La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.
Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.
Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.
Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».
Désignation:
De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.
À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.
Par définition nous avons :
Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives
Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.
S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :
- Plus par moins donne moins ;
- Deux négatifs font un affirmatif.
Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :
- On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
- S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.
Tâche. Trouvez le sens de l'expression :
Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On obtient :
Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).
Faites également attention aux nombres négatifs : lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.
Réduire les fractions à la volée
La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :
Tâche. Trouvez le sens de l'expression :
Par définition nous avons :
Dans tous les exemples, les chiffres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.
Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.
Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :
Vous ne pouvez pas faire ça !
L'erreur est due au fait que lors de l'addition du numérateur d'une fraction, la somme apparaît, et non le produit des nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.
Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :
Bonne solution :
Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.
Dans les cours du collège et du lycée, les élèves ont abordé le thème « Fractions ». Cependant, ce concept est beaucoup plus large que ce qui est donné dans le processus d'apprentissage. Aujourd'hui, le concept de fraction est rencontré assez souvent et tout le monde ne peut pas calculer une expression, par exemple multiplier des fractions.
Qu'est-ce qu'une fraction ?
Historiquement, les nombres fractionnaires sont nés du besoin de mesurer. Comme le montre la pratique, il existe souvent des exemples de détermination de la longueur d'un segment et du volume d'un rectangle rectangulaire.
Dans un premier temps, les étudiants sont initiés à la notion de partage. Par exemple, si vous divisez une pastèque en 8 parties, chaque personne recevra un huitième de la pastèque. Cette partie de huit s’appelle une part.
Une part égale à la moitié d’une valeur quelconque est appelée moitié ; ⅓ - tiers ; ¼ - un quart. Les enregistrements de la forme 5/8, 4/5, 2/4 sont appelés fractions ordinaires. Une fraction commune est divisée en un numérateur et un dénominateur. Entre eux se trouve la barre de fraction, ou barre de fraction. La ligne fractionnaire peut être tracée sous forme de ligne horizontale ou oblique. Dans ce cas, il désigne le signe de division.
Le dénominateur représente le nombre de parties égales en lesquelles la quantité ou l'objet est divisé ; et le numérateur est le nombre d'actions identiques prises. Le numérateur est écrit au-dessus de la ligne de fraction, le dénominateur est écrit en dessous.
Il est plus pratique de représenter les fractions ordinaires sur un rayon de coordonnées. Si un seul segment est divisé en 4 parties égales, chaque partie est désignée par une lettre latine, le résultat peut alors être une excellente aide visuelle. Ainsi, le point A montre une part égale à 1/4 de l'ensemble du segment unitaire, et le point B marque 2/8 d'un segment donné.
Types de fractions
Les fractions peuvent être des nombres ordinaires, décimaux et mixtes. De plus, les fractions peuvent être divisées en fractions appropriées et impropres. Cette classification est plus adaptée aux fractions ordinaires.
Une fraction propre est un nombre dont le numérateur est inférieur à son dénominateur. En conséquence, une fraction impropre est un nombre dont le numérateur est supérieur à son dénominateur. Le deuxième type est généralement écrit sous forme de nombre mixte. Cette expression est constituée d'un entier et d'une partie fractionnaire. Par exemple, 1½. 1 est une partie entière, ½ est une partie fractionnaire. Cependant, si vous devez effectuer quelques manipulations avec l'expression (diviser ou multiplier des fractions, les réduire ou les convertir), le nombre fractionnaire est converti en une fraction impropre.
Une expression fractionnaire correcte est toujours inférieure à un et une expression incorrecte est toujours supérieure ou égale à 1.
Quant à cette expression, nous entendons un enregistrement dans lequel est représenté n'importe quel nombre, dont le dénominateur de l'expression fractionnaire peut être exprimé par un avec plusieurs zéros. Si la fraction est propre, alors la partie entière en notation décimale sera égale à zéro.
Pour écrire une fraction décimale, vous devez d'abord écrire la partie entière, la séparer de la fraction par une virgule, puis écrire l'expression de la fraction. Il ne faut pas oublier qu'après la virgule décimale, le numérateur doit contenir autant de caractères numériques qu'il y a de zéros au dénominateur.
Exemple. Exprimez la fraction 7 21 / 1000 en notation décimale.
Algorithme de conversion d'une fraction impropre en nombre fractionnaire et vice versa
Il est incorrect d'écrire une fraction impropre dans la réponse à un problème, elle doit donc être convertie en un nombre fractionnaire :
- diviser le numérateur par le dénominateur existant ;
- dans un exemple précis, un quotient incomplet est un tout ;
- et le reste est le numérateur de la partie fractionnaire, le dénominateur restant inchangé.
Exemple. Convertir une fraction impropre en nombre fractionnaire : 47 / 5.
Solution. 47 : 5. Le quotient partiel est 9, le reste = 2. Donc, 47 / 5 = 9 2 / 5.
Parfois, vous devez représenter un nombre fractionnaire comme une fraction impropre. Ensuite, vous devez utiliser l'algorithme suivant :
- la partie entière est multipliée par le dénominateur de l'expression fractionnaire ;
- le produit résultant est ajouté au numérateur ;
- le résultat est écrit au numérateur, le dénominateur reste inchangé.
Exemple. Présentez le nombre sous forme mixte comme une fraction impropre : 9 8 / 10.
Solution. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 est le numérateur.
Répondre: 98 / 10.
Multiplier des fractions
Diverses opérations algébriques peuvent être effectuées sur des fractions ordinaires. Pour multiplier deux nombres, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. De plus, multiplier des fractions avec des dénominateurs différents n'est pas différent de multiplier des fractions avec les mêmes dénominateurs.
Il arrive qu'après avoir trouvé le résultat, vous deviez réduire la fraction. Il est impératif de simplifier au maximum l'expression résultante. Bien sûr, on ne peut pas dire qu’une fraction impropre dans une réponse est une erreur, mais il est également difficile de la qualifier de réponse correcte.
Exemple. Trouvez le produit de deux fractions ordinaires : ½ et 20/18.
Comme le montre l'exemple, après avoir trouvé le produit, une notation fractionnaire réductible est obtenue. Dans ce cas, le numérateur et le dénominateur sont divisés par 4 et le résultat est la réponse 5/9.
Multiplier des fractions décimales
Le produit de fractions décimales est tout à fait différent du produit de fractions ordinaires dans son principe. Ainsi, multiplier des fractions est la suivante :
- deux fractions décimales doivent être écrites l'une sous l'autre de manière à ce que les chiffres les plus à droite soient l'un sous l'autre ;
- vous devez multiplier les nombres écrits, malgré les virgules, c'est-à-dire sous forme de nombres naturels ;
- compter le nombre de chiffres après la virgule dans chaque nombre ;
- dans le résultat obtenu après multiplication, il faut compter à partir de la droite autant de symboles numériques qu'il y a dans la somme des deux facteurs après la virgule décimale, et mettre un signe de séparation ;
- s'il y a moins de nombres dans le produit, vous devez alors écrire autant de zéros devant eux pour couvrir ce nombre, mettre une virgule et ajouter la partie entière égale à zéro.
Exemple. Calculez le produit de deux fractions décimales : 2,25 et 3,6.
Solution.
Multiplier des fractions mixtes
Pour calculer le produit de deux fractions mixtes, vous devez utiliser la règle de multiplication des fractions :
- convertir des nombres fractionnaires en fractions impropres ;
- trouver le produit des numérateurs ;
- trouver le produit des dénominateurs ;
- notez le résultat;
- simplifier l'expression autant que possible.
Exemple. Trouvez le produit de 4½ et 6 2/5.
Multiplier un nombre par une fraction (fractions par un nombre)
En plus de trouver le produit de deux fractions et de nombres fractionnaires, il existe des tâches dans lesquelles vous devez multiplier par une fraction.
Ainsi, pour trouver le produit d'une fraction décimale et d'un nombre naturel, il vous faut :
- écrivez le nombre sous la fraction de manière à ce que les chiffres les plus à droite soient les uns au-dessus des autres ;
- trouver le produit malgré la virgule ;
- dans le résultat obtenu, séparez la partie entière de la partie fractionnaire à l'aide d'une virgule, en comptant à partir de la droite le nombre de chiffres situés après la virgule décimale dans la fraction.
Pour multiplier une fraction commune par un nombre, vous devez trouver le produit du numérateur et du facteur naturel. Si la réponse produit une fraction pouvant être réduite, elle doit être convertie.
Exemple. Calculez le produit de 5/8 et 12.
Solution. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Répondre: 7 1 / 2.
Comme vous pouvez le voir dans l'exemple précédent, il était nécessaire de réduire le résultat obtenu et de convertir l'expression d'une fraction irrégulière en un nombre fractionnaire.
La multiplication de fractions consiste aussi à trouver le produit d'un nombre sous forme mixte et d'un facteur naturel. Pour multiplier ces deux nombres, vous devez multiplier la partie entière du facteur mixte par le nombre, multiplier le numérateur par la même valeur et laisser le dénominateur inchangé. Si nécessaire, vous devez simplifier autant que possible le résultat obtenu.
Exemple. Trouvez le produit de 9 5 / 6 et 9.
Solution. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Répondre: 88 1 / 2.
Multiplication par facteurs de 10, 100, 1000 ou 0,1 ; 0,01 ; 0,001
La règle suivante découle du paragraphe précédent. Pour multiplier une fraction décimale par 10, 100, 1 000, 10 000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale vers la droite d'autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le facteur après celui.
Exemple 1. Trouvez le produit de 0,065 et 1000.
Solution. 0,065 x 1 000 = 0065 = 65.
Répondre: 65.
Exemple 2. Trouvez le produit de 3,9 et 1000.
Solution. 3,9 x 1 000 = 3,900 x 1 000 = 3 900.
Répondre: 3900.
Si vous devez multiplier un nombre naturel par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001, etc., vous devez déplacer la virgule dans le produit résultant vers la gauche d'autant de caractères numériques qu'il y a de zéros avant un. Si nécessaire, un nombre suffisant de zéros est écrit avant l'entier naturel.
Exemple 1. Trouvez le produit de 56 et 0,01.
Solution. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Répondre: 0,56.
Exemple 2. Trouvez le produit de 4 et 0,001.
Solution. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Répondre: 0,004.
Ainsi, trouver le produit de différentes fractions ne devrait pas poser de difficultés, sauf peut-être calculer le résultat ; dans ce cas, vous ne pouvez tout simplement pas vous passer d'une calculatrice.
Multiplier et diviser des fractions.
Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)
Cette opération est bien plus sympa que l’addition-soustraction ! Parce que c'est plus facile. Pour rappel, pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:
Par exemple:
Tout est extrêmement simple. Et s’il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! On n'a pas besoin de lui ici...
Pour diviser une fraction par une fraction, il faut inverser deuxième(c'est important !) fraction et multipliez-les, c'est-à-dire :
Par exemple:
Si vous rencontrez une multiplication ou une division avec des nombres entiers et des fractions, ce n'est pas grave. Comme pour l'addition, on fait une fraction à partir d'un nombre entier avec un au dénominateur - et c'est parti ! Par exemple:
Au lycée, on est souvent confronté à des fractions de trois étages (voire quatre étages !). Par exemple:
Comment puis-je rendre cette fraction décente ? Oui, très simple ! Utilisez la division en deux points :
Mais n'oubliez pas l'ordre de division ! Contrairement à la multiplication, c'est très important ici ! Bien entendu, on ne confondra pas 4:2 ou 2:4. Mais il est facile de se tromper sur une fraction de trois étages. A noter par exemple :
Dans le premier cas (expression de gauche) :
Dans la seconde (expression de droite) :
Sentez-vous la différence ? 4 et 1/9 !
Qu’est-ce qui détermine l’ordre de division ? Soit avec des parenthèses, soit (comme ici) avec la longueur des lignes horizontales. Développez votre œil. Et s'il n'y a pas de parenthèses ni de tirets, comme :
puis divise et multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!
Et une autre technique très simple et importante. Dans des actions avec diplômes, cela vous sera tellement utile ! Divisons un par n'importe quelle fraction, par exemple par 13/15 :
Le coup s'est retourné ! Et cela arrive toujours. Lorsque l’on divise 1 par n’importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, mais à l’envers.
C'est tout pour les opérations avec des fractions. La chose est assez simple, mais elle donne largement assez d'erreurs. Tenez compte des conseils pratiques, et il y en aura moins (erreurs) !
Conseils pratiques :
1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention ! Ce ne sont pas des mots généraux, ni de bons vœux ! C'est une nécessité absolue ! Effectuez tous les calculs de l'examen d'État unifié comme une tâche à part entière, ciblée et claire. Il vaut mieux écrire deux lignes supplémentaires dans un brouillon plutôt que de se tromper lors de calculs mentaux.
2. Dans des exemples avec différents types de fractions, passons aux fractions ordinaires.
3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'elles s'arrêtent.
4. Nous réduisons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux aux expressions ordinaires en utilisant la division par deux points (nous suivons l'ordre de division !).
5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.
Voici les tâches que vous devez absolument accomplir. Les réponses sont données après toutes les tâches. Utilisez le matériel sur ce sujet et les conseils pratiques. Estimez combien d’exemples vous avez pu résoudre correctement. C'est vrai du premier coup ! Sans calculatrice ! Et tirez les bonnes conclusions...
N'oubliez pas : la bonne réponse est reçu dès la deuxième (surtout la troisième) fois ne compte pas ! Telle est la dure vie.
Donc, résoudre en mode examen ! D'ailleurs, il s'agit déjà d'une préparation à l'examen d'État unifié. Nous résolvons l'exemple, le vérifions, résolvons le suivant. Nous avons tout décidé - vérifié à nouveau du début au dernier. Et seulement Alors regarde les réponses.
Calculer:
Avez-vous décidé ?
Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai volontairement notées dans le désordre, loin de la tentation, pour ainsi dire... Les voici, les réponses, écrites avec des points-virgules.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Maintenant, nous tirons des conclusions. Si tout s'est bien passé, je suis content pour toi ! Les calculs de base avec des fractions ne sont pas votre problème ! Vous pouvez faire des choses plus sérieuses. Sinon...
Vous avez donc l'un des deux problèmes suivants. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissances et (ou) inattention. Mais... ceci soluble problèmes.
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Pour multiplier correctement une fraction par une fraction ou une fraction par un nombre, vous devez connaître des règles simples. Nous allons maintenant analyser ces règles en détail.
Multiplier une fraction commune par une fraction.
Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez calculer le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs de ces fractions.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Regardons un exemple :
On multiplie le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction, et on multiplie également le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ fois 3)(7 \fois 3) = \frac(4)(7)\\\)
La fraction \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) a été réduite de 3.
Multiplier une fraction par un nombre.
Tout d'abord, rappelons la règle, n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de fraction \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Utilisons cette règle lors de la multiplication.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Fraction impropre \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) converti en fraction mixte.
Autrement dit, Lorsque nous multiplions un nombre par une fraction, nous multiplions le nombre par le numérateur et laissons le dénominateur inchangé. Exemple:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Multiplier des fractions mixtes.
Pour multiplier des fractions mixtes, vous devez d'abord représenter chaque fraction mixte comme une fraction impropre, puis utiliser la règle de multiplication. Nous multiplions le numérateur par le numérateur et multiplions le dénominateur par le dénominateur.
Exemple:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Multiplication de fractions et de nombres réciproques.
La fraction \(\bf \frac(a)(b)\) est l'inverse de la fraction \(\bf \frac(b)(a)\), à condition que a≠0,b≠0.
Les fractions \(\bf \frac(a)(b)\) et \(\bf \frac(b)(a)\) sont appelées fractions réciproques. Le produit des fractions réciproques est égal à 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Exemple:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Questions connexes :
Comment multiplier une fraction par une fraction ?
Réponse : Le produit de fractions ordinaires est la multiplication d'un numérateur par un numérateur, d'un dénominateur par un dénominateur. Pour obtenir le produit de fractions mixtes, vous devez les convertir en fraction impropre et multiplier selon les règles.
Comment multiplier des fractions avec des dénominateurs différents ?
Réponse : peu importe que les fractions aient des dénominateurs identiques ou différents, la multiplication se produit selon la règle consistant à trouver le produit d'un numérateur avec un numérateur, d'un dénominateur avec un dénominateur.
Comment multiplier des fractions mixtes ?
Réponse : tout d’abord, vous devez convertir la fraction mixte en fraction impropre puis trouver le produit en utilisant les règles de multiplication.
Comment multiplier un nombre par une fraction ?
Réponse : nous multiplions le nombre par le numérateur, mais laissons le même dénominateur.
Exemple n°1 :
Calculer le produit : a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Solution:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rouge) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Exemple n°2 :
Calculer les produits d'un nombre et d'une fraction : a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Solution:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Exemple n°3 :
Écrire l'inverse de la fraction \(\frac(1)(3)\) ?
Réponse : \(\frac(3)(1) = 3\)
Exemple n°4 :
Calculer le produit de deux fractions réciproques : a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Solution:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Exemple n°5 :
Les fractions réciproques peuvent-elles être :
a) simultanément avec des fractions propres ;
b) simultanément des fractions impropres ;
c) simultanément des nombres naturels ?
Solution:
a) pour répondre à la première question, donnons un exemple. La fraction \(\frac(2)(3)\) est propre, sa fraction inverse sera égale à \(\frac(3)(2)\) - une fraction impropre. Réponse : non.
b) dans presque toutes les énumérations de fractions, cette condition n'est pas remplie, mais certains nombres remplissent la condition d'être simultanément une fraction impropre. Par exemple, la fraction impropre est \(\frac(3)(3)\), sa fraction inverse est égale à \(\frac(3)(3)\). Nous obtenons deux fractions impropres. Réponse : pas toujours sous certaines conditions lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux.
c) les nombres naturels sont des nombres que nous utilisons pour compter, par exemple 1, 2, 3,…. Si l’on prend le nombre \(3 = \frac(3)(1)\), alors sa fraction inverse sera \(\frac(1)(3)\). La fraction \(\frac(1)(3)\) n’est pas un nombre naturel. Si l'on parcourt tous les nombres, l'inverse du nombre est toujours une fraction, sauf 1. Si l'on prend le nombre 1, alors sa fraction réciproque sera \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Le numéro 1 est un nombre naturel. Réponse : ils ne peuvent être simultanément des nombres naturels que dans un seul cas, s'il s'agit du nombre 1.
Exemple n°6 :
Faire le produit de fractions mixtes : a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Solution:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Exemple n°7 :
Deux réciproques peuvent-ils être des nombres mixtes en même temps ?
Regardons un exemple. Prenons une fraction mixte \(1\frac(1)(2)\), trouvons sa fraction inverse, pour ce faire nous la convertissons en une fraction impropre \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Sa fraction inverse sera égale à \(\frac(2)(3)\) . La fraction \(\frac(2)(3)\) est une fraction propre. Réponse : Deux fractions mutuellement inverses ne peuvent pas être des nombres mixtes en même temps.
Multiplier un nombre entier par une fraction n’est pas une tâche difficile. Mais il y a des subtilités que vous avez probablement comprises à l’école, mais que vous avez oubliées depuis.
Comment multiplier un nombre entier par une fraction – quelques termes
Si vous vous souvenez de ce que sont un numérateur et un dénominateur et en quoi une fraction propre diffère d'une fraction impropre, sautez ce paragraphe. C'est pour ceux qui ont complètement oublié la théorie.
Le numérateur est la partie supérieure de la fraction – ce que nous divisons. Le dénominateur est inférieur. C'est par cela que nous divisons.
Une fraction propre est une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur. Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.
Comment multiplier un nombre entier par une fraction
La règle pour multiplier un entier par une fraction est très simple : on multiplie le numérateur par l'entier, mais on ne touche pas au dénominateur. Par exemple : deux multiplié par un cinquième - nous obtenons deux cinquièmes. Quatre multiplié par trois seizièmes égale douze seizièmes.
Réduction
Dans le deuxième exemple, la fraction résultante peut être réduite.
Qu'est-ce que ça veut dire? Veuillez noter que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par quatre. Diviser les deux nombres par un diviseur commun s’appelle réduire la fraction. Nous obtenons les trois quarts.
Fractions impropres
Mais supposons que nous multipliions quatre par deux cinquièmes. Il s'est avéré que c'était huit cinquièmes. C'est une fraction impropre.
Il faut absolument qu'il soit mis sous la forme correcte. Pour ce faire, vous devez en sélectionner une partie entière.
Ici, vous devez utiliser la division avec un reste. Nous obtenons un et trois comme reste.
Un entier et trois cinquièmes constituent notre fraction propre.
Il est un peu plus difficile de donner la forme correcte à trente-cinq huitièmes. Le nombre le plus proche de trente-sept divisible par huit est trente-deux. Une fois divisé, nous obtenons quatre. Soustrayez trente-deux de trente-cinq et nous obtenons trois. Résultat : quatre entiers et trois huitièmes.
Égalité du numérateur et du dénominateur. Et ici, tout est très simple et beau. Si le numérateur et le dénominateur sont égaux, le résultat est simplement un.
