Considere una ecuación cuadrática.
Determinemos sus raíces.
No existe ningún número real cuyo cuadrado sea -1. Pero si definimos el operador con una fórmula i como una unidad imaginaria, entonces la solución de esta ecuación se puede escribir como 
. Al mismo tiempo 
Y 
- números complejos en los que -1 es la parte real, 2 o en el segundo caso -2 es la parte imaginaria. La parte imaginaria también es un número real. La parte imaginaria multiplicada por la unidad imaginaria significa que ya numero imaginario.
En general, un número complejo tiene la forma
z = incógnita + yo ,
Dónde x,y– números reales, – unidad imaginaria. En varias ciencias aplicadas, por ejemplo, en ingeniería eléctrica, electrónica, teoría de señales, la unidad imaginaria se denota por j. numeros reales x = Re(z) Y y =Soy(z) son llamados partes reales e imaginarias números z. La expresión se llama forma algebraica escribir un número complejo.
Cualquier número real es un caso especial de número complejo en la forma 
. Un número imaginario también es un caso especial de un número complejo. 
.
Definición del conjunto de números complejos C
Esta expresión dice lo siguiente: establecer CON, que consta de elementos tales que incógnita Y y pertenecen al conjunto de los números reales R y es una unidad imaginaria. Tenga en cuenta que, etc.
Dos números complejos 
Y 
son iguales si y sólo si sus partes real e imaginaria son iguales, es decir Y .
Los números y funciones complejos se utilizan ampliamente en la ciencia y la tecnología, en particular, en mecánica, análisis y cálculo de circuitos de corriente alterna, electrónica analógica, en teoría y procesamiento de señales, en teoría del control automático y otras ciencias aplicadas.
- Aritmética de números complejos
La suma de dos números complejos consiste en sumar sus partes real e imaginaria, es decir
En consecuencia, la diferencia de dos números complejos.
numero complejo 
llamado exhaustivamente conjugado número z =x+yo.
Los números conjugados complejos z y z * difieren en los signos de la parte imaginaria. Es obvio que
.
Cualquier igualdad entre expresiones complejas sigue siendo válida si en todas partes de esta igualdad i reemplazar con -
i, es decir. ir a la igualdad de números conjugados. Números i Y –
i son algebraicamente indistinguibles, ya que 
.
El producto (multiplicación) de dos números complejos se puede calcular de la siguiente manera:
División de dos números complejos:
Ejemplo:
- Plano complejo
Un número complejo se puede representar gráficamente en un sistema de coordenadas rectangular. Definamos un sistema de coordenadas rectangular en el plano. (x,y).
En eje Buey Colocaremos las piezas reales. incógnita, se llama eje real (real), en el eje Oye–partes imaginarias y números complejos. se llama eje imaginario. En este caso, cada número complejo corresponde a un determinado punto del plano, y dicho plano se llama plano complejo. Punto A el plano complejo corresponderá al vector OA.
Número incógnita llamado abscisa número complejo, número y – ordenada.
Un par de números conjugados complejos está representado por puntos ubicados simétricamente con respecto al eje real.
 |
Si en el avión nos fijamos sistema de coordenadas polares, entonces cada número complejo z determinado por coordenadas polares. Al mismo tiempo módulo números 
es el radio polar del punto y el ángulo 
- su ángulo polar o argumento de número complejo z.
Módulo de un número complejo 
siempre no negativo. El argumento de un número complejo no está determinado de forma única. El valor principal del argumento debe satisfacer la condición. 
. Cada punto del plano complejo corresponde también al valor general del argumento. Los argumentos que difieren en un múltiplo de 2π se consideran iguales. El argumento número cero no está definido.
El valor principal del argumento está determinado por las expresiones:
Es obvio que
Al mismo tiempo
, 
.
Representación de números complejos z en la forma
llamado forma trigonométrica número complejo.
Ejemplo.
- Forma exponencial de números complejos.
Descomposición en serie maclaurin para funciones de argumentos reales 
tiene la forma:
Para una función exponencial con un argumento complejo z la descomposición es similar
.
La expansión en serie de Maclaurin para la función exponencial del argumento imaginario se puede representar como
La identidad resultante se llama la fórmula de euler.
Para un argumento negativo tiene la forma
Al combinar estas expresiones, puede definir las siguientes expresiones para seno y coseno
.
Usando la fórmula de Euler, de la forma trigonométrica de representar números complejos
se puede obtener indicativo(exponencial, polar) de un número complejo, es decir su representación en la forma
,
Dónde 
- coordenadas polares de un punto con coordenadas rectangulares ( incógnita,y).
El conjugado de un número complejo se escribe en forma exponencial de la siguiente manera.
Para la forma exponencial, es fácil determinar las siguientes fórmulas para multiplicar y dividir números complejos.
Es decir, en forma exponencial, el producto y la división de números complejos es más sencillo que en forma algebraica. Al multiplicar, se multiplican los módulos de los factores y se suman los argumentos. Esta regla se aplica a cualquier número de factores. En particular, al multiplicar un número complejo z en i vector z gira en sentido antihorario 90
En la división, el módulo del numerador se divide por el módulo del denominador y el argumento del denominador se resta del argumento del numerador.
Usando la forma exponencial de números complejos, podemos obtener expresiones para las conocidas identidades trigonométricas. Por ejemplo, desde la identidad
usando la fórmula de Euler podemos escribir
Igualando las partes real e imaginaria en esta expresión, obtenemos expresiones para el coseno y el seno de la suma de ángulos.
- Potencias, raíces y logaritmos de números complejos.
Elevar un número complejo a una potencia natural. norte producido según la fórmula
Ejemplo. calculemos 
.
imaginemos un numero en forma trigonométrica
’
Aplicando la fórmula de exponenciación obtenemos
Poniendo el valor en la expresión. r= 1, obtenemos el llamado La fórmula de Moivre., con el que podrás determinar expresiones para los senos y cosenos de múltiples ángulos.
Raíz norte-ésima potencia de un número complejo z tiene norte diferentes valores determinados por la expresión
Ejemplo. Encontrémoslo.
Para ello, expresamos el número complejo () en forma trigonométrica.
.
Usando la fórmula para calcular la raíz de un número complejo, obtenemos
Logaritmo de un número complejo z- este es el número w, para lo cual . El logaritmo natural de un número complejo tiene un número infinito de valores y se calcula mediante la fórmula
Consta de una parte real (coseno) y una imaginaria (seno). Este voltaje se puede representar como un vector de longitud U m, fase inicial (ángulo), girando con velocidad angular ω .
Además, si se suman funciones complejas, se suman sus partes real e imaginaria. Si una función compleja se multiplica por una función constante o real, entonces sus partes real e imaginaria se multiplican por el mismo factor. La diferenciación/integración de una función tan compleja se reduce a la diferenciación/integración de las partes real e imaginaria.
Por ejemplo, diferenciando la expresión de tensión compleja
es multiplicarlo por iω es la parte real de la función f(z), y 
– parte imaginaria de la función. Ejemplos: 
.
Significado z está representado por un punto en el plano z complejo, y el valor correspondiente w- un punto en el plano complejo w. Cuando se muestra w = f(z) lineas planas z transformarse en líneas planas w, figuras de un plano en figuras de otro, pero las formas de las líneas o figuras pueden cambiar significativamente.
