Сущность аксиоматического метода
Евклид
П.Дирак
Если теорему так и не смогли доказать – она становится аксиомой.
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Определить математическое понятие – это значит указать его характерные признаки или свойства, которые выделяют это понятие среди остальных. Обычный способ определения математического понятия заключается в указании: 1) ближнего рода, то есть более общего понятия, к которому относится определяемое понятие; 2) видового отличия, то есть тех характерных признаков или свойств, которые присущи именно этому понятию.
Пример 1. Определение: «Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны». Ближайшим родом, то есть более общим понятием является понятие прямоугольника, а видовым отличием будет указание, что у квадрата все стороны равны. В свою очередь для прямоугольника более общим понятием является понятие параллелограмма, для параллелограмма - понятие четырехугольника, для четырехугольника - понятие многоугольника и так далее. Но указанная цепочка не является бесконечной.
Существуют понятия, которые нельзя определить через другие, более общие понятия. Их в математике называют основными неопределяемыми понятиями . Примерами основных понятий являются точка, прямая, плоскость, расстояние, множество и так далее.
Связи и отношения между основными понятиями формулируются с помощью аксиом.
Аксиома - это математическое предложение, принимаемое в данной теории без доказательств.
К системе аксиом, на которой строится та или иная математическая теория, предъявляются требования непротиворечивости, независимости, полноты.
Система аксиом называется непротиворечивой , если из нее нельзя одновременно вывести два взаимоисключающих друг друга предложения: А , неА .
Система аксиом называется независимой , если ни одна из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
Система аксиом называется полной , если в ней доказуемо обязательно одно из двух: либо утверждение А , либо неА.
Предложение, которого нет в списке аксиом, должно быть доказано. Такое предложение называется теоремой .
Теорема - это математическое предложение, истинность которого устанавливается в процессе рассуждения, называемого доказательством.
Аксиома: «Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, не принадлежащие ей».
Теорема: «Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм».
Одним из основных методов современной математики является аксиоматический метод . Сущность его состоит в следующем:
1) перечисляются основные неопределяемые понятия и отношения строящейся теории (примеры отношений: следовать за..., лежать между...);
2) формулируются аксиомы, принимаемые в данной теории без доказательства, которые выражают связь между основными понятиями и их отношениями;
3) предложения, которых нет среди основных понятий и основных отношений, должны быть определены;
4) предложения, которых нет в списке аксиом, должны быть доказаны на основе этих аксиом и ранее доказанных предложений.
1.2 Геометрия Евклида – первая естественно научная теория
Исторический обзор обоснования геометрии. Геометрия, прежде чем стать аксиоматической теорией, прошла долгий путь эмпирического развития.
Первые сведения о геометрии были получены цивилизациями Древнего Востока (Египет, Китай, Индия) в связи с развитием земледелия, ограниченностью плодородных земель и др. В этих странах геометрия носила эмпирический характер и представляла собой набор отдельных «рецептов-правил» для решения конкретных задач. Уже во II тысячелетии до н.э. египтяне умели точно вычислить площадь треугольника, объем усеченной пирамиды, площадь круга, а вавилоняне знали теорему Пифагора. Заметим, что доказательств не было, а указывались правила для вычислений.
Греческий период развития геометрии начался в VII-VI вв. до н.э. под влиянием египтян. Отцом греческой математики считается знаменитый философ Фалес (640-548 гг. до н.э.). Фалесу, точнее, его математической школе принадлежат доказательства свойств равнобедренного треугольника, вертикальных углов. В дальнейшем геометром Древней Греции были получены результаты, охватывающие почти все содержание современного школьного курса геометрии.
Философская школа Пифагора (570-471 гг. до н.э.) открыла теорему о сумме углов треугольника, доказала теорему Пифагора, установила существование пяти типов правильных многогранников и несоизмеримых отрезков. Демокрит (470-370 гг. до н.э.) открыл теоремы об объемах пирамиды и конуса. Евдокс (410-356 гг. до н.э.) создал геометрическую теорию пропорций (т.е. теорию пропорциональных чисел).
Менехм и Аполлоний изучили конические сечения. Архимед (289-212 гг. до н.э.) открыл правила вычисления площади поверхности и объема шара и других фигур. Он же нашел приближенное значение числа π.
Особая заслуга древнегреческих ученых состоит в том, что они первыми поставили задачу строгого построения геометрических знаний и решили ее в первом приближении. Проблему поставил Платон (428-348 гг. до н.э.). Аристотелю (384-322 гг. до н.э.) – крупнейшему философу, основателю формальной логики – принадлежит четкое оформление идеи построения геометрии в виде цепи предложений, которые вытекают одно из другого на основе лишь правил логики. Эту задачу пытались решить многие греческие ученые (Гиппократ, Федий).
Евклид (330-275 гг. до н. э.) – крупнейший геометр древности, воспитанник школы Платона, жил в Египте (в Александрии). Составленные им «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии, выполненное на таком научном уровне, что многие века преподавание геометрии велось по его сочинению. «Начала» состоят из 13 книг (глав):
I-VI – планиметрия;
VII-IХ – арифметика в геометрическом изложении;
X – несоизмеримые отрезки;
ХI-ХII – стереометрия.
В «Начала» были включены не все сведения, известные в геометрии. Например, в эти книги не вошли: теория конических сечений, кривые высших порядков.
Каждая книга начинается с определения тех понятий, которые в ней встречаются. Например, в книге I даны 23 определения. Приведем определения первых четырех понятий:
1 Точка есть то, что не имеет частей.
2 Линия есть длина без ширины.
3 Границы линии суть точки.
Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, разделяя их на постулаты и аксиомы. Постулатов у него пять, а аксиом – семь. Вот некоторые из них:
IV И чтобы все прямые углы были равны.
V И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
I Равные порознь третьему равны между собой.
II И если к равным прибавить равные, то получим равные.
VII И совмещающиеся равны.
Евклид не указал, в чем заключается различие между постулатами и аксиомами. До сих пор нет окончательного решения этого вопроса.
Евклид излагает теорию геометрии так, как требовали греческие ученые, особенно Аристотель, т.е. теоремы расположены так, что каждая следующая доказывается только на основе предыдущих. Иначе говоря, Евклид развивает геометрическую теорию строго логическим путем. В этом и заключается историческая заслуга Евклида перед наукой.
«Начала» Евклида сыграли огромную роль в истории математики и всей человеческой культуры. Эти книги переведены на все основные языки мира, после 1482 г. они выдержали около 500 изданий.
Недостатки системы Евклида. С точки зрения современной математики изложение «Начал» следует признать несовершенным. Назовем основные недостатки этой системы:
1) многие понятия включают такие, которые в свою очередь должны быть определены (например, в определениях 1-4 главы 1 используются понятия ширины, длины, границы, которые также должны быть определены);
2) список аксиом и постулатов недостаточен для построения геометрии строго логическим путем. Например, в этом списке нет аксиом порядка, без которых нельзя доказать многие теоремы геометрии; заметим, что на это обстоятельство обратил внимание Гаусс. В указанном списке отсутствуют также определения понятия движения (совмещения) и свойств движения, т.е. аксиом движения. В списке не хватает также аксиомы Архимеда (одной из двух аксиом непрерывности), которая играет важную роль в теории измерений длин отрезков, площадей фигур и объектов тел. Заметим, что на это обратил внимание современник Евклида Архимед;
3) постулат IV явно лишний, его можно доказать как теорему. Особо отметим пятый постулат. В книге I «Начал» первые 28 предложений доказаны без ссылок на пятый постулат. Попытка минимизировать список аксиом и постулатов, в частности доказать постулат V как теорему, проводилась со времен самого Евклида. Прокл (V в. н. э.), Омар Хайям (1048-1123 гг.), Валлис (XVII в.), Саккери и Ламберт (XVIII в.), Лежандр (1752-1833 гг.) также пытались доказать постулат V как теорему. Их доказательства были ошибочными, но они привели к положительным результатам – к рождению еще двух геометрий (Римана и Лобачевского).
Неевклидовы геометрические системы. Н.Лобачевский (1792-1856 гг.), который открыл новую геометрию – геометрию Лобачевского, также начал с попытки доказательства постулата V.
Николай Иванович развил свою систему до объема «Начал» в надежде получить противоречие. Не получил, но сделал в 1826 г. правильный вывод: существует геометрия, отличная от геометрии Евклида.
На первый взгляд этот вывод кажется недостаточно обоснованным: может быть, развивая его дальше, можно прийти к противоречию. Но этот же вопрос относится и к геометрии Евклида. Иначе говоря, обе геометрии равноправны перед вопросом о логической непротиворечивости. Дальнейшие исследования показали, что из непротиворечивости одной следует непротиворечивость другой геометрии, т.е. имеет место равноправие логических систем.
Лобачевский был первым, но не единственным, кто сделал вывод о существовании другой геометрии. Гаусс (1777-1855 гг.) высказал эту идею еще в 1816 г. в частных письмах, но в официальных публикациях заявление не сделал.
Три года спустя после публикации результатов Лобачевского (в 1829 г.), т.е. в 1832 г., вышла работа венгра Я. Бойяи (1802-1860 гг.), который в 1823 г. пришел к выводу о существовании другой геометрии, но опубликовал позже и в менее развитом, чем у Лобачевского, виде. Поэтому справедливо, что эта геометрия носит имя Лобачевского.
Общему признанию геометрии Лобачевского в значительной степени способствовали работы геометров после Лобачевского. В 1868 г. итальянский математик Э.Бельтрами (1825-1900 гг.) доказал, что на поверхности постоянной отрицательной кривизны (так называемая псевдосфера) имеет место геометрия Лобачевского. Уязвимым местом доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского, основанного на интерпретации Бельтрами, было то, что, как показал Д.Гильберт (1862-1943 гг.), в евклидовом пространстве не существует полной поверхности постоянной отрицательной кривизны без особенностей. Поэтому на поверхности постоянной отрицательной кривизны можно интерпретировать только часть плоской геометрии Лобачевского. Этот недостаток был устранен А.Пуанкаре (1854-1912 гг.) и Ф.Клейном (1849-1925 гг.).
Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского было вместе с тем и доказательством независимости пятого постулата от остальных. Действительно, в случае зависимости геометрия Лобачевского была бы противоречивой, так как она содержала бы два взаимно исключающих утверждения.
Дальнейшие исследования евклидовой геометрии показали неполноту системы аксиом и постулатов Евклида. Исследование аксиоматики Евклида завершил в 1899 г. Гильберт.
Аксиоматика Гильберта состоит из пяти групп:
Аксиомы связи (принадлежности);
Аксиомы порядка;
Аксиомы конгруэнтности (равенства, совпадения);
Аксиомы непрерывности;
Аксиома параллельности.
Эти аксиомы (всего их 20) относятся к объектам трех родов: точек, прямых, плоскостей, а также к трем отношениям между ними: «принадлежит», «лежит между», «конгруэнтен». Конкретный смысл точек, прямых, плоскостей и отношений не указан. Они косвенно определены через аксиомы. Благодаря этому построенная на основе аксиом Гильберта геометрия допускает различные конкретные реализации.
Геометрическая система, построенная на перечисленных аксиомах, называется евклидовой геометрией, так как совпадает с геометрией, изложенной Евклидом в «Началах».
Геометрические системы, отличные от евклидовой, называются неевклидовыми геометриями. Согласно общей теории относительности, в пространстве ни та, ни другая не являются абсолютно точными, однако в малых масштабах (земные масштабы являются также достаточно «малыми») они вполне пригодны для описания пространства. Причиной того, что на практике применяются евклидовы формулы, является их простота.
Гильберт всесторонне исследовал свою систему аксиом, показал, что она непротиворечива, если не противоречива арифметика (т.е. на самом деле доказана содержательная или так называемая внешняя непротиворечивость). Он завершил многовековые исследования геометров по обоснованию геометрии. Эта работа была высоко оценена и в 1903 г. отмечена премией имени Лобачевского.
В современном аксиоматическом изложении геометрии Евклида не всегда пользуются аксиомами Гильберта: учебники по геометрии построены на различных модификациях этой системы аксиом.
В XX в. было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики как одна из возможных геометрий, но и непосредственно связана с приложениями математики. Оказалось, что взаимосвязь пространства и времени, открытая А.Эйнштейном и другими учеными в рамках специальной теории относительности, имеет непосредственное отношение к геометрии Лобачевского.
«Основы стереометрии» - Изображение пространственных фигур на плоскости. Октаэдр. Угол между прямыми в пространстве. Параллельное проектирование. Пирамида. Параллельные проекции плоских фигур. Додекаэдр. Объем шара. Признаки параллельности плоскостей. Углы между прямыми и плоскостями в пространстве. Пифагор. Основные фигуры стереометрии.
«Плоскости в пространстве» - Коэффициенты B=C=D=0. Уравнения прямой в пространстве. 1. Общее уравнение прямой. 2. Общее уравнение плоскости. Коэффициенты A,B,C в уравнении определяют координаты нормального вектора: Заданы: точка и нормальный вектор Уравнение плоскости: Координатные плоскости. 3. Условие параллельности прямых. 4. Условие перпендикулярности прямых.
«Пространственные фигуры на плоскости» - Метод проецирования. Центральное проецирование. Не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые. Задачи. Театр теней. Две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми. Жерар Дезарг. Параллельное проецирование. Аксонометрическая проекция. Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы.
«Введение в стереометрию» - Стереометрия -. Фигуры. Журнал "Квант". Тела. Возьмём 6 спичек. Школьная геометрия. Мобильные жилища индейцев называются Типи. Геометрические знания применялись. Кроссворд. Арифметика. Плоскость. Переведем на язык площадей. Планиметрия. Подведение итогов урока. Геометрические знания помогали.
«Аксиомы геометрии» - Можно отложить отрезок заданной длины и только один. Точки. Различные плоскости имеют общую точку. Практическая работа. Ответы на тест. Каждый отрезок имеет определенную длину. Две различные плоскости имеют общую точку. Можно провести на плоскости не более одной прямой. На любой полупрямой от начальной точки можно отложить угол.
«Предмет стереометрии» - Пентаграмма. Вселенная. Основные понятия стереометрии. Из истории. Евклид. Стереометрия. Помните ли вы теорему Пифагора. Указания. Теорема Пифагора. Наглядные представления. Аксиомы стереометрии. Неопределяемые понятия. Правильные многогранники. Геометрия. Понятие науки стереометрии. Невидимая сторона.
Всего в теме 15 презентаций
Важные замечания!
1. Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь:
2. Прежде чем на начнешь читать статью, обрати внимание на наш навигатор по самым полезным ресурса для
1. Основные понятия планиметрии
Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.
Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.
У каждого отрезка есть длина - число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.
А теперь измерение углов . Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.
В развернутом угле градусов.
Для краткости пишут: . При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол . Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.
2. Два основных факта об углах
I. Смежные углы в сумме составляют.
Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!
II. Вертикальные углы равны.
Почему? А смотри:
Что теперь? Ну, конечно, отсюда следует, что. (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).
Чему равна величина прямого угла?
Ну конечно, ! Ведь.
4. Острый и тупой угол.
Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах ?
Аксиомы - это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.
Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком. Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда - добро пожаловать в - там есть довольно подробное обсуждение аксиом. А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида - просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.
Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача - приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции - что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций - никуда!
Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом» .
Так что, внимание!
Основные объекты и аксиомы планиметрии.
Точка и прямая
Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.
Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» - утверждения, которые принимаются за основу, из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется
I. Аксиомы принадлежности.
Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:
Вот так: было две точки:
И тут же нашлась прямая:
А другой - нет!
Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты - на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая» .
Луч, отрезок, угол.
Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - , отрезок , угол.
1) ЛУЧ
Вот он,
2) ОТРЕЗОК
Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:
II. Аксиомы порядка.
Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются
III. Аксиомы мер для отрезков и углов.
А теперь уже совсем странно.
IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному.
Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:
Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных !
Но сперва определение :
V. Аксиома параллельных.
Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии ! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.
А теперь два основных факта об углах!
Смежные и вертикальные углы.
Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной
Это совсем простая теорема, правда?
Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть.
Проще нарисовать, чем описывать - смотри картинку.
Эта тоже легкая теорема. Убедись:
Острый и тупой угол.
КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Аксиомы принадлежности:
- Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
- Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Аксиомы порядка:
- Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
- Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
Аксиомы мер для отрезков и углов:
- Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
- Аксиома 6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Аксиомы существования треугольника, равного данному:
Аксиома параллельных:
- Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
Основные факты об углах:
- Теорема. Сумма смежных углов равна.
Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.
Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!
Теперь самое главное.
Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.
Проблема в том, что этого может не хватить…
Для чего?
Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.
Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…
Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.
Но и это - не главное.
Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...
Но, думай сам...
Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?
НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.
На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.
Тебе нужно будет решать задачи на время .
И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.
Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.
Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!
Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.
Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.
Как? Есть два варианта:
- Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье -
- Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 499 руб
Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.
Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.
И в заключение...
Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.
“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.
Найди задачи и решай!
В качестве примера аксиоматики возьмем геометрию плоскости. Простоты ради мы рассмотрим лишь аксиомы геометрии положения (которые в гильбертовых «Основаниях геометрии» приводятся под названием аксиом соединения и аксиом порядка) и аксиому о параллельных. При этом для наших целей будет удобно несколько отступить от гильбертовской системы аксиом: мы будем исходить не из точек и прямых как объектов, образующих две различные системы, а возьмем в качестве индивидов одни только точки. Вместо отношения «точки и у определяют прямую нас появится трехместное отношение точки лежат на одной прямой», для которого мы буцем применять обозначение . Наряду с этим отношением в качестве второго основного отношения мы возьмем отношение порядка: лежит между которое мы будем обогнать посредством Далее, в наших аксиомах в качестве относящегося к логике понятия будет встречаться отношение равенства Для обозначения этого отношения мы будем употреблять обычный знак равенства:
Для символической записи аксиом нам потребуются также логические знаки и, прежде всего, знаки для выражения всеобщности и существований; если есть предикат, относящийся к индивиду х, то будет означать «все х обладают свойском , а -«существует х, обладающее свойством . Знак называется «квантором всеобщности», а «квантором существования». Кванторы всеобщности и
существования равным образом могут относиться как к переменной х, так и к каким-нибудь другим переменным Принадлежащая такому квантору переменная «связывается» этим квантором - подобно тому, как переменная интегрирования связывается знаком интеграла, - так что все высказывание в целом уже не зависит от какого-либо значения этой переменной.
В качестве очередных логических знаков мы добавим знак для отрицания и знаки для комбинирования высказываний. Для отрицания какого-либо высказывания мы будем использовать знак стоящий перед этим высказыванием. Вместо 1 (х = у) мы для краткости будем писать Знак & («и»), стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинны оба эти высказывания (конъюнкция). Знак («или» в значении «vel»), стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинно по меньшей мере одно из этих высказываний (дизъюнкция).
Знак , стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинность первого из них влечет за собой истинность второго, или, другими словами, что первое из этих высказываний не может быть истинным без того, чтобы не было истинным и второе (импликация). Согласно сказанному, импликация двух высказываний 21 и 95 является ложной лишь тогда, когда 21 истинно, ложно; в остальных случаях она является истинной.
Знак импликации в сочетании с квантором всеобщности изображает общеутвердительные гипотетические предложения. Так, например, формула
где и некоторые отношения между х и у, изображает следующее предложение: «для всякой пары индивидов такой, что истинно истинно также и
При построении формул из их составных частей мы будем пользоваться обычным приемом расстановки скобок. В целях их экономии мы условимся, что знак разделяет сильнее, чем знаки что разделяет сильнее, чем и что знаки и V разделяют сильнее, чем кванторы всеобщности и существования. Мы условимся также опускать скобки всюду, где это не будет вызывать недоразумений. Так, например, вместо выражения
где обозначает какое-либо отношение между х и у, мы будем писать просто так как это выражение может быть прочитано лишь единственным образом: «для каждого х существует у, для которого справедливо отношение
Теперь мы уже в состоянии записать рассматриваемую систему аксиом с помощью формул. Для простоты чтения мы на первых порах будем сопровождать аксиомы их вариантами, записанными с помощью естественного языка.
Разбиение приводимых ниже аксиом на группы не вполне соответствует разбиению, принятому в гильбертовых «Основаниях геометрии». Поэтому каждую группу аксиом мы снабдим комментарием об отношении аксиом, выраженных здесь с помощью формул, к аксиомам, приводимым Гильбертом.
I. Аксиомы соединения (принадлежности):
( всегда лежат на одной прямой).
(если точки х, у, z лежат на одной прямой, то точки у, х, z и точки также лежат на одной прямой).
(если х и у - различные точки и если точки х, у, z и точки х, у, и лежат на одной прямой, то х, z, и также лежат на одной прямой).
(существуют точки х, у, z, не лежащие на одной прямой).
Аксиомы 1) и 2) заменяют - с учетом ликвидации понятия прямой - аксиому I 1); аксиома 3) соответствует аксиоме второй части аксиомы I 3).
II. Аксиомы порядка
(если различные точки, то всегда существует точка такая, что лежит между у и z).
Аксиомы 1) и 2), рассматриваемые совместно, составляют первую часть гильбертовской аксиомы II 1); 3) представляет собой объединение последней части гильбертовской аксиомы II 1) с аксиомой II 3); 4) представляет собой аксиому аксиому плоского порядка II 4).
III. Аксиома о параллельных. Так как аксиомы конгруэнтности в нашем списке аксиом не фигурируют, то аксиому о параллельных мы должны будем здесь привести в следующей расширенной формулировке: для всякой прямой и точки, лежащей вне ее, существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая исходную прямую.
В целях упрощения символической формулировки этой аксиомы мы введем сокращение: символ
Что скрывается за загадочным словом "аксиома", откуда оно пришло и что означает? Школьник 7-8-го класса с лёгкостью ответит на это вопрос, поскольку совсем недавно, при освоении базового курса планиметрии, он уже сталкивался с заданием: "Какие утверждения называются аксиомами, приведите примеры". Аналогичный вопрос взрослого человека, скорее всего, приведёт в затруднение. Чем больше времени проходит с момента учебы, тем сложнее вспомнить азы наук. Вместе с тем слово «аксиома» часто используется и в повседневном обиходе.
Определение термина
Так какие утверждения называются аксиомами? Примеры аксиом весьма многообразны и не ограничиваются какой-либо одной областью науки. Упомянутый термин пришел из древнегреческого языка и в дословном переводе подразумевает «принятое положение».
Строгое определение этого термина гласит, что аксиома - основной тезис какой-либо теории, не нуждающийся в доказательствах. Широко распространено это понятие в математике (а особенно в геометрии), логике, философии.
Ещё древний грек Аристотель заявил, что очевидным фактам доказательства не нужны. Например, ни у кого не вызывает сомнения, что солнечный свет виден только днём. Развил данную теорию другой математик - Евклид. Пример аксиомы про которые никогда не перекрещиваются, принадлежит ему.
Со временем определение термина менялось. Сейчас аксиома воспринимается не только как начало науки, а и как некоторый полученный который служит отправной точкой для дальнейшей теории.
Утверждения из школьного курса
Школьники знакомятся с не требующими подтверждения постулатами на уроках математики. Поэтому, когда выпускникам старших классов дают задание: "Приведите примеры аксиом", они чаще всего вспоминают курсы геометрии и алгебры. Вот образцы часто встречающихся ответов:
- для прямой есть точки, которые к ней относятся (то есть лежат на прямой) и не относятся (не лежат на прямой);
- прямую можно прочертить через любые две точки;
- чтобы разбить плоскость на две полуплоскости, нужно провести прямую.
Алгебра и арифметика в явном виде подобных утверждений не вводят, но пример аксиомы можно найти и в этих науках:
- любое число равно самому себе;
- единица предшествует всем натуральным числам;
- если k=l, то и l=k.
Так, через простые тезисы вводятся более сложные понятия, делаются следствия и выводятся теоремы.
Построение научной теории на основе аксиом
Чтобы построить научную теорию (неважно о какой области исследований идёт речь), нужна основа - кирпичики, из которых она будет складываться. Суть создаётся словарь терминов, формулируется пример аксиомы, на базе которого выводятся остальные постулаты.
Научный глоссарий должен содержать элементарные понятия, то есть те, которые невозможно определить через другие:
- Последовательно объясняя каждый термин, излагая его значения, доходят до основ любой науки.
- Следующий шаг - выявление базового набора утверждений, который должен быть достаточным для доказательства остальных утверждений теории. Сами же базовые постулаты принимаются без обоснования.
- Заключительный шаг - построение и логический вывод теорем.
Постулаты из различных наук
Выражения без доказательств есть не только в точных науках, но и в тех, которые принято относить к гуманитарным. Яркий пример - философия, определяющая аксиому как утверждение, познать которое можно без практических знаний.
Пример аксиомы есть и в юридических науках: "нельзя судить собственное деяние". Исходя из данного утверждения, выводят нормы гражданского права - беспристрастность судопроизводства, то есть судья не может рассматривать дело, если он прямо или косвенно в нём заинтересован.
Не все принимается на веру
Чтобы понять разницу между истинными аксиомами и простыми выражениями, которые объявляются истиной, нужно проанализировать отношение к ним. Например, если речь идёт о религии, где всё принимается на веру, там распространён принцип полного убеждения, что нечто является истиной, поскольку это невозможно доказать. А в научной среде говорят о невозможности пока проверить какое-то положение, соответственно, оно будет являться аксиомой. Готовность усомниться, перепроверять - вот что отличает истинного учёного.
