Геометрический смысл определителя матрицы оператора. Основные свойства определителей и их геометрический смысл

Свойство 2.12. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама
вычтем изi -ой строки, предыдущие строки с коэффициентами
. Определитель матрицы Грама при этом не изменится, аi -ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.

Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов
. Если k =1, то
- квадрат длины вектора. Еслиk >1, то применим к системе векторов
процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов
. Обозначим через P матрицу перехода от системы
к системе
. Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того,и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов
- ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случайk =2. Тогда
равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону(см. Error: Reference source not found). Следовательно, произведение
равно площади параллелограмма натянутого на векторы
, а определитель матрицы Грама
равен квадрату площади этого параллелограмма. Еслиk =3, то вектор к плоскости, натянутой на векторы
. Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы
. Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.

Свойство 2.13 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объемаk -мерного параллелепипеда натянутого на векторы
иначе.

Покажем теперь неравенство Адамара.

Теорема 2.4.

Доказательство. Если система векторов
линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов
. Векторявляется ортогональной составляющей векторана линейную оболочку векторов
, и, значит,
по неравенству Бесселя (Теорема 2 .2). Далее,, что и требовалось доказать.

Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.

Следствие 2.5 Справедливы неравенства
и
.

Доказательство. В n -мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле
. Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицыA . Матрица Грама от этой системы векторов равна
и по неравенству Адамара
. Поскольку
, то неравенство
установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим
.

Следствие 2.6 Пусть
. Тогда
.

Доказательство очевидно.

Положим
и, далее, по индукции
. Матрицаимеет порядок, ее определитель равен
и все ее элементы равны
. Легко убедиться, что неравенство (Следствие 2 .6) обращается на этой матрице в равенство.

1. Рассмотрим произвольные векторы . Допустим сначала, что эти векторы линейно независимы. В этом случае определитель Грама, составленный для любых из этих векторов, будет отличен от нуля. Тогда, полагая согласно (22)

(23)

и перемножая почленно эти неравенства и неравенство

, (24)

.

Таким образом, определитель Грама для линейно независимых векторов положителен, для линейно зависимых равен нулю. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.

Обозначим для сокращения . Тогда из (23) и (24)

где – площадь параллелограмма, построенного на и . Далее,

,

где – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Продолжая далее, найдем:

,

и, наконец,

. (25)

Естественно назвать объемом -мерного параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.

Обозначим через , координаты вектора в некотором ортонормированном базисе в , и пусть

Тогда на основании (14)

и потому [см. формулу (25)]

. (26)

Это равенство имеет следующий геометрический смысл:

Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные -мерные подпространства. В частности, при из (26) следует:

. (26)

При помощи формул (20), (21), (22), (26), (26") решается ряд основных метрических задач -мерной унитарной и евклидовой аналитической геометрии.

2. Вернемся к разложению (15). Из него непосредственно следует:

что в сочетании с (22) дает неравенство (для произвольных векторов )

при этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда вектор ортогонален к векторам .

Отсюда нетрудно получить так называемое неравенство Адамара

где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны. Неравенство (29) выражает собой следующий геометрически очевидный факт:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер и равен этому произведению лишь тогда, когда параллелепипед прямоугольный.

Неравенству Адамара можно придать его обычный вид, полагая в (28) и вводя в рассмотрение определитель , составленный из координат векторов , в некотором ортонормированном базисе:

.

Тогда из (26") и (28) следует

. (28)

3. Установим теперь обобщенное неравенство Адамара, охватывающее как неравенство (27), так и неравенство (28):

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда каждый из векторов ортогонален к любому из векторов либо один из определителей , равен нулю.

Неравенство (28") имеет следующий геометрический смысл:

Объем параллелепипеда не превосходит произведения объемов двух дополнительных граней и равен этому произведению в том и только в том случае, когда эти грани взаимно ортогональны либо хотя бы одна из них имеет нулевой объем.

Справедливость неравенства (29) установим индуктивно относительно числа векторов . Неравенство справедливо, когда это число равно 1 [см. формулу (27)].

Введем в рассмотрение два подпространства и соответственно с базисами и . Очевидно, . Рассмотрим ортогональные разложения

.

Заменяя квадрат объема параллелепипеда произведением квадрата объема основания на квадрат высоты [см. формулу (22)], найдем

При этом из разложения вектора следует:

, (31)

причем здесь знак имеет место, лишь когда .

Используя теперь соотношения (30), (30"), (31) и предположение индукции, получим:

Мы получили неравенство (29). Переходя к выяснению, когда в этом неравенстве имеет место знак , примем, что и . Тогда согласно (30") также и . Коль скоро в соотношениях (32) всюду имеет место знак равенства, то и, кроме того, по предположению индукции, каждый из векторов ортогонален к каждому из векторов . Этим свойством обладает, очевидно, и вектор

Таким образом, обобщенное неравенство Адамара установлено полностью.

4. Обобщённому неравенству Адамара (29) можно придать и аналитическую форму.

Пусть – произвольная положительно определенная эрмитова форма. Рассматривая как координаты вектора в -мерном пространстве при базисе , примем форму за основную метрическую форму в (см. стр. 224). Тогда станет унитарным пространством. Применим обобщенное неравенство Адамара к базисным векторам : - вещественная матрица коэффициентов положительно определенной квадратичной формы между векторами и , определив его из соотношения

.

Из неравенства Буняковского следует, что имеет вещественное значение.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы - самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно - потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных - опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос - что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель - это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? - тогда читаем дальше...

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель - это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что "площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами - сторонами параллелограмма ". Говоря простым языком, если матрица - это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура - это отрезок; если двумерное - то фигура - параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель - это длина отрезка, для плоскости - площадь фигуры, для трёхмерной фигуры - её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы - это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной - возможно, транспонирование - это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица - это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом - но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, - тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте - а поймёте потом» - не для меня, копаю в глубь веков (точнее - читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писа ть. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Свойство 2.7. Определитель матрицы Грама от линейно зависимой системы векторов равен 0.

Доказательство. Пусть система векторов - линейно зависима. Тогда, либо система содержит нулевой вектор, и утверждение в этом случае очевидно, либо найдется вектор , линейно выражающийся через предыдущие векторы системы. В матрице Грама вычтем из i -ой строки, предыдущие строки с коэффициентами . Определитель матрицы Грама при этом не изменится, а i -ая строка станет равной нулю. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю, а, значит, и определитель матрицы Грама равен нулю.

Рассмотрим геометрический смысл матрицы Грама от линейной не зависимой системы векторов . Если k =1, то - квадрат длины вектора. Если k >1, то применим к системе векторов процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Обозначим через P матрицу перехода от системы к системе . Эта матрица имеет треугольный вид, а на ее главной диагонали стоят 1, и ее определитель равен 1. Кроме того, и, следовательно, определители матриц Грама равны. Поскольку система векторов - ортогональна, то матрица Грама от этой системы векторов – диагональная, и ее определитель равен произведению квадратов длин векторов этой системы. Таким образом, установлено равенство . Рассмотрим случай k =2. Тогда равна длине высоты параллелограмма, опущенного на сторону (см. рис. 1). Следовательно, произведение равно площади параллелограмма натянутого на векторы , а определитель матрицы Грама равен квадрату площади этого параллелограмма. Если k =3, то вектор является ортогональной составляющей вектора к плоскости, натянутой на векторы . Следовательно, определитель матрицы Грама от трех векторов равен квадрату объема параллелепипеда, натянутого на векторы . Поскольку все рассуждения обобщаются на произвольную размерность, то тем самым установлено свойство.

Свойство 2.8 Определитель матрицы Грама от системы векторов равен 0, если система линейно зависима, и квадрату объема k -мерного параллелепипеда натянутого на векторы иначе.

Покажем теперь неравенство Адамара.

Теорема 2.4.

Доказательство. Если система векторов линейно зависимая, то неравенство очевидно. Пусть эта система векторов линейно независимая. Применим к ней процесс ортогонализации и построим ортогональную систему векторов . Вектор является ортогональной составляющей вектора на линейную оболочку векторов , и, значит, по неравенству Бесселя (Теорема 2.2). Далее, , что и требовалось доказать.

Неравенство Адамара обращается в равенство, только если исходная система векторов является ортогональной. В остальных случаях неравенство – строгое.

Следствие 2.5 Справедливы неравенства и .

Доказательство. В n -мерном арифметическом пространстве определим скалярное произведение по формуле . Рассмотрим систему векторов, образованную столбцами матрицы A. Матрица Грама от этой системы векторов равна и по неравенству Адамара . Поскольку , то неравенство установлено. Применяя полученное неравенство к транспонированной матрице, выводим .