કેટલાક લોકો "પ્રગતિ" શબ્દને ઉચ્ચ ગણિતની શાખાઓમાંથી ખૂબ જટિલ શબ્દ તરીકે, સાવધાની સાથે વર્તે છે. દરમિયાન, સૌથી સરળ અંકગણિત પ્રગતિ એ ટેક્સી મીટરનું કાર્ય છે (જ્યાં તેઓ હજી પણ અસ્તિત્વમાં છે). અને અંકગણિત ક્રમના સારને સમજવું (અને ગણિતમાં "સાર મેળવવું" કરતાં વધુ મહત્વનું બીજું કંઈ નથી) એ એટલું મુશ્કેલ નથી, થોડા પ્રારંભિક ખ્યાલોનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી.

ગાણિતિક સંખ્યા ક્રમ

સંખ્યાત્મક ક્રમને સામાન્ય રીતે સંખ્યાઓની શ્રેણી કહેવામાં આવે છે, જેમાંની દરેકની પોતાની સંખ્યા હોય છે.

a 1 એ ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય છે;

અને 2 એ ક્રમનો બીજો શબ્દ છે;

અને 7 એ ક્રમનો સાતમો સભ્ય છે;

અને n એ ક્રમનો nમો સભ્ય છે;

જો કે, સંખ્યાઓ અને સંખ્યાઓનો કોઈપણ મનસ્વી સમૂહ આપણને રુચિ ધરાવતો નથી. અમે અમારું ધ્યાન સંખ્યાત્મક ક્રમ પર કેન્દ્રિત કરીશું જેમાં nth શબ્દનું મૂલ્ય તેની ક્રમાંકિત સંખ્યા સાથે સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે જે ગાણિતિક રીતે સ્પષ્ટ રીતે ઘડી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: nમી સંખ્યાનું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય એ n નું અમુક કાર્ય છે.

a એ સંખ્યાત્મક ક્રમના સભ્યનું મૂલ્ય છે;

n એ તેનો સીરીયલ નંબર છે;

f(n) એ એક કાર્ય છે, જ્યાં સંખ્યાત્મક ક્રમ n માં ઓર્ડિનલ નંબર એ દલીલ છે.

વ્યાખ્યા

અંકગણિત પ્રગતિને સામાન્ય રીતે સંખ્યાત્મક ક્રમ કહેવામાં આવે છે જેમાં દરેક અનુગામી પદ સમાન સંખ્યા દ્વારા અગાઉના એક કરતા વધારે (ઓછું) હોય છે. અંકગણિત ક્રમના nમા પદ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

a n - અંકગણિત પ્રગતિના વર્તમાન સભ્યનું મૂલ્ય;

n+1 - આગલી સંખ્યાનું સૂત્ર;

ડી - તફાવત (ચોક્કસ નંબર).

તે નિર્ધારિત કરવું સરળ છે કે જો તફાવત હકારાત્મક (d>0) છે, તો પછી વિચારણા હેઠળની શ્રેણીના દરેક અનુગામી સભ્ય અગાઉના એક કરતા વધારે હશે અને આવી અંકગણિત પ્રગતિ વધતી જશે.

નીચેના ગ્રાફમાં તે જોવાનું સરળ છે કે શા માટે સંખ્યાના ક્રમને "વધતો" કહેવામાં આવે છે.

એવા કિસ્સાઓમાં કે જ્યાં તફાવત નકારાત્મક છે (ડી<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

ઉલ્લેખિત સભ્ય મૂલ્ય

કેટલીકવાર અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ મનસ્વી શબ્દ a n નું મૂલ્ય નક્કી કરવું જરૂરી છે. આ અંકગણિત પ્રગતિના તમામ સભ્યોના મૂલ્યોની અનુક્રમે ગણતરી કરીને, પ્રથમથી ઇચ્છિત સુધીની ગણતરી કરીને કરી શકાય છે. જો કે, આ માર્ગ હંમેશા સ્વીકાર્ય નથી જો, ઉદાહરણ તરીકે, પાંચ-હજારમી અથવા આઠ-મિલિયનમી મુદતનું મૂલ્ય શોધવાનું જરૂરી છે. પરંપરાગત ગણતરીઓ ઘણો સમય લેશે. જો કે, ચોક્કસ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ અંકગણિત પ્રગતિનો અભ્યાસ કરી શકાય છે. nમી પદ માટે એક સૂત્ર પણ છે: અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ પદનું મૂલ્ય પ્રગતિના તફાવત સાથે પ્રગતિના પ્રથમ પદના સરવાળા તરીકે નક્કી કરી શકાય છે, ઇચ્છિત પદની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરીને, ઘટાડી શકાય છે. એક

પ્રગતિ વધારવા અને ઘટાડા માટે સૂત્ર સાર્વત્રિક છે.

આપેલ શબ્દના મૂલ્યની ગણતરીનું ઉદાહરણ

ચાલો અંકગણિત પ્રગતિના nમા પદની કિંમત શોધવાની નીચેની સમસ્યા હલ કરીએ.

શરત: પરિમાણો સાથે એક અંકગણિત પ્રગતિ છે:

ક્રમનો પ્રથમ શબ્દ 3 છે;

સંખ્યા શ્રેણીમાં તફાવત 1.2 છે.

કાર્ય: તમારે 214 શરતોનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર છે

ઉકેલ: આપેલ શબ્દનું મૂલ્ય નક્કી કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

a(n) = a1 + d(n-1)

સમસ્યા નિવેદનમાંથી ડેટાને અભિવ્યક્તિમાં બદલીને, અમારી પાસે છે:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

જવાબ: ક્રમનો 214મો પદ 258.6 બરાબર છે.

ગણતરીની આ પદ્ધતિના ફાયદા સ્પષ્ટ છે - સંપૂર્ણ સોલ્યુશન 2 થી વધુ લીટીઓ લેતું નથી.

આપેલ શરતોનો સરવાળો

ઘણી વાર, આપેલ અંકગણિત શ્રેણીમાં, તેના કેટલાક ભાગોના મૂલ્યોનો સરવાળો નક્કી કરવો જરૂરી છે. આ કરવા માટે, દરેક શબ્દના મૂલ્યોની ગણતરી કરવાની અને પછી તેને ઉમેરવાની પણ જરૂર નથી. જો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તેવા શબ્દોની સંખ્યા ઓછી હોય તો આ પદ્ધતિ લાગુ પડે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો વધુ અનુકૂળ છે.

1 થી n સુધીની અંકગણિત પ્રગતિના પદોનો સરવાળો પ્રથમ અને nમા પદોના સરવાળા જેટલો છે, n શબ્દની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે અને બે વડે ભાગવામાં આવે છે. જો સૂત્રમાં nમા શબ્દનું મૂલ્ય લેખના પાછલા ફકરામાંથી અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો અમને મળે છે:

ગણતરીનું ઉદાહરણ

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો નીચેની શરતો સાથે સમસ્યા હલ કરીએ:

ક્રમનો પ્રથમ શબ્દ શૂન્ય છે;

તફાવત 0.5 છે.

સમસ્યા માટે 56 થી 101 સુધીની શ્રેણીની શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવો જરૂરી છે.

ઉકેલ. ચાલો પ્રગતિની માત્રા નક્કી કરવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

પ્રથમ, અમે અમારી સમસ્યાની આપેલ શરતોને સૂત્રમાં બદલીને પ્રગતિની 101 શરતોના મૂલ્યોનો સરવાળો નક્કી કરીએ છીએ:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

દેખીતી રીતે, 56મીથી 101મી સુધીની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો શોધવા માટે, S 101માંથી S 55 બાદબાકી કરવી જરૂરી છે.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

આમ, આ ઉદાહરણ માટે અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો છે:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

અંકગણિત પ્રગતિના વ્યવહારુ ઉપયોગનું ઉદાહરણ

લેખના અંતે, ચાલો પ્રથમ ફકરામાં આપેલ અંકગણિત ક્રમના ઉદાહરણ પર પાછા ફરીએ - ટેક્સીમીટર (ટેક્સી કાર મીટર). ચાલો આ ઉદાહરણનો વિચાર કરીએ.

ટેક્સીમાં બોર્ડિંગ (જેમાં 3 કિમી મુસાફરીનો સમાવેશ થાય છે) 50 રુબેલ્સનો ખર્ચ થાય છે. દરેક અનુગામી કિલોમીટર 22 રુબેલ્સ/કિમીના દરે ચૂકવવામાં આવે છે. મુસાફરીનું અંતર 30 કિમી છે. સફરની કિંમતની ગણતરી કરો.

1. ચાલો પ્રથમ 3 કિમી કાઢી નાખીએ, જેની કિંમત ઉતરાણની કિંમતમાં શામેલ છે.

30 - 3 = 27 કિમી.

2. આગળની ગણતરી એ અંકગણિત સંખ્યા શ્રેણીનું પદચ્છેદન કરતાં વધુ કંઈ નથી.

સભ્ય સંખ્યા - પ્રવાસ કરેલ કિલોમીટરની સંખ્યા (માઈનસ પ્રથમ ત્રણ).

સભ્યનું મૂલ્ય સરવાળો છે.

આ સમસ્યામાં પ્રથમ શબ્દ 1 = 50 રુબેલ્સની બરાબર હશે.

પ્રગતિ તફાવત d = 22 r.

અમને જે નંબરમાં રસ છે તે અંકગણિત પ્રગતિના (27+1)મા શબ્દનું મૂલ્ય છે - 27મા કિલોમીટરના અંતે મીટર રીડિંગ 27.999 છે... = 28 કિમી.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

મનસ્વી રીતે લાંબા સમયગાળા માટે કેલેન્ડર ડેટા ગણતરીઓ ચોક્કસ સંખ્યાત્મક ક્રમનું વર્ણન કરતા સૂત્રો પર આધારિત છે. ખગોળશાસ્ત્રમાં, ભ્રમણકક્ષાની લંબાઈ ભૌમિતિક રીતે તારાથી અવકાશી પદાર્થના અંતર પર આધારિત છે. વધુમાં, આંકડાશાસ્ત્ર અને ગણિતના અન્ય લાગુ ક્ષેત્રોમાં વિવિધ સંખ્યા શ્રેણીઓનો સફળતાપૂર્વક ઉપયોગ થાય છે.

સંખ્યા ક્રમનો બીજો પ્રકાર ભૌમિતિક છે

ભૌમિતિક પ્રગતિ એ અંકગણિત પ્રગતિની સરખામણીમાં બદલાવના વધુ દર દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. તે કોઈ સંયોગ નથી કે રાજકારણ, સમાજશાસ્ત્ર અને દવામાં, કોઈ ચોક્કસ ઘટનાના ફેલાવાની ઊંચી ઝડપ દર્શાવવા માટે, ઉદાહરણ તરીકે, રોગચાળા દરમિયાન કોઈ રોગ, તેઓ વારંવાર કહે છે કે પ્રક્રિયા ભૌમિતિક પ્રગતિમાં વિકસે છે.

ભૌમિતિક સંખ્યા શ્રેણીનો Nમો શબ્દ અગાઉના એક કરતા અલગ છે જેમાં તેને અમુક સ્થિર સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે - છેદ, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ પદ 1 છે, છેદ અનુરૂપ 2 ની બરાબર છે, પછી:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ભૌમિતિક પ્રગતિના વર્તમાન શબ્દનું મૂલ્ય;

b n+1 - ભૌમિતિક પ્રગતિના આગલા પદનું સૂત્ર;

q એ ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ છે (અચલ સંખ્યા).

જો અંકગણિત પ્રગતિનો ગ્રાફ સીધી રેખા હોય, તો ભૌમિતિક પ્રગતિ થોડી અલગ ચિત્ર દોરે છે:

અંકગણિતના કિસ્સામાં, ભૌમિતિક પ્રગતિમાં મનસ્વી શબ્દના મૂલ્ય માટેનું સૂત્ર હોય છે. ભૌમિતિક પ્રગતિની કોઈપણ nમી અવધિ એ પ્રથમ પદના ગુણાંકની બરાબર છે અને n ની ઘાત સુધીની પ્રગતિનો છેદ એકથી ઘટ્યો છે:

ઉદાહરણ. અમારી પાસે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે જેમાં પ્રથમ પદ 3 ની બરાબર છે અને પ્રગતિનો છેદ 1.5 ની બરાબર છે. ચાલો પ્રગતિની 5મી મુદત શોધીએ

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

આપેલ સંખ્યાના શબ્દોનો સરવાળો પણ વિશિષ્ટ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. ભૌમિતિક પ્રગતિના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો એ પ્રગતિના nમા પદના ઉત્પાદન અને તેના છેદ અને પ્રગતિના પ્રથમ પદ વચ્ચેના તફાવત જેટલો છે, જેને એક વડે ઘટાડીને ભાગાકાર કરવામાં આવે છે:

જો ઉપર ચર્ચા કરેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને b n ને બદલવામાં આવે, તો વિચારણા હેઠળની સંખ્યા શ્રેણીની પ્રથમ n શરતોના સરવાળાનું મૂલ્ય આ સ્વરૂપ લેશે:

ઉદાહરણ. ભૌમિતિક પ્રગતિ 1 ની સમાન પ્રથમ પદ સાથે શરૂ થાય છે. છેદ 3 પર સેટ છે. ચાલો પ્રથમ આઠ પદોનો સરવાળો શોધીએ.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

જો દરેક કુદરતી સંખ્યા માટે n વાસ્તવિક સંખ્યા સાથે મેળ કરો એક એન , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવે છે સંખ્યા ક્રમ :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , એક એન , . . . .

તેથી, સંખ્યા ક્રમ એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે.

નંબર a 1 કહેવાય છે ક્રમની પ્રથમ મુદત , નંબર a 2 — ક્રમની બીજી અવધિ , નંબર a 3 — ત્રીજું અને તેથી વધુ. નંબર એક એન કહેવાય છે ક્રમનો nમો સભ્ય , અને કુદરતી સંખ્યા n — તેનો નંબર .

બે નજીકના સભ્યો તરફથી એક એન અને એક એન +1 ક્રમ સભ્ય એક એન +1 કહેવાય છે અનુગામી (સાપેક્ષે એક એન ), એ એક એન — અગાઉના (સાપેક્ષે એક એન +1 ).

ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમારે એક પદ્ધતિનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે જે તમને કોઈપણ સંખ્યા સાથે ક્રમના સભ્યને શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઘણી વખત ક્રમનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે nમી મુદતના સૂત્રો , એટલે કે, એક સૂત્ર જે તમને તેની સંખ્યા દ્વારા ક્રમના સભ્યને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

સકારાત્મક વિષમ સંખ્યાઓનો ક્રમ સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે

એક એન= 2n- 1,

અને વૈકલ્પિક ક્રમ 1 અને -1 - સૂત્ર

b n = (-1)n +1 . ◄

ક્રમ નક્કી કરી શકાય છે આવર્તક સૂત્ર, એટલે કે, એક સૂત્ર કે જે અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યને વ્યક્ત કરે છે, કેટલાકથી શરૂ કરીને, અગાઉના (એક અથવા વધુ) સભ્યો દ્વારા.

ઉદાહરણ તરીકે,

જો a 1 = 1 , એ એક એન +1 = એક એન + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

જો a 1= 1, a 2 = 1, એક એન +2 = એક એન + એક એન +1 , પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

સિક્વન્સ હોઈ શકે છે અંતિમ અને અનંત .

ક્રમ કહેવાય છે અંતિમ , જો તેમાં સભ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા હોય. ક્રમ કહેવાય છે અનંત , જો તેમાં અસંખ્ય સભ્યો છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

બે-અંકની કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

અંતિમ

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

અનંત ◄

ક્રમ કહેવાય છે વધારો , જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક કરતા વધારે હોય.

ક્રમ કહેવાય છે ઘટતું , જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક કરતા ઓછા હોય.

ઉદાહરણ તરીકે,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - વધતો ક્રમ;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - ઘટતો ક્રમ. ◄

એક ક્રમ કે જેના તત્વો સંખ્યા વધે તેમ ઘટતા નથી અથવા તેનાથી વિપરિત વધતા નથી, તેને કહેવામાં આવે છે. એકવિધ ક્રમ .

મોનોટોનિક સિક્વન્સ, ખાસ કરીને, સિક્વન્સ વધી રહી છે અને સિક્વન્સ ઘટી રહી છે.

અંકગણિત પ્રગતિ

અંકગણિત પ્રગતિ એક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા સભ્યની સમાન હોય છે, જેમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , એક એન, . . .

જો કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા માટે અંકગણિત પ્રગતિ છે n શરત પૂરી થાય છે:

એક એન +1 = એક એન + ડી,

જ્યાં ડી - ચોક્કસ સંખ્યા.

આમ, આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના અનુગામી અને પાછલા શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા સ્થિર રહે છે:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = એક એન +1 - એક એન = ડી.

નંબર ડી કહેવાય છે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત.

અંકગણિત પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તે તેના પ્રથમ પદ અને તફાવતને દર્શાવવા માટે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

જો a 1 = 3, ડી = 4 , પછી આપણે ક્રમના પ્રથમ પાંચ શબ્દો નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + ડી = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + ડી= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + ડી= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + ડી= 15 + 4 = 19. ◄

પ્રથમ પદ સાથે અંકગણિત પ્રગતિ માટે a 1 અને તફાવત ડી તેણી n

એક એન = a 1 + (n- 1)ડી.

ઉદાહરણ તરીકે,

અંકગણિતની પ્રગતિનો ત્રીસમો શબ્દ શોધો

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ડી = 3,

એ 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)ડી,

એક એન= a 1 + (n- 1)ડી,

એક એન +1 = a 1 + એનડી,

પછી દેખીતી રીતે

અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના અને અનુગામી સભ્યોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે.

સંખ્યાઓ a, b અને c એ અમુક અંકગણિત પ્રગતિના ક્રમિક પદો છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એક અન્ય બેના અંકગણિત સરેરાશ સમાન હોય.

ઉદાહરણ તરીકે,

એક એન = 2n- 7 , એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો ઉપરોક્ત વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે છે:

એક એન = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

આથી,

◄

તેની નોંધ લો n અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ માત્ર દ્વારા જ શોધી શકાય છે a 1 , પણ કોઈપણ અગાઉના a k

એક એન = a k + (n- k)ડી.

ઉદાહરણ તરીકે,

માટે a 5 લખી શકાય છે

a 5 = a 1 + 4ડી,

a 5 = a 2 + 3ડી,

a 5 = a 3 + 2ડી,

a 5 = a 4 + ડી. ◄

એક એન = એક n-k + kd,

એક એન = a n+k - kd,

પછી દેખીતી રીતે

અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, તેમાંથી સમાન અંતરે આવેલા આ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોના અડધા સરવાળાના બરાબર છે.

વધુમાં, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ઉદાહરણ તરીકે,

અંકગણિત પ્રગતિમાં

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7ડી= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, કારણ કે

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

એસ એન= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ એક એન,

પ્રથમ n અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો આત્યંતિક શબ્દોના અડધા સરવાળા અને પદોની સંખ્યાના ગુણાંક સમાન છે:

અહીંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે જો તમારે શરતોનો સરવાળો કરવાની જરૂર હોય

a k, a k +1 , . . . , એક એન,

પછી પાછલું સૂત્ર તેની રચના જાળવી રાખે છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

અંકગણિત પ્રગતિમાં 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

એસ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = એસ 10 - એસ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

જો અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવે છે, તો જથ્થાઓ a 1 , એક એન, ડી, nઅનેએસ n બે સૂત્રો દ્વારા જોડાયેલ:

તેથી, જો આમાંથી ત્રણ જથ્થાના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, તો પછી અન્ય બે જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો આ સૂત્રોમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે, બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં જોડાય છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ એકવિધ ક્રમ છે. આ કિસ્સામાં:

• જો ડી > 0 , પછી તે વધી રહ્યું છે;
• જો ડી < 0 , પછી તે ઘટી રહ્યું છે;
• જો ડી = 0 , પછી ક્રમ સ્થિર રહેશે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ

ભૌમિતિક પ્રગતિ એક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરતા પહેલાના એક સમાન હોય છે.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

જો કોઈ કુદરતી સંખ્યા માટે હોય તો તે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે n શરત પૂરી થાય છે:

b n +1 = b n · q,

જ્યાં q ≠ 0 - ચોક્કસ સંખ્યા.

આમ, આપેલ ભૌમિતિક પ્રગતિના અનુગામી પદનો પાછલા એક સાથે ગુણોત્તર એ સ્થિર સંખ્યા છે:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

નંબર q કહેવાય છે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ.

ભૌમિતિક પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તે તેના પ્રથમ પદ અને છેદને સૂચવવા માટે પૂરતું છે.

ઉદાહરણ તરીકે,

જો b 1 = 1, q = -3 , પછી આપણે ક્રમના પ્રથમ પાંચ શબ્દો નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 અને છેદ q તેણી n સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મી શબ્દ શોધી શકાય છે:

b n = b 1 · qn -1 .

ઉદાહરણ તરીકે,

ભૌમિતિક પ્રગતિનો સાતમો શબ્દ શોધો 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

પછી દેખીતી રીતે

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ભૌમિતિક પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પહેલાના અને પછીના સભ્યોના ભૌમિતિક સરેરાશ (પ્રમાણસર) સમાન છે.

વાતચીત પણ સાચી હોવાથી, નીચેનું વિધાન ધરાવે છે:

સંખ્યાઓ a, b અને c એ અમુક ભૌમિતિક પ્રગતિના ક્રમિક પદો છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એકનો વર્ગ અન્ય બેના ગુણાંક જેટલો હોય, એટલે કે, સંખ્યાઓમાંથી એક અન્ય બેનો ભૌમિતિક સરેરાશ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે,

ચાલો સાબિત કરીએ કે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમ b n= -3 2 n , ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. ચાલો ઉપરોક્ત વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે છે:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

આથી,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

જે ઇચ્છિત નિવેદન સાબિત કરે છે. ◄

તેની નોંધ લો n ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ માત્ર દ્વારા જ શોધી શકાય છે b 1 , પણ કોઈપણ અગાઉના સભ્ય b k , જેના માટે તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે

b n = b k · qn - k.

ઉદાહરણ તરીકે,

માટે b 5 લખી શકાય છે

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

પછી દેખીતી રીતે

b n 2 = b n - k· b n + k

ભૌમિતિક પ્રગતિના કોઈપણ પદનો વર્ગ, બીજાથી શરૂ થાય છે, આ પ્રગતિના સમાન અંતરવાળા પદોના ગુણાંક સમાન છે.

વધુમાં, કોઈપણ ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે સમાનતા સાચી છે:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

ઉદાહરણ તરીકે,

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , કારણ કે

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

એસ એન= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

પ્રથમ n છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યો q ≠ 0 સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

અને ક્યારે q = 1 - સૂત્ર અનુસાર

એસ એન= nb 1

નોંધ કરો કે જો તમારે શરતોનો સરવાળો કરવાની જરૂર હોય

b k, b k +1 , . . . , b n,

પછી સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

ઉદાહરણ તરીકે,

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

એસ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = એસ 10 - એસ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

જો ભૌમિતિક પ્રગતિ આપવામાં આવે છે, તો જથ્થાઓ b 1 , b n, q, nઅને એસ એન બે સૂત્રો દ્વારા જોડાયેલ:

તેથી, જો આમાંથી કોઈપણ ત્રણ જથ્થાના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, તો પછી અન્ય બે જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો આ સૂત્રોમાંથી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં જોડાય છે.

પ્રથમ પદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે b 1 અને છેદ q નીચેના થાય છે એકવિધતાના ગુણધર્મો :

• જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય તો પ્રગતિ વધી રહી છે:

b 1 > 0 અને q> 1;

b 1 < 0 અને 0 < q< 1;

• જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય તો પ્રગતિ ઘટી રહી છે:

b 1 > 0 અને 0 < q< 1;

b 1 < 0 અને q> 1.

જો q< 0 , પછી ભૌમિતિક પ્રગતિ વૈકલ્પિક છે: બેકી સંખ્યાઓ સાથેના તેના પદો તેના પ્રથમ પદ જેવા જ ચિહ્ન ધરાવે છે, અને સમાન સંખ્યાઓ સાથેના શબ્દો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે વૈકલ્પિક ભૌમિતિક પ્રગતિ એકવિધ નથી.

પ્રથમ ઉત્પાદન n સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરી શકાય છે:

પી.એન= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

ઉદાહરણ તરીકે,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો જેને અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવાય છે જેનો છેદ મોડ્યુલસ ઓછો છે 1 , એટલે કે

|q| < 1 .

નોંધ કરો કે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ એ ઘટતો ક્રમ હોઈ શકે નહીં. તે પ્રસંગને બંધબેસે છે

1 < q< 0 .

આવા છેદ સાથે, ક્રમ વૈકલ્પિક છે. ઉદાહરણ તરીકે,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો પ્રથમ રાશિઓનો સરવાળો મર્યાદા વિના પહોંચે છે તે સંખ્યાને નામ આપો n સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે પ્રગતિના સભ્યો n . આ સંખ્યા હંમેશા મર્યાદિત હોય છે અને સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

ઉદાહરણ તરીકે,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ વચ્ચેનો સંબંધ

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ નજીકથી સંબંધિત છે. ચાલો માત્ર બે ઉદાહરણો જોઈએ.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . ડી , તે

b એ 1 , b એ 2 , b એ 3 , . . . b ડી .

ઉદાહરણ તરીકે,

1, 3, 5, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ 2 અને

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ q , તે

લોગ a b 1, લોગ a b 2, લોગ a b 3, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ લોગ એq .

ઉદાહરણ તરીકે,

2, 12, 72, . . . - છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ 6 અને

એલજી 2, એલજી 12, એલજી 72, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ એલજી 6 . ◄

સંખ્યા ક્રમની વિભાવના સૂચવે છે કે દરેક કુદરતી સંખ્યા અમુક વાસ્તવિક મૂલ્યને અનુરૂપ છે. સંખ્યાઓની આવી શ્રેણી કાં તો મનસ્વી હોઈ શકે છે અથવા ચોક્કસ ગુણધર્મો ધરાવે છે - એક પ્રગતિ. પછીના કિસ્સામાં, ક્રમના દરેક અનુગામી તત્વ (સદસ્ય) ની ગણતરી પાછલા એકનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાત્મક મૂલ્યોનો ક્રમ છે જેમાં તેના પડોશી સભ્યો સમાન સંખ્યા દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે (શ્રેણીના તમામ ઘટકો, 2જીથી શરૂ કરીને, સમાન ગુણધર્મ ધરાવે છે). આ સંખ્યા - અગાઉના અને અનુગામી શબ્દો વચ્ચેનો તફાવત - સ્થિર છે અને તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

પ્રગતિ તફાવત: વ્યાખ્યા

j મૂલ્યો A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ N ના સમૂહ સાથે સંબંધ ધરાવતા ક્રમને ધ્યાનમાં લો. એક અંકગણિત પ્રગતિ, તેની વ્યાખ્યા મુજબ, એક ક્રમ છે, જેમાં a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = ડી. મૂલ્ય d એ આ પ્રગતિનો ઇચ્છિત તફાવત છે.

d = a(j) – a(j-1).

હાઇલાઇટ:

• વધતી જતી પ્રગતિ, જે કિસ્સામાં d > 0. ઉદાહરણ: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• ઘટતી પ્રગતિ, પછી ડી< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

તફાવત પ્રગતિ અને તેના મનસ્વી તત્વો

જો પ્રગતિની 2 મનસ્વી શરતો જાણીતી હોય (i-th, k-th), તો આપેલ ક્રમ માટેનો તફાવત સંબંધના આધારે નક્કી કરી શકાય છે:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, જેનો અર્થ થાય છે d = (a(i) – a(k))/(i-k).

પ્રગતિ અને તેની પ્રથમ મુદતનો તફાવત

આ અભિવ્યક્તિ અજ્ઞાત મૂલ્ય નિર્ધારિત કરવામાં મદદ કરશે માત્ર એવા કિસ્સાઓમાં જ્યાં ક્રમ ઘટકની સંખ્યા જાણીતી હોય.

પ્રગતિ તફાવત અને તેનો સરવાળો

પ્રગતિનો સરવાળો એ તેની શરતોનો સરવાળો છે. તેના પ્રથમ j તત્વોના કુલ મૂલ્યની ગણતરી કરવા માટે, યોગ્ય સૂત્રનો ઉપયોગ કરો:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, પરંતુ ત્યારથી a(j) = a(1) + d(j – 1), પછી S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમ \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... એ અંકગણિત પ્રગતિ છે, કારણ કે દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકથી ત્રણ દ્વારા અલગ પડે છે (ત્રણ ઉમેરીને અગાઉના એકમાંથી મેળવી શકાય છે):

આ પ્રગતિમાં, તફાવત \(d\) ધન છે (\(3\) ની બરાબર), અને તેથી દરેક આગામી પદ અગાઉના એક કરતા વધારે છે. આવી પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે વધારો.

જો કે, \(d\) નકારાત્મક સંખ્યા પણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિમાં \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... પ્રગતિ તફાવત \(d\) ઓછા છ બરાબર છે.

અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતાં નાનું હશે. આ પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે ઘટતું.

અંકગણિત પ્રગતિ સંકેત

પ્રગતિ નાના લેટિન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જે સંખ્યાઓ પ્રગતિ બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે સભ્યો(અથવા તત્વો).

તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ તરીકે સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, પરંતુ ક્રમમાં તત્વની સંખ્યા જેટલી સંખ્યાત્મક અનુક્રમણિકા સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) તત્વોનો સમાવેશ કરે છે \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) અને તેથી વધુ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પ્રગતિ માટે \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા

સૈદ્ધાંતિક રીતે, ઉપર પ્રસ્તુત માહિતી લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે પહેલેથી જ પૂરતી છે (OGE પર ઓફર કરાયેલ તે સહિત).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(b_1=7; d=4\). \(b_5\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_5=23\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો આપવામાં આવ્યા છે: \(62; 49; 36…\) આ પ્રગતિના પ્રથમ નકારાત્મક પદનું મૂલ્ય શોધો..
ઉકેલ:

જવાબ: \(-3\)

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિના કેટલાક સળંગ ઘટકો આપેલ છે: \(…5; x; 10; 12.5...\) \(x\) અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત તત્વની કિંમત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(7,5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ નીચેની શરતો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) આ પ્રગતિના પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_6=9\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિમાં \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). આ પ્રગતિનો તફાવત શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(d=7\).

અંકગણિત પ્રગતિ માટે મહત્વપૂર્ણ સૂત્રો

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અંકગણિત પ્રગતિ પરની ઘણી સમસ્યાઓ મુખ્ય વસ્તુને સમજીને સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે - કે અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યાઓની સાંકળ છે, અને આ સાંકળમાં દરેક અનુગામી તત્વ અગાઉના એકમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. પ્રગતિનો તફાવત).

જો કે, કેટલીકવાર એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે જ્યારે "હેડ-ઓન" નક્કી કરવું ખૂબ જ અસુવિધાજનક હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, કલ્પના કરો કે પહેલા જ ઉદાહરણમાં આપણે પાંચમું તત્વ \(b_5\), પરંતુ ત્રણસો છઠ્ઠું \(b_(386)\) શોધવાની જરૂર છે. શું આપણે ચાર \(385\) વખત ઉમેરવું જોઈએ? અથવા કલ્પના કરો કે ઉપાંત્ય ઉદાહરણમાં તમારે પ્રથમ સિત્તેર તત્વોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. તમે ગણીને થાકી જશો...

તેથી, આવા કિસ્સાઓમાં તેઓ "હેડ-ઓન" વસ્તુઓને હલ કરતા નથી, પરંતુ અંકગણિત પ્રગતિ માટે મેળવેલા વિશિષ્ટ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે. અને મુખ્ય છે પ્રગતિના nમા પદ માટેનું સૂત્ર અને \(n\) પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર.

\(n\)મી શબ્દનું સૂત્ર: \(a_n=a_1+(n-1)d\), જ્યાં \(a_1\) એ પ્રગતિનું પ્રથમ પદ છે;
\(n\) - જરૂરી તત્વની સંખ્યા;
\(a_n\) - સંખ્યા સાથે પ્રગતિનો શબ્દ \(n\).

આ સૂત્ર આપણને માત્ર પ્રથમ અને પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, ત્રણ-સોમું અથવા મિલિયનમું તત્વ પણ ઝડપથી શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(b_(246)=1850\).

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), જ્યાં

\(a_n\) - છેલ્લો સરવાળો શબ્દ;

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ એ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે \(a_n=3.4n-0.6\). આ પ્રગતિના પ્રથમ \(25\) પદોનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(25)=1090\).

પ્રથમ શબ્દોના સરવાળા \(n\) માટે, તમે બીજું સૂત્ર મેળવી શકો છો: તમારે ફક્ત \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\) ને બદલે તેના માટે સૂત્ર આપો \(a_n=a_1+(n-1)d\). અમને મળે છે:

પ્રથમ n પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), જ્યાં

\(S_n\) – \(n\) પ્રથમ તત્વોનો જરૂરી સરવાળો;
\(a_1\) – પ્રથમ સરવાળો શબ્દ;
\(ડી\) - પ્રગતિ તફાવત;
\(n\) - કુલ ઘટકોની સંખ્યા.

ઉદાહરણ. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ \(33\)-ex પદોનો સરવાળો શોધો: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(33)=-231\).

વધુ જટિલ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ

હવે તમારી પાસે લગભગ કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે જરૂરી બધી માહિતી છે. ચાલો તે સમસ્યાઓને ધ્યાનમાં લઈને વિષયને સમાપ્ત કરીએ જેમાં તમારે માત્ર સૂત્રો લાગુ કરવાની જરૂર નથી, પણ થોડો વિચાર પણ કરો (ગણિતમાં આ ઉપયોગી થઈ શકે છે ☺)

ઉદાહરણ (OGE). પ્રગતિના તમામ નકારાત્મક શબ્દોનો સરવાળો શોધો: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
ઉકેલ:

જવાબ: \(S_(65)=-630.5\).

ઉદાહરણ (OGE). અંકગણિત પ્રગતિ શરતો દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)મી થી \(42\) તત્વ સહિતનો સરવાળો શોધો.
ઉકેલ:

જવાબ: \(S=1683\).

અંકગણિતની પ્રગતિ માટે, ત્યાં ઘણા વધુ સૂત્રો છે જે અમે તેમની ઓછી વ્યવહારિક ઉપયોગિતાને કારણે આ લેખમાં ધ્યાનમાં લીધા નથી. જો કે, તમે તેમને સરળતાથી શોધી શકો છો.

પ્રવેશ સ્તર

અંકગણિત પ્રગતિ. ઉદાહરણો સાથે વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)

સંખ્યા ક્રમ

તો, ચાલો બેસીએ અને અમુક સંખ્યાઓ લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:
તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે (અમારા કિસ્સામાં, તે છે). ભલે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ લખીએ, આપણે હંમેશા કહી શકીએ છીએ કે કઈ પ્રથમ છે, કઈ બીજી છે, અને તેથી છેલ્લી સુધી, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે:

સંખ્યા ક્રમ
ઉદાહરણ તરીકે, અમારા ક્રમ માટે:

અસાઇન કરેલ નંબર અનુક્રમમાં માત્ર એક નંબર માટે વિશિષ્ટ છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ક્રમમાં કોઈ ત્રણ બીજી સંખ્યાઓ નથી. બીજી સંખ્યા (મી સંખ્યાની જેમ) હંમેશા સમાન હોય છે.
સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમની મી પદ કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

અમારા કિસ્સામાં:

ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વગેરે
આ સંખ્યા ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે.
"પ્રોગ્રેસન" શબ્દ 6ઠ્ઠી સદીમાં રોમન લેખક બોઇથિયસ દ્વારા રજૂ કરવામાં આવ્યો હતો અને તેને વ્યાપક અર્થમાં અનંત સંખ્યાત્મક ક્રમ તરીકે સમજવામાં આવ્યો હતો. "અંકગણિત" નામ સતત પ્રમાણના સિદ્ધાંતમાંથી સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યું હતું, જેનો પ્રાચીન ગ્રીક લોકો દ્વારા અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો.

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય સમાન સંખ્યામાં ઉમેરાયેલા પહેલાના સભ્ય જેટલો છે. આ સંખ્યાને અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે.

કઈ સંખ્યા ક્રમ એ અંકગણિત પ્રગતિ છે અને કઈ નથી તે નક્કી કરવાનો પ્રયાસ કરો:

a)
b)
c)
ડી)

સમજાયું? ચાલો અમારા જવાબોની તુલના કરીએ:
છેઅંકગણિત પ્રગતિ - b, c.
નથીઅંકગણિત પ્રગતિ - a, d.

ચાલો આપેલ પ્રગતિ () પર પાછા જઈએ અને તેના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ. અસ્તિત્વ ધરાવે છે બેતેને શોધવાની રીત.

1. પદ્ધતિ

જ્યાં સુધી આપણે પ્રગતિની મી મુદત સુધી ન પહોંચીએ ત્યાં સુધી આપણે અગાઉના મૂલ્યમાં પ્રગતિ નંબર ઉમેરી શકીએ છીએ. તે સારું છે કે અમારી પાસે સારાંશ આપવા માટે વધુ નથી - ફક્ત ત્રણ મૂલ્યો:

તેથી, વર્ણવેલ અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ બરાબર છે.

2. પદ્ધતિ

જો આપણે પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શોધવાની જરૂર હોય તો શું? સારાંશમાં અમને એક કલાકથી વધુ સમય લાગશે, અને તે હકીકત નથી કે સંખ્યાઓ ઉમેરતી વખતે અમે ભૂલો કરતા નથી.
અલબત્ત, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એવી રીત શોધી કાઢી છે જેમાં અગાઉના મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિનો તફાવત ઉમેરવાની જરૂર નથી. દોરેલા ચિત્રને નજીકથી જુઓ... ચોક્કસ તમે પહેલેથી જ એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું હશે, એટલે કે:

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો જોઈએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિના મી શબ્દનું મૂલ્ય શું છે:


બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો:

આ રીતે આપેલ અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યનું મૂલ્ય જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

શું તમે ગણતરી કરી? જવાબ સાથે તમારી નોંધોની તુલના કરો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જ્યારે અમે અનુક્રમે પાછલા મૂલ્યમાં અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો ઉમેરી ત્યારે તમને અગાઉની પદ્ધતિની જેમ બરાબર એ જ નંબર મળ્યો છે.
ચાલો આ સૂત્રને "વ્યક્તિગત" કરવાનો પ્રયાસ કરીએ - ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપમાં મૂકીએ અને મેળવીએ:

અંકગણિત પ્રગતિમાં વધારો અથવા ઘટાડો થઈ શકે છે.

વધી રહી છે- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા વધારે છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

ઉતરતા- પ્રગતિ કે જેમાં શરતોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય પાછલા એક કરતા ઓછું છે.
ઉદાહરણ તરીકે:

વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ અંકગણિત પ્રગતિના વધતા અને ઘટતા બંને શબ્દોમાં શરતોની ગણતરીમાં થાય છે.
ચાલો વ્યવહારમાં આ તપાસીએ.
અમને નીચેની સંખ્યાઓનો સમાવેશ કરતી અંકગણિત પ્રગતિ આપવામાં આવી છે: ચાલો તપાસીએ કે આ અંકગણિત પ્રગતિની મી સંખ્યા શું હશે જો આપણે તેની ગણતરી કરવા માટે અમારા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ:

ત્યારથી:

આમ, અમને ખાતરી છે કે સૂત્ર અંકગણિતની પ્રગતિ ઘટતા અને વધતા બંનેમાં કાર્ય કરે છે.
આ અંકગણિતની પ્રગતિની મી અને મી શરતો જાતે શોધવાનો પ્રયાસ કરો.

ચાલો પરિણામોની તુલના કરીએ:

અંકગણિત પ્રગતિ ગુણધર્મ

ચાલો સમસ્યાને જટિલ બનાવીએ - અમે અંકગણિત પ્રગતિની મિલકત મેળવીશું.
ચાલો કહીએ કે અમને નીચેની શરત આપવામાં આવી છે:
- અંકગણિત પ્રગતિ, મૂલ્ય શોધો.
સરળ, તમે કહો અને તમે પહેલાથી જ જાણો છો તે સૂત્ર અનુસાર ગણતરી કરવાનું શરૂ કરો:

ચાલો, આહ, પછી:

બિલકુલ સાચું. તે તારણ આપે છે કે આપણે પહેલા શોધીએ છીએ, પછી તેને પ્રથમ નંબરમાં ઉમેરીએ છીએ અને આપણે જે શોધી રહ્યા છીએ તે મેળવીએ છીએ. જો પ્રગતિ નાના મૂલ્યો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે, તો તેમાં કંઈ જટિલ નથી, પરંતુ જો આપણને શરતમાં સંખ્યાઓ આપવામાં આવે તો શું? સંમત થાઓ, ગણતરીમાં ભૂલ થવાની સંભાવના છે.
હવે વિચારો કે શું કોઈ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને આ સમસ્યાને એક પગલામાં ઉકેલવી શક્ય છે? અલબત્ત હા, અને તે જ અમે હવે બહાર લાવવાનો પ્રયત્ન કરીશું.

ચાલો આપણે અંકગણિત પ્રગતિના જરૂરી શબ્દને સૂચવીએ કારણ કે, તે શોધવાનું સૂત્ર આપણને જાણીતું છે - આ તે જ સૂત્ર છે જે આપણે શરૂઆતમાં મેળવ્યું છે:
, પછી:

• પ્રગતિની પાછલી મુદત છે:
• પ્રગતિની આગામી મુદત છે:

ચાલો પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો કરીએ:

તે તારણ આપે છે કે પ્રગતિની અગાઉની અને અનુગામી શરતોનો સરવાળો એ તેમની વચ્ચે સ્થિત પ્રગતિ શબ્દનું ડબલ મૂલ્ય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, અગાઉના અને ક્રમિક મૂલ્યો સાથે પ્રગતિ શબ્દનું મૂલ્ય શોધવા માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને વડે ભાગવાની જરૂર છે.

તે સાચું છે, અમને સમાન નંબર મળ્યો. ચાલો સામગ્રીને સુરક્ષિત કરીએ. પ્રગતિ માટેના મૂલ્યની જાતે ગણતરી કરો, તે બિલકુલ મુશ્કેલ નથી.

શાબાશ! તમે પ્રગતિ વિશે લગભગ બધું જ જાણો છો! તે ફક્ત એક જ સૂત્ર શોધવાનું બાકી છે, જે, દંતકથા અનુસાર, પોતાના માટે તમામ સમયના મહાન ગણિતશાસ્ત્રીઓમાંના એક, "ગણિતશાસ્ત્રીઓના રાજા" દ્વારા સરળતાથી અનુમાનિત કરવામાં આવ્યું હતું - કાર્લ ગૌસ...

જ્યારે કાર્લ ગૌસ 9 વર્ષનો હતો, ત્યારે એક શિક્ષક, અન્ય વર્ગોમાં વિદ્યાર્થીઓનું કાર્ય તપાસવામાં વ્યસ્ત હતો, તેણે વર્ગમાં નીચેનું કાર્ય પૂછ્યું: "બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળાની ગણતરી કરો (અન્ય સ્રોતો અનુસાર) થી લઈને." શિક્ષકના આશ્ચર્યની કલ્પના કરો જ્યારે તેના એક વિદ્યાર્થીએ (આ કાર્લ ગૌસ હતો) એક મિનિટ પછી કાર્યનો સાચો જવાબ આપ્યો, જ્યારે ડેરડેવિલના મોટાભાગના સહપાઠીઓને, લાંબી ગણતરીઓ પછી, ખોટું પરિણામ મળ્યું...

યુવાન કાર્લ ગૌસે એક ચોક્કસ પેટર્ન નોંધ્યું જે તમે સરળતાથી નોંધી શકો છો.
ચાલો કહીએ કે આપણી પાસે -th પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિ છે: આપણે અંકગણિત પ્રગતિના આ શબ્દોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. અલબત્ત, આપણે મેન્યુઅલી તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો કરી શકીએ છીએ, પરંતુ જો કાર્યને તેની શરતોનો સરવાળો શોધવાની જરૂર હોય તો શું, જેમ કે ગૌસ શોધી રહ્યા હતા?

અમને આપવામાં આવેલ પ્રગતિનું નિરૂપણ કરીએ. પ્રકાશિત સંખ્યાઓ પર નજીકથી નજર નાખો અને તેમની સાથે વિવિધ ગાણિતિક ક્રિયાઓ કરવાનો પ્રયાસ કરો.


શું તમે તેનો પ્રયાસ કર્યો છે? તમે શું નોંધ્યું? અધિકાર! તેમની રકમ સમાન છે

હવે મને કહો, અમને આપેલી પ્રગતિમાં કુલ આવી કેટલી જોડી છે? અલબત્ત, બધી સંખ્યાઓનો બરાબર અડધો, એટલે કે.
એ હકીકતને આધારે કે અંકગણિત પ્રગતિના બે પદોનો સરવાળો સમાન છે, અને સમાન જોડીઓ સમાન છે, અમે મેળવીએ છીએ કે કુલ સરવાળો બરાબર છે:
.
આમ, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર આ હશે:

કેટલીક સમસ્યાઓમાં આપણે મી શબ્દ જાણતા નથી, પરંતુ આપણે પ્રગતિનો તફાવત જાણીએ છીએ. મી શબ્દના સૂત્રને સરવાળા સૂત્રમાં બદલવાનો પ્રયાસ કરો.
તમને શું મળ્યું?

શાબાશ! હવે ચાલો તે સમસ્યા પર પાછા ફરીએ જે કાર્લ ગૌસને પૂછવામાં આવી હતી: તમારા માટે ગણતરી કરો કે th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો અને th થી શરૂ થતી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.

તમને કેટલું મળ્યું?
ગૌસે જોયું કે શરતોનો સરવાળો સમાન છે, અને શરતોનો સરવાળો છે. તે તમે નક્કી કર્યું છે?

હકીકતમાં, અંકગણિત પ્રગતિની શરતોના સરવાળા માટેનું સૂત્ર પ્રાચીન ગ્રીક વૈજ્ઞાનિક ડાયોફેન્ટસ દ્વારા 3જી સદીમાં સાબિત થયું હતું, અને આ સમય દરમિયાન, વિનોદી લોકોએ અંકગણિત પ્રગતિના ગુણધર્મોનો સંપૂર્ણ ઉપયોગ કર્યો હતો.
ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીન ઇજિપ્ત અને તે સમયના સૌથી મોટા બાંધકામ પ્રોજેક્ટની કલ્પના કરો - પિરામિડનું બાંધકામ... ચિત્ર તેની એક બાજુ દર્શાવે છે.

અહીં પ્રગતિ ક્યાં છે, તમે કહો છો? કાળજીપૂર્વક જુઓ અને પિરામિડ દિવાલની દરેક હરોળમાં રેતીના બ્લોક્સની સંખ્યામાં એક પેટર્ન શોધો.


શા માટે અંકગણિત પ્રગતિ નથી? જો બ્લોક ઇંટો પાયા પર મૂકવામાં આવે તો એક દિવાલ બનાવવા માટે કેટલા બ્લોકની જરૂર છે તેની ગણતરી કરો. હું આશા રાખું છું કે મોનિટર પર તમારી આંગળી ખસેડતી વખતે તમે ગણતરી કરશો નહીં, તમને છેલ્લું સૂત્ર અને અંકગણિત પ્રગતિ વિશે અમે જે કહ્યું તે બધું યાદ છે?

આ કિસ્સામાં, પ્રગતિ આના જેવી લાગે છે: .
અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
અંકગણિત પ્રગતિના પદોની સંખ્યા.
ચાલો આપણા ડેટાને છેલ્લા સૂત્રોમાં બદલીએ (2 રીતે બ્લોકની સંખ્યાની ગણતરી કરો).

પદ્ધતિ 1.

પદ્ધતિ 2.

અને હવે તમે મોનિટર પર ગણતરી કરી શકો છો: અમારા પિરામિડમાં રહેલા બ્લોક્સની સંખ્યા સાથે પ્રાપ્ત મૂલ્યોની તુલના કરો. સમજાયું? સારું કર્યું, તમે અંકગણિતની પ્રગતિના nમા શબ્દોના સરવાળામાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
અલબત્ત, તમે બેઝ પરના બ્લોક્સમાંથી પિરામિડ બનાવી શકતા નથી, પણ ક્યાંથી? આ સ્થિતિ સાથે દિવાલ બનાવવા માટે કેટલી રેતીની ઇંટોની જરૂર છે તેની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો.
શું તમે મેનેજ કર્યું?
સાચો જવાબ બ્લોક્સ છે:

તાલીમ

કાર્યો:

1. માશા ઉનાળા માટે આકારમાં આવી રહી છે. દરરોજ તે સ્ક્વોટ્સની સંખ્યામાં વધારો કરે છે. જો તેણીએ પ્રથમ તાલીમ સત્રમાં સ્ક્વોટ્સ કર્યું હોય તો માશા અઠવાડિયામાં કેટલી વાર સ્ક્વોટ્સ કરશે?
2. સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે.
3. લૉગ્સ સ્ટોર કરતી વખતે, લોગર્સ તેમને એવી રીતે સ્ટેક કરે છે કે દરેક ટોચના સ્તરમાં અગાઉના એક કરતાં એક લોગ ઓછો હોય છે. એક ચણતરમાં કેટલા લોગ હોય છે, જો ચણતરનો પાયો લોગ હોય તો?

જવાબો:

1. ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિના પરિમાણોને વ્યાખ્યાયિત કરીએ. આ કિસ્સામાં
   (અઠવાડિયા = દિવસો).

   જવાબ:બે અઠવાડિયામાં, માશાએ દિવસમાં એકવાર સ્ક્વોટ્સ કરવું જોઈએ.

2. પ્રથમ બેકી સંખ્યા, છેલ્લી સંખ્યા.
   અંકગણિત પ્રગતિ તફાવત.
   માં બેકી સંખ્યાઓની સંખ્યા અડધી છે, જો કે, ચાલો અંકગણિતની પ્રગતિની મી પદ શોધવા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ હકીકતને તપાસીએ:

   સંખ્યાઓમાં વિષમ સંખ્યાઓ હોય છે.
   ચાલો ઉપલબ્ધ ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:માં સમાયેલ તમામ એકી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે.

3. ચાલો પિરામિડ વિશેની સમસ્યાને યાદ કરીએ. અમારા કેસ માટે, a , કારણ કે દરેક ટોચનું સ્તર એક લોગ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે, તો કુલ સ્તરોનો સમૂહ છે, એટલે કે.
   ચાલો ડેટાને ફોર્મ્યુલામાં બદલીએ:

   જવાબ:ચણતરમાં લોગ છે.

ચાલો તેનો સરવાળો કરીએ

1. - સંખ્યા ક્રમ કે જેમાં સંલગ્ન સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન હોય છે. તે વધી અથવા ઘટી શકે છે.
2. ફોર્મ્યુલા શોધવીઅંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે - , પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.
3. અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત- - સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં પ્રગતિમાં છે.
4. અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળોબે રીતે શોધી શકાય છે:
   
   , મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિત પ્રગતિ. મધ્યમ સ્તર

સંખ્યા ક્રમ

ચાલો બેસો અને કેટલાક નંબરો લખવાનું શરૂ કરીએ. ઉદાહરણ તરીકે:

તમે કોઈપણ નંબરો લખી શકો છો, અને તમને ગમે તેટલા તેમાંથી ઘણા હોઈ શકે છે. પરંતુ આપણે હંમેશા કહી શકીએ કે કયું પ્રથમ છે, કયું બીજું છે, અને તેથી વધુ, એટલે કે, આપણે તેમને નંબર આપી શકીએ છીએ. આ સંખ્યા ક્રમનું ઉદાહરણ છે.

સંખ્યા ક્રમસંખ્યાઓનો સમૂહ છે, જેમાંથી દરેકને એક અનન્ય નંબર અસાઇન કરી શકાય છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરેક સંખ્યા ચોક્કસ પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને અનન્ય સંખ્યા સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે. અને અમે આ નંબર આ સેટમાંથી અન્ય કોઈ નંબરને સોંપીશું નહીં.

સંખ્યા સાથેની સંખ્યાને ક્રમનો મી સભ્ય કહેવામાં આવે છે.

અમે સામાન્ય રીતે સમગ્ર ક્રમને અમુક અક્ષર (ઉદાહરણ તરીકે,) દ્વારા કૉલ કરીએ છીએ, અને આ ક્રમનો દરેક સભ્ય આ સભ્યની સંખ્યાની સમાન અનુક્રમણિકા સાથે સમાન અક્ષર છે: .

તે ખૂબ અનુકૂળ છે જો ક્રમનો મી શબ્દ કેટલાક સૂત્ર દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે, સૂત્ર

ક્રમ સુયોજિત કરે છે:

અને સૂત્ર નીચેનો ક્રમ છે:

ઉદાહરણ તરીકે, અંકગણિત પ્રગતિ એ ક્રમ છે (અહીં પ્રથમ પદ સમાન છે, અને તફાવત છે). અથવા (, તફાવત).

nth શબ્દ સૂત્ર

અમે એક ફોર્મ્યુલાને રિકરન્ટ કહીએ છીએ જેમાં, મી શબ્દ શોધવા માટે, તમારે અગાઉના અથવા ઘણા પહેલાના મુદ્દાઓ જાણવાની જરૂર છે:

દાખલા તરીકે, આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રગતિનો મી શબ્દ શોધવા માટે, આપણે અગાઉના નવની ગણતરી કરવી પડશે. ઉદાહરણ તરીકે, તે દો. પછી:

સારું, હવે સ્પષ્ટ છે કે સૂત્ર શું છે?

દરેક લીટીમાં આપણે અમુક સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ. કયો? ખૂબ જ સરળ: આ વર્તમાન સભ્યની સંખ્યા ઓછા છે:

હવે વધુ અનુકૂળ છે, બરાબર ને? અમે તપાસીએ છીએ:

તમારા માટે નક્કી કરો:

અંકગણિતની પ્રગતિમાં, nમી પદ માટે સૂત્ર શોધો અને સોમો પદ શોધો.

ઉકેલ:

પ્રથમ પદ સમાન છે. શું તફાવત છે? અહીં શું છે:

(આ કારણે તેને તફાવત કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે પ્રગતિના ક્રમિક પદોના તફાવત સમાન છે).

તેથી, સૂત્ર:

પછી સોમો પદ સમાન છે:

થી સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો કેટલો છે?

દંતકથા અનુસાર, મહાન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ ગૌસે, 9 વર્ષના છોકરા તરીકે, થોડીવારમાં આ રકમની ગણતરી કરી. તેણે નોંધ્યું કે પ્રથમ અને છેલ્લી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન છે, બીજા અને ઉપાંત્યનો સરવાળો સમાન છે, ત્રીજા અને અંતથી ત્રીજા નંબરનો સરવાળો સમાન છે, વગેરે. આવી કુલ જોડી કેટલી છે? તે સાચું છે, બધી સંખ્યાઓની બરાબર અડધી સંખ્યા, એટલે કે. તેથી,

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ પદોના સરવાળા માટેનું સામાન્ય સૂત્ર આ હશે:

ઉદાહરણ:
તમામ બે-અંકના ગુણાંકનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:

આવો પહેલો નંબર આ છે. દરેક અનુગામી સંખ્યા અગાઉના નંબરમાં ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે. આમ, આપણને જે સંખ્યાઓમાં રસ છે તે પ્રથમ પદ અને તફાવત સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ બનાવે છે.

આ પ્રગતિ માટે મી શબ્દનું સૂત્ર:

જો તે બધા બે-અંકના હોવા જોઈએ તો પ્રગતિમાં કેટલા પદો છે?

ખૂબ જ સરળ: .

પ્રગતિની છેલ્લી મુદત સમાન હશે. પછી સરવાળો:

જવાબ:.

હવે તમારા માટે નક્કી કરો:

1. દરરોજ રમતવીર પાછલા દિવસ કરતા વધુ મીટર દોડે છે. તે અઠવાડિયામાં કુલ કેટલા કિલોમીટર દોડશે, જો પ્રથમ દિવસે તે કિમી મીટર દોડશે?
2. સાઇકલ સવાર પાછલા દિવસ કરતાં દરરોજ વધુ કિલોમીટરની મુસાફરી કરે છે. પ્રથમ દિવસે તેણે કિ.મી. તેને એક કિલોમીટર કવર કરવા માટે કેટલા દિવસ મુસાફરી કરવાની જરૂર છે? તેની મુસાફરીના છેલ્લા દિવસ દરમિયાન તે કેટલા કિલોમીટરની મુસાફરી કરશે?
3. સ્ટોરમાં રેફ્રિજરેટરની કિંમત દર વર્ષે સમાન રકમ દ્વારા ઘટે છે. દર વર્ષે રેફ્રિજરેટરની કિંમત કેટલી ઘટે છે તે નક્કી કરો જો, રુબેલ્સ માટે વેચાણ માટે મૂકવામાં આવે, છ વર્ષ પછી તે રુબેલ્સમાં વેચવામાં આવે.

જવાબો:

1. અહીં સૌથી મહત્વની બાબત એ છે કે અંકગણિતની પ્રગતિને ઓળખવી અને તેના પરિમાણો નક્કી કરવા. આ કિસ્સામાં, (અઠવાડિયા = દિવસો). તમારે આ પ્રગતિની પ્રથમ શરતોનો સરવાળો નક્કી કરવાની જરૂર છે:
   .
   જવાબ:
2. અહીં તે આપવામાં આવ્યું છે: , મળવું આવશ્યક છે.
   દેખીતી રીતે, તમારે અગાઉની સમસ્યાની જેમ સમાન સરવાળા ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે:
   .
   મૂલ્યો બદલો:

   રુટ દેખીતી રીતે ફિટ નથી, તેથી જવાબ છે.
   ચાલો ઠ્ઠી શબ્દના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેલ્લા દિવસે મુસાફરી કરેલ પાથની ગણતરી કરીએ:
   (કિમી).
   જવાબ:

3. આપેલ:. શોધો:.
   તે સરળ ન હોઈ શકે:
   (ઘસવું).
   જવાબ:

અંકગણિત પ્રગતિ. મુખ્ય બાબતો વિશે સંક્ષિપ્તમાં

આ એક સંખ્યા ક્રમ છે જેમાં અડીને આવેલી સંખ્યાઓ વચ્ચેનો તફાવત સમાન અને સમાન છે.

અંકગણિત પ્રગતિ વધી શકે છે () અને ઘટી રહી છે ().

ઉદાહરણ તરીકે:

અંકગણિત પ્રગતિનો nમો શબ્દ શોધવા માટેનું સૂત્ર

સૂત્ર દ્વારા લખવામાં આવે છે, જ્યાં પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા છે.

અંકગણિત પ્રગતિના સભ્યોની મિલકત

તે તમને પ્રગતિનો શબ્દ સરળતાથી શોધી શકે છે જો તેની પડોશી શરતો જાણીતી હોય - પ્રગતિમાં સંખ્યાઓની સંખ્યા ક્યાં છે.

અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો

રકમ શોધવાની બે રીત છે:

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.

મૂલ્યોની સંખ્યા ક્યાં છે.