સમાંતર રેખાઓની વ્યાખ્યાનો સ્વયંસિદ્ધ. હોમવર્ક સોંપણી

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

પાઠ હેતુઓ:

વિદ્યાર્થીઓ માટે અજાણ્યા ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધનો ખ્યાલ આપો, તેમને પહેલેથી જ જાણીતા સ્વયંસિદ્ધનું પુનરાવર્તન કરો;
સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ પરિચય;
સ્વયંસિદ્ધ અને પ્રમેયમાંથી પરિણામોની વિભાવના રજૂ કરો;
સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે સમાંતર રેખાઓ અને તેના પરિણામોનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે બતાવો;
મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી એન.આઇ.

સાધન:કમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર.

પાઠની પ્રગતિ

1. અગાઉનું હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે

2. વિદ્યાર્થીઓ માટે પહેલેથી જ જાણીતા પ્લાનિમેટ્રીના સ્વયંસિદ્ધનું પુનરાવર્તન

શિક્ષક:યુક્લિડ "એલિમેન્ટ્સ" (III સદી બીસી) ના પ્રખ્યાત કાર્યમાં, તે સમયે જાણીતી મૂળભૂત ભૌમિતિક માહિતીને વ્યવસ્થિત કરવામાં આવી હતી. મુખ્ય વસ્તુ એ છે કે "સિદ્ધાંતો" માં ભૂમિતિના નિર્માણ માટે એક સ્વયંસિદ્ધ અભિગમ વિકસાવવામાં આવ્યો હતો, જેમાં એ હકીકતનો સમાવેશ થાય છે કે પ્રથમ મૂળભૂત જોગવાઈઓ કે જેને પુરાવા (સિદ્ધાંત) ની જરૂર નથી, ઘડવામાં આવે છે, અને પછી, તેમના આધારે, અન્ય નિવેદનો (પ્રમેય) તર્ક દ્વારા સાબિત થાય છે. યુક્લિડ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો હજુ પણ ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં ઉપયોગમાં લેવાય છે.
"એક્સિઓમ" શબ્દ પોતે ગ્રીક "એક્સિઓસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક." અમારા ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં અપનાવવામાં આવેલા પ્લાનિમેટ્રી સ્વયંસિદ્ધોની સંપૂર્ણ સૂચિ પાઠ્યપુસ્તકના અંતમાં પૃષ્ઠ 344-348 પરના પરિશિષ્ટમાં આપવામાં આવી છે. તમે ઘરે જાતે જ આ સિદ્ધાંતોને ધ્યાનમાં લેશો.
અમે આમાંના કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ વિચારણા કરી ચૂક્યા છીએ. આ સિદ્ધાંતોને યાદ રાખો અને ઘડવો.

વિદ્યાર્થીઓ:

1) ત્યાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ બિંદુઓ છે જે સમાન રેખા પર આવેલા નથી.
2) એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક.
3) સીધી રેખા પરના ત્રણ બિંદુઓમાંથી, એક અને માત્ર એક અન્ય બે વચ્ચે આવેલું છે.
4) રેખાના પ્રત્યેક બિંદુ O તેને બે ભાગોમાં (બે કિરણો) વિભાજિત કરે છે જેથી એક જ કિરણના કોઈપણ બે બિંદુઓ O બિંદુની એક જ બાજુ પર હોય, અને વિવિધ કિરણોના કોઈપણ બે બિંદુ O બિંદુની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય.
5) દરેક રેખા a પ્લેનને બે ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે (બે અર્ધ-વિમાન) જેથી સમાન અર્ધ-વિમાનના કોઈપણ બે બિંદુઓ રેખા a ની એક જ બાજુ પર હોય છે, અને વિવિધ અર્ધ-વિમાનોના કોઈપણ બે બિંદુઓ વિરુદ્ધ બાજુઓ પર હોય છે. રેખા a.
6) જો, ઓવરલેપ દરમિયાન, બે સેગમેન્ટના છેડા ભેગા થાય છે, તો સેગમેન્ટ્સ પોતે જ જોડાય છે.
7) કોઈપણ કિરણ પર, તેની શરૂઆતથી, તમે આપેલ એકના સમાન સેગમેન્ટને મૂકી શકો છો, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.
8) આપેલ અર્ધ-પ્લેનમાં કોઈપણ કિરણમાંથી આપેલ અવિકસિત કોણ સમાન કોણ બનાવવું શક્ય છે, અને વધુમાં, ફક્ત એક જ.

શિક્ષક:સમતલમાં કઈ રેખાઓને સમાંતર કહેવામાં આવે છે?

વિદ્યાર્થીઓ:સમતલમાં બે રેખાઓ એકબીજાને છેદતી ન હોય તો તેને સમાંતર કહેવામાં આવે છે.

શિક્ષક:રેખાઓની સમાંતરતાના ચિહ્નો બનાવો.

વિદ્યાર્થીઓ:

1) જો, જ્યારે બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, તો અસત્ય ખૂણા સમાન છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે.
2) જો, જ્યારે બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે.
3) જો, જ્યારે બે રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, એક બાજુવાળા ખૂણાઓનો સરવાળો 180˚ બરાબર છે, તો રેખાઓ સમાંતર છે.

3. નવો વિષય. સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

શિક્ષક:ચાલો સમસ્યાનું નિરાકરણ કરીએ: "એક બિંદુ M દ્વારા જે રેખા a પર રહેતું નથી, રેખા a ની સમાંતર રેખા દોરો."

સમસ્યાના નિરાકરણ માટેની યોજના સમગ્ર વર્ગ દ્વારા ચર્ચા કરવામાં આવે છે. વિદ્યાર્થીઓમાંથી એક બોર્ડ પર ઉકેલ લખે છે (તેમની નોટબુકમાં લખ્યા વિના).

શિક્ષક:પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે, સીધી રેખા a ની સમાંતર?
આ પ્રશ્નનો લાંબો ઈતિહાસ છે. યુક્લિડના તત્વોમાં પાંચમું અનુમાન છે: “અને જો બે સીધી રેખાઓ પર આવતી સીધી રેખા એક બાજુના આંતરિક ખૂણા બનાવે છે જે બે કાટખૂણાથી ઓછા હોય છે, તો વિસ્તૃત સીધી રેખાઓ તે બાજુ પર અનિશ્ચિત સમય માટે મળે છે જ્યાં ખૂણા બે કરતા ઓછા હોય. જમણો ખૂણો." પ્રોક્લસ 5મી સદી એડી યુક્લિડના અનુમાનને વધુ સરળ અને સ્પષ્ટ રીતે સુધારેલ: "આપેલ રેખા પર ન પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે." આ સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ છે. આના પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે ઉપરોક્ત સમસ્યાનો એક અનન્ય ઉકેલ છે.
ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ પાંચમી મુદ્રાને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો, કારણ કે તેની રચના પ્રમેયની યાદ અપાવે છે. આ તમામ પ્રયાસો દર વખતે નિષ્ફળ ગયા. અને માત્ર 19મી સદીમાં. અંતે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે યુક્લિડનું પાંચમું અનુમાન સાબિત કરી શકાતું નથી;
મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવ્સ્કી (1792-1856) એ આ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.

4. N.I. Lobachevsky વિશે પ્રેઝન્ટેશન જુઓ

5. જે શીખ્યા છે તેનું એકીકરણ. સમસ્યાનું નિરાકરણ

∆ABC આપેલ. શિરોબિંદુ C દ્વારા બાજુ AB ની સમાંતર કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય?

ઉકેલ.

સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર, એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે.

રેખા p પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા ચાર સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓમાંથી કેટલી રેખા p ને છેદે છે? બધા સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લો.

ઉકેલ.

3 સીધા 4 સીધા

જવાબ: 3 અથવા 4 સીધા.

સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કોરોલરીઝ.

નિવેદનો કે જે સીધા સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કોરોલરી કહેવામાં આવે છે. ચાલો સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ પરિણામોને ધ્યાનમાં લઈએ.

કોરોલરી 1˚.જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખાને પણ છેદે છે.

કોરોલરી 2˚.જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે. (વિદ્યાર્થીઓને તે પોતાને સાબિત કરવા માટે કહેવામાં આવે છે).

ચિત્ર સમાન છે.

આપેલ: a || b, c || b
સાબિત કરો: a || સાથે
પુરાવા o (પદ્ધતિ "વિરોધાભાસ દ્વારા"):

રેખાઓ a અને c ને સમાંતર ન થવા દો. પછી તેઓ અમુક બિંદુ M પર છેદે છે. બે જુદી જુદી સીધી રેખાઓ (a અને c) સીધી રેખા b ની સમાંતર M બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આ સમાંતર સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા સાચી નથી. પણ એ વાત સાચી છે કે એક || સાથે. વગેરે.
સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી બીજો કોરોલરી એ પ્લેન પરની રેખાઓની સમાંતરતાની અન્ય નિશાની છે.

સમસ્યાનું નિરાકરણ:નંબર 217 (મૌખિક), 218 (મૌખિક), 198, 200, 213.

№ 217 (મૌખિક રીતે)

રેખાઓ a અને b રેખા c ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે કોઈપણ રેખા છેદતી રેખા a પણ રેખા b ને છેદે છે.

ઉકેલ.

જો એક || b અને b || c, પછી a || s (કોરોલરી 2˚).
જો મનસ્વી રેખા d ∩ a, તો d ∩ b (કોરોલરી 1˚).

№ 218 (મૌખિક રીતે)

રેખાઓ a અને b છેદે છે. શું રેખા a ને છેદે અને રેખા b ની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે? તમારા જવાબને યોગ્ય ઠેરવો.

ઉકેલ.

ચાલો બિંદુ A b ને લીટી a પર લઈએ. બિંદુ A દ્વારા રેખા b (સમાંતર સ્વયંસિદ્ધ) ની સમાંતર માત્ર એક રેખા છે. બાંધેલી રેખા રેખા aને છેદે છે, કારણ કે તેની સાથે સામાન્ય બિંદુ A છે.

રેખાઓ a અને b રેખા p માટે લંબ છે, રેખા c રેખા aને છેદે છે. શું રેખા c રેખા b ને છેદે છે?

આપેલ:ар, bр, с ∩ а
શોધો:શું c રેખા b ને છેદે છે?
ઉકેલ:જો એપી અને બીપી, તો એ || b (પ્રમેય).
જો c ∩ a અને a || b, પછી c ∩ b (કોરોલરી 1˚).
જવાબ: c ∩ b.

પાઠ્યપુસ્તકના ચિત્રમાં AD || p અને PQ || બી.સી. સાબિત કરો કે રેખા p રેખાઓ AB, AE, AC, BC, PQ ને છેદે છે.

પાઠ્યપુસ્તકના ચિત્રમાં, CE = ED, BE = EF અને KE = AD. સાબિત કરો કે KE || સૂર્ય.

6. સારાંશ

1) યુક્લિડની મુખ્ય યોગ્યતા શું છે?
2) સ્વયંસિદ્ધ કોને કહેવાય?
3) આપણે કયા સિદ્ધાંતો જાણીએ છીએ?
4) કયા રશિયન વૈજ્ઞાનિકે બિન-યુક્લિડિયન ભૂમિતિનો સુસંગત સિદ્ધાંત બનાવ્યો?
5) શબ્દના ગાણિતિક અર્થમાં પરિણામ શું કહેવાય છે?
6) આજે આપણે કયા પરિણામો શીખ્યા?

7. હોમવર્ક:

§2, ફકરો 27, 28, ભૂમિતિ પૃષ્ઠ 344-348 ના સ્વયંસિદ્ધ પર પરિશિષ્ટ, પ્રશ્નો 7-11 પૃષ્ઠ 68, નંબર 199, 214.
નંબર 199: રેખા p એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ BC અને AC રેખા r ને છેદે છે.
નંબર 214: ત્રિકોણ ABC ના દ્વિભાજક AD ની મધ્યમાંથી પસાર થતી એક રેખા અને AD ની કાટખૂણે બાજુ AC ને બિંદુ M પર છેદે છે. સાબિત કરો કે MD¦AB.

સાહિત્ય:

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I.ભૂમિતિ, 7-9: શૈક્ષણિક સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. − એમ.: શિક્ષણ, 2003.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Glazkov Yu.A., Nekrasov V.B., Yudina I.I. 7, 8, 9 ગ્રેડમાં ભૂમિતિનો અભ્યાસ: પાઠ્યપુસ્તક માટે પદ્ધતિસરની ભલામણો. શિક્ષકો માટે પુસ્તક. − એમ.: શિક્ષણ, 2003.
ડોરોફીવા એ.વી.ગણિતના પાઠોમાં ઇતિહાસના પૃષ્ઠો: શિક્ષકો માટે એક પુસ્તક. − એમ.: શિક્ષણ, 2007.
વિકિપીડિયા.

વિડિયો પાઠ "સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ" માં ભૂમિતિના એક મહત્વપૂર્ણ સ્વયંસિદ્ધ - સમાંતર રેખાઓ, તેની વિશેષતાઓ, આ સ્વયંસિદ્ધના પરિણામોની વિગતવાર વિચારણાનો સમાવેશ થાય છે, જેનો ભૌમિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવાની પ્રથામાં વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. આ વિડિયો પાઠનો હેતુ સ્વયંસિદ્ધ અને તેના પરિણામોને યાદ રાખવાનું સરળ બનાવવાનો છે, તેની વિશેષતાઓ અને સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં એપ્લિકેશનનો વિચાર રચવાનો છે.

વિડિઓ પાઠના રૂપમાં સામગ્રી પ્રસ્તુત કરવાથી શિક્ષક માટે નવી તકો ખુલે છે. વિદ્યાર્થીઓને શૈક્ષણિક સામગ્રીના પ્રમાણભૂત બ્લોકની ડિલિવરી સ્વયંસંચાલિત છે. તે જ સમયે, સામગ્રીની રજૂઆતની ગુણવત્તામાં સુધારો થાય છે, કારણ કે તે દ્રશ્ય રજૂઆત અને એનિમેશન અસરોથી સમૃદ્ધ છે જે બાંધકામોને બોર્ડ પર કરવામાં આવેલા વાસ્તવિક લોકોની નજીક લાવે છે. ઐતિહાસિક માહિતી ડ્રોઇંગ્સ અને ફોટાઓ સાથે રજૂ કરવામાં આવે છે, અભ્યાસ કરવામાં આવતા વિષયમાં રસ જગાડે છે. વિડિઓ શિક્ષકને શિક્ષણ દરમિયાન વ્યક્તિગત કાર્યને વધુ ગહન કરવા માટે મુક્ત કરે છે.

પ્રથમ, આ વિડિઓ વિષયનું નામ દર્શાવે છે. સ્વયંસિદ્ધ વિચારણા તેના મોડેલના નિર્માણ સાથે શરૂ થાય છે. સ્ક્રીન એ એક રેખા બતાવે છે અને એક બિંદુ M તેની બહાર પડેલું છે, અમે નિવેદનના પુરાવાનું વર્ણન કરીએ છીએ કે આપેલ બિંદુ M દ્વારા આપેલ એકની સમાંતર રેખા બાંધવી શક્ય છે. A રેખા c રેખા a ને કાટખૂણે દોરવામાં આવે છે, પછી રેખા B એ બિંદુ M પર રેખા c પર કાટખૂણે દોરવામાં આવે છે. ત્રીજી તરફ લંબરૂપ બે રેખાઓની સમાંતરતા વિશેના વિધાનના આધારે, અમે નોંધીએ છીએ કે રેખા b એ મૂળ રેખા aની સમાંતર છે. આને ધ્યાનમાં લેતા, અમે સૂચવીએ છીએ કે બિંદુ M પર એક સીધી રેખા આની સમાંતર દોરવામાં આવી છે. જો કે, M દ્વારા બીજી સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે કે કેમ તે તપાસવું હજુ પણ જરૂરી છે. સ્ક્રીન બતાવે છે કે બિંદુ M પર સીધી રેખા bનું કોઈપણ પરિભ્રમણ એક સીધી રેખાના નિર્માણ તરફ દોરી જશે જે સીધી રેખા aને છેદે છે. જો કે, શું બીજી સીધી રેખા દોરવાની અશક્યતા સાબિત કરવી શક્ય છે?

આની સમાંતર બીજી રેખા દોરવાની અશક્યતાને સાબિત કરવાનો પ્રશ્ન ઘણો લાંબો ઇતિહાસ ધરાવે છે. વિદ્યાર્થીઓને અંકના ઇતિહાસમાં ટૂંકા પ્રવાસની ઓફર કરવામાં આવે છે. એ નોંધ્યું છે કે યુક્લિડની કૃતિ "તત્વો" માં આ નિવેદન પાંચમા પોસ્ટ્યુલેટના રૂપમાં આપવામાં આવ્યું છે. આ નિવેદનને સાબિત કરવાના વૈજ્ઞાનિકોના પ્રયાસો નિષ્ફળ રહ્યા હતા. ઘણી સદીઓથી, ગણિતશાસ્ત્રીઓ આ સમસ્યામાં રસ ધરાવે છે. જો કે, માત્ર છેલ્લી સદીમાં તે આખરે સાબિત થયું હતું કે આ વિધાન યુક્લિડિયન ભૂમિતિમાં અયોગ્ય છે. તે એક સ્વયંસિદ્ધ છે. વિદ્યાર્થીઓને એક પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી સાથે પરિચય આપવામાં આવે છે જેમણે ગાણિતિક વિજ્ઞાનમાં નોંધપાત્ર યોગદાન આપ્યું છે - નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવ્સ્કી. તેમણે જ મુદ્દાના અંતિમ નિરાકરણમાં મહત્વની ભૂમિકા ભજવી હતી. તેથી, આ પાઠમાં જે નિવેદનની ચર્ચા કરવામાં આવી છે તે એક સ્વયંસિદ્ધ છે જે અન્ય સ્વયંસિદ્ધની સાથે વિજ્ઞાનના પાયામાં રહેલું છે.

આગળ, અમે આ ગૃહીતના પરિણામોને ધ્યાનમાં લેવાનો પ્રસ્તાવ આપીએ છીએ. આ કરવા માટે, "પરિણામ" ની વિભાવનાને સ્પષ્ટ કરવી જરૂરી છે. સ્ક્રીન પ્રમેય અથવા સ્વયંસિદ્ધોમાંથી સીધા ઉતરી આવેલા નિવેદનો તરીકે કોરોલરીની વ્યાખ્યા દર્શાવે છે. આ વ્યાખ્યા વિદ્યાર્થીઓને તેમની નોટબુકમાં લખવા માટે ઓફર કરી શકાય છે. પરિણામોની વિભાવના એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવી છે જેની ચર્ચા પહેલાથી જ વિડિઓ પાઠ 18 "એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો" માં કરવામાં આવી છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ગુણધર્મો વિશેનું પ્રમેય સ્ક્રીન પર પ્રદર્શિત થાય છે. તે યાદ કરવામાં આવે છે કે આ પ્રમેયના પુરાવા પછી, તેમાંથી કોઈ ઓછા મહત્વપૂર્ણ પરિણામો ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યા ન હતા. તેથી, જો મુખ્ય પ્રમેય જણાવે છે કે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એક મધ્યક અને એક ઉંચાઈ છે, તો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ દ્વિભાજક અને મધ્યક છે, અને તે પણ મધ્યક છે. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ એ દ્વિભાજક અને ઊંચાઈ બંને છે.

પરિણામોની વિભાવનાને સ્પષ્ટ કર્યા પછી, અમે સમાંતર રેખાઓના આ સ્વતંત્રથી ઉદ્ભવતા પરિણામોને સીધા ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સ્ક્રીન સ્વયંસિદ્ધની પ્રથમ કોરોલરીના ટેક્સ્ટને દર્શાવે છે, જે જણાવે છે કે સમાંતર રેખાઓમાંથી એક સાથેની રેખાનું આંતરછેદ એટલે બીજી સમાંતર રેખા સાથેનું આંતરછેદ. કોરોલરીના ટેક્સ્ટની નીચેની આકૃતિ એક સીધી રેખા b અને સમાંતર સીધી રેખા a બતાવે છે. બીજી લાઇન સીને બિંદુ M પર છેદે છે, જે રેખા a થી સંબંધિત છે. વિધાનનો પુરાવો આપવામાં આવ્યો છે કે રેખા c પણ રેખા b ને છેદે છે. સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધનો ઉપયોગ કરીને, વિરોધાભાસ દ્વારા સાબિતી બનાવવામાં આવે છે. જો આપણે ધારીએ કે રેખા c એ b ને છેદતી નથી, તો તેનો અર્થ એ છે કે આ બિંદુ દ્વારા આપણે દર્શાવેલ એકની સમાંતર બીજી રેખા દોરી શકીએ છીએ. પરંતુ સમાંતર રેખાઓ સ્વયંસિદ્ધ જોતાં આ અશક્ય છે. તેથી, c પણ રેખા b ને છેદે છે. તપાસમાં સાબિત થયું છે.

આગળ, આપણે આ સ્વયંસિદ્ધના બીજા પરિણામને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. સ્ક્રીન કોરોલરીના ટેક્સ્ટને દર્શાવે છે કે જો બે લીટીઓ ત્રીજાની સમાંતર હોય, તો અમે ભારપૂર્વક કહી શકીએ કે તે એકબીજાની સમાંતર છે. આ વિધાનને દર્શાવતી આકૃતિમાં, a, b, c સીધી રેખાઓ બાંધવામાં આવી છે. આ કિસ્સામાં, રેખા c, બંને રેખાઓની સમાંતર તરીકે, વાદળી રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે. આ નિવેદનને સાબિત કરવાની દરખાસ્ત છે. પુરાવા દરમિયાન, એવું માનવામાં આવે છે કે રેખાઓ c ની સમાંતર રેખાઓ a અને b એકબીજાની સમાંતર નથી. આનો અર્થ એ છે કે તેમની પાસે આંતરછેદ બિંદુ છે. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ Mમાંથી પસાર થતી બંને રેખાઓ આની સમાંતર છે, જે સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે. આ પરિણામ સાચો છે.

વિડિયો પાઠ "સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ" શિક્ષક વિદ્યાર્થીઓને સ્વયંસિદ્ધની વિશેષતાઓ, તેના પરિણામોનો પુરાવો સમજાવવાનું સરળ બનાવી શકે છે અને વિદ્યાર્થીઓ માટે નિયમિત પાઠમાં સામગ્રીને યાદ રાખવાનું સરળ બનાવી શકે છે. ઉપરાંત, આ વિડિઓ સામગ્રીનો ઉપયોગ અંતર શિક્ષણ માટે થઈ શકે છે અને સ્વ-અભ્યાસ માટે ભલામણ કરવામાં આવે છે.

ગ્રેડ 7 "જી" એમબીઓયુ "ઓકે" લિસિયમ નંબર 3 ના વિદ્યાર્થી દ્વારા પૂર્ણ થયેલ ગેવરીલોવ દિમિત્રી

સ્વયંસિદ્ધ
ગ્રીક "એક્સિઓસ" માંથી આવે છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક" તાત્કાલિક સમજાવટના કારણે તાર્કિક પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવેલી સ્થિતિ એ સિદ્ધાંતની સાચી પ્રારંભિક સ્થિતિ છે. (સોવિયેત જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ)

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

ગ્રેડ 7 “G” MBOU “OK “Lyceum No. 3” Gavrilov Dmitry 2015-2016 શૈક્ષણિક વર્ષ (શિક્ષક કોનારેવા T.N.) ના વિદ્યાર્થી દ્વારા પૂર્ણ કરાયેલ સમાંતર રેખાઓનો સ્વતઃપ્રાપ્તિ

જાણીતી વ્યાખ્યાઓ અને તથ્યો. વાક્ય પૂરું કરો. 1. રેખા x એ રેખાઓ a અને b ના સંબંધમાં ટ્રાંસવર્સલ કહેવાય છે જો... 2. જ્યારે બે સીધી રેખા એકબીજાને છેદે છે, ત્યારે ટ્રાંસવર્સલ રચાય છે... અવિકસિત ખૂણા. 3. જો રેખાઓ AB અને C D રેખા B D વડે છેદે છે, તો રેખા B D કહેવામાં આવે છે... 4. જો બિંદુ B અને D સેકન્ટ ACની સાપેક્ષમાં જુદા જુદા અર્ધ-પ્લેનમાં આવેલા હોય, તો કોણ BAC અને DCA કહેવાય છે... 5. જો બિંદુઓ B અને D સેકન્ટ AC ની સાપેક્ષમાં એક અર્ધ-પ્લેનમાં આવેલા હોય, તો BAC અને DCA એ કોણ કહેવાય છે... 6. જો એક જોડીના આંતરિક ખૂણા સમાન હોય, તો બીજી જોડીના આંતરિક ખૂણાઓ સમાન છે... D C A C B D A B

કાર્ય તપાસી રહ્યું છે. 1. ...જો તે તેમને બે બિંદુઓ પર છેદે છે 2. 8 3. ... સેકન્ટ 4. ... ક્રોસવાઇઝ બોલિંગ 5. ... એકતરફી 6. ... સમાન

મેચ a) a b m 1) a | | b, કારણ કે આંતરિક ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ સમાન છે b) 2) a | | b, કારણ કે અનુરૂપ ખૂણા સમાન છે c) a b 3) a | | b, કારણ કે આંતરિક એકતરફી ખૂણાઓનો સરવાળો 180° 50 º 130 º 45 º 45 º m a b m a 150 º 150º બરાબર છે

ભૂમિતિના સ્વયંસિદ્ધ વિશે

Axiom ગ્રીક "axios" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક." તાત્કાલિક સમજાવટના કારણે તાર્કિક પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવેલી સ્થિતિ એ સિદ્ધાંતની સાચી પ્રારંભિક સ્થિતિ છે. સોવિયેત જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને પ્લેન પર પડેલા કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા કેટલી સીધી રેખાઓ દોરી શકાય છે?

કોઈપણ કિરણ પર, તેની શરૂઆતથી, આપેલ એક સમાન સેગમેન્ટ મૂકી શકાય છે, અને વધુમાં, કિરણની શરૂઆતથી આપેલ લંબાઈના કેટલા સેગમેન્ટને છૂટા કરી શકાય છે?

આપેલ દિશામાં કોઈપણ કિરણમાંથી આપેલ અવિકસિત કોણ સમાન ખૂણો બનાવવો શક્ય છે, અને આપેલ કિરણથી આપેલ અર્ધ-વિમાન સુધી આપેલ એક સમાન કેટલા ખૂણાઓ પ્લોટ કરી શકાય છે?

સ્વયંસિદ્ધ પ્રમેય તાર્કિક તર્ક વિખ્યાત નિબંધ “પ્રિન્સિપિયા” યુક્લિડિયન ભૂમિતિ ભૂમિતિનું તાર્કિક બાંધકામ

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

M a ચાલો સાબિત કરીએ કે M બિંદુ દ્વારા a c b a ┴ c b ┴ c a II c રેખાની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે.

શું રેખા aની સમાંતર બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે? a M in 1 શું આ સાબિત કરવું શક્ય છે?

પ્રાચીન સમયથી ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ આ વિધાનને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે અને યુક્લિડના તત્વોમાં આ વિધાનને પાંચમું અનુમાન કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડની પાંચમી ધારણાને સાબિત કરવાના પ્રયાસો નિષ્ફળ રહ્યા હતા, અને માત્ર 19મી સદીમાં જ આખરે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે આપેલ રેખાની સમાંતર આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાની વિશિષ્ટતા વિશેનું નિવેદન યુક્લિડના બાકીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી. , પરંતુ પોતે એક સ્વયંસિદ્ધ છે. રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કીએ આ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.

યુક્લિડ 1792-1856 નિકોલાઈ ઇવાનોવિચનું પાંચમું અનુમાન

"આપેલ રેખા પર ન આવેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે." "આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, કોઈ આપેલ રેખાની સમાંતર રેખા દોરી શકે છે." આમાંથી કયું વિધાન સ્વયંસિદ્ધ છે? ઉપરોક્ત નિવેદનો કેવી રીતે અલગ છે?

આપેલ રેખા પર ન પડેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે. વિધાન કે જે સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કોરોલરી 1 કહેવામાં આવે છે. જો કોઈ રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજીને પણ છેદે છે. a II b , c b ⇒ c એ સમાંતરતાનું સ્વયંસિદ્ધ અને તેનાં પરિણામો. a A કોરોલરી 2. જો બે લીટીઓ ત્રીજી લીટીની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે. a II c, b II c a II b a b c c b

જ્ઞાનનું એકીકરણ. “+” ચિહ્ન વડે સાચા વિધાનોને ચિહ્નિત કરો અને “-” ચિહ્ન વડે ભૂલભરેલા વિધાનોનું પરીક્ષણ કરો. વિકલ્પ 1 1. સ્વયંસિદ્ધ એ ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેનું ગાણિતિક નિવેદન છે જેને પુરાવાની જરૂર છે. 2. એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. 3. કોઈપણ કિરણ પર, શરૂઆતથી, તમે આપેલ એકના સમાન સેગમેન્ટ્સ અને તમને ગમે તેટલા પ્લૉટ કરી શકો છો. 4. આપેલ રેખા પર ન આવેલા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે. 5. જો બે રેખાઓ ત્રીજાની સમાંતર હોય, તો તે એકબીજાની સમાંતર હોય છે. વિકલ્પ 2 1. સ્વયંસિદ્ધ ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેનું ગાણિતિક નિવેદન છે, જે પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે. 2. એક સીધી રેખા કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, અને માત્ર એક. 3. આપેલ રેખા પર ન આવેલા બિંદુમાંથી, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર બે રેખાઓ જ પસાર થાય છે. 4. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખા પર લંબ છે. 5. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખાને પણ છેદે છે.

ટેસ્ટ જવાબો વિકલ્પ 1 1. “-” 2. “-” 3. “-” 4. “+” 5. “+” વિકલ્પ 2 “+” “+” “-” “-” “+”

“ભૂમિતિ સાહસથી ભરેલી છે કારણ કે દરેક સમસ્યા પાછળ વિચારોનું સાહસ રહેલું છે. સમસ્યાનું નિરાકરણ એટલે સાહસનો અનુભવ કરવો.” (વી. પ્રોઇઝવોલોવ)

ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરીને, અમે સંખ્યાબંધ પ્રમેય સાબિત કર્યા. આમ કરવાથી, અમે એક નિયમ તરીકે, અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેય પર આધાર રાખ્યો હતો. ભૂમિતિના પ્રથમ પ્રમેયના પુરાવા કયા આધારે છે? આ પ્રશ્નનો જવાબ આ છે: ભૌમિતિક આકૃતિઓના ગુણધર્મો વિશેના કેટલાક નિવેદનો પ્રારંભિક બિંદુઓ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે, જેના આધારે વધુ પ્રમેય સાબિત થાય છે અને સામાન્ય રીતે, બધી ભૂમિતિ બનાવવામાં આવે છે. આવી પ્રારંભિક સ્થિતિ કહેવામાં આવે છે સ્વયંસિદ્ધ.

કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો પાછા પ્રથમ પ્રકરણમાં ઘડવામાં આવ્યા હતા (જોકે તેમને ત્યાં સ્વયંસિદ્ધ કહેવાતા ન હતા). ઉદાહરણ તરીકે, તે એક સ્વયંસિદ્ધ છે જે

અન્ય ઘણા સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતો, જો કે ખાસ કરીને ભાર મૂક્યો ન હતો, વાસ્તવમાં અમારા તર્કમાં ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો. આમ, અમે એક સેગમેન્ટને બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કરીને બે સેગમેન્ટની સરખામણી કરી. આવા ઓવરલેપની શક્યતા નીચેના સ્વયંસિદ્ધથી અનુસરે છે:

બે ખૂણાઓની સરખામણી સમાન સ્વયંસિદ્ધ પર આધારિત છે:

આ તમામ સ્વયંસિદ્ધ સ્પષ્ટપણે સ્પષ્ટ અને શંકાની બહાર છે. "એક્સિઓમ" શબ્દ પોતે ગ્રીક "એક્સિઓસ" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક." અમે પાઠ્યપુસ્તકના અંતે અમારા ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમમાં અપનાવેલા પ્લાનિમેટ્રી સ્વયંસિદ્ધોની સંપૂર્ણ સૂચિ પ્રદાન કરીએ છીએ.

ભૂમિતિના નિર્માણ માટેનો આ અભિગમ, જ્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિ - સ્વયંસિદ્ધ - પ્રથમ ઘડવામાં આવે છે, અને પછી અન્ય નિવેદનો તેમના આધારે તાર્કિક તર્ક દ્વારા સાબિત થાય છે, જે પ્રાચીન સમયમાં ઉદ્ભવ્યું હતું અને પ્રાચીન ગ્રીક દ્વારા પ્રખ્યાત કૃતિ "સિદ્ધાંતો" માં દર્શાવેલ છે. વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડ. યુક્લિડના કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ (તેમાંથી કેટલાકને તેણે બોલાવ્યા ધારણા કરે છે) અને હવે તેનો ઉપયોગ ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમોમાં થાય છે, અને ભૂમિતિ પોતે, "એલિમેન્ટ્સ" માં રજૂ થાય છે, તેને કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડિયન ભૂમિતિ. આગળના ફકરામાં આપણે ભૂમિતિના સૌથી પ્રસિદ્ધ સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોમાંથી એકથી પરિચિત થઈશું.

સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

ચાલો આપણે મનસ્વી સીધી રેખા a અને બિંદુ M ધ્યાનમાં લઈએ જે તેના પર ન હોય (ફિગ. 110, a). ચાલો સાબિત કરીએ કે બિંદુ M દ્વારા રેખા a ની સમાંતર રેખા દોરવી શક્ય છે. આ કરવા માટે, બિંદુ M દ્વારા બે સીધી રેખાઓ દોરો: પ્રથમ સીધી રેખા c સીધી રેખા a ને કાટખૂણે, અને પછી સીધી રેખા b સીધી રેખા c (ફિગ. 110, (b) માટે લંબરૂપ છે. કારણ કે સીધી રેખાઓ a અને b કાટખૂણે છે. સીધી રેખા c, તેઓ સમાંતર છે.

ચોખા. 110

તેથી, બિંદુ M દ્વારા રેખા a ની સમાંતર બી રેખા પસાર થાય છે. નીચેનો પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: શું બિંદુ M દ્વારા બીજી રેખા દોરવી શક્ય છે, સીધી રેખા a ની સમાંતર?

અમને એવું લાગે છે કે જો સીધી રેખા b બિંદુ M ની આસપાસ ખૂબ જ નાના કોણ દ્વારા પણ "વળેલું" હોય, તો તે સીધી રેખા a (આકૃતિ 110.6 માં રેખા b") ને છેદે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અમને લાગે છે કે તે છે. બિંદુ M (b થી અલગ), રેખા a ની સમાંતર દ્વારા બીજી સીધી રેખા દોરવાનું અશક્ય છે શું આ વિધાનને સાબિત કરવું શક્ય છે?

આ પ્રશ્નનો લાંબો ઈતિહાસ છે. યુક્લિડના "એલિમેન્ટ્સ" માં એક પોસ્ટ્યુલેટ (યુક્લિડનું પાંચમું પોસ્ટ્યુલેટ) છે, જેમાંથી તે અનુસરે છે કે આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક સીધી રેખા દોરી શકાય છે. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ, પ્રાચીન કાળથી શરૂ કરીને, યુક્લિડની પાંચમી ધારણાને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે, એટલે કે, તેને અન્ય સ્વયંસિદ્ધોમાંથી મેળવવાનો. જો કે, આ પ્રયાસો દરેક વખતે નિષ્ફળ રહ્યા હતા. અને માત્ર છેલ્લી સદીમાં જ આખરે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે આપેલ રેખાના સમાંતર આપેલ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાની વિશિષ્ટતા વિશેનું નિવેદન યુક્લિડના બાકીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે સાબિત કરી શકાતું નથી, પરંતુ તે પોતે એક સ્વયંસિદ્ધ છે.

મહાન રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કી (1792-1856) એ આ મુશ્કેલ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી.

તેથી, અન્ય પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે અમે સ્વીકારીએ છીએ સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ.

વિધાન કે જે સીધા જ સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પરિણામો. ઉદાહરણ તરીકે, વિધાન 1 અને 2 (જુઓ પૃષ્ઠ 35) એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના દ્વિભાજક પરના પ્રમેયના પરિણામો છે.

ચાલો સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કેટલાક કોરોલરીને ધ્યાનમાં લઈએ.

ખરેખર, સીધી રેખા a અને b ને સમાંતર રહેવા દો અને સીધી રેખા c સીધી રેખા aને બિંદુ M પર છેદે છે (ફિગ. 111, a). ચાલો સાબિત કરીએ કે રેખા c પણ રેખા b ને છેદે છે. જો રેખા c રેખા b ને છેદતી ન હોય, તો રેખા b ની સમાંતર બે રેખાઓ (લાઇન a અને c) બિંદુ M (ફિગ. 111, b)માંથી પસાર થશે. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે, અને તેથી, રેખા c રેખા b ને છેદે છે.

ચોખા. 111

ખરેખર, સીધી રેખાઓ a અને b ને સીધી રેખા c (ફિગ. 112, a) ની સમાંતર રહેવા દો. ચાલો સાબિત કરીએ કે એ || b ચાલો ધારીએ કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી, એટલે કે, તેઓ અમુક બિંદુ M (ફિગ. 112.6) પર છેદે છે. પછી બે રેખાઓ બિંદુ M (રેખાઓ a અને b)માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા cની સમાંતર છે.

ચોખા. 112

પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. તેથી, અમારી ધારણા ખોટી છે, જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ a અને b સમાંતર છે.

બે સમાંતર રેખાઓ અને ટ્રાંસવર્સલ દ્વારા રચાયેલા ખૂણા પરના પ્રમેય

દરેક પ્રમેયના બે ભાગો હોય છે: સ્થિતિઅને નિષ્કર્ષ. પ્રમેયની સ્થિતિ એ છે જે આપવામાં આવે છે, અને નિષ્કર્ષ એ છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, બે સીધી રેખાઓની સમાંતરતા માટેના માપદંડને વ્યક્ત કરતા પ્રમેયને ધ્યાનમાં લઈએ: જો, જ્યારે બે સીધી રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે, તો અસત્ય ખૂણા સમાન છે, તો સીધી રેખાઓ સમાંતર છે.

આ પ્રમેયમાં, સ્થિતિ એ વિધાનનો પ્રથમ ભાગ છે: "જ્યારે બે રેખાઓ ક્રોસવાઇઝ છેદે છે, ત્યારે અસત્ય ખૂણા સમાન હોય છે" (આ આપેલ છે), અને નિષ્કર્ષ એ બીજો ભાગ છે: "રેખાઓ સમાંતર છે" (આ જરૂરી છે સાબિત કરવા માટે).

આ પ્રમેયની વાતચીત, એ એક પ્રમેય છે જેમાં શરત એ પ્રમેયનું નિષ્કર્ષ છે, અને નિષ્કર્ષ એ પ્રમેયની સ્થિતિ છે. ચાલો આપણે ફકરા 25 માં ત્રણ પ્રમેય સાથે વિરોધાભાસી પ્રમેય સાબિત કરીએ.

પ્રમેય

પુરાવો

સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ MN દ્વારા છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે ક્રોસવાઇઝ આવેલા ખૂણાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1 અને 2, સમાન છે (ફિગ. 113).

ચોખા. 113

ચાલો ધારીએ કે ખૂણા 1 અને 2 સમાન નથી. ચાલો કિરણ MN માંથી કોણ PMN કોણ 2 ની બરાબર બાદબાકી કરીએ, જેથી ∠PMN અને ∠2 એ સીકન્ટ MN દ્વારા MR અને b રેખાઓના આંતરછેદ પર ક્રોસવાઇઝ કોણ છે. બાંધકામ દ્વારા, આ ક્રોસ કરેલા ખૂણા સમાન છે, તેથી MR || b અમે જોયું કે બે રેખાઓ બિંદુ M (લાઇન a અને MP)માંથી પસાર થાય છે, જે રેખા b ની સમાંતર છે. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતનો વિરોધાભાસ કરે છે. આનો અર્થ એ થયો કે અમારી ધારણા ખોટી છે અને ∠1 = ∠2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી

આ પ્રમેયને સાબિત કરવા માટે, અમે તર્કની એક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કર્યો જેને કહેવાય છે વિરોધાભાસ દ્વારા પુરાવા દ્વારા.

અમે ધાર્યું કે જ્યારે સમાંતર રેખાઓ a અને b એ સેકન્ટ MN ને ક્રોસવાઇઝ છેદે છે, ત્યારે અસત્ય ખૂણા 1 અને 2 સમાન નથી, એટલે કે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે તેની વિરુદ્ધ અમે ધાર્યું છે. આ ધારણાના આધારે, તર્ક દ્વારા આપણે સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ સાથે વિરોધાભાસ પર આવ્યા છીએ. આનો અર્થ એ થયો કે અમારી ધારણા ખોટી છે અને તેથી ∠1 = ∠2.

તર્કની આ રીતનો ગણિતમાં વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. અમે તેનો ઉપયોગ અગાઉ કર્યો હતો, ઉદાહરણ તરીકે, ફકરા 12 માં જ્યારે સાબિત કરે છે કે ત્રીજાને કાટખૂણે બે લીટીઓ છેદતી નથી. અમે ફકરા 28 માં સમાન પદ્ધતિનો ઉપયોગ 1 0 અને 2 0 ને સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધથી સાબિત કરવા માટે કર્યો છે.

પરિણામ

ખરેખર, ચાલો એક || b, c ⊥ a, એટલે કે ∠1 = 90° (ફિગ. 114). રેખા c રેખા a ને છેદે છે, તેથી તે રેખા b ને પણ છેદે છે. જ્યારે સમાંતર રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે છે, ત્યારે સમાન ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓ રચાય છે: ∠1=∠2. ત્યારથી ∠1 = 90°, પછી ∠2 = 90°, એટલે કે, c ⊥ b, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

ચોખા. 114

પ્રમેય

પુરાવો

સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ c વડે છેદે છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુરૂપ ખૂણાઓ, ઉદાહરણ તરીકે 1 અને 2, સમાન છે (જુઓ. ફિગ. 102). ત્યારથી || b, પછી ક્રોસવાઇઝ ખૂણા 1 અને 3 સમાન છે.

ખૂણા 2 અને 3 વર્ટિકલ સમાન છે. સમાનતાઓમાંથી ∠1 = ∠3 અને ∠2 = ∠3 તે અનુસરે છે કે ∠1 = ∠2. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય

પુરાવો

સમાંતર રેખાઓ a અને b ને સેકન્ટ c વડે છેદવા દો (ફિગ. 102 જુઓ). ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે ∠1 + ∠4 = 180°. ત્યારથી || b, તો અનુરૂપ ખૂણા 1 અને 2 સમાન છે. ખૂણા 2 અને 4 અડીને છે, તેથી ∠2 + ∠4 = 180°. સમાનતાઓમાંથી ∠1 = ∠2 અને ∠2 + ∠4 = 180° તે અનુસરે છે કે ∠1 + ∠4 = 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ટિપ્પણી

જો કોઈ ચોક્કસ પ્રમેય સાબિત થાય, તો કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ અનુસરતું નથી. તદુપરાંત, વાતચીત હંમેશા સાચી હોતી નથી. ચાલો એક સરળ ઉદાહરણ આપીએ. આપણે જાણીએ છીએ કે જો ખૂણાઓ લંબરૂપ છે, તો તે સમાન છે. કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ: "જો ખૂણા સમાન હોય, તો તે વર્ટિકલ છે" અલબત્ત, ખોટું છે.

અનુક્રમે સમાંતર અથવા લંબ બાજુઓ સાથેના ખૂણા

ચાલો અનુરૂપ સમાંતર બાજુઓ સાથે કોણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.

પ્રમેય

પુરાવો

∠AOB અને ∠A 1 O 1 B 1 એ આપેલ ખૂણા અને OA હોવા દો || ઓ 1 એ 1 , ઓબી || લગભગ 1 માં 1. જો કોણ AOB વિકસાવવામાં આવે છે, તો કોણ A 1 O 1 B 1 પણ વિકસિત છે (શા માટે સમજાવો), તેથી આ ખૂણા સમાન છે. ચાલો ∠AOB એક અવિકસિત કોણ છે. ખૂણા AOB અને A 1 O 1 B 1 ના સ્થાનના સંભવિત કિસ્સાઓ આકૃતિ 115, a અને b માં બતાવવામાં આવ્યા છે. સીધી રેખા O 1 B 1 રેખા O 1 A 1 ને છેદે છે અને તેથી, રેખા OA ને અમુક બિંદુએ તેની સમાંતર છેદે છે. સમાંતર રેખાઓ OB અને O 1 B 1 એ સેકન્ટ OM દ્વારા છેદે છે, તેથી તેમાંથી એક સીધી રેખાઓ O 1 B 1 અને OA (આકૃતિ 115 માં કોણ 1) ના આંતરછેદ પર બનેલો ખૂણો, કોણ AOB (જેમ કે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા) ની બરાબર છે. સમાંતર રેખાઓ OA અને O 1 A 1 એ સેકન્ટ O 1 M દ્વારા છેદે છે, તેથી કાં તો ∠1 = ∠A 1 O 1 B 1 (ફિગ. 115, a), અથવા ∠1 + ∠A 1 O 1 B 1 = 180 ° (ફિગ. 115, બી). સમાનતા ∠1 = ∠AOB અને છેલ્લી બે સમાનતાઓ પરથી તે અનુસરે છે કે કાં તો ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 (જુઓ આકૃતિ. 115, a), અથવા ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180° (જુઓ ફિગ. 115, b). પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ચોખા. 115

ચાલો હવે અનુરૂપ કાટખૂણે બાજુઓ સાથે કોણ વિશે પ્રમેય સાબિત કરીએ.

પ્રમેય

પુરાવો

ચાલો ∠AOB અને ∠A 1 O 1 B 1 ને કોણ, OA ⊥ O 1 A 1 , OB ⊥ O 1 B 1 આપીએ. જો AOB કોણ ઊલટું અથવા સીધો છે, તો કોણ A 1 O 1 B 1 ઊલટું અથવા સીધો છે (શા માટે સમજાવો), તેથી આ ખૂણા સમાન છે. ચાલો ∠AOB< 180°, О ∉ О 1 А 1 , О ∉ О 1 В 1 (случаи О ∈ O 1 А 1 , О ∈ О 1 В 1 рассмотрите самостоятельно).

બે કિસ્સાઓ શક્ય છે (ફિગ. 116).

1 0 ∠AOB< 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А 1 О 1 В 1 (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠COD + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1 , либо ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°.

2 0 ∠AOB > 90° (જુઓ ફિગ. 116, b). ચાલો રે OS દોરીએ જેથી કોણ AOS એ કોણ AOB ને અડીને આવે. કોણ AOC તીવ્ર છે, અને તેની બાજુઓ કોણ A 1 O 1 B 1 ની બાજુઓને અનુરૂપ કાટખૂણે છે. તેથી, કાં તો ∠AOC + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°, અથવા ∠AOC = ∠A 1 O 1 B 1 . પ્રથમ કિસ્સામાં, ∠AOB = ∠A 1 O 1 B 1, બીજા કિસ્સામાં, ∠AOB + ∠A 1 O 1 B 1 = 180°. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

કાર્યો

196. ABC ત્રિકોણ આપેલ છે. શિરોબિંદુ C દ્વારા બાજુ AB ની સમાંતર કેટલી રેખાઓ દોરી શકાય?

197. રેખા p પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા ચાર સીધી રેખાઓ દોરવામાં આવે છે. આ રેખાઓમાંથી કેટલી રેખા p ને છેદે છે? બધા સંભવિત કેસોને ધ્યાનમાં લો.

198. રેખાઓ a અને b રેખા p ને કાટખૂણે છે, રેખા c રેખા aને છેદે છે. શું રેખા c રેખા b ને છેદે છે?

199. રેખા p એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુ AB ની સમાંતર છે. સાબિત કરો કે રેખાઓ BC અને AC રેખા r ને છેદે છે.

200. આકૃતિ 117 એડી માં || p અને PQ || સૂર્ય. સાબિત કરો કે રેખા p રેખાઓ AB, AE, AC, BC અને PQ ને છેદે છે.

ચોખા. 117

201. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે ત્યારે ક્રોસવાઇઝ ખૂણાઓનો સરવાળો 210° જેટલો છે. આ ખૂણાઓ શોધો.

202. આકૃતિ 118 માં, રેખાઓ a, b અને c રેખા d દ્વારા છેદે છે, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. a, b અને c કઈ રેખાઓ સમાંતર છે?

ચોખા. 118

203. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ a અને b ટ્રાંસવર્સલ c સાથે છેદે ત્યારે બનેલા તમામ ખૂણા શોધો, જો:

a) એક ખૂણો 150° છે;
b) એક ખૂણો બીજા કરતા 70° મોટો છે.

204. AB સેગમેન્ટના છેડા a અને b સમાંતર રેખાઓ પર આવેલા છે. આ સેગમેન્ટના મધ્ય Oમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા a અને b ને C અને D બિંદુઓ પર છેદે છે. સાબિત કરો કે CO = OD.

205. આકૃતિ 119 માં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, ∠1 શોધો.

ચોખા. 119

206. ∠ABC = 70°, અને ABCD = 110°. ડાયરેક્ટ AB અને CD હોઈ શકે છે:

a) સમાંતર;
b) છેદે છે?

207. સમસ્યા 206 માં પ્રશ્નોના જવાબ આપો જો ∠ABC = 65° અને ∠BCD = 105° હોય.

208. જ્યારે બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાંસવર્સલ સાથે છેદે છે ત્યારે બે એકતરફી ખૂણા વચ્ચેનો તફાવત 50° છે. આ ખૂણાઓ શોધો.

209. આકૃતિ 120 a || b, c || d, ∠4 = 45°. ખૂણા 1, 2 અને 3 શોધો.

ચોખા. 120

210. બ્લોક્સ A અને B (ફિગ. 121) પર ફેંકવામાં આવેલા થ્રેડના છેડે બે શરીર P 1 અને P 2 લટકાવવામાં આવ્યા છે. ત્રીજું શરીર P 3 બિંદુ C પર સમાન થ્રેડથી સસ્પેન્ડ થયેલ છે અને P 1 અને P 2 શરીરને સંતુલિત કરે છે. (આ કિસ્સામાં, AP 1 || BP 2 || CP 3.) સાબિત કરો કે ∠ACB = ∠CAP 1 + ∠CBP 2 .

ચોખા. 121

211. બે સમાંતર રેખાઓ ટ્રાન્સવર્સલ દ્વારા છેદે છે. સાબિત કરો કે: a) વિરોધી ખૂણાના દ્વિભાજકો સમાંતર છે; b) એક-બાજુવાળા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો કાટખૂણે છે.

212. ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ AA 1 અને BB 1 ધરાવતી સીધી રેખાઓ બિંદુ H પર છેદે છે, કોણ B સ્થૂળ છે, ∠C = 20°. કોણ ABB શોધો.

સમસ્યાઓના જવાબો

196. એક સીધી રેખા.

197. ત્રણ કે ચાર.

201. 105°, 105°.

203. b) ચાર ખૂણા 55° છે, અન્ય ચાર ખૂણા 125° છે.

206. a) હા; b) હા.

207. a) ના; b) હા.

208. 115° અને 65°.

209. ∠1 = 135°, ∠2 = 45°, ∠3=135°.

210. સૂચના. બીમ CP 3 ની ચાલુ રાખવાનો વિચાર કરો.

§ 1 સમાંતર રેખાઓનો સ્વયંસિદ્ધ

ચાલો શોધી કાઢીએ કે કયા વિધાનોને સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે, ધરીના ઉદાહરણો આપીએ, સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ ઘડતર કરીએ અને તેના કેટલાક પરિણામોનો વિચાર કરીએ.

ભૌમિતિક આકૃતિઓ અને તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વિવિધ નિવેદનો - પ્રમેય સાબિત કરવાની જરૂર ઊભી થાય છે. તેમને સાબિત કરતી વખતે, તેઓ ઘણીવાર અગાઉ સાબિત થયેલા પ્રમેય પર આધાર રાખે છે. પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: પ્રથમ પ્રમેયના પુરાવા કયા આધારે છે? ભૂમિતિમાં, કેટલીક પ્રારંભિક ધારણાઓ સ્વીકારવામાં આવે છે, અને તેના આધારે નીચેના પ્રમેય સાબિત થાય છે. આવી પ્રારંભિક જોગવાઈઓને સ્વયંસિદ્ધ કહેવામાં આવે છે. સ્વયંસિદ્ધ પુરાવા વિના સ્વીકારવામાં આવે છે. Axiom શબ્દ ગ્રીક શબ્દ "axios" પરથી આવ્યો છે, જેનો અર્થ થાય છે "મૂલ્યવાન, લાયક."

આપણે કેટલાક સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોથી પહેલેથી જ પરિચિત છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, સ્વયંસિદ્ધ નિવેદન છે: કોઈપણ બે બિંદુઓમાંથી એક સીધી રેખા પસાર થાય છે, અને માત્ર એક.

બે લાઇન સેગમેન્ટ્સ અને બે એન્ગલની સરખામણી કરતી વખતે, અમે એક સેગમેન્ટને બીજા પર સુપરઇમ્પોઝ કર્યો, અને એન્ગલને બીજા એન્ગલ પર સુપરઇમ્પોઝ કર્યો. આવી લાદવાની શક્યતા નીચેના સિદ્ધાંતોથી અનુસરે છે:

કોઈપણ કિરણ પર તેની શરૂઆતથી જ આપેલ એક સમાન અને માત્ર એક જ સેગમેન્ટનું પ્લોટિંગ શક્ય છે;

· આપેલ દિશામાં કોઈપણ કિરણમાંથી તમે આપેલ અવિકસિત કોણ સમાન કોણ અને વધુમાં, માત્ર એક જ ખૂણો કાઢી શકો છો.

ભૂમિતિ એ પ્રાચીન વિજ્ઞાન છે. લગભગ બે સહસ્ત્રાબ્દી માટે, પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક યુક્લિડ દ્વારા પ્રખ્યાત કૃતિ "એલિમેન્ટ્સ" અનુસાર ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. યુક્લિડે પ્રથમ પ્રારંભિક બિંદુઓ ઘડ્યા - પોસ્ટ્યુલેટ્સ, અને પછી, તેના આધારે, તાર્કિક તર્ક દ્વારા તેણે અન્ય નિવેદનો સાબિત કર્યા. પ્રિન્સિપિયામાં પ્રસ્તુત ભૂમિતિને યુક્લિડિયન ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે. વૈજ્ઞાનિકની હસ્તપ્રતોમાં પાંચમી પોસ્ટ્યુલેટ તરીકે ઓળખાતું નિવેદન છે, જેની આસપાસ ખૂબ લાંબા સમયથી વિવાદ ઉભો થયો હતો. ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ યુક્લિડની પાંચમી ધારણાને સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો છે, એટલે કે. અન્ય સ્વયંસિદ્ધોમાંથી તેને મેળવો, પરંતુ દરેક વખતે પુરાવા અધૂરા હતા અથવા અંતિમ અંત સુધી પહોંચ્યા હતા. માત્ર 19મી સદીમાં જ આખરે સ્પષ્ટતા કરવામાં આવી હતી કે યુક્લિડના બાકીના સ્વયંસિદ્ધ સિદ્ધાંતોના આધારે પાંચમી પોસ્ટ્યુલેટ સાબિત કરી શકાતી નથી અને તે પોતે એક સ્વયંસિદ્ધ છે. રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી નિકોલાઈ ઇવાનોવિચ લોબાચેવસ્કી (1792-1856) એ આ મુદ્દાને હલ કરવામાં મોટી ભૂમિકા ભજવી હતી. તેથી, પાંચમી ધારણા એ સમાંતર રેખાઓનું સ્વયંસિદ્ધ છે.

સ્વયંસિદ્ધ: આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુમાંથી આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે.

§ 2 સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કોરોલરીઝ

નિવેદનો કે જે સીધા સ્વયંસિદ્ધ અથવા પ્રમેયમાંથી લેવામાં આવે છે તેને કોરોલરી કહેવામાં આવે છે. ચાલો સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધમાંથી કેટલાક કોરોલરીને ધ્યાનમાં લઈએ.

કોરોલરી 1. જો રેખા બે સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખાને પણ છેદે છે.

આપેલ: રેખાઓ a અને b સમાંતર છે, રેખા c રેખા aને બિંદુ A પર છેદે છે.

સાબિત કરો: રેખા c રેખા b ને છેદે છે.

સાબિતી: જો રેખા c રેખા b ને છેદતી ન હોય, તો બે રેખા a અને c બિંદુ Aમાંથી પસાર થશે, રેખા b ની સમાંતર. પરંતુ આ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધનો વિરોધાભાસ કરે છે: આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક રેખા પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે રેખા c રેખા b ને છેદે છે.

કોરોલરી 2. જો બે રેખાઓ ત્રીજી રેખાની સમાંતર હોય, તો તે સમાંતર છે.

આપેલ: રેખાઓ a અને b રેખા c ની સમાંતર છે. (a||c, b||c)

સાબિત કરો: રેખા a રેખા b ની સમાંતર છે.

પુરાવો: ચાલો ધારીએ કે રેખાઓ a અને b સમાંતર નથી, એટલે કે. અમુક બિંદુ A પર છેદે છે. પછી બે રેખાઓ a અને b બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે, રેખા c ની સમાંતર. પરંતુ સમાંતર રેખાઓના સ્વયંસિદ્ધ અનુસાર, આપેલ રેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ દ્વારા, આપેલ રેખાની સમાંતર માત્ર એક સીધી રેખા તેમાંથી પસાર થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે અમારી ધારણા ખોટી છે, તેથી, રેખાઓ a અને b સમાંતર છે.

વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ:

ભૂમિતિ. ગ્રેડ 7-9: પાઠયપુસ્તક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / L.S. અતાનાસ્યાન, વી.એફ. બુતુઝોવ, એસ.બી. Kadomtsev એટ અલ. - એમ.: શિક્ષણ, 2013. - 383 પૃષ્ઠ: બીમાર.
ગેવરીલોવા એન.એફ. ભૂમિતિ ગ્રેડ 7 માં પાઠ વિકાસ. - એમ.: "વાકો", 2004, 288 પૃષ્ઠ. - (શાળાના શિક્ષકને મદદ કરવા).
બેલિટ્સકાયા ઓ.વી. ભૂમિતિ. 7 મી ગ્રેડ. ભાગ 1. ટેસ્ટ. – સારાટોવ: લિસિયમ, 2014. – 64 પૃષ્ઠ.

વપરાયેલ છબીઓ: