь вечер пытался сам решить но не вышло) код рабочий всё нормально. Но вот в чём беда, не магу переключаться между Form2 Form3 и так далее (в обратном порядке) что можно добавить к этому коду?

То есть мне надо переключаться между Armor, Power armor и.т.д (скрин проекта вверху)

Заранее спасибо.

Добавлено через 32 минуты
Всё нашол решение

Просто дописать строчку надо.

Вопрос: Передача выбраной позиции в datagrid из одной формы в другую

В чем суть, на основной форме есть datagrid допустим со списком ФИО. Мы выбираем, например, вторую фамилию. Тогда на дополнительно открывающейся форме, в другом datagrid должны открыться все вещи, которыми владеет данное ФИО. Следовательно если мы выбираем третью фамилию в списке, то в дополнительной форме со своим datagrid будут уже данные по этой ФИО.
Внутри одной формы это удается реализовать связями (dataSet.Relations.Add), но при создании дополнительной формы, вторая форма не знает, какая позиция выбрана в datagrid на первой форме.
Спасибо.

Ответ:

Сообщение от gmaksim

В первой форме мы вставляем после InitializeComponent(); данный пункт:

И зачем он там???

Сообщение от gmaksim

SELECT " + id + "FROM Tables2

Такой запрос точно не будет работать

Сообщение от gmaksim

Как это сделать я Вам уже целый день говорю!

Сообщение от Даценд

Если лень/некогда/нехочу, можно глянуть Как передать данные из одной формы в другую

С этого все и началось!!! Среди этих вариантов не нашлось подходящих!!!

Вопрос: Как отрыть одну форму внутри другой, чтоб дочерняя не выходила за рамки родительской?

Пробую так (прочитал в этом форуме) ругается "Форма, указанная как MdiParent для данной формы, не является MdiContainer."

Подскажите, пожалуйста, как это сделать?

Добавлено через 1 час 4 минуты
Здесь я понял как, надо было родительской форме свойству isMDIContainer присвоить true.
Теперь другая проблема, пишет что нельзя создать модальную форму внутри этого контейнера, а мне как раз нужна модальная форма

Ответ: И всё-таки, что делать, если нужна именно дочерняя модальная форма?
Т.е. нужно, чтобы, с одной стороны, форма размещалась в рамках родительской (главного окна приложения), а с другой -чтобы всё приложение "подвисало" до окончания работы с ней?

Вопрос: По заданным двум словам определить, можно ли из букв одного слова составить другое

Ответ: В условии задачи сказано. Можно ли из букв одного
слова составить другое. Но ничего не сказано о том,
что слова должны быть равной длины. Иными словами
задание можно интерпретировать так. Возможно ли
из букв одного слова составить другое Любой Длины
лишь бы букв хватило.
Есть такая игра из одного длинного слова составить
кучу меньших по длине. (про. проверена)
первое слово главное. ИЗ него строится второе...

Вопрос: Передать указатель на функцию из одного класса в другой

Есть "Класс1", в нем есть метод "Метод"
Есть "Класс2", объекты которого создаются в классе "Класс1"

Суть заключается в том, что "Класс2" должен иметь возможность вызывать "Метод". Мне кажется, что это проще всего сделать передачей указателя на "Метод" в "Класс2". Но оказалось не все так просто. Можете, пожалуйста, продемонстрировать, как это можно сделать. Ну или может быть есть более простой способ вызывать "Метод", прописанный в "Класс1", из "Класс2".

Ответ: Мда. Все было бы проще, если бы метод класса нужно было вызывать в main, а поскольку это другой класс, то совсем все плохо получается. Я в принципе с самого начала такой исход предполагал, но думал что можно проще. Ладно, и на том спасибо)

Добавлено через 18 часов 1 минуту
Нашел-таки, благодаря Stack Overflow () более простой и не громоздкий метод передачи указателя из одного класса в другой:

Ответ: 1. Используя паттерн MVVM можно обратиться к ViewModel той View, из которой хотим данные получить (короче пункт 3, MVVM просто удобно на WPF творить, судя по заявлениям).
2. Хмм... Статический класс, методы, переменные, свойства. Из одной формы в другую передавать данные через статический класс.
3. В итоге вижу решение в разделении представления от модели(в общем). Используя что-то из этого можно решить вашу проблему.

Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут;-)

Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению – их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

Перестановки, сочетания и размещения без повторений

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений »? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:

яблоко / груша / банан

Вопрос первый : сколькими способами их можно переставить?

Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:

яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко

Итого : 6 комбинаций или 6 перестановок .

Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!

Пожалуйста, откройте справочный материал (методичку удобно распечатать) и в пункте № 2 найдите формулу количества перестановок.

Никаких мучений – 3 объекта можно переставить способами.

Вопрос второй : сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?

Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте – для того, чтобы съесть! =)

а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами – взять либо яблоко, либо грушу, либо банан. Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний :

Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»

б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:

Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».

в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:

Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта – собственно, ничего не взять и всё.

г) Сколькими способами можно взять хотя бы один фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.

Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей , уже кое о чём догадались. Но о смысле знака «плюс» позже.

Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)

Вопрос третий : сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?

Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:

яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.

Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей – Наташу;
либо наоборот – груша достанется Даше, а яблоко – Наташе.

И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

Способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать: способами.

Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».

То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений – тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

Возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать с любой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. …Очень хочется, но всё-таки воздержусь от продолжения, чтобы не привить вам отвращение к студенческой жизни =).

Правило умножения комбинаций распространяется и на бОльшее количество множителей:

Задача 8

Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?

Решение : для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***

В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.

А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10 цифр: .

По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.

Итого, существует : трёхзначных чисел, которые делятся на 5.

При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц »

Или ещё проще: «каждая из 9 цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10 цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц ».

Ответ : 180

А теперь…

Да, чуть не забыл об обещанном комментарии к задаче № 5, в которой Боре, Диме и Володе можно сдать по одной карте способами. Умножение здесь имеет тот же смысл: способами можно извлечь 3 карты из колоды И в каждой выборке переставить их способами.

А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:

Задача 9

Сколько существует выигрышных комбинаций из 2 карт при игре в «очко»?

Для тех, кто не знает: выигрывает комбинация 10 + ТУЗ (11 очков) = 21 очко и, давайте будем считать выигрышной комбинацию из двух тузов.

(порядок карт в любой паре не имеет значения)

Краткое решение и ответ в конце урока.

Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек – это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Правда, такие мастера довольно быстро попадают в чёрный список всех заведений =)

Пришло время закрепить пройденный материал парой солидных задач:

Задача 10

У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого – на правую)?

Решаем : во-первых, вновь следует обратить внимание на то, что в задаче речь идёт о разных объектах (даже если коты – однояйцовые близнецы). Это очень важное условие!

а) Молчание котов. Данной экзекуции подвергаются сразу все коты
+ важно их расположение, поэтому здесь имеют место перестановки:
способами можно рассадить котов по углам комнаты.

Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т.д. – перестановок во всех случаях будет 24. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные (например, белый, чёрный, рыжий и полосатый) и перечислить все возможные комбинации.

б) Сколькими способами можно отпустить гулять котов?

Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных – на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота.

Считаем все возможные комбинации:

Способами можно отпустить гулять одного кота (любого из четырёх);
способами можно отпустить гулять двух котов (варианты перечислите самостоятельно);
способами можно отпустить гулять трёх котов (какой-то один из четырёх сидит дома);
способом можно выпустить всех котов.

Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать:
способами можно отпустить гулять котов.

Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи – когда любой кот в любой выборке случайным образом может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно 10 этажа. Комбинаций заметно прибавится!

в) Сколькими способами Вася может взять на руки двух котов?

Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам:
способами можно взять на руки 2 котов.

Второй вариант решения: способами можно выбрать двух котов и способами посадить каждую пару на руки:

Ответ : а) 24, б) 15, в) 12

Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. Пусть у Васи дополнительно живёт 5 кошек =) Сколькими способами можно отпустить гулять 2 котов и 1 кошку?

То есть, с каждой парой котов можно выпустить каждую кошку.

Ещё один баян для самостоятельного решения:

Задача 11

В лифт 12-этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со 2-го) этаже. Сколькими способами:

1) пассажиры могут выйти на одном и том же этаже (порядок выхода не имеет значения) ;
2) два человека могут выйти на одном этаже, а третий – на другом;
3) люди могут выйти на разных этажах;
4) пассажиры могут выйти из лифта?

И тут часто переспрашивают, уточняю: если 2 или 3 человека выходят на одном этаже, то очерёдность выхода не имеет значения. ДУМАЙТЕ, используйте формулы и правила сложения/умножения комбинаций. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. Не нужно огорчаться, если что-то не получится, так, например, пункт № 2 достаточно коварен.

Полное решение с подробными комментариями в конце урока.

Заключительный параграф посвящён комбинациям, которые тоже встречаются достаточно часто – по моей субъективной оценке, примерно в 20-30% комбинаторных задач:

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Перечисленные виды комбинаций законспектированы в пункте № 5 справочного материала Основные формулы комбинаторики , однако некоторые из них по первому прочтению могут быть не очень понятными. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Поехали:

Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвует сразу всё множество объектов , но есть одно но: в данном множестве один или бОльшее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Задача 12

Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение : в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу , однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми , поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.

Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями :
различных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!

Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: забиваем в любую ячейку =ФАКТР(11) и жмём Enter .

На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы:

Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ : 554400

Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решений в соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:

Задача 13

Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю – лёгкой атлетикой, 2 дня – силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю?

Формула здесь не годится, поскольку учитывает совпадающие перестановки (например, когда меняются местами силовые упражнения в среду с силовыми упражнениями в четверг). И опять – по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи (с точки зрения расписания) они считаются одинаковыми элементами.

Двухстрочное решение и ответ в конце урока.

Сочетания с повторениями

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Сегодня все хорошо потрудились, поэтому настало время подкрепиться:

Задача 14

В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

Решение : сразу обратите внимание на типичный критерий сочетаний с повторениями – по условию на выбор предложено не множество объектов как таковое, а различные виды объектов; при этом предполагается, что в продаже есть не менее пяти хот-догов, 5 ватрушек и 5 пончиков. Пирожки в каждой группе, разумеется, отличаются – ибо абсолютно идентичные пончики можно смоделировать разве что на компьютере =) Однако физические характеристики пирожков по смыслу задачи не существенны, и хот-доги / ватрушки / пончики в своих группах считаются одинаковыми.

Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки (т.к. выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида). Варианты тут на любой вкус: 5 хот-догов, 5 ватрушек, 5 пончиков, 3 хот-дога + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончика и т.д.

Как и при «обычных» сочетаниях, порядок выбора и размещение пирожков в выборке не имеет значения – просто выбрали 5 штук и всё.

Используем формулу количества сочетаний с повторениями:
способом можно приобрести 5 пирожков.

Приятного аппетита!

Ответ : 21

Какой вывод можно сделать из многих комбинаторных задач?

Порой, самое трудное – это разобраться в условии.

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Задача 15

В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и 10-рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька?

В целях самоконтроля ответьте на пару простых вопросов:

1) Могут ли в выборке все монеты быть разными?
2) Назовите самую «дешевую» и самую «дорогую» комбинацию монет.

Решение и ответы в конце урока.

Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями – наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:

Размещения с повторениями

Из множества, состоящего из элементов, выбирается элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Задача 16

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Решение : на самом деле для разруливания задачи достаточно знаний правил комбинаторики: способами можно выбрать первую цифру пин-кода и способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: способами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из цифр, из которого выбираются цифры и располагаются в определенном порядке , при этом цифры в выборке могут повторяться (т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз) . По формуле количества размещений с повторениями:

Ответ : 10000

Что тут приходит на ум… …если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей сайт:

Задача 17

Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. При этом недопустим номер с тремя нулями, а буквы выбираются из набора А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (используются только те буквы кириллицы, написание которых совпадает с латинскими буквами) .

Сколько различных номерных знаков можно составить для региона?

Не так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS.

Решение и ответ в конце урока. Не забываем использовать правила комбинаторики;-) …Хотел похвастаться эксклюзивом, да оказалось не эксклюзивом =) Заглянул в Википедию – там есть расчёты, правда, без комментариев. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал.

Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей ,
и в задачах на классическое определение вероятности – особенно часто =)

Всем спасибо за активное участие и до скорых встреч!

Решения и ответы :

Задача 2: Решение : найдём количество всех возможных перестановок 4 карточек:

Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить способами.

Примечание : т.к. карточек немного, то здесь несложно перечислить все такие варианты:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ : 18

Задача 4: Решение : способами можно выбрать 3 карты из 36.
Ответ : 7140

Задача 6: Решение : способами.
Другой вариант решения : способами можно выбрать двух человек из группы и и
2) Самый «дешёвый» набор содержит 3 рублёвые монеты, а самый «дорогой» – 3 десятирублёвые.

Задача 17: Решение : способами можно составить цифровую комбинацию автомобильного номера, при этом одну из них (000) следует исключить: .
способами можно составить буквенную комбинацию автомобильного номера.
По правилу умножения комбинаций, всего можно составить:
автомобильных номера
(каждая цифровая комбинация сочетается с каждой буквенной комбинацией).
Ответ : 1726272

Автомобили с механической коробкой передач, которую сокращенно называют МКПП, до недавнего времени составляли абсолютное большинство среди других ТС с различными .

Более того, механическая (ручная) коробка и сегодня остается достаточно распространенным устройством для изменения и передачи крутящего момента двигателя. Далее мы поговорим о том, как устроена и работает «механика», как выглядит схема КПП данного типа, а также какие преимущества и недостатки имеет данное решение.

Читайте в этой статье

Схема механической коробки передач и особенности

Начнем с того, что механическим данный тип КПП называется по причине того, что подобный агрегат предполагает ручное переключение передач. Другими словами, на машинах с МКПП передачи переключает сам водитель.

Идем далее. Коробка «механика» является ступенчатой, то есть крутящий момент изменяется ступенями. Многие автолюбители знают, что фактически коробка передач имеет шестеренки и валы, однако не все понимают, как работает агрегат.

Итак, ступенью (она же передача) является пара шестерен (ведущая и ведомая шестерня), взаимодействующих между собой. Каждая такая ступень обеспечивает вращение с той или иной угловой скоростью, то есть имеет свое передаточное число.

Под передаточным числом следует понимать отношение числа зубьев ведомой шестерни к числу зубьев на ведущей шестерне. При этом разные ступени коробки получают разные передаточные числа. Самая низкая ступень (пониженная передача) имеет самое большое передаточное число, а наиболее высокая ступень (повышенная передача) имеет наименьшее передаточное число.

Становится понятно, что количество ступеней равно количеству передач на той или иной коробке (четырехступенчатая КПП, пятиступенчатая и т.д.) Отметим, что на подавляющем большинстве авто сегодня устанавливается пятиступенчатая коробка передач, реже встречаются МКПП на 6 и более ступеней, а достаточно распространенные ранее 4-х ступенчатые механические коробки передач постепенно отошли на задний план.

Устройство механической коробки передач

Итак, хотя конструкций такой коробки с теми или иными особенностями может быть много, однако на начальном этапе можно выделить два основных типа:

• трехвальные КПП;
• двухвальные коробки;

На автомобили с задним приводом обычно устанавливается трехвальная механическая коробка передач, в то время как двухвальная КПП ставится на переднеприводные легковые авто. При этом устройство механических коробок передач как первого, так и второго типа может заметно отличаться.

Начнем с трехвальной механической коробки. Такая коробка состоит из:

• ведущего вала, который еще называется первичным;
• промежуточного вала КПП;
• ведомого вала (вторичного);

На валах установлены шестерни с синхронизаторами. Также в устройство КПП включен механизм переключения передач. Указанные составные элементы расположены в корпусе коробки передач, который еще называют картером КПП.

Задачей ведущего вала является создание соединения со сцеплением. На ведущем валу выполнены шлицы для ведомого диска сцепления. Что касается крутящего момента, указанный момент от ведущего вала передается через шестерню, которая находится с ним в жестком зацеплении.

Затрагивая работу промежуточного вала, этот вал располагается параллельно первичному валу КПП, на нем установлена группа шестерен, которая находится в жестком зацеплении. В свою очередь, ведомый вал установлен на одной оси с ведущим валом.

Такая установка реализована при помощи торцевого подшипника на ведущем валу. В этот подшипник входит ведомый вал. Группа шестерен (блок шестерен) на ведомом валу не имеет жесткого зацепления с самим валом и поэтому свободно вращается на нем. При этом группа шестерен промежуточного вала, ведомого вала и шестерня ведущего вала находятся в постоянном зацеплении.

Синхронизаторы (муфты синхронизаторов) установлены между шестернями ведомого вала. Их задачей является выравнивание угловых скоростей шестерен ведомого вала с угловой скоростью самого вала посредством силы трения.

Синхронизаторы находятся в жестком зацеплении с ведомым валом, а также имеют возможность перемещаться по валу в продольном направлении благодаря наличию шлицевого соединения. Современные коробки передач имеют муфты синхронизаторов на всех передачах.

Если рассматривать механизм переключения передач на трехвальных КПП, зачастую этот механизм установлен на корпусе агрегата. Конструкция включает в себя рычага управления, ползуны и вилки.

Корпус коробки (картер) изготовлен из алюминиевых или магниевых сплавов, необходим для установки валов с шестернями и механизмов, а также ряда других деталей. Еще в картере коробки передач находится трансмиссионное масло (масло коробки передач).

• Чтобы понять, как работает механическая (ручная) коробка передач трехвального типа, давайте в общих чертах рассмотрим принцип ее действия. Когда рычаг переключения передач находится в нейтральном положении, передачи крутящего момента от двигателя на ведущие колеса автомобиля не происходит.

После того, как водитель произведет перемещение рычага, вилка переместит муфту синхронизатора той или иной передачи. Затем синхронизатор выровняет угловые скорости нужной шестерни и ведомого вала. Затем зубчатый венец муфты войдет в зацепление с аналогичным венцом шестерни, что обеспечит блокировку шестерни на ведомом валу.

Еще добавим, что задний ход автомобиля обеспечивает задняя передача КПП. В этом случае промежуточная шестерня заднего хода, установленная на отдельной оси, позволяет изменить направление вращения.

Двухвальная механическая коробка передач: устройство и принцип работы

Разобравшись с тем, из чего состоит коробка передач с тремя валами, перейдем к двухвальным коробкам. Данный тип КПП имеет в своем устройстве два вала: первичный и вторичный. Первичный вал является ведущим, вторичный ведомым. На валах закреплены шестерни и синхронизаторы. Также в картере коробки находится главная передача и дифференциал.

Ведущий вал отвечает за соединение со сцеплением, также на валу находится блок шестерен в жестком зацеплении с валом. Ведомый вал расположен параллельно ведущему, при этом шестерни ведомого вала в постоянном зацеплении с шестернями ведущего вала, а также свободно вращаются на самом валу.

Также на ведомом валу жестко закрепляется ведущая шестерня главной передачи, а между самими шестернями ведомого вала расположены муфты синхронизаторов. Добавим, чтобы уменьшить размеры КПП, а также увеличить количество передач, в современных коробках нередко вместо одного ведомого вала может быть установлено 2 или даже 3 вала.

На каждом таком валу жестко закреплена шестерня главной передачи, при этом такая шестерня имеет жесткое зацепление с ведомой шестерней. Получается, конструкция фактически реализует 3 главных передачи.

Сама главная передача, а также дифференциал в устройстве КПП осуществляют передачу крутящего момента от вторичного вала на ведущие колеса. При этом дифференциал также может обеспечить такое вращение колес, когда ведущие колеса вращаются с разными угловыми скоростями.

Что касается механизма переключения передач, на двухвальных КПП он вынесен отдельно, то есть за пределы корпуса. Коробка связана с механизмом переключения тросами или специальными тягами. Чаще встречается соединение при помощи тросов.

Сам механизм переключения 2-х вальной коробки имеет рычаг, который соединяется тросами с рычагом выбора и рычагом включения передачи. Указанные рычаги соединяются с центральным штоком переключения передач, который также имеет вилки.

• Если говорить о принципе работы двухвальной механической коробки передач, он похож на принцип трехвальной КПП. Отличия состоят в том, как работает механизм переключения передач. В двух словах, рычаг может осуществлять как продольные, так и поперечные движения относительно оси автомобиля. Во время поперечного движения происходит выбор передачи, так как усилие идет на трос выбора передач, который оказывает воздействие на рычаг выбора передач.

Далее рычаг движется продольно, а усилие идет уже на трос переключения передач. Соответствующий рычаг горизонтально перемещает шток с вилками, вилка на штоке смещает синхронизатор, что и приводит к блокировке шестерни ведомого вала.

Напоследок отметим, что также механические коробки разных типов имеют дополнительные блокировочные устройства, которые препятствуют включению одновременно двух передач или же непредвиденному выключению передачи.

Читайте также

Выжим сцепления перед запуском мотора: когда нужно выжимать сцепление и в каких случаях делать это не рекомендуется. Полезные советы и рекомендации.

Запомните, что объем прямоугольного параллелепипеда (или обычной коробки) равен произведению его длины, ширины и высоты. Если ваша коробка имеет прямоугольную или квадратную форму, то вам требуется лишь узнать ее длину, ширину и высоту. Для получения объема необходимо перемножить результаты замеров. Формула расчета в сокращенном виде нередко представляется следующим образом: V = Д x Ш x В.
Пример задачи: "Если длина коробки равна 10 см, ширина – 4 см, а высота – 5 см, то каков ее объем?"
V = Д x Ш x В
V = 10 см x 4 см x 5 см
V = 200 см 3
"Высота" коробки может упоминаться как "глубина". Например, в задаче могла быть указана следующая информация: "Длина коробки равна 10 см, ширина – 4 см, а глубина – 5 см."

2
Измерьте длину коробки. Если посмотреть на коробку сверху, то она предстанет перед вашими глазами в виде прямоугольника. Длиной коробки будет наиболее длинная сторона этого прямоугольника. Запишите результат замера данной стороны в качестве значения параметра "длина".
При выполнении замеров обязательно используйте единые единицы измерения. Если вы измерили одну сторону в сантиметрах, то и остальные стороны тоже необходимо измерить в сантиметрах.

3
Измерьте ширину коробки. Ширину коробки будет представлять другая, более короткая, сторона видимого сверху прямоугольника. Если визуально соединить измеряемые по длине и ширине стороны коробки, то они предстанут в виде буквы "Г". Запишите значение последнего замера в качестве "ширины".
Ширина – это всегда более короткая сторона коробки.

4
Измерьте высоту коробки. Это последний параметр, который вы еще не измерили. Он представляет собой расстояние от верхнего края коробки до нижнего. Запишите значение этого замера в качестве "высоты".
В зависимости от того, на какой бок вы положите коробку, конкретные стороны, которые вы обозначите "длиной", "шириной" или "высотой" могут быть различными. Тем не менее, это не имеет никакого значения, вам лишь необходимы результаты замеров трех разных сторон.

5
Перемножьте результаты трех замеров между собой. Как уже упоминалось, формула расчета объема выглядит следующим образом: V = Длина x Ширина x Высота; поэтому для получения объема необходимо просто перемножить все три стороны. Обязательно укажите в расчете использованные вами единицы измерения, чтобы не забыть, что именно означают полученные значения.

6
При обозначении единиц измерения объема не забудьте указать третью степень " 3 ". Рассчитанный объем имеет цифровое выражение, но без правильного указания единиц измерения ваши расчеты будут бессмысленны. Для корректного отражения единиц измерения объема их следует указать в кубе. Например, если все стороны были измерены в сантиметрах, то единицы измерения объема будут указаны как "см 3 ".
Пример задачи: "Если ящик имеет длину 2 м, ширину – 1 м, а высоту 3 м, то каков его объем? "
V = Д x Ш x В
V = 2 м x 1 м x 4 м
V = 8 м 3
Примечание: Указание кубических единиц объема позволяет понять, сколько таких кубов можно поместить внутрь коробки. Если обратиться к предыдущему примеру, то это означает, что в ящик помещается восемь кубических метров.

Расчет объема коробок других форм

Определите объем цилиндра. Цилиндр представляет собой круглую трубку с кругами на обоих концах. Для определения объема цилиндра используется формула: V = π x r 2 x h, где π = 3,14, r – радиус круглой стороны цилиндра, а h – его высота.
Для определения объема конуса, или пирамиды с круглым основанием, используется та же формула, но умноженная на 1/3. То есть объем конуса рассчитывается по формуле: V = 1/3 (π x r 2 x h)

2
Определите объем пирамиды. Пирамида – это фигура, имеющая плоское основание и сходящиеся вверху в одну точку стороны. Для определения объема пирамиды необходимо взять 1/3 от произведения площади ее основания на высоту. То есть формула расчета выглядит следующим образом: Объем пирамиды = 1/3(Площадь основания x Высота).
В большинстве случаев пирамиды имеют квадратное или прямоугольное основание. В такой ситуации площадь основания рассчитывается умножением длины основания на ширину.

Для определения объема коробки сложных форм сложите объемы отдельных ее частей. Например, вам может потребоваться измерить объем коробки, имеющей форму буквы "Г". В таком случае у коробки будет больше сторон, которые необходимо измерить. Если вы разобьете эту коробку на две части, то сможете стандартным образом измерить объем этих двух частей, а затем сложить полученные значения. В случае с коробкой в форме буквы "Г", более длинную часть можно рассматривать в качестве отдельной длинной прямоугольной коробки, а более короткую – в качестве приставленной к ней квадратной (или почти квадратной) коробки.
Если ваша коробка имеет совсем сложные формы, то знайте, что есть множество способов определения объема предметов любой формы.