સિલિન્ડરમાં અંકિત ગોળાને સિલિન્ડરમાં અંકિત કહેવાય છે જો તે તેના આધાર અને બાજુની સપાટીને સ્પર્શે (દરેક જનરેટિક્સને સ્પર્શે). મુ

શંકુમાં પિરામિડ કોતરેલ છે

પિરામિડને શંકુમાં અંકિત કહેવામાં આવે છે જો તેનો આધાર શંકુના પાયામાં લખાયેલ હોય અને તેની ટોચ શંકુના શિખર સાથે એકરુપ હોય. આ કિસ્સામાં, શંકુને પિરામિડ વિશે પરિક્રમા કહેવામાં આવે છે.

પિરામિડની આસપાસ શંકુનું વર્ણન કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેના આધારની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય.

સ્લાઇડ મોડમાં, માઉસ ક્લિક કર્યા પછી જવાબો અને ઉકેલો દેખાય છે

વ્યાયામ 1

શંકુમાં અંકિત નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેની આધાર ત્રિજ્યા 1 છે.

વ્યાયામ 2

શંકુમાં અંકિત નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેનો આધાર ત્રિજ્યા 1 છે.

વ્યાયામ 3

શંકુમાં અંકિત નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેનો આધાર ત્રિજ્યા 1 છે.

શંકુની ફરતે ઘેરાયેલો પિરામિડ

પિરામિડને શંકુની આસપાસ પરિક્રમિત કહેવાય છે જો તેનો આધાર શંકુના પાયાની આસપાસ ફરતો હોય અને તેની ટોચ શંકુના શિખર સાથે એકરુપ હોય. આ કિસ્સામાં, શંકુ પિરામિડમાં કોતરેલ હોવાનું કહેવાય છે.

શંકુ પિરામિડમાં કોતરવામાં આવી શકે છે જો અને માત્ર જો વર્તુળ તેના પાયામાં અંકિત કરી શકાય.

વ્યાયામ 1

નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેની પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે.

વ્યાયામ 2

નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેની પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે.

વ્યાયામ 3

નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેની પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે.

શંકુમાં કોતરેલ ગોળા

એક ગોળા શંકુમાં અંકિત કહેવાય છે જો તે તેના આધાર અને બાજુની સપાટીને સ્પર્શે (દરેક જનરેટિક્સને સ્પર્શે). આ કિસ્સામાં, શંકુને ગોળાની આસપાસ પરિક્રમા કરવામાં આવી હોવાનું કહેવાય છે.

ગોળાને કોઈપણ શંકુ (સીધો, ગોળાકાર) માં લખી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર શંકુની ઊંચાઈ પર છે, અને તેની ત્રિજ્યા ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે, જે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ છે.

યાદ કરો કે ત્રિજ્યા આરત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

જ્યાં એસ- ચોરસ, પી- ત્રિકોણની અર્ધ પરિમિતિ.

વ્યાયામ 1

શંકુમાં એક ગોળા અંકિત થયેલ છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 1 છે અને જેની જનરેટ્રિક્સ 2 છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ત્રિકોણ એસએબીસમભુજ ઊંચાઈ એસએચવિસ્તાર સમાન એસઅર્ધ પરિમિતિ સમાન પી 3 બરાબર છે. સૂત્ર મુજબ r = S/pઅમે મેળવીએ છીએ

વ્યાયામ 2

ત્રિજ્યા 1 નો ગોળો શંકુમાં અંકિત છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 2 છે. શંકુની ઊંચાઈ શોધો.

ઉકેલ. ચાલો સૂચિત કરીએ hઊંચાઈ એસએચશંકુ સૂત્રમાંથી r = S/pઅમારી પાસે છે:

જ્યાં r = 1, a=FG= 4, p =

સમીકરણ ઉકેલવું

વ્યાયામ 3

શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે. જનરેટિક્સ 45 ડિગ્રીના ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ઊંચાઈ એસએચશંકુ સમાન છે 1. જનરેટર.

સેમીપેરિમીટર પીબરાબર

સૂત્ર મુજબ r = S/p, અમારી પાસે છે

વ્યાયામ 4

શંકુની ઊંચાઈ 8 છે, જે 10 બનાવે છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 6 છે. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ SFG 48 બરાબર છે, અર્ધ-પરિમિતિ 16. સૂત્ર મુજબ r = S/pઅમારી પાસે છે r = 3.

જવાબ: r = 3.

વ્યાયામ 5

શું વળેલું શંકુમાં ગોળાને ફિટ કરવું શક્ય છે?

જવાબ: ના.

કાપેલા શંકુમાં અંકિત ગોળાકાર

જો ગોળા તેના પાયા અને બાજુની સપાટીને સ્પર્શે (દરેક જનરેટિક્સને સ્પર્શે) તો તેને કાપેલા શંકુમાં કોતરવામાં આવે તેવું કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં, કાપેલા શંકુને ગોળાની આસપાસ પરિક્રમા કરવામાં આવે તેવું કહેવાય છે.

જો એક વર્તુળ તેના અક્ષીય વિભાગમાં અંકિત કરી શકાય તો એક ગોળાને કાપેલા શંકુમાં અંકિત કરી શકાય છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલી હશે.

વ્યાયામ 1

કાપેલા શંકુમાં એક ગોળા અંકિત છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 2 અને 1 છે. ગોળાની ત્રિજ્યા અને કાપેલા શંકુની ઊંચાઈ શોધો.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે: એ 1 B=A 1 ઓ 1 = 2, એ 2 B=A 2 ઓ 2 = 1. તેથી, એ 1 એ 2 = 3 , એ 1 C= 1.

આમ,

વ્યાયામ 2

ત્રિજ્યા 1 નો ગોળા કાપેલા શંકુમાં અંકિત છે જેના એક આધારની ત્રિજ્યા 2 છે. બીજા આધારની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. દો એ 1 ઓ 1 = 2. ચાલો સૂચિત કરીએ r = A 2 ઓ 2 . અમારી પાસે છે: એ 1 એ 2 = 2+ આર , એ 1 C= 2 – આર. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, એક સમાનતા છે જેમાંથી તે અનુસરે છે કે સમાનતા પરિણામી સમીકરણને ઉકેલવાથી સંતુષ્ટ છે આર, અમે શોધીએ છીએ

વ્યાયામ 3

કાપેલા શંકુમાં, મોટા પાયાની ત્રિજ્યા 2 છે, જનરેટિક્સ 60 ડિગ્રીના ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. નોંધ કરો કે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ જેમાંથી કાપવામાં આવેલ શંકુ મેળવવામાં આવે છે તે બાજુ 2 સાથેનો સમભુજ ત્રિકોણ છે. ત્રિજ્યા આરકાપેલા શંકુમાં અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા આ સમબાજુ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે, એટલે કે.

વ્યાયામ 4

કાપેલા શંકુનું જનરેટિક્સ 2 છે, અક્ષીય વિભાગનું ક્ષેત્રફળ 3 છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ r = S/p, ક્યાં એસ- અક્ષીય વિભાગ વિસ્તાર, પી – અર્ધ પરિમિતિ અમારા કિસ્સામાં એસ= 3. અર્ધ-પરિમિતિ શોધવા માટે, યાદ કરો કે વર્તુળની આસપાસના ચતુષ્કોણ માટે, વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અર્ધ-પરિમિતિ સિલિન્ડરના જનરેટિક્સના બમણા સમાન છે, એટલે કે. p = 4. તેથી, r = ¾.

વ્યાયામ 5

શું ગોળાને કાપેલા વળાંકવાળા શંકુમાં ફિટ કરવું શક્ય છે?

જવાબ: ના.

શંકુની આસપાસ ફરતો ગોળો

જો શંકુના પાયાનો શિરોબિંદુ અને પરિઘ ગોળાની ઉપર આવેલો હોય તો ગોળાને શંકુની પરિક્રમા કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં, શંકુને ગોળાકારમાં કોતરેલ હોવાનું કહેવાય છે.

ગોળાને કોઈપણ શંકુ (સીધા, ગોળાકાર) ની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર શંકુની ઊંચાઈ પર છે, અને તેની ત્રિજ્યા ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે, જે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ છે.

યાદ કરો કે ત્રિજ્યા આરત્રિકોણનું પરિમાણિત વર્તુળ સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે

જ્યાં એસ- ચોરસ, a , b , c- ત્રિકોણની બાજુઓ.

વ્યાયામ 1

એક ગોળા શંકુની આસપાસ ઘેરાયેલો છે જેનો આધાર ત્રિજ્યા 1 છે અને જનરેટ્રિક્સ 2 છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ત્રિકોણ એસએબીબાજુ સાથે સમભુજ 2. ઊંચાઈ એસએચવિસ્તાર સમાન એસસૂત્ર અનુસાર સમાન આર = abc /4 એસઅમે મેળવીએ છીએ

વ્યાયામ 2

ત્રિજ્યા 5 નો એક ગોળો શંકુની આસપાસ ફરે છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 4 છે. ઊંચાઈ શોધો hશંકુ

ઉકેલ. અમારી પાસે છે OB = 5 , HB = 4. તેથી, OH = 3. તે ધ્યાનમાં લેતા SO=OB= 5, આપણને મળે છે h = 8.

જવાબ: h = 8.

વ્યાયામ 3

શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે. જનરેટિક્સ 45 ડિગ્રીના ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ત્રિકોણ એસએબી- લંબચોરસ, સમદ્વિબાજુ. તેથી, ત્રિજ્યા આરઘેરાયેલા ગોળાનો ભાગ સિલિન્ડરના આધારની ત્રિજ્યા જેટલો છે, એટલે કે. આર = 1.

જવાબ: આર = 1.

વ્યાયામ 4

શંકુની ઊંચાઈ 8 છે, જે 10 બનાવે છે. ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ત્રિકોણમાં એસએબીઅમારી પાસે છે: SA=SB= 10, SH= 8. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, એએચ = 6 અને તેથી એસ= 48. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આર = abc /4 એસ, અમને મળે છે

વ્યાયામ 5

શું વલણવાળા શંકુની આસપાસના ગોળાનું વર્ણન કરવું શક્ય છે?

જવાબ: હા.

કાપેલા શંકુની આસપાસ ફરતો ગોળો

જો કાપેલા શંકુનો પરિઘ અને પાયા ગોળા પર આવેલા હોય તો ગોળાને કાપેલા શંકુની પરિક્રમા કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં, કાપેલી જવાબદારીને ગોળામાં લખાયેલ કહેવામાં આવે છે.

એક ગોળાને કાપેલા શંકુની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે, જો વર્તુળ તેના અક્ષીય વિભાગની આસપાસ વર્ણવી શકાય. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા પરિક્રમિત ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલી હશે.

વ્યાયામ 1

કાપેલા શંકુની આસપાસ એક ગોળાનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે, જેની ત્રિજ્યા 2 અને 1 ની બરાબર છે અને જેનું જનરેટિક્સ 2 ની બરાબર છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. તેની નોંધ લો એ 1 ઓ 1 બી 2 ઓ 2 અને ઓ 1 બી 1 બી 2 એ 2 - રોમ્બસ. ત્રિકોણ એ 1 ઓ 1 એ 2 , ઓ 1 એ 2 બી 2 , ઓ 1 બી 1 બી 2 - સમભુજ અને તેથી, એ 1 બી 1 - વ્યાસ. આથી, આર = 2.

જવાબ: આર = 2,

વ્યાયામ 2

કાપેલા શંકુના નાના પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે, જનરેટ્રીક્સ 2 છે અને અન્ય આધારના સમતલ સાથે 45°નો ખૂણો બનાવે છે. ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે એ 2 ઓ 2 = 1, એ 1 એ 2 = 2, ઓ 1 ઓ 2 = , ઓઓ 1 = ઓ 1 C= 1. તેથી, ઓઓ 2 = 1 + અને તેથી,

વ્યાયામ 3

કાપેલા શંકુના એક આધારની ત્રિજ્યા 4 છે, ઊંચાઈ 7 છે, ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા 5 છે. કાપેલા શંકુના બીજા પાયાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે ઓઓ 1 = 3 , ઓઓ 2 = 4 અને તેથી ઓ 2 એ 2 = 3.

વ્યાયામ 4

કાપેલા શંકુ જેની પાયાની ત્રિજ્યા 2 અને 4 છે અને જેની ઉંચાઈ 5 છે તે ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ. ચાલો સૂચિત કરીએ આરઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા. પછી

તે ધ્યાનમાં લેતા ઓ 1 ઓ 2 = 6, આપણી પાસે સમાનતા છે

પ્રમાણમાં ઉકેલવું આર, અમે શોધીએ છીએ

વ્યાયામ 5

શું કપાયેલા વળાંકવાળા શંકુની આસપાસના ગોળાનું વર્ણન કરવું શક્ય છે?

શંકુમાં કોતરેલ પિરામિડ જો તેનો આધાર શંકુના પાયામાં કોતરેલ હોય અને તેની ટોચ શંકુના શિખર સાથે એકરુપ હોય તો તેને શંકુમાં લખેલ પિરામિડ કહેવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, શંકુને પિરામિડ વિશે પરિક્રમા કહેવામાં આવે છે. શંકુમાં કોતરેલ પિરામિડ શંકુને પિરામિડની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેના આધારની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય. વ્યાયામ 1 શંકુમાં અંકિત નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેનો આધાર ત્રિજ્યા 1 ની બરાબર છે. જવાબ: 3. વ્યાયામ 2 શંકુમાં અંકિત નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેનો આધાર વ્યાસ છે. સમાન 1. જવાબ: 2 2. વ્યાયામ 3 શંકુમાં અંકિત નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેનો આધાર ત્રિજ્યા 1 છે. જવાબ: 1. શંકુની આસપાસ ઘેરાયેલો પિરામિડ પિરામિડને શંકુની આસપાસ ફરતો કહેવામાં આવે છે જો તેનો આધાર શંકુની આસપાસ ઘેરાયેલો હોય. શંકુનો આધાર અને તેની ટોચ શંકુની ટોચ સાથે એકરુપ છે. આ કિસ્સામાં, શંકુ પિરામિડમાં કોતરેલ હોવાનું કહેવાય છે. શંકુની ફરતે ઘેરાયેલો પિરામિડ શંકુને પિરામિડમાં અંકિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો વર્તુળ તેના પાયા પર અંકિત કરી શકાય. વ્યાયામ 1 નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જે શંકુની આસપાસની ત્રિજ્યા 1 ની બરાબર છે. જવાબ: 2 3. વ્યાયામ 2 નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જેની આધાર ત્રિજ્યા શંકુની આસપાસ છે. છે 1. જવાબ: 2. વ્યાયામ 3 નિયમિત ષટ્કોણ પિરામિડના પાયાની બાજુ શોધો જે શંકુની પરિક્રમા કરે છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 1 છે. જવાબ: 2 3 3 . શંકુમાં કોતરેલ ગોળાને શંકુમાં કોતરેલ કહેવાય છે જો તે તેના આધાર અને બાજુની સપાટીને સ્પર્શે (દરેક જનરેટિક્સને સ્પર્શે). આ કિસ્સામાં, શંકુને ગોળાની આસપાસ પરિક્રમા કરવામાં આવી હોવાનું કહેવાય છે. શંકુમાં કોતરેલ ગોળાને શંકુમાં કોતરેલ કહેવાય છે જો તે તેના આધાર અને બાજુની સપાટીને સ્પર્શે (દરેક જનરેટિક્સને સ્પર્શે). આ કિસ્સામાં, શંકુને ગોળાની આસપાસ પરિક્રમા કરવામાં આવી હોવાનું કહેવાય છે. ગોળાને કોઈપણ શંકુ (સીધો, ગોળાકાર) માં લખી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર શંકુની ઊંચાઈ પર છે, અને તેની ત્રિજ્યા ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે, જે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ છે. યાદ કરો કે ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા r એ સૂત્ર r દ્વારા S જોવા મળે છે, p જ્યાં S એ ક્ષેત્રફળ છે, p એ ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે. વ્યાયામ 1 એક ગોળાને શંકુમાં અંકિત કરવામાં આવે છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 1 છે અને તેનું જનરેટિક્સ 2 છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. ત્રિકોણ SAB સમભુજ છે. SH ની ઊંચાઈ 3 છે. ક્ષેત્ર S બરાબર છે અર્ધ પરિમિતિ p બરાબર 3 છે. સૂત્ર r = S/p નો ઉપયોગ કરીને આપણે r 3 3 મેળવીએ છીએ. 3. વ્યાયામ 2 ત્રિજ્યા 1 નો ગોળા એક શંકુમાં અંકિત થયેલ છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 2 છે. શંકુની ઊંચાઈ શોધો. ઉકેલ. ચાલો h એ શંકુની ઊંચાઈ SH દર્શાવે છે. r = S/p સૂત્રમાંથી આપણી પાસે છે: 2 rp h, a જ્યાં r = 1, a = FG = 4, p = 2 સમીકરણ ઉકેલવાથી આપણને h 8 3 2h 2 મળે છે. 4 ક. 2 4 h, 2 વ્યાયામ 3 શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 1 ની બરાબર છે. જનરેટિક્સ 45°ના ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. શંકુની ઊંચાઈ SH બરાબર છે 1. જનરેટર.2 અર્ધ-પરિમિતિ p 1 ની બરાબર છે r = S/p સૂત્ર દ્વારા, આપણી પાસે r 1 1 જવાબ છે: r 2 1. 2 2 1. 2. વ્યાયામ 4 શંકુની ઊંચાઈ 8 છે, જે 10 ઉત્પન્ન કરે છે. અંકિત ગોળાઓની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા 6 છે. ત્રિકોણ SFG નું ક્ષેત્રફળ 48 છે, અર્ધ-પરિમિતિ 16 છે. સૂત્ર r = S/p નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે r = 3 છે. જવાબ: r = 3. વ્યાયામ 5 શું વલણવાળા શંકુમાં ગોળાને લખવું શક્ય છે? જવાબ: ના. કાપેલા શંકુમાં કોતરાયેલો ગોળાકાર કાપેલા શંકુમાં અંકિત થયેલો કહેવાય છે જો તે તેના પાયા અને બાજુની સપાટીને સ્પર્શે (દરેક જનરેટિક્સને સ્પર્શે). આ કિસ્સામાં, કાપેલા શંકુને ગોળાની આસપાસ પરિક્રમા કરવામાં આવે તેવું કહેવાય છે. જો એક વર્તુળ તેના અક્ષીય વિભાગમાં અંકિત કરી શકાય તો એક ગોળાને કાપેલા શંકુમાં અંકિત કરી શકાય છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલી હશે. વ્યાયામ 1 એક ગોળાને કાપેલા શંકુમાં અંકિત કરવામાં આવ્યો છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 2 અને 1 છે. ગોળાની ત્રિજ્યા અને કાપેલા શંકુની ઊંચાઈ શોધો. ઉકેલ. અમારી પાસે છે: A1B = A1O1= 2, A2B = A2O2= 1. તેથી, A1A2 = 3, A1C = 1. O 1O 2 A 2 C A1 A 2 A1 C 2 આમ, r 2, h 2 2. 2 2 2. વ્યાયામ 2 ત્રિજ્યા 1 નો ગોળા કાપેલા શંકુમાં અંકિત થયેલ છે, એક આધારની ત્રિજ્યા 2 છે. બીજા આધારની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. ચાલો A1O1= 2. ચાલો r = A2O2 સૂચવીએ. અમારી પાસે છે: A1A2 = 2+r, A1C = 2 – r. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, સમાનતા O 1 O 2 2 A1 A 2 2 A1 C 2 ધરાવે છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે 2 2 4 (r 2) (2 r) ધરાવે છે. r માટે પરિણામી સમીકરણની સમાનતાને ઉકેલતા, આપણે 1 r શોધીએ છીએ. 2 વ્યાયામ 3 કાપેલા શંકુમાં, મોટા પાયાની ત્રિજ્યા 2 છે, જનરેટિક્સ 60°ના ખૂણા પર આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. નોંધ કરો કે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ જેમાંથી કાપવામાં આવેલ શંકુ મેળવવામાં આવે છે તે બાજુ 2 સાથેનો સમભુજ ત્રિકોણ છે. કાપેલા શંકુમાં અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા r આ સમબાજુ ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે, એટલે કે. 3 આર. 3 વ્યાયામ 4 કાપેલા શંકુનું જનરેટિક્સ 2 છે, અક્ષીય વિભાગનું ક્ષેત્રફળ 3 છે. અંકિત ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. ચાલો r = S/p સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ, જ્યાં S એ અક્ષીય વિભાગ વિસ્તાર છે, p એ અર્ધ-પરિમિતિ છે. અમારા કિસ્સામાં, S = 3. અર્ધ-પરિમિતિ શોધવા માટે, યાદ કરો કે વર્તુળની ફરતે ઘેરાયેલા ચતુષ્કોણ માટે, વિરુદ્ધ બાજુઓના સરવાળો સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે અર્ધ-પરિમિતિ સિલિન્ડરના જનરેટિક્સના બમણા સમાન છે, એટલે કે. p = 4. તેથી, r = ¾. જવાબ: આર 3 4 . વ્યાયામ 5 શું કાપેલા ત્રાંસી શંકુમાં ગોળાને ફિટ કરવું શક્ય છે? જવાબ: ના. શંકુની આસપાસ ઘેરાયેલો ગોળો જો શંકુના પાયાનો શિરોબિંદુ અને પરિઘ ગોળા પર આવેલો હોય તો ગોળાને શંકુની પરિક્રમા કહેવાય છે. આ કિસ્સામાં, શંકુને ગોળાકારમાં કોતરેલ હોવાનું કહેવાય છે. શંકુની ફરતે ઘેરાયેલો ગોળાકાર કોઈપણ શંકુ (સીધો, ગોળાકાર) ની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે. તેનું કેન્દ્ર શંકુની ઊંચાઈ પર છે, અને તેની ત્રિજ્યા ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે, જે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ છે. ચાલો યાદ કરીએ કે ત્રિકોણની પરિક્રમા કરાયેલ વર્તુળની ત્રિજ્યા R એ સૂત્ર R a b c , 4S દ્વારા જોવા મળે છે જ્યાં S એ ક્ષેત્રફળ છે, a, b, c ત્રિકોણની બાજુઓ છે. વ્યાયામ 1 શંકુની આસપાસ એક ગોળાનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 1 છે અને જનરેટિક્સ 2 છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. ત્રિકોણ SAB એ બાજુ 2 સાથે સમભુજ છે. ઊંચાઈ SH 3 છે. S નો વિસ્તાર 3 છે. R = abc/4S સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આપણે R 2 3 3 મેળવીએ છીએ. વ્યાયામ 2 ત્રિજ્યા 5 ના ગોળાને શંકુની આસપાસ વર્ણવેલ છે જેની આધાર ત્રિજ્યા 4 છે. શંકુની ઊંચાઈ h શોધો. ઉકેલ. અમારી પાસે છે, OB = 5, HB = 4. તેથી, OH = 3. ધ્યાનમાં લેતા કે SO = OB = 5, આપણને h = 8 મળે છે. જવાબ: h = 8. વ્યાયામ 3 શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા બરાબર છે 1. જનરેટ્રિક્સ 45o કોણ હેઠળ આધારના સમતલ તરફ વળેલું છે. ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. ત્રિકોણ SAB એ લંબચોરસ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. પરિણામે, ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા R એ સિલિન્ડરના આધારની ત્રિજ્યા જેટલી છે, એટલે કે. R = 1. જવાબ: R = 1. વ્યાયામ 4 શંકુની ઊંચાઈ 8 છે, જે 10 બનાવે છે. ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. ત્રિકોણ SAB માં આપણી પાસે છે: SA = SB = 10, SH = 8. પાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા, AH = 6 અને તેથી S = 48. R = abc/4S સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણને R 25 6 મળે છે. વ્યાયામ 5 શું વલણવાળા શંકુની આસપાસના ગોળાનું વર્ણન કરવું શક્ય છે? જવાબ: હા. કાપેલા શંકુને ઘેરાયેલો ગોળો જો કાપેલા શંકુના પાયાના વર્તુળો ગોળા પર આવેલા હોય તો ગોળાને કાપેલા શંકુ વિશે પરિક્રમા કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, કાપેલા શંકુને ગોળાકારમાં કોતરેલ હોવાનું કહેવાય છે. એક ગોળાને કાપેલા શંકુની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે, જો વર્તુળ તેના અક્ષીય વિભાગની આસપાસ વર્ણવી શકાય. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા પરિક્રમિત ગોળાની ત્રિજ્યા જેટલી હશે. વ્યાયામ 1 એક ગોળાને કાપેલા શંકુની આસપાસ વર્ણવેલ છે, જેની ત્રિજ્યા 2 અને 1 ની બરાબર છે, અને જનરેટિક્સ 2 ની બરાબર છે. તેની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. નોંધ કરો કે A1O1B2O2 અને O1B1B2A2 સમચતુર્ભુજ છે. ત્રિકોણ A1O1A2, O1A2B2, O1B1B2 સમભુજ છે અને તેથી, A1B1 વ્યાસ છે. તેથી, R = 2. જવાબ: R = 2, વ્યાયામ 2 કાપેલા શંકુના નાના પાયાની ત્રિજ્યા 1 છે, જનરેટ્રીક્સ 2 છે અને બીજા આધારના સમતલ સાથે 45°નો ખૂણો બનાવે છે. ઘેરાયેલા ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. અમારી પાસે A2O2 = 1, A1A2 = 2, O1O2 = 2, OO1 = O1C = 1. તેથી, OO2 = 1 + 2 અને તેથી, R AO2 4 2 2. વ્યાયામ 3 કાપેલા શંકુના એક આધારની ત્રિજ્યા 4 છે. , ઊંચાઈ 7 છે, ત્રિજ્યા પરિક્રમિત ગોળાકાર 5. કાપેલા શંકુના બીજા પાયાની ત્રિજ્યા શોધો. ઉકેલ. અમારી પાસે OO1 = 3, OO2 = 4 છે અને તેથી O2A2 = 3. જવાબ: 3. વ્યાયામ 4 એક કાપેલા શંકુની આસપાસના ગોળાની ત્રિજ્યા શોધો જેની આધાર ત્રિજ્યા 2 અને 4 છે અને જેની ઊંચાઈ 5 છે. ઉકેલ. ચાલો R ને પરિક્રમિત ગોળાની ત્રિજ્યા દર્શાવો. પછી O O1 R 2 4 , OO2 R 2 1. ધ્યાનમાં લેતા કે O1O2 = 6, આપણી પાસે સમાનતા 5 R 2 4 R 2 1 છે. તેને R માટે ઉકેલવાથી, આપણને R 221 5 મળે છે. વ્યાયામ 5 શું કપાયેલા વળાંકવાળા શંકુની આસપાસના ગોળાનું વર્ણન કરવું શક્ય છે? જવાબ: ના.

ગોળ અને બોલ એ ગોળ એ અવકાશના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે આપેલ બિંદુથી આપેલ અંતરે છે. બિંદુ O ને ગોળાનું કેન્દ્ર કહેવામાં આવે છે. ગોળાના કેન્દ્રને ગોળાના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડતા કોઈપણ સેગમેન્ટને ગોળાની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે (R) સીધી રેખા AB ને અક્ષ કહેવામાં આવે છે, અને ગોળાની સાથે તેના આંતરછેદના બિંદુઓ A અને B ના ધ્રુવો છે. ગોળા ગોળાની તાર એ ગોળાના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ છે (KN) ગોળાના વ્યાસ તેના કેન્દ્ર (AB) R N Kમાંથી પસાર થતી તાર છે

બોલ બિંદુ O અને ત્રિજ્યા R પર કેન્દ્ર ધરાવતો દડો અવકાશના તમામ બિંદુઓનો સમૂહ છે જે બિંદુ O થી R કરતાં વધુ ન હોય તેવા અંતરે સ્થિત છે. A બોલ એ ગોળા દ્વારા બંધાયેલ શરીર છે. અર્ધવર્તુળને તેના નિશ્ચિત વ્યાસ (AB) પર ફેરવવાથી દડો બને છે, આ વ્યાસને દડાનો અક્ષ કહેવામાં આવે છે અને ઉલ્લેખિત વ્યાસના બંને છેડા દડાના ધ્રુવો છે. બોલની સપાટીને ગોળા કહે છે. આર એ બી

બોલ (ગોળા) ના ભાગને અમુક પ્લેન (ABC) દ્વારા કાપી નાખવામાં આવે છે તેને ગોળાકાર સેગમેન્ટ કહેવામાં આવે છે. વર્તુળ ABC ને ગોળાકાર સેગમેન્ટનો આધાર કહેવામાં આવે છે. વર્તુળ ABC ના કેન્દ્ર N થી ગોળાકાર સપાટી સાથેના આંતરછેદ સુધી દોરવામાં આવેલ લંબરૂપ સેગમેન્ટ MN ને ગોળાકાર સેગમેન્ટની ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ M ને ગોળાકાર ભાગનું શિરોબિંદુ કહેવામાં આવે છે. બોલ સેગમેન્ટ ફોર્મ્યુલા: V=1/3P 2 H(3R-H)

ગોળાકાર સ્તર બે સમાંતર સમતલ ABC અને DEF વચ્ચે બંધાયેલ ગોળાકાર સપાટીને ગોળાકાર સ્તર કહેવામાં આવે છે જેને ગોળાકાર સ્તર કહેવામાં આવે છે. ABC અને DEF વર્તુળો ગોળાકાર પટ્ટાના પાયા છે. ગોળાકાર પટ્ટાના પાયા વચ્ચેનું અંતર NK તેની ઊંચાઈ છે.

શંકુમાં અંકિત ગોળાને શંકુમાં કોતરવામાં આવેલો કહેવાય છે જો તે શંકુના તમામ ઘટકો અને તેના આધારને સ્પર્શે છે. તમે કોઈપણ શંકુમાં ગોળાને ફિટ કરી શકો છો. ગોળાનું કેન્દ્ર શંકુની ધરી પર આવેલું છે અને શંકુના અક્ષીય વિભાગમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. શંકુમાં અંકિત બોલની ત્રિજ્યા માટેના સૂત્રો: R - અંકિત બોલની ત્રિજ્યા, r - શંકુના પાયાની ત્રિજ્યા, l - શંકુના જનરેટિક્સની લંબાઈ, H - શંકુની ઊંચાઈ, A - ઝોકનો કોણ શંકુના જનરેટિક્સનો તેના આધાર સુધી. l H l r સૂત્રો: R=rtgA/2 R=Hr/(l+r) Lr R R O1 A A/2

સમસ્યા 1 સમસ્યા 1. ત્રિજ્યા r નો બોલ શંકુમાં અંકિત થયેલ છે. શંકુનું કદ શોધો જો તેની ઊંચાઈ h હોય. ઉકેલ: બોલ અને શંકુના આ સંયોજનનો અક્ષીય વિભાગ એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ PAB છે, જે કેન્દ્ર O અને ત્રિજ્યા R, PC = h – શંકુની ઊંચાઈ, OD PB સાથે વર્તુળની ફરતે ઘેરાયેલો છે. શંકુનું કદ ત્યારથી અથવા ક્યાંથી છે તેથી, જવાબ આપો:

સમસ્યા 2 ઊંચાઈ N નો શંકુ R ત્રિજ્યાના બોલમાં અંકિત થયેલ છે. શંકુના જનરેટ્રિક્સ અને પાયાના સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. બોલના ડાયમેટ્રિકલ વિભાગને ધ્યાનમાં લો, આકૃતિ b માં બતાવ્યા પ્રમાણે). જેમ તમે જાણો છો, સીધી રેખા અને વિમાન વચ્ચેનો ખૂણો એ આ સીધી રેખા અને આ સમતલ પરના તેના પ્રક્ષેપણ વચ્ચેનો ખૂણો છે. અમારા કિસ્સામાં, AB એ સીધી રેખા છે, અને AP એ પ્રક્ષેપણ છે. OR = BP-OV = H-R (જ્યાં H એ શંકુની ઊંચાઈ છે, R એ ગોળાની ત્રિજ્યા છે) જમણા ત્રિકોણ OAR પરથી, આપણે પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને લેગ AR નક્કી કરીએ છીએ: R H જવાબ: O

કોનાસ કોનાસ એ એક બિંદુ (કોનાસનું શિરોબિંદુ) માંથી નીકળતી તમામ કિરણોને જોડીને અને સપાટ સપાટી પરથી પસાર થઈને મેળવવામાં આવેલું શરીર છે. કેટલીકવાર કોનાસ એ આવા શરીરનો એક ભાગ હોય છે જે શિરોબિંદુ અને સપાટ સપાટીના બિંદુઓને જોડતા તમામ ભાગોને જોડીને મેળવવામાં આવે છે (આ કિસ્સામાં બાદમાંને કોનાસનો આધાર કહેવામાં આવે છે, અને કોનાને આ આધાર પર આરામ કહેવામાં આવે છે). જો કોનાસનો આધાર બહુકોણ હોય, તો કોના પિરામિડ બને છે. તેના એક પગની ફરતે કાટખૂણ ત્રિકોણ ફેરવીને બનાવેલ ભૌમિતિક શરીર

કોનાસના તત્વો અને ભાગો શિરોબિંદુ એ કોનાસ બનાવતા ફરતા જમણા ત્રિકોણના નિશ્ચિત તીવ્ર કોણ પર એક બિંદુ છે. આધાર એ શંકુને બંધાયેલું વર્તુળ છે, જે રચના ત્રિકોણના જંગમ પગ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતા પાયાના કાટખૂણે રહેલા સેગમેન્ટની ઊંચાઈ, રચતા ત્રિકોણનો નિશ્ચિત પગ તેમજ આ સેગમેન્ટની લંબાઈ. શિરોબિંદુને જોડતો એક સેગમેન્ટ અને આધારને બાંધતા વર્તુળ પરનો એક બિંદુ, પરિક્રમાકાર ત્રિકોણનું કર્ણાકાર બનાવે છે. બાજુની સપાટી શંકુને બાંધતી શંક્વાકાર સપાટી છે, જે ઉત્પન્ન થતા ત્રિકોણના કર્ણ દ્વારા રચાય છે. o p શંકુ ત્રિજ્યા એપેક્સ એક્સિસનો આધાર બનાવતી બાજુની સપાટી

કાપવામાં આવેલ શંકુ એક કાપવામાં આવેલ શંકુ એ પાયાની કાટખૂણે બાજુની બાજુમાં લંબચોરસ ટ્રેપેઝોઇડના પરિભ્રમણ દ્વારા રચાયેલી ક્રાંતિનું શરીર છે. વર્તુળો O અને O1 એ તેના પાયા છે, તેના ઘટકો AA1 એકબીજાના સમાન છે, સીધી રેખા OO1 એ ધરી છે, સેગમેન્ટ OO1 એ ઊંચાઈ છે. તેનો અક્ષીય ક્રોસ-સેક્શન આઇસોસેલ્સ ટ્રેપેઝોઇડ છે.

સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ ઉપરથી પાયાના સમતલ (તેમજ આવા સેગમેન્ટની લંબાઇ) સુધી લંબરૂપ રીતે પડેલા સેગમેન્ટને શંકુની ઊંચાઈ કહેવાય છે. આધારની ટોચ અને મધ્યને જોડતી સીધી રેખાને શંકુની ધરી કહેવામાં આવે છે. વર્તુળાકાર કોનાસ એક કોનસ જેનો આધાર વર્તુળ છે. લંબગોળ, પેરાબોલિક અથવા હાયપરબોલા પર આરામ કરતા શંકુને અનુક્રમે લંબગોળ, પેરાબોલિક અને હાઇપરબોલિક શંકુ કહેવામાં આવે છે (બાદના બે અનંત વોલ્યુમ ધરાવે છે). આધાર અને આધારની સમાંતર સમતલ વચ્ચે આવેલા શંકુનો ભાગ અને ટોચ અને આધારની વચ્ચે સ્થિત છે તેને કાપવામાં આવેલ શંકુ કહેવામાં આવે છે.

એક વર્તુળમાં કોતરેલ શંકુ એક બોલને બહુહેડ્રોન વિશે પરિક્રમિત કહેવામાં આવે છે, અને જો દડાની સપાટી પોલિહેડ્રોનના તમામ શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે તો દડામાં કોતરવામાં આવેલ પોલિહેડ્રોન કહેવાય છે. જો પાયાના વર્તુળો (બેઝ સર્કલ અને શિરોબિંદુ) બોલની સપાટી સાથે જોડાયેલા હોય તો બોલને કાપેલા શંકુ (શંકુ) વિશે ઘેરાયેલો કહેવામાં આવે છે. પોલિહેડ્રોનને ઘેરાયેલું દડાનું કેન્દ્ર પોલિહેડ્રોનની બધી કિનારીઓ પર લંબરૂપ વિમાનોના આંતરછેદ બિંદુ પર આવેલું છે અને તેમના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. તે અંદર, સપાટી પર અથવા પોલિહેડ્રોનની બહાર સ્થિત હોઈ શકે છે. શંકુને ગોળામાં અંકિત કરવામાં આવે છે (એક ગોળાને શંકુની આસપાસ વર્ણવવામાં આવે છે) જો તેનો શિરોબિંદુ ગોળાની સાથે સંબંધિત હોય અને તેનો આધાર આપેલ ગોળા દ્વારા બંધાયેલ ગોળાના વિભાગ (AOC) હોય તો ગોળાને હંમેશા શંકુની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે . તેનું કેન્દ્ર શંકુની ધરી પર આવેલું છે અને ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે એકરુપ છે, જે શંકુનો અક્ષીય વિભાગ છે. A B AC O સૂત્રો: R 2 =(H-R) 2 +r 2 બોલની R-ત્રિજ્યા શંકુના આધારની r-ત્રિજ્યા શંકુની H-ઊંચાઈ

વ્યાખ્યા.ગોળા કહેવાય છે સિલિન્ડરમાં લખેલું, શંકુ, કાપવામાં આવેલ શંકુ, જો સિલિન્ડર, શંકુ, કાપેલા શંકુના દરેક જનરેટિક્સ ગોળાની સ્પર્શક હોય અને સિલિન્ડર, શંકુ, કાપેલા શંકુના પાયાના દરેક પ્લેન આધારની અંદર પડેલા બિંદુ પર ગોળાને સ્પર્શે છે.

આ કિસ્સામાં, તેઓ કહે છે કે ગોળાની આસપાસ સિલિન્ડર, શંકુ અથવા કાપેલા શંકુનું વર્ણન કરવામાં આવ્યું છે.

પ્રમેય 1. શંકુમાં એક ગોળ કોતરેલ છે.

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે શંકુમાં ગોળાકાર લખી શકાય છે. આપણે જાણીએ છીએ કે શંકુ તેની ઊંચાઈમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વિભાગના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, તો જો આપણે સાબિત કરીએ કે આવા કોઈપણ વિભાગમાં વર્તુળ લખી શકાય છે (તમામ વર્તુળોનું કેન્દ્ર સમાન છે), તો આપણે સાબિત કરીશું કે વર્તુળ શંકુ ગોળામાં લખી શકાય છે.

શંકુની ઊંચાઈમાંથી પસાર થતા શંકુના એક વિભાગને ધ્યાનમાં લો.

શંકુનો ક્રોસ સેક્શન બેઝ BC સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ હશે. ઊંચાઈ OA પણ દ્વિભાજક હશે. તેથી, અંકિત વર્તુળ O 1 નું કેન્દ્ર OA પર સ્થિત હશે (એક વર્તુળ, જેમ જાણીતું છે, કોઈપણ ત્રિકોણમાં લખી શકાય છે). અને કારણ કે વિચારણા હેઠળના અન્ય તમામ વિભાગો ABC ની સમાન હશે, પરિણામે, અંકિત વર્તુળોના કેન્દ્રો એકરૂપ થશે. આનો અર્થ એ છે કે કેન્દ્ર O 1 અને ત્રિજ્યા O 1 સાથેના ગોળાને શંકુમાં અંકિત કરી શકાય છે.

પ્રમેય 2.ગોળાને સિલિન્ડરમાં અંકિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેની ઊંચાઈ પાયાના વ્યાસ જેટલી હોય.

અહીં આપણે એવા વિભાગોને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જે લંબચોરસ હશે. વર્તુળ ફક્ત ચોરસમાં જ લખી શકાય છે, તેથી શરત એ છે કે ઊંચાઈ પાયાના વ્યાસ જેટલી હોય.

પ્રમેય 3. એક ગોળાને કાપેલા શંકુમાં અંકિત કરી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેનું જનરેટિક્સ પાયાના ત્રિજ્યાના સરવાળા જેટલું હોય.

મુખ્ય કાર્યો.

કાર્ય 1.ત્રિજ્યા R સાથે બે સરખા બોલ છે, જે એકબીજાને બહારથી અને પ્લેનમાં સ્પર્શે છે. બોલ અને પ્લેનના સંપર્કના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ચાલો પ્લેન પર લંબરૂપ વિભાગને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના પર દડા પડેલા છે. આ દડા એકબીજાને સ્પર્શતા હોવાથી, એક પ્લેન છે જેને તેઓ K બિંદુ પર સ્પર્શે છે. આ પ્લેન પ્રથમ સમતલ પર લંબરૂપ હશે. તેથી, AO 1 K અને KO 2 B એ કાટખૂણો છે, અને તેથી ABO 2 O 1 એક લંબચોરસ છે. તેથી, AB=2R.

કાર્ય 2.ત્રિજ્યા R 1 અને R 2 વાળા બે બોલ પ્લેન પર પડેલા છે અને બહારથી સ્પર્શે છે. બોલ અને પ્લેનના સંપર્કના બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ચાલો પ્લેન પર લંબરૂપ વિભાગને ધ્યાનમાં લઈએ કે જેના પર દડા પડેલા છે. પોઈન્ટ A અને B એ બોલ અને પ્લેન વચ્ચેના સંપર્કના બિંદુઓ છે. ચાલો કાટખૂણે O 2 K ને AO 1 સુધી નીચે કરીએ. KO 1 = AO 1 -KA. જો આપણે ધ્યાનમાં લઈએ કે KA = O 2 B = R 2, અને O 1 O 2 = R 1+ R 2, તો પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ . અને KABO 2 એક લંબચોરસ હોવાથી, KA = AB, તેથી