6 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. પ્રાઇમ નંબર્સ: ઇતિહાસ અને તથ્યો

પ્રાઇમ નંબર્સ એ સૌથી રસપ્રદ ગાણિતિક ઘટનાઓમાંની એક છે, જેણે બે હજાર વર્ષથી વધુ સમયથી વૈજ્ઞાનિકો અને સામાન્ય નાગરિકોનું ધ્યાન આકર્ષિત કર્યું છે. હકીકત એ છે કે આપણે હવે કમ્પ્યુટર્સ અને સૌથી આધુનિક માહિતી કાર્યક્રમોના યુગમાં જીવીએ છીએ છતાં, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની ઘણી કોયડાઓ હજુ સુધી ઉકેલી શકાઈ નથી, કેટલાક એવા પણ છે કે જેનો સંપર્ક કેવી રીતે કરવો તે વૈજ્ઞાનિકોને ખબર નથી.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, જેમ કે આપણે પ્રાથમિક અંકગણિતના અભ્યાસક્રમથી જાણીએ છીએ, તે કે જે શેષ વિના માત્ર એક અને પોતે દ્વારા વિભાજ્ય છે. માર્ગ દ્વારા, જો કુદરતી સંખ્યા વિભાજ્ય હોય, ઉપર સૂચિબદ્ધ તે ઉપરાંત, અન્ય કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા, તો તેને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે. સૌથી પ્રસિદ્ધ પ્રમેયમાંનું એક જણાવે છે કે કોઈપણ સંયુક્ત સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાના અનન્ય સંભવિત ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

કેટલાક રસપ્રદ તથ્યો. પ્રથમ, એકમ એ અર્થમાં અનન્ય છે કે, વાસ્તવમાં, તે અવિભાજ્ય અથવા સંયુક્ત સંખ્યાઓ સાથે સંબંધિત નથી. તે જ સમયે, વૈજ્ઞાનિક સમુદાયમાં તે હજી પણ ખાસ કરીને પ્રથમ જૂથમાં વર્ગીકૃત કરવાનો રિવાજ છે, કારણ કે ઔપચારિક રીતે તે તેની જરૂરિયાતોને પૂર્ણપણે સંતોષે છે.

બીજું, "પ્રાઈમ નંબર્સ" જૂથમાં સ્ક્વિઝ કરાયેલી એકમાત્ર સમાન સંખ્યા, કુદરતી રીતે, બે છે. કોઈપણ અન્ય સમ સંખ્યા ફક્ત અહીં મેળવી શકાતી નથી, કારણ કે વ્યાખ્યા દ્વારા, પોતે અને એક ઉપરાંત, તે પણ બે વડે વિભાજ્ય છે.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, જેની સૂચિ, ઉપર જણાવ્યા મુજબ, એકથી શરૂ થઈ શકે છે, અનંત શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણી જેટલી અનંત. અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયના આધારે, આપણે એવા નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ક્યારેય વિક્ષેપિત થતી નથી અને ક્યારેય સમાપ્ત થતી નથી, કારણ કે અન્યથા કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણી અનિવાર્યપણે વિક્ષેપિત થશે.

પ્રાઇમ નંબરો કુદરતી શ્રેણીમાં અવ્યવસ્થિત રીતે દેખાતા નથી, કારણ કે તે પ્રથમ નજરમાં લાગે છે. તેમનું કાળજીપૂર્વક વિશ્લેષણ કર્યા પછી, તમે તરત જ ઘણી સુવિધાઓ જોઈ શકો છો, જેમાંથી સૌથી વધુ રસપ્રદ કહેવાતા "ટ્વીન" નંબરો સાથે સંકળાયેલા છે. તેમને તે કહેવામાં આવે છે કારણ કે કેટલીક અગમ્ય રીતે તેઓ એકબીજાની બાજુમાં સમાપ્ત થાય છે, માત્ર એક સમાન સીમાંકક (પાંચ અને સાત, સત્તર અને ઓગણીસ) દ્વારા અલગ પડે છે.

જો તમે તેમને નજીકથી જોશો, તો તમે જોશો કે આ સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા ત્રણનો ગુણાંક હોય છે. તદુપરાંત, જ્યારે ડાબા એકને ત્રણ દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે છે, ત્યારે શેષ હંમેશા બે રહે છે, અને જમણો હંમેશા એક રહે છે. વધુમાં, જો આપણે આ સમગ્ર શ્રેણીને ઓસીલેટરી સિનુસોઈડ્સના સ્વરૂપમાં કલ્પના કરીએ તો કુદરતી શ્રેણી સાથે આ સંખ્યાઓના ખૂબ જ વિતરણની આગાહી કરી શકાય છે, જ્યારે સંખ્યાઓને ત્રણ અને બે વડે વિભાજિત કરવામાં આવે ત્યારે મુખ્ય બિંદુઓ રચાય છે.

પ્રાઇમ નંબર્સ એ સમગ્ર વિશ્વના ગણિતશાસ્ત્રીઓ દ્વારા માત્ર નજીકથી વિચારવાનો વિષય નથી, પરંતુ સંખ્યાઓની વિવિધ શ્રેણીના સંકલનમાં લાંબા સમયથી સફળતાપૂર્વક ઉપયોગમાં લેવાય છે, જે સંકેતલિપી માટે અન્ય વસ્તુઓની સાથે આધાર છે. તે ઓળખવું જોઈએ કે આ અદ્ભુત તત્વો સાથે સંકળાયેલા અસંખ્ય રહસ્યો હજી ઉકેલવાની રાહ જોઈ રહ્યા છે, ઘણા પ્રશ્નો માત્ર દાર્શનિક જ નહીં, પણ વ્યવહારિક પણ છે.

તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ, એક સિવાય, અવિભાજ્ય અને સંયુક્તમાં વહેંચાયેલી છે. અવિભાજ્ય સંખ્યા એ કુદરતી સંખ્યા છે જેમાં માત્ર બે વિભાજકો હોય છે: એક અને પોતે. બીજા બધાને સંયુક્ત કહેવામાં આવે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ ગણિતની વિશેષ શાખા - સંખ્યા સિદ્ધાંત દ્વારા કરવામાં આવે છે. રિંગ થિયરીમાં, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અફર તત્વો સાથે સંબંધિત છે.

અહીં 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 થી શરૂ થતી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ છે. , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... વગેરે.

અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ, દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જે એક કરતા મોટી હોય તેને અવિભાજ્ય સંખ્યાના ગુણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તે જ સમયે, પરિબળોના ક્રમ સુધી કુદરતી સંખ્યાઓને રજૂ કરવાનો આ એકમાત્ર રસ્તો છે. આના આધારે, આપણે કહી શકીએ કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ કુદરતી સંખ્યાઓના પ્રાથમિક ભાગો છે.

કુદરતી સંખ્યાની આ રજૂઆતને પ્રાકૃતિક સંખ્યાનું અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાં વિઘટન અથવા સંખ્યાનું અવયવીકરણ કહેવામાં આવે છે.

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાની સૌથી પ્રાચીન અને અસરકારક રીતોમાંની એક "ઇરાસ્ટોફેનીસની ચાળણી" છે.

પ્રેક્ટિસ દર્શાવે છે કે ઇરાસ્ટોફેનીસની ચાળણીનો ઉપયોગ કરીને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની ગણતરી કર્યા પછી, આપેલ સંખ્યા અવિભાજ્ય છે કે કેમ તે તપાસવું જરૂરી છે. આ હેતુ માટે, ખાસ પરીક્ષણો વિકસાવવામાં આવ્યા છે, કહેવાતા સરળતા પરીક્ષણો. આ પરીક્ષણોનું અલ્ગોરિધમ સંભવિત છે. તેઓ મોટાભાગે સંકેતલિપીમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે.

માર્ગ દ્વારા, સંખ્યાઓના કેટલાક વર્ગો માટે વિશિષ્ટ અસરકારક પ્રાથમિકતા પરીક્ષણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, મર્સેન નંબરોની પ્રાથમિકતા ચકાસવા માટે, લ્યુક-લેહમર ટેસ્ટનો ઉપયોગ થાય છે, અને ફર્મેટ નંબરોની પ્રાથમિકતા ચકાસવા માટે, પેપિન ટેસ્ટનો ઉપયોગ થાય છે.

આપણે બધા જાણીએ છીએ કે અનંત સંખ્યાઓ છે. પ્રશ્ન યોગ્ય રીતે ઉદ્ભવે છે: તો પછી ત્યાં કેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે? અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની પણ અસંખ્ય સંખ્યા છે. આ દરખાસ્તનો સૌથી પ્રાચીન પુરાવો યુક્લિડનો પુરાવો છે, જે તત્વોમાં દર્શાવેલ છે. યુક્લિડનો પુરાવો આના જેવો દેખાય છે:

ચાલો કલ્પના કરીએ કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા મર્યાદિત છે. ચાલો તેમને ગુણાકાર કરીએ અને એક ઉમેરીએ. પરિણામી સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહ દ્વારા ભાગી શકાતી નથી, કારણ કે તેમાંના કોઈપણ દ્વારા ભાગાકારનો બાકીનો ભાગ એક આપે છે. આમ, સંખ્યા અમુક અવિભાજ્ય સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ જે આ સમૂહમાં સમાવેલ નથી.

અવિભાજ્ય સંખ્યા વિતરણ પ્રમેય જણાવે છે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા n કરતાં ઓછી છે, જેને π(n) સૂચવવામાં આવે છે, n/ln(n) તરીકે વધે છે.

હજારો વર્ષોના અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી, સૌથી મોટી જાણીતી અવિભાજ્ય સંખ્યા 243112609 − 1 છે. આ સંખ્યામાં 12,978,189 દશાંશ અંકો છે અને તે મર્સેન પ્રાઇમ નંબર (M43112609) છે. આ શોધ 23 ઓગસ્ટ, 2008 ના રોજ યુસીએલએ યુનિવર્સિટી ખાતે ગણિતની ફેકલ્ટીમાં મેર્સેન પ્રાઇમ નંબર્સ પ્રોજેક્ટ GIMPS માટે વિતરિત શોધના ભાગરૂપે કરવામાં આવી હતી.

મર્સેન નંબરોની મુખ્ય વિશિષ્ટ વિશેષતા એ અત્યંત અસરકારક લ્યુક-લેમેયર પ્રાથમિકતા પરીક્ષણની હાજરી છે. તેની મદદથી, મર્સેન પ્રાઇમ્સ, લાંબા સમય સુધી, સૌથી મોટા જાણીતા પ્રાઇમ્સ છે.

જો કે, આજદિન સુધી, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સંબંધિત ઘણા પ્રશ્નોના ચોક્કસ જવાબો મળ્યા નથી. ગણિતની 5મી ઇન્ટરનેશનલ કૉંગ્રેસમાં, એડમન્ડ લેન્ડૌએ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ક્ષેત્રમાં મુખ્ય સમસ્યાઓની રચના કરી:

ગોલ્ડબેકની સમસ્યા અથવા લેન્ડૌની પ્રથમ સમસ્યા એ છે કે તે સાબિત કરવું અથવા ખોટું સાબિત કરવું જરૂરી છે કે 2 કરતાં મોટી દરેક બે સંખ્યાને બે અવિભાજ્ય સંખ્યાના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, અને 5 કરતાં મોટી દરેક બેકી સંખ્યાને ત્રણ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
લેન્ડૌની બીજી સમસ્યા માટે પ્રશ્નનો જવાબ શોધવાની જરૂર છે: શું "પ્રાઈમ ટ્વિન્સ" - અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો કોઈ અનંત સમૂહ છે જેનો તફાવત 2 છે?
દંતકથાનું અનુમાન અથવા લેન્ડૌની ત્રીજી સમસ્યા છે: શું તે સાચું છે કે n2 અને (n + 1)2 વચ્ચે હંમેશા અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય છે?
લેન્ડૌની ચોથી સમસ્યા: શું ફોર્મ n2 + 1 ની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત છે?
ઉપરોક્ત સમસ્યાઓ ઉપરાંત, ફિબોનાકી નંબર, ફર્મટ નંબર, વગેરે જેવા ઘણા પૂર્ણાંક ક્રમમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અસીમ સંખ્યા નક્કી કરવામાં સમસ્યા છે.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓમાં વિભાજન પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરસને આભારી છે. અને જો તમે પાયથાગોરસને અનુસરો છો, તો પછી કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહને ત્રણ વર્ગોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: (1) - એક સંખ્યાનો સમાવેશ કરે છે - એક; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) - અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) – સંયુક્ત સંખ્યાઓનો સમૂહ.

બીજા સેટમાં ઘણાં વિવિધ રહસ્યો છુપાયેલા છે. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો જાણીએ કે અવિભાજ્ય સંખ્યા શું છે. અમે "ગાણિતિક જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ" (યુ. વી. પ્રોખોરોવ, પબ્લિશિંગ હાઉસ "સોવિયેત એનસાયક્લોપીડિયા", 1988) ખોલીએ છીએ અને વાંચીએ છીએ:

"એક અવિભાજ્ય સંખ્યા એ એક કરતા મોટી સકારાત્મક પૂર્ણાંક છે, જેમાં પોતાના સિવાય કોઈ વિભાજક નથી અને એક: 2,3,5,7,11,13,

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની વિભાજ્યતાના અભ્યાસમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાનો ખ્યાલ મૂળભૂત છે; એટલે કે, અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય જણાવે છે કે 1 સિવાયના દરેક સકારાત્મક પૂર્ણાંકને અવિભાજ્ય રીતે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉત્પાદનમાં વિઘટિત કરી શકાય છે (પરિબળોનો ક્રમ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતો નથી). અસંખ્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે (આ દરખાસ્ત, જેને યુક્લિડનું પ્રમેય કહેવાય છે, તે પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે જાણીતું હતું; તેનો પુરાવો યુક્લિડના તત્વોના પુસ્તક 9માં મળી શકે છે). પી. ડિરિચલેટ (1837) એ સ્થાપિત કર્યું કે અંકગણિત પ્રગતિમાં x = 1 માટે a + bx. ,2,c કોપ્રાઈમ પૂર્ણાંકો a અને b સાથે પણ અસંખ્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ધરાવે છે.

1 થી x સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવા માટે, તે 3જી સદીથી જાણીતી છે. પૂર્વે ઇ. એરાટોસ્થેનિસની ચાળણી પદ્ધતિ. 1 થી x સુધીની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ક્રમ (*)ની તપાસ દર્શાવે છે કે x જેમ જેમ વધે તેમ તે સરેરાશ, દુર્લભ બને છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની શ્રેણીના મનસ્વી રીતે લાંબા ભાગો છે, જેમાંથી એક પણ અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી (પ્રમેય 4). તે જ સમયે, આવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, જેની વચ્ચેનો તફાવત 2 (કહેવાતા જોડિયા) જેટલો છે. તે હજુ પણ અજ્ઞાત છે (1987) શું આવા જોડિયાનો સમૂહ મર્યાદિત છે કે અનંત. પ્રથમ 11 મિલિયન પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટકો ખૂબ મોટા જોડિયાની હાજરી દર્શાવે છે (ઉદાહરણ તરીકે, 10,006,427 અને 10,006,429).

સંખ્યાની કુદરતી શ્રેણીમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું વિતરણ શોધવું એ સંખ્યા સિદ્ધાંતમાં ખૂબ જ મુશ્કેલ સમસ્યા છે. તે સકારાત્મક સંખ્યા x કરતાં વધુ ન હોય તેવા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા દર્શાવતા ફંક્શનના એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનના અભ્યાસ તરીકે ઘડવામાં આવે છે. યુક્લિડના પ્રમેય પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ક્યારે. એલ. યુલરે 1737માં ઝેટા ફંક્શન રજૂ કર્યું.

તેણે એ પણ સાબિત કર્યું કે જ્યારે

જ્યાં સરવાળો તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ પર હાથ ધરવામાં આવે છે, અને ઉત્પાદન તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પર લેવામાં આવે છે. આ ઓળખ અને તેના સામાન્યીકરણો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના સિદ્ધાંતમાં મૂળભૂત ભૂમિકા ભજવે છે. આના આધારે, એલ. યુલરે સાબિત કર્યું કે પ્રાઇમ પીના સંદર્ભમાં શ્રેણી અને ઉત્પાદન અલગ પડે છે. તદુપરાંત, એલ. યુલરે સ્થાપિત કર્યું કે "ઘણા" અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, કારણ કે

અને તે જ સમયે, લગભગ તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ સંયુક્ત છે, ત્યારથી.

અને, કોઈપણ માટે (એટલે ​​​​કે, કાર્ય તરીકે શું વધે છે). કાલક્રમિક રીતે, આગામી નોંધપાત્ર પરિણામ જે ચેબીશેવના પ્રમેયને શુદ્ધ કરે છે તે કહેવાતા છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણનો એસિમ્પ્ટોટિક કાયદો (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), જે દર્શાવે છે કે ગુણોત્તરની મર્યાદા 1 ની બરાબર છે. ત્યારબાદ, ગણિતશાસ્ત્રીઓના નોંધપાત્ર પ્રયાસો એસિમ્પ્ટોટિકને સ્પષ્ટ કરવા માટે નિર્દેશિત કરવામાં આવ્યા હતા. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણનો કાયદો. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના પ્રશ્નોનો અભ્યાસ પ્રાથમિક પદ્ધતિઓ અને ગાણિતિક વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓ દ્વારા કરવામાં આવે છે."

અહીં લેખમાં આપેલા કેટલાક પ્રમેયનો પુરાવો આપવાનો અર્થ થાય છે.

લેમ્મા 1. જો gcd(a, b)=1, તો ત્યાં x, y જેવા પૂર્ણાંકો અસ્તિત્વમાં છે.

પુરાવો. ચાલો a અને b ને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ગણીએ. ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય તેવી તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ z ના સમૂહ J ને ધ્યાનમાં લો અને તેમાં સૌથી નાની સંખ્યા d પસંદ કરો.

ચાલો સાબિત કરીએ કે a d વડે વિભાજ્ય છે. a ને d વડે શેષ: અને દો. તેનું સ્વરૂપ હોવાથી, તેથી,

તે આપણે જોઈએ છીએ.

અમે ધારીએ છીએ કે d એ J માં સૌથી નાની સંખ્યા છે, અમને એક વિરોધાભાસ મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે a એ d વડે વિભાજ્ય છે.

ચાલો એ જ રીતે સાબિત કરીએ કે b એ d વડે ભાગી શકાય છે. તેથી d=1. લેમ્મા સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 1. જો સંખ્યાઓ a અને b કોપ્રાઈમ છે અને ઉત્પાદન bx એ a વડે વિભાજ્ય છે, તો x એ a વડે વિભાજ્ય છે.

પુરાવો1. આપણે સાબિત કરવું જોઈએ કે ax એ b વડે વિભાજ્ય છે અને gcd(a,b)=1, પછી x એ b વડે વિભાજ્ય છે.

લેમ્મા 1 દ્વારા, ત્યાં અસ્તિત્વમાં છે x, y જેમ કે. પછી દેખીતી રીતે તે b વડે વિભાજ્ય છે.

પુરાવો 2. તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ z ના સમૂહ J ને ધ્યાનમાં લો કે zc b વડે વિભાજ્ય છે. ચાલો d એ J માં સૌથી નાની સંખ્યા છે. તે જોવાનું સરળ છે. લેમ્મા 1 ના પુરાવાની જેમ, તે સાબિત થાય છે કે a d વડે વિભાજ્ય છે અને b d વડે વિભાજ્ય છે.

લેમ્મા 2. જો સંખ્યાઓ q,p1,p2,pn અવિભાજ્ય છે અને ગુણાંક q વડે વિભાજ્ય છે, તો સંખ્યાઓમાંથી એક pi q ની બરાબર છે.

પુરાવો. સૌ પ્રથમ, નોંધ લો કે જો અવિભાજ્ય સંખ્યા p ને q વડે ભાગી શકાય છે, તો p=q. આ તરત જ n=1 માટે લેમ્માના નિવેદનને અનુસરે છે. n=2 માટે તે પ્રમેય 1 થી સીધું જ અનુસરે છે: જો p1p2 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા q વડે વિભાજ્ય હોય અને, તો p2 એ q(એટલે ​​કે) વડે વિભાજ્ય હોય.

આપણે નીચે પ્રમાણે n=3 માટે લેમ્મા સાબિત કરીશું. ચાલો p1 p2 p3 ને q વડે ભાગીએ. જો p3 =q, તો બધું સાબિત થાય છે. જો, તો પ્રમેય 1 મુજબ, p1 p2 એ q વડે વિભાજ્ય છે. આમ, અમે કેસ n=3 ને પહેલાથી જ ધ્યાનમાં લેવાયેલ કેસ n=2 સુધી ઘટાડ્યો.

એ જ રીતે, n=3 થી આપણે n=4 પર જઈ શકીએ છીએ, પછી n=5 પર જઈ શકીએ છીએ અને સામાન્ય રીતે, ધારીએ છીએ કે લેમ્માનું n=k વિધાન સાબિત થયું છે, આપણે તેને n=k+ માટે સરળતાથી સાબિત કરી શકીએ છીએ. 1. આ અમને ખાતરી આપે છે કે લેમ્મા બધા n માટે સાચું છે.

અંકગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય. દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાને અનન્ય રીતે પરિબળ બનાવી શકાય છે.

પુરાવો. ધારો કે અવિભાજ્ય પરિબળોમાં સંખ્યા a ના બે વિઘટન છે:

જમણી બાજુ q1 વડે વિભાજ્ય હોવાથી, સમાનતાની ડાબી બાજુ q1 વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ. લેમ્મા 2 મુજબ, સંખ્યાઓમાંથી એક q1 બરાબર છે. ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને q1 વડે ઘટાડીએ.

ચાલો q2 માટે, પછી q3 માટે, qi માટે સમાન તર્ક કરીએ. અંતે, જમણી બાજુના તમામ પરિબળો રદ થશે અને 1 રહેશે, સ્વાભાવિક રીતે, ડાબી બાજુએ એક સિવાય બીજું કંઈ જ રહેશે નહીં. આમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે બે વિસ્તરણ અને માત્ર પરિબળોના ક્રમમાં જ અલગ હોઈ શકે છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

યુક્લિડનું પ્રમેય. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી અનંત છે.

પુરાવો. ધારો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની શ્રેણી મર્યાદિત છે, અને આપણે છેલ્લી અવિભાજ્ય સંખ્યાને N અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ. ચાલો ઉત્પાદનની રચના કરીએ

ચાલો તેમાં 1 ઉમેરીએ.

આ સંખ્યા, પૂર્ણાંક હોવાને કારણે, ઓછામાં ઓછું એક અવિભાજ્ય અવયવ ધરાવતું હોવું જોઈએ, એટલે કે તે ઓછામાં ઓછી એક અવિભાજ્ય સંખ્યા વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ. પરંતુ તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, ધારણા દ્વારા, N કરતાં વધી જતી નથી, અને સંખ્યા M+1 એ N થી ઓછી અથવા તેની સમાન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ દ્વારા શેષ વિના વિભાજ્ય નથી - દરેક વખતે જ્યારે શેષ 1 હોય છે. પ્રમેય સાબિત થાય છે.

પ્રમેય 4. અવિભાજ્ય વચ્ચેની સંયુક્ત સંખ્યાઓના વિભાગો કોઈપણ લંબાઈના હોઈ શકે છે. હવે આપણે સાબિત કરીશું કે શ્રેણીમાં n સળંગ સંયુક્ત સંખ્યાઓ છે.

આ સંખ્યાઓ કુદરતી શ્રેણીમાં એકબીજા પછી સીધી આવે છે, કારણ કે દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉના એક કરતા 1 વધુ છે. તે સાબિત કરવાનું બાકી છે કે તે બધા સંયુક્ત છે.

પ્રથમ નંબર

સમ, કારણ કે તેના બંને પદોમાં 2 નું અવયવ છે. અને 2 કરતા મોટી દરેક સમ સંખ્યા સંયુક્ત છે.

બીજી સંખ્યા બે પદો ધરાવે છે, જેમાંથી દરેક 3 નો ગુણાંક છે. આનો અર્થ એ છે કે આ સંખ્યા સંયુક્ત છે.

એ જ રીતે, અમે સ્થાપિત કરીએ છીએ કે આગલી સંખ્યા 4 નો ગુણાંક છે, વગેરે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમારી શ્રેણીમાં દરેક સંખ્યા એકતા અને પોતાનાથી અલગ પરિબળ ધરાવે છે; તેથી તે સંયુક્ત છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેયના પુરાવાઓનો અભ્યાસ કર્યા પછી, અમે લેખની અમારી વિચારણા ચાલુ રાખીએ છીએ. તેના લખાણમાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધવાની રીત તરીકે એરાટોસ્થેનિસની ચાળણી પદ્ધતિનો ઉલ્લેખ છે. ચાલો આ જ શબ્દકોશમાંથી આ પદ્ધતિ વિશે વાંચીએ:

“એરાટોસ્થેનિસ ચાળણી એ એરાટોસ્થેનિસ દ્વારા વિકસાવવામાં આવેલી પદ્ધતિ છે જે તમને કુદરતી શ્રેણીમાંથી સંયુક્ત સંખ્યાઓ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે. Eratosthenes ની ચાળણીનો સાર નીચે મુજબ છે. એકમ બહાર નીકળી ગયું છે. નંબર બે પ્રાઇમ છે. 2 વડે વિભાજ્ય તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ નંબર 3 ને ક્રોસ આઉટ કરવામાં આવે છે - પ્રથમ અનક્રોસ આઉટ સંખ્યા અવિભાજ્ય હશે. આગળ, બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કે જે 3 વડે વિભાજ્ય છે, તે સંખ્યા 5, પછીની અનક્રોસ આઉટ સંખ્યા, અવિભાજ્ય હશે. સમાન ગણતરીઓ ચાલુ રાખીને, તમે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ક્રમનો એક મનસ્વી રીતે લાંબો સેગમેન્ટ શોધી શકો છો. નંબર થિયરીનો અભ્યાસ કરવા માટેની સૈદ્ધાંતિક પદ્ધતિ તરીકે એરાટોસ્થેનિસની ચાળણી વી. બ્રુન (1919) દ્વારા વિકસાવવામાં આવી હતી.

હાલમાં પ્રાઇમ તરીકે જાણીતી સૌથી મોટી સંખ્યા અહીં છે:

આ સંખ્યા લગભગ સાતસો દશાંશ સ્થાન ધરાવે છે. ગણતરીઓ કે જેના દ્વારા તે સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું હતું કે આ સંખ્યા પ્રાઇમ છે તે આધુનિક કમ્પ્યુટર્સ પર હાથ ધરવામાં આવી હતી.

"રીમેન ઝેટા ફંક્શન, -ફંક્શન, એક જટિલ ચલનું વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય છે, σ>1 માટે કન્વર્જન્ટ ડિરિચલેટ શ્રેણી દ્વારા સંપૂર્ણપણે અને સમાન રીતે નિર્ધારિત:

σ>1 માટે, યુલર ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં રજૂઆત માન્ય છે:

(2) જ્યાં p તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી પસાર થાય છે.

શ્રેણી (1) અને ઉત્પાદન (2) ની ઓળખ એ ઝેટા કાર્યના મુખ્ય ગુણધર્મોમાંનું એક છે. તે અમને સૌથી મહત્વપૂર્ણ સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક કાર્યો સાથે ઝેટા ફંક્શનને જોડતા વિવિધ સંબંધો મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. તેથી, ઝેટા ફંક્શન નંબર થિયરીમાં મોટી ભૂમિકા ભજવે છે.

એલ. યુલર (1737, પબ્લિક. 1744) દ્વારા ઝેટા ફંક્શનને વાસ્તવિક ચલના કાર્ય તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યું હતું, જેણે ઉત્પાદનમાં તેનું સ્થાન સૂચવ્યું હતું (2). પછી પી. ડીરિચલેટ દ્વારા અને ખાસ કરીને પી. એલ. ચેબિશેવ દ્વારા અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણના કાયદાના અભ્યાસના સંદર્ભમાં ઝેટા ફંક્શનને ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું. જો કે, ઝીટા ફંક્શનના સૌથી ગહન ગુણધર્મો બી. રીમેનના કાર્ય પછી શોધાયા હતા, જેમણે 1859 માં પ્રથમ વખત ઝેટા ફંક્શનને જટિલ ચલના કાર્ય તરીકે માન્યું હતું અને "ઝેટા ફંક્શન" નામ પણ રજૂ કર્યું હતું; હોદ્દો """.

પરંતુ પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પરના આ બધા કાર્ય માટે શું વ્યવહારુ ઉપયોગ છે? ખરેખર, તેમના માટે લગભગ કોઈ ઉપયોગ નથી, પરંતુ એક એવો વિસ્તાર છે જ્યાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને તેમની મિલકતોનો ઉપયોગ આજ સુધી થાય છે. આ ક્રિપ્ટોગ્રાફી છે. અહીં પ્રાઇમ નંબર્સનો ઉપયોગ કીઓ ટ્રાન્સફર કર્યા વિના એન્ક્રિપ્શન સિસ્ટમમાં થાય છે.

કમનસીબે, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશે આ બધું જ જાણીતું છે. હજુ ઘણા રહસ્યો બાકી છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે ચોરસ તરીકે રજૂ કરી શકાય તેવી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમૂહ અનંત છે કે કેમ તે જાણી શકાયું નથી.

"મુશ્કેલ પ્રાઇમ્સ".

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ વિશેના કેટલાક પ્રશ્નોના જવાબો શોધવા માટે મેં થોડું સંશોધન કરવાનું નક્કી કર્યું. સૌ પ્રથમ, મેં એક પ્રોગ્રામ કમ્પાઈલ કર્યો જે 1,000,000,000 થી ઓછી સળંગ પ્રાઇમ નંબર્સ બનાવે છે વધુમાં, મેં એક પ્રોગ્રામ કમ્પાઈલ કર્યો જે નક્કી કરે છે કે દાખલ કરેલ નંબર પ્રાઇમ છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કરવા માટે, મેં ક્રમાંકિત સંખ્યા પર અવિભાજ્ય સંખ્યાના મૂલ્યની નિર્ભરતા દર્શાવતો આલેખ બનાવ્યો, વધુ સંશોધન યોજના તરીકે, મેં I.S. Zeltser અને B. A. Kordemskyના લેખનો ઉપયોગ કરવાનું નક્કી કર્યું. સંખ્યાઓ." લેખકોએ નીચેના સંશોધન માર્ગો ઓળખ્યા:

1. પ્રથમ હજાર પ્રાકૃતિક સંખ્યામાં 168 સ્થાનો અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે. આમાંથી, 16 સંખ્યાઓ પેલિન્ડ્રોમિક છે - દરેક તેના વ્યસ્ત સમાન છે: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 929,

ત્યાં માત્ર 1061 ચાર-અંકની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, અને તેમાંથી કોઈ પણ પેલિન્ડ્રોમિક નથી.

પાંચ-અંકની અવિભાજ્ય પેલિન્ડ્રોમિક સંખ્યાઓ છે. તેમાં આવી સુંદરીઓનો સમાવેશ થાય છે: 13331, 15551, 16661, 19991. નિઃશંકપણે, આ પ્રકારના ટોળાં છે: ,. પરંતુ આવા દરેક ટોળામાં કેટલા નમૂનાઓ છે?

3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)

9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)

તે જોઈ શકાય છે કે સંખ્યાઓના અંકોનો સરવાળો 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી આ સંખ્યાઓ પોતે પણ 3 વડે વિભાજ્ય છે.

ફોર્મની સંખ્યાઓ માટે, તેમાંથી મુખ્ય નંબરો 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 છે.

2. પ્રથમ હજાર નંબરોમાં સળંગ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરીને પાંચ "ચતુક" હોય છે, જેમાંથી છેલ્લા અંકો 1, 3, 7, 9 ક્રમ બનાવે છે: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).

n›3 માટે n-અંકના અવિભાજ્યમાં આવા કેટલા ચોકડીઓ છે?

મેં લખેલા પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને, એક ચોકડી મળી જે લેખકો દ્વારા ચૂકી ગઈ હતી: (479, 467, 463, 461) અને n = 4, 5, 6 માટે ચોકડીઓ. n = 4 માટે, ત્યાં 11 ચોકડીઓ છે

3. નવ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું ટોળું: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 એ માત્ર એટલા માટે આકર્ષક નથી કારણ કે તે 210 ના તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ દર્શાવે છે, પણ એટલા માટે કે તે નવમાં ફિટ થઈ શકે છે. કોષો જેથી બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના તફાવતની સમાન સ્થિરતા સાથે જાદુઈ ચોરસ રચાય: 3119 – 2:

વિચારણા હેઠળની પ્રગતિની આગામી, દસમી મુદત, 2089, પણ એક અવિભાજ્ય સંખ્યા છે. જો તમે ઘેટાના ઊનનું પૂમડું 199 નંબર દૂર કરો છો, પરંતુ 2089 શામેલ કરો છો, તો પછી આ રચનામાં પણ ટોળું જાદુઈ ચોરસ બનાવી શકે છે - શોધવા માટેનો વિષય.

એ નોંધવું જોઈએ કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ ધરાવતા અન્ય જાદુઈ ચોરસ છે:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

સૂચિત ચોરસ કારણ કે રસપ્રદ છે

1. તે 7x7 જાદુઈ ચોરસ છે;

2. તેમાં 5x5 જાદુઈ ચોરસ છે;

3. 5x5 મેજિક સ્ક્વેરમાં 3x3 મેજિક સ્ક્વેર છે;

4. આ બધા ચોરસમાં એક સામાન્ય કેન્દ્રિય સંખ્યા છે - 3407;

5. તમામ 49 નંબરો 7x7 ચોરસ અંતમાં 7 નંબર સાથે સમાવિષ્ટ છે;

6. 7x7 ચોરસમાં સમાવિષ્ટ તમામ 49 સંખ્યાઓ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે;

7. 7x7 ચોરસમાં સમાવિષ્ટ 49 નંબરોમાંથી દરેકને 30n + 17 તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

ઉપયોગમાં લેવાતા પ્રોગ્રામ્સ મારા દ્વારા Dev-C++ પ્રોગ્રામિંગ ભાષામાં લખવામાં આવ્યા હતા અને હું તેમના ટેક્સ્ટ પરિશિષ્ટમાં પ્રદાન કરું છું (એક્સ્ટેંશન સાથેની ફાઇલો જુઓ. srr). ઉપરોક્ત તમામ ઉપરાંત, મેં એક પ્રોગ્રામ લખ્યો જે ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરે છે (જુઓ વિભાજકો 1. срр) અને એક પ્રોગ્રામ કે જે માત્ર દાખલ કરેલ સંખ્યાને અવિભાજ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત કરે છે (જુઓ વિભાજકો 2. срр). આ પ્રોગ્રામ્સ સંકલિત સ્વરૂપમાં ઘણી જગ્યા લે છે, તેથી ફક્ત તેમના પાઠો આપવામાં આવે છે. જો કે, જો તેમની પાસે યોગ્ય પ્રોગ્રામ હોય તો કોઈપણ તેમને કમ્પાઇલ કરી શકે છે.

પ્રાઇમ્સની સમસ્યામાં સામેલ વૈજ્ઞાનિકોની જીવનચરિત્રો

યુક્લિડ્સ

(c. 330 BC - c. 272 ​​BC)

પ્રાચીનકાળના સૌથી પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રીના જીવન વિશે ખૂબ ઓછી વિશ્વસનીય માહિતી સાચવવામાં આવી છે. એવું માનવામાં આવે છે કે તેણે એથેન્સમાં અભ્યાસ કર્યો હતો, જે પ્લેટોની શાળા દ્વારા વિકસિત ભૂમિતિમાં તેની તેજસ્વી નિપુણતાને સમજાવે છે. જો કે, દેખીતી રીતે, તે એરિસ્ટોટલના કાર્યોથી પરિચિત ન હતો. તેમણે એલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં ભણાવ્યું, જ્યાં તેમણે ટોલેમી I સોટરના શાસન દરમિયાન તેમની શિક્ષણ પ્રવૃત્તિઓ માટે ખૂબ પ્રશંસા મેળવી. એવી દંતકથા છે કે આ રાજાએ ગણિતમાં ઝડપી સફળતા હાંસલ કરવાનો માર્ગ શોધવાની માગણી કરી હતી, જેના જવાબમાં યુક્લિડે કહ્યું હતું કે ભૂમિતિમાં કોઈ શાહી માર્ગો નથી (જોકે એક સમાન વાર્તા, મેન્ચેમ વિશે પણ કહેવામાં આવે છે, જેને કથિત રીતે પૂછવામાં આવ્યું હતું. એલેક્ઝાન્ડર ધ ગ્રેટ દ્વારા સમાન). પરંપરાએ એક પરોપકારી અને વિનમ્ર વ્યક્તિ તરીકે યુક્લિડની સ્મૃતિને સાચવી રાખી છે. યુક્લિડ વિવિધ વિષયો પરના ગ્રંથોના લેખક છે, પરંતુ તેમનું નામ મુખ્યત્વે એલિમેન્ટ્સ નામના ગ્રંથોમાંથી એક સાથે સંકળાયેલું છે. તે ગણિતશાસ્ત્રીઓના કાર્યોના સંગ્રહ વિશે છે જેમણે તેમની પહેલાં કામ કર્યું હતું (તેમાંના સૌથી પ્રખ્યાત કોસના હિપ્પોક્રેટ્સ હતા), જેના પરિણામો તેમણે સામાન્યીકરણ કરવાની તેમની ક્ષમતા અને સખત મહેનતને કારણે પૂર્ણતામાં લાવ્યા હતા.

યુલર લિયોનાર્ડ

(બેઝલ, સ્વિટ્ઝર્લૅન્ડ 1707 - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, 1783)

ગણિતશાસ્ત્રી, મિકેનિક અને ભૌતિકશાસ્ત્રી. એક ગરીબ પાદરી, પોલ યુલરના પરિવારમાં જન્મ. તેમણે તેમનું શિક્ષણ સૌપ્રથમ તેમના પિતા પાસેથી મેળવ્યું, અને 1720-24માં બેસલ યુનિવર્સિટીમાં, જ્યાં તેમણે આઈ. બર્નૌલી દ્વારા ગણિત પરના પ્રવચનોમાં હાજરી આપી.

1726 ના અંતમાં, યુલરને સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સમાં આમંત્રણ આપવામાં આવ્યું અને મે 1727 માં તે સેન્ટ પીટર્સબર્ગ પહોંચ્યા. નવી સંગઠિત એકેડેમીમાં, યુલરને વૈજ્ઞાનિક પ્રવૃત્તિ માટે અનુકૂળ પરિસ્થિતિઓ મળી, જેણે તેને તરત જ ગણિત અને મિકેનિક્સનો અભ્યાસ શરૂ કરવાની મંજૂરી આપી. તેમના જીવનના પ્રથમ સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સમયગાળાના 14 વર્ષ દરમિયાન, યુલરે પ્રકાશન માટે લગભગ 80 કૃતિઓ તૈયાર કરી અને 50 થી વધુ પ્રકાશિત કરી. સેન્ટ પીટર્સબર્ગમાં, તેમણે રશિયન ભાષાનો અભ્યાસ કર્યો.

યુલરે સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સની પ્રવૃત્તિના ઘણા ક્ષેત્રોમાં ભાગ લીધો હતો. તેમણે શૈક્ષણિક યુનિવર્સિટીમાં વિદ્યાર્થીઓને પ્રવચન આપ્યું, વિવિધ ટેકનિકલ પરીક્ષાઓમાં ભાગ લીધો, રશિયાના નકશાઓનું સંકલન કરવા પર કામ કર્યું, અને સાર્વજનિક રીતે ઉપલબ્ધ "અંકગણિત માટે મેન્યુઅલ" (1738-40) લખ્યું. એકેડેમીની વિશેષ સૂચનાઓ પર, યુલરે શિપબિલ્ડીંગ અને નેવિગેશનના સિદ્ધાંત પર મૂળભૂત કાર્ય "નોટીકલ સાયન્સ" (1749) ના પ્રકાશન માટે તૈયારી કરી.

1741 માં, યુલરે પ્રુશિયન રાજા ફ્રેડરિક II ની બર્લિન જવાની ઓફર સ્વીકારી, જ્યાં એકેડેમી ઓફ સાયન્સનું પુનર્ગઠન થવાનું હતું. બર્લિન એકેડેમી ઑફ સાયન્સમાં, યુલરે ગણિતના વર્ગના ડિરેક્ટર અને બોર્ડના સભ્યનું પદ સંભાળ્યું, અને તેના પ્રથમ પ્રમુખ પી. મૌપર્ટુઈસના મૃત્યુ પછી, ઘણા વર્ષો સુધી (1759થી) તેમણે ખરેખર એકેડેમીનું નેતૃત્વ કર્યું. બર્લિનમાં તેમના જીવનના 25 વર્ષોમાં, તેમણે લગભગ 300 કૃતિઓ તૈયાર કરી, જેમાં સંખ્યાબંધ મોટા મોનોગ્રાફ્સનો સમાવેશ થાય છે.

બર્લિનમાં રહેતા, યુલરે સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સ માટે સઘન કામ કરવાનું બંધ કર્યું ન હતું, તેના માનદ સભ્યનું બિરુદ જાળવી રાખ્યું હતું. તેમણે વ્યાપક વૈજ્ઞાનિક અને વૈજ્ઞાનિક-સંસ્થાકીય પત્રવ્યવહાર કર્યો, ખાસ કરીને તેમણે એમ. લોમોનોસોવ સાથે પત્રવ્યવહાર કર્યો, જેમને તેઓ ખૂબ મૂલ્યવાન ગણતા હતા. યુલરે રશિયન શૈક્ષણિક વૈજ્ઞાનિક સંસ્થાના ગાણિતિક વિભાગનું સંપાદન કર્યું, જ્યાં આ સમય દરમિયાન તેણે બર્લિન એકેડેમી ઑફ સાયન્સિસના "સંસ્મરણો" જેટલા લેખો પ્રકાશિત કર્યા. તેમણે રશિયન ગણિતશાસ્ત્રીઓની તાલીમમાં સક્રિયપણે ભાગ લીધો હતો; ભાવિ શિક્ષણવિદો એસ. કોટેલનિકોવ, એસ. રુમોવ્સ્કી અને એમ. સોફ્રોનોવને તેમના નેતૃત્વ હેઠળ અભ્યાસ કરવા બર્લિન મોકલવામાં આવ્યા હતા. યુલરે સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સને મોટી સહાય પૂરી પાડી, તેના માટે વૈજ્ઞાનિક સાહિત્ય અને સાધનોની ખરીદી, એકેડેમીમાં હોદ્દા માટે ઉમેદવારો સાથે વાટાઘાટો વગેરે.

જુલાઈ 17 (28), 1766 યુલર અને તેનો પરિવાર સેન્ટ પીટર્સબર્ગ પરત ફર્યા. તેમની ઉન્નત ઉંમર અને લગભગ સંપૂર્ણ અંધત્વ હોવા છતાં, તેમણે તેમના જીવનના અંત સુધી ઉત્પાદક રીતે કામ કર્યું. સેન્ટ પીટર્સબર્ગમાં તેમના બીજા રોકાણના 17 વર્ષ દરમિયાન, તેમણે લગભગ 400 કૃતિઓ તૈયાર કરી, જેમાં અનેક મોટા પુસ્તકોનો સમાવેશ થાય છે. યુલર અકાદમીના સંગઠનાત્મક કાર્યમાં ભાગ લેવાનું ચાલુ રાખ્યું. 1776 માં, તેઓ આઇ. કુલિબિન દ્વારા પ્રસ્તાવિત નેવા પર સિંગલ-કમાન પુલના પ્રોજેક્ટના નિષ્ણાતોમાંના એક હતા અને સમગ્ર કમિશનમાંથી, તેઓ એકમાત્ર એવા હતા જેમણે પ્રોજેક્ટ માટે વ્યાપક સમર્થન પૂરું પાડ્યું હતું.

એક મુખ્ય વૈજ્ઞાનિક અને વૈજ્ઞાનિક સંશોધનના આયોજક તરીકે યુલરની યોગ્યતાની તેમના જીવનકાળ દરમિયાન ખૂબ પ્રશંસા કરવામાં આવી હતી. સેન્ટ પીટર્સબર્ગ અને બર્લિન અકાદમીઓ ઉપરાંત, તે સૌથી મોટી વૈજ્ઞાનિક સંસ્થાઓના સભ્ય હતા: પેરિસ એકેડેમી ઓફ સાયન્સ, લંડનની રોયલ સોસાયટી અને અન્ય.

યુલરના કાર્યનું એક વિશિષ્ટ પાસું તેની અસાધારણ ઉત્પાદકતા છે. તેમના એકલા જીવનકાળ દરમિયાન, તેમના લગભગ 550 પુસ્તકો અને લેખો પ્રકાશિત થયા હતા (યુલરની કૃતિઓની સૂચિમાં આશરે 850 શીર્ષકો છે). 1909 માં, સ્વિસ નેચરલ સાયન્સ સોસાયટીએ યુલરની સંપૂર્ણ રચનાઓ પ્રકાશિત કરવાનું શરૂ કર્યું, જે 1975 માં પૂર્ણ થયું હતું; તે 72 વોલ્યુમો ધરાવે છે. યુલરનો પ્રચંડ વૈજ્ઞાનિક પત્રવ્યવહાર (લગભગ 3,000 પત્રો), જે અત્યાર સુધી માત્ર આંશિક રીતે પ્રકાશિત થયો છે, તે પણ ખૂબ જ રસપ્રદ છે.

યુલરની પ્રવૃત્તિઓની શ્રેણી અસામાન્ય રીતે વિશાળ હતી, જેમાં સમકાલીન ગણિત અને મિકેનિક્સ, સ્થિતિસ્થાપકતાના સિદ્ધાંત, ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઓપ્ટિક્સ, સંગીત સિદ્ધાંત, મશીન સિદ્ધાંત, બેલિસ્ટિક્સ, દરિયાઈ વિજ્ઞાન, વીમો વગેરેના તમામ વિભાગોને આવરી લેવામાં આવ્યા હતા. યુલરની લગભગ 3/5 કૃતિઓ સંબંધિત હતી. ગણિત માટે, બાકીના 2/5 મુખ્યત્વે તેના કાર્યક્રમો માટે. વૈજ્ઞાનિકે તેના પરિણામો અને અન્ય લોકો દ્વારા મેળવેલા પરિણામોને અદ્ભુત સ્પષ્ટતા સાથે લખેલા અને મૂલ્યવાન ઉદાહરણો સાથે પૂરા પાડવામાં આવેલ સંખ્યાબંધ ક્લાસિક મોનોગ્રાફ્સમાં વ્યવસ્થિત બનાવ્યા. આ છે, ઉદાહરણ તરીકે, "મિકેનિક્સ, અથવા ગતિનું વિજ્ઞાન, વિશ્લેષણાત્મક રીતે સમજાવાયેલ" (1736), "વિશ્લેષણનો પરિચય" (1748), "ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ" (1755), "કઠોર શારીરિક ગતિનો સિદ્ધાંત" (1765), "યુનિવર્સલ એરિથમેટિક" (1768-69), જે 18મી સદીમાં 6 ભાષાઓમાં લગભગ 30 આવૃત્તિઓમાંથી પસાર થયું, "ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ" (1768-94), વગેરે. , અને અંશતઃ 19મી સદીમાં. સાર્વજનિક રૂપે ઉપલબ્ધ "વિવિધ ભૌતિક અને દાર્શનિક બાબતો પરના પત્રો, જે ચોક્કસ જર્મન રાજકુમારીને લખવામાં આવ્યા હતા," અત્યંત લોકપ્રિય બન્યા. "(1768-74), જે 10 ભાષાઓમાં 40 થી વધુ આવૃત્તિઓમાંથી પસાર થઈ. યુલરના મોનોગ્રાફ્સની મોટાભાગની સામગ્રી ત્યારબાદ ઉચ્ચ અને આંશિક માધ્યમિક શાળાઓના પાઠ્યપુસ્તકોમાં સમાવવામાં આવી હતી. યુલરના તમામ પ્રમેય, પદ્ધતિઓ અને સૂત્રો હજુ પણ ઉપયોગમાં લેવાયા છે તેની યાદી બનાવવી અશક્ય છે, જેમાંથી માત્ર થોડા જ તેમના નામ હેઠળ સાહિત્યમાં દેખાય છે [ઉદાહરણ તરીકે, યુલરની તૂટેલી રેખા પદ્ધતિ, યુલરની અવેજીઓ, યુલરની સ્થિરતા, યુલરના સમીકરણો, યુલરના સૂત્રો, યુલરનું કાર્ય, યુલરની સંખ્યાઓ, યુલરનું સૂત્ર - મેકલોરીન, યુલર–ફુરિયર સૂત્રો, યુલર લાક્ષણિકતા, યુલર ઇન્ટિગ્રલ્સ, યુલર ખૂણા].

મિકેનિક્સમાં, યુલરે સૌપ્રથમ ગાણિતિક પૃથ્થકરણનો ઉપયોગ કરીને બિંદુની ગતિશીલતાની રૂપરેખા આપી: શૂન્યતા અને પ્રતિકાર સાથેના માધ્યમમાં વિવિધ દળોના પ્રભાવ હેઠળ બિંદુની મુક્ત હિલચાલ; આપેલ રેખા અથવા સપાટી સાથે બિંદુની હિલચાલ; કેન્દ્રીય દળોના પ્રભાવ હેઠળ ચળવળ. 1744 માં, તેણે સૌપ્રથમ ઓછામાં ઓછી ક્રિયાના યાંત્રિક સિદ્ધાંતને યોગ્ય રીતે ઘડ્યો અને તેની પ્રથમ એપ્લિકેશનો દર્શાવી. "ધ થિયરી ઓફ રિજિડ બોડી મોશન" માં, યુલરે કઠોર શરીરની ગતિશાસ્ત્ર અને ગતિશાસ્ત્રનો વિકાસ કર્યો અને એક નિશ્ચિત બિંદુની આસપાસ તેના પરિભ્રમણ માટેના સમીકરણો આપ્યા, જે ગાયરોસ્કોપના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો. જહાજના તેમના સિદ્ધાંતમાં, યુલરે સ્થિરતાના સિદ્ધાંતમાં મૂલ્યવાન યોગદાન આપ્યું હતું. યુલરની શોધો અવકાશી મિકેનિક્સ (ઉદાહરણ તરીકે, ચંદ્રની ગતિના સિદ્ધાંતમાં), સાતત્ય મિકેનિક્સ (યુલરના સ્વરૂપમાં આદર્શ પ્રવાહીની ગતિના મૂળભૂત સમીકરણો અને કહેવાતા લેગ્રેન્જ ચલોમાં, પાઈપોમાં ગેસ ઓસિલેશનમાં નોંધપાત્ર હતી. , વગેરે). ઓપ્ટિક્સમાં, યુલરે (1747) બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટેનું સૂત્ર આપ્યું અને માધ્યમના રીફ્રેક્ટિવ ઇન્ડેક્સની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. યુલર પ્રકાશના તરંગ સિદ્ધાંતને વળગી રહ્યો. તેઓ માનતા હતા કે વિવિધ રંગો પ્રકાશની વિવિધ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે. યુલરે લેન્સના રંગીન વિકૃતિઓને દૂર કરવાની રીતો સૂચવી અને માઇક્રોસ્કોપના ઓપ્ટિકલ ઘટકોની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિઓ આપી. યુલરે 1748 માં શરૂ થયેલી કૃતિઓની વ્યાપક શ્રેણી ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રને સમર્પિત કરી: સ્ટ્રિંગ, પ્લેટ, મેમ્બ્રેન વગેરેના કંપનની સમસ્યાઓ. આ બધા અભ્યાસોએ વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંત, વિશ્લેષણની અંદાજિત પદ્ધતિઓ અને વિશેષ તકનીકોના વિકાસને ઉત્તેજિત કર્યો. . કાર્યો, વિભેદક ભૂમિતિ, વગેરે. યુલરની ઘણી ગાણિતિક શોધો આ કાર્યોમાં સમાયેલી છે.

ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે યુલરનું મુખ્ય કાર્ય ગાણિતિક વિશ્લેષણનો વિકાસ હતો. તેમણે અનેક ગાણિતિક વિદ્યાશાખાઓનો પાયો નાખ્યો, જે ફક્ત તેમના પ્રાથમિક સ્વરૂપમાં જ હતા અથવા I. ન્યૂટન, જી. લીબનિઝ અને બર્નૌલી ભાઈઓના અનંત ગણિતમાં સંપૂર્ણપણે ગેરહાજર હતા. આમ, યુલર જટિલ દલીલના ફંક્શન્સ રજૂ કરનાર અને જટિલ ચલ (ઘાતાંકીય, લઘુગણક અને ત્રિકોણમિતિ વિધેયો) ના મૂળભૂત પ્રાથમિક કાર્યોના ગુણધર્મોનું અન્વેષણ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા. ખાસ કરીને, તેમણે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોને ઘાતાંકીય કાર્યો સાથે જોડતા સૂત્રો મેળવ્યા. આ દિશામાં યુલરના કાર્યએ જટિલ ચલના કાર્યોના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો.

યુલર ભિન્નતાના કેલ્ક્યુલસના નિર્માતા હતા, જે કાર્યમાં દર્શાવેલ છે “વક્ર રેખાઓ શોધવાની પદ્ધતિ કે જેમાં મહત્તમ અથવા ન્યૂનતમ ગુણધર્મો હોય. "(1744). 1744માં યુલરે જે પદ્ધતિ વડે કાર્યાત્મકના અંતિમ ભાગ માટે જરૂરી સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી હતી - યુલર સમીકરણ - તે 20મી સદીના ભિન્નતાના કેલ્ક્યુલસની સીધી પદ્ધતિઓનો પ્રોટોટાઇપ હતો. યુલરે એક સ્વતંત્ર શિસ્ત તરીકે સામાન્ય વિભેદક સમીકરણોનો સિદ્ધાંત બનાવ્યો અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો. અહીં તે મોટી સંખ્યામાં શોધો માટે જવાબદાર છે: અચળ ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણોને ઉકેલવાની શાસ્ત્રીય પદ્ધતિ, મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિ, રિકાટી સમીકરણના મૂળભૂત ગુણધર્મોનું સ્પષ્ટીકરણ, અનંત શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને ચલ ગુણાંક સાથે રેખીય સમીકરણોનું એકીકરણ. , વિશેષ ઉકેલો માટેના માપદંડ, એકીકૃત પરિબળનો સિદ્ધાંત, વિવિધ અંદાજિત પદ્ધતિઓ અને આંશિક વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટેની સંખ્યાબંધ તકનીકો. યુલરે આ પરિણામોનો નોંધપાત્ર હિસ્સો તેમના "ઇન્ટિગ્રલ કેલ્ક્યુલસ" માં એકત્રિત કર્યો.

યુલરે શબ્દના સંકુચિત અર્થમાં વિભેદક અને અભિન્ન કલનને પણ સમૃદ્ધ બનાવ્યું (ઉદાહરણ તરીકે, ચલોના ફેરફારોનો સિદ્ધાંત, સજાતીય કાર્યો પરનો પ્રમેય, ડબલ ઇન્ટિગ્રલની વિભાવના અને ઘણા વિશેષ પૂર્ણાંકોની ગણતરી). "ડિફરન્શિયલ કેલ્ક્યુલસ" માં, યુલરે 19મીના વળાંક પર રચાયેલ, વિવિધ શ્રેણીના આધુનિક કડક સિદ્ધાંતના વિચારોની અપેક્ષા રાખીને, વિવિધ શ્રેણીના ઉપયોગની સલાહ અને શ્રેણીના સામાન્યીકરણ માટે સૂચિત પદ્ધતિઓમાં તેમની માન્યતાને ઉદાહરણો સાથે વ્યક્ત અને સમર્થન આપ્યું હતું. 20મી સદીઓ. વધુમાં, યુલરે શ્રેણી સિદ્ધાંતમાં ઘણા નક્કર પરિણામો મેળવ્યા. તેણે કહેવાતા શોધ્યું. યુલર-મેકલોરિન સમીકરણ સૂત્રએ, તેનું નામ ધરાવતા શ્રેણી પરિવર્તનનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો, શ્રેણીની વિશાળ સંખ્યાના સરવાળો નક્કી કર્યા, અને ગણિતમાં મહત્વપૂર્ણ નવા પ્રકારની શ્રેણી રજૂ કરી (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણમિતિ શ્રેણી). આમાં સતત અપૂર્ણાંક અને અન્ય અનંત પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંત પર યુલરના સંશોધનનો પણ સમાવેશ થાય છે.

યુલર વિશેષ કાર્યોના સિદ્ધાંતના સ્થાપક છે. તેઓ પ્રથમ વ્યક્તિ હતા જેમણે સાઈન અને કોસાઈનને ફંક્શન તરીકે ગણ્યા, અને વર્તુળમાં સેગમેન્ટ તરીકે નહીં. તેણે અનંત શ્રેણી અને ઉત્પાદનોમાં પ્રાથમિક કાર્યોના લગભગ તમામ શાસ્ત્રીય વિસ્તરણ મેળવ્યા. તેમના કાર્યોએ γ-ફંક્શનનો સિદ્ધાંત બનાવ્યો. તેમણે લંબગોળ ઇન્ટિગ્રલ્સ, હાઇપરબોલિક અને સિલિન્ડ્રિકલ ફંક્શન્સ, ζ-ફંક્શન, કેટલાક θ-ફંક્શન્સ, ઇન્ટિગ્રલ લોગરિધમ અને ખાસ બહુપદીના મહત્વપૂર્ણ વર્ગોના ગુણધર્મોની તપાસ કરી.

પી. ચેબીશેવના જણાવ્યા મુજબ, યુલરે તમામ સંશોધનનો પાયો નાખ્યો જે સંખ્યા સિદ્ધાંતનો સામાન્ય ભાગ બનાવે છે. આમ, યુલરે પી. ફર્મેટ (ઉદાહરણ તરીકે, ફર્મેટનું નાનું પ્રમેય) દ્વારા કરવામાં આવેલા સંખ્યાબંધ નિવેદનોને સાબિત કર્યા, પાવર રેસિડ્યુઝના સિદ્ધાંત અને ચતુર્ભુજ સ્વરૂપોના સિદ્ધાંતના પાયા વિકસાવ્યા, ચતુર્ભુજ પારસ્પરિકતા કાયદો શોધ્યો (પરંતુ સાબિત થયો નથી), અને ડાયોફેન્ટાઇન વિશ્લેષણમાં સંખ્યાબંધ સમસ્યાઓનો અભ્યાસ કર્યો. સંખ્યાઓના શબ્દોમાં વિભાજન અને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સિદ્ધાંત પરના તેમના કાર્યોમાં, યુલર વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા, ત્યાંથી સંખ્યાઓના વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંતના સર્જક બન્યા હતા. ખાસ કરીને, તેણે ζ-ફંક્શન રજૂ કર્યું અને કહેવાતા સાબિત કર્યું. તમામ કુદરતી સંખ્યાઓ સાથે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓને જોડતી યુલરની ઓળખ.

યુલરે ગણિતના અન્ય ક્ષેત્રોમાં પણ મોટી સિદ્ધિઓ મેળવી હતી. બીજગણિતમાં, તેમણે રેડિકલમાં ઉચ્ચ ડિગ્રીના સમીકરણો અને બે અજાણ્યા, તેમજ કહેવાતા સમીકરણો પર કામો લખ્યા. યુલરની ચાર-ચોરસ ઓળખ. યુલરે નોંધપાત્ર રીતે અદ્યતન વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ, ખાસ કરીને બીજા ક્રમની સપાટીઓનો સિદ્ધાંત. વિભેદક ભૂમિતિમાં, તેમણે જીઓડેસિક રેખાઓના ગુણધર્મોનો વિગતવાર અભ્યાસ કર્યો, વક્રના કુદરતી સમીકરણો લાગુ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા અને સૌથી અગત્યનું, સપાટીના સિદ્ધાંતનો પાયો નાખ્યો. તેમણે સપાટી પરના બિંદુ પર મુખ્ય દિશાઓની વિભાવના રજૂ કરી, તેમની ઓર્થોગોનાલિટી સાબિત કરી, કોઈપણ સામાન્ય વિભાગના વળાંક માટે એક સૂત્ર મેળવ્યું, વિકાસ કરી શકાય તેવી સપાટીઓ વગેરેનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો; એક મરણોત્તર પ્રકાશિત કૃતિ (1862), તેમણે સપાટીઓની આંતરિક ભૂમિતિ પર કે. ગૌસના સંશોધનની આંશિક અપેક્ષા રાખી હતી. યુલરે ટોપોલોજીના અમુક પ્રશ્નો સાથે પણ વ્યવહાર કર્યો અને સાબિત કર્યું, ઉદાહરણ તરીકે, બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા પર એક મહત્વપૂર્ણ પ્રમેય. ગણિતશાસ્ત્રી યુલરને ઘણીવાર તેજસ્વી "કેલ્ક્યુલેટર" તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. ખરેખર, તેઓ ઔપચારિક ગણતરીઓ અને રૂપાંતરણોમાં અજોડ માસ્ટર હતા, તેમના કાર્યોમાં ઘણા ગાણિતિક સૂત્રો અને પ્રતીકવાદને આધુનિક દેખાવ મળ્યો હતો (ઉદાહરણ તરીકે, તેઓ e અને π માટે સંકેતની માલિકી ધરાવતા હતા). જો કે, યુલરે વિજ્ઞાનમાં અસંખ્ય ગહન વિચારો પણ રજૂ કર્યા હતા, જે હવે સખત રીતે સાબિત થયા છે અને સંશોધનના વિષયમાં ઘૂંસપેંઠની ઊંડાઈના ઉદાહરણ તરીકે સેવા આપે છે.

પી. લાપ્લેસના જણાવ્યા મુજબ, યુલર 18મી સદીના ઉત્તરાર્ધના ગણિતશાસ્ત્રીઓના શિક્ષક હતા.

ડિરિચલેટ પીટર ગુસ્તાવ

(ડ્યુરેન, હવે જર્મની, 1805 - ગોટિંગેન, ibid., 1859)

તેણે પેરિસમાં અભ્યાસ કર્યો અને ઉત્કૃષ્ટ ગણિતશાસ્ત્રીઓ સાથે ખાસ કરીને ફ્યુરિયર સાથે મૈત્રીપૂર્ણ સંબંધો જાળવી રાખ્યા. તેમની શૈક્ષણિક ડિગ્રી પ્રાપ્ત કર્યા પછી, તેઓ બ્રેસ્લાઉ (1826 - 1828), બર્લિન (1828 - 1855) અને ગોટિંગેનની યુનિવર્સિટીઓમાં પ્રોફેસર હતા, જ્યાં તેઓ વૈજ્ઞાનિક કાર્લ ફ્રેડરિક ગૌસના મૃત્યુ પછી ગણિતના વિભાગના વડા બન્યા હતા. વિજ્ઞાનમાં તેમનું સૌથી ઉત્કૃષ્ટ યોગદાન સંખ્યા સિદ્ધાંતને લગતું છે, મુખ્યત્વે શ્રેણીનો અભ્યાસ. આનાથી તેમને ફ્યુરિયર દ્વારા પ્રસ્તાવિત શ્રેણીના સિદ્ધાંતને વિકસાવવાની મંજૂરી મળી. ફર્મેટના પ્રમેયના પુરાવાનું પોતાનું સંસ્કરણ બનાવ્યું, અંકગણિત સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોનો ઉપયોગ કર્યો અને શ્રેણી માટે કન્વર્જન્સ માપદંડ રજૂ કર્યો. ગાણિતિક વિશ્લેષણના ક્ષેત્રમાં, તેમણે સૈદ્ધાંતિક મિકેનિક્સના ક્ષેત્રમાં કાર્યની વ્યાખ્યા અને ખ્યાલમાં સુધારો કર્યો, તેમણે સિસ્ટમોની સ્થિરતાના અભ્યાસ પર અને ન્યૂટનના સંભવિત ખ્યાલ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું.

ચેબીશેવ પાફન્યુટી લ્વોવિચ

રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી, સેન્ટ પીટર્સબર્ગ સાયન્ટિફિક સ્કૂલના સ્થાપક, સેન્ટ પીટર્સબર્ગ એકેડેમી ઓફ સાયન્સના શિક્ષણશાસ્ત્રી (1856). ચેબીશેવના કાર્યોએ ગણિતની ઘણી નવી શાખાઓના વિકાસ માટે પાયો નાખ્યો.

ચેબીશેવના સૌથી વધુ અસંખ્ય કાર્યો ગાણિતિક વિશ્લેષણના ક્ષેત્રમાં હતા. ખાસ કરીને, પ્રવચનો આપવાના અધિકાર માટેનો એક મહાનિબંધ તેમને સમર્પિત હતો, જેમાં ચેબીશેવે બીજગણિતીય કાર્યો અને લઘુગણકમાં અમુક અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓની એકીકરણની તપાસ કરી હતી. ચેબીશેવે બીજગણિત કાર્યોના એકીકરણ માટે અન્ય સંખ્યાબંધ કાર્યોને પણ સમર્પિત કર્યા. તેમાંથી એકમાં (1853), વિભેદક દ્વિપદીના પ્રાથમિક કાર્યોમાં અખંડિતતાની સ્થિતિ પર જાણીતું પ્રમેય પ્રાપ્ત થયું હતું. ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં સંશોધનના એક મહત્વપૂર્ણ ક્ષેત્રમાં ઓર્થોગોનલ બહુપદીના સામાન્ય સિદ્ધાંતના નિર્માણ પરના તેમના કાર્યનો સમાવેશ થાય છે. તેની રચનાનું કારણ લઘુત્તમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને પેરાબોલિક ઇન્ટરપોલેશન હતું. ક્ષણો અને ચતુર્થાંશ સૂત્રોની સમસ્યા પર ચેબીશેવનું સંશોધન આ જ વિચારોની શ્રેણીને અડીને છે. ગણતરીઓ ઘટાડવાના દૃષ્ટિકોણથી, ચેબિશેવે (1873) સમાન ગુણાંક (અંદાજે એકીકરણ) સાથે ચતુર્થાંશ સૂત્રોને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. ચતુર્થાંશ સૂત્રો પર સંશોધન અને પ્રક્ષેપનો સિદ્ધાંત લશ્કરી વૈજ્ઞાનિક સમિતિના આર્ટિલરી વિભાગમાં ચેબીશેવને મૂકેલા કાર્યો સાથે નજીકથી સંબંધિત હતા.

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં, ચેબીશેવને વ્યવસ્થિત રીતે રેન્ડમ ચલોને વિચારણામાં રજૂ કરવાનો અને સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મર્યાદા પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે નવી તકનીક બનાવવાનો શ્રેય આપવામાં આવે છે - કહેવાતા. ક્ષણોની પદ્ધતિ (1845, 1846, 1867, 1887). તેમણે ખૂબ જ સામાન્ય સ્વરૂપમાં મોટી સંખ્યાનો નિયમ સાબિત કર્યો; તદુપરાંત, તેનો પુરાવો તેની સાદગી અને પ્રાથમિકતામાં આકર્ષક છે. ચેબિશેવે સંપૂર્ણ પૂર્ણ થવા માટે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાના વિતરણ કાર્યોના સંકલન માટેની પરિસ્થિતિઓનો અભ્યાસ સામાન્ય કાયદામાં લાવ્યા નથી. જો કે, ચેબીશેવની પદ્ધતિઓમાં કેટલાક ઉમેરા દ્વારા, એ.એ. માર્કોવ આ કરવામાં સફળ થયા. કડક નિષ્કર્ષ વિના, ચેબિશેવે આ મર્યાદા પ્રમેયને n21/2 ની સત્તાઓમાં સ્વતંત્ર પદોના સરવાળાના વિતરણ કાર્યના અસમપ્રમાણ વિસ્તરણના સ્વરૂપમાં સ્પષ્ટ કરવાની શક્યતા પણ દર્શાવી હતી, જ્યાં n એ શબ્દોની સંખ્યા છે. સંભાવના સિદ્ધાંત પર ચેબીશેવનું કાર્ય તેના વિકાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ તબક્કો છે; વધુમાં, તેઓ એવા આધાર હતા કે જેના આધારે રશિયન સ્કૂલ ઓફ પ્રોબેબિલિટી થિયરીનો વિકાસ થયો હતો, જેમાં શરૂઆતમાં ચેબીશેવના સીધા વિદ્યાર્થીઓનો સમાવેશ થતો હતો.

રિમેન જ્યોર્જ ફ્રીડ્રિગ બર્નહાર્ડ

(બ્રેસેલેન્ઝ, લોઅર સેક્સોની, 1826 - સેલાસ્કા, ઇન્ટ્રા નજીક, ઇટાલી 66)

જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી. 1846માં તેમણે ગોટિંગેન યુનિવર્સિટીમાં પ્રવેશ કર્યો: તેમણે કે. ગૌસના પ્રવચનો સાંભળ્યા, જેના ઘણા વિચારો તેમના દ્વારા પાછળથી વિકસાવવામાં આવ્યા હતા. 1847-49માં તેમણે બર્લિન યુનિવર્સિટીમાં પ્રવચનોમાં હાજરી આપી; 1849માં તેઓ ગોટીંગેન પાછા ફર્યા, જ્યાં તેઓ ગૌસના સહયોગી ભૌતિકશાસ્ત્રી ડબલ્યુ. વેબરની નજીક બન્યા, જેમણે તેમને ગાણિતિક વિજ્ઞાનના પ્રશ્નોમાં ઊંડો રસ જગાડ્યો.

1851 માં તેમણે તેમના ડોક્ટરલ નિબંધ "એક જટિલ ચલના કાર્યોના સામાન્ય સિદ્ધાંતના ફંડામેન્ટલ્સ" નો બચાવ કર્યો. 1854 થી તેઓ ખાનગી સહાયક પ્રોફેસર હતા, અને 1857 થી તેઓ યુનિવર્સિટી ઓફ ગોટિંગેનમાં પ્રોફેસર હતા.

19મી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં ગણિતના વિકાસ પર રિમેનના કાર્યોનો ઘણો પ્રભાવ હતો. અને 20મી સદીમાં. તેમના ડોક્ટરલ નિબંધમાં, રીમેને વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના સિદ્ધાંતની ભૌમિતિક દિશા માટે પાયો નાખ્યો; તેમણે કહેવાતા રીમેન સપાટીઓ રજૂ કરી, જે બહુમૂલ્યવાળા કાર્યોના અભ્યાસમાં મહત્વપૂર્ણ છે, કન્ફોર્મલ મેપિંગનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો અને આ સંદર્ભમાં ટોપોલોજીના મૂળભૂત વિચારો આપ્યા, ડોમેન્સની અંદર વિશ્લેષણાત્મક કાર્યોના અસ્તિત્વ માટેની શરતોનો અભ્યાસ કર્યો. વિવિધ પ્રકારો (કહેવાતા ડિરિચલેટ સિદ્ધાંત), વગેરે. રીમેન દ્વારા વિકસિત પદ્ધતિઓનો તેમના આગળના કાર્યોમાં બીજગણિત કાર્યો અને અવિભાજ્યના સિદ્ધાંત પર, વિભેદક સમીકરણોના વિશ્લેષણાત્મક સિદ્ધાંત પર (ખાસ કરીને, હાયપરજીઓમેટ્રિક કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરતા સમીકરણો) પર વ્યાપકપણે ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. વિશ્લેષણાત્મક સંખ્યા સિદ્ધાંત પર (ઉદાહરણ તરીકે, રીમેન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના વિતરણ અને ζ-ફંક્શનના ગુણધર્મો વચ્ચેના જોડાણને દર્શાવે છે, ખાસ કરીને, જટિલ પ્રદેશમાં તેના શૂન્યના વિતરણ સાથે - કહેવાતા રીમેન પૂર્વધારણા, જેની માન્યતા હજુ સુધી સાબિત થઈ નથી), વગેરે.

અસંખ્ય કાર્યોમાં, રીમેને ત્રિકોણમિતિ શ્રેણીમાં કાર્યોની વિઘટનક્ષમતા અંગે તપાસ કરી અને તેના સંબંધમાં, રીમેનિયન અર્થમાં અખંડિતતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો નક્કી કરી, જે વાસ્તવિક ચલના સેટ અને કાર્યોના સિદ્ધાંત માટે મહત્વપૂર્ણ હતી. રીમેને આંશિક વિભેદક સમીકરણો (ઉદાહરણ તરીકે, કહેવાતા રીમેન ઇન્વેરિઅન્ટ્સ અને રીમેન ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને) એકીકૃત કરવા માટેની પદ્ધતિઓનો પણ પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો.

તેમના પ્રસિદ્ધ 1854 વ્યાખ્યાન "ઓન ધ હાઈપોથેસીસ જે અન્ડરલી ભૂમિતિ" (1867) માં, રીમેને ગાણિતિક અવકાશ (તેમના શબ્દોમાં, "મેનીફોલ્ડ્સ") નો સામાન્ય ખ્યાલ આપ્યો, જેમાં કાર્યાત્મક અને ટોપોલોજીકલ જગ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. અહીં તેમણે ભૂમિતિને વ્યાપક અર્થમાં સતત n-પરિમાણીય મેનીફોલ્ડ્સના અભ્યાસ તરીકે ગણી, એટલે કે, કોઈપણ સજાતીય પદાર્થોના સંગ્રહ અને, સપાટીની આંતરિક ભૂમિતિ પર ગૌસના પરિણામોનું સામાન્યીકરણ કરીને, તેમણે રેખીય તત્વ (વિભેદક) નો સામાન્ય ખ્યાલ આપ્યો. મેનીફોલ્ડના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર), ત્યાં ફિન્સલર સ્પેસ કહેવાય છે તે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. રીમેને કહેવાતા રીમેનિયન જગ્યાઓની વધુ વિગતવાર તપાસ કરી, યુક્લિડિયન, લોબાચેવ્સ્કી અને રીમેનિયન લંબગોળ ભૂમિતિની જગ્યાઓનું સામાન્યીકરણ કર્યું, જે એક ખાસ પ્રકારના રેખીય તત્વ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, અને તેમની વક્રતાનો સિદ્ધાંત વિકસાવ્યો છે. ભૌતિક અવકાશમાં તેમના વિચારોના ઉપયોગની ચર્ચા કરતા, રીમેને તેના "મેટ્રિક ગુણધર્મોના કારણો" નો પ્રશ્ન ઉઠાવ્યો, જાણે કે સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં શું કરવામાં આવ્યું હતું તેની અપેક્ષા.

રીમેન દ્વારા પ્રસ્તાવિત વિચારો અને પદ્ધતિઓએ ગણિતના વિકાસમાં નવા માર્ગો ખોલ્યા અને મિકેનિક્સ અને સાપેક્ષતાના સામાન્ય સિદ્ધાંતમાં તેનો ઉપયોગ શોધી કાઢ્યો. 1866 માં ક્ષય રોગથી વૈજ્ઞાનિકનું અવસાન થયું.

વ્યાખ્યા 1. પ્રાઇમ નંબર− એ એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા છે જે ફક્ત પોતાના દ્વારા જ વિભાજ્ય છે અને 1.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંખ્યા અવિભાજ્ય છે જો તેમાં માત્ર બે વિશિષ્ટ કુદરતી પરિબળો હોય.

વ્યાખ્યા 2. કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા કે જેના પોતાના સિવાય અન્ય વિભાજકો હોય અને એક કહેવાય સંયુક્ત સંખ્યા.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ જે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ નથી તેને સંયુક્ત સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા 1 થી તે અનુસરે છે કે સંયુક્ત સંખ્યામાં બે કરતાં વધુ કુદરતી પરિબળો છે. નંબર 1 અવિભાજ્ય કે સંયુક્ત નથી કારણ કે માત્ર એક જ વિભાજક 1 ધરાવે છે અને વધુમાં, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ સંબંધિત ઘણા પ્રમેય એકતા માટે હોલ્ડ કરતા નથી.

વ્યાખ્યાઓ 1 અને 2 થી તે અનુસરે છે કે 1 કરતા વધારે દરેક હકારાત્મક પૂર્ણાંક કાં તો અવિભાજ્ય સંખ્યા અથવા સંયુક્ત સંખ્યા છે.

નીચે 5000 સુધી પ્રાઇમ નંબર્સ દર્શાવવા માટેનો પ્રોગ્રામ છે. કોષો ભરો, "બનાવો" બટન પર ક્લિક કરો અને થોડીવાર રાહ જુઓ.

પ્રાઇમ નંબર્સ ટેબલ

નિવેદન 1. જો પી- અવિભાજ્ય સંખ્યા અને aકોઈપણ પૂર્ણાંક, પછી ક્યાં તો aદ્વારા વિભાજિત પી, અથવા પીઅને aકોપ્રાઈમ નંબરો.

ખરેખર. જો પીઅવિભાજ્ય સંખ્યા ફક્ત પોતાના દ્વારા જ વિભાજ્ય છે અને 1 જો aદ્વારા વિભાજ્ય નથી પી, પછી સૌથી મોટો સામાન્ય વિભાજક aઅને પી 1 બરાબર છે. પછી પીઅને aકોપ્રાઈમ નંબરો.

નિવેદન 2. જો સંખ્યાઓની સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન a 1 , a 2 , a 3, ... અવિભાજ્ય સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે પી, પછી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા a 1 , a 2 , a 3, ... દ્વારા વિભાજ્ય પી.

ખરેખર. જો કોઈ પણ સંખ્યા વડે વિભાજ્ય ન હોય પી, પછી નંબરો a 1 , a 2 , a 3, ...ના સંદર્ભમાં કોપ્રાઈમ નંબરો હશે પી. પરંતુ કોરોલરી 3 () થી તે તેમના ઉત્પાદનને અનુસરે છે a 1 , a 2 , a 3, ...ના સંદર્ભમાં પણ પ્રમાણમાં પ્રાઇમ છે પી, જે નિવેદનની સ્થિતિનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે પી.

પ્રમેય 1. કોઈપણ સંયુક્ત સંખ્યા હંમેશા, અને અનન્ય રીતે, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની મર્યાદિત સંખ્યાના ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

પુરાવો. દો kસંયુક્ત સંખ્યા, અને દો a 1 એ તેના વિભાજકોમાંનું એક છે જે 1 અને તેનાથી અલગ છે. જો a 1 સંયુક્ત છે, તે પછી 1 ઉપરાંત અને છે a 1 અને અન્ય વિભાજક a 2. જો a 2 એ સંયુક્ત સંખ્યા છે, પછી તેમાં 1 અને ઉપરાંત છે a 2 અને અન્ય વિભાજક a 3. આ રીતે તર્ક અને ગણતરીમાં લેતા કે સંખ્યાઓ a 1 , a 2 , a 3 , ... ઘટે છે અને આ શ્રેણીમાં પદોની મર્યાદિત સંખ્યા છે, આપણે અમુક અવિભાજ્ય સંખ્યા સુધી પહોંચીશું પી 1. પછી kફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે

ધારો કે સંખ્યાના બે વિઘટન છે k:

કારણ કે k=p 1 પી 2 પી 3...અવિભાજ્ય સંખ્યા વડે વિભાજ્ય q 1, પછી ઓછામાં ઓછા એક પરિબળો, ઉદાહરણ તરીકે પી 1 વડે વિભાજ્ય છે q 1. પણ પી 1 એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને તે ફક્ત 1 અને પોતે જ વિભાજ્ય છે. આથી પી 1 =q 1 (કારણ કે q 1 ≠1)

પછી (2) માંથી આપણે બાકાત રાખી શકીએ પી 1 અને q 1:

આમ, અમને ખાતરી છે કે દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા કે જે પ્રથમ વિસ્તરણમાં પરિબળ તરીકે એક અથવા વધુ વખત દેખાય છે તે બીજા વિસ્તરણમાં પણ ઓછામાં ઓછી ઘણી વખત દેખાય છે, અને તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા જે બીજા વિસ્તરણમાં પરિબળ તરીકે દેખાય છે. એક અથવા વધુ વખત પણ પ્રથમ વિસ્તરણમાં ઓછામાં ઓછી તે જ સંખ્યામાં દેખાય છે. તેથી, કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા બંને વિસ્તરણમાં પરિબળ તરીકે સમાન સંખ્યામાં દેખાય છે અને આમ, આ બે વિસ્તરણ સમાન છે.■

સંયુક્ત સંખ્યાનું વિસ્તરણ kનીચેના ફોર્મમાં લખી શકાય છે

જ્યાં પી 1 , પી 2, ... વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ, α, β, γ ... હકારાત્મક પૂર્ણાંકો.

વિસ્તરણ (3) કહેવાય છે પ્રમાણભૂત વિસ્તરણસંખ્યાઓ

પ્રાઇમ નંબરો કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીમાં અસમાન રીતે થાય છે. પંક્તિના કેટલાક ભાગોમાં તેમાંથી વધુ છે, અન્યમાં - ઓછા. આપણે સંખ્યાની શ્રેણીમાં જેટલા આગળ વધીશું, તેટલી ઓછી સામાન્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે શું સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે? પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી યુક્લિડે સાબિત કર્યું કે અસંખ્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. અમે આ પુરાવા નીચે રજૂ કરીએ છીએ.

પ્રમેય 2. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની સંખ્યા અનંત છે.

પુરાવો. ધારો કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની મર્યાદિત સંખ્યા છે, અને સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાને રહેવા દો પી. ચાલો બધી સંખ્યાઓને મોટી ગણીએ પી. વિધાનની ધારણા દ્વારા, આ સંખ્યાઓ સંયુક્ત હોવી જોઈએ અને ઓછામાં ઓછી એક અવિભાજ્ય સંખ્યા દ્વારા વિભાજ્ય હોવી જોઈએ. ચાલો એક એવી સંખ્યા પસંદ કરીએ જે આ તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યા વત્તા 1 નું ઉત્પાદન છે:

નંબર zવધુ પીકારણ કે 2પપહેલેથી જ વધુ પી. પીઆ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ વડે વિભાજ્ય નથી, કારણ કે જ્યારે તેમાંના દરેક દ્વારા ભાગવામાં આવે છે ત્યારે 1 ની બાકીની રકમ મળે છે. આમ આપણે એક વિરોધાભાસ પર આવીએ છીએ. તેથી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓની અસંખ્ય સંખ્યા છે.

આ પ્રમેય વધુ સામાન્ય પ્રમેયનો વિશેષ કેસ છે:

પ્રમેય 3. એક અંકગણિત પ્રગતિ આપવા દો

પછી કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા શામેલ છે n, માં સમાવેશ કરવો જોઈએ m, તેથી માં nઅન્ય મુખ્ય પરિબળો કે જેમાં શામેલ નથી mઅને, વધુમાં, આ મુખ્ય પરિબળો nકરતાં વધુ વખત સમાવવામાં આવેલ નથી m.

વિપરીત પણ સાચું છે. જો સંખ્યાનો દરેક અવિભાજ્ય અવયવ nઓછામાં ઓછા તેટલી વખત સંખ્યામાં સમાવેશ થાય છે m, તે mદ્વારા વિભાજિત n.

નિવેદન 3. દો a 1 ,a 2 ,a 3,... વિવિધ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે mતેથી

જ્યાં i=0,1,...α , j=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . તેની નોંધ લો αiસ્વીકારે છે α +1 મૂલ્યો, β j સ્વીકારે છે β +1 મૂલ્યો, γ k સ્વીકારે છે γ +1 મૂલ્યો, ...

આ લેખમાં આપણે અન્વેષણ કરીશું અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓ. પ્રથમ, આપણે અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યા આપીશું, અને ઉદાહરણો પણ આપીશું. આ પછી આપણે સાબિત કરીશું કે અસંખ્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. આગળ, અમે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક લખીશું, અને એરાટોસ્થેનિસની ચાળણી તરીકે ઓળખાતી પદ્ધતિ પર વિશેષ ધ્યાન આપીને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટકને સંકલિત કરવાની પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીશું. નિષ્કર્ષમાં, આપેલ સંખ્યા અવિભાજ્ય અથવા સંયુક્ત છે તે સાબિત કરતી વખતે ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય તેવા મુખ્ય મુદ્દાઓને અમે પ્રકાશિત કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

પ્રાઇમ અને કમ્પોઝિટ નંબર્સ - વ્યાખ્યાઓ અને ઉદાહરણો

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને સંયુક્ત સંખ્યાઓની વિભાવનાઓ એક કરતા મોટી સંખ્યાઓનો સંદર્ભ આપે છે. આવા પૂર્ણાંકો, તેમના હકારાત્મક વિભાજકોની સંખ્યાના આધારે, અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યામાં વિભાજિત થાય છે. તો સમજવા માટે અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓની વ્યાખ્યાઓ, તમારે વિભાજકો અને ગુણાંક શું છે તેની સારી સમજ હોવી જરૂરી છે.

વ્યાખ્યા.

પ્રાઇમ નંબરોપૂર્ણાંકો, મોટા એકમો છે, જેમાં માત્ર બે હકારાત્મક વિભાજકો છે, એટલે કે પોતાને અને 1.

વ્યાખ્યા.

સંયુક્ત સંખ્યાઓપૂર્ણાંકો છે, મોટા છે, જેમાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ હકારાત્મક વિભાજકો છે.

અલગથી, અમે નોંધીએ છીએ કે સંખ્યા 1 અવિભાજ્ય અથવા સંયુક્ત સંખ્યાઓને લાગુ પડતી નથી. એકમમાં માત્ર એક જ હકારાત્મક વિભાજક છે, જે નંબર 1 છે. આ સંખ્યા 1 ને અન્ય તમામ સકારાત્મક પૂર્ણાંકોથી અલગ પાડે છે જેમાં ઓછામાં ઓછા બે હકારાત્મક વિભાજકો હોય છે.

સકારાત્મક પૂર્ણાંકો છે અને તેમાં માત્ર એક જ ધન વિભાજક છે તે ધ્યાનમાં રાખીને, આપણે અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓની જણાવેલ વ્યાખ્યાઓના અન્ય ફોર્મ્યુલેશન આપી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા.

પ્રાઇમ નંબરોપ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે જેમાં માત્ર બે હકારાત્મક વિભાજકો છે.

વ્યાખ્યા.

સંયુક્ત સંખ્યાઓએ કુદરતી સંખ્યાઓ છે જેમાં બે કરતા વધુ ધન વિભાજકો હોય છે.

નોંધ કરો કે એક કરતા મોટો દરેક ધન પૂર્ણાંક અવિભાજ્ય અથવા સંયુક્ત સંખ્યા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્યાં એક પણ પૂર્ણાંક નથી જે અવિભાજ્ય કે સંયુક્ત ન હોય. આ વિભાજ્યતાના ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે, જે જણાવે છે કે સંખ્યાઓ 1 અને a હંમેશા કોઈપણ પૂર્ણાંક a ના વિભાજક હોય છે.

અગાઉના ફકરામાં આપેલી માહિતીના આધારે, અમે સંયુક્ત સંખ્યાઓની નીચેની વ્યાખ્યા આપી શકીએ છીએ.

વ્યાખ્યા.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ કે જે અવિભાજ્ય નથી તેને કહેવામાં આવે છે સંયુક્ત.

ચાલો આપીએ અવિભાજ્ય અને સંયુક્ત સંખ્યાઓના ઉદાહરણો.

સંયુક્ત સંખ્યાઓના ઉદાહરણોમાં 6, 63, 121 અને 6,697નો સમાવેશ થાય છે. આ નિવેદનમાં પણ સ્પષ્ટતાની જરૂર છે. સંખ્યા 6, ધન વિભાજકો 1 અને 6 ઉપરાંત, વિભાજકો 2 અને 3 પણ ધરાવે છે, કારણ કે 6 = 2 3 છે, તેથી 6 ખરેખર એક સંયુક્ત સંખ્યા છે. 63 ના સકારાત્મક પરિબળ સંખ્યાઓ 1, 3, 7, 9, 21 અને 63 છે. સંખ્યા 121 એ ગુણાંક 11·11 ની બરાબર છે, તેથી તેના ધન વિભાજકો 1, 11 અને 121 છે. અને સંખ્યા 6,697 સંયુક્ત છે, કારણ કે તેના હકારાત્મક વિભાજકો, 1 અને 6,697 ઉપરાંત, 37 અને 181 નંબરો પણ છે.

આ મુદ્દાના નિષ્કર્ષમાં, હું એ હકીકત તરફ પણ ધ્યાન દોરવા માંગુ છું કે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ અને કોપ્રાઈમ સંખ્યાઓ એક જ વસ્તુથી દૂર છે.

પ્રાઇમ નંબર્સ ટેબલ

પ્રાઇમ નંબર્સ, તેમના વધુ ઉપયોગની સગવડ માટે, અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક કહેવાતા કોષ્ટકમાં રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે. નીચે છે પ્રાઇમ નંબર ટેબલ 1,000 સુધી.

એક તાર્કિક પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: "આપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક ફક્ત 1,000 સુધી શા માટે ભર્યું, શું હાલની તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક બનાવવું શક્ય નથી"?

ચાલો પહેલા આ પ્રશ્નના પહેલા ભાગનો જવાબ આપીએ. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના ઉપયોગની જરૂર હોય તેવી મોટાભાગની સમસ્યાઓ માટે, હજારની અંદર અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ પૂરતી હશે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, સંભવતઃ, તમારે કેટલીક વિશિષ્ટ ઉકેલ તકનીકોનો આશરો લેવો પડશે. જો કે આપણે નિશ્ચિતપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક એક અનિયંત્રિત રીતે મોટા મર્યાદિત હકારાત્મક પૂર્ણાંક સુધી બનાવી શકીએ છીએ, તે 10,000 હોય કે 1,000,000,000 હોય, આગામી ફકરામાં આપણે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટકો બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ વિશે વાત કરીશું, ખાસ કરીને, આપણે એક પદ્ધતિ જોઈશું. કહેવાય છે.

હવે ચાલો હાલની તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના કોષ્ટકનું સંકલન કરવાની શક્યતા (અથવા તેના બદલે અશક્યતા) જોઈએ. આપણે બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનું કોષ્ટક બનાવી શકતા નથી કારણ કે ત્યાં અસંખ્ય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. છેલ્લું વિધાન એક પ્રમેય છે જે આપણે નીચેના સહાયક પ્રમેય પછી સાબિત કરીશું.

પ્રમેય.

એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યાના 1 સિવાયનો સૌથી નાનો ધન વિભાજક એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

પુરાવો.

દો a એ એક કરતાં મોટી કુદરતી સંખ્યા છે, અને b એ એક કરતાં અન્યનો સૌથી નાનો ધન વિભાજક છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે b એ વિરોધાભાસ દ્વારા અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

ચાલો ધારીએ કે b એ સંયુક્ત સંખ્યા છે. પછી સંખ્યા b નો એક વિભાજક છે (ચાલો તેને b 1 દર્શાવીએ), જે 1 અને b બંનેથી અલગ છે. જો આપણે એ પણ ધ્યાનમાં લઈએ કે વિભાજકનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય ડિવિડન્ડના સંપૂર્ણ મૂલ્ય કરતાં વધુ નથી (આપણે વિભાજ્યતાના ગુણધર્મોથી જાણીએ છીએ), તો શરત 1 સંતુષ્ટ થવી જોઈએ.

સંખ્યા a એ સ્થિતિ અનુસાર b વડે વિભાજ્ય હોવાથી, અને અમે કહ્યું કે b એ b 1 વડે વિભાજ્ય છે, વિભાજ્યતાનો ખ્યાલ આપણને પૂર્ણાંકો q અને q 1 ના અસ્તિત્વ વિશે વાત કરવાની પરવાનગી આપે છે જેમ કે a=b q અને b=b 1 q 1 , જ્યાંથી a= b 1 · (q 1 ·q) . તે અનુસરે છે કે બે પૂર્ણાંકોનો ગુણાંક પૂર્ણાંક છે, પછી સમાનતા a=b 1 ·(q 1 ·q) સૂચવે છે કે b 1 એ સંખ્યા a નો વિભાજક છે. ઉપરોક્ત અસમાનતાઓને ધ્યાનમાં લેતા 1

હવે આપણે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે અનંતપણે અનેક અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.