Module numérique un est la distance de l'origine au point UN(un).

Pour comprendre cette définition, remplaçons la variable un n’importe quel nombre, par exemple 3 et essayez de le relire :

Module numérique 3 est la distance de l'origine au point UN(3 ).

Il devient clair que le module n'est rien de plus qu'une distance ordinaire. Essayons de voir la distance entre l'origine et le point A( 3 )

Distance de l'origine au point A( 3 ) est égal à 3 (trois unités ou trois pas).

Le module d'un nombre est indiqué par deux lignes verticales, par exemple :

Le module du nombre 3 est noté ainsi : |3|

Le module du nombre 4 est noté ainsi : |4|

Le module du nombre 5 est noté ainsi : |5|

Nous avons cherché le module du nombre 3 et avons découvert qu'il est égal à 3. Nous l'écrivons donc :

Se lit comme : "Le module du nombre trois est trois"

Essayons maintenant de trouver le module du nombre -3. Encore une fois, nous revenons à la définition et y remplaçons le nombre -3. Seulement au lieu d'un point UN utiliser un nouveau point B. Arrêt complet UN nous avons déjà utilisé dans le premier exemple.

Module du nombre - 3 est la distance de l'origine à un point B(—3 ).

La distance d'un point à un autre ne peut pas être négative. Par conséquent, le module de tout nombre négatif, étant une distance, ne sera pas non plus négatif. Le module du nombre -3 sera le nombre 3. La distance de l'origine au point B(-3) est également égale à trois unités :

Se lit comme : "Le module de moins trois est trois."

Le module du nombre 0 est égal à 0, puisque le point de coordonnée 0 coïncide avec l'origine, c'est-à-dire distance de l'origine au point O(0) est égal à zéro :

"Le module de zéro est nul"

Nous tirons des conclusions :

• Le module d'un nombre ne peut pas être négatif ;
• Pour un nombre positif et zéro, le module est égal au nombre lui-même, et pour un nombre négatif – le nombre opposé ;
• Les nombres opposés ont des modules égaux.

Numéros opposés

Les nombres qui ne diffèrent que par leurs signes sont appelés opposé. Par exemple, les nombres −2 et 2 sont opposés. Ils ne diffèrent que par leurs signes. Le nombre −2 a un signe moins et 2 a un signe plus, mais nous ne le voyons pas, car le plus, comme nous l'avons dit plus tôt, ne s'écrit traditionnellement pas.

Autres exemples de nombres opposés :

Les nombres opposés ont des modules égaux. Par exemple, trouvons les modules pour −2 et 2

La figure montre que la distance de l'origine aux points UNE(−2) Et B(2)également égal à deux pas.

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Dans cet article, nous analyserons en détail module du nombre. Nous donnerons diverses définitions du module d'un nombre, introduirons la notation et fournirons des illustrations graphiques. En même temps, examinons divers exemples de recherche du module d'un nombre par définition. Après cela, nous listerons et justifierons les principales propriétés du module. À la fin de l’article, nous expliquerons comment déterminer et trouver le module d’un nombre complexe.

Navigation dans les pages.

Module Nombre - définition, notation et exemples

Nous introduisons d’abord désignation du module numérique. Nous écrirons le module du nombre a comme , c'est-à-dire qu'à gauche et à droite du nombre nous mettrons des tirets verticaux pour former le signe du module. Donnons quelques exemples. Par exemple, le module −7 peut s'écrire ; le module 4.125 s'écrit , et le module a une notation de la forme .

La définition suivante du module fait référence à , et donc à , et aux nombres entiers, ainsi qu'aux nombres rationnels et irrationnels, en tant que parties constitutives de l'ensemble des nombres réels. Nous parlerons du module d'un nombre complexe en.

Définition.

Module du nombre a– c'est soit le nombre a lui-même, si a est un nombre positif, soit le nombre −a, l'opposé du nombre a, si a est un nombre négatif, soit 0, si a=0.

La définition exprimée du module d'un nombre est souvent écrite sous la forme suivante , cette entrée signifie que si a>0 , si a=0 , et si a<0 .

Le dossier peut être présenté sous une forme plus compacte . Cette notation signifie que si (a est supérieur ou égal à 0), et si a<0 .

Il y a aussi l'entrée . Ici, nous devrions expliquer séparément le cas où a=0. Dans ce cas nous avons , mais −0=0, puisque zéro est considéré comme un nombre opposé à lui-même.

Donnons exemples de recherche du module d'un nombre en utilisant la définition indiquée. Par exemple, trouvons les modules des nombres 15 et . Commençons par trouver. Puisque le nombre 15 est positif, son module, par définition, est égal à ce nombre lui-même, c'est-à-dire . Quel est le module d'un nombre ? Puisque est un nombre négatif, son module est égal au nombre opposé au nombre, c'est-à-dire le nombre . Ainsi, .

Pour conclure ce point, nous présentons une conclusion très pratique à utiliser en pratique pour trouver le module d'un nombre. De la définition du module d'un nombre il résulte que le module d'un nombre est égal au nombre sous le signe du module sans tenir compte de son signe, et à partir des exemples discutés ci-dessus, cela est très clairement visible. L'énoncé énoncé explique pourquoi le module d'un nombre est également appelé valeur absolue du nombre. Ainsi, le module d’un nombre et la valeur absolue d’un nombre sont une seule et même chose.

Module d'un nombre sous forme de distance

Géométriquement, le module d'un nombre peut être interprété comme distance. Donnons déterminer le module d'un nombre par la distance.

Définition.

Module du nombre a– c'est la distance entre l'origine sur la ligne de coordonnées et le point correspondant au nombre a.

Cette définition est cohérente avec la définition du module d'un nombre donnée dans le premier paragraphe. Précisons ce point. La distance de l'origine au point correspondant à un nombre positif est égale à ce nombre. Zéro correspond à l'origine, donc la distance de l'origine au point de coordonnée 0 est égale à zéro (il n'est pas nécessaire de mettre de côté un seul segment unitaire ni un seul segment qui constitue une fraction d'un segment unitaire pour pouvoir pour aller du point O à un point de coordonnée 0). La distance de l'origine à un point de coordonnée négative est égale au nombre opposé à la coordonnée de ce point, puisqu'elle est égale à la distance de l'origine au point dont la coordonnée est le nombre opposé.

Par exemple, le module du nombre 9 est égal à 9, puisque la distance de l'origine au point de coordonnée 9 est égale à neuf. Donnons un autre exemple. Le point de coordonnée −3,25 est situé à une distance de 3,25 du point O, donc .

La définition énoncée du module d'un nombre est un cas particulier de la définition du module de la différence de deux nombres.

Définition.

Module de la différence de deux nombres a et b est égal à la distance entre les points de la ligne de coordonnées de coordonnées a et b.

Autrement dit, si des points sur la ligne de coordonnées A(a) et B(b) sont donnés, alors la distance du point A au point B est égale au module de la différence entre les nombres a et b. Si l'on prend le point O (origine) comme point B, alors on obtient la définition du module d'un nombre donnée au début de ce paragraphe.

Déterminer le module d'un nombre à l'aide de la racine carrée arithmétique

Se produit occasionnellement détermination du module via la racine carrée arithmétique.

Par exemple, calculons les modules des nombres −30 et en nous basant sur cette définition. Nous avons. De même, on calcule le module des deux tiers : .

La définition du module d'un nombre par la racine carrée arithmétique est également cohérente avec la définition donnée dans le premier paragraphe de cet article. Montrons-le. Soit a un nombre positif et soit −a un nombre négatif. Alors Et , si a=0 , alors .

Propriétés des modules

Le module a un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés du module. Nous allons maintenant présenter les principaux et les plus fréquemment utilisés. Pour justifier ces propriétés, nous nous appuierons sur la définition du module d'un nombre en termes de distance.

Commençons par la propriété la plus évidente du module : Le module d'un nombre ne peut pas être un nombre négatif. Sous forme littérale, cette propriété a la forme de n'importe quel nombre a. Cette propriété est très simple à justifier : le module d’un nombre est une distance, et la distance ne peut pas être exprimée par un nombre négatif.

Passons à la propriété du module suivante. Le module d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul. Le module de zéro est nul par définition. Zéro correspond à l'origine ; aucun autre point sur la ligne de coordonnées ne correspond à zéro, puisque chaque nombre réel est associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. Pour la même raison, tout nombre autre que zéro correspond à un point différent de l'origine. Et la distance de l’origine à tout point autre que le point O n’est pas nulle, puisque la distance entre deux points est nulle si et seulement si ces points coïncident. Le raisonnement ci-dessus prouve que seul le module de zéro est égal à zéro.

Passons à autre chose. Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire pour tout nombre a. En effet, deux points sur la ligne de coordonnées dont les coordonnées sont des nombres opposés sont à la même distance de l'origine, ce qui signifie que les modules de nombres opposés sont égaux.

La propriété suivante du module est : Le module du produit de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres, c'est, . Par définition, le module du produit des nombres a et b est égal soit à ab si , soit à −(a · b) si . Des règles de multiplication des nombres réels, il s'ensuit que le produit des modules des nombres a et b est égal soit à a·b, , soit à −(a·b) si , ce qui prouve la propriété en question.

Le module du quotient de a divisé par b est égal au quotient du module d'un nombre divisé par le module de b, c'est, . Justifions cette propriété du module. Puisque le quotient est égal au produit, alors. Grâce à la propriété précédente, nous avons . Il ne reste plus qu'à utiliser l'égalité , qui est valable grâce à la définition du module d'un nombre.

La propriété suivante d'un module s'écrit sous forme d'inégalité : , a , b et c sont des nombres réels arbitraires. L'inégalité écrite n'est rien d'autre que inégalité triangulaire. Pour que cela soit clair, prenons les points A(a), B(b), C(c) sur la ligne de coordonnées et considérons un triangle dégénéré ABC, dont les sommets se trouvent sur la même ligne. Par définition, le module de la différence est égal à la longueur du segment AB, - à la longueur du segment AC, et - à la longueur du segment CB. Puisque la longueur d’un côté d’un triangle ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés, l’inégalité est vraie. , par conséquent, l’inégalité est également vraie.

L'inégalité qui vient d'être démontrée est beaucoup plus courante sous la forme . L'inégalité écrite est généralement considérée comme une propriété distincte du module avec la formulation : « Le module de la somme de deux nombres ne dépasse pas la somme des modules de ces nombres" Mais l’inégalité découle directement de l’inégalité si l’on met −b au lieu de b et prends c=0.

Module d'un nombre complexe

Donnons définition du module d'un nombre complexe. Qu'il nous soit donné nombre complexe, écrit sous forme algébrique, où x et y sont des nombres réels, représentant respectivement les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z donné, et est l'unité imaginaire.

Résolution d'équations et d'inégalités avec module pose souvent des difficultés. Cependant, si vous comprenez bien ce que c'est module du nombre, Et comment développer correctement des expressions contenant un signe de module, alors la présence dans l'équation expression sous le signe du module, cesse d’être un obstacle à sa solution.

Un peu de théorie. Chaque nombre a deux caractéristiques : la valeur absolue du nombre et son signe.

Par exemple, le nombre +5, ou simplement 5, a un signe « + » et une valeur absolue de 5.

Le nombre -5 a un signe "-" et une valeur absolue de 5.

Les valeurs absolues des nombres 5 et -5 sont 5.

La valeur absolue d'un nombre x est appelée le module du nombre et est notée |x|.

Comme on le voit, le module d'un nombre est égal au nombre lui-même si ce nombre est supérieur ou égal à zéro, et à ce nombre de signe opposé si ce nombre est négatif.

Il en va de même pour toutes les expressions qui apparaissent sous le signe du module.

La règle d'expansion du module ressemble à ceci :

|f(x)|= f(x) si f(x) ≥ 0, et

|f(x)|= - f(x), si f(x)< 0

Par exemple |x-3|=x-3, si x-3≥0 et |x-3|=-(x-3)=3-x, si x-3<0.

Pour résoudre une équation contenant une expression sous le signe du module, il faut d'abord développer un module selon la règle d'extension de module.

Alors notre équation ou inégalité devient en deux équations différentes existant sur deux intervalles numériques différents.

Il existe une équation sur un intervalle numérique sur lequel l'expression sous le signe du module est non négative.

Et la deuxième équation existe sur l'intervalle sur lequel l'expression sous le signe du module est négative.

Regardons un exemple simple.

Résolvons l'équation :

|x-3|=-x2 +4x-3

1. Ouvrons le module.

|x-3|=x-3, si x-3≥0, c'est-à-dire si x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x si x-3<0, т.е. если х<3

2. Nous avons reçu deux intervalles numériques : x≥3 et x<3.

Considérons dans quelles équations l'équation d'origine est transformée sur chaque intervalle :

A) Pour x≥3 |x-3|=x-3, et notre blessure a la forme :

Attention! Cette équation n'existe que sur l'intervalle x≥3 !

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

et résolvez cette équation.

Cette équation a des racines :

x1 =0, x2 =3

Attention! puisque l'équation x-3=-x 2 +4x-3 n'existe que sur l'intervalle x≥3, nous ne nous intéressons qu'aux racines qui appartiennent à cet intervalle. Cette condition n'est satisfaite que par x 2 =3.

B) À x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Attention! Cette équation n'existe que sur l'intervalle x<3!

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires. On obtient l'équation :

x1 =2, x2 =3

Attention! puisque l'équation 3-x=-x 2 +4x-3 n'existe que sur l'intervalle x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Donc : du premier intervalle nous prenons uniquement la racine x=3, du second - la racine x=2.

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Saisir une équation ou une inégalité avec des modules
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
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Un peu de théorie.

Équations et inégalités avec modules

Dans un cours de base d’algèbre scolaire, vous rencontrerez peut-être les équations et inégalités les plus simples avec des modules. Pour les résoudre, vous pouvez utiliser une méthode géométrique basée sur le fait que \(|x-a| \) est la distance sur la droite numérique entre les points x et a : \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Par exemple, pour résoudre l'équation \(|x-3|=2\), vous devez trouver des points sur la droite numérique qui sont éloignés du point 3 à une distance de 2. Il existe deux de ces points : \(x_1=1 \) et \(x_2=5\) .

Résoudre l’inégalité \(|2x+7|

Mais la principale manière de résoudre des équations et des inégalités avec des modules est associée à ce que l'on appelle la « révélation du module par définition » :
si \(a \geq 0 \), alors \(|a|=a \);
if \(a En règle générale, une équation (inégalité) avec modules se réduit à un ensemble d'équations (inégalités) qui ne contiennent pas le signe du module.

En plus de la définition ci-dessus, les déclarations suivantes sont utilisées :
1) Si \(c > 0\), alors l'équation \(|f(x)|=c \) est équivalente à l'ensemble des équations : \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right.
2) Si \(c > 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), alors l'inégalité \(|f(x)| > c \) est équivalent à un ensemble d'inégalités : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si les deux côtés de l'inégalité \(f(x) EXEMPLE 1. Résolvez l'équation \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), alors \(|x-1| = x-1\) et l'équation donnée prend la forme
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Ainsi, l'équation donnée doit être considérée séparément dans chacun des deux cas indiqués.
1) Soit \(x-1 \geq 0 \), c'est-à-dire \(x\geq 1\). A partir de l'équation \(x^2 +2x -8 = 0\) nous trouvons \(x_1=2, \; x_2=-4\).
La condition \(x \geq 1 \) n'est satisfaite que par la valeur \(x_1=2\).

2) Soit \(x-1 Réponse : \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\). Première façon
(extension de module par définition).

1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), alors \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) et l'équation donnée prend la forme \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Après avoir résolu cette équation quadratique, nous obtenons : \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Voyons si la valeur \(x_1=6\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0\). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée dans l'inégalité quadratique. On obtient : \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), c'est-à-dire \(7 \geq 0 \) est une vraie inégalité.
Cela signifie que \(x_1=6\) est la racine de l'équation donnée.

Voyons si la valeur \(x_2=\frac(5)(3) \) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Pour ce faire, remplacez la valeur indiquée par l'inégalité quadratique. On obtient : \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), soit \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) est une inégalité incorrecte. Cela signifie que \(x_2=\frac(5)(3)\) n'est pas une racine de l'équation donnée.

2) Si \(x^2-6x+7 Value \(x_3=3\) satisfait à la condition \(x^2-6x+7 Value \(x_4=\frac(4)(3) \) ne satisfait pas la condition \ (x^2-6x+7 Ainsi, l'équation donnée a deux racines : \(x=6, \; x=3 \). Deuxième façon.
Si l'équation \(|f(x)| = h(x) \) est donnée, alors avec \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)

Ces deux équations ont été résolues ci-dessus (en utilisant la première méthode de résolution de l'équation donnée), leurs racines sont les suivantes : \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condition \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de ces quatre valeurs n'est satisfaite que par deux : 6 et 3. Cela signifie que l'équation donnée a deux racines : \(x=6 , \; x=3 \ ). Troisième voie
(graphique).
1) Construisons un graphique de la fonction \(y = |x^2-6x+7| \). Tout d’abord, construisons une parabole \(y = x^2-6x+7\).
Nous avons \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Le graphique de la fonction \(y = (x-3)^2-2\) peut être obtenu à partir du graphique de la fonction \(y = x^2 \) en le décalant de 3 unités d'échelle vers la droite (le long de l'axe des x) et par 2 unités d'échelle vers le bas (le long de l'axe des y).

Il est important que le point x = 1,8 de l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses soit situé à droite du point gauche d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses - c'est le point \(x=3-\ sqrt(2) \) (puisque \(3-\sqrt(2 ) 3) À en juger par le dessin, les graphiques se coupent en deux points - A(3; 2) et B(6; 7). En remplaçant les abscisses de ces points x = 3 et x = 6 dans l'équation donnée, nous sommes convaincus que dans les deux cas, l'égalité numérique correcte est obtenue. Cela signifie que notre hypothèse a été confirmée - l'équation a deux racines : x = 3 et. x = 6. Réponse : 3 ;

Commentaire. La méthode graphique, malgré toute son élégance, n'est pas très fiable. Dans l’exemple considéré, cela a fonctionné uniquement parce que les racines de l’équation sont des nombres entiers.

EXEMPLE 3. Résolvez l'équation \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

EXEMPLE 2. Résolvez l'équation \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).
L'expression 2x–4 devient 0 au point x = 2, et l'expression x + 3 devient 0 au point x = –3. Ces deux points divisent la droite numérique en trois intervalles : \(x

Considérons le premier intervalle : \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considérons le deuxième intervalle : \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considérons le troisième intervalle : \()