{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}
ТЕСТ ЕГЭ - 2015 ПО МАТЕМАТИКЕ
ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ
ВАРИАНТ 4
ЧАСТЬ 1
1. Флакон шампуня стоит 190 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%?
2. На диаграмме показана средняя температура воздуха в Симферополе за каждый месяц 1988 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали - средняя температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной средней температурой в Симферополе в 1988 году.
3. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.
| Салон |
Цена телефона, |
Первоначальный взнос, в процентах от цены |
Срок кредита, |
Сумма ежемесячного платежа, руб. |
| Эпсилон | 10500 | 10 | 6 | 1960 |
| Дельта | 11600 | 5 | 6 | 2040 |
| Омикрон | 12700 | 20 | 12 | 860 |
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.
4. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
6. Найдите корень уравнения
7. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 26 ° . Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
8. На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции f(х) в точке х 0 .
9. Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).
ЧАСТЬ 2
10. Найдите значение выражения
11. Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры:
где σ = 5,7 · 10 -8 - постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура Т - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь
а излучаемая ею мощность Р равна 4,104 · 10 27 Вт. Определите температуру этой звезды. Ответ выразите в градусах Кельвина.
12. В правильной треугольной пирамиде SABC точка М - середина ребра ВС, S - вершина. Известно, что АВ = 6, а площадь боковой поверхности равна 45. Найдите длину отрезка SM.
13. Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 44 км/ч, а вторую половину пути - со скоростью, на 21 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
14. Найдите наибольшее значение функции
15. а) Решите уравнение 4sin 4 2x + 3cos4x −1 = 0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [п; 3п/2].
16. Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64.
а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.
б) Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды, если площадь сечения пирамиды плоскостью SAC равна 64.
17. Решите неравенство
18. Медианы АА 1 , ВВ 1 и СС 1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А 2 , В 2 и С 2 - середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.
а) Докажите, что площадь шестиугольника А 1 В 2 С 1 А 2 В 1 С 2 вдвое меньше площади треугольника АВС.
б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ = 4, ВС = 7 и АС = 8.
19. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
20. Найдите все значения параметра а , при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке .
21. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
В1. В розницу один номер еженедельного журнала «Репортаж» стоит 26 руб., а полугодовая подписка на этот журнал стоит 590 руб. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей сэкономит г-н Иванов за полгода, если не будет покупать каждый номер журнала отдельно, а оформит подписку?
Решение:
Без подписки 25 номеров журнала обойдутся в рублей.
При подписке 25 номеров журнала обойдутся в 590 рублей.
Значит, г-н Иванов сэкономит за полгода рублей.
B2. Флакон шампуня стоит 160 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 1000 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 25%?
Решение:
При скидке в 25% цена шампуня составит рублей.
Имея 1000 рублей, можно купить 8 флаконов шампуня, так как
В3. На диаграмме показана средняя температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по верти- кали - средняя температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с отрицательной средней температурой в 1994 году в Нижнем Новгороде.
Решение:
В4. В трёх салонах сотовой связи один и тот же телефон продаётся в кредит на разных условиях. Условия даны в таблице.
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты), и в ответ напишите эту наибольшую сумму в рублях.
Решение:
Салон Эпсилон:
15% от 11900 рублей – это рублей.
Плюс рублей по кредиту.
Салон Дельта:
30% от 12000 рублей – это рублей.
Плюс рублей по кредиту.
Итого покупка обойдется в рублей.
Салон Омикрон:
20% от 12200 рублей – это рублей.
Плюс рублей по кредиту.
Итого покупка обойдется в рублей.
В салоне Дельта покупка обойдётся дороже всего (с учётом переплаты) и составит 12840 рублей.
Ответ: 12840.
В5. Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером 1см Х 1см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Площадь трапеции вычисляем по формуле , где – основания трапеции, – высота трапеции.
В6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза.
Решение:
Возможные комбинации исходов при бросании монеты четыре раза (О – орел, Р – решка):
Всего возможно 16 комбинаций. Благоприятными будут 4 из них:
OOOP, ООРО, ОРОО, РООО
Поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза, равна
Ответ: 0,25.
В7 . Найдите корень уравнения .
Решение:
В8. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведён- ными из вершины прямого угла, равен 28°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Из прямоугольного треугольника :
(углы и смежные).
