એ) ઘટના વિશ્વસનીય છે, કારણ કે રશિયન ભાષામાં ફક્ત વ્યંજનોનો સમાવેશ કરતી કોઈ સંજ્ઞાઓ નથી. ઉકેલ. શબ્દો એક-અક્ષર, બે-અક્ષર અથવા ત્રણ-અક્ષરના હોઈ શકે છે

સંયોજનશાસ્ત્રમાં, તેઓ આપેલ વસ્તુઓ (તત્વો)માંથી ચોક્કસ પ્રકારના કેટલા સંયોજનો બનાવી શકાય તે અંગેના પ્રશ્નોનો અભ્યાસ કરે છે.

એક શાખા તરીકે સંયોજનશાસ્ત્રનો જન્મ જુગારના સિદ્ધાંત પર બી. પાસ્કલ અને પી. ફર્મેટના કાર્યો સાથે સંકળાયેલો છે. સંયુક્ત પદ્ધતિઓના વિકાસમાં એક મહાન યોગદાન જી.વી. લીબનીઝ, જે. બર્નૌલી અને એલ. યુલર.

ફ્રેન્ચ ફિલસૂફ, લેખક, ગણિતશાસ્ત્રી અને ભૌતિકશાસ્ત્રી બ્લેઈસ પાસ્કલ (1623-1662) એ તેમની ઉત્કૃષ્ટ ગાણિતિક ક્ષમતાઓ શરૂઆતમાં જ દર્શાવી હતી. પાસ્કલની ગાણિતિક રસની શ્રેણી ખૂબ જ વૈવિધ્યસભર હતી. પાસ્કલે એક વાત સાબિત કરી
પ્રોજેકટિવ ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેય (પાસ્કલનું પ્રમેય), એક સરવાળો મશીન (પાસ્કલનું એડીંગ મશીન) ડિઝાઇન કર્યું, દ્વિપદી ગુણાંક (પાસ્કલનો ત્રિકોણ) ગણવા માટેની પદ્ધતિ આપી, સાબિતી માટે ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિને સચોટ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરનાર અને લાગુ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ છે, અનંત વિશ્લેષણના વિકાસમાં નોંધપાત્ર પગલું ભર્યું, સંભાવના સિદ્ધાંતના ઉદભવમાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી. હાઇડ્રોસ્ટેટિક્સમાં, પાસ્કલે તેનો મૂળભૂત કાયદો (પાસ્કલનો કાયદો) સ્થાપિત કર્યો. પાસ્કલનું “લેટર્સ ટુ એ પ્રોવિન્સિયલ” ફ્રેન્ચ શાસ્ત્રીય ગદ્યની શ્રેષ્ઠ કૃતિ હતી.

ગોટફ્રાઈડ વિલ્હેમ લીબનીઝ (1646–1716) જર્મન ફિલસૂફ, ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી અને શોધક, વકીલ, ઈતિહાસકાર અને ભાષાશાસ્ત્રી હતા. ગણિતમાં, I. ન્યૂટન સાથે મળીને, તેમણે વિભેદક અને અભિન્ન કલન વિકસાવ્યું. તેમણે સંયોજનશાસ્ત્રમાં મહત્વપૂર્ણ યોગદાન આપ્યું હતું. તેનું નામ, ખાસ કરીને, સંખ્યા-સૈદ્ધાંતિક સમસ્યાઓ સાથે સંકળાયેલું છે.

ગોટફ્રાઈડ વિલ્હેમ લીબનિઝનો દેખાવ થોડો પ્રભાવશાળી હતો અને તેથી તે સાદા દેખાતા વ્યક્તિની છાપ આપી. પેરિસમાં એક દિવસ, તે પોતાના જાણતા ફિલસૂફનું પુસ્તક ખરીદવાની આશામાં એક પુસ્તકની દુકાનમાં ગયો. જ્યારે એક મુલાકાતીએ આ પુસ્તક વિશે પૂછ્યું, ત્યારે પુસ્તક વિક્રેતાએ, તેને માથાથી પગ સુધી તપાસીને, મજાકમાં કહ્યું: "તમારે તેની શા માટે જરૂર છે? શું તમે ખરેખર આવા પુસ્તકો વાંચવા સક્ષમ છો?" વૈજ્ઞાનિકને જવાબ આપવાનો સમય મળે તે પહેલાં, પુસ્તકના લેખક પોતે આ શબ્દો સાથે દુકાનમાં પ્રવેશ્યા: "ગ્રેટ લીબનીઝને શુભેચ્છાઓ અને આદર!" વેચનાર સમજી શક્યો નહીં કે આ ખરેખર પ્રખ્યાત લીબનીઝ છે, જેના પુસ્તકોની વૈજ્ઞાનિકોમાં ખૂબ માંગ હતી.

ભવિષ્યમાં, નીચેના મહત્વની ભૂમિકા ભજવશે

લેમ્મા.તત્વોના સમૂહમાં દો, અને સમૂહમાં - તત્વો. પછી તમામ અલગ-અલગ જોડીઓની સંખ્યા જ્યાં સમાન હશે.

પુરાવો.ખરેખર, સમૂહમાંથી એક તત્વ વડે આપણે આવી જુદી જુદી જોડી બનાવી શકીએ છીએ, અને કુલ તત્વોના સમૂહમાં.

પ્લેસમેન્ટ, ક્રમચયો, સંયોજનો

ચાલો આપણે ત્રણ તત્વોનો સમૂહ લઈએ. કઈ રીતે આપણે આમાંથી બે તત્વો પસંદ કરી શકીએ? .

વ્યાખ્યા.તત્વો દ્વારા વિવિધ તત્વોના સમૂહની ગોઠવણી એ સંયોજનો છે જે > તત્વો દ્વારા આપેલ તત્વોથી બનેલા હોય છે અને તે તત્વોમાં અથવા તત્વોના ક્રમમાં અલગ પડે છે.

તત્વો દ્વારા તત્વોના સમૂહની તમામ ગોઠવણોની સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ફ્રેન્ચ શબ્દ "વ્યવસ્થા" ના પ્રારંભિક અક્ષરથી, જેનો અર્થ વ્યવસ્થા થાય છે), ક્યાં અને .

પ્રમેય.તત્વો દ્વારા તત્વોના સમૂહની પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા બરાબર છે

પુરાવો.ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે તત્વો છે. શક્ય પ્લેસમેન્ટ થવા દો. અમે આ પ્લેસમેન્ટ ક્રમિક રીતે બનાવીશું. પ્રથમ, ચાલો પ્રથમ પ્લેસમેન્ટ તત્વ વ્યાખ્યાયિત કરીએ. ઘટકોના આપેલ સમૂહમાંથી તે વિવિધ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. પ્રથમ તત્વ પસંદ કર્યા પછી, હજુ પણ બીજા તત્વને પસંદ કરવાની રીતો છે, વગેરે. આવી દરેક પસંદગી નવી પ્લેસમેન્ટ આપે છે, તેથી આ બધી પસંદગીઓ મુક્તપણે એકબીજા સાથે જોડાઈ શકે છે. તેથી અમારી પાસે છે:

ઉદાહરણ.જો પાંચ રંગોમાં સામગ્રી હોય તો ધ્વજને વિવિધ રંગોની ત્રણ આડી પટ્ટાઓથી કેટલી રીતે બનાવી શકાય?

ઉકેલ.ત્રણ-બેન્ડ ફ્લેગોની આવશ્યક સંખ્યા:

વ્યાખ્યા.તત્વોના સમૂહનું ક્રમચય એ ચોક્કસ ક્રમમાં તત્વોની ગોઠવણી છે.

આમ, ત્રણ તત્વોના સમૂહના તમામ વિવિધ ક્રમચયો છે

તત્વોના તમામ ક્રમચયોની સંખ્યા સૂચવવામાં આવે છે (ફ્રેન્ચ શબ્દ "ક્રમચય" ના પ્રારંભિક અક્ષર પરથી, જેનો અર્થ થાય છે "ક્રમચય", "ચલન"). તેથી, તમામ વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે

ઉદાહરણ.ચેસબોર્ડ પર રુક્સને કેટલી રીતે મૂકી શકાય છે જેથી તેઓ એકબીજા પર હુમલો ન કરે?

ઉકેલ.રૂક્સની જરૂરી સંખ્યા

વ્યાખ્યા પ્રમાણે!

વ્યાખ્યા.તત્વો દ્વારા વિવિધ તત્વોના સંયોજનો એ સંયોજનો છે જે તત્વો દ્વારા આપેલ ઘટકોથી બનેલા હોય છે અને ઓછામાં ઓછા એક તત્વમાં ભિન્ન હોય છે (બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તત્વોના આપેલ સમૂહના -તત્વ સબસેટ્સ).

જેમ તમે જોઈ શકો છો, સંયોજનોમાં, પ્લેસમેન્ટથી વિપરીત, તત્વોનો ક્રમ ધ્યાનમાં લેવામાં આવતો નથી. તત્વોના તમામ સંયોજનોની સંખ્યા, દરેકમાં તત્વો, સૂચવવામાં આવે છે (ફ્રેન્ચ શબ્દ "સંયોજન" ના પ્રારંભિક અક્ષરમાંથી, જેનો અર્થ "સંયોજન" થાય છે).

સંખ્યાઓ

બે ના સમૂહમાંથી બધા સંયોજનો છે.

સંખ્યાઓના ગુણધર્મો (\sf C)_n^k

ખરેખર, આપેલ -તત્વ સમૂહનો દરેક -તત્વ સબસેટ એ જ સમૂહના એક અને માત્ર એક -તત્વ સબસેટને અનુલક્ષે છે.

ખરેખર, અમે નીચે પ્રમાણે તત્વોના સબસેટ્સ પસંદ કરી શકીએ છીએ: એક તત્વને ઠીક કરો; આ તત્વ ધરાવતા -તત્વ સબસેટની સંખ્યા બરાબર છે; આ તત્વ ધરાવતા ન હોય તેવા -તત્વ સબસેટની સંખ્યા બરાબર છે.

પાસ્કલનો ત્રિકોણ

આ ત્રિકોણમાં, દરેક પંક્તિની આત્યંતિક સંખ્યાઓ 1 ની બરાબર છે, અને દરેક બિન-આત્યંતિક સંખ્યા અગાઉની પંક્તિની તેની ઉપરની બે સંખ્યાઓના સરવાળા જેટલી છે. આમ, આ ત્રિકોણ તમને સંખ્યાઓની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રમેય.

પુરાવો.ચાલો તત્વોના સમૂહને ધ્યાનમાં લઈએ અને નીચેની સમસ્યાને બે રીતે હલ કરીએ: આપેલ તત્વોમાંથી કેટલા ક્રમ બનાવી શકાય.
સેટ કે જેમાં દરેકમાં કોઈ તત્વ બે વાર થતું નથી?

1 રસ્તો. અમે ક્રમના પ્રથમ સભ્યને પસંદ કરીએ છીએ, પછી બીજા, ત્રીજા, વગેરે. સભ્ય

પદ્ધતિ 2. ચાલો પહેલા આપેલ સમૂહમાંથી તત્વો પસંદ કરીએ, અને પછી તેમને અમુક ક્રમમાં ગોઠવીએ

આ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો આનાથી ગુણાકાર કરો:

ઉદાહરણ.રમત "સ્પોર્ટલોટો" માં તમે 36 માંથી 5 નંબરો કેટલી રીતે પસંદ કરી શકો છો?

જરૂરી સંખ્યામાં માર્ગો

કાર્યો.

1. કાર લાઇસન્સ પ્લેટમાં રશિયન મૂળાક્ષરના 3 અક્ષરો (33 અક્ષરો) અને 4 નંબરો હોય છે. કેટલા અલગ અલગ લાયસન્સ પ્લેટ નંબરો છે?
2. પિયાનો પર 88 કી છે. તમે ક્રમશઃ 6 ધ્વનિ કેટલી રીતે ઉત્પન્ન કરી શકો છો?
3. 5 વડે ભાગી શકાય તેવી છ-અંકની સંખ્યાઓ કેટલી છે?
4. ત્રણ ખિસ્સામાં 7 જુદા જુદા સિક્કા કેટલી રીતે મૂકી શકાય?
5. તમે કેટલી પાંચ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો જેના દશાંશ સંકેતમાં ઓછામાં ઓછો એક વખત 5 અંક હોય?
6. એક ગોળ ટેબલ પર 20 લોકોને કેટલી રીતે બેસાડી શકાય છે, જો તેઓને એક વર્તુળમાં ખસેડીને બીજામાંથી એક મેળવી શકાય છે, તો તે માર્ગો સમાન છે?
7. એવી કેટલી પાંચ-અંકની સંખ્યાઓ છે જે 5 વડે વિભાજ્ય છે અને તેમાં સમાન અંકો નથી?
8. 1 સે.મી.ની કોષ બાજુવાળા ચેકર્ડ કાગળ પર, 100 સે.મી.ની ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દોરવામાં આવે છે જે કોષોની ટોચ પરથી પસાર થતું નથી અને કોષોની બાજુઓને સ્પર્શતું નથી. આ વર્તુળ કેટલા કોષોને છેદે છે?
9. સંખ્યાઓને એક પંક્તિમાં કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય જેથી સંખ્યાઓ અડીને અને ચડતા ક્રમમાં હોય?
10. જો દરેક અંક માત્ર એક જ વાર વાપરી શકાય તો અંકોમાંથી કેટલી પાંચ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?
11. ROT શબ્દમાંથી, અક્ષરોને ફરીથી ગોઠવીને, તમે નીચેના શબ્દો મેળવી શકો છો: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. તેમને એનાગ્રામ કહેવામાં આવે છે. LOGARITHM શબ્દમાંથી તમે કેટલા એનાગ્રામ બનાવી શકો છો?
12. ચાલો ફોન કરીએ વિભાજનકુદરતી સંખ્યા, કુદરતી સંખ્યાઓના સરવાળા તરીકે તેનું પ્રતિનિધિત્વ. અહીં, ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાના તમામ પાર્ટીશનો છે:

પાર્ટીશનોને અલગ ગણવામાં આવે છે જો તે સંખ્યાઓમાં અથવા તેમની શરતોના ક્રમમાં અલગ હોય.

પદોમાં સંખ્યાના કેટલા અલગ અલગ પાર્ટીશનો છે?
13. બિન-વધતા અંક ક્રમ સાથે કેટલી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ છે?
14. બિન-વધતા અંક ક્રમ સાથે કેટલી ચાર-અંકની સંખ્યાઓ છે?
15. 17 લોકોને એક પંક્તિમાં કેટલી રીતે બેસાડી શકાય છે જેથી તેઓ એકસાથે થઈ જાય?
16. છોકરીઓ અને છોકરાઓ સીટોની પંક્તિમાં અવ્યવસ્થિત રીતે બેઠા છે. બે છોકરીઓ એકબીજાની બાજુમાં ન બેસે તે રીતે તેઓને કેટલી રીતે બેસાડી શકાય?
17. છોકરીઓ અને છોકરાઓ સીટોની પંક્તિમાં અવ્યવસ્થિત રીતે બેઠા છે. બધી છોકરીઓ એકબીજાની બાજુમાં બેસે તે રીતે તેઓને કેટલી રીતે બેસાડી શકાય?

પુનઃ ગોઠવણો. ક્રમચયોની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર

થી ક્રમચય n તત્વો

સેટ થવા દો એક્સસમાવે છે n તત્વો

વ્યાખ્યા. થી પુનરાવર્તન વિના પ્લેસમેન્ટn સમૂહના તત્વોએક્સ દ્વારા n કહેવાય છે માંથી ક્રમચય n તત્વો

નોંધ કરો કે કોઈપણ ક્રમચયમાં સમૂહના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છેએક્સ , અને બરાબર એકવાર. એટલે કે, ક્રમચયો માત્ર તત્વોના ક્રમમાં એક બીજાથી અલગ પડે છે અને તત્વોના ક્રમચય દ્વારા એક બીજાથી મેળવી શકાય છે (તેથી નામ).

થી તમામ ક્રમચયોની સંખ્યાn તત્વો પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે .

કારણ કે ક્રમચયો એ પુનરાવર્તન વિના પ્લેસમેન્ટનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે જ્યારે , પછી નંબર શોધવા માટેનું સૂત્ર આપણે ફોર્મ્યુલા (2)માંથી મેળવીએ છીએ, તેને બદલીને :

આમ,

(3)

ઉદાહરણ. એક શેલ્ફ પર 5 પુસ્તકો કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

ઉકેલ. પુસ્તકોને શેલ્ફ પર મૂકવાની ઘણી રીતો છે કારણ કે પાંચ તત્વોના વિવિધ ક્રમચયો છે:માર્ગો

ટિપ્પણી. ફોર્મ્યુલા (1)-(3) ને યાદ રાખવાની જરૂર નથી: તેમની એપ્લિકેશનને લગતી સમસ્યાઓ હંમેશા ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. જો વિદ્યાર્થીઓને સમસ્યાઓના સંયોજક મોડલ બનાવવામાં સમસ્યા હોય, તો ઉપયોગમાં લેવાતા સૂત્રો અને નિયમોના સમૂહને સંકુચિત કરવાનું વધુ સારું છે (જેથી ભૂલો માટે ઓછી તક હોય). સાચું, ક્રમચયો અને સૂત્ર (3) નો ઉપયોગ કરતી સમસ્યાઓ સામાન્ય રીતે કોઈપણ સમસ્યા વિના હલ થાય છે.

કાર્યો

1. F. તેઓ ટિકિટ ઓફિસ પર કેટલી રીતે લાઇનમાં ઊભા રહી શકે છે: 1) 3 લોકો; 2) 5 લોકો?

ઉકેલ.

કતારમાં n લોકોની ગોઠવણી માટેના વિવિધ વિકલ્પો એક બીજાથી માત્ર એ ક્રમમાં જ અલગ પડે છે કે જે ક્રમમાં લોકોને ગોઠવવામાં આવે છે, એટલે કે, તેઓ n તત્વોના વિવિધ ક્રમચયો છે.

ત્રણ લોકો P3 = 3 કતાર કરી શકે છે! = 6 અલગ અલગ રીતે.

જવાબ: 1) 6 માર્ગો; 2) 120 માર્ગો.

2. T. ચાર સીટવાળી બેન્ચ પર 4 લોકો કેટલી રીતે બેસી શકે છે?

ઉકેલ.

લોકોની સંખ્યા બેન્ચ પરની બેઠકોની સંખ્યા જેટલી છે, તેથી પ્લેસમેન્ટ વિકલ્પોની સંખ્યા 4 તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી છે: P4 = 4! = 24.

તમે ઉત્પાદનના નિયમ અનુસાર તર્ક કરી શકો છો: પ્રથમ વ્યક્તિ માટે તમે 4માંથી કોઈપણ સ્થાન પસંદ કરી શકો છો, બીજા માટે - બાકીના 3 માંથી કોઈપણ, ત્રીજા માટે - બાકીના 2 માંથી કોઈપણ, છેલ્લું વ્યક્તિ 1 બાકીની જગ્યા લેશે. ; ત્યાં બધું છે = ચાર સીટર બેન્ચ પર 4 લોકોને બેસવાની 24 અલગ અલગ રીતો.

જવાબ: 24 રીતો.

3. M. વોવાના લંચ માટે - પ્રથમ, બીજો, ત્રીજો અભ્યાસક્રમ અને કેક. તે ચોક્કસપણે કેકથી શરૂઆત કરશે, અને બાકીનું રેન્ડમ ક્રમમાં ખાશે. સંભવિત લંચ વિકલ્પોની સંખ્યા શોધો.

M- પાઠ્યપુસ્તકમાંથી સમસ્યાઓ. એજી મોર્ડકોવિચ દ્વારા માર્ગદર્શિકા

ટી - એડ. S.A.Telyakovsky

F- M.V. Tkacheva

ઉકેલ.

કેક પછી, વોવા ત્રણમાંથી કોઈપણ વાનગી પસંદ કરી શકે છે, પછી બે, અને બાકીની સાથે સમાપ્ત કરી શકે છે. સંભવિત લંચ વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા: =6.

જવાબ: 6.

4. F. વાક્યમાં શબ્દોનો ક્રમ બદલીને કેટલા જુદા જુદા સાચા (રશિયન ભાષાના દૃષ્ટિકોણથી) શબ્દસમૂહો બનાવી શકાય છે: 1) “હું ફરવા ગયો”; 2) "બિલાડી યાર્ડમાં ચાલે છે"?

ઉકેલ.

બીજા વાક્યમાં, પૂર્વનિર્ધારણ "in" હંમેશા તે સંજ્ઞા "યાર્ડ" ની પહેલા આવવું જોઈએ જેનો તે ઉલ્લેખ કરે છે. તેથી, "યાર્ડમાં" જોડીને એક શબ્દ તરીકે ગણીને, તમે ત્રણ શરતી શબ્દોના વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા શોધી શકો છો: P3 = 3! = 6. આમ, આ કિસ્સામાં, તમે 6 સાચા વાક્યો બનાવી શકો છો.

જવાબ: 1) 6; 2) 6.

5. ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓને નિયુક્ત કરવા માટે તમે K, L, M, H અક્ષરોનો કેટલી રીતે ઉપયોગ કરી શકો છો?

ઉકેલ.

અમે ધારીશું કે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ ક્રમાંકિત છે, દરેક સ્થિર સંખ્યા સાથે. પછી સમસ્યા 4 સ્થાનો (શિરોબિંદુઓ) પર 4 અક્ષરોને ગોઠવવાની વિવિધ રીતોની સંખ્યાની ગણતરીમાં આવે છે, એટલે કે, વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યાની ગણતરી: P4 = 4! =24 માર્ગો.

જવાબ: 24 રીતો.

6. F. ચાર મિત્રોએ સિનેમાની ટિકિટો ખરીદી: પ્રથમ હરોળમાં 1લી અને 2જી સીટ માટે અને બીજી હરોળમાં 1લી અને 2જી સીટ માટે. મિત્રો સિનેમામાં આ 4 બેઠકો કેટલી રીતે લઈ શકે?

ઉકેલ.

ચાર મિત્રો 4 અલગ અલગ જગ્યાઓ લઈ શકે છે P4 = 4! = 24 અલગ અલગ રીતે.

જવાબ: 24 રીતો.

7. T. કુરિયરે 7 અલગ-અલગ સંસ્થાઓને પેકેજો પહોંચાડવાના રહેશે. તે કેટલા માર્ગો પસંદ કરી શકે છે?

ઉકેલ.

રૂટને તે ક્રમ તરીકે સમજવો જોઈએ કે જેમાં કુરિયર સંસ્થાઓની મુલાકાત લે છે. ચાલો સંસ્થાઓને 1 થી 7 સુધીની સંખ્યા કરીએ, પછી રૂટને 7 સંખ્યાઓના ક્રમ તરીકે દર્શાવવામાં આવશે, જેનો ક્રમ બદલાઈ શકે છે. રૂટની સંખ્યા 7 તત્વોના ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી છે: P7= 7! = 5,040.

જવાબ: 5,040 રૂટ.

8. T. કેટલા સમીકરણો છે જે ઉત્પાદન abcde સમાન છે, જે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવીને તેમાંથી મેળવવામાં આવે છે?

ઉકેલ.

પાંચ અલગ-અલગ પરિબળો abcdeનું ઉત્પાદન આપેલ છે, જેનો ક્રમ બદલાઈ શકે છે (જ્યારે પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવામાં આવે છે, ત્યારે ઉત્પાદન બદલાતું નથી).

કુલ P5 = 5 છે! = 120 પાંચ ગુણકને ગોઠવવાની વિવિધ રીતો; અમે તેમાંથી એક (abcde) ને મૂળ ગણીએ છીએ, બાકીના 119 અભિવ્યક્તિઓ આના સમાન છે.

જવાબ: 119 અભિવ્યક્તિઓ.

9. ટી. ઓલ્ગાને યાદ છે કે તેના મિત્રનો ફોન નંબર 5, 7, 8 નંબરો સાથે સમાપ્ત થાય છે, પરંતુ તે ભૂલી ગઈ છે કે આ નંબરો કયા ક્રમમાં દેખાય છે. તેણીએ તેના મિત્ર સુધી પહોંચવા માટે કયા વિકલ્પોમાંથી પસાર થવું પડશે તેની સૌથી વધુ સંખ્યા સૂચવો.

ઉકેલ.

ટેલિફોન નંબરના છેલ્લા ત્રણ અંકો P3 =3 માંથી એકમાં સ્થિત થઈ શકે છે! =6 શક્ય ઓર્ડર, જેમાંથી માત્ર એક જ સાચો છે. ઓલ્ગા તરત જ સાચો વિકલ્પ ટાઈપ કરી શકે છે, તે તેને ત્રીજો ટાઈપ કરી શકે છે, વગેરે. જો સાચો વિકલ્પ છેલ્લો, એટલે કે છઠ્ઠો નીકળે તો તેણે સૌથી વધુ વિકલ્પો ટાઈપ કરવા પડશે.

જવાબ: 6 વિકલ્પો.

10. T. સંખ્યાઓમાંથી કેટલી છ-અંકની સંખ્યાઓ (સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન કર્યા વિના) બનાવી શકાય છે: a) 1,2, 5, 6, 7, 8; b) 0, 2, 5, 6, 7, 8? ઉકેલ.

a) 6 અંકો આપેલ છે: 1, 2, 5, 6, 7, 8, તેમાંથી તમે આ અંકોને ફરીથી ગોઠવીને જ વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકો છો. વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા P6 = 6 બરાબર છે! = 720.

b) આપેલ 6 અંકો: 0, 2, 5, 6, 7, 8, તેમાંથી તમારે વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવવાની જરૂર છે. અગાઉની સમસ્યાથી તફાવત એ છે કે શૂન્ય પ્રથમ આવી શકતું નથી.

તમે ઉત્પાદનનો નિયમ સીધો લાગુ કરી શકો છો: તમે પ્રથમ સ્થાન માટે 5 અંકોમાંથી કોઈપણ (શૂન્ય સિવાય) પસંદ કરી શકો છો; બીજા સ્થાને - બાકીના 5 અંકોમાંથી કોઈપણ (4 "બિન-શૂન્ય" છે અને હવે આપણે શૂન્ય ગણીએ છીએ); ત્રીજા સ્થાને - પ્રથમ બે પસંદગીઓ વગેરે પછી બાકી રહેલા 4 અંકોમાંથી કોઈપણ. વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા છે: = 600.

તમે બિનજરૂરી વિકલ્પોને દૂર કરવાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકો છો. 6 અંકોને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે P6 = 6! = 720 અલગ અલગ રીતે. આ પદ્ધતિઓમાં તે હશે જેમાં પ્રથમ સ્થાન શૂન્ય છે, જે અસ્વીકાર્ય છે. ચાલો આ અમાન્ય વિકલ્પોની સંખ્યા ગણીએ. જો પ્રથમ સ્થાને શૂન્ય હોય (તે નિશ્ચિત છે), તો પછીના પાંચ સ્થાનોમાં "બિન-શૂન્ય" નંબરો 2, 5, 6, 7, 8 કોઈપણ ક્રમમાં હોઈ શકે છે જેમાં 5 સંખ્યાઓ અલગ અલગ હોય છે 5 જગ્યાએ મૂકી શકાય છે P5 = 5 બરાબર છે! = 120, એટલે કે શૂન્યથી શરૂ થતી સંખ્યાઓના ક્રમચયોની સંખ્યા 120 છે. આ કિસ્સામાં વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓની આવશ્યક સંખ્યા સમાન છે: P6 - P5 = 720 - 120 = 600.

જવાબ: a) 720; b) 600 નંબરો.

11. T. સંખ્યાઓ 3, 5, 7, 9 થી બનેલી ચાર-અંકની સંખ્યાઓમાંથી કેટલી (સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન કર્યા વિના) તે છે જે: a) નંબર 3 થી શરૂ થાય છે;

b) 15 ના ગુણાંક છે?

ઉકેલ.

a) 3, 5, 7, 9 નંબરોમાંથી આપણે 3 નંબરથી શરૂ થતી ચાર-અંકની સંખ્યાઓ બનાવીએ છીએ.

અમે પ્રથમ સ્થાને નંબર 3 ને ઠીક કરીએ છીએ; પછી બાકીના ત્રણ પરનંબરો 5, 7 9 કોઈપણ ક્રમમાં કોઈપણ ક્રમમાં મૂકી શકાય છે તેમના સ્થાન માટેના વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા P ની બરાબર છે 3 = 3!=6. આટલી બધી જુદી જુદી ચાર-અંકની સંખ્યાઓ બનેલી હશેઆપેલ નંબરો અને નંબર 3 થી શરૂ થાય છે.

b) નોંધ કરો કે આ અંકોનો સરવાળો 3 + 5 + 7 + 9 = 24 એ 3 વડે વિભાજ્ય છે, તેથી, આ અંકોની બનેલી કોઈપણ ચાર-અંકની સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય છે. આમાંની કેટલીક સંખ્યાઓ વિભાજ્ય હોય તે માટે 15 સુધીમાં, તે જરૂરી છે જેથી તેઓ નંબર 5 સાથે સમાપ્ત થાય.

અમે છેલ્લા સ્થાને નંબર 5 ને ઠીક કરીએ છીએ; બાકીના 3 અંકો 5 Рз = 3 ની સામે ત્રણ જગ્યાએ મૂકી શકાય છે! = 6 અલગ અલગ રીતે. આ સંખ્યાઓથી બનેલી ઘણી બધી વિવિધ ચાર-અંકની સંખ્યાઓ હશે જે 15 વડે વિભાજ્ય છે.

જવાબ: a) 6 સંખ્યાઓ; b) 6 સંખ્યા.

12. T. તમામ ચાર-અંકની સંખ્યાઓના અંકોનો સરવાળો શોધો જે 1, 3, 5, 7 (તેને પુનરાવર્તિત કર્યા વિના) નંબરોમાંથી બનાવી શકાય છે.

ઉકેલ.

1, 3, 5, 7 (પુનરાવર્તન વિના) અંકોથી બનેલી દરેક ચાર-અંકની સંખ્યા 1 + 3 + 5 + 7 = 16 સમાન અંકોનો સરવાળો ધરાવે છે.

આ સંખ્યાઓમાંથી તમે P4 = 4 બનાવી શકો છો! = 24 વિવિધ સંખ્યાઓ, માત્ર અંકોના ક્રમમાં અલગ. આ તમામ સંખ્યાઓના અંકોનો સરવાળો બરાબર થશે

16 = 384.

જવાબ: 384.

13. ટી. સાત છોકરાઓ, જેમાં ઓલેગ અને ઇગોરનો સમાવેશ થાય છે, એક પંક્તિમાં ઊભા છે. સંભવિત સંયોજનોની સંખ્યા શોધો જો:

એ) ઓલેગ પંક્તિના અંતે હોવો જોઈએ;

b) ઓલેગ પંક્તિની શરૂઆતમાં હોવો જોઈએ, અને ઇગોર પંક્તિના અંતમાં હોવો જોઈએ;

c) ઓલેગ અને ઇગોર એકબીજાની બાજુમાં ઊભા રહેવું જોઈએ.
ઉકેલ.

a) 7 જગ્યાએ ફક્ત 7 છોકરાઓ છે, પરંતુ એક તત્વ નિશ્ચિત છે અને તેને ફરીથી ગોઠવી શકાતું નથી (ઓલેગ પંક્તિના અંતે છે). સંભવિત સંયોજનોની સંખ્યા ઓલેગની સામે ઉભેલા 6 છોકરાઓના ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી છે: P6=6!=720.

એક તત્વ તરીકે જોડી, અન્ય પાંચ તત્વો સાથે ફરીથી ગોઠવો. સંભવિત સંયોજનોની સંખ્યા પછી P6 = 6 હશે! = 720.

ઓલેગ અને ઇગોરને હવે IO ક્રમમાં સાથે ઊભા રહેવા દો. પછી આપણને બીજું P6 = 6 મળે છે! = 720 અન્ય સંયોજનો.

સંયોજનોની કુલ સંખ્યા જેમાં ઓલેગ અને ઇગોર એકબીજાની બાજુમાં છે (કોઈપણ ક્રમમાં) 720 + 720 = 1,440 છે.

જવાબ: a) 720; b) 120; c) 1,440 સંયોજનો.

14. M. અગિયાર ફૂટબોલ ખેલાડીઓ મેચની શરૂઆત પહેલા લાઇનમાં ઉભા છે. પ્રથમ કેપ્ટન છે, બીજો ગોલકીપર છે અને બાકીના રેન્ડમ છે. બાંધકામની કેટલી પદ્ધતિઓ છે?

ઉકેલ.

કેપ્ટન અને ગોલકીપર પછી, ત્રીજો ખેલાડી 9 બાકીના સ્થાનોમાંથી કોઈપણ પસંદ કરી શકે છે, 8 માંથી પછીનું, વગેરે. ઉત્પાદન નિયમનો ઉપયોગ કરીને બાંધકામ પદ્ધતિઓની કુલ સંખ્યા બરાબર છે:

1 =362,880, અથવા P 9 = 9! = 362,880.

જવાબ: 362,880.

15. M. A, B, C, D, E, F, G, K અક્ષરો દ્વારા ક્યુબના શિરોબિંદુઓને કેટલી રીતે નિયુક્ત કરી શકાય?

ઉકેલ.

પ્રથમ શિરોબિંદુ માટે તમે 8 અક્ષરોમાંથી કોઈપણ પસંદ કરી શકો છો, બીજા માટે - બાકીના 7માંથી કોઈપણ, વગેરે. ઉત્પાદનના નિયમ અનુસાર કુલ માર્ગોની સંખ્યા છે.=40 320, અથવા P8 = 8!

જવાબ: 40,320.

16. T. સોમવારના સમયપત્રકમાં છ પાઠ છે: બીજગણિત, ભૂમિતિ, જીવવિજ્ઞાન, ઇતિહાસ, શારીરિક શિક્ષણ, રસાયણશાસ્ત્ર. તમે આ દિવસ માટે પાઠનું શેડ્યૂલ કેટલી રીતે બનાવી શકો છો જેથી બે ગણિતના પાઠ એકબીજાની બાજુમાં હોય?

ઉકેલ.

કુલ 6 પાઠ છે, જેમાંથી બે ગણિતના પાઠ એકબીજાની બાજુમાં હોવા જોઈએ.

અમે બે તત્વો (બીજગણિત અને ભૂમિતિ) ને પહેલા AG ક્રમમાં, પછી GA ક્રમમાં "ગુંદર" કરીએ છીએ. દરેક "ગ્લુઇંગ" વિકલ્પ માટે આપણને P5 = 5 મળે છે! = 120 શેડ્યૂલ વિકલ્પો. શેડ્યૂલ બનાવવાની કુલ રીતોની સંખ્યા 120 (AG) +120 (GA) = 240 છે.

જવાબ: 240 રીતો.

17. T. "શંકુ" શબ્દના અક્ષરોના કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં K, O, N અક્ષરો એકબીજાની બાજુમાં છે?

ઉકેલ.

5 અક્ષરો આપ્યા છે, જેમાંથી ત્રણ એકબીજાની બાજુમાં હોવા જોઈએ. K, O, N ત્રણ અક્ષરો P3 = 3 માંથી એકની બાજુમાં ઊભા રહી શકે છે! = 6 માર્ગો. K, O, N અક્ષરોને "ગ્લુઇંગ" કરવાની દરેક પદ્ધતિ માટે, આપણને P3 = 3 મળે છે! = અક્ષરોને ક્રમચય આપવાની 6 રીતો, "ગ્લુઇંગ", U, S. શબ્દ "શંકુ" ના અક્ષરોના વિવિધ ક્રમચયોની કુલ સંખ્યા, જેમાં K, O, N અક્ષરો એકબીજાની બાજુમાં છે, 6 6 = 36 છે ક્રમચયો - એનાગ્રામ.

જવાબ: 36 એનાગ્રામ.

18. T. થિયેટરમાં એક જ પંક્તિમાં 5 છોકરાઓ અને 5 છોકરીઓ કેટલી રીતે 1 થી 10 સુધીની બેઠકો પર કબજો કરી શકે છે? જો છોકરાઓ એકી-સંખ્યાવાળી બેઠકો પર અને છોકરીઓ સમ-સંખ્યાવાળી બેઠકો પર બેસે તો તેઓ આ કેટલી રીતે કરી શકે?

ઉકેલ.

છોકરાઓની ગોઠવણી માટેના દરેક વિકલ્પને છોકરીઓના દરેક ગોઠવણ વિકલ્પો સાથે જોડી શકાય છે, તેથી, ઉત્પાદનના નિયમ અનુસાર, આ કિસ્સામાં બાળકોને બેસવાની કુલ રીતોની સંખ્યા 120 છે. 20= 14400.

જવાબ: 3,628,800 માર્ગો; 14,400 માર્ગો.

19. T. પાંચ છોકરાઓ અને ચાર છોકરીઓ નવ સીટર બેન્ચ પર બેસવા માંગે છે જેથી દરેક છોકરી બે છોકરાઓ વચ્ચે બેસે. તેઓ આ કેટલી રીતે કરી શકે છે?

ઉકેલ.

કાર્યની શરતો અનુસાર, છોકરાઓ અને છોકરીઓએ વૈકલ્પિક હોવું આવશ્યક છે, એટલે કે, છોકરીઓ ફક્ત સમ-સંખ્યાવાળી જગ્યાઓ પર બેસી શકે છે, અને છોકરાઓ માત્ર એકી-સંખ્યાવાળી જગ્યાઓ પર બેસી શકે છે. તેથી, છોકરીઓ ફક્ત છોકરીઓ સાથે સ્થાન બદલી શકે છે, અને છોકરાઓ ફક્ત છોકરાઓ સાથે સ્થાન બદલી શકે છે. ચાર સરખી જગ્યાએ ચાર છોકરીઓને બેસાડી શકાય છે P4 = 4! = 24 માર્ગો, અને પાંચ છોકરાઓ પાંચ વિચિત્ર જગ્યાએ P5 = 5! = 120 માર્ગો.

છોકરીઓને મૂકવાની દરેક રીતને છોકરાઓને મૂકવાની દરેક રીત સાથે જોડી શકાય છે, તેથી, ઉત્પાદનના નિયમ અનુસાર, રીતોની કુલ સંખ્યા બરાબર છે: P420 = 2,880 માર્ગો.

જવાબ: 2,880 રીતો.

20. F. સંખ્યાઓ 30 અને 210 ને અવિભાજ્ય અવયવોમાં પરિબળ કરો. 2) 210?

ઉકેલ.

ચાલો આ સંખ્યાઓને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ:

30 = 2 ; 210 = 2 .

30 નંબરને અવિભાજ્ય પરિબળોના ગુણાંક તરીકે લખી શકાય છે

આર 3 = 3! = 6 અલગ અલગ રીતે (ફરીથી ગોઠવણના પરિબળો દ્વારા).

સંખ્યા 210 ને પ્રાઇમ્સના ગુણાંક તરીકે લખી શકાય છે
ગુણકઆર 4 = 4! = 24 અલગ અલગ રીતે.

જવાબ: 1) 6 માર્ગો; 2) 24 માર્ગો.

21. F. સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 5 નો ઉપયોગ કરીને બિન-પુનરાવર્તિત અંકો સાથે કેટલી અલગ-અલગ ચાર-અંકની સંખ્યાઓ લખી શકાય છે?

ઉકેલ.

કોઈ સંખ્યા સમ હોય તે માટે, તે એક સમાન અંક સાથે સમાપ્ત થવી જોઈએ, એટલે કે 2. ચાલો બેને છેલ્લા સ્થાને ઠીક કરીએ, બાકીના ત્રણ અંકો કોઈપણ ક્રમમાં તેની સામે દેખાવા જોઈએ. 3 અંકોના વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા P3 = 3 છે! = 6; તેથી, 6 અલગ-અલગ ચાર-અંકની સંખ્યાઓ પણ હશે (નંબર 2 ત્રણ અંકોના દરેક ક્રમચયમાં ઉમેરવામાં આવે છે).

જવાબ: 6 સંખ્યા.

22. F. સંખ્યા 1,2, 4, 6, 8 નો ઉપયોગ કરીને કેટલી વિવિધ વિચિત્ર પાંચ-અંકની સંખ્યાઓ કે જેમાં સમાન અંકો નથી લખી શકાય?

ઉકેલ.

બનેલી સંખ્યા બેકી હોવા માટે, તે એક વિષમ અંક સાથે સમાપ્ત થવી જોઈએ, એટલે કે એક. બાકીના 4 અંકોને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે, દરેક પુન: ગોઠવણીને એકમ પહેલાં મૂકીને.

વિષમ પાંચ-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા ક્રમચયોની સંખ્યા જેટલી છે: P4 = 4! =24.

23. F. અંકો 1 નો ઉપયોગ કરીને પુનરાવર્તિત ન થતા અંકો સાથે કેટલી વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓ લખી શકાય છે; 2 3, 4, 5, 6, જો: 1) સંખ્યા 56 થી શરૂ થવી જોઈએ; 2) શું 5 અને 6 નંબરો એકબીજાની બાજુમાં હોવા જોઈએ?

ઉકેલ.

અમે સંખ્યાની શરૂઆતમાં બે અંકો 5 અને 6 ને ઠીક કરીએ છીએ અને તેમાં બાકીના 4 અંકોમાંથી વિવિધ ક્રમચયો ઉમેરીએ છીએ; વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓની સંખ્યા બરાબર છે: P4 = 4! = 24.

વિવિધ છ-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા જેમાં અંક 5 અને 6 એકબીજાની બાજુમાં હોય (કોઈપણ ક્રમમાં) 120 + 120 = 240 સંખ્યાઓ છે. (વિકલ્પો 56 અને 65 અસંગત છે અને એકસાથે સાકાર કરી શકાતા નથી; અમે સંયુક્ત રકમનો નિયમ લાગુ કરીએ છીએ.)

જવાબ: 1) 24મી; 2) 240 સંખ્યા.

24. F. 1,2,3,4 નંબરોમાંથી કેટલી અલગ-અલગ ચાર-અંકની સંખ્યાઓ કે જેમાં સમાન અંકો નથી?

ઉકેલ.

એક સમાન સંખ્યા એક સમાન અંક સાથે સમાપ્ત થવી જોઈએ. અમે છેલ્લા સ્થાને નંબર 2 ને ઠીક કરીએ છીએ, પછી 3 અગાઉના નંબરોને ફરીથી ગોઠવી શકાય છે P3 = 3! = 6 અલગ અલગ રીતે; આપણને અંતે બે સાથે 6 નંબરો મળે છે. અમે છેલ્લા સ્થાને નંબર 4 ને ઠીક કરીએ છીએ, અમને P3 = 3 મળે છે! = 6 પહેલાના ત્રણ અંકોના 6 જુદા જુદા ક્રમચયો અને 4 માં સમાપ્ત થતી 6 સંખ્યાઓ.

સમ ચાર-અંકની સંખ્યાઓની કુલ સંખ્યા 6 + 6 = 12 વિવિધ સંખ્યાઓ હશે.

જવાબ: 12 સંખ્યા.

ટિપ્પણી. સંયોજક સરવાળા નિયમનો ઉપયોગ કરીને આપણે વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા શોધીએ છીએ (બેમાં સમાપ્ત થતી સંખ્યાઓ માટે 6 વિકલ્પો, ચારમાં સમાપ્ત થતી સંખ્યાઓ માટે 6 વિકલ્પો; બે સાથે અને અંતે ચાર સાથે સંખ્યાઓ બનાવવાની પદ્ધતિઓ પરસ્પર વિશિષ્ટ, અસંગત છે, તેથી વિકલ્પોની કુલ સંખ્યા અંતે બે સાથેના વિકલ્પોની સંખ્યા અને અંતે 4 સાથેના વિકલ્પોની સંખ્યાના સરવાળા જેટલી છે). એન્ટ્રી 6 + 6 = 12 એ એન્ટ્રી P કરતાં આપણી ક્રિયાઓના કારણોને વધુ સારી રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે..

25. F. સંખ્યા 1) 12 ને અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાંક તરીકે કેટલી રીતે લખી શકાય? 2) 24; 3) 120?

ઉકેલ.

આ સમસ્યાની વિશિષ્ટતા એ છે કે આ દરેક સંખ્યાના વિસ્તરણમાં સમાન, પુનરાવર્તિત પરિબળો છે. પરિબળોમાંથી વિવિધ ક્રમચયોની રચના કરતી વખતે, જો આપણે કોઈપણ બે સરખા પરિબળોની અદલાબદલી કરીએ તો આપણને નવું ક્રમચય મળશે નહીં.

1) સંખ્યા 12 ત્રણ મુખ્ય પરિબળોમાં વિઘટિત થાય છે, જેમાંથી બે સમાન છે: 12 = .

જો તમામ પરિબળ અલગ-અલગ હતા, તો પછી તેમને ઉત્પાદન P3 = 3 માં ફરીથી ગોઠવી શકાય છે! = 6 અલગ અલગ રીતે. આ પદ્ધતિઓની સૂચિ બનાવવા માટે, અમે બે બેને શરતી રીતે "ભેદ" કરીશું અને તેમાંથી એક પર ભાર આપીશું: 12 = 2.

પછી રહેવાસીઓમાં વિઘટનના નીચેના 6 પ્રકારો શક્ય છે:

પરંતુ વાસ્તવમાં, ગણિતમાં સંખ્યાઓને રેખાંકિત કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, તેથી સામાન્ય સંકેતમાં પરિણામી 6 ક્રમચયો આના જેવા દેખાય છે:

એટલે કે, વાસ્તવમાં, અમને 6 નહીં, પરંતુ 3 અલગ-અલગ ક્રમચયો મળ્યા છે કારણ કે આપણે એકબીજા સાથે બે બેના ક્રમચયોને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી.

ચાલો P x સૂચવીએ બે સરખા તત્વો સહિત ત્રણ તત્વોના ક્રમચયોની આવશ્યક સંખ્યા; પછી આપણે મેળવેલ પરિણામ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે: Рз = Рએક્સ પરંતુ 2 એ બે તત્વોના વિવિધ ક્રમચયોની સંખ્યા છે, એટલે કે 2 == 2! = P 2, તેથી P3, = P x P 2, તેથી P x = . (આ પુનરાવર્તન સાથે ક્રમચયોની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર છે).

માત્ર કોમ્બિનેટરીયલ પ્રોડક્ટના નિયમના આધારે કોઈ અલગ રીતે તર્ક આપી શકે છે.

ત્રણ પરિબળોનું ઉત્પાદન બનાવવા માટે, પ્રથમ પરિબળ 3 માટે સ્થાન પસંદ કરો; આ ત્રણમાંથી એક રીતે કરી શકાય છે. આ પછી, અમે બંને બાકીની જગ્યાઓ બે સાથે ભરીએ છીએ; આ 1 રીતે કરી શકાય છે. ઉત્પાદન નિયમ મુજબ, માર્ગોની કુલ સંખ્યા છે: 3-1 =3., Р x =20.

બીજી રીત. જ્યારે પાંચ પરિબળોનું ઉત્પાદન કંપોઝ કરીએ છીએ, ત્યારે આપણે પ્રથમ પાંચ (5 માર્ગો) માટે એક સ્થાન પસંદ કરીએ છીએ, પછી ત્રણ (4 માર્ગો) માટે અને બાકીના 3 સ્થાનોને બે (1 માર્ગ) વડે ભરીએ છીએ; ઉત્પાદન નિયમ 5 4 1 = 20 અનુસાર.

જવાબ: 1) 3; 2) 4; 3) 20.

26. F. 6 કોષોને કેટલી રીતે રંગીન કરી શકાય છે જેથી 3 કોષો લાલ હોય, અને બાકીના 3 રંગીન હોય (દરેક તેના પોતાના રંગ સાથે) સફેદ, કાળો કે લીલો?

ઉકેલ.

6 તત્વોના ક્રમચય, જેમાંથી ત્રણ સમાન છે:

નહિંતર: સફેદ રંગથી રંગવા માટે, તમે 6 કોષોમાંથી એક પસંદ કરી શકો છો, કાળો - 5 માંથી, લીલો - 4 માંથી; બાકીના ત્રણ કોષો લાલ રંગના છે. માર્ગોની કુલ સંખ્યા: 6 5 4 1 = 120.

જવાબ: 120 રીતો.

27.ટી. રાહદારીએ એક બ્લોક ઉત્તર અને ત્રણ બ્લોક પશ્ચિમમાં ચાલવું જોઈએ. તમામ સંભવિત પદયાત્રી માર્ગો લખો.= 4.

જવાબ: 4 માર્ગો.

28. M. a) ચાર સરખી કચેરીઓના દરવાજા પર ચાર ડેપ્યુટી ડાયરેક્ટરના નામ સાથેના ચિહ્નો લટકાવવા જરૂરી છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

b) બુધવારે 9 “A” વર્ગમાં 5 પાઠ છે: બીજગણિત, ભૂમિતિ, શારીરિક શિક્ષણ, રશિયન, અંગ્રેજી. આ દિવસ માટે તમે કેટલા શેડ્યૂલ વિકલ્પો બનાવી શકો છો?

c) ચાર ચોર ચારેય દિશામાં, એક સમયે, કેટલી રીતે વિખેરી શકે છે?

ડી) એડજ્યુટન્ટે જનરલના ઓર્ડરની પાંચ નકલો પાંચ રેજિમેન્ટમાં પહોંચાડવી જોઈએ. ઓર્ડરની નકલો માટે તે કેટલી રીતે ડિલિવરીનો માર્ગ પસંદ કરી શકે છે?

ઉકેલ.

a) પ્રથમ પ્લેટ માટે, તમે 4 કેબિનેટમાંથી કોઈપણ પસંદ કરી શકો છો,
બીજા માટે - બાકીના ત્રણમાંથી કોઈપણ, ત્રીજા માટે - બાકીના બેમાંથી કોઈપણ, ચોથા માટે - એક બાકી; નિયમ મુજબ
ઉત્પાદન, માર્ગોની કુલ સંખ્યા છે: 4 3 2 1 = 24, અથવા P4 = 4! = 24.= 120, અથવા P5 = 5! = 120.

જવાબ: a) 24; b) 120; c) 24; ડી) 120.

સાહિત્ય

અફનાસ્યેવ વી.વી. ઉદાહરણો અને સમસ્યાઓમાં સંભાવના સિદ્ધાંત, યારોસ્લાવલ: યારોસ્લાવલ સ્ટેટ પેડાગોજિકલ યુનિવર્સિટી, 1994.

Bavrin I. I. ઉચ્ચ ગણિત: શિક્ષણશાસ્ત્રની યુનિવર્સિટીઓના રાસાયણિક અને ગાણિતિક વિશેષતાના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક - 2જી આવૃત્તિ, સુધારેલ. - એમ.: શિક્ષણ, 1993.

બુનિમોવિચ ઇ.એ., બુલીચેવ વી.એ. સંભાવના અને આંકડા. ગ્રેડ 5-9: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે મેન્યુઅલ, - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2005.

વિલેન્કિન એન. યા અને અન્ય. ગ્રેડ 10 માટે બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ: ગણિતના ઊંડા અભ્યાસ સાથે શાળાઓ અને વર્ગોના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. - એમ.: શિક્ષણ, 1992.

વિલેન્કિન એન. યા અને અન્ય. ગ્રેડ 11 માટે બીજગણિત અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ: ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અભ્યાસ સાથે શાળાઓ અને વર્ગોના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠયપુસ્તક - એમ.: પ્રોસ્વેશેની, 1990.

ગ્લેઝર જી.આઈ. શાળામાં ગણિતનો ઇતિહાસ: ગ્રેડ 9-10. શિક્ષકો માટે માર્ગદર્શિકા. - એમ.: શિક્ષણ 1983.

ડોરોફીવ જી.વી., સુવોરોવા એસ.બી., બુનિમોવિચ ઇ.એ. ગણિત 9: બીજગણિત. કાર્યો. ડેટા વિશ્લેષણ - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2000.

કોલ્યાગિન અને અન્ય. બીજગણિત અને વિશ્લેષણ ગ્રેડ 11 ની શરૂઆત. શાળામાં ગણિત - 2002 - નંબર 4 - પૃષ્ઠ 43,44,46.

લ્યુપશ્કાસ વી.એસ. ગણિતમાં વૈકલ્પિક અભ્યાસક્રમો: સંભાવના સિદ્ધાંત: ગ્રેડ 9-11 માટે પાઠ્યપુસ્તક - એમ., 1991.

મકરીચેવ યુ.એન., મિન્ડ્યુક એન.જી. આંકડા અને સંભાવના સિદ્ધાંતના તત્વો: ગ્રેડ 7-9માં વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક - એમ.: પ્રોવેશેની, 2005.

મોર્ડકોવિચ એ.જી., સેમેનોવ પી.વી. બીજગણિત અને વિશ્લેષણની શરૂઆત, ગ્રેડ 10: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક (પ્રોફાઇલ સ્તર) - એમ.: મેનેમોસિના, 2005.

Tkacheva M.V., Fedorova N.E. આંકડા અને સંભાવનાના તત્વો: ગ્રેડ 7-9ના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક - M.: શિક્ષણ, 2005.

વિકલ્પ 1

નંબર 1. એક શેલ્ફ પર પાંચ અલગ-અલગ પુસ્તકો કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

નંબર 2. 0, 1, 3, 6, 7, 9 અંકોમાંથી વિવિધ અંકોવાળી કેટલી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

નંબર 3. એક રિયુનિયનમાં, 9 ભૂતપૂર્વ સહપાઠીઓને બિઝનેસ કાર્ડની આપલે કરી. કેટલા બિઝનેસ કાર્ડનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો?

નંબર 4. "આકૃતિ" શબ્દના અક્ષરોના કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં આપેલા ક્રમમાં "y", "p", "a" અક્ષરો એકબીજાની બાજુમાં છે?

વિકલ્પ 2

નંબર 1. છ અલગ-અલગ પુસ્તકોને શેલ્ફ પર કેટલી રીતે મૂકી શકાય?

નંબર 2. 0, 3, 4, 5, 8 અંકોમાંથી વિવિધ અંકોવાળી કેટલી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

નંબર 3. કોન્ફરન્સમાં, 7 સહભાગીઓએ ફોન નંબરની આપલે કરી. કેટલા ફોન નંબરની આપ-લે કરવામાં આવી હતી?

નંબર 4. “શિરોબિંદુ” શબ્દના અક્ષરોના કેટલા ક્રમચયો છે જેમાં “v”, “e”, “r” અક્ષરો આપેલ ક્રમમાં એકબીજાની બાજુમાં છે?

સ્વતંત્ર કાર્ય. સંયોજનશાસ્ત્ર.

વિકલ્પ 3

નંબર 1. સ્પર્ધાના ક્વાર્ટર-ફાઈનલમાં 9 સ્પર્ધાના સહભાગીઓ પ્રાધાન્યના ક્રમમાં કેટલી રીતે પ્રદર્શન કરી શકે છે?

નંબર 2. 0, 3, 7, 8 નંબરોનો ઉપયોગ કરીને, તમામ સંભવિત બે-અંકની સંખ્યાઓ બનાવો જેમાં સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન થતું નથી.

નંબર 3. વિસ્તાર N માં, દરેક બે ગામો એક માર્ગ દ્વારા જોડાયેલા છે. જો આ વિસ્તારમાં 10 ગામો હોય તો આવા રસ્તાઓની સંખ્યા નક્કી કરો.

નંબર 4. 3 નંબરથી શરૂ થતા કેટલા પાંચ-અંકના ટેલિફોન નંબરો છે, જેમાં તમામ અંકો અલગ-અલગ છે?

વિકલ્પ 4

નંબર 1. કુરિયરે પિઝાને છ સરનામાં પર પહોંચાડવી આવશ્યક છે. તે કેટલા માર્ગો પસંદ કરી શકે છે?

નંબર 2. 0, 2, 4, 6, 8 નંબરોનો ઉપયોગ કરીને, તમામ સંભવિત ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવો જેમાં સંખ્યાઓનું પુનરાવર્તન થતું નથી?

નંબર 3. પ્લેન પર 9 બિંદુઓ ચિહ્નિત થયેલ છે, તેમાંથી ત્રણ એક જ સીધી રેખા પર નથી. આ બિંદુઓ દ્વારા કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય છે?

નંબર 4. 36 થી શરૂ થતા કેટલા છ-અંકના ફોન નંબરો છે જેમાં તમામ અંકો અલગ-અલગ છે?