Comment appelle-t-on les grands nombres ? Les maths j'aime

D’innombrables nombres différents nous entourent chaque jour. Beaucoup de gens se sont sûrement demandé au moins une fois quel nombre est considéré comme le plus grand. On peut simplement dire à un enfant que c'est un million, mais les adultes comprennent parfaitement que d'autres nombres suivent un million. Par exemple, tout ce que vous avez à faire est d'ajouter un à un nombre à chaque fois, et il deviendra de plus en plus grand - cela se produit à l'infini. Mais si vous regardez les nombres qui ont des noms, vous pourrez découvrir comment s'appelle le plus grand nombre au monde.

L’apparition des noms de nombres : quelles méthodes sont utilisées ?

Il existe aujourd'hui 2 systèmes selon lesquels les noms sont donnés aux nombres - américain et anglais. Le premier est assez simple et le second est le plus répandu dans le monde. L'américain permet de donner des noms aux grands nombres comme suit : d'abord, le nombre ordinal en latin est indiqué, puis le suffixe « million » est ajouté (l'exception ici est le million, signifiant mille). Ce système est utilisé par les Américains, les Français, les Canadiens, et il est également utilisé dans notre pays.

L'anglais est largement utilisé en Angleterre et en Espagne. Selon lui, les nombres sont nommés comme suit : le chiffre en latin est « plus » avec le suffixe « illion », et le nombre suivant (mille fois plus grand) est « plus » « milliard ». Par exemple, le billion vient en premier, le billion vient après, le quadrillion vient après le quadrillion, etc.

Ainsi, le même nombre dans différents systèmes peut signifier des choses différentes ; par exemple, un milliard américain dans le système anglais s'appelle un milliard.

Numéros extra-système

En plus des nombres qui sont écrits selon les systèmes connus (donnés ci-dessus), il existe également des nombres non systémiques. Ils ont leurs propres noms, qui ne comportent pas de préfixes latins.

Vous pouvez commencer à les considérer avec un nombre appelé myriade. Il est défini comme cent centaines (10 000). Mais selon son objectif, ce mot n'est pas utilisé, mais est utilisé pour désigner une multitude innombrable. Même le dictionnaire de Dahl fournira aimablement une définition d'un tel nombre.

Après la myriade vient googol, désignant 10 puissance 100. Ce nom a été utilisé pour la première fois en 1938 par le mathématicien américain E. Kasner, qui a noté que ce nom avait été inventé par son neveu.

Google (moteur de recherche) tire son nom de Google. Ensuite, 1 avec un googol de zéros (1010100) représente un googolplex - Kasner a également proposé ce nom.

Le nombre de Skuse (e à la puissance e à la puissance e79) est encore plus grand que le googolplex, proposé par Skuse dans sa preuve de la conjecture de Rimmann sur les nombres premiers (1933). Il existe un autre nombre de Skuse, mais il est utilisé lorsque l'hypothèse de Rimmann n'est pas vraie. Il est assez difficile de dire lequel est le plus grand, surtout lorsqu'il s'agit de degrés élevés. Cependant, ce nombre, malgré son « immensité », ne peut être considéré comme le meilleur de tous ceux qui ont leur propre nom.

Et le leader parmi les plus grands nombres au monde est le nombre de Graham (G64). Il a été utilisé pour la première fois pour réaliser des preuves dans le domaine des sciences mathématiques (1977).

Lorsqu'il s'agit d'un tel nombre, vous devez savoir que vous ne pouvez pas vous passer d'un système spécial à 64 niveaux créé par Knuth - la raison en est la connexion du nombre G avec les hypercubes bichromatiques. Knuth a inventé le super-degré et, afin de faciliter son enregistrement, il a proposé l'utilisation de flèches vers le haut. Nous avons donc découvert comment s'appelle le plus grand nombre au monde. Il est à noter que ce numéro G figurait dans les pages du célèbre Livre des Records.

Pour répondre à une question aussi difficile de savoir ce qu'est le plus grand nombre au monde, il convient d'abord de noter qu'il existe aujourd'hui 2 manières acceptées de nommer les nombres - l'anglais et l'américain. Selon le système anglais, les suffixes -milliard ou -million sont ajoutés à chaque grand nombre dans l'ordre, ce qui donne les nombres million, milliard, billion, billion, et ainsi de suite. Si nous partons du système américain, alors selon lui, le suffixe -million doit être ajouté à chaque grand nombre, ce qui entraîne la formation des nombres trillions, quadrillions et grands. Ici, il convient de noter que le système numérique anglais est plus répandu dans le monde moderne et que les chiffres qu'il contient sont tout à fait suffisants pour le fonctionnement normal de tous les systèmes de notre monde.

Bien entendu, la réponse à la question du plus grand nombre d'un point de vue logique ne peut pas être sans ambiguïté, car si vous ajoutez simplement un à chaque chiffre suivant, vous obtenez un nouveau nombre plus grand. Par conséquent, ce processus n'a pas de limite. Cependant, curieusement, il en existe toujours le plus grand nombre au monde et il est répertorié dans le Livre Guinness des Records.

Le nombre de Graham est le plus grand nombre au monde

C'est ce nombre qui est reconnu dans le monde comme le plus grand dans le Livre des Records, mais il est très difficile d'expliquer de quoi il s'agit et quelle est sa taille. D'une manière générale, il s'agit de triplets multipliés entre eux, ce qui donne un nombre 64 ordres de grandeur supérieur au point de compréhension de chaque personne. En conséquence, nous ne pouvons donner que les 50 derniers chiffres du numéro de Graham. – 0322234872396701848518 64390591045756272 62464195387.

Numéro Google

L’histoire de ce numéro n’est pas aussi complexe que celle évoquée ci-dessus. Ainsi, le mathématicien américain Edward Kasner, discutant avec ses neveux des grands nombres, n'a pas pu répondre à la question de savoir comment nommer les nombres comportant 100 zéros ou plus. Un neveu ingénieux a suggéré son propre nom pour ces numéros - googol. Il convient de noter que ce nombre n'a pas beaucoup de signification pratique, cependant, il est parfois utilisé en mathématiques pour exprimer l'infini.

Googleplex

Ce nombre a également été inventé par le mathématicien Edward Kasner et son neveu Milton Sirotta. D'une manière générale, il représente un nombre à la puissance dixième d'un googol. Répondant à la question de nombreux curieux, combien de zéros il y a dans le Googleplex, il convient de noter que dans la version classique, il n'y a aucun moyen de représenter ce nombre, même si vous couvrez tout le papier de la planète avec des zéros classiques.

Numéro d'inclinaison

Un autre prétendant au titre du plus grand nombre est le nombre Skewes, prouvé par John Littwood en 1914. Selon les éléments de preuve présentés, ce nombre est d'environ 8,185 10370.

Numéro Moser

Cette méthode pour nommer les très grands nombres a été inventée par Hugo Steinhaus, qui a proposé de les désigner par des polygones. À la suite de trois opérations mathématiques effectuées, le chiffre 2 naît dans un mégagone (un polygone à méga côtés).

Comme vous pouvez déjà le constater, un très grand nombre de mathématiciens ont fait des efforts pour le trouver – le plus grand nombre au monde. Bien entendu, il ne nous appartient pas de juger dans quelle mesure ces tentatives ont été couronnées de succès, mais il convient de noter que la réelle applicabilité de ces chiffres est douteuse, car ils ne se prêtent même pas à la compréhension humaine. De plus, il y aura toujours un nombre qui sera plus grand si vous effectuez une opération mathématique très simple +1.

Il y a des nombres qui sont tellement incroyablement grands qu’il faudrait même l’univers entier pour les écrire. Mais voici ce qui est vraiment fou… certains de ces nombres insondables sont cruciaux pour comprendre le monde.

Quand je dis « le plus grand nombre de l’univers », je parle en réalité du plus grand nombre significatif nombre, le nombre maximum possible qui est utile d’une manière ou d’une autre. Les prétendants à ce titre sont nombreux, mais je vous préviens tout de suite : il y a vraiment un risque qu'en essayant de tout comprendre, vous époustoufliez. Et en plus, avec trop de maths, on ne s'amusera pas beaucoup.

Googol et googolplex

Edouard Kasner

Nous pourrions commencer avec ce qui est probablement les deux plus grands nombres dont vous ayez jamais entendu parler, et ce sont en effet les deux plus grands nombres qui ont des définitions généralement acceptées en langue anglaise. (Il existe une nomenclature assez précise utilisée pour désigner des nombres aussi grands que vous le souhaiteriez, mais ces deux nombres que vous ne trouverez pas dans les dictionnaires de nos jours.) Googol, depuis qu'il est devenu mondialement connu (quoique avec des erreurs, notez. en fait c'est googol ) sous la forme de Google, né en 1920 pour intéresser les enfants aux grands nombres.

À cette fin, Edward Kasner (photo) a emmené ses deux neveux, Milton et Edwin Sirott, se promener dans les palissades du New Jersey. Il les a invités à proposer des idées, puis Milton, neuf ans, a suggéré « googol ». On ne sait pas d'où il tient ce mot, mais Kasner a décidé que ou un nombre dont cent zéros suivent l'unité sera désormais appelé un googol.

Mais le jeune Milton ne s'arrête pas là ; il en propose un nombre encore plus grand, le googolplex. Il s'agit d'un nombre, selon Milton, dans lequel la première place est 1, puis autant de zéros que vous pourriez écrire avant de vous fatiguer. Bien que l’idée soit fascinante, Kasner a décidé qu’une définition plus formelle était nécessaire. Comme il l'explique dans son livre de 1940 Mathématiques et imagination, la définition de Milton laisse ouverte la possibilité risquée qu'un bouffon accidentel puisse devenir un mathématicien supérieur à Albert Einstein simplement parce qu'il a une plus grande endurance.

Kasner a donc décidé qu'un googolplex serait , ou 1, puis un googol de zéros. Sinon, et dans une notation similaire à celle que nous traiterons pour les autres nombres, nous dirons qu'un googolplex est . Pour montrer à quel point cela est fascinant, Carl Sagan a un jour noté qu'il est physiquement impossible d'écrire tous les zéros d'un googolplex parce qu'il n'y a tout simplement pas assez d'espace dans l'univers. Si nous remplissons tout le volume de l'Univers observable avec de petites particules de poussière d'une taille d'environ 1,5 microns, alors le nombre de façons différentes dont ces particules peuvent être disposées sera approximativement égal à un googolplex.

Linguistiquement parlant, googol et googolplex sont probablement les deux nombres significatifs les plus importants (du moins en anglais), mais, comme nous allons maintenant le démontrer, il existe une infinité de façons de définir la « signification ».

Monde réel

Si nous parlons du plus grand nombre significatif, il existe un argument raisonnable selon lequel cela signifie en réalité que nous devons trouver le plus grand nombre ayant une valeur qui existe réellement dans le monde. Nous pouvons commencer par la population humaine actuelle, qui s’élève actuellement à environ 6 920 millions. Le PIB mondial en 2010 était estimé à environ 61 960 milliards de dollars, mais ces deux chiffres sont insignifiants comparés aux quelque 100 000 milliards de cellules qui composent le corps humain. Bien entendu, aucun de ces nombres ne peut être comparé au nombre total de particules dans l’Univers, qui est généralement considéré comme étant d’environ , et ce nombre est si grand que notre langage n’a pas de mot pour le décrire.

On peut jouer un peu avec les systèmes de mesures, en rendant les chiffres de plus en plus grands. Ainsi, la masse du Soleil en tonnes sera inférieure à celle en livres. Un excellent moyen d'y parvenir est d'utiliser le système d'unités de Planck, qui sont les plus petites mesures possibles pour lesquelles les lois de la physique s'appliquent toujours. Par exemple, l’âge de l’Univers au temps de Planck est d’environ . Si l'on remonte à la première unité de temps de Planck après le Big Bang, on verra que la densité de l'Univers était alors de . Nous en recevons de plus en plus, mais nous n'avons même pas encore atteint Google.

Le plus grand nombre ayant une application dans le monde réel – ou dans ce cas, une application dans le monde réel – est probablement l’une des dernières estimations du nombre d’univers dans le multivers. Ce nombre est si grand que le cerveau humain ne sera littéralement pas capable de percevoir tous ces différents univers, puisque le cerveau n'est capable que de configurations approximatives. En fait, ce nombre est probablement le plus grand nombre qui ait un sens pratique, à moins que vous ne preniez en compte l’idée du multivers dans son ensemble. Cependant, il y en a encore beaucoup plus qui s’y cachent. Mais pour les trouver, nous devons entrer dans le domaine des mathématiques pures, et il n’y a pas de meilleur point de départ que les nombres premiers.

Mersenne prime

Une partie du défi consiste à trouver une bonne définition de ce qu’est un nombre « significatif ». Une solution consiste à penser en termes de nombres premiers et composés. Un nombre premier, comme vous vous en souvenez probablement en mathématiques à l'école, est tout nombre naturel (notez qu'il n'est pas égal à un) qui n'est divisible que par et lui-même. Ainsi, et sont des nombres premiers, et et sont des nombres composés. Cela signifie que tout nombre composé peut finalement être représenté par ses facteurs premiers. D’une certaine manière, le nombre est plus important que, disons, parce qu’il n’existe aucun moyen de l’exprimer en termes de produit de nombres plus petits.

On peut évidemment aller un peu plus loin. , par exemple, est en réalité juste , ce qui signifie que dans un monde hypothétique où notre connaissance des nombres est limitée à , un mathématicien peut toujours exprimer le nombre . Mais le nombre suivant est premier, ce qui signifie que la seule façon de l’exprimer est de connaître directement son existence. Cela signifie que les plus grands nombres premiers connus jouent un rôle important, mais, disons, un googol - qui n'est en fin de compte qu'une collection de nombres multipliés ensemble - ne le fait pas. Et comme les nombres premiers sont fondamentalement aléatoires, il n’existe aucun moyen connu de prédire qu’un nombre incroyablement grand sera réellement premier. Aujourd’hui encore, découvrir de nouveaux nombres premiers est une entreprise difficile.

Les mathématiciens de la Grèce antique avaient un concept de nombres premiers au moins dès 500 av. jusqu'à ce que les mathématiciens de la Renaissance ne puissent pas vraiment l'utiliser dans la pratique. Ces nombres sont connus sous le nom de nombres de Mersenne, du nom du scientifique français Marin Mersenne du XVIIe siècle. L'idée est assez simple : un nombre de Mersenne est n'importe quel nombre de la forme . Ainsi, par exemple, et ce nombre est premier, il en va de même pour .

Il est beaucoup plus rapide et plus facile de déterminer les nombres premiers de Mersenne que tout autre type de nombre premier, et les ordinateurs ont travaillé dur pour les rechercher au cours des six dernières décennies. Jusqu’en 1952, le plus grand nombre premier connu était un nombre, un nombre avec des chiffres. La même année, l'ordinateur a calculé que le nombre est premier et que ce nombre est composé de chiffres, ce qui le rend beaucoup plus grand qu'un google.

Depuis lors, les ordinateurs sont en chasse et le nombre de Mersenne est actuellement le plus grand nombre premier connu de l'humanité. Découvert en 2008, il s’agit d’un nombre comportant près de millions de chiffres. Il s'agit du plus grand nombre connu qui ne peut pas être exprimé en termes de nombres plus petits, et si vous souhaitez obtenir de l'aide pour trouver un nombre de Mersenne encore plus grand, vous (et votre ordinateur) pouvez toujours participer à la recherche sur http://www.mersenne org. /.

Numéro d'inclinaison

Stanley biaise

Regardons à nouveau les nombres premiers. Comme je l’ai dit, ils se comportent fondamentalement mal, ce qui signifie qu’il n’y a aucun moyen de prédire quel sera le prochain nombre premier. Les mathématiciens ont été contraints de recourir à des mesures assez fantastiques pour trouver un moyen de prédire les futurs nombres premiers, même de manière nébuleuse. La plus réussie de ces tentatives est probablement la fonction de comptage des nombres premiers, inventée à la fin du XVIIIe siècle par le légendaire mathématicien Carl Friedrich Gauss.

Je vous épargnerai les calculs plus compliqués - nous en avons beaucoup plus à venir de toute façon - mais l'essentiel de la fonction est le suivant : pour tout nombre entier, vous pouvez estimer combien de nombres premiers sont plus petits que . Par exemple, si , la fonction prédit qu'il devrait y avoir des nombres premiers, s'il doit y avoir des nombres premiers inférieurs à , et si , alors il devrait y avoir des nombres premiers plus petits.

La disposition des nombres premiers est en effet irrégulière et n’est qu’une approximation du nombre réel de nombres premiers. En fait, nous savons qu’il existe des nombres premiers inférieurs à , des nombres premiers inférieurs à et des nombres premiers inférieurs à . C'est une excellente estimation, certes, mais ce n'est toujours qu'une estimation... et plus précisément une estimation d'en haut.

Dans tous les cas connus jusqu'à , la fonction qui trouve le nombre premier surestime légèrement le nombre réel de nombres premiers inférieurs à . Les mathématiciens pensaient autrefois que cela serait toujours le cas, à l'infini, et que cela s'appliquerait certainement à certains nombres inimaginables, mais en 1914, John Edensor Littlewood a prouvé que pour un nombre inconnu, inimaginablement énorme, cette fonction commencerait à produire moins de nombres premiers. , puis il basculera entre l'estimation supérieure et l'estimation inférieure un nombre infini de fois.

La chasse était le point de départ des courses, puis Stanley Skewes est apparu (voir photo). En 1933, il prouva que la limite supérieure à laquelle une fonction se rapprochant du nombre de nombres premiers produit pour la première fois une valeur plus petite est le nombre . Il est difficile de vraiment comprendre, même dans le sens le plus abstrait, ce que représente réellement ce nombre, et de ce point de vue, il s'agit du plus grand nombre jamais utilisé dans une preuve mathématique sérieuse. Les mathématiciens ont depuis réussi à réduire la limite supérieure à un nombre relativement petit, mais le nombre original reste connu sous le nom de nombre Skewes.

Alors, quelle est la taille du nombre qui éclipse même le puissant googolplex ? Dans The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells raconte une manière dont le mathématicien Hardy a pu conceptualiser la taille du nombre de Skuse :

"Hardy pensait qu'il s'agissait du "plus grand nombre jamais utilisé dans un but particulier en mathématiques" et suggérait que si une partie d'échecs était jouée avec toutes les particules de l'univers comme pièces, un mouvement consisterait à échanger deux particules, et le le jeu s'arrêterait lorsque la même position serait répétée une troisième fois, alors le nombre de tous les jeux possibles serait approximativement égal au nombre de Skuse.

Une dernière chose avant de continuer : nous avons parlé du plus petit des deux nombres Skewes. Il existe un autre nombre de Skuse, découvert par le mathématicien en 1955. Le premier nombre découle du fait que l'hypothèse dite de Riemann est vraie - il s'agit d'une hypothèse particulièrement difficile en mathématiques qui reste non prouvée, très utile lorsqu'il s'agit de nombres premiers. Cependant, si l'hypothèse de Riemann est fausse, Skuse a constaté que le point de départ des sauts augmente jusqu'à .

Problème d'ampleur

Avant d'arriver au chiffre qui fait paraître minuscule le nombre de Skewes, nous devons parler un peu d'échelle, car sinon nous n'avons aucun moyen d'évaluer où nous allons aller. Prenons d’abord un nombre – c’est un petit nombre, si petit que les gens peuvent réellement comprendre intuitivement ce qu’il signifie. Il y a très peu de nombres qui correspondent à cette description, puisque les nombres supérieurs à six cessent d'être des nombres séparés et deviennent « plusieurs », « plusieurs », etc.

Prenons maintenant, c'est-à-dire . Bien que nous ne puissions pas comprendre intuitivement, comme nous l’avons fait pour le nombre, de quoi il s’agit, il est très facile d’imaginer de quoi il s’agit. Jusqu'ici, tout va bien. Mais que se passe-t-il si nous déménageons ? Ceci est égal à , ou . Nous sommes très loin de pouvoir imaginer cette quantité, comme n'importe quelle autre très grande quantité - nous perdons la capacité de comprendre des pièces individuelles autour d'un million. (Certes, il faudrait énormément de temps pour compter jusqu’à un million de n’importe quoi, mais le fait est que nous sommes toujours capables de percevoir ce nombre.)

Cependant, même si nous ne pouvons pas l’imaginer, nous sommes au moins capables de comprendre en termes généraux ce que représentent 7 600 milliards, peut-être en les comparant à quelque chose comme le PIB américain. Nous sommes passés de l’intuition à la représentation puis à la simple compréhension, mais au moins nous avons encore quelques lacunes dans notre compréhension de ce qu’est un nombre. Cela est sur le point de changer à mesure que nous gravissons un autre échelon dans l’échelle.

Pour ce faire, il faut passer à une notation introduite par Donald Knuth, connue sous le nom de notation fléchée. Cette notation peut s'écrire . Lorsque nous irons ensuite à , le nombre que nous obtiendrons sera . Ceci est égal au total de trois. Nous avons désormais largement dépassé tous les autres chiffres dont nous avons déjà parlé. Après tout, même les plus grands d’entre eux ne comptaient que trois ou quatre termes dans la série d’indicateurs. Par exemple, même le nombre super-Skuse est "seulement" - même en tenant compte du fait que la base et les exposants sont beaucoup plus grands que , ce n'est toujours absolument rien comparé à la taille d'une tour numérique avec un milliard de membres. .

Évidemment, il n’existe aucun moyen de comprendre des nombres aussi énormes… et pourtant, le processus par lequel ils sont créés peut encore être compris. Nous ne pouvons pas comprendre la quantité réelle donnée par une tour de puissances avec un milliard de triplets, mais nous pouvons fondamentalement imaginer une telle tour avec de nombreux termes, et un superordinateur vraiment décent serait capable de stocker de telles tours en mémoire même s'il Je n'ai pas pu calculer leurs valeurs réelles.

Cela devient de plus en plus abstrait, mais cela ne fera qu’empirer. Vous pourriez penser qu'il s'agit d'une tour de degrés dont la longueur des exposants est égale (en fait, dans la version précédente de cet article, j'ai fait exactement cette erreur), mais c'est simple. En d'autres termes, imaginez pouvoir calculer la valeur exacte d'une tour de puissance de triplets composée d'éléments, puis vous prenez cette valeur et créez une nouvelle tour contenant autant de fois que... cela donne.

Répétez ce processus avec chaque numéro suivant ( note en commençant par la droite) jusqu'à ce que vous le fassiez plusieurs fois, et puis finalement vous obtenez . C'est un nombre tout simplement incroyablement grand, mais au moins les étapes pour l'obtenir semblent compréhensibles si vous faites tout très lentement. Nous ne pouvons plus comprendre les nombres ni imaginer la procédure par laquelle ils sont obtenus, mais au moins nous pouvons comprendre l'algorithme de base, seulement dans un temps suffisamment long.

Maintenant, préparons l'esprit à vraiment le faire exploser.

Numéro de Graham (Graham)

Ronald Graham

C'est ainsi que l'on obtient le nombre de Graham, qui figure dans le Livre Guinness des records comme le plus grand nombre jamais utilisé dans une preuve mathématique. Il est absolument impossible d’imaginer son ampleur, et tout aussi difficile d’expliquer de quoi il s’agit exactement. Fondamentalement, le nombre de Graham apparaît lorsqu'il s'agit d'hypercubes, qui sont des formes géométriques théoriques à plus de trois dimensions. Le mathématicien Ronald Graham (voir photo) a voulu savoir à quel plus petit nombre de dimensions certaines propriétés d'un hypercube resteraient stables. (Désolé pour une explication aussi vague, mais je suis sûr que nous devons tous obtenir au moins deux diplômes en mathématiques pour que ce soit plus précis.)

Dans tous les cas, le nombre de Graham est une estimation supérieure de ce nombre minimum de dimensions. Alors, quelle est la taille de cette limite supérieure ? Revenons au nombre, si grand qu'on ne comprend que vaguement l'algorithme permettant de l'obtenir. Maintenant, au lieu de simplement sauter d'un niveau supplémentaire jusqu'à , nous compterons le nombre qui a des flèches entre le premier et les trois derniers. Nous sommes désormais bien au-delà de la moindre compréhension de ce qu’est ce nombre ou même de ce que nous devons faire pour le calculer.

Maintenant, répétons ce processus une fois ( noteà chaque étape suivante, nous écrivons le nombre de flèches égal au nombre obtenu à l'étape précédente).

Ceci, mesdames et messieurs, est le chiffre de Graham, qui est d'un ordre de grandeur supérieur au point de compréhension humaine. C’est un nombre tellement plus grand que n’importe quel nombre que vous pouvez imaginer – il est tellement plus grand que n’importe quel infini que vous pourriez espérer imaginer – il défie tout simplement même la description la plus abstraite.

Mais voici une chose étrange. Puisque le nombre de Graham est essentiellement constitué de triplets multipliés ensemble, nous connaissons certaines de ses propriétés sans réellement les calculer. Nous ne pouvons pas représenter le nombre de Graham en utilisant une notation familière, même si nous avons utilisé l'univers entier pour l'écrire, mais je peux vous donner les douze derniers chiffres du nombre de Graham dès maintenant : . Et ce n'est pas tout : on connaît au moins les derniers chiffres du numéro de Graham.

Bien entendu, il convient de rappeler que ce nombre n’est qu’une limite supérieure du problème initial de Graham. Il est fort possible que le nombre réel de mesures nécessaires pour obtenir la propriété souhaitée soit bien inférieur. En fait, depuis les années 1980, selon la plupart des experts en la matière, on croit qu'il n'y a en réalité que six dimensions - un nombre si petit que nous pouvons le comprendre intuitivement. La limite inférieure a depuis été relevée à , mais il y a encore de très bonnes chances que la solution au problème de Graham ne se situe pas à proximité d'un nombre aussi grand que celui de Graham.

Vers l'infini

Alors, existe-t-il des nombres supérieurs à celui de Graham ? Il y a bien sûr, pour commencer, le numéro de Graham. Quant au nombre significatif... eh bien, il existe des domaines extrêmement complexes des mathématiques (en particulier le domaine connu sous le nom de combinatoire) et de l'informatique dans lesquels des nombres encore plus grands que celui de Graham apparaissent. Mais nous avons presque atteint la limite de ce que je peux espérer être un jour expliqué rationnellement. Pour ceux qui sont assez téméraires pour aller encore plus loin, des lectures plus approfondies sont suggérées à vos propres risques.

Eh bien, maintenant une citation étonnante attribuée à Douglas Ray ( note Honnêtement, ça a l'air plutôt drôle :

« Je vois des amas de nombres vagues qui sont cachés là dans l'obscurité, derrière le petit point de lumière que donne la bougie de la raison. Ils se chuchotent ; conspirer pour qui sait quoi. Peut-être qu'ils ne nous aiment pas beaucoup parce que nous avons capturé leurs petits frères dans nos esprits. Ou peut-être qu’ils mènent simplement une vie à un chiffre, là-bas, au-delà de notre compréhension.

Il est impossible de répondre correctement à cette question, car les séries de nombres n’ont pas de limite supérieure. Ainsi, à n’importe quel nombre, il vous suffit d’en ajouter un pour obtenir un nombre encore plus grand. Bien que les nombres eux-mêmes soient infinis, ils n'ont pas beaucoup de noms propres, puisque la plupart d'entre eux se contentent de noms composés de nombres plus petits. Ainsi, par exemple, les nombres ont leurs propres noms « un » et « cent », et le nom du nombre est déjà composé (« cent un »). Il est clair que dans la série finale de nombres que l'humanité a attribués avec son propre nom, il doit y avoir le plus grand nombre. Mais comment s’appelle-t-il et à quoi correspond-il ? Essayons de comprendre cela et en même temps de découvrir à quel point les mathématiciens sont arrivés à de grands nombres.

Échelle « courte » et « longue »

Dans le système Chuquet, un nombre compris entre un million et un milliard n'avait pas de nom propre et était simplement appelé « mille millions », de la même manière appelé « mille milliards », « mille milliards », etc. Ce n'était pas très pratique et en 1549, l'écrivain et scientifique français Jacques Peletier du Mans (1517-1582) proposa de nommer ces nombres « intermédiaires » en utilisant les mêmes préfixes latins, mais avec la terminaison « -milliard ». Ainsi, on a commencé à l'appeler "milliard", - "billard", - "billion", etc.

Le système Chuquet-Peletier se popularise progressivement et est utilisé dans toute l'Europe. Cependant, au XVIIe siècle, un problème inattendu surgit. Il s'est avéré que, pour une raison quelconque, certains scientifiques ont commencé à être confus et à appeler le nombre non pas « milliard » ou « milliers de millions », mais « milliard ». Bientôt, cette erreur s'est rapidement répandue et une situation paradoxale s'est produite : « milliard » est devenu simultanément synonyme de « milliard » () et de « millions de millions » ().

Cette confusion a duré assez longtemps et a conduit les États-Unis à créer leur propre système de dénomination des grands nombres. Selon le système américain, les noms des nombres sont construits de la même manière que dans le système Schuquet - le préfixe latin et la terminaison « million ». Toutefois, l’ampleur de ces chiffres est différente. Si dans le système Schuquet les noms avec la terminaison « illion » recevaient des nombres qui étaient des puissances de million, alors dans le système américain la terminaison « -illion » recevait des puissances de mille. C'est-à-dire qu'un milliard de millions () a commencé à être appelé un "milliard", () - un "billion", () - un "quadrillion", etc.

L'ancien système de dénomination des grands nombres a continué à être utilisé dans la Grande-Bretagne conservatrice et a commencé à être appelé « britannique » dans le monde entier, malgré le fait qu'il ait été inventé par les français Chuquet et Peletier. Cependant, dans les années 1970, le Royaume-Uni est officiellement passé au « système américain », ce qui a conduit au fait qu'il est devenu étrange d'appeler un système américain et un autre britannique. En conséquence, le système américain est désormais communément appelé « échelle courte » et le système britannique ou Chuquet-Peletier, « échelle longue ».

Pour éviter toute confusion, résumons :

Il est curieux que dans notre pays, la transition définitive vers une échelle courte n'ait eu lieu que dans la seconde moitié du XXe siècle. Par exemple, Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) dans son « Arithmétique divertissante » mentionne l’existence parallèle de deux échelles en URSS. L'échelle courte, selon Perelman, était utilisée dans la vie quotidienne et dans les calculs financiers, tandis que l'échelle longue était utilisée dans les livres scientifiques sur l'astronomie et la physique. Cependant, il est désormais erroné d’utiliser une échelle à long terme en Russie, même si les chiffres y sont importants.

Mais revenons à la recherche du plus grand nombre. Après le décillion, les noms des nombres sont obtenus en combinant des préfixes. Cela produit des nombres tels que undécillion, duodécillion, tredécillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion, novemdecillion, etc. Cependant, ces noms ne nous intéressent plus, puisque nous avons convenu de trouver le plus grand nombre avec son propre nom non composé.

Si nous nous tournons vers la grammaire latine, nous constaterons que les Romains n'avaient que trois noms non composés pour les nombres supérieurs à dix : viginti - « vingt », centum - « cent » et mille - « mille ». Les Romains n’avaient pas de nom propre pour les nombres supérieurs à mille. Par exemple, un million () Les Romains l'appelaient « decies centena milia », c'est-à-dire « dix fois cent mille ». Selon la règle de Chuquet, ces trois chiffres latins restants nous donnent des noms de nombres tels que « vigintillion », « centillion » et « millillion ».

Ainsi, nous avons découvert que sur « l'échelle courte », le nombre maximum qui a son propre nom et n'est pas un composé de nombres plus petits est « million » ().

Si la Russie adoptait une « échelle longue » pour nommer les nombres, alors le plus grand nombre portant son propre nom serait « milliard » ().

Cependant, il existe des noms pour des nombres encore plus grands.

Certains numéros ont leur propre nom, sans aucun lien avec le système de dénomination utilisant des préfixes latins. Et ces chiffres sont nombreux. Vous pouvez par exemple rappeler le nombre e, le nombre « pi », la douzaine, le nombre de la bête, etc. Cependant, comme nous nous intéressons désormais aux grands nombres, nous ne considérerons que les nombres qui ont leur propre nombre non composite. nom qui sont supérieurs à un million. () Jusqu'au XVIIe siècle, la Russie utilisait son propre système pour nommer les nombres. Des dizaines de milliers étaient appelés « ténèbres », des centaines de milliers étaient appelés « légions », des millions étaient appelés « chefs », des dizaines de millions étaient appelés « corbeaux » et des centaines de millions étaient appelés « ponts ». Ce décompte jusqu'à des centaines de millions était appelé le « petit décompte », et dans certains manuscrits, les auteurs considéraient également le « grand décompte », dans lequel les mêmes noms étaient utilisés pour les grands nombres, mais avec une signification différente. Ainsi, « ténèbres » ne signifiait plus dix mille, mais mille mille () , "légion" - l'obscurité de ceux () ; "leodr" - légion de légions (). , "corbeau" - Leodr Leodrov () Pour une raison quelconque, le « pont » dans le grand décompte slave n'était pas appelé « corbeau des corbeaux »

, mais seulement dix « corbeaux », c'est-à-dire (voir tableau).	Nom du numéro	Signification en "petit compte"	Signification dans le "grand comte"
Désignation
Obscurité
Légion
Léodre
Corbeau (corvidé)
Pont

Le nom d'un nombre encore plus grand que googol est né en 1950 grâce au père de l'informatique, Claude Elwood Shannon (1916-2001). Dans son article « Programmer un ordinateur pour jouer aux échecs », il a tenté d'estimer le nombre de variantes possibles d'un jeu d'échecs. Selon lui, chaque jeu dure en moyenne des coups et à chaque coup le joueur fait un choix en moyenne parmi les options, qui correspond (à peu près égal) aux options du jeu. Ce travail est devenu largement connu et ce numéro est devenu connu sous le nom de « numéro de Shannon ».

Dans le célèbre traité bouddhiste Jaina Sutra, datant de 100 avant JC, le nombre « asankheya » est égal à .

On pense que ce nombre est égal au nombre de cycles cosmiques nécessaires pour atteindre le nirvana.

Milton Sirotta, neuf ans, est entré dans l'histoire des mathématiques non seulement parce qu'il a inventé le nombre googol, mais aussi parce qu'en même temps il a proposé un autre nombre - le « googolplex », qui est égal à la puissance de « googol", c'est-à-dire un avec un googol de zéros.

Évidemment, plus il y a de puissances dans les puissances, plus il est difficile d'écrire les nombres et de comprendre leur signification à la lecture. De plus, il est possible de proposer de tels nombres (et, d'ailleurs, ils ont déjà été inventés) lorsque les degrés ne tiennent tout simplement pas sur la page. Oui, c'est sur la page ! Ils ne rentreront même pas dans un livre de la taille de l’Univers entier ! Dans ce cas, la question se pose de savoir comment écrire de tels nombres. Heureusement, le problème peut être résolu et les mathématiciens ont développé plusieurs principes pour écrire de tels nombres. Certes, chaque mathématicien qui s'est interrogé sur ce problème a proposé sa propre façon d'écrire, ce qui a conduit à l'existence de plusieurs méthodes indépendantes pour écrire de grands nombres - ce sont les notations de Knuth, Conway, Steinhaus, etc. avec certains d'entre eux.

Autres notations

"dans un triangle" signifie "",
« au carré » signifie « en triangles »
« en cercle » signifie « en carrés ».

Expliquant cette méthode de notation, Steinhaus propose le nombre « méga », qui est égal dans un cercle et montre qu'il est égal dans un « carré » ou dans des triangles. Pour le calculer, vous devez l'élever à la puissance , élever le nombre obtenu à la puissance , puis élever le nombre obtenu à la puissance du nombre obtenu, et ainsi de suite, l'élever à la puissance fois. Par exemple, une calculatrice sous MS Windows ne peut pas calculer en raison d'un débordement, même dans deux triangles. Ce nombre énorme est d’environ .

Après avoir déterminé le «méga» nombre, Steinhaus invite les lecteurs à estimer indépendamment un autre nombre - «medzon», égal dans un cercle. Dans une autre édition du livre, Steinhaus, au lieu de medzone, propose d'estimer un nombre encore plus grand - "megiston", égal dans un cercle. À la suite de Steinhaus, je recommande également aux lecteurs de s'éloigner un moment de ce texte et d'essayer d'écrire eux-mêmes ces nombres en utilisant les puissances ordinaires afin d'en ressentir l'ampleur gigantesque.

Cependant, il existe des noms pour les grands nombres. Ainsi, le mathématicien canadien Leo Moser (Leo Moser, 1921-1970) a modifié la notation de Steinhaus, qui était limitée par le fait que s'il était nécessaire d'écrire des nombres beaucoup plus grands que mégiston, alors des difficultés et des inconvénients surgiraient, car cela il sera nécessaire de tracer plusieurs cercles les uns dans les autres. Moser a suggéré qu'après les carrés, on ne dessine pas des cercles, mais des pentagones, puis des hexagones, et ainsi de suite. Il a également proposé une notation formelle pour ces polygones afin que les nombres puissent être écrits sans dessiner d'images complexes. La notation Moser ressemble à ceci :

"triangle" = = ;
"carré" = = "triangles" = ;
"dans un pentagone" = = "en carrés" = ;
"en -gon" = = "en -gon" = .

Ainsi, selon la notation de Moser, le « méga » de Steinhaus s’écrit , « medzone » comme et « megiston » comme . « De plus, Leo Moser a proposé d'appeler un polygone dont le nombre de côtés est égal à méga - « mégagone ». Et suggéré un numéro

en mégagone", c'est-à-dire. Ce numéro est devenu connu sous le nom de numéro Moser ou simplement « Moser ». Mais même « Moser » n’est pas le plus grand nombre. Ainsi, le plus grand nombre jamais utilisé dans la preuve mathématique est le « nombre de Graham ». Ce nombre a été utilisé pour la première fois par le mathématicien américain Ronald Graham en 1977 pour prouver une estimation de la théorie de Ramsey, notamment lors du calcul des dimensions de certains

-dimensionnel

hypercubes bichromatiques. Le numéro de Graham n'est devenu célèbre qu'après avoir été décrit dans le livre de Martin Gardner de 1989, From Penrose Mosaics to Reliable Ciphers.

Pour expliquer la taille du nombre de Graham, nous devons expliquer une autre façon d'écrire les grands nombres, introduite par Donald Knuth en 1976. Le professeur américain Donald Knuth a inventé le concept de superpuissance, qu'il a proposé d'écrire avec des flèches pointant vers le haut.

Les opérations arithmétiques ordinaires – addition, multiplication et exponentiation – peuvent naturellement être étendues en une séquence d’hyperopérateurs comme suit.

La multiplication de nombres naturels peut être définie par l’opération répétée d’addition (« ajouter des copies d’un nombre ») :

Les opérations arithmétiques ordinaires – addition, multiplication et exponentiation – peuvent naturellement être étendues en une séquence d’hyperopérateurs comme suit.

Par exemple,

Les opérations arithmétiques ordinaires – addition, multiplication et exponentiation – peuvent naturellement être étendues en une séquence d’hyperopérateurs comme suit.

Ici et ci-dessous, l'expression est toujours évaluée de droite à gauche, et les opérateurs fléchés de Knuth (ainsi que l'opération d'exponentiation) ont par définition une associativité droite (ordre de droite à gauche). Selon cette définition,

Cela conduit déjà à des nombres assez grands, mais le système de notation ne s'arrête pas là. L'opérateur triple flèche est utilisé pour écrire l'exponentiation répétée de l'opérateur double flèche (également connu sous le nom de pentation) :

Puis l’opérateur « flèche quadruple » :

Etc. Opérateur de règle générale "-JE flèche", conformément à l'associativité droite, continue vers la droite dans une série séquentielle d'opérateurs « flèche." Symboliquement, cela peut s'écrire ainsi :

Par exemple:

La forme de notation est généralement utilisée pour la notation avec des flèches.

Certains nombres sont si grands que même écrire avec les flèches de Knuth devient trop fastidieux ; dans ce cas, l'utilisation de l'opérateur -flèche est préférable (et également pour les descriptions avec un nombre variable de flèches), ou équivaut aux hyperopérateurs. Mais certains chiffres sont si énormes que même une telle notation est insuffisante. Par exemple, le numéro de Graham.

En utilisant la notation Flèche de Knuth, le nombre de Graham peut s'écrire sous la forme

Où le nombre de flèches dans chaque couche, en commençant par le haut, est déterminé par le nombre dans la couche suivante, c'est-à-dire où , où l'exposant de la flèche indique le nombre total de flèches. En d'autres termes, il est calculé par étapes : dans la première étape, nous calculons avec quatre flèches entre trois, dans la seconde - avec des flèches entre trois, dans la troisième - avec des flèches entre trois, et ainsi de suite ; à la fin on calcule avec les flèches entre les triplets.

Cela peut s'écrire sous la forme , où , où l'exposant y désigne les itérations de fonction.

Si d'autres nombres avec des « noms » peuvent être associés au nombre d'objets correspondant (par exemple, le nombre d'étoiles dans la partie visible de l'Univers est estimé à des sextillions - , et le nombre d'atomes qui composent le globe est sur le ordre des dodécalions), alors le googol est déjà « virtuel », sans parler du nombre de Graham. L’échelle du premier terme à elle seule est si grande qu’elle est presque impossible à comprendre, bien que la notation ci-dessus soit relativement facile à comprendre. Bien qu'il ne s'agisse que du nombre de tours dans cette formule, ce nombre est déjà bien plus grand que le nombre de volumes de Planck (le plus petit volume physique possible) contenus dans l'univers observable (approximativement).

En quatrième année, je me suis intéressé à la question : « Comment s'appellent les nombres supérieurs à un milliard et pourquoi ? Depuis, je recherche depuis longtemps toutes les informations sur cette question et je les collecte petit à petit. Mais avec l’avènement de l’accès à Internet, les recherches se sont considérablement accélérées. Je présente maintenant toutes les informations que j'ai trouvées afin que d'autres puissent répondre à la question : « Comment s'appellent les grands et très grands nombres ?

Un peu d'histoire

Les peuples slaves du sud et de l’est utilisaient la numérotation alphabétique pour enregistrer les nombres. De plus, pour les Russes, toutes les lettres ne jouaient pas le rôle de chiffres, mais seulement celles de l'alphabet grec. Une icône spéciale « titre » a été placée au-dessus de la lettre indiquant le numéro. Dans le même temps, les valeurs numériques des lettres augmentaient dans le même ordre que les lettres de l'alphabet grec (l'ordre des lettres de l'alphabet slave était légèrement différent).

En Russie, la numérotation slave a été conservée jusqu'à la fin du XVIIe siècle. Sous Pierre Ier, prévalait ce qu'on appelle la « numérotation arabe », que nous utilisons encore aujourd'hui.

Il y a eu également des changements dans les noms des numéros. Par exemple, jusqu'au XVe siècle, le nombre « vingt » s'écrivait « deux dizaines » (deux dizaines), mais a ensuite été raccourci pour une prononciation plus rapide. Jusqu'au XVe siècle, le nombre « quarante » était désigné par le mot « quarante », et aux XVe-XVIe siècles, ce mot fut remplacé par le mot « quarante », qui désignait à l'origine un sac dans lequel 40 peaux d'écureuil ou de zibeline étaient mis. Il existe deux options concernant l'origine du mot « mille » : de l'ancien nom « cent épais » ou d'une modification du mot latin centum - « cent ».

Le nom « million » est apparu pour la première fois en Italie en 1500 et a été formé en ajoutant un suffixe augmentatif au nombre « mille » - mille (c'est-à-dire qu'il signifiait « grand mille »), il a pénétré dans la langue russe plus tard, et avant cela. la même signification en russe, il était désigné par le nombre « leodr ». Le mot « milliard » n’est entré en usage qu’à partir de la guerre franco-prussienne (1871), lorsque les Français ont dû verser à l’Allemagne une indemnité de 5 000 000 000 de francs. Comme « million », le mot « milliard » vient de la racine « mille » avec l'ajout d'un suffixe grossissant italien. En Allemagne et en Amérique, pendant un certain temps, le mot « milliard » désignait le nombre 100 000 000 ; Cela explique que le mot milliardaire était utilisé en Amérique avant qu'une personne riche ne possède 1 000 000 000 de dollars. Dans l'ancienne « Arithmétique » de Magnitski (XVIIIe siècle), on donne un tableau des noms de nombres, ramenés au « quadrillion » (10^24, selon le système à 6 chiffres). Perelman Ya.I. dans le livre "Entertaining Arithmetic", les noms de grands nombres de cette époque sont donnés, légèrement différents d'aujourd'hui : septillion (10^42), octalion (10^48), nonalion (10^54), décalion (10^60) , endécalion (10^ 66), dodécalion (10^72) et il est écrit qu '«il n'y a pas d'autres noms».

Principes de construction de noms et d'une liste de grands nombres
Tous les noms de grands nombres sont construits de manière assez simple : au début il y a un nombre ordinal latin, et à la fin le suffixe -million y est ajouté. Une exception est le nom « million » qui est le nom du nombre mille (mille) et le suffixe augmentatif -million. Il existe deux principaux types de noms pour les grands nombres dans le monde :
système 3x+3 (où x est un nombre ordinal latin) - ce système est utilisé en Russie, France, États-Unis, Canada, Italie, Turquie, Brésil, Grèce
et le système 6x (où x est un nombre ordinal latin) - ce système est le plus répandu dans le monde (par exemple : Espagne, Allemagne, Hongrie, Portugal, Pologne, République tchèque, Suède, Danemark, Finlande). Dans celui-ci, l'intermédiaire manquant 6x+3 se termine par le suffixe -milliard (nous y avons emprunté un milliard, également appelé milliard).

Vous trouverez ci-dessous une liste générale des numéros utilisés en Russie :

...

• 10 100 - googol (le nombre a été inventé par le neveu de 9 ans du mathématicien américain Edward Kasner)



• 10 123 - quadragintillion (quadraginta, XL)


• 10 153 - quinquagintillion (quinquaginta, L)


• 10 183 - sexagintillion (sexaginta, LX)


• 10 213 - septuagintillion (septuaginta, LXX)


• 10 243 - octogintillion (octoginta, LXXX)


• 10 273 - nonagintillion (nonaginta, XC)


• 10 303 - centillions (Centum, C)

• 10 306 - ancentillion ou centunillion


• 10 309 - duocentillion ou centullion


• 10 312 - trecentillion ou centillion


• 10 315 - quattorcentillion ou centquadrillion


• 10 402 - tretrigyntacentillion ou centretrigyntillion

1. Perelman Ya.I. « Arithmétique amusante. » - M. : Triada-Litera, 1994, pp. 134-140


2. Vygodsky M.Ya. "Manuel de mathématiques élémentaires". - Saint-Pétersbourg, 1994, pp. 64-65


3. "Encyclopédie de la connaissance". - comp. V.I. Korotkevitch. - Saint-Pétersbourg : Sova, 2006, p.


4. "Intéressant pour la physique et les mathématiques." - Bibliothèque quantique. problème 50. - M. : Nauka, 1988, p.