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Objectifs de la leçon :
- donner une idée des axiomes de géométrie inconnus des élèves, répéter les axiomes déjà connus d'eux ;
- introduire l'axiome des droites parallèles ;
- introduire le concept de conséquences à partir d'axiomes et de théorèmes ;
- montrer comment l'axiome des lignes parallèles et ses conséquences sont utilisés lors de la résolution de problèmes ;
- éducation au patriotisme et à la fierté de sa patrie en utilisant l’exemple du grand mathématicien russe N.I. Lobatchevski.
Équipement: ordinateur, projecteur.
DÉROULEMENT DE LA LEÇON
1. Vérification des devoirs précédents
2. Répétition des axiomes de planimétrie déjà connus des étudiants
Professeur: Dans le célèbre ouvrage d'Euclide « Éléments » (IIIe siècle avant JC), les informations géométriques de base connues à cette époque ont été systématisées. L'essentiel est que dans les «Principes», une approche axiomatique de la construction de la géométrie a été développée, qui consiste dans le fait que d'abord les dispositions de base qui ne nécessitent pas de preuve (axiomes) sont formulées, puis, sur leur base, d'autres les affirmations (théorèmes) sont prouvées par le raisonnement. Certains des axiomes proposés par Euclide sont encore utilisés dans les cours de géométrie.
Le mot « axiome » lui-même vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Une liste complète des axiomes de planimétrie adoptés dans notre cours de géométrie est donnée dans les annexes à la fin du manuel aux pages 344-348. Vous considérerez vous-même ces axiomes chez vous.
Nous avons déjà considéré certains de ces axiomes. Rappelez-vous et formulez ces axiomes.
Étudiants:
1) Il y a au moins trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.
2) Une ligne droite passe par deux points quelconques et un seul.
3) Des trois points d’une droite, un et un seul se situe entre les deux autres.
4) Chaque point O d'une ligne droite la divise en deux parties (deux rayons) de sorte que deux points quelconques du même rayon se trouvent du même côté du point O et que deux points quelconques de rayons différents se trouvent sur des côtés opposés du point O. .
5) Chaque ligne a divise le plan en deux parties (deux demi-plans) de sorte que deux points quelconques du même demi-plan se trouvent du même côté de la ligne a et que deux points quelconques de demi-plans différents se trouvent sur des côtés opposés. de la ligne a.
6) Si, lors du chevauchement, les extrémités de deux segments sont combinées, alors les segments eux-mêmes sont combinés.
7) Sur n'importe quel rayon, dès son début, vous pouvez déposer un segment égal à celui donné, et, de plus, un seul.
8) De n'importe quel rayon dans un demi-plan donné, il est possible de tracer un angle égal à un angle non développé donné, et de plus un seul.
Professeur: Quelles droites sont appelées parallèles dans un plan ?
Étudiants: Deux droites dans un plan sont dites parallèles si elles ne se coupent pas.
Professeur: Formuler les signes de parallélisme des droites.
Étudiants:
1) Si, lorsque deux droites coupent une transversale, les angles d'inclinaison sont égaux, alors les droites sont parallèles.
2) Si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles correspondants sont égaux, alors les droites sont parallèles.
3) Si, lorsque deux droites coupent une transversale, la somme des angles unilatéraux est égale à 180˚, alors les droites sont parallèles.
3. Nouveau sujet. Axiome des droites parallèles
Professeur: Résolvons le problème : « Par un point M qui ne se trouve pas sur la droite a, tracez une droite parallèle à la droite a. »
Le plan pour résoudre le problème est discuté par toute la classe. Un des élèves écrit la solution au tableau (sans l'écrire dans son cahier).
Professeur: La question se pose : est-il possible de tracer une autre droite passant par le point M, parallèle à la droite a ?
Cette question a une longue histoire. Les Éléments d'Euclide contiennent le cinquième postulat : « Et si une droite tombant sur deux droites forme d'un côté des angles intérieurs inférieurs à deux angles droits, alors les droites étendues se rejoindront indéfiniment du côté où les angles sont inférieurs à deux. angles droits. » Proclus au 5ème siècle après JC reformule le postulat d’Euclide de manière plus simple et plus claire : « Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à la droite donnée. » C'est l'axiome des droites parallèles. Il ressort clairement de cela que le problème considéré ci-dessus a une solution unique.
De nombreux mathématiciens ont tenté de prouver le cinquième postulat, car sa formulation faisait trop penser à un théorème. Toutes ces tentatives échouèrent à chaque fois. Et seulement au 19ème siècle. il a finalement été précisé que le cinquième postulat d'Euclide ne peut pas être prouvé, car il est lui-même un axiome ;
Le grand mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) a joué un rôle important dans la résolution de ce problème.
4. Regardez une présentation sur N.I. Lobatchevski
5. Consolidation des acquis. Résolution de problèmes
Étant donné ∆ABC. Combien de droites parallèles au côté AB peuvent être tracées passant par le sommet C ?
Solution.
Selon l’axiome des lignes parallèles, une seule ligne droite peut être tracée.
Quatre lignes droites sont tracées passant par un point ne se trouvant pas sur la ligne p. Combien de ces droites coupent la droite p ? Considérez tous les cas possibles.
Solution.
3 droites 4 droites
Répondre: 3 ou 4 de suite.
Corollaires de l'axiome des droites parallèles.
Les énoncés dérivés directement d’axiomes ou de théorèmes sont appelés corollaires. Considérons les conséquences de l'axiome des droites parallèles.
Corollaire 1˚. Si une droite coupe l’une des deux droites parallèles, elle coupe également l’autre.
Corollaire 2˚. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. (Il est demandé aux étudiants de le prouver eux-mêmes).
Le dessin est le même.
Donné: un || b, c || b
Prouver: un || Avec
Preuve o (méthode « par contradiction ») :
Que les droites a et c ne soient pas parallèles. Ensuite, ils se coupent en un point M. Deux droites différentes (a et c) parallèles à la droite b passent par le point M. Cela contredit l’axiome parallèle. Cela signifie que notre hypothèse n'est pas correcte. Mais il est vrai qu'un || Avec. Etc.
Le deuxième corollaire de l’axiome des droites parallèles est essentiellement un autre signe du parallélisme des droites sur un plan.
Résolution de problèmes : N° 217 (oral), 218 (oral), 198, 200, 213.
№ 217 (oralement)
Les lignes a et b sont parallèles à la ligne c. Montrer que toute droite coupant la droite a coupe également la droite b.
Solution.
Si un || b et b || c, puis un || s (corollaire 2˚).
Si une ligne arbitraire d ∩ a, alors d ∩ b (Corollaire 1˚).
№ 218 (oralement)
Les lignes a et b se croisent. Est-il possible de tracer une ligne qui coupe la ligne a et qui est parallèle à la ligne b ? Justifiez votre réponse.
Solution.
Prenons le point A b sur la ligne a. Par le point A il n’y a qu’une seule droite parallèle à la droite b (axiome parallèle). La ligne construite coupera la ligne a, puisqu'elle a un point commun A avec elle.
Les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne p, la ligne c coupe la ligne a. La ligne c coupe-t-elle la ligne b ?
Donné:ар, bр, с ∩ a
Trouver: Est-ce que c coupe la ligne b ?
Solution: si ap et bp, alors a || b (théorème).
Si c ∩ a et a || b, alors c ∩ b (Corollaire 1˚).
Répondre: c ∩b.
Dans l'image du manuel AD || p et PQ || Colombie-Britannique Montrer que la droite p coupe les droites AB, AE, AC, BC, PQ.
Dans l’image du manuel, CE = ED, BE = EF et KE = AD. Prouver que KE || Soleil.
6. Résumé
1) Quel est le principal mérite d’Euclide ?
2) Qu’appelle-t-on un axiome ?
3) Quels axiomes connaissons-nous ?
4) Quel scientifique russe a construit une théorie cohérente de la géométrie non euclidienne ?
5) Qu’appelle-t-on une conséquence au sens mathématique du terme ?
6) Quelles conséquences avons-nous appris aujourd’hui ?
7. Devoirs :
§2, paragraphe 27, 28, annexe sur les axiomes de géométrie pp. 344-348, questions 7-11 pp. 68, n° 199, 214.
N°199 : La droite p est parallèle au côté AB du triangle ABC. Montrer que les droites BC et AC coupent la droite r.
N° 214 : Une droite passant par le milieu de la bissectrice AD du triangle ABC et perpendiculaire à AD coupe le côté AC au point M. Montrer que MD¦AB.
Littérature:
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Géométrie, 7-9 : Manuel pour les établissements d'enseignement. − M. : Éducation, 2003.
- Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Glazkov Yu.A., Nekrasov V.B., Yudina I.I.Étudier la géométrie en 7e, 8e, 9e années : Recommandations méthodologiques pour le manuel. Livre pour les enseignants. − M. : Éducation, 2003.
- Dorofeeva A.V. Pages d'histoire dans les cours de mathématiques : Un livre pour les enseignants. − M. : Éducation, 2007.
- Wikipédia.
La leçon vidéo "Axiome des lignes parallèles" implique un examen détaillé d'un axiome important de la géométrie - l'axiome des lignes parallèles, ses caractéristiques, les conséquences de cet axiome, qui sont largement utilisées dans la pratique de la résolution de problèmes géométriques. Le but de cette leçon vidéo est de faciliter la mémorisation de l'axiome et de ses conséquences, de se faire une idée de ses caractéristiques et de son application dans la résolution de problèmes.
La présentation du matériel sous forme de cours vidéo ouvre de nouvelles opportunités pour l'enseignant. La livraison d'un bloc standard de matériel pédagogique aux étudiants est automatisée. Dans le même temps, la qualité de la présentation du matériel s'améliore, puisqu'il s'enrichit d'une représentation visuelle et d'effets d'animation qui rapprochent les constructions des constructions réelles réalisées au tableau. Les informations historiques sont présentées avec des dessins et des photos, suscitant l'intérêt pour le sujet étudié. La vidéo permet également à l’enseignant d’approfondir le travail individuel pendant l’enseignement.
Tout d'abord, cette vidéo montre le nom du sujet. La considération d'un axiome commence par la construction de son modèle. L'écran montre une ligne a et un point M situé à l'extérieur d'elle. Ensuite, nous décrivons la preuve de l'affirmation selon laquelle à travers un point M donné, il est possible de construire une ligne parallèle à celle donnée. Une ligne c est tracée perpendiculairement à la ligne a, puis la ligne b est tracée perpendiculairement à la ligne c au point M. Sur la base de l'affirmation sur le parallélisme de deux droites perpendiculaires à la troisième, nous notons que la droite b est parallèle à la droite originale a. En tenant compte de cela, nous indiquons qu'au point M une droite est tracée parallèlement à celui-ci. Cependant, il reste encore à vérifier s’il est possible de tracer une autre droite parallèle passant par M. L'écran montre que toute rotation de la droite b au point M entraînera la construction d'une droite qui coupera la droite a. Mais est-il possible de prouver l’impossibilité de tracer une autre ligne droite ?
La question de prouver l’impossibilité de tracer une autre ligne parallèle à celle-ci a une longue histoire. Les étudiants se voient proposer une courte excursion dans l’histoire de la question. Il est à noter que dans l’ouvrage « Éléments » d’Euclide, cette affirmation est donnée sous la forme du cinquième postulat. Les tentatives des scientifiques pour prouver cette affirmation ont échoué. Depuis de nombreux siècles, les mathématiciens s’intéressent à ce problème. Cependant, ce n’est qu’au siècle dernier qu’il a finalement été prouvé que cette affirmation était indémontrable en géométrie euclidienne. C'est un axiome. Les étudiants découvrent l'un des mathématiciens célèbres qui ont apporté des contributions significatives à la science mathématique - Nikolai Ivanovich Lobachevsky. C'est lui qui a joué un rôle important dans la résolution finale du problème. Par conséquent, l’énoncé discuté dans cette leçon est un axiome qui constitue le fondement de la science avec d’autres axiomes.
Nous proposons ensuite de considérer les conséquences de cet axiome. Pour ce faire, il est nécessaire de clarifier la notion de « conséquence ». L'écran affiche la définition des corollaires en tant qu'énoncés dérivés directement de théorèmes ou d'axiomes. Cette définition peut être proposée aux élèves pour qu'ils l'écrivent dans leurs cahiers. Le concept de conséquences est démontré à l'aide d'un exemple déjà abordé dans la leçon vidéo 18 « Propriétés d'un triangle isocèle ». Un théorème sur les propriétés d'un triangle isocèle s'affiche à l'écran. Il est rappelé qu'après la démonstration de ce théorème, des conséquences non moins importantes en ont été considérées. Ainsi, si le théorème principal affirmait que la bissectrice d'un triangle isocèle est une médiane et une altitude, alors les corollaires avaient un contenu similaire, affirmant que la hauteur d'un triangle isocèle est une bissectrice et une médiane, ainsi que la médiane d'un triangle isocèle. Le triangle isocèle est à la fois une bissectrice et une altitude.
Après avoir clarifié la notion de conséquences, considérons directement les conséquences découlant de cet axiome des lignes parallèles. Le texte du premier corollaire de l'axiome s'affiche à l'écran, indiquant que l'intersection d'une droite avec l'une des droites parallèles signifie son intersection avec la deuxième droite parallèle. La figure sous le texte du corollaire montre une droite b et une droite parallèle a. La deuxième ligne coupe la ligne c au point M, qui appartient à la ligne a. Une preuve est donnée de l’affirmation selon laquelle la ligne c coupera également la ligne b. La preuve est faite par contradiction, en utilisant l'axiome des droites parallèles. Si nous supposons que la ligne c ne coupe pas b, cela signifie que par ce point nous pouvons tracer une autre ligne parallèle à celle indiquée. Mais cela est impossible, étant donné l’axiome des lignes parallèles. Par conséquent, c coupe également la ligne b. L'enquête a été prouvée.
Considérons ensuite le deuxième corollaire de cet axiome. L'écran affiche le texte d'un corollaire indiquant que si deux droites sont parallèles à une troisième, alors on peut affirmer qu'elles sont parallèles entre elles. Dans la figure démontrant cette affirmation, les lignes droites a, b, c sont construites. Dans ce cas, la ligne c, parallèle aux deux lignes, est surlignée en bleu. Il est proposé de prouver cette affirmation. Lors de la preuve, on suppose que les droites a et b parallèles aux droites c ne sont pas parallèles entre elles. Cela signifie qu'ils ont un point d'intersection. Cela signifie que les deux droites passant par le point M sont parallèles à celui-ci, ce qui contredit l’axiome des droites parallèles. Ce corollaire est correct.
La leçon vidéo « Axiome des lignes parallèles » peut permettre à l'enseignant d'expliquer plus facilement aux élèves les caractéristiques de l'axiome, la preuve de ses conséquences, et de faciliter la mémorisation du matériel par les élèves lors d'une leçon ordinaire. En outre, ce matériel vidéo peut être utilisé pour l'apprentissage à distance et est recommandé pour l'auto-apprentissage.
Complété par un élève de 7e année "G" MBOU "OK "Lycée n°3" Gavrilov Dmitry
Axiome
Vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Une position acceptée sans preuve logique en raison d'un pouvoir de persuasion immédiat est la véritable position de départ de la théorie. (Dictionnaire encyclopédique soviétique)
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Légendes des diapositives :
Axiome des lignes parallèles Complété par un élève de 7e année « G » MBOU « OK « Lycée n°3 » Gavrilov Dmitry Année académique 2015-2016 (professeur Konareva T.N.)
Définitions et faits connus. Terminez la phrase. 1. La ligne x est appelée transversale par rapport aux lignes a et b si... 2. Lorsque deux droites se coupent, une transversale forme... des angles non développés. 3. Si les lignes AB et C D sont coupées par la ligne B D, alors la ligne B D est appelée... 4. Si les points B et D se trouvent dans des demi-plans différents par rapport à la sécante AC, alors les angles BAC et DCA sont appelés... 5. Si les points B et D se trouvent dans un demi-plan par rapport à la sécante AC, alors les angles BAC et DCA sont appelés... 6. Si les angles intérieurs d'une paire sont égaux, alors les angles intérieurs de l'autre paire sont égaux... D C A C B D A B
Vérification de la tâche. 1. ... s'il les coupe en deux points 2. 8 3. ... sécant 4. ... transversalement 5. ... unilatéral 6. ... égal
Correspondance a) a b m 1) a | | b, puisque les angles transversaux internes sont égaux b) 2) a | | b, puisque les angles correspondants sont égaux c) a b 3) a | | b, puisque la somme des angles internes unilatéraux est égale à 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º
À propos des axiomes de la géométrie
Axiome Vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Une position acceptée sans preuve logique en raison d'un pouvoir de persuasion immédiat est la véritable position initiale de la théorie. Dictionnaire encyclopédique soviétique
Une ligne droite passe par deux points quelconques, et un seul. Combien de lignes droites peuvent être tracées passant par deux points quelconques situés sur un plan ?
Sur n'importe quel rayon, dès son début, on peut déposer un segment égal à celui donné, et, de plus, combien de segments d'une longueur donnée peut-on déposer depuis le début du rayon ?
À partir de n'importe quel rayon dans une direction donnée, il est possible de tracer un angle égal à un angle non développé donné, et un seul. Combien d'angles égaux à un angle donné peuvent être tracés d'un rayon donné à un demi-plan donné ?
axiomes théorèmes raisonnement logique essai célèbre « Principia » Géométrie euclidienne Construction logique de la géométrie
Axiome des droites parallèles
M a Montrons que passant par le point M il est possible de tracer une droite parallèle à la droite a c b a ┴ c b ┴ c a II c
Est-il possible de tracer une autre ligne passant par le point M parallèle à la ligne a ? a M en 1 Est-il possible de le prouver ?
De nombreux mathématiciens, depuis l’Antiquité, ont tenté de prouver cette affirmation, et dans les Éléments d’Euclide, cette affirmation est appelée le cinquième postulat. Les tentatives pour prouver le cinquième postulat d'Euclide ont échoué et ce n'est qu'au XIXe siècle qu'il a finalement été clarifié que l'affirmation sur l'unicité d'une ligne passant par un point donné parallèle à une ligne donnée ne peut pas être prouvée sur la base du reste des axiomes d'Euclide. , mais est en soi un axiome. Le mathématicien russe Nikolai Ivanovich Lobachevsky a joué un rôle important dans la résolution de ce problème.
Cinquième postulat d'Euclide 1792-1856 Nikolaï Ivanovitch
« Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, passe une seule droite parallèle à la droite donnée. » « Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, on peut tracer une droite parallèle à celle donnée. » Lequel de ces énoncés est un axiome ? En quoi les déclarations ci-dessus sont-elles différentes ?
Par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée passe une seule droite parallèle à celle donnée. Les énoncés dérivés d'axiomes ou de théorèmes sont appelés corollaires 1. Si une droite coupe l'une des deux droites parallèles, alors elle coupe également l'autre. a II b , c b ⇒ c a Axiome du parallélisme et conséquences qui en découlent. a A Corollaire 2. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles. a II c, b II c a II b a b c c b
Consolidation des connaissances. Testez Marquez les déclarations correctes avec un signe «+» et les déclarations erronées avec un signe «-». Option 1 1. Un axiome est un énoncé mathématique sur les propriétés des figures géométriques qui nécessite une preuve. 2. Une ligne droite passe par deux points quelconques. 3. Sur n'importe quel rayon, depuis le début, vous pouvez tracer des segments égaux à celui donné, et autant que vous le souhaitez. 4. Par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée, une seule ligne parallèle à la ligne donnée passe. 5. Si deux droites sont parallèles à une troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Option 2 1. Un axiome est un énoncé mathématique sur les propriétés des figures géométriques, accepté sans preuve. 2. Une ligne droite passe par deux points quelconques et un seul. 3. Par un point qui ne se trouve pas sur une droite donnée, ne passent que deux droites parallèles à la droite donnée. 4. Si une ligne coupe l’une des deux lignes parallèles, alors elle est perpendiculaire à l’autre ligne. 5. Si une ligne coupe l’une des deux lignes parallèles, elle coupe également l’autre.
Réponses au test Option 1 1. « - » 2. « - » 3. « - » 4. « + » 5. « + » Option 2 « + » « + » « - » « - » « + »
« La géométrie est pleine d’aventures car derrière chaque problème se cache une aventure de la pensée. Résoudre un problème, c’est vivre une aventure. (V. Proizvolov)
En étudiant les propriétés des figures géométriques, nous avons prouvé un certain nombre de théorèmes. Ce faisant, nous nous sommes généralement appuyés sur des théorèmes précédemment prouvés. Sur quoi reposent les preuves des tout premiers théorèmes de géométrie ? La réponse à cette question est la suivante : certaines affirmations sur les propriétés des figures géométriques sont acceptées comme points de départ, sur la base desquels d'autres théorèmes sont prouvés et, en général, toute géométrie est construite. De telles positions initiales sont appelées axiomes.
Certains axiomes ont été formulés dès le premier chapitre (bien qu'ils n'y soient pas appelés axiomes). Par exemple, c'est un axiome selon lequel
De nombreux autres axiomes, bien que peu soulignés, ont en réalité été utilisés dans notre raisonnement. Ainsi, nous avons comparé deux segments en superposant un segment sur un autre. La possibilité d’un tel chevauchement découle de l’axiome suivant :
La comparaison de deux angles repose sur un axiome similaire :
Tous ces axiomes sont évidents et ne font aucun doute. Le mot « axiome » lui-même vient du grec « axios », qui signifie « précieux, digne ». Nous fournissons une liste complète des axiomes de planimétrie adoptés dans notre cours de géométrie à la fin du manuel.
Cette approche de la construction de la géométrie, lorsque les positions initiales - les axiomes - sont d'abord formulées, puis d'autres affirmations sont prouvées sur leur base par un raisonnement logique, trouve son origine dans l'Antiquité et a été décrite dans le célèbre ouvrage « Principes » du Grec ancien. le scientifique Euclide. Certains des axiomes d'Euclide (il en appelait certains postulats) et sont désormais utilisés dans les cours de géométrie, et la géométrie elle-même, présentée dans les « Éléments », est appelée Géométrie euclidienne. Dans le paragraphe suivant, nous ferons connaissance avec l’un des axiomes les plus célèbres de la géométrie.
Axiome des droites parallèles
Considérons une ligne droite arbitraire a et un point M qui ne s'y trouve pas (Fig. 110, a). Montrons que passant par le point M il est possible de tracer une droite parallèle à la droite a. Pour ce faire, tracez deux droites passant par le point M : d'abord la droite c perpendiculaire à la droite a, puis la droite b perpendiculaire à la droite c (Fig. 110, (b). Puisque les droites a et b sont perpendiculaires à droite c, elles sont parallèles.
Riz. 110
Ainsi, par le point M passe une droite b parallèle à la droite a. La question suivante se pose : est-il possible de tracer une autre droite passant par le point M, parallèle à la droite a ?
Il nous semble que si la droite b est « tournée » même d'un très petit angle autour du point M, alors elle coupera la droite a (ligne b" sur la figure 110.6). En d'autres termes, il nous semble que c'est impossible de tracer une autre droite passant par le point M (différente de b), parallèle à la droite a. Est-il possible de prouver cette affirmation ?
Cette question a une longue histoire. Les « Éléments » d’Euclide contiennent un postulat (le cinquième postulat d’Euclide), d’où il résulte que, passant par un point ne se trouvant pas sur une ligne donnée, une seule ligne droite peut être tracée parallèlement à celle donnée. De nombreux mathématiciens, dès l'Antiquité, ont tenté de prouver le cinquième postulat d'Euclide, c'est-à-dire de le dériver d'autres axiomes. Cependant, ces tentatives échouèrent à chaque fois. Et ce n'est qu'au siècle dernier qu'il a finalement été clarifié que l'affirmation sur l'unicité d'une ligne passant par un point donné parallèle à une ligne donnée ne peut pas être prouvée sur la base des axiomes restants d'Euclide, mais est elle-même un axiome.
Le grand mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) a joué un rôle majeur dans la résolution de cette question difficile.
Donc, comme autre point de départ, nous acceptons axiome des droites parallèles.
Les énoncés dérivés directement d'axiomes ou de théorèmes sont appelés conséquences. Par exemple, les énoncés 1 et 2 (voir p. 35) sont des conséquences du théorème sur la bissectrice d'un triangle isocèle.
Considérons quelques corollaires de l'axiome des droites parallèles.
En effet, que les droites a et b soient parallèles et que la droite c coupe la droite a au point M (Fig. 111, a). Montrons que la droite c coupe également la droite b. Si la ligne c ne coupait pas la ligne b, alors deux lignes (lignes a et c) parallèles à la ligne b passeraient par le point M (Fig. 111, b). Mais cela contredit l’axiome des lignes parallèles et, par conséquent, la ligne c coupe la ligne b.
Riz. 111
En effet, que les droites a et b soient parallèles à la droite c (Fig. 112, a). Montrons qu'un || b. Supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un point M (Fig. 112.6). Puis deux droites passent par le point M (lignes a et b), parallèles à la droite c.
Riz. 112
Mais cela contredit l’axiome des droites parallèles. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte, ce qui signifie que les droites a et b sont parallèles.
Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale
Chaque théorème comporte deux parties : condition Et conclusion. La condition du théorème est ce qui est donné et la conclusion est ce qui doit être prouvé.
Considérons par exemple un théorème exprimant le critère de parallélisme de deux droites : si, lorsque deux droites se coupent avec une transversale, les angles couchés sont égaux, alors les droites sont parallèles.
Dans ce théorème, la condition est la première partie de l'énoncé : « lorsque deux droites se coupent transversalement, les angles couchés sont égaux » (cela est donné), et la conclusion est la deuxième partie : « les droites sont parallèles » (cela nécessite à prouver).
L'inverse de ce théorème, est un théorème dans lequel la condition est la conclusion du théorème, et la conclusion est la condition du théorème. Démontrons les théorèmes inverses aux trois théorèmes du paragraphe 25.
Théorème
Preuve
Supposons que les lignes parallèles a et b soient coupées par la sécante MN. Montrons que les angles transversaux, par exemple 1 et 2, sont égaux (Fig. 113).
Riz. 113
Supposons que les angles 1 et 2 ne soient pas égaux. Soustrayons au rayon MN un angle PMN égal à l'angle 2, de sorte que ∠PMN et ∠2 soient des angles transversaux à l'intersection des droites MR et b par la sécante MN. Par construction, ces angles croisés sont égaux, donc MR || b. Nous avons constaté que deux droites passent par le point M (les droites a et MP), parallèles à la droite b. Mais cela contredit l’axiome des droites parallèles. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et ∠1 = ∠2. Le théorème a été prouvé.
Commentaire
Pour prouver ce théorème, nous avons utilisé une méthode de raisonnement appelée par preuve par contradiction.
Nous avons supposé que lorsque les droites parallèles a et b coupent une transversale MN, les angles couchés 1 et 2 ne sont pas égaux, c'est-à-dire que nous avons supposé le contraire de ce qui doit être prouvé. Partant de cette hypothèse, le raisonnement nous a amenés à une contradiction avec l'axiome des droites parallèles. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et donc ∠1 = ∠2.
Cette façon de raisonner est souvent utilisée en mathématiques. Nous l'avons utilisé plus tôt, par exemple au paragraphe 12 pour prouver que deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas. Nous avons utilisé la même méthode au paragraphe 28 pour prouver les corollaires 1 0 et 2 0 à partir de l'axiome des droites parallèles.
Conséquence
En effet, soit un || b, c ⊥ a, soit ∠1 = 90° (Fig. 114). La ligne c coupe la ligne a, elle coupe donc également la ligne b. Lorsque les lignes parallèles a et b coupent une transversale c, des angles transversaux égaux se forment : ∠1=∠2. Puisque ∠1 = 90°, alors ∠2 = 90°, c'est-à-dire c ⊥ b, ce qui devait être prouvé.
Riz. 114
Théorème
Preuve
Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante c. Montrons que les angles correspondants, par exemple 1 et 2, sont égaux (voir Fig. 102). Depuis un || b, alors les angles transversaux 1 et 3 sont égaux.
Les angles 2 et 3 sont égaux à la verticale. Des égalités ∠1 = ∠3 et ∠2 = ∠3 il s'ensuit que ∠1 = ∠2. Le théorème a été prouvé.
Théorème
Preuve
Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante c (voir Fig. 102). Montrons par exemple que ∠1 + ∠4 = 180°. Depuis un || b, alors les angles correspondants 1 et 2 sont égaux. Les angles 2 et 4 sont adjacents, donc ∠2 + ∠4 = 180°. Des égalités ∠1 = ∠2 et ∠2 + ∠4 = 180° il s'ensuit que ∠1 + ∠4 = 180°. Le théorème a été prouvé.
Commentaire
Si un certain théorème est prouvé, alors l’énoncé inverse ne suit pas. De plus, l’inverse n’est pas toujours vrai. Donnons un exemple simple. Nous savons que si les angles sont verticaux, alors ils sont égaux. L’affirmation inverse : « si les angles sont égaux, alors ils sont verticaux » est bien entendu fausse.
Angles à côtés respectivement parallèles ou perpendiculaires
Démontrons le théorème sur les angles ayant des côtés parallèles correspondants.
Théorème
Preuve
Soient ∠AOB et ∠A 1 O 1 B 1 les angles donnés et OA || O 1 UNE 1 , OB || Environ 1 sur 1. Si l'angle AOB est développé, alors l'angle A 1 O 1 B 1 est également développé (expliquez pourquoi), donc ces angles sont égaux. Soit ∠AOB un angle non développé. Des cas possibles de localisation des angles AOB et A 1 O 1 B 1 sont représentés sur la figure 115, a et b. La droite O 1 B 1 coupe la droite O 1 A 1 et, par conséquent, coupe la droite OA qui lui est parallèle en un point M. Les droites parallèles OB et O 1 B 1 sont coupées par la sécante OM, donc l'une des Les angles formés à l'intersection des droites O 1 B 1 et OA (angle 1 sur la figure 115), sont égaux à l'angle AOB (comme les angles transversaux). Les droites parallèles OA et O 1 A 1 sont coupées par la sécante O 1 M, donc soit ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (Fig. 115, a), soit ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (Fig. . 115, b). De l'égalité ∠1 = ∠AOB et des deux dernières égalités, il résulte que soit ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (voir Fig. 115, a), soit ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° ( voir Fig. 115, b). Le théorème a été prouvé.
Riz. 115
Démontrons maintenant le théorème sur les angles dont les côtés sont perpendiculaires en conséquence.
Théorème
Preuve
Soit ∠AOB et ∠A 1 O 1 B 1 des angles donnés, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 . Si l'angle AOB est inversé ou droit, alors l'angle A 1 O 1 B 1 est inversé ou droit (expliquez pourquoi), donc ces angles sont égaux. Soit ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).
Deux cas sont possibles (Fig. 116).
1 0 . ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.
2 0 . ∠AOB > 90° (voir Fig. 116, b). Traçons le rayon OS de telle sorte que l'angle AOS soit adjacent à l'angle AOB. L'angle AOC est aigu et ses côtés sont respectivement perpendiculaires aux côtés de l'angle A 1 O 1 B 1 . Par conséquent, soit ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, soit ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . Dans le premier cas, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, dans le second cas, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Le théorème a été prouvé.
Tâches
196. Étant donné un triangle ABC. Combien de droites parallèles au côté AB peuvent être tracées passant par le sommet C ?
197. Quatre lignes droites sont tracées passant par un point ne se trouvant pas sur la ligne p. Combien de ces droites coupent la droite p ? Considérez tous les cas possibles.
198. Les lignes a et b sont perpendiculaires à la ligne p, la ligne c coupe la ligne a. La ligne c coupe-t-elle la ligne b ?
199. La droite p est parallèle au côté AB du triangle ABC. Montrer que les droites BC et AC coupent la droite r.
200. Dans la figure 117 AD || p et PQ || Soleil. Montrer que la droite p coupe les droites AB, AE, AC, BC et PQ.
Riz. 117
201. La somme des angles transversaux lorsque deux droites parallèles se coupent avec une transversale est égale à 210°. Trouvez ces angles.
202. Dans la figure 118, les lignes a, b et c sont coupées par la ligne d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Lesquelles des droites a, b et c sont parallèles ?
Riz. 118
203. Trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles a et b se coupent avec une transversale c, si :
a) l'un des angles est de 150° ;
b) l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.
204. Les extrémités du segment AB se trouvent sur des lignes parallèles a et b. La droite passant par le milieu O de ce segment coupe les droites a et b aux points C et D. Montrer que CO = OD.
205. En utilisant les données de la figure 119, trouvez ∠1.
Riz. 119
206. ∠ABC = 70° et ABCD = 110°. Les directs AB et CD peuvent-ils être :
a) parallèle ;
b) se croisant ?
207. Répondez aux questions du problème 206 si ∠ABC = 65° et ∠BCD = 105°.
208. La différence entre deux angles unilatéraux lorsque deux droites parallèles se coupent avec une transversale est de 50°. Trouvez ces angles.
209. Dans la figure 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. Trouvez les angles 1, 2 et 3.
Riz. 120
210. Deux corps P 1 et P 2 sont suspendus aux extrémités d'un fil jeté sur les blocs A et B (Fig. 121). Le troisième corps P 3 est suspendu au même fil au point C et équilibre les corps P 1 et P 2. (Dans ce cas, AP 1 || BP 2 || CP 3 .) Montrer que ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .
Riz. 121
211. Deux lignes parallèles sont coupées par une transversale. Montrer que : a) les bissectrices d'angles opposés sont parallèles ; b) les bissectrices des angles unilatéraux sont perpendiculaires.
212. Les droites contenant les altitudes AA 1 et BB 1 du triangle ABC se coupent au point H, l'angle B est obtus, ∠C = 20°. Trouver l'angle ABB.
Réponses aux problèmes
196. Une ligne droite.
197. Trois ou quatre.
201. 105°, 105°.
203. b) Quatre angles font 55°, quatre autres angles font 125°.
206. a) Oui; b) oui.
207. a) Non; b) oui.
208. 115° et 65°.
209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.
210. Instruction. Considérons le prolongement du faisceau CP 3.
§ 1 Axiome des droites parallèles
Découvrons quels énoncés sont appelés axiomes, donnons des exemples d'axiomes, formulons l'axiome des droites parallèles et considérons certaines de ses conséquences.
Lors de l'étude des figures géométriques et de leurs propriétés, il est nécessaire de prouver diverses affirmations - des théorèmes. Pour les prouver, ils s’appuient souvent sur des théorèmes déjà prouvés. La question se pose : sur quoi sont basées les preuves des tout premiers théorèmes ? En géométrie, certaines hypothèses initiales sont acceptées et, sur leur base, les théorèmes suivants sont prouvés. De telles dispositions initiales sont appelées axiomes. L'axiome est accepté sans preuve. Le mot axiome vient du mot grec « axios », qui signifie « précieux, digne ».
Nous connaissons déjà certains axiomes. Par exemple, un axiome est l’énoncé : par deux points quelconques passe une ligne droite, et une seule.
Lors de la comparaison de deux segments et de deux angles, nous avons superposé un segment sur l'autre et superposé l'angle sur l'autre angle. La possibilité d'une telle imposition découle des axiomes suivants :
· sur n'importe quel rayon, depuis son début, vous pouvez tracer un segment égal à celui donné, et un seul ;
· à partir de n'importe quel rayon dans une direction donnée, on peut repousser un angle égal à un angle donné non développé, et de plus un seul.
La géométrie est une science ancienne. Pendant près de deux millénaires, la géométrie a été étudiée selon le célèbre ouvrage « Éléments » de l'ancien scientifique grec Euclide. Euclide a d'abord formulé les points de départ - les postulats, puis, sur la base d'eux, par un raisonnement logique, il a prouvé d'autres affirmations. La géométrie présentée dans les Principia est appelée géométrie euclidienne. Dans les manuscrits du scientifique, il y a une déclaration appelée le cinquième postulat, autour de laquelle la controverse a éclaté pendant très longtemps. De nombreux mathématiciens ont tenté de prouver le cinquième postulat d'Euclide, à savoir : le dériver d'autres axiomes, mais chaque fois les preuves étaient incomplètes ou aboutissaient à une impasse. Ce n'est qu'au XIXe siècle qu'il fut finalement clair que le cinquième postulat ne pouvait pas être prouvé sur la base des axiomes restants d'Euclide et qu'il était lui-même un axiome. Le mathématicien russe Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski (1792-1856) a joué un rôle majeur dans la résolution de ce problème. Ainsi, le cinquième postulat est l’axiome des droites parallèles.
Axiome : par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée passe une seule droite parallèle à celle donnée.
§ 2 Corollaires de l'axiome des droites parallèles
Les énoncés dérivés directement d’axiomes ou de théorèmes sont appelés corollaires. Considérons quelques corollaires de l'axiome des droites parallèles.
Corollaire 1. Si une droite coupe l’une des deux droites parallèles, alors elle coupe également l’autre.
Étant donné : les lignes a et b sont parallèles, la ligne c coupe la ligne a au point A.
Prouver : la droite c coupe la droite b.
Preuve : si la droite c ne coupait pas la droite b, alors deux droites a et c passeraient par le point A, parallèle à la droite b. Mais cela contredit l'axiome des droites parallèles : par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, une seule droite parallèle à la droite donnée passe. Cela signifie que la ligne c coupe la ligne b.
Corollaire 2. Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles.
Étant donné : les lignes a et b sont parallèles à la ligne c. (une||c, b||c)
Prouver : la droite a est parallèle à la droite b.
Preuve : supposons que les droites a et b ne soient pas parallèles, c'est-à-dire se croisent en un point A. Ensuite, deux droites a et b passent par le point A, parallèlement à la droite c. Mais selon l'axiome des droites parallèles, par un point ne se trouvant pas sur une droite donnée, une seule droite le traverse, parallèle à celle donnée. Cela signifie que notre hypothèse est incorrecte et que les droites a et b sont parallèles.
Liste de la littérature utilisée :
- Géométrie. 7e à 9e années : manuel. pour l'enseignement général organisations / L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et al. - M. : Éducation, 2013. - 383 p. : ill.
- Gavrilova N.F. Développements de cours en géométrie 7e année. - M. : « VAKO », 2004, 288 p. - (Pour aider le professeur de l'école).
- Belitskaïa O.V. Géométrie. 7e année. Partie 1. Essais. – Saratov : Lycée, 2014. – 64 p.
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