Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар . Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая - 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло, окажется бракованным.
Решение. Переводим % в дроби.
Событие А - "Куплены стекла первой фабрики". Р(А)=0,3
Событие В - "Куплены стекла второй фабрики". Р(В)=0,7
Событие Х - " Стекла бракованные".
Р(А и Х) = 0.3*0.03=0.009
Р(В и Х) = 0.7*0.04=0.028
По формуле полной вероятности:
Р = 0.009+0.028 = 0.037
Ответ: 0,037
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2.
На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение.
Вероятность того, что пистолет пристрелянный равна 0,4, что нет - 0,6.
Вероятность попасть в муху из пистолета, если он пристрелянный, равна 0,4*0,9=0,36.
Вероятность попасть в муху, если пистолет непристрелянный, равна 0,6*0,2=0,12.
Вероятность попасть: 0,36+0,12=0,48.
Вероятность промаха Р=1-0,48=0,52
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем - 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
Решение. Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить её при первом или втором или... k-м выстреле.
Будем вычислять вероятность уничтожения при k-м выстреле, задавая значения k=1,2,3... И суммируя полученные вероятности
k=1 P=0,4 S=0,4
k=2 P=0,6*0,6=0,36 - при первом выстреле промах, при втором цель уничтожена
S=0,4+0,36=0,76
k=3 P=0,6*0,4*0,6 = 0,144 - цель уничтожена при третьем выстреле
S=0,76+0,144=0,904
k=4 P=0,6*0,4*0,4*0,6= 0,0576 - при 4-м
S=0,904+0,0576=0,9616
k=5 P=0,6*0,4 3 *0,6 = 0,02304
S=0,9616+0,02304=0,98464 - достигли нужной вероятности при k=5.
Ответ: 5.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований , футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей - 1 очко, если проигрывает - 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Решение. 4 очка и больше в двух играх можно набрать такими способами:
3+1 выиграла, ничья
1+3 ничья, выиграла
3+3 оба раза выиграла
Вероятность выигрыша равна 0,4, проигрыша - 0,4, вероятность ничьей равна 1-0,4-0,4 = 0,2.
Р = 0,4*0,2 + 0,2*0,4 + 0,4*0,4 = 2*0,08+0,16 = 0,32
Ответ: 0,32
Попробуйте решить сами:
В партии из 800 кирпичей есть 14 бракованных. Мальчик выбирает наугад один кирпич из этой партии и бросает его с восьмого этажа стройки. Какова вероятность, что брошенный кирпич окажется бракованным?
Экзаменационный сборник по физике для 11 класса состоит из 75 билетов. В 12 из них встречается вопрос о лазерах. Какова вероятность, что ученик Степа, выбирая билет наугад, наткнется на вопрос о лазерах?
На чемпионате по бегу на 100 м выступают 3 спортсмена из Италии, 5 спортсменов из Германии и 4 - из России. Номер дорожки для каждого спортсмена определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что на второй дорожке будет стоять спортсмен из Италии?
На Киевском вокзале в Москве работают 28 окон билетных касс, рядом с которыми толпятся 4000 пассажиров, желающих купить билеты на поезд. По статистике, 1680 из этих пассажиров неадекватны. Найти вероятность того, что кассиру, сидящему за 17-м окном, попадется неадекватный пассажир (учитывая, что пассажиры выбирают кассу наугад).
Во Владивостоке отремонтировали школу и поставили 1200 новых пластиковых окон. Ученик 11-го класса, который не хотел сдавать ЕГЭ по математике, нашел на газоне 45 булыжников и начал кидать их в окна наугад. В итоге, он разбил 45 окон. Найти вероятность того, что окно в кабинете директора окажется не разбитым.
Бабуля хранит на чердаке своего загородного дома 2400 банок с огурцами. Известно, что 870 из них давно протухли. Когда к бабуле приехал внучек, она подарила ему одну банку из своей коллекции, выбирая ее наугад. Какова вероятность того, что внучек получил банку с тухлыми огурцами?
Бригада из 7 строителей-мигрантов предлагает услуги по ремонту квартир. За летний сезон они выполнили 360 заказов, причем в 234 случаях не убрали строительный мусор из подъезда. Коммунальные службы выбирают одну квартиру наугад и проверяют качество ремонтных работ. Найти вероятность того, что сотрудники коммунальных служб не наткнутся при проверке на строительный мусор.
РЕШЕНИЯ ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ — 2013
на нашем сайте
Копирование решений на другие сайты запрещено.
Вы можете поставить ссылку на эту страницу.Наша система тестирования и подготовки к экзамену РЕШУ ЕГЭ РФ .
C 2001 по 2009 год в России начался эксперимент по объединению выпускных экзаменов из школ со вступительными экзаменами в высшие учебные заведения. В 2009 году этот эксперимент был закончен, и с тех пор единый государственный экзамен стал основной формой контроля школьной подготовки.
В 2010 году на смену старой команде составителей экзамена пришла новая. Вместе с разработчиками изменилась и структура экзамена: уменьшилось число задач, увеличилось количество геометрических задач, появилась задача олимпиадного типа.
Важным нововведением стала подготовка открытого банка экзаменационных заданий, в котором разработчики разместили около 75 тысяч заданий. Решить эту бездну задач никто не в силах, но это и не нужно. В действительности, основные типы заданий, представлены так называемыми прототипами, их примеро 2400 штук. Все остальные задачи получены из них при помощи компьютерного клонирования; они отличаются от прототипов только конкретными числовыми данными.
Продолжая мы представляем вашему вниманию решения всех прототипов экзаменационных заданий, существующих в открытом банке. После каждого прототипа приводится список составленных на его основе задач-клонов для самостоятельных упражнений.
Условие
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Решение
Рассмотрим событие А: «Джон возьмет со стола пристрелянный револьвер и промахнется». По теореме об условной вероятности (вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило)
$=\frac{4}{10}\cdot (1-0,9)=0,04$,
где $=\frac{m}{n}=\frac{4}{10}$ — это вероятность взять со стола пристрелянный пистолет, а вероятность промахнуться из него (противоположного событию попасть в цель) равна \
Рассмотрим событие В: «Джон возьмет со стола непристрелянный револьвер и промахнется». Аналогично первому, посчитаем вероятность
$=\frac{10-4}{10}\cdot (1-0,2)=0,48$.
События А и В несовместны (не могут произойти одновременно), значит, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:
Приведем другое решение
Джон попадает в муху, если схватит пристрелянный револьвер и попадет из него, или если схватит непристрелянный револьвер и попадает из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно \ и \. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,36 + 0,12 = 0,48. Событие, состоящее в том, что Джон промахнется, противоположное. Его вероятность равна 1 − 0,48 = 0,52.
Здравствуйте, друзья! Эта статья является продолжением статьи « » . В ней мы рассмотрели основы необходимой теории и решили несколько задач. Здесь вас ждёт ещё четыре. Рассмотрим их:
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
То есть нам необходимо найти вероятность события, когда не перегорят обе лампы, либо не перегорит только первая лампа, либо не перегорит только вторая лампа.
По условию вероятность перегорания лампы 0,2. Значит вероятность исправности лампы в течение года равна 1– 0,2 = 0,8 (это противоположные события).
Вероятность события:
«не перегорят обе» будет равна 0,8∙0,8 = 0,64
«не перегорит первая, но перегорит вторая» равна 0,8∙0,2 = 0,16
«перегорит первая, но не перегорит вторая» равна 0,2∙0,8 = 0,16
Таким образом, вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит будет равна 0,64 + 0,16 + 0,16 = 0,96
Можно решить так:
Вероятность того, что перегорят обе лампы равна 0,2∙0,2 = 0,04
Эти события независимы, но при одновременном (совместном) их совершении вероятности перемножаются. То есть вероятность того, что перегорят обе равна произведению вероятностей.
Событие «не перегорит хотя бы одна лампа» противоположно событию «перегорят обе лампы», следовательно она будет равна 1 – 0,04 = 0,96.
Ответ: 0,96
Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 20 револьверов, из них только 8 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 8) и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер (1 из 12) и промахнется из него.
*Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,2. Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8.
1. Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна (8/20) ∙0,2 = 0,08.
2. Вероятность взять непристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна (12/20) ∙0,8 = 0,48.
Эти два события несовместны, значит искомая вероятность будет равна сумме вероятностей: 0,08+0,48 = 0,56
Ответ: 0,56
На фабрике керамической посуды 5% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 90% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
*Число всевозможных и благоприятных исходов явно не задано (так как о количестве тарелок в условии нет информации).
Пусть n – это количество тарелок, которые произвёл завод. Тогда в продажу поступят качественные тарелки (это 0,95n) и 10% невыявленных дефектных тарелок (это 0,1 от 0,05n).
То есть 0,95n+0,1∙0,05n=0,955n тарелок, это есть число всевозможных исходов. Поскольку качественных из них только 0,95n (это число благоприятных исходов), то вероятность купить качественную тарелку будет равна:
Округляем до сотых, получим 0,99
Ответ: 0,99
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,2. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Нам необходимо найти вероятность события, когда занят первый продавец, при этом занят второй, и при этом (занятости первого и второго) ещё занят и третий. Используется правило умножения.
*Вероятность произведения независимых событий при совместном и совершении равна произведению вероятностей событий. Значит вероятность того, что все три продавца заняты будет равна:
0,2∙0,2∙0,2 = 0,008
Ответ: 0,008
Решить самостоятельно:
