(2.1) સાથે સામ્યતા દ્વારા, સિસ્ટમ (5.1) ને નીચેના સમકક્ષ સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

જ્યાં g(x) એ વેક્ટર દલીલનું પુનરાવર્તિત વેક્ટર કાર્ય છે. બિનરેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ મોટાભાગે સીધા સ્વરૂપમાં ઊભી થાય છે (5.2) (ઉદાહરણ તરીકે, વિભેદક સમીકરણો માટેની સંખ્યાત્મક યોજનાઓમાં); જો આપણે એક સમીકરણ માટે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ સાથે સામ્યતા ચાલુ રાખીએ, તો સમીકરણ (5.2) પર આધારિત પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા નીચે પ્રમાણે ગોઠવી શકાય છે:

• 1) કેટલાક પ્રારંભિક વેક્ટર x (,) e 5 o (x 0, અ)(એવું માનવામાં આવે છે કે x* e 5″(x 0, એ));
• 2) અનુગામી અંદાજો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે

પછી પુનરાવર્તન પ્રક્રિયા પૂર્ણ થાય છે અને

પહેલાની જેમ, આપણે કઈ પરિસ્થિતિઓમાં શોધવાની જરૂર છે

ચાલો એક સરળ વિશ્લેષણ કરીને આ મુદ્દાની ચર્ચા કરીએ. પહેલા આપણે ith એપ્રોક્સિમેશનની ભૂલને e(^ = x(i) - x* તરીકે રજૂ કરીએ છીએ. પછી આપણે લખી શકીએ છીએ.

ચાલો આ સમીકરણોને (5.3) માં બદલીએ અને g(x* + e (/i)) ને પાવર્સમાં વિસ્તૃત કરીએ e(k> x* ની પડોશમાં વેક્ટર દલીલના કાર્ય તરીકે (ધારી રહ્યા છીએ કે ફંક્શન g(x) ના તમામ આંશિક ડેરિવેટિવ્સ સતત છે). એ પણ ધ્યાનમાં લેતા કે x* = g(x*), આપણને મળે છે

અથવા મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં

B = (bnm)= I (x*)1 - પુનરાવર્તન મેટ્રિક્સ.

જો ભૂલ દર ||e®|| તે પૂરતું નાનું છે, તો પછી અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુના બીજા શબ્દ (5.4) ને અવગણવામાં આવી શકે છે, અને પછી તે અભિવ્યક્તિ (2.16) સાથે એકરુપ થાય છે. પરિણામે, ચોક્કસ ઉકેલની નજીક પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (5.3) ના કન્વર્જન્સ માટેની સ્થિતિ પ્રમેય 3.1 દ્વારા વર્ણવવામાં આવી છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સ્થિતિ (5.3):

અને પૂરતી સ્થિતિ:

આ શરતો વ્યવહારિક મહત્વની જગ્યાએ સૈદ્ધાંતિક છે, કારણ કે આપણે x' જાણતા નથી. (1.11) સાથે સામ્યતા દ્વારા, અમે એવી સ્થિતિ મેળવીએ છીએ જે ઉપયોગી થઈ શકે. ચાલો x* e 5 o (x 0, અ)અને ફંક્શન g(x) માટે જેકોબિયન મેટ્રિક્સ

બધા x e માટે અસ્તિત્વમાં છે S n (x 0 , a) (નોંધ કરો કે C(x*) = B). જો મેટ્રિક્સ C(x) ના તત્વો અસમાનતાને સંતોષે છે

બધા માટે x e 5″(x 0, એ),પછી કોઈપણ મેટ્રિક્સ ધોરણ માટે પૂરતી સ્થિતિ (5.5) પણ સંતુષ્ટ છે.

ઉદાહરણ 5.1 (સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ) સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમનો વિચાર કરો:

આ સિસ્ટમને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવાની એક શક્યતા (5.2) વ્યક્ત કરવી છે એક્સપ્રથમ સમીકરણમાંથી અને x 2બીજા સમીકરણમાંથી:

પછી પુનરાવર્તન યોજનામાં ફોર્મ છે

ચોક્કસ ઉકેલ x* e 5„((2, 2), 1) છે. ચાલો પ્રારંભિક વેક્ટર x (0) = (2,2) અને પસંદ કરીએ ? p =સીટી 5. ગણતરીના પરિણામો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 5.1.

કોષ્ટક 5.1

આ પરિણામો દર્શાવે છે કે કન્વર્જન્સ એકદમ ધીમી છે. કન્વર્જન્સની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા મેળવવા માટે, અમે એક સરળ વિશ્લેષણ કરીએ છીએ, x (1/) ને ચોક્કસ ઉકેલ તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. અમારા પુનરાવર્તિત કાર્ય માટે જેકોબિયન મેટ્રિક્સ C(x) ફોર્મ ધરાવે છે

પછી મેટ્રિક્સ B અંદાજે અંદાજવામાં આવે છે

તે તપાસવું સરળ છે કે ન તો સ્થિતિ (5.5) અને ન તો સ્થિતિ (5.6) સંતુષ્ટ છે, પરંતુ 5(B) ~ 0.8 થી કન્વર્જન્સ થાય છે.

ગણતરીની પ્રક્રિયામાં થોડો ફેરફાર કરીને સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના કન્વર્જન્સને ઝડપી બનાવવું ઘણીવાર શક્ય છે. આ ફેરફારનો વિચાર ખૂબ જ સરળ છે: ગણતરી કરવી nવેક્ટર ઘટકો x (A+1)માત્ર ઉપયોગ કરી શકાતો નથી (t = n,..., એન), પણ આગલા અંદાજ વેક્ટરના પહેલાથી ગણતરી કરેલ ઘટકો પણ x k^ (/= 1,p - 1). આમ, સંશોધિત સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિને નીચેની પુનરાવૃત્તિ યોજના તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

જો પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (5.3) દ્વારા જનરેટ થયેલ અંદાજો એકરૂપ થાય છે, તો પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (5.8) માહિતીના વધુ સંપૂર્ણ ઉપયોગને કારણે વધુ ઝડપથી કન્વર્જ થવાનું વલણ ધરાવે છે.

ઉદાહરણ 5.2 (સંશોધિત સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ) સિસ્ટમ (5.7) માટે સંશોધિત સરળ પુનરાવર્તન આ રીતે રજૂ થાય છે

પહેલાની જેમ, આપણે પ્રારંભિક વેક્ટર x (0) = (2, 2) અને પસંદ કરીએ છીએ g r = = 10 -5. ગણતરીના પરિણામો કોષ્ટકમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 5.2.

કોષ્ટક 5.2

I ગણતરીઓના ક્રમમાં મોટા ફેરફારને કારણે પુનરાવૃત્તિઓની સંખ્યા અડધી થઈ ગઈ, અને તેથી કામગીરીની સંખ્યા અડધી થઈ ગઈ.

1. એક સેગમેન્ટને જાણીએ જેમાં સમીકરણ f(x) = 0 નું એક મૂળ હોય છે. ફંક્શન f આ સેગમેન્ટ (f(x)OC 1 ) પર સતત વિભેદક કાર્ય છે. જો આ શરતો પૂરી થાય છે, તો સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

2. ફંક્શન f(x) નો ઉપયોગ કરીને, ફંક્શન j(x) બનાવવામાં આવે છે જે ત્રણ શરતોને સંતોષે છે: તે સતત વિભેદક હોવું જોઈએ (j(x)OC 1 ), જેમ કે સમીકરણ x = j(x) એ સમીકરણ f(x)=0 ની સમકક્ષ છે; પણ જોઈએ એક સેગમેન્ટનું ભાષાંતર કરો તમારામાં.

આપણે કહીશું કે ફંક્શન જે ( x ) સેગમેન્ટનું ભાષાંતર કરે છે [ a , b ] તમારામાં, જો કોઈ માટે x Î [ a , b ], y = j ( x ) પણ સંબંધ ધરાવે છે[ a , b ] ( y Î [ a , b ]).

ત્રીજી શરત ફંક્શન j(x) પર લાદવામાં આવી છે:

પદ્ધતિ સૂત્ર: x n +1 = j(xn).

3. જો કોઈપણ પ્રારંભિક અંદાજ x માટે આ ત્રણ શરતો પૂરી થાય છે 0 પુનરાવર્તનોનો ક્રમ x n +1 = j(x n) સમીકરણના મૂળમાં કન્વર્જ થાય છે: x = j(x) સેગમેન્ટ () પર.

એક નિયમ તરીકે, x 0 તરીકે એક છેડો પસંદ થયેલ છે.

,

જ્યાં e ઉલ્લેખિત ચોકસાઈ છે

નંબર x n +1 જ્યારે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની શરત પૂરી થાય છે, તે છે સમીકરણના મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય f(x) = 0 સેગમેન્ટ પર , ચોકસાઈ સાથે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છેઇ .

સમીકરણના મૂળને સ્પષ્ટ કરવા માટે એક અલ્ગોરિધમનું નિર્માણ કરો: ચોકસાઈ સાથે સરળ પુનરાવર્તનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સેગમેન્ટ પર x 3 + 5x – 1 = 0 .

1. ફંક્શન f(x) = x 3 +5x-1 સમીકરણનું એક મૂળ ધરાવતા અંતરાલ પર સતત ભિન્નતા છે.

2. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિમાં સૌથી મોટી મુશ્કેલી એ ફંક્શન j(x) નું નિર્માણ છે જે બધી શરતોને સંતોષે છે:

ધ્યાનમાં લો: .

સમીકરણ x = j 1 (x) સમીકરણ f(x) = 0 ની સમકક્ષ છે, પરંતુ ફંક્શન j 1 (x) અંતરાલ પર સતત અલગ નથી.

ચોખા. 2.4. ફંક્શન j 2 (x) નો ગ્રાફ

બીજી બાજુ, તેથી, . તેથી: એક સતત વિભેદક કાર્ય છે. નોંધ કરો કે સમીકરણ: x = j 2 (x) એ સમીકરણ f(x) = 0 ની સમકક્ષ છે . ગ્રાફ (ફિગ. 2.4) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે ફંક્શન j 2 (x) સેગમેન્ટને પોતાનામાં રૂપાંતરિત કરે છે.

ફંક્શન j(x) સેગમેન્ટને પોતાનામાં લે છે તે શરત નીચે પ્રમાણે સુધારી શકાય છે: ફંક્શન j(x) ની વ્યાખ્યાનું ડોમેન બનવા દો, અને j(x) ની વિવિધતાનું ડોમેન બનવા દો.

, .

ફંક્શન j(x) માટેની તમામ શરતો સંતુષ્ટ છે.

પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા સૂત્ર: x n +1 = j 2(xn).

3. પ્રારંભિક અંદાજ: x 0 = 0.

4. પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટેની સ્થિતિ:

ચોખા. 2.5. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ભૌમિતિક અર્થ

.

જો આ સ્થિતિ x n +1 પૂરી થાય છે - સેગમેન્ટ પરના મૂળનું અંદાજિત મૂલ્ય, ચોકસાઈ સાથે સરળ પુનરાવર્તન દ્વારા જોવા મળે છે ઇ. ફિગ માં. 2.5. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો ઉપયોગ સચિત્ર છે.

કન્વર્જન્સ પ્રમેય અને ભૂલ અંદાજ

સેગમેન્ટ દો સમીકરણનું એક મૂળ ધરાવે છે x = j(x), કાર્ય j(x ) અંતરાલ પર સતત તફાવત છે , સેગમેન્ટનું ભાષાંતર કરે છે પોતાનામાં, અને શરત પૂરી થાય છે:

.

પછી કોઈપણ પ્રારંભિક અંદાજ માટે x 0 ઓ અનુગામી સમીકરણના મૂળમાં ફેરવે છે y = j(x ) સેગમેન્ટ પર અને ભૂલનો અંદાજ વાજબી છે:

.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિની સ્થિરતા. જ્યારે કન્વર્જન્સ પ્રમેયની શરતો પૂરી થાય છે, ત્યારે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનું અલ્ગોરિધમ સ્થિર હોય છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિની જટિલતા. સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવા માટે જરૂરી કમ્પ્યુટર મેમરીની માત્રા નજીવી છે. દરેક પગલા પર તમારે x n સ્ટોર કરવાની જરૂર છે , x n +1 , q અને ઇ.

ચાલો સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિને અમલમાં મૂકવા માટે જરૂરી અંકગણિત ક્રિયાઓની સંખ્યાનો અંદાજ લગાવીએ. ચાલો આપણે સંખ્યા n 0 = n 0 (e) માટે એક અંદાજ લખીએ જેમ કે બધા n ³ n 0 માટે અસમાનતા ધરાવે છે:

આ અંદાજ પરથી તે અનુસરે છે કે q એકની નજીક છે, પદ્ધતિ ધીમી કન્વર્જ થાય છે.

ટિપ્પણી. f(x) માંથી j(x) બાંધવા માટે કોઈ સામાન્ય નિયમ નથી જેથી કન્વર્જન્સ પ્રમેયની તમામ શરતો સંતોષાય. નીચેના અભિગમનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે: ફંક્શન j(x) = x + k× f(x) ફંક્શન j તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે, જ્યાં k – સતત

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિને પ્રોગ્રામ કરતી વખતે, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને રોકવા માટે ઘણીવાર બે શરતોની એક સાથે પરિપૂર્ણતાની જરૂર પડે છે:

અને .

અન્ય તમામ પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ કે જે આપણે ધ્યાનમાં લઈશું તે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના વિશિષ્ટ કેસો છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે ન્યૂટનની પદ્ધતિ એ સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓમાં, નીચેના ત્રણ તબક્કાઓ ધારવામાં આવે છે: ચોક્કસ ઉકેલમાં પરિવર્તિત થતી પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાના અનુગામી અંદાજોની ગણતરી માટે બાંધકામ (એટલે ​​​​કે, સચોટ ઉકેલમાં પરિવર્તિત થતા વેક્ટરના ક્રમનું નિર્માણ ; આ પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સ માપદંડને નિર્ધારિત કરવું, જે અમને જરૂરી ચોકસાઈ પ્રાપ્ત થાય ત્યારે તે ક્ષણ નક્કી કરવાની મંજૂરી આપે છે; જરૂરી સચોટતા હાંસલ કરવા માટે જરૂરી કામગીરીની સંખ્યા ઘટાડવા માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સ અને ઑપ્ટિમાઇઝેશનની ઝડપનો અભ્યાસ.

પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ સાથે ઉકેલ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે જો પદ્ધતિનું કન્વર્જન્સ સાબિત થાય. પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ સખત સચોટ ઉકેલ પ્રદાન કરતી નથી, કારણ કે તે વેક્ટર્સના ક્રમની મર્યાદા તરીકે પ્રાપ્ત થાય છે. સીધી પદ્ધતિ, સામાન્ય રીતે, ચોક્કસ ઉકેલ આપે છે, પરંતુ તમામ કમ્પ્યુટર્સ પર થતી રાઉન્ડિંગ ભૂલોને કારણે, તે પ્રાપ્ત કરી શકાતી નથી, અને પ્રાથમિકતાઆ ઉકેલ ચોક્કસ કરતાં કેટલો અલગ છે તેનું મૂલ્યાંકન કરવું પણ મુશ્કેલ છે. ઉપરોક્ત સાથે જોડાણમાં, પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓ કેટલીકવાર સીધી પદ્ધતિઓ કરતાં વધુ ચોકસાઈ સાથે ઉકેલ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે.

ચાલો રેખીય સમીકરણો ઉકેલવા માટે ઘણી પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિમાં, રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમ (2.1). Ax = bફોર્મની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડો કરે છે

સિસ્ટમનો ઉકેલ (2.9) અને પરિણામે, મૂળ સિસ્ટમ (2.1) નો ઉકેલ આના વેક્ટરના ક્રમની મર્યાદા તરીકે માંગવામાં આવે છે:

k = 0, 1, 2,…,(2.10)

સોલ્યુશન વેક્ટર માટે પ્રારંભિક અંદાજ ક્યાં છે.

સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટેની પૂરતી સ્થિતિ નીચેના પ્રમેય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

થિયોરેમ 1. જો મેટ્રિક્સનો કોઈપણ ધોરણ, વિચારણા હેઠળના વેક્ટરના ધોરણ સાથે સુસંગત હોય, તો તે એક કરતા ઓછો હોય (), તો સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિમાંનો ક્રમ સિસ્ટમ (2.9) ના ચોક્કસ સોલ્યુશનને ઓછી ઝડપે કન્વર્જ કરે છે. કોઈપણ પ્રારંભિક અંદાજ માટે છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિની ઝડપ કરતાં.

પુરાવો. પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, અમે એક ભૂલ રજૂ કરીએ છીએ. સંબંધમાંથી સમાનતા (2.10) બાદ કરીને, આપણે મેળવીએ છીએ. ધોરણો તરફ વળવું, અમારી પાસે છે

નોંધ કરો કે અસમાનતા અગાઉના અભિવ્યક્તિમાંથી મેટ્રિક્સ અને વેક્ટરના ધોરણની સુસંગતતા માટેની સ્થિતિ છે. જો , તો પછી પ્રારંભિક ભૂલના કોઈપણ વેક્ટર માટે (અથવા અન્યથા, કોઈપણ પ્રારંભિક વેક્ટર માટે), ભૂલનો ધોરણ છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ કરતાં શૂન્ય ધીમો થતો નથી.

જો આપણે મેટ્રિક્સના ધોરણ તરીકે ધોરણ પસંદ કરીએ અથવા પછી સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સના પ્રશ્નને ઉકેલવા માટે, તમે પ્રમેય 1 માંથી કોરોલરીનો ઉપયોગ કરી શકો છો: જો મેટ્રિક્સ માટે નીચેની શરતોમાંથી કોઈ એક સંતુષ્ટ હોય તો સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ કન્વર્જ થાય છે:

, i =1,2, …, n,

, j = 1, 2, …, n.(2.11)

સિસ્ટમ લાવવાની સૌથી સરળ અને સૌથી સામાન્ય રીત કુહાડી = bફોર્મમાં (2.9), પુનરાવર્તનો માટે અનુકૂળ, દરેક સાથે, વિકર્ણ તત્વો પસંદ કરવાનું છે i-thના સંદર્ભમાં સમીકરણ ઉકેલાય છે i-thઅજ્ઞાત:

, i = 1, 2, …, n, (2.12)

અને સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ તરીકે લખવામાં આવશે

મેટ્રિક્સ પછી ફોર્મ ધરાવે છે

.

આ મેટ્રિક્સનું એક તત્વ આ રીતે લખી શકાય છે ક્રોનેકર પ્રતીક ક્યાં છે. આ કિસ્સામાં, મેટ્રિક્સના ત્રાંસા તત્વોના વર્ચસ્વ માટેની સ્થિતિ તરીકે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિના સંકલન માટે પૂરતી સ્થિતિ ઘડી શકાય છે. એ, જે (2.11) થી અનુસરે છે અને મેટ્રિક્સના સંકેત, એટલે કે.

i = 1, 2, …, n.

ચાલો ફરી એક વાર ભારપૂર્વક જણાવીએ કે પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ માટે કન્વર્જન્સ શરતના માનવામાં આવેલા સ્વરૂપો જ પૂરતા છે. તેમની પરિપૂર્ણતા પદ્ધતિના કન્વર્જન્સની બાંયધરી આપે છે, પરંતુ સામાન્ય કિસ્સામાં તેમની નિષ્ફળતાનો અર્થ એ નથી કે સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ અલગ પડે છે. સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે પૂર્ણાંક ભાગ (મેટ્રિક્સનું મહત્તમ મોડ્યુલો ઇજેનવેલ્યુ ક્યાં છે એ); કમ્પ્યુટિંગ પ્રેક્ટિસમાં આ સ્થિતિનો ભાગ્યે જ ઉપયોગ થાય છે.

ચાલો ઉકેલની ભૂલનો અંદાજ કાઢવાના પ્રશ્ન પર આગળ વધીએ. ઉકેલની ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટેના બે સંબંધો રસના છે: પ્રથમ બે અનુગામી અંદાજો વચ્ચેના તફાવતના ધોરણ સાથે ભૂલના ધોરણને જોડે છે અને તેનો ઉપયોગ માત્ર ગણતરીની પ્રક્રિયામાં જ ભૂલનો અંદાજ કાઢવા માટે થઈ શકે છે; બીજું ભૂલના ધોરણને પ્રારંભિક અંદાજ વેક્ટરના ધોરણો અને સિસ્ટમમાં ફ્રી ટર્મના વેક્ટર સાથે જોડે છે (2.9). જરૂરી સંબંધો નીચેના બે પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે.

થિયોરેમ 2. જો મેટ્રિક્સનો કોઈપણ ધોરણ વિચારણા હેઠળના વેક્ટરના ધોરણ સાથે સુસંગત હોય એક્સ

. (2.13)

પુરાવો. ચાલો સમાનતામાંથી સમાનતા (2.10) બાદ કરીએ:

બંને બાજુથી અંદાજિત મૂલ્યને બાદ કરીને, અમે આ સંબંધને ફોર્મમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ

ધોરણો પર પસાર થવું, આપણે મેળવીએ છીએ

ત્યારથી પ્રમેયની શરતો અનુસાર, પછી

જે સંબંધમાંથી તે અનુસરે છે તેનો ઉપયોગ કરીને આપણે આખરે મેળવીએ છીએ:

થિયોરેમ 3. જો મેટ્રિક્સનો કોઈપણ ધોરણ વિચારણા હેઠળના વેક્ટરના ધોરણ સાથે સુસંગત હોય એક્સ, એક કરતાં ઓછું છે (), પછી નીચેની ભૂલ અંદાજ થાય છે:

ચાલો બે કોમેન્ટ કરીએ. પ્રથમ, સંબંધ (2.13) ફોર્મમાં લખી શકાય છે

અમને પ્રથમ બે પુનરાવર્તનોના પરિણામોના આધારે ભૂલનો અંદાજ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. પ્રથમ, પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, કેટલીકવાર ગણતરીની ભૂલના અંદાજ તરીકે બે અનુગામી અંદાજો વચ્ચેના તફાવતના ધોરણનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે. ભૂલ માટેના સંબંધોમાંથી તે અનુસરે છે કે સામાન્ય કિસ્સામાં આ સાચું નથી. જો ધોરણ એકતાની નજીક છે, તો પછી ગુણાંક ખૂબ મોટો હોઈ શકે છે.

અનુગામી પુનરાવર્તનોની ભૂલો સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

તે પગલા દરમિયાન ભૂલ રેખીય રીતે બદલાય છે. એવું કહેવાય છે કે પદ્ધતિ ધરાવે છે લીનિયર કન્વર્જન્સઅથવા કન્વર્જન્સનો પ્રથમ ક્રમ. જો કે, જરૂરી સચોટતા હાંસલ કરવા માટે જરૂરી પુનરાવર્તનોની સંખ્યા મૂલ્ય અને પ્રારંભિક અંદાજ પર આધારિત છે.

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓના ત્રણ તબક્કાઓ દર્શાવવામાં આવે છે: સૂત્ર (1.10) દ્વારા ઉત્પાદિત વેક્ટરના ક્રમનું નિર્માણ; પ્રમેય 1 નો ઉપયોગ કરીને કન્વર્જન્સની સ્થિતિ નક્કી કરવી અને પ્રમેય 2 અને 3 નો ઉપયોગ કરીને કન્વર્જન્સના દરનો અંદાજ કાઢવો.

સીડેલ પદ્ધતિ

સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાના કન્વર્જન્સને સુધારવાની દેખીતી દેખીતી શક્યતાનો ઉપયોગ કરતી નથી - ગણતરીમાં નવા ગણતરી કરેલ વેક્ટર ઘટકોનો તાત્કાલિક પરિચય. આ સુવિધાનો ઉપયોગ પુનરાવર્તિત સીડેલ પદ્ધતિમાં થાય છે. સિસ્ટમ માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (2.9) સંબંધ અનુસાર પૂર્ણ થાય છે

i = 1, 2, …, n (2.14)

અથવા સિસ્ટમ માટે (1.1)

વિગતોમાં ગયા વિના, અમે નોંધીએ છીએ કે સીડેલ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ ઘણીવાર સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ કરતાં વધુ ઝડપી કન્વર્જન્સ તરફ દોરી જાય છે. જો કે, એવા કિસ્સાઓ હોઈ શકે છે કે જ્યાં સીડેલ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ કરતાં વધુ ધીમેથી રૂપાંતરિત થાય છે, અને એવા કિસ્સાઓ પણ હોઈ શકે છે કે જ્યાં સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ એકરૂપ થાય છે, પરંતુ સીડેલ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ અલગ પડે છે.

તેની નોંધ લો સીડેલની પદ્ધતિ એકરૂપ થાય છેજો મેટ્રિક્સ એહકારાત્મક ચોક્કસ અને સપ્રમાણ.

ચાલો આપણે બતાવી દઈએ કે સીડેલ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ એ અમુક સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિની સમકક્ષ છે જેમાં ખાસ બાંધવામાં આવેલ મેટ્રિક્સ અને વેક્ટર સંબંધમાં (2.10) છે. આ કરવા માટે, અમે સિસ્ટમ (2.14)ને ફોર્મમાં લખીએ છીએ જ્યાં F એ મેટ્રિક્સના ગુણાંકનો ઉપલા ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ છે, અને અમે સિસ્ટમને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ જ્યાં E એ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે. મેટ્રિક્સ (E-N)- એક સમાન ત્રાંસા તત્વો સાથેનું નીચું ત્રિકોણાકાર મેટ્રિક્સ. પરિણામે, આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય છે (એકની બરાબર) અને તેમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે. પછી

સોલ્યુશન (2.10) સાથે આ સંબંધની સરખામણી કરતા, અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ કે સીડેલ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિ ખરેખર સરળ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિની સમકક્ષ છે આ અર્થમાં કે સીડેલ પુનરાવૃત્તિ પદ્ધતિના કન્વર્જન્સ માટે સ્થિતિ અને માપદંડ સ્થાપિત કરવા માટે, આપણે પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ માટે આપવામાં આવે છે, જો આપણે મૂકીએ સિસ્ટમ (2.12) માટેની પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા પણ વધુ સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખાયેલ છે, એટલે કે

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ મૂળ સમીકરણને સમકક્ષ સમીકરણ સાથે બદલવા પર આધારિત છે:

મૂળના પ્રારંભિક અંદાજને જાણવા દો x = x 0. તેને સમીકરણ (2.7) ની જમણી બાજુએ બદલીને, આપણે એક નવો અંદાજ મેળવીએ છીએ , પછી એ જ રીતે આપણે મેળવીએ છીએ વગેરે.

. (2.8)

બધી પરિસ્થિતિઓમાં પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા સમીકરણના મૂળમાં ફેરવાતી નથી એક્સ. ચાલો આ પ્રક્રિયા પર નજીકથી નજર કરીએ. આકૃતિ 2.6 વન-વે કન્વર્જન્ટ અને ડાયવર્જન્ટ પ્રક્રિયાનું ગ્રાફિકલ અર્થઘટન દર્શાવે છે. આકૃતિ 2.7 દ્વિ-માર્ગી સંકલિત અને ભિન્ન પ્રક્રિયાઓ દર્શાવે છે. એક અલગ પ્રક્રિયા દલીલ અને કાર્યના મૂલ્યોમાં ઝડપી વધારો અને અનુરૂપ પ્રોગ્રામની અસામાન્ય સમાપ્તિ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

દ્વિ-માર્ગી પ્રક્રિયા સાથે, સાયકલિંગ શક્ય છે, એટલે કે સમાન કાર્ય અને દલીલ મૂલ્યોનું અનંત પુનરાવર્તન. લૂપિંગ એક અલગ પ્રક્રિયાને કન્વર્જન્ટથી અલગ કરે છે.

આલેખ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે એકતરફી અને દ્વિ-બાજુની પ્રક્રિયાઓ માટે, મૂળની નજીકના વળાંકના ઢોળાવ દ્વારા રુટનું કન્વર્જન્સ નક્કી કરવામાં આવે છે. ઢોળાવ જેટલો નાનો છે, તેટલું સારું કન્વર્જન્સ. જેમ જાણીતું છે, વળાંકના ઢોળાવની સ્પર્શક એ આપેલ બિંદુ પર વળાંકના વ્યુત્પન્ન સમાન છે.

તેથી, રુટની નજીકની સંખ્યા જેટલી નાની છે, પ્રક્રિયા જેટલી ઝડપથી કન્વર્જ થાય છે.

પુનરાવૃત્તિ પ્રક્રિયા કન્વર્જન્ટ બનવા માટે, નીચેની અસમાનતા મૂળની નજીકમાં સંતોષવી આવશ્યક છે:

સમીકરણ (2.1) થી સમીકરણ (2.7) માં સંક્રમણ કાર્યના પ્રકારને આધારે વિવિધ રીતે કરી શકાય છે. f(x).આવા સંક્રમણમાં, ફંક્શનનું નિર્માણ કરવું જરૂરી છે જેથી કન્વર્જન્સ સ્થિતિ (2.9) સંતુષ્ટ થાય.

ચાલો સમીકરણ (2.1) થી સમીકરણ (2.7) માં સંક્રમણ માટેના એક સામાન્ય અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીએ.

ચાલો સમીકરણ (2.1) ની ડાબી અને જમણી બાજુઓને મનસ્વી સ્થિરાંક વડે ગુણાકાર કરીએ bઅને બંને ભાગોમાં અજ્ઞાત ઉમેરો એક્સ.આ કિસ્સામાં, મૂળ સમીકરણના મૂળ બદલાશે નહીં:

ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ અને ચાલો સંબંધ (2.10) થી સમીકરણ (2.8) તરફ આગળ વધીએ.

સતતની મનસ્વી પસંદગી bકન્વર્જન્સ શરતની પરિપૂર્ણતાની ખાતરી કરશે (2.9). પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને સમાપ્ત કરવા માટેનો માપદંડ શરત હશે (2.2). આકૃતિ 2.8 વર્ણવેલ રજૂઆતની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ પુનરાવર્તનોની પદ્ધતિનું ગ્રાફિકલ અર્થઘટન બતાવે છે (X અને Y અક્ષો સાથેના ભીંગડા અલગ છે).

જો ફંક્શન ફોર્મમાં પસંદ કરવામાં આવે, તો આ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન હશે. કન્વર્જન્સની સૌથી વધુ ઝડપ , પછી હશે અને પુનરાવર્તન સૂત્ર (2.11) ન્યૂટનના સૂત્રમાં ફેરવાય છે. આમ, ન્યુટનની પદ્ધતિમાં તમામ પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાઓના સંપાતની ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છે.

સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિનું સોફ્ટવેર અમલીકરણ સબરૂટિન પ્રક્રિયાના સ્વરૂપમાં કરવામાં આવે છે ઇટેરાસ(કાર્યક્રમ 2.1).

આખી પ્રક્રિયામાં વ્યવહારીક રીતે એક રીપીટનો સમાવેશ થાય છે... ચક્ર સુધી, પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયા (સૂત્ર (2.2)) રોકવા માટેની શરતને ધ્યાનમાં લેતા ફોર્મ્યુલા (2.11)નો અમલ કરવો.

પ્રક્રિયામાં નાઈટર વેરીએબલનો ઉપયોગ કરીને લૂપ્સની સંખ્યાની ગણતરી કરીને બિલ્ટ-ઇન લૂપ પ્રોટેક્શન છે. વ્યવહારુ વર્ગોમાં, તમારે પ્રોગ્રામ ચલાવીને ખાતરી કરવાની જરૂર છે કે ગુણાંકની પસંદગી કેવી રીતે અસર કરે છે bઅને મૂળની શોધની પ્રક્રિયામાં પ્રારંભિક અંદાજ. ગુણાંક બદલતી વખતે bઅભ્યાસ ફેરફારો હેઠળ કાર્ય માટે પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાની પ્રકૃતિ. તે પ્રથમ બે-બાજુ બને છે, અને પછી લૂપ્સ (ફિગ. 2.9). ધરી ભીંગડા એક્સઅને વાયઅલગ છે. મોડ્યુલસ b નું વધુ મોટું મૂલ્ય એક અલગ પ્રક્રિયા તરફ દોરી જાય છે.

સમીકરણોના અંદાજિત ઉકેલ માટેની પદ્ધતિઓની સરખામણી

સમીકરણોના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટે ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓની સરખામણી એક પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી હતી જે પીસી સ્ક્રીન પર ગ્રાફિકલ સ્વરૂપમાં મૂળ શોધવાની પ્રક્રિયાને અવલોકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. આ પ્રોગ્રામમાં સમાવિષ્ટ પ્રક્રિયાઓ અને તુલનાત્મક પદ્ધતિઓનો અમલ નીચે આપેલ છે (પ્રોગ્રામ 2.1).

ચોખા. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 એ પુનરાવર્તન પ્રક્રિયાના અંતે પીસી સ્ક્રીનની નકલો છે.

તમામ કેસોમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણ x 2 -x-6 = 0 ને અભ્યાસ હેઠળના કાર્ય તરીકે લેવામાં આવ્યું હતું, જેમાં વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ x 1 = -2 અને x 2 = 3 છે. તમામ પદ્ધતિઓ માટે ભૂલ અને પ્રારંભિક અંદાજ સમાન માનવામાં આવ્યાં હતાં. રુટ શોધ પરિણામો x= 3, આંકડાઓમાં પ્રસ્તુત, નીચે મુજબ છે. ડિકોટોમી પદ્ધતિ સૌથી ધીમી - 22 પુનરાવૃત્તિઓને કન્વર્જ કરે છે, સૌથી ઝડપી એ b = -0.2 - 5 પુનરાવર્તનો સાથેની સરળ પુનરાવર્તન પદ્ધતિ છે. ન્યૂટનની પદ્ધતિ સૌથી ઝડપી છે તે વિધાન સાથે અહીં કોઈ વિરોધાભાસ નથી.

બિંદુ પર અભ્યાસ હેઠળ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન એક્સ= 3 એ -0.2 ની બરાબર છે, એટલે કે, આ કિસ્સામાં ગણતરી ન્યૂટનની પદ્ધતિ દ્વારા સમીકરણના મૂળના બિંદુ પર વ્યુત્પન્નના મૂલ્ય સાથે વ્યવહારીક રીતે હાથ ધરવામાં આવી હતી. ગુણાંક બદલતી વખતે bકન્વર્જન્સનો દર ઘટે છે અને ધીમે ધીમે કન્વર્જન્ટ પ્રક્રિયા પહેલા ચક્રમાં જાય છે અને પછી ભિન્ન બને છે.