1. Рассмотрим произвольные векторы . Допустим сначала, что эти векторы линейно независимы. В этом случае определитель Грама, составленный для любых из этих векторов, будет отличен от нуля. Тогда, полагая согласно (22)
(23)
и перемножая почленно эти неравенства и неравенство
, (24)
.
Таким образом, определитель Грама для линейно независимых векторов положителен, для линейно зависимых равен нулю. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.
Обозначим
для сокращения 
. Тогда из (23) и
(24)
где – площадь параллелограмма, построенного на и . Далее,
,
где – объем параллелепипеда, построенного на векторах . Продолжая далее, найдем:
,
и, наконец,
. (25)
Естественно назвать объемом -мерного параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.
Обозначим через , координаты вектора в некотором ортонормированном базисе в , и пусть
Тогда на основании (14)
и потому [см. формулу (25)]
. (26)
Это равенство имеет следующий геометрический смысл:
Квадрат объема параллелепипеда равен сумме квадратов объемов его проекций на все координатные -мерные подпространства. В частности, при из (26) следует:
. (26)
При помощи формул (20), (21), (22), (26), (26") решается ряд основных метрических задач -мерной унитарной и евклидовой аналитической геометрии.
2. Вернемся к разложению (15). Из него непосредственно следует:
что
в сочетании с (22) дает неравенство (для произвольных векторов 
)
при этом знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда вектор ортогонален к векторам .
Отсюда нетрудно получить так называемое неравенство Адамара
где знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда векторы попарно ортогональны. Неравенство (29) выражает собой следующий геометрически очевидный факт:
Объем параллелепипеда не превосходит произведения длин его ребер и равен этому произведению лишь тогда, когда параллелепипед прямоугольный.
Неравенству Адамара можно придать его обычный вид, полагая в (28) и вводя в рассмотрение определитель , составленный из координат векторов , в некотором ортонормированном базисе:
.
Тогда из (26") и (28) следует
. (28)
3. Установим теперь обобщенное неравенство Адамара, охватывающее как неравенство (27), так и неравенство (28):
причем
знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда каждый из векторов ортогонален к
любому из векторов либо один из определителей , 
равен нулю.
Неравенство (28") имеет следующий геометрический смысл:
Объем параллелепипеда не превосходит произведения объемов двух дополнительных граней и равен этому произведению в том и только в том случае, когда эти грани взаимно ортогональны либо хотя бы одна из них имеет нулевой объем.
Справедливость неравенства (29) установим индуктивно относительно числа векторов . Неравенство справедливо, когда это число равно 1 [см. формулу (27)].
Введем в рассмотрение два подпространства и соответственно с базисами и . Очевидно, . Рассмотрим ортогональные разложения
.
Заменяя квадрат объема параллелепипеда произведением квадрата объема основания на квадрат высоты [см. формулу (22)], найдем
При этом из разложения вектора следует:
, (31)
причем здесь знак имеет место, лишь когда .
Используя теперь соотношения (30), (30"), (31) и предположение индукции, получим:
Мы
получили неравенство (29). Переходя к выяснению, когда в этом неравенстве имеет
место знак ,
примем, что 
и
. Тогда
согласно (30") также 
и . Коль скоро в соотношениях (32) всюду
имеет место знак равенства, то и, кроме того, по предположению
индукции, каждый из векторов ортогонален к каждому из векторов . Этим свойством
обладает, очевидно, и вектор
Таким образом, обобщенное неравенство Адамара установлено полностью.
4. Обобщённому неравенству Адамара (29) можно придать и аналитическую форму.
Пусть – произвольная положительно определенная эрмитова форма. Рассматривая как координаты вектора в -мерном пространстве при базисе , примем форму за основную метрическую форму в (см. стр. 224). Тогда станет унитарным пространством. Применим обобщенное неравенство Адамара к базисным векторам : - вещественная матрица коэффициентов положительно определенной квадратичной формы между векторами и , определив его из соотношения
.
Из неравенства Буняковского следует, что имеет вещественное значение.
Говорят, что в действительном линейном пространстве X определена операция скалярного умножения векторов , если любой паре векторов х и у из X поставлено в соответствие действительное число, которое называют скалярным произведением векторов х и у и обозначают символом {х,у), и если для любых х. у, z € X и любого действительного числа а выполняются следующие аксиомы скалярного произведения:
- 1. (х,у) = (у,;х).
- 2. (.т + у, z) = (x,z) + (у, г).
- 3. {ах,у) = а(х,у).
- 4. (х, х) > 0 при х Ф 0 и (х, х) = 0 при х = 0.
Пример 8.1. Пусть X - пространство геометрических векторов, изучаемых в векторной алгебре. Скалярное произведение, определяемое как произведение длин двух векторов на косинус угла между ними, удовлетворяет аксиомам скалярного произведения. ?
Пример 8.2. В арифметическом пространстве К п столбцов высоты п скалярное произведение векторов
можно определить формулой
Нетрудно проверить выполнимость аксиом скалярного произведения. Например, проверим выполнимость аксиомы 4. Заметим, что
Но сумма квадратов положительна, если хотя бы одно из чисел Xi ненулевое (или х ф 0), и равна нулю, если все х* равны нулю (т.е. х = 0). ?
Пример 8.3. В линейном пространстве многочленов с действительными коэффициентами степени не выше п - 1 скалярное произведение можно ввести формулой
Проверка аксиом скалярного произведения опирается на свойства определенного интеграла и не составляет труда. ?
Пример 8.4. В линейном пространстве Са, Ъ]
функций действительного переменного, непрерывных на отрезке [а, 6], скалярное произведение можно ввести таким же образом, как и в линейном пространстве многочленов - с помощью определенного интеграла:
Проверка аксиом скалярного произведения проводится так же, как и в предыдущем примере. ?
Из аксиом 2 и 3 следует, что любую конечную линейную комбинацию векторов моэюно умноэюать скалярно на другую линейную комбинацию векторов по правилу умноэюения многочлена на многочлен, т.е. по формуле
Действительное линейное пространство, в котором определено скалярное умножение векторов, называют евклидовым пространством. Конечномерное линейное пространство можно превратить в евклидово многими способами. Если в n-мерном евклидовом пространстве X фиксирован базис е, е^, ..., е п, то любые векторы х и у имеют в нем разложения
и формула (8.1) для векторов хну дает
или в матричном виде где положено
Таким образом, скалярное произведение в евклидовом пространстве X полностью определяется матрицей Г. Не всякая квадратная матрица может появиться в формуле (8.3). Но если одно скалярное произведение в заданном базисе определяется некоторой матрицей Г, то нетрудно понять, что та же матрица, только в другом базисе также определяет скалярное произведение. Сохраняя матрицу Г и меняя базисы, мы получим бесконечное множество скалярных произведений в данном гг-мерном линейном пространстве.
Матрицу Г, участвующую в формуле (8.3), называют матрицей Грама базиса е = (е х, в2,..., е п). Матрицу Грама (матрицу скалярных произведений) можно определить не только для базисов, но и для произвольных упорядоченных конечных систем векторов.
Отметим некоторые свойства матрицы Грама базиса в п-мерном евклидовом пространстве.
1. Матрица Грама Г симметричная и для любого п-мерного столбца х ф 0 удовлетворяет условию х Т Г х > 0, в частности, диагональные элементы (ei,ej) = ef Г е* матрицы Грама полоэюительные.
Симметричность матрицы Грама вытекает из аксиомы 1 скалярного произведения, согласно которой (е*, ej) = (е^, е*) для любых двух векторов базиса, а условие х Т Г х > 0, х ф 0, равносильно аксиоме 4 скалярного произведения.
Симметричную матрицу А, удовлетворяющую условию х т Ах > > 0, х Ф 0, называют положительно определенной. С учетом этого термина доказанное свойство звучит так: матрица Грама является положительно определенной.
2. Матрицы Грама Г и Г" двух базисов е и е" евклидова пространства связаны соотношением
где Т - матрица перехода от базиса е к базису е".
Действительно, при переходе от базиса е к базису е! координаты х и у двух векторов х и у преобразуются в координаты х" и у" по формулам (см. разд. 4.6)
Следовательно, матрица Т Т Г Т есть матрица Грама для базиса е!.
3. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.
Действительно, из формулы (8.4) вытекает, что при замене базиса определитель матрицы Грама сохраняет знак (или остается равным нулю), так как определитель матрицы перехода ненулевой:
Остается учесть, что в качестве матрицы Грама Г можно взять единичную матрицу (см. замечание ниже), которая имеет определитель, равный единице.
4. Все угловые диагональные миноры
матрицы Грама базиса e lf е 2 , ... е п положительны.
Действительно, для любого к можно рассмотреть подпространство Lfc = (ei,...,efc) как самостоятельное евклидово пространство.
Тогда определитель матрицы Грама для базиса ei, 62, ..., будет совпадать с Д^. Согласно предыдущему свойству этот определитель положителен.
Замечание. В разд. 9.С установлено, что свойство 4 - необходимое и достаточное условие положительной определенности квадратной матрицы. Поэтому свойство 4 вытекает из свойства 1. Любая положительно определенная матрица является матрицей Г рама некоторого базиса в данном евклидовом пространстве. Действительно, скалярное произведение можно определить формулой (8.3), в которой в качестве Г можно взять любую положительно определенную матрицу. Тогда аксиома 1 скалярного произведения будет вытекать из симметричности матрицы Г, аксиомы 2 и 3 - из свойства дистрибутивности матричного произведения, а аксиома 4 - из условия положительной определенности Г. Следовательно, любая матрица, обладающая свойством 4, может рассматриваться как матрица Грама. В частности, в качестве матрицы Грама можно выбрать единичную матрицу, т.е. в заданном базисе е, ..., е п определить скалярное произведение
формулой
Как уже отмечено, понятие матрицы Грама можно ввести для произвольной упорядоченной конечной системы векторов. При этом и в общем случае матрица Грама остается симметричной, но остальные свойства (положительная определенность, положительность определителя) утрачиваются. Имеет место следующее утверждение.
Теорема 8.1. Матрица Грама системы векторов является невырожденной тогда и только тогда, когда эта система линейно независима. Матрица Грама линейно независимой системы векторов положительно определенная и, в частности, имеет положительный определитель. Определитель матрицы Грама линейно зависимой системы векторов равен нулю.
> Любая линейно независимая система векторов может рассматриваться как базис в некотором евклидовом пространстве, а именно в своей линейной оболочке. По свойствам матрицы Грама базиса матрица Грама рассматриваемой системы векторов положительно определенная. Следовательно, все ее угловые миноры, в частности, ее определитель, положительны. Это означает также, что матрица Гра- ма линейно независимой системы векторов невырожденная.
Умножая это векторное равенство скалярно на векторы а, а 2 , а к,
получим однородную систему линейных уравнений
относительно коэффициентов ац, aк рассматриваемой линейной
комбинации. Матрицей этой системы является матрица Грама Г системы векторов а, а, 2 , ..., CLk Если матрица Г невырождена, то однородная система имеет только нулевое решение. Это означает, что рассматриваемая система векторов а, а 2 , , а к линейно независима.
Если система векторов а, ^к линейно зависима, то рассматриваемая линейная система имеет ненулевые решения. Поэтому ее определитель, т.е. определитель матрицы Грама Г рассматриваемой системы векторов, равен нулю.
Def : Определителем Грамма, системы векторов {e 1 , e 2 , …, e k } называется определитель
Г(e
1 , e
2 , …, e k
) = 
.
Т° . Для того чтобы система векторов {e 1 , e 2 , …, e k } евклидова пространства E n была
линейно-зависимой необходимо и достаточно чтобы Г(e 1 , e 2 , …, e k ) был равен
◀ Необходимость. Пусть e 1 , e 2 , …, e k линейно зависимы. Тогда e k = a 1 e 1 + a 2 e 2 +…+ e k –1 a k –1 и в Г(e 1 , e 2 , …, e k ) элементы последней строки имеют вид a 1 (e 1 ,e i ) + a 2 (e 2 ,e i ) + …+ a k –1 (e k –1 ,e i ), т.е. последняя строка есть линейная комбинация остальных Þ Г(e 1 , e 2 , …, e k ) = 0.
Достаточность. Пусть Г(e 1 , e 2 , …, e k ) = 0 Þ строки его линейно зависимы Þ $b 1 , b 2 , …, b k b 1 (e 1 ,e i ) + … + b k (e k ,e i ) = 0 Þ (b 1 e 1 + … + b k e k = 0 и не все b i = 0 Þ e 1 , e 2 , …, e k линейно зависимы. Противоречие
Следствие . Если e 1 , e 2 , …, e k линейно независимы, то Г(e 1 , e 2 , …, e k ) ¹ 0. Более того, Г(e 1 , e 2 , …, e k ) > 0
◀ Рассматриваем ℒ(e 1 , e 2 , …, e k ). Тогда (e k ,e i ) – элементы матрицы некоторой симметрической билинейной формы, соответствующая которой квадратичная форма определяет скалярное произведение, т.е. является положительно определенной. Следовательно, по критерию Сильвестра D 1 > 0, D 2 > 0, …, D k > 0. Но D k = Г(e 1 , e 2 , …, e k )
§2. Взаимные базисы.
Ковариантные и контравариантные координаты векторов
Пусть E n – евклидово пространство, пусть {e 1 , e 2 , …, e n }базис в E n и {e 1 , e 2 , …, e n }другой базис в E n . Базисы {e i } и {e i } называются взаимными, если (e i , e j ) = = .
Кронекера-Капелли.
Т° . Любой базис {e i } из E n имеет единственный взаимный базис.
◀ Пусть e j = e 1 + e 2 + … + e n . Умножим равенство скалярно на e i .
(e i , e j ) = (e i , e 1) + (e i , e 2) + … + (e i , e n ) = , i , j = 1, 2, …, n .
Имеем неоднородную систему n -линейных уравнений с n неизвестными , Определитель этой системы есть Г(e 1 , e 2 , …, e n ) ¹ 0, т.е. система имеет единственное ненулевое решение.
Следовательно векторы e j определяются однозначно. Убедимся в том, что они образуют базис (т. е. являются линейно независимыми).
Пусть a 1 e 1 + a 1 e 2 + …+ a n e n = 0. Умножим скалярно на e i .
a 1 (e i , e 1) + a 2 (e i , e 2) + … + a n (e i , e n ) = 0 Þ a i = 0, i , j = 1, 2, …, n
Замечание : если базис {e i } ортонормированный, то его взаимный базис совпадает с данным базисом.
Пусть {e i } и {e j } взаимные базисы в Е n .
Тогда "хÎЕ n
(1)
(x 1 , x 2 , …, x n ) называются ковариантными координатами вектора x .
(x 1 , x 2 , …, x n ) называются контравариантными координатами вектора x .
Соглашение : Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов (верхних и нижних). При этом договариваются, что все нижние индексы обозначаются разными символами (аналогично верхние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой – нижний, то считается, что по таким индексам производится суммирование от 1 до n .) получим e j = g ji e i ; e j = g ji e i .
скалярного произведения векторов, заданных координатами.
Пусть в базисе е
заданы векторы а
= х 1 е 1
+ х 2 е 2
+ … + х n е n
, в
= у 1 е 1
+ у 2 е 2
+ … + у n е n
. Тогда (а, в
) =
(х 1 е 1
+ х 2 е 2
+ … + х n е n
)×( у 1 е 1
+ у 2 е 2
+ … + у n е n
) = 
= х Т ×Г
×у
, где х Т
– строка координат вектора а
, у –
столбец координатвектора в
. Итак, (а, в
)
= х Т ×Г
×у
(42).
Свойства матрицы Грама.
1 0 . Матрица Грама симметрична относительно главной диагонали.
Это следует из того, что (е к, е s ) = (е s , е к ).
2 0 . Диагональные элементы матрицы Грама строго положительны.
Это следует из того, что е к ¹ 0 и, следовательно, (е к, е к ) > 0.
3 0 . Для матрицы Грама и любого n- мерногостолбца х выполняется условие х Т ×Г ×х > 0.
Это следует из 4-ой аксиомы определения скалярного произведения.
Симметрическую матрицу А, удовлетворяющую условию х Т ×А ×х > 0 для любого
ненулевого столбца х, называют положительно определённой. Следовательно, матрица
Грама положительно определённая.
4 0 . Пусть е = (е 1 , е 2 , ... , е n ) и е 1 = (е 1 1 , е 2 1 , ... , е n 1 ) –два базиса в Е n , Г и Г 1 – матрицы Грама данного скалярного произведения в базисах е и е 1 соответственно. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е 1 . Тогда (а, в ) = х Т ×Г ×у, х = Т×х 1 , у = Т×у 1 , х Т = (Т×х 1 ) Т = (х 1 ) Т × Т Т. Следовательно, (а, в ) = ((х 1 ) Т × Т Т )× Г× (Т×у 1 ) = (х 1 ) Т × (Т Т × Г× Т )× у 1 . Но (а, в ) = (х 1 ) Т × Г 1 × у 1 . Отсюда
Г 1 = Т Т × Г× Т (43)
Формула (42) даёт связь матриц Грама в разных базисах.
5 0 . Определители матриц Грама во всех базисах имеют один и тот же знак.
Из формулы (42) следует ú Г 1 ú =ú Т Т ú ×úГ ú ×úТ ú = úГ ú ×úТ ú 2 . Так как Т ú 2 > 0, то ú Г 1 ú и ú Г ú имеют одинаковые знаки.
Примеры.
1.
Во множестве М 2
квадратных матриц с действительными элементами скалярное произведение задано формулой 
. Найти матрицу Грама этого произведения в базисе е 1
= , е 2
= , е 3
= , е 4
= .
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (е 1 , е 1 ) = 1, (е 1 , е 2 ) = (е 2 , е 1 ) = 0, (е 1 , е 3 ) = (е 3 , е 1 ) = 0, (е 1 , е 4 ) = (е 4 , е 1 ) = 0, (е 2 , е 2 ) = 1, (е 2 , е 3 ) = (е 3 , е 2 ) = 0, (е 2 , е 4 ) = (е 4 , е 2 ) = 0, (е 3 , е 3 ) = 1, (е 3 , е 4 ) = (е 4 , е 3 ) = 0, (е 4 , е 4 ) = 1. Следовательно,
2.
В пространстве R
[х
] многочленов степени не выше 3-х скалярное произведение задано формулой 
, где a
и b
– фиксированные действительные числа, a < b.
Составить матрицу Грама в базисе (1, х, х 2 , х 3
).
Решение. Найдём все попарные произведения базисных элементов: (1, 1) = = b – a,
(1, х ) = (х , 1) = = ), (1, х 2 ) = (х 2 , 1) = = ), (1, х 3 ) = (х 3 , 1) = = ), (х, х) = = ), (х, х 2 ) = (х 2 , х ) = = ), (х, х 3 ) = (х 3 , х ) = = ), (х 2 , х 2 ) = = ), (х 2 , х 3 ) = (х 3 , х 2 ) = = ), (х 3 , х 3 ) = = ). Матрица Грама будет иметь вид:
Г
= 
.
3. В базисе (е 1 , е 2 , е 3 ) пространства Е 3 скалярное произведение задано матрицей Грама Г = . Найти скалярное произведение векторов а = (1, –5, 4) и в = (–3, 2, 7).
Решение. Используя формулу (41), получим (а , в ) = (1, –5, 4) × × = 7.
Введение метрики в евклидовом пространстве
Пусть Е n – n- мерное евклидово пространство. Скалярное произведение вектора самого на себя назовём скалярным квадратом этого вектора , т.е. (а, а ) = а 2 . По 4-ой аксиоме скалярного произведения а 2 ³ 0.
Определение 47. Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора. т.е. ú а ú = (44)
Свойства длины вектора:
1. Любой вектор а имеет длину и только одну, ú а ú ³ 0.
2. ú a×а ú = úaú×ú а ú для любого а Î Е n .
3. Для любых векторов а и в из Е n верно неравенство ú а×в ú £ú а ú ×ú в ú.
Доказательство. (а –aв ) 2 = а 2 – 2a(а, в ) + a 2 ×в 2 ³ 0 для любого a Î R. Так как квадратный трёхчлен неотрицателен при любом значении a, то его дискриминант неположителен, т.е. (а, в ) 2 – а 2 × в 2 £ 0, или (а, в ) 2 £ а 2 × в 2 . Отсюда ú а×в ú £ú а ú ×ú в ú (45). Знак равенства в этой формуле будет тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.
Определение 48. Вектор единичной длины называется единичным вектором или ортом .
4 0 . Для любого ненулевого вектора существует пропорциональный с ним орт.
Если а ¹ 0 , то ú а ú ¹ 0. Следовательно, существует вектор а 0 = а . Очевидно, ú а 0 ú =1.
Определение 49. Углом между ненулевыми векторами а и называется такое действительное число j , что (46).
Угол между векторами а и можно также обозначать .
Свойства углов.
1 0 . Для любых двух ненулевых векторов угол между ними определён.
Из формулы (44) следует, что Следовательно, j существует.
2 0 . Если a ¹ 0, b ¹ 0, то .
Определение 48. Два ненулевых вектора называются ортогональными , если их скалярное произведение равно нулю.
Ортогональные векторы обозначаются а ^ в.
3 0 . Если а ^ в , a ¹ 0, b ¹ 0, то (aа )^ (bв ).
4 0 . Если а ^ в и а ^ с , то а ^ (в + с ).
Определение 50 . Множество всех векторов пространства Е n , ортогональных вектору а , к которому добавлен нулевой вектор, называется ортогональным дополнением вектора а .
5 0 . Ортогональное дополнение к вектору а является (n – 1)-мерным евклидовым подпространством в Е n .
Доказательство.
Из свойств 3 0 и 4 0 следует, что рассматриваемое множество L является линейным подпространством в Е n . Так как в Е n определено скалярное произведение, то оно определено и в ортогональном дополнении, следовательно, L является евклидовым подпространством. Кроме того, с Î L Û (а , с ) = 0 (*). Зафиксируем в Е n базис. Пусть а = (а 1 , а 2 , … , а n ), с = (х 1 , х 2 , … , х n ). Тогда с Î L Û а Т ×Г×х = 0 (**). Уравнение (**) есть линейное однородное уравнение с n неизвестными. Фундаментальная система его решений состоит из (n – 1) решения. Следовательно, пространство решений уравнения (**) является (n – 1)-мерным.
Пусть Е к – подпространство пространства Е n . Обозначим Е множество, состоящее из нулевого вектора и всех векторов, ортогональных любому ненулевому вектору из Е к .Иными словами с Î Е Û (с , а ) = 0 для всех а Î Е к . Пространство Е ортогональным дополнением к пространству Е к .
