Anaz. mutuellement perpendiculaire si l est perpendiculaire à toute ligne située sur a. Pour une généralisation de la notion de perpendiculaire, voir l'Art. Orthogonalité.
Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique.
I.M. Vinogradov.
1977-1985.
Voyez ce qu'est « DROITE PERPENDICULAIRE » dans d'autres dictionnaires : Une relation binaire entre différents objets (vecteurs, lignes, sous-espaces, etc.) dans l'espace euclidien. Un cas particulier d'orthogonalité. Table des matières 1 Dans un avion 1.1 Perpendiculaire... Wikipédia
Branche des mathématiques qui traite de l'étude des propriétés de diverses figures (points, lignes, angles, objets bidimensionnels et tridimensionnels), de leurs tailles et positions relatives. Pour faciliter l'enseignement, la géométrie est divisée en planimétrie et stéréométrie. DANS… … Encyclopédie de Collier
SYSTÈME DE COORDONNÉES CARTÉSIENNES, un système de coordonnées rectilignes sur un plan ou dans l'espace (généralement avec des axes mutuellement perpendiculaires et des échelles égales le long des axes). Nommé d'après R. Descartes (voir DESCARTES René). Descartes a introduit pour la première fois... Une relation binaire entre différents objets (vecteurs, lignes, sous-espaces, etc.) dans l'espace euclidien. Un cas particulier d'orthogonalité. Table des matières 1 Dans un avion 1.1 Perpendiculaire... Wikipédia
Dictionnaire encyclopédique Encyclopédie de Collier
Une branche de la géométrie qui étudie les objets géométriques les plus simples en utilisant l'algèbre élémentaire basée sur la méthode des coordonnées. La création de la géométrie analytique est généralement attribuée à R. Descartes, qui en a esquissé les fondements dans le dernier chapitre de son... ...
Un espace qui a plus de trois dimensions (dimension). L'espace réel est tridimensionnel. Par chacun de ses points, il est possible de tracer trois lignes perpendiculaires entre elles, mais il n'est plus possible d'en tracer quatre. Si l'on prend ces trois droites comme axes... ... Une relation binaire entre différents objets (vecteurs, lignes, sous-espaces, etc.) dans l'espace euclidien. Un cas particulier d'orthogonalité. Table des matières 1 Dans un avion 1.1 Perpendiculaire... Wikipédia
- (historique) Le concept initial de K. se retrouve même chez les sauvages, notamment ceux vivant le long des rivages et autour de vous et ayant une idée plus ou moins précise des zones entourant leur territoire. Les voyageurs qui ont interrogé les Esquimaux d'Amérique du Nord et... Dictionnaire encyclopédique F.A. Brockhaus et I.A. Éfron
Rubrique Géométrie. Les concepts de base de la géométrie géométrique sont les images géométriques les plus simples (points, lignes droites, plans, courbes et surfaces du second ordre). Les principaux moyens de recherche en A.G. sont la méthode des coordonnées (voir ci-dessous) et les méthodes... ... Grande Encyclopédie Soviétique
Rubrique Géométrie. Les concepts de base de la géométrie géométrique sont les concepts géométriques les plus simples. images (points, droites, plans, courbes et surfaces du 2ème ordre). Les principaux moyens de recherche en arithmétique sont la méthode des coordonnées et les méthodes d'algèbre élémentaire.... ... Encyclopédie mathématique
Livres
- Ensemble de tableaux. Géométrie. 7e année. 14 tableaux + méthodologie, . Les tableaux sont imprimés sur du carton imprimé épais mesurant 680 x 980 mm. Le kit comprend une brochure contenant des lignes directrices pédagogiques pour les enseignants. Album pédagogique de 14 feuilles. Faisceau et angle...
Une ligne droite (segment de ligne droite) est désignée par deux lettres majuscules de l'alphabet latin ou une lettre minuscule. Le point est indiqué uniquement par une lettre latine majuscule.
Les lignes ne peuvent pas se croiser, se croiser ou coïncider. Les lignes qui se croisent n'ont qu'un seul point commun, les lignes qui ne se coupent pas n'ont pas de point commun et les lignes coïncidentes ont tous des points communs.
Définition. Deux droites se coupant à angle droit sont dites perpendiculaires. La perpendiculaire des droites (ou de leurs segments) est indiquée par le signe de perpendiculaire « ⊥ ».
Par exemple:
Ton AB Et CD(Fig. 1) se croisent au point À PROPOS et ∠ AOC = ∠VOS = ∠AOD = ∠DBO= 90°, alors AB ⊥ CD.
Si AB ⊥ CD(Fig. 2) et se croisent au point DANS, alors ∠ abc = ∠ABD= 90°
Propriétés des lignes perpendiculaires
1. Par un point UN(Fig. 3) une seule ligne droite perpendiculaire peut être tracée ABà une ligne droite CD; les lignes restantes passant par le point UN et traversée CD, sont appelées lignes droites inclinées (Fig. 3, lignes droites AE Et AF).
2. D'un point de vue UN vous pouvez abaisser la perpendiculaire à une ligne droite CD; longueur perpendiculaire (longueur du segment AB), tiré du point UN directement CD, est la distance la plus courte de UNà CD(Fig. 3).
La perpendiculaire est la relation entre divers objets dans l'espace euclidien : lignes, plans, vecteurs, sous-espaces, etc. Dans ce document, nous examinerons de plus près les lignes droites perpendiculaires et les traits caractéristiques qui leur sont associés. Deux lignes peuvent être dites perpendiculaires (ou perpendiculaires entre elles) si les quatre angles formés par leur intersection mesurent exactement quatre-vingt-dix degrés.
Il existe certaines propriétés des droites perpendiculaires réalisées sur un plan :
Construction de lignes perpendiculaires
Les lignes perpendiculaires sont construites sur un plan à l'aide d'un carré. Tout dessinateur doit garder à l’esprit qu’une caractéristique importante de chaque carré est qu’il doit avoir un angle droit. Pour créer deux droites perpendiculaires, nous devons combiner l’un des deux côtés de l’angle droit de notre
dessiner un carré avec une ligne droite donnée et tracer une deuxième ligne droite le long du deuxième côté de cet angle droit. Cela créera deux lignes perpendiculaires.
espace tridimensionnel
Un fait intéressant est que des lignes perpendiculaires peuvent également être réalisées dans ce cas. Dans ce cas, deux lignes seront appelées telles si elles sont respectivement parallèles à deux autres lignes quelconques situées dans le même plan et également perpendiculaires à celui-ci. De plus, si sur un plan seules deux lignes peuvent être perpendiculaires, alors dans l'espace tridimensionnel il y en a déjà trois. De plus, le nombre de lignes (ou plans) perpendiculaires peut être encore augmenté.
Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent à angle droit.
La ligne a coupe la ligne b à angle droit au point A. Vous pouvez survoler à l'aide de l'icône de perpendiculaire : a ⊥ b. Cela se lit comme ceci : la ligne a est perpendiculaire à la ligne b.
Il est à noter qu'un angle adjacent et un angle vertical avec un angle droit sont également des angles droits.
Par chaque point d’une ligne, vous pouvez tracer une ligne perpendiculaire à celui-ci, et une seule.
Preuve.
Soit b une droite donnée, et le point A appartient à cette droite. Prenons un rayon b1 sur une droite b avec un point de départ en A. Mettons de côté un angle (a1b1) égal à 90° avec le rayon b1. Par définition, la droite contenant le rayon a1 sera perpendiculaire à la droite b.
Supposons qu'il existe une autre droite perpendiculaire à la droite b et passant par le point A. Prenons sur cette droite un rayon c1, émanant du point A et se trouvant dans le même demi-plan que le rayon a1. Alors ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Mais selon l'axiome 8, un seul angle égal à 90 º peut être tracé dans un demi-plan donné. Par conséquent, il est impossible de tracer une autre droite perpendiculaire à la droite b passant par le point A dans le demi-plan donné. Le théorème a été prouvé. 
Une perpendiculaire à une droite donnée est un segment de droite perpendiculaire à une droite donnée, ayant une de ses extrémités à leur point d'intersection. Cette extrémité du segment est appelée base de la perpendiculaire. AB est perpendiculaire à la droite a. Le point A est la base de la perpendiculaire.
Informations préliminaires sur le direct
La notion de ligne droite, ainsi que la notion de point, sont les concepts de base de la géométrie. Comme vous le savez, les concepts de base ne sont pas définis. Cela ne fait pas exception au concept de ligne droite. Considérons donc l’essence de ce concept à travers sa construction.
Prenez une règle et, sans lever votre crayon, tracez une ligne de longueur arbitraire. Nous appellerons la ligne résultante une ligne droite. Cependant, il convient de noter ici qu’il ne s’agit pas de la totalité de la ligne droite, mais seulement d’une partie de celle-ci. La ligne droite elle-même est infinie à ses deux extrémités.
Nous désignerons les lignes droites par une petite lettre latine ou ses deux points entre parenthèses (Fig. 1).
Les notions de droite et de point sont reliées par trois axiomes de géométrie :
Axiome 1 : Pour chaque ligne arbitraire, il y a au moins deux points dessus.
Axiome 2 : Vous pouvez trouver au moins trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne.
Axiome 3 : Une droite passe toujours par 2 points arbitraires, et cette droite est unique.
Pour deux droites, leur position relative est pertinente. Trois cas sont possibles :
- Deux lignes droites coïncident. Dans ce cas, chaque point d’une droite sera également un point de l’autre droite.
- Deux lignes se croisent. Dans ce cas, un seul point d’une ligne appartiendra également à l’autre ligne.
- Deux lignes sont parallèles. Dans ce cas, chacune de ces lignes possède son propre ensemble de points différents les uns des autres.
Perpendiculaire des lignes
Considérons deux lignes qui se croisent arbitrairement. Évidemment, au point de leur intersection, 4 angles se forment. Alors
Définition 1
Nous appellerons perpendiculaires les lignes sécantes si au moins un angle formé par leur intersection est égal à $90^0$ (Fig. 2).
Désignation : $a⊥b$.
Considérez le problème suivant :
Exemple 1
Trouvez les angles 1, 2 et 3 à partir de la figure ci-dessous
L'angle 2 est vertical pour l'angle qui nous est donné, donc
L'angle 1 est adjacent à l'angle 2, donc
$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$
L'angle 3 est vertical par rapport à l'angle 1, donc
$∠3=∠1=90^0$
De ce problème nous pouvons faire la remarque suivante
Remarque 1
Tous les angles entre les lignes perpendiculaires sont égaux à 90^0$.
Théorème fondamental des droites perpendiculaires
Introduisons le théorème suivant :
Théorème 1
Deux droites perpendiculaires à la troisième seront disjointes.
Preuve.
Regardons la figure 3 en fonction des conditions du problème.
Divisons mentalement cette figure en deux parties de la droite $(ZP)$. Mettons le côté droit à gauche. Alors, puisque les droites $(NM)$ et $(XY)$ sont perpendiculaires à la droite $(PZ)$ et que, donc, les angles entre elles sont droits, le rayon $NP$ se superposera entièrement au rayon $ PM$, et le rayon $XZ $ se superposera entièrement au rayon $YZ$.
Supposons maintenant le contraire : laissez ces lignes se croiser. Sans perte de généralité, supposons qu'ils se coupent sur le côté gauche, c'est-à-dire que le rayon $NP$ coupe le rayon $YZ$ au point $O$. Ensuite, selon la construction décrite ci-dessus, on obtiendra que le rayon $PM$ coupe le rayon $YZ$ au point $O"$. Mais alors on obtiendra cela par deux points $O$ et $O"$, il y a deux droites $(NM)$ et $(XY)$, ce qui contredit l'axiome des 3 droites.
Par conséquent, les droites $(NM)$ et $(XY)$ ne se coupent pas.
Le théorème a été prouvé.
Exemple de tâche
Exemple 2
Étant donné deux droites qui ont un point d’intersection. Par un point qui n'appartient à aucune d'elles, on trace deux droites dont l'une est perpendiculaire à l'une des droites décrites ci-dessus, et l'autre est perpendiculaire à l'autre d'entre elles. Prouvez qu’ils ne sont pas les mêmes.
Faisons un dessin en fonction des conditions du problème (Fig. 4).
D'après les conditions du problème, nous aurons que $m⊥k,n⊥l$.
Supposons le contraire, que les droites $k$ et $l$ coïncident. Que ce soit directement $l$. Alors, par condition, $m⊥l$ et $n⊥l$. Par conséquent, d'après le théorème 1, les droites $m$ et $n$ ne se coupent pas. Nous avons obtenu une contradiction, ce qui signifie que les droites $k$ et $l$ ne coïncident pas.
