વિતરણની વિકૃતિ અને કુર્ટોસિસ. એક્સેલમાં પ્રયોગમૂલક વિતરણના ત્રાંસીપણું અને કર્ટોસિસની ગણતરી

વિવિધતા શ્રેણીનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, કેન્દ્રમાંથી વિસ્થાપન અને વિતરણનો ઢોળાવ ખાસ સૂચકાંકો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. પ્રાયોગિક વિતરણો, એક નિયમ તરીકે, વિતરણના કેન્દ્રમાંથી જમણી કે ડાબી તરફ ખસેડવામાં આવે છે અને અસમપ્રમાણ હોય છે. સામાન્ય વિતરણ અંકગણિત સરેરાશ વિશે સખત સપ્રમાણ છે, જે કાર્યની સમાનતાને કારણે છે.

વિતરણની વિકૃતિ એ હકીકતને કારણે ઉદ્ભવે છે કે કેટલાક પરિબળો બીજી દિશામાં કરતાં એક દિશામાં વધુ મજબૂત રીતે કાર્ય કરે છે, અથવા ઘટનાના વિકાસની પ્રક્રિયા એવી છે કે કેટલાક કારણો પ્રભુત્વ ધરાવે છે. વધુમાં, કેટલીક ઘટનાઓની પ્રકૃતિ એવી હોય છે કે અસમપ્રમાણ વિતરણ હોય છે.

અસમપ્રમાણતાનું સરળ માપ એ અંકગણિત સરેરાશ, મોડ અને મધ્ય વચ્ચેનો તફાવત છે:

વિતરણની પાળી (અસમપ્રમાણતા) ની દિશા અને તીવ્રતા નક્કી કરવા માટે, તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે. અસમપ્રમાણતા ગુણાંક , જે ત્રીજા ક્રમની સામાન્ય ક્ષણ છે:

As= 3 / 3, જ્યાં  3 એ ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ છે;  3 – પ્રમાણભૂત વિચલન ક્યુબ્ડ. 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા માટે અસમપ્રમાણતા ગુણાંક (જેમ કે<0), при правосторонней (As>0) .

જો વિતરણની ટોચ ડાબી તરફ ખસેડવામાં આવે છે અને શાખાનો જમણો ભાગ ડાબી બાજુ કરતાં લાંબો હોવાનું બહાર આવે છે, તો આવી અસમપ્રમાણતા છે જમણી બાજુ અન્યથા ડાબા હાથે .

સપ્રમાણ અને અસમપ્રમાણ શ્રેણીમાં મોડ, મધ્ય અને અંકગણિત સરેરાશ વચ્ચેનો સંબંધ અમને અસમપ્રમાણતાના માપ તરીકે સરળ સૂચકનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. અસમપ્રમાણતા ગુણાંક પીયર્સન :

કે એ = ( –Mo)/. જો K a >0, તો અસમપ્રમાણતા જમણી બાજુની છે, જો K a<0, то асимметрия левосторонняя, при К a =0 ряд считается симметричным.

તૃતીય-ક્રમના કેન્દ્રીય ક્ષણનો ઉપયોગ કરીને અસમપ્રમાણતા વધુ ચોક્કસ રીતે નક્કી કરી શકાય છે:

, જ્યાં 3 = (m 3 – 3m 1 m 2 + 2m 1 3)k 3 .

જો > 0, તો અસમપ્રમાણતા નોંધપાત્ર ગણી શકાય જો < 0,25 асимметрию можно считать не значительной.

ઓર્ડિનેટ સાથેના સામાન્ય વિતરણમાંથી સપ્રમાણ વિતરણના વિચલનની ડિગ્રીને લાક્ષણિકતા આપવા માટે, ટોચનું સૂચક, વિતરણની તીવ્રતા, કહેવાય છે અધિક :

Ex = ( 4 / 4) – 3, જ્યાં:  4 – ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણ.

સામાન્ય વિતરણ માટે, Ex = 0, એટલે કે.  4 / 4 = 3.  4 = (m 4 – 4m 3 m 1 + 6m 2 m 2 1 – 3 m 4 1)* k 4 .

ઉચ્ચ-શિખર વણાંકો હકારાત્મક કર્ટોસિસ ધરાવે છે, જ્યારે નીચા-શિખર વણાંકો નકારાત્મક કર્ટોસિસ ધરાવે છે (ફિગ. D.2).

વસ્તીની વિષમતા, વિતરણની અસમપ્રમાણતા અને સામાન્ય કાયદાની પ્રાયોગિક વિતરણની નિકટતા નક્કી કરવા માટે આંકડાકીય પૃથ્થકરણમાં કુર્ટોસિસ અને વિકૃતિના સૂચકાંકો જરૂરી છે. જો શૂન્યમાંથી અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસ સૂચકાંકોના નોંધપાત્ર વિચલનો હોય, તો વસ્તીને સજાતીય ગણી શકાય નહીં અને વિતરણ સામાન્યની નજીક છે. સૈદ્ધાંતિક વણાંકો સાથે વાસ્તવિક વળાંકોની સરખામણી વ્યક્તિને પ્રાપ્ત આંકડાકીય પરિણામોને ગાણિતિક રીતે સાબિત કરવા, સામાજિક-આર્થિક ઘટનાઓના વિતરણના પ્રકાર અને પ્રકૃતિને સ્થાપિત કરવા અને અભ્યાસ કરવામાં આવતી ઘટનાઓની ઘટનાની સંભાવનાની આગાહી કરવાની મંજૂરી આપે છે.

4.7. સૈદ્ધાંતિક સામાન્ય વિતરણ માટે પ્રયોગમૂલક (વાસ્તવિક) વિતરણની નિકટતાનું સમર્થન. સામાન્ય વિતરણ (ગૌસ-લેપ્લેસ કાયદો) અને તેની લાક્ષણિકતાઓ. "થ્રી સિગ્મા નિયમ." ગુડનેસ-ઓફ-ફિટ માપદંડ (પિયરસન અથવા કોલગોમોગોરોવ માપદંડના ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને).

તમે વિવિધ લાક્ષણિકતાના ફ્રીક્વન્સીઝ અને મૂલ્યોમાં ફેરફારમાં ચોક્કસ જોડાણ જોઈ શકો છો. જેમ જેમ એટ્રિબ્યુટનું મૂલ્ય વધે છે તેમ, ફ્રીક્વન્સીઝ પ્રથમ વધે છે અને પછી, ચોક્કસ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચ્યા પછી, ઘટે છે. વિવિધતા શ્રેણીમાં ફ્રીક્વન્સીઝમાં આવા નિયમિત ફેરફારો કહેવામાં આવે છે વિતરણ પેટર્ન.

વિતરણ પેટર્નને ઓળખવા માટે, તે જરૂરી છે કે વિવિધતા શ્રેણીમાં પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં એકમો હોય, અને શ્રેણીઓ પોતે ગુણાત્મક રીતે સજાતીય વસ્તીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે.

વાસ્તવિક માહિતીના આધારે બનાવવામાં આવેલ વિતરણ બહુકોણ છે પ્રયોગમૂલક (વાસ્તવિક) વિતરણ વળાંક, માત્ર ઉદ્દેશ્ય (સામાન્ય) જ નહીં, પણ વ્યક્તિલક્ષી (રેન્ડમ) વિતરણ પરિસ્થિતિઓને પણ પ્રતિબિંબિત કરે છે જે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની લાક્ષણિકતા નથી.

વ્યવહારિક કાર્યમાં, સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓમાંથી એક સાથે પ્રયોગમૂલક વિતરણની તુલના કરીને અને તેમની વચ્ચેના તફાવત અથવા પત્રવ્યવહારની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરીને વિતરણ કાયદો જોવા મળે છે. સૈદ્ધાંતિક વિતરણ વળાંકતેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં પ્રતિબિંબિત કરે છે, રેન્ડમ પરિબળોના પ્રભાવને ધ્યાનમાં લીધા વિના, વિવિધ લાક્ષણિકતાઓના મૂલ્યોને આધારે આવર્તન વિતરણ (વિતરણ ઘનતા) ની સામાન્ય પેટર્ન.

આંકડાઓમાં વિવિધ પ્રકારના સૈદ્ધાંતિક વિતરણો સામાન્ય છે: સામાન્ય, દ્વિપદી, પોઈસન, વગેરે. દરેક સૈદ્ધાંતિક વિતરણની પોતાની વિશિષ્ટતાઓ અને અવકાશ છે.

સામાન્ય વિતરણ કાયદો ઘણા રેન્ડમ પરિબળોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયા દરમિયાન બનતી સમાન સંભવિત ઘટનાઓના વિતરણની લાક્ષણિકતા. સામાન્ય વિતરણનો કાયદો વિતરણ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા, નમૂનાના અવલોકનોની પ્રતિનિધિત્વ અને સામૂહિક ઘટનાના સંબંધને માપવા માટે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો સમાવેશ કરે છે. વાસ્તવિક વિતરણ સામાન્ય સાથે કેટલી સારી રીતે અનુરૂપ છે તે ચકાસવા માટે, સામાન્ય વિતરણ કાયદાની લાક્ષણિકતા સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે વાસ્તવિક વિતરણની ફ્રીક્વન્સીની તુલના કરવી જરૂરી છે. આ ફ્રીક્વન્સીઝ સામાન્ય વિચલનોનું કાર્ય છે. તેથી, પ્રયોગમૂલક વિતરણ શ્રેણીના ડેટા અનુસાર, સામાન્યકૃત વિચલનો t ની ગણતરી કરવામાં આવે છે. પછી અનુરૂપ સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝ નક્કી કરવામાં આવે છે. આ પ્રયોગમૂલક વિતરણને સપાટ કરે છે.

સામાન્ય વિતરણઅથવા ગૌસ-લેપ્લેસ કાયદો સમીકરણ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે
, જ્યાં y t એ સામાન્ય વિતરણ વક્રનું ઓર્ડિનેટ છે અથવા સામાન્ય વિતરણના મૂલ્ય xની આવર્તન (સંભાવના) છે; - વ્યક્તિગત x મૂલ્યોની ગાણિતિક અપેક્ષા (સરેરાશ મૂલ્ય). જો મૂલ્યો (x - પ્રમાણભૂત વિચલનની દ્રષ્ટિએ માપ (એક્સપ્રેસ) , એટલે કે. પ્રમાણિત (સામાન્ય) વિચલનોમાં t = (x - )/, પછી સૂત્ર ફોર્મ લેશે:
. તેના શુદ્ધ સ્વરૂપમાં સામાજિક-આર્થિક ઘટનાનું સામાન્ય વિતરણ દુર્લભ છે, જો કે, જો વસ્તીની એકરૂપતા જાળવવામાં આવે છે, તો વાસ્તવિક વિતરણ ઘણીવાર સામાન્યની નજીક હોય છે. અભ્યાસ કરેલ જથ્થાના વિતરણની પેટર્ન સૈદ્ધાંતિક સામાન્ય વિતરણ કાયદા સાથે પ્રયોગમૂલક વિતરણના અનુપાલનને ચકાસીને જાહેર કરવામાં આવે છે. આ કરવા માટે, વાસ્તવિક વિતરણ સામાન્ય વળાંક સાથે ગોઠવાયેલ છે અને ગણતરી કરવામાં આવે છે સંમતિ માપદંડ .

સામાન્ય વિતરણ બે નોંધપાત્ર પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે જે વ્યક્તિગત મૂલ્યોના જૂથનું કેન્દ્ર અને વળાંકનો આકાર નક્કી કરે છે: અંકગણિત સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલન . સામાન્ય વિતરણ વણાંકો x-અક્ષ પર વિતરણ કેન્દ્રની સ્થિતિમાં અલગ પડે છે અને આ કેન્દ્રની આસપાસ સ્કેટર વિકલ્પ  (ફિગ. 4.1 અને 4.2). સામાન્ય વિતરણ વળાંકની એક વિશેષતા એ વિતરણના કેન્દ્રની તુલનામાં તેની સપ્રમાણતા છે - તેના મધ્યની બંને બાજુએ, બે સમાનરૂપે ઘટતી શાખાઓ રચાય છે, અસમપ્રમાણ રીતે એબ્સિસા અક્ષની નજીક આવે છે. તેથી, સામાન્ય વિતરણમાં, સરેરાશ, મોડ અને મધ્ય સમાન છે: = Mo = Me.

  x

સામાન્ય વિતરણ વળાંકમાં t = 1 પર બે વળાંક બિંદુઓ (બહિર્મુખથી અંતર્મુખમાં સંક્રમણ) હોય છે, એટલે કે. જ્યારે વિકલ્પો સરેરાશથી વિચલિત થાય છે (x - ), પ્રમાણભૂત વિચલન  સમાન. અંદર સામાન્ય વિતરણ સાથે  અંદર 68.3% છે 2 – 95.4%, અંદર 3 – વિતરણ શ્રેણીના અવલોકનો અથવા ફ્રીક્વન્સીઝની સંખ્યાના 99.7%. વ્યવહારમાં, લગભગ કોઈ વિચલનો 3 કરતાં વધી જતા નથી તેથી, આપેલ સંબંધને " ત્રણ સિગ્મા નિયમ ».

સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

.

તીવ્રતા
t નું કાર્ય છે અથવા સામાન્ય વિતરણની ઘનતા છે, જે વિશિષ્ટ કોષ્ટકમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે, જેમાંથી અંશો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવે છે. 4.2.

સામાન્ય વિતરણ ઘનતા મૂલ્યો કોષ્ટક 4.2

ફિગમાં ગ્રાફ. 4.3 પ્રાયોગિક (2) અને સામાન્ય (1) વિતરણોની નિકટતા સ્પષ્ટપણે દર્શાવે છે.

ચોખા. 4.3. સંખ્યા દ્વારા ટપાલ સેવા શાખાઓનું વિતરણ

કામદારો: 1 - સામાન્ય; 2 - પ્રયોગમૂલક

સામાન્ય વિતરણના કાયદાની પ્રાયોગિક વિતરણની નિકટતાને ગાણિતિક રીતે સાબિત કરવા માટે, ગણતરી કરો સંમતિ માપદંડ .

કોલમોગોરોવ માપદંડ -યોગ્યતા-ઓફ-ફિટ માપદંડ કે જે વ્યક્તિને પ્રયોગમૂલક વિતરણની સામાન્યતાની નજીકની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે. A. N. Kolmogorov એ પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક સામાન્ય વિતરણો વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને નિર્ધારિત કરવા માટે આ શ્રેણીની સંચિત ફ્રીક્વન્સી અથવા ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેના મહત્તમ તફાવતનો ઉપયોગ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો હતો. પ્રાયોગિક વિતરણ સામાન્ય વિતરણના કાયદાને અનુરૂપ છે તે પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, યોગ્યતાના માપદંડ = D/ની ગણતરી કરવામાં આવે છે.
, જ્યાં D એ સંચિત (સંચિત) પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક આવર્તન વચ્ચેનો મહત્તમ તફાવત છે, n એ ખાસ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, P() નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે -  પ્રાપ્ત કરવાની સંભાવના, જેનો અર્થ છે કે જો વૈવિધ્યસભર લાક્ષણિકતા સામાન્ય કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે, પછી અવ્યવસ્થિત કારણોસર, પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝ વચ્ચેની મહત્તમ વિસંગતતા વાસ્તવમાં અવલોકન કરાયેલ કરતાં ઓછી નહીં હોય. P() ના મૂલ્યના આધારે, ચોક્કસ નિષ્કર્ષ દોરવામાં આવે છે: જો P() સંભાવના પૂરતી મોટી હોય, તો વાસ્તવિક વિતરણ સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ હોવાની પૂર્વધારણાને સમર્થન ગણી શકાય; જો સંભાવના P() નાની હોય, તો નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે, અને વાસ્તવિક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણો વચ્ચેની વિસંગતતાઓને નોંધપાત્ર ગણવામાં આવે છે.

યોગ્યતાના માપદંડ માટે સંભાવના મૂલ્યો  કોષ્ટક 4.3

પીયર્સન માપદંડ 2 ("ચી-ચોરસ") - સારીતા-ઓફ-ફિટ માપદંડ કે જે વ્યક્તિને પ્રયોગમૂલક વિતરણની સામાન્યતાની નજીકની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવાની મંજૂરી આપે છે:
,જ્યાં f i, f" i એ ચોક્કસ અંતરાલમાં પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણોની ફ્રીક્વન્સીઝ છે. અવલોકન કરાયેલ અને સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સી વચ્ચે જેટલો મોટો તફાવત હશે, તેટલો મોટો માપદંડ  2. ફ્રીક્વન્સીઝમાં તફાવતોના મહત્વને પારખવા માટે પ્રાયોગિક અને સૈદ્ધાંતિક વિતરણો માપદંડ  2 અનુસાર તકના નમૂનાઓને કારણે, માપદંડ  2 કેલ્કનું ગણતરી કરેલ મૂલ્ય સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની અનુરૂપ સંખ્યા અને આપેલ મહત્વના સ્તર સાથે ટેબ્યુલેટેડ 2 કોષ્ટક સાથે સરખાવવામાં આવે છે સ્તર પસંદ કરેલ છે જેથી P( 2 calc > 2 ટેબલ) = . h–l, ક્યાં h- જૂથોની સંખ્યા; l- સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરતી વખતે પૂરી થવી આવશ્યક શરતોની સંખ્યા. સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય વિતરણ વળાંકની સૈદ્ધાંતિક ફ્રીક્વન્સીઝની ગણતરી કરવા
તમારે ત્રણ પરિમાણો જાણવાની જરૂર છે , , f, તેથી સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા h–3 છે. જો  2 calc > 2 ટેબ, એટલે કે.  2 નિર્ણાયક પ્રદેશમાં આવે છે, પછી પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક આવર્તન વચ્ચેની વિસંગતતા નોંધપાત્ર છે અને નમૂના ડેટામાં રેન્ડમ વધઘટ દ્વારા સમજાવી શકાતી નથી. આ કિસ્સામાં, નલ પૂર્વધારણાને નકારી કાઢવામાં આવે છે. જો  2 ગણતરી  2 કોષ્ટકો, એટલે કે. ગણતરી કરેલ માપદંડ એ ફ્રીક્વન્સીઝના મહત્તમ સંભવિત વિચલનને ઓળંગતો નથી જે તકને કારણે ઊભી થઈ શકે છે, પછી આ કિસ્સામાં વિતરણોના પત્રવ્યવહાર વિશેની પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે. પીયર્સન માપદંડ નોંધપાત્ર સંખ્યામાં અવલોકનો (n50) સાથે અસરકારક છે, અને તમામ અંતરાલોની ફ્રીક્વન્સીમાં ઓછામાં ઓછા પાંચ એકમો (નાની સંખ્યા સાથે, અંતરાલો જોડવામાં આવે છે) અને અંતરાલો (જૂથો)ની સંખ્યા હોવી આવશ્યક છે. મોટા (h>5), કારણ કે અંદાજ  2 સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે.

રોમનવોસ્કી માપદંડ -એક સારો-યોગ્ય માપદંડ કે જે વ્યક્તિને પ્રયોગમૂલક વિતરણની સામાન્ય V.I. રોમાનોવ્સ્કીએ આના સંબંધમાં સામાન્ય વિતરણ વળાંક માટે પ્રયોગમૂલક વિતરણની નિકટતાનું મૂલ્યાંકન કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો:

, જ્યાં h એ જૂથોની સંખ્યા છે.

જો ગુણોત્તર 3 કરતા વધારે હોય, તો પ્રયોગમૂલક અને સામાન્ય વિતરણની ફ્રીક્વન્સી વચ્ચેની વિસંગતતાને રેન્ડમ ગણી શકાય નહીં અને સામાન્ય વિતરણ કાયદાની પૂર્વધારણાને નકારી શકાય. જો ગુણોત્તર 3 કરતા ઓછો અથવા બરાબર હોય, તો અમે પૂર્વધારણા સ્વીકારી શકીએ છીએ કે ડેટા વિતરણ સામાન્ય છે.

રેન્ડમ ચલના વિતરણના આકારનો અંદાજિત વિચાર મેળવવા માટે, તેની વિતરણ શ્રેણી (બહુકોણ અને હિસ્ટોગ્રામ), કાર્ય અથવા વિતરણ ઘનતાનો ગ્રાફ રચવામાં આવે છે. આંકડાકીય સંશોધનની પ્રેક્ટિસમાં વ્યક્તિ ખૂબ જ અલગ વિતરણનો સામનો કરે છે. એકલ-શિરોબિંદુ વિતરણો દ્વારા, એક નિયમ તરીકે, સજાતીય વસ્તીની લાક્ષણિકતા છે. મલ્ટિવર્ટેક્સ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી વસ્તીની વિવિધતા સૂચવે છે. આ કિસ્સામાં, વધુ એકરૂપ જૂથોને ઓળખવા માટે ડેટાને ફરીથી જૂથબદ્ધ કરવું જરૂરી છે.

રેન્ડમ ચલના વિતરણની સામાન્ય પ્રકૃતિને નિર્ધારિત કરવા માટે તેની એકરૂપતાની ડિગ્રીનું મૂલ્યાંકન કરવું, તેમજ અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસના સૂચકાંકોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. સપ્રમાણ વિતરણમાં, જેમાં ગાણિતિક અપેક્ષા સરેરાશ સમાન હોય છે, એટલે કે. , એવું ગણી શકાય કે કોઈ અસમપ્રમાણતા નથી. પરંતુ અસમપ્રમાણતા વધુ ધ્યાનપાત્ર છે, વિતરણ કેન્દ્રની લાક્ષણિકતાઓ - ગાણિતિક અપેક્ષા અને મધ્ય વચ્ચેનું વિચલન વધારે છે.

રેન્ડમ ચલના વિતરણની અસમપ્રમાણતાના સરળ ગુણાંકને ગણી શકાય, જ્યાં ગાણિતિક અપેક્ષા છે, મધ્ય છે અને રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન છે.

જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતાના કિસ્સામાં, ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા. જો , અસમપ્રમાણતા ઓછી, જો - મધ્યમ અને પર - ઉચ્ચ માનવામાં આવે છે. જમણી અને ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતાનું ભૌમિતિક ચિત્ર નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. તે સતત રેન્ડમ ચલોના અનુરૂપ પ્રકારના વિતરણ ઘનતાના આલેખ બતાવે છે.

રેખાંકન. સતત રેન્ડમ ચલોના વિતરણના ઘનતા પ્લોટમાં જમણી અને ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતાનું ચિત્રણ.

રેન્ડમ ચલના વિતરણની અસમપ્રમાણતાનો બીજો ગુણાંક છે. તે સાબિત કરી શકાય છે કે વિષમ ક્રમની બિન-શૂન્ય કેન્દ્રિય ક્ષણ રેન્ડમ ચલના વિતરણમાં અસમપ્રમાણતા સૂચવે છે. અગાઉના સૂચકમાં અમે પ્રથમ ઓર્ડર મોમેન્ટ જેવી જ અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. પરંતુ સામાન્ય રીતે આ અન્ય અસમપ્રમાણતા ગુણાંકમાં ત્રીજા ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણનો ઉપયોગ થાય છે , અને આ ગુણાંક પરિમાણહીન બનવા માટે, તેને પ્રમાણભૂત વિચલનના ઘન દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પરિણામી અસમપ્રમાણતા ગુણાંક છે: . આ અસમપ્રમાણતા ગુણાંક માટે, જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતાના કિસ્સામાં પ્રથમની જેમ, ડાબી બાજુ - .

રેન્ડમ ચલનું કુર્ટોસિસ

રેન્ડમ ચલના વિતરણનું કુર્ટોસિસ વિતરણના કેન્દ્રની નજીક તેના મૂલ્યોની સાંદ્રતાની ડિગ્રી દર્શાવે છે: એકાગ્રતા જેટલી વધારે છે, તેના વિતરણનો ઘનતા ગ્રાફ વધુ અને સાંકડો હશે. કર્ટોસિસ (તીક્ષ્ણતા) સૂચક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: , જ્યાં 4થા ક્રમની કેન્દ્રિય ક્ષણ છે, અને તે 4થી ઘાત સુધી વધારવામાં આવેલ પ્રમાણભૂત વિચલન છે. અંશ અને છેદની શક્તિઓ સમાન હોવાથી, કર્ટોસિસ એ પરિમાણહીન જથ્થો છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય વિતરણ લેવા માટે તેને કર્ટોસિસ, શૂન્ય કર્ટોસિસની ગેરહાજરીના ધોરણ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે. પરંતુ તે સાબિત કરી શકાય છે કે સામાન્ય વિતરણ માટે. તેથી, કર્ટોસિસની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં, આ અપૂર્ણાંકમાંથી નંબર 3 બાદ કરવામાં આવે છે.

આમ, સામાન્ય વિતરણ માટે કર્ટોસિસ શૂન્ય છે: . જો કર્ટોસિસ શૂન્ય કરતા વધારે હોય, એટલે કે. , પછી વિતરણ સામાન્ય કરતાં વધુ ટોચ પર છે. જો કર્ટોસિસ શૂન્ય કરતાં ઓછું હોય, એટલે કે. , પછી વિતરણ સામાન્ય કરતાં ઓછું શિખર છે. નકારાત્મક કુર્ટોસિસનું મર્યાદિત મૂલ્ય એનું મૂલ્ય છે; સકારાત્મક કુર્ટોસિસની તીવ્રતા અનંત મોટી હોઈ શકે છે. રેન્ડમ ચલોના પીક અને ફ્લેટ-ટોપ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ડેન્સિટીના આલેખ સામાન્ય વિતરણની સરખામણીમાં કેવા દેખાય છે તે આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે.

રેખાંકન. સામાન્ય વિતરણની તુલનામાં રેન્ડમ ચલોના પીક અને ફ્લેટ-ટોપ ઘનતા વિતરણનું ચિત્ર.

રેન્ડમ ચલના વિતરણની અસમપ્રમાણતા અને કુર્ટોસિસ દર્શાવે છે કે તે સામાન્ય કાયદાથી કેટલું વિચલિત થાય છે. મોટી અસમપ્રમાણતા અને કુર્ટોસિસ માટે, સામાન્ય વિતરણ માટે ગણતરીના સૂત્રોનો ઉપયોગ થવો જોઈએ નહીં. ચોક્કસ રેન્ડમ ચલ માટે ડેટાના વિશ્લેષણમાં સામાન્ય વિતરણ સૂત્રોના ઉપયોગ માટે અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસની સ્વીકાર્યતાનું સ્તર શું છે તે સંશોધકે તેના જ્ઞાન અને અનુભવના આધારે નક્કી કરવું જોઈએ.

રેન્ડમ વેરીએબલના વિતરણની વિકૃતિ અને કર્ટોસિસ.

090309-matmetody.txt

અસમપ્રમાણતાની લાક્ષણિકતાઓ.

અસમપ્રમાણતાનું મુખ્ય માપ અસમપ્રમાણતા ગુણાંક છે. એટલે કે, આવર્તન વિતરણ ગ્રાફ સરેરાશ મૂલ્યની તુલનામાં સપ્રમાણ સ્વરૂપમાંથી વિચલિત થાય તે ડિગ્રી. તે ઇન્ડેક્સ s સાથે અક્ષર A દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે અને સૂત્ર (ફિગ. 8) અનુસાર ગણવામાં આવે છે. અસમપ્રમાણતા ગુણાંક ઓછા અનંતથી વત્તા અનંત સુધી બદલાય છે. જ્યારે ગુણાંક શૂન્ય કરતા વધારે હોય ત્યારે અસમપ્રમાણતા ડાબી બાજુની (ધન) હોય છે - જેમ>0 અને જમણી બાજુ (નકારાત્મક) - તરીકે<0. При левосторонней ассиметрии чаще встречаются значения ниже среднего арифметического. При правой, соответственно чаще всего встречаются значения, превосходящие среднее арифметическое. Для симметричных распределений коэффициент ассиметрии равен нулю, а мода, медиана и среднее арифметическое значение совпадают между собой.

કુર્ટોસિસની લાક્ષણિકતાઓ.

તેના કુર્ટોસિસ (અથવા પીકીનેસ) ના ગુણાંકને લાક્ષણિકતા આપે છે - સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે.

ટોચનું વિતરણ હકારાત્મક કર્ટોસિસ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, સપાટ ટોચનું વિતરણ નકારાત્મક કુર્ટોસિસ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, અને મધ્યમ ટોચનું વિતરણ શૂન્ય કર્ટોસિસ ધરાવે છે.

પ્રથમ, બીજું,

જો તમે-(સામાન્ય રીતે અંતરાલ).

ગ્રાફિક પદ્ધતિ(પ્ર- પ્ર પ્લોટ, આર-આરપ્લોટ).

જ્યાં એન-નમૂનાનું કદ.

રેન્ડમ ચલના સામાન્ય વિતરણના ગુણધર્મો.

090309-matmetody.txt

સામાન્ય વિતરણ.

સામાન્ય વિતરણ એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે લાક્ષણિકતાઓના આત્યંતિક મૂલ્યો પ્રમાણમાં દુર્લભ છે, અને જે અંકગણિત સરેરાશની નજીક છે તે પ્રમાણમાં સામાન્ય છે. સામાન્ય વિતરણ વળાંકમાં ઘંટડી આકારનો આકાર હોય છે. આ એક યુનિમોડલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન છે, મધ્ય, મોડ અને અંકગણિત સરેરાશના મૂલ્યો જે એકબીજા સાથે મેળ ખાય છે, skewness અને kurtosis ગુણાંક શૂન્યથી બે (સ્વીકાર્ય) ની રેન્જમાં આવેલા છે, પરંતુ આદર્શ રીતે શૂન્ય સમાન છે.

19મી સદીના ઉત્તરાર્ધથી, નીચેના સિદ્ધાંતના આધારે મનોવિજ્ઞાનમાં માપન અને ગણતરીની પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે. જો ઇન્ડીચોક્કસ ગુણધર્મની દ્રશ્ય પરિવર્તનશીલતા એ ઘણા કારણોની ક્રિયાનું પરિણામ છે, પછી અભિવ્યક્તિઓની સમગ્ર વિવિધતા માટે આવર્તન વિતરણસામાન્ય વસ્તીમાં આ ગુણધર્મ સામાન્ય વળાંકને અનુરૂપ છેવિતરણોઆ સામાન્ય વિતરણનો નિયમ છે.

સામાન્ય વિતરણના કાયદામાં ઘણા મહત્વપૂર્ણ પરિણામો છે, જેનો આપણે એક કરતા વધુ વખત ઉલ્લેખ કરીશું. હવે ચાલો નોંધ લઈએ કે, જો કોઈ ચોક્કસ મિલકતનો અભ્યાસ કરતી વખતે, અમે તેને વિષયોના નમૂના પર માપ્યું અને સામાન્ય કરતાં અલગ વિતરણ મેળવ્યું, તો તેનો અર્થ એ કે કાં તો નમૂના સામાન્ય વસ્તીના પ્રતિનિધિ નથી, અથવા માપ સમાન અંતરાલોના સ્કેલ પર બનાવવામાં આવતું નથી.

TO
દરેક મનોવૈજ્ઞાનિક (અથવા વધુ વ્યાપક રીતે, જૈવિક) મિલકત સામાન્ય વસ્તીમાં તેના વિતરણને અનુરૂપ છે. મોટેભાગે તે સામાન્ય છે અને તેના પરિમાણો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: સરેરાશ (એમ)અને પ્રમાણભૂત વિચલન (o). સમીકરણ (5.1) દ્વારા આપવામાં આવેલ સમાન આકારના સામાન્ય વણાંકોના અનંત સમૂહને માત્ર આ બે મૂલ્યો એકબીજાથી અલગ પાડે છે. સરેરાશ સંખ્યા અક્ષ પર વળાંકની સ્થિતિને સ્પષ્ટ કરે છે અને કેટલાક પ્રારંભિક તરીકે કાર્ય કરે છે પ્રમાણભૂત માપન મૂલ્ય.પ્રમાણભૂત વિચલન આ વળાંકની પહોળાઈ નક્કી કરે છે, માપના એકમો પર આધાર રાખે છે અને આ રીતે કાર્ય કરે છે માપન સ્કેલ(ફિગ. 5.3).

આકૃતિ 5.3. સામાન્ય વણાંકોનું કુટુંબ, 1 લી વિતરણ પ્રમાણભૂત વિચલન (σ 1) દ્વારા 2જીથી અલગ પડે છે< σ 2), 2-е от 3-го средним арифметическим (M 2 < M 3)

જો આપણે ગુણધર્મોના તમામ સંભવિત માપન માટે ^-રૂપાંતરણ (સૂત્ર 4.8 મુજબ) લાગુ કરીએ તો સામાન્ય વિતરણની સમગ્ર વિવિધતાને એક વળાંક સુધી ઘટાડી શકાય છે. પછી દરેક ગુણધર્મનો સરેરાશ 0 અને પ્રમાણભૂત વિચલન 1 હશે. ફિગમાં. 5.4 માટે સામાન્ય વિતરણનો ગ્રાફ રચાયેલ છે M= 0 અને a = 1. આ છેએકમ સામાન્ય વિતરણ, WHO-સ્વોર્મનો ઉપયોગ પ્રમાણભૂત - ધોરણ તરીકે થાય છે. ચાલો તેને ધ્યાનમાં લઈએ મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો.

એકમ સામાન્ય વિતરણ માટે માપનનું એકમ પ્રમાણભૂત વિચલન છે.

વળાંક એસિમ્પટોટિક રીતે ધાર પર Z અક્ષ સુધી પહોંચે છે - તેને ક્યારેય સ્પર્શતો નથી.

વળાંક M=0 વિશે સપ્રમાણ છે. તેની અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસ શૂન્ય છે.

વળાંક એક લાક્ષણિક વળાંક ધરાવે છે: વળાંક બિંદુ M થી એક σ ના અંતરે બરાબર આવેલું છે.

વળાંક અને Z અક્ષ વચ્ચેનો વિસ્તાર 1 છે.

છેલ્લી મિલકત નામ સમજાવે છે એકલસામાન્ય વિતરણ અને અત્યંત મહત્વપૂર્ણ છે. આ મિલકત માટે આભાર વળાંક હેઠળના વિસ્તારને સંભાવના અથવા સંબંધિત તરીકે અર્થઘટન કરવામાં આવે છેઆવર્તનખરેખર, વળાંક હેઠળનો સમગ્ર વિસ્તાર એ સંભાવનાને અનુરૂપ છે કે લાક્ષણિકતા તેની પરિવર્તનશીલતાની સમગ્ર શ્રેણી (-oo થી +oo સુધી) માંથી કોઈપણ મૂલ્ય લેશે. શૂન્ય બિંદુની ડાબી કે જમણી તરફના એકમ સામાન્ય વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર 0.5 છે. આ એ હકીકતને અનુરૂપ છે કે સામાન્ય વસ્તીના અડધા ભાગનું લાક્ષણિક મૂલ્ય 0 કરતા વધારે છે, અને અડધા - 0 કરતા ઓછું છે. સામાન્ય વસ્તીમાં ઘટનાની સંબંધિત આવર્તન લાક્ષણિકતા મૂલ્યોની શ્રેણીમાં ઝેડ\ થી ઝી અનુરૂપ બિંદુઓ વચ્ચે આવેલા વળાંક હેઠળના વિસ્તારની બરાબર. ચાલો ફરીથી નોંધ લઈએ કે કોઈપણ સામાન્ય વિતરણને એકમ સામાન્ય વિતરણ દ્વારા ઘટાડી શકાય છે z- પરિવર્તનો

તેથી, વિવિધ સામાન્ય વિતરણ વણાંકોની સૌથી મહત્વની સામાન્ય મિલકત એ એટ્રિબ્યુટના સમાન બે મૂલ્યો વચ્ચેના વળાંક હેઠળના વિસ્તારનું સમાન પ્રમાણ છે, જે પ્રમાણભૂત વિચલનના એકમોમાં વ્યક્ત થાય છે.

તે યાદ રાખવું ઉપયોગી છે કે કોઈપણ સામાન્ય વિતરણ માટે મૂલ્યોની શ્રેણી અને વળાંક હેઠળના વિસ્તાર વચ્ચે નીચેના પત્રવ્યવહાર છે:

એક સામાન્ય વિતરણ પ્રમાણભૂત વિચલન અને કોઈપણ સામાન્ય વિતરણ માટે વસ્તીમાં સંબંધિત કેસોની સંખ્યા વચ્ચે સ્પષ્ટ સંબંધ સ્થાપિત કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, એકમ સામાન્ય વિતરણના ગુણધર્મોને જાણીને, અમે નીચેના પ્રશ્નોના જવાબ આપી શકીએ છીએ. સામાન્ય વસ્તીના કેટલા પ્રમાણમાં મિલકત અભિવ્યક્તિ છે - \O+1o સુધી? અથવા સામાન્ય વસ્તીના અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા પ્રતિનિધિ પાસે મિલકતની તીવ્રતા સરેરાશ મૂલ્ય કરતાં વધુ હોય તેવી સંભાવના શું છે? પ્રથમ કિસ્સામાં, જવાબ સમગ્ર વસ્તીના 68.26% હશે, કારણ કે - 1 થી +1 માં એકમ સામાન્ય વિતરણના ક્ષેત્રફળના 0.6826 નો સમાવેશ થાય છે. બીજા કિસ્સામાં, જવાબ છે: (100-99.72)/2 = 0.14%.

ત્યાં એક વિશિષ્ટ કોષ્ટક છે જે તમને કોઈપણ હકારાત્મકની જમણી તરફ વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર નક્કી કરવા દે છે z (પરિશિષ્ટ 1). તેનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ શ્રેણીમાંથી વિશેષતા મૂલ્યોની ઘટનાની સંભાવના નક્કી કરી શકો છો. આનો ઉપયોગ ટેસ્ટ ડેટાના અર્થઘટનમાં વ્યાપકપણે થાય છે.

વસ્તીમાં પ્રોપર્ટીઝનું સામાન્ય વિતરણ હોવાના પ્રારંભિક ધારણા હોવા છતાં, નમૂનામાંથી મેળવેલ વાસ્તવિક ડેટા ભાગ્યે જ સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. તદુપરાંત, ઘણી પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે જે નમૂના અને વસ્તી બંનેમાં તેમના વિતરણની પ્રકૃતિ વિશે કોઈપણ ધારણા વિના ડેટાનું વિશ્લેષણ કરવાનું શક્ય બનાવે છે. આ સંજોગો ક્યારેક ખોટી માન્યતા તરફ દોરી જાય છે કે સામાન્ય વિતરણ એ ખાલી ગાણિતિક અમૂર્ત છે જેનો મનોવિજ્ઞાન સાથે કોઈ સંબંધ નથી. જો કે, જેમ આપણે પછી જોઈશું, સામાન્ય વિતરણના ઉપયોગના ઓછામાં ઓછા ત્રણ મહત્વપૂર્ણ પાસાઓ છે:

ટેસ્ટ સ્કેલનો વિકાસ.

નિર્ણય લેવા માટે નમૂના વિતરણની સામાન્યતા તપાસવી
વિશેષતા કયા સ્કેલ પર માપવામાં આવે છે તે અંગેના નિર્ણયો - મેટ્રિક અથવા પરંપરાગત
ખાનગી

પૂર્વધારણાઓનું આંકડાકીય પરીક્ષણ, ખાસ કરીને જોખમ નક્કી કરતી વખતે
ખોટો નિર્ણય લેવો.

પ્રમાણભૂત સામાન્ય વિતરણ. વિતરણનું માનકીકરણ.

(માનકીકરણ વિશેના સમગ્ર પ્રશ્ન નંબર 12 + માટે, નીચે જુઓ)

091208-matmetody.txt

માનકીકરણ સાયકોડાયગ્નોસ્ટિક પદ્ધતિઓ (પ્રશ્ન નં. 17માં આ અંગે વધુ)

વસ્તી અને નમૂના.

091208-matmetody.txt

સામાન્ય વસ્તી.

કોઈપણ સાયકોડાયગ્નોસ્ટિક તકનીકનો હેતુ વ્યક્તિઓની ચોક્કસ મોટી શ્રેણીની તપાસ કરવા માટે છે. આ સમૂહને વસ્તી કહેવામાં આવે છે.

એક ચોક્કસ વ્યક્તિમાં ચોક્કસ મિલકતની અભિવ્યક્તિની ડિગ્રી નક્કી કરવા માટે, તમારે આ ગુણવત્તા સમગ્ર વસ્તીમાં કેવી રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે તે જાણવાની જરૂર છે. સામાન્ય વસ્તીનું સર્વેક્ષણ કરવું લગભગ અશક્ય છે, તેથી તેઓ સામાન્ય વસ્તીમાંથી નમૂના કાઢવાનો આશરો લે છે, એટલે કે, સામાન્ય વસ્તીના કેટલાક પ્રતિનિધિ ભાગ. તે આ પ્રતિનિધિત્વ છે (અન્યથા તેને "પ્રતિનિધિત્વ" કહેવામાં આવે છે) જે નમૂના માટેની મુખ્ય આવશ્યકતા છે. આ આવશ્યકતાની એકદમ ચોક્કસ મેચની ખાતરી કરવી અશક્ય છે. તમે માત્ર ચોક્કસ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને આદર્શની નજીક જઈ શકો છો. મુખ્ય છે 1) અવ્યવસ્થિતતા અને 2) મોડેલિંગ.

1) રેન્ડમ સેમ્પલિંગ ધારે છે કે તેમાં વિષયોને રેન્ડમમાં સામેલ કરવામાં આવશે. કોઈ પેટર્ન બહાર ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા પગલાં લેવામાં આવી રહ્યા છે.

2) મોડેલિંગ કરતી વખતે, પ્રથમ તે ગુણધર્મો કે જે પરીક્ષણ પરિણામોને અસર કરી શકે છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે આ વસ્તી વિષયક લાક્ષણિકતાઓ છે, જેમાં ક્રમાંકનને અલગ પાડવામાં આવે છે: વય અંતરાલ, શિક્ષણનું સ્તર, વગેરે. આ ડેટાના આધારે, સામાન્ય વસ્તીનું મેટ્રિક્સ મોડેલ બનાવવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, પદ્ધતિઓ 200 થી 800 લોકોના નમૂના પર પ્રમાણિત કરવામાં આવે છે.

સાયકોડાયગ્નોસ્ટિક પદ્ધતિઓનું માનકીકરણ એ સ્કેલ મેળવવા માટેની પ્રક્રિયા છે જે તમને મોટા જૂથના પરિણામો સાથે વ્યક્તિગત પરીક્ષણ પરિણામની તુલના કરવાની મંજૂરી આપે છે.

સંશોધન સામાન્ય રીતે કેટલીક ધારણા સાથે શરૂ થાય છે જેમાં હકીકતોનો ઉપયોગ કરીને ચકાસણીની જરૂર હોય છે. આ ધારણા - એક પૂર્વધારણા - વસ્તુઓના ચોક્કસ સમૂહમાં ઘટના અથવા ગુણધર્મોના જોડાણના સંબંધમાં ઘડવામાં આવે છે.

હકીકતો સામે આવી ધારણાઓને ચકાસવા માટે, તેમના ધારકોના અનુરૂપ ગુણધર્મોને માપવા જરૂરી છે. પરંતુ તમામ સ્ત્રીઓ અને પુરુષોમાં અસ્વસ્થતાને માપવું અશક્ય છે, જેમ કે તમામ કિશોરોમાં આક્રમકતાને માપવું અશક્ય છે. તેથી, સંશોધન કરતી વખતે, તે લોકોની સંબંધિત વસ્તીના પ્રતિનિધિઓના પ્રમાણમાં નાના જૂથ સુધી મર્યાદિત છે.

વસ્તી- આ વસ્તુઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ છે જેના સંબંધમાં સંશોધન પૂર્વધારણા ઘડવામાં આવે છે.

પ્રથમ ઉદાહરણમાં, આવી સામાન્ય વસ્તી બધા પુરુષો અને બધી સ્ત્રીઓ છે. બીજામાં - બધા કિશોરો કે જેઓ હિંસાના દ્રશ્યો ધરાવતા ટેલિવિઝન કાર્યક્રમો જુએ છે. સામાન્ય વસ્તી કે જેના સંબંધમાં સંશોધક અભ્યાસના પરિણામોના આધારે તારણો કાઢવા જઈ રહ્યા છે તે કદમાં વધુ સાધારણ હોઈ શકે છે.

આમ, સામાન્ય વસ્તી એ અસંખ્ય લોકોની સંખ્યા ન હોવા છતાં, એક નિયમ તરીકે, સંભવિત વિષયોનો સમૂહ છે જે સતત સંશોધન માટે અપ્રાપ્ય છે.

નમૂના- આ મર્યાદિત સંખ્યામાં વસ્તુઓનું જૂથ છે (મનોવિજ્ઞાનમાં - વિષયો, ઉત્તરદાતાઓ), તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવા માટે સામાન્ય વસ્તીમાંથી ખાસ પસંદ કરવામાં આવે છે. તદનુસાર, નમૂનાનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય વસ્તીના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કહેવામાં આવે છે નમૂનાનો અભ્યાસ.લગભગ તમામ મનોવૈજ્ઞાનિક અભ્યાસ પસંદગીયુક્ત હોય છે, અને તેમના નિષ્કર્ષ સામાન્ય વસ્તી સુધી વિસ્તરે છે.

આમ, એક પૂર્વધારણા ઘડવામાં આવ્યા પછી અને અનુરૂપ વસ્તીને ઓળખવામાં આવ્યા પછી, સંશોધકને નમૂનાનું આયોજન કરવાની સમસ્યાનો સામનો કરવો પડે છે. નમૂના એવો હોવો જોઈએ કે નમૂનાના અભ્યાસના નિષ્કર્ષોનું સામાન્યીકરણ વાજબી છે - સામાન્યીકરણ, સામાન્ય વસ્તીમાં તેનું વિસ્તરણ. હોદ્દો માટે મુખ્ય માપદંડસંશોધનના તારણોની માન્યતા- આ નમૂનાની પ્રતિનિધિત્વ છે અને(પ્રાયોગિક) પરિણામોની આંકડાકીય વિશ્વસનીયતા.

નમૂનાની પ્રતિનિધિત્વ- બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તેની પ્રતિનિધિત્વ એ સામાન્ય વસ્તીમાં તેમની પરિવર્તનશીલતાના દૃષ્ટિકોણથી સંપૂર્ણ રીતે અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાને રજૂ કરવાની નમૂનાની ક્ષમતા છે.

અલબત્ત, માત્ર સામાન્ય વસ્તી જ તેની તમામ શ્રેણી અને પરિવર્તનશીલતાની ઘોંઘાટમાં, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાનું સંપૂર્ણ ચિત્ર આપી શકે છે. તેથી, પ્રતિનિધિત્વ હંમેશા હદ સુધી મર્યાદિત છે કે જે નમૂના મર્યાદિત છે. અને તે નમૂનાની પ્રતિનિધિત્વ છે જે સંશોધન તારણોના સામાન્યીકરણની સીમાઓ નક્કી કરવામાં મુખ્ય માપદંડ છે. તેમ છતાં, એવી તકનીકો છે જે સંશોધક માટે પર્યાપ્ત પ્રતિનિધિ નમૂના મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. (પ્રશ્ન નંબર 15 આ પ્રશ્નનો જ ચાલુ છે)

નમૂના લેવાની મૂળભૂત પદ્ધતિઓ.

સાથે. 13 (20) (પ્રશ્ન નંબર 14 આ પ્રશ્નનો પ્રસ્તાવના છે)

પ્રથમ અને મુખ્ય તકનીક છે સરળ રેન્ડમ (રેન્ડમાઇઝ્ડ)પસંદગીતેમાં એવી પરિસ્થિતિઓને સુનિશ્ચિત કરવાનો સમાવેશ થાય છે કે વસ્તીના દરેક સભ્યને નમૂનામાં સમાવવા માટે અન્ય લોકો સાથે સમાન તકો હોય. રેન્ડમ પસંદગી એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે સામાન્ય વસ્તીના વિવિધ પ્રતિનિધિઓને નમૂનામાં સમાવી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, પસંદગી દરમિયાન કોઈપણ પેટર્નના ઉદભવને રોકવા માટે વિશેષ પગલાં લેવામાં આવે છે. અને આ અમને આશા રાખવાની મંજૂરી આપે છે કે આખરે, નમૂનામાં, અભ્યાસ કરવામાં આવતી મિલકતને રજૂ કરવામાં આવશે, જો બધી નહીં, તો તેની મહત્તમ સંભવિત વિવિધતામાં.

પ્રતિનિધિત્વની ખાતરી કરવાની બીજી રીત છે સ્તરીકૃત રેન્ડમ પસંદગી,અથવા વસ્તીના ગુણધર્મો પર આધારિત પસંદગી. તેમાં તે ગુણોના પ્રારંભિક નિર્ધારણનો સમાવેશ થાય છે જે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી મિલકતની પરિવર્તનશીલતાને પ્રભાવિત કરી શકે છે (આ લિંગ, આવકનું સ્તર અથવા શિક્ષણ વગેરે હોઈ શકે છે). પછી સામાન્ય વસ્તીમાં આ ગુણોમાં ભિન્ન જૂથો (સ્તર) ની સંખ્યાનો ટકાવારી ગુણોત્તર નક્કી કરવામાં આવે છે અને નમૂનામાં અનુરૂપ જૂથોનો સમાન ટકાવારી ગુણોત્તર સુનિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. આગળ, સરળ રેન્ડમ પસંદગીના સિદ્ધાંત અનુસાર નમૂનાના દરેક પેટાજૂથમાં વિષયોની પસંદગી કરવામાં આવે છે.

આંકડાકીય વિશ્વસનીયતા,અથવા આંકડાકીય મહત્વ, અભ્યાસના પરિણામો આંકડાકીય અનુમાન પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. અમે આ પુસ્તકના બીજા ભાગમાં આ પદ્ધતિઓનો વિગતવાર વિચાર કરીશું. હવે અમે ફક્ત નોંધીએ છીએ કે તેમની પાસે સંખ્યા માટે ચોક્કસ આવશ્યકતાઓ છે, અથવા નમૂનાનું કદ.

કમનસીબે, જરૂરી નમૂનાનું કદ પૂર્વ-નિર્ધારિત કરવા માટે કોઈ કડક માર્ગદર્શિકા નથી. તદુપરાંત, સંશોધક સામાન્ય રીતે જરૂરી અને પર્યાપ્ત સંખ્યા વિશેના પ્રશ્નનો જવાબ ખૂબ મોડેથી મેળવે છે - ફક્ત પહેલાથી સર્વેક્ષણ કરાયેલ નમૂનાના ડેટાનું વિશ્લેષણ કર્યા પછી. જો કે, સૌથી સામાન્ય ભલામણો ઘડી શકાય છે:

□ ડાયગ્નોસ્ટિક ટેકનિક વિકસાવતી વખતે સૌથી મોટા નમૂનાનું કદ જરૂરી છે - 200 થી 1000-2500 લોકો સુધી.

જો 2 નમૂનાઓની તુલના કરવી જરૂરી છે, તો તેમની કુલ સંખ્યા હોવી જોઈએ
ઓછામાં ઓછા 50 લોકો બનો; તુલનાત્મક નમૂનાઓની સંખ્યા હોવી જોઈએ
લગભગ સમાન બનો.

P જો કોઈપણ મિલકતો વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તો નમૂનાનું કદ ઓછામાં ઓછું 30-35 લોકોનું હોવું જોઈએ.

□ વધુ પરિવર્તનશીલતામિલકતનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તેટલો મોટો હોવો જોઈએ
નમૂનાનું કદ. તેથી, પરિવર્તનશીલતા વધારીને ઘટાડી શકાય છે
નમૂનાની એકરૂપતા, ઉદાહરણ તરીકે, લિંગ, ઉંમર, વગેરે દ્વારા. તે જ સમયે,
સ્વાભાવિક રીતે, તારણોનું સામાન્યીકરણ કરવાની શક્યતાઓ ઘટી જાય છે.

આશ્રિત અને સ્વતંત્ર નમૂનાઓ.સામાન્ય સંશોધન પરિસ્થિતિ એ છે કે જ્યારે સંશોધકને રસ ધરાવતી મિલકતનો વધુ સરખામણીના હેતુ માટે બે કે તેથી વધુ નમૂનાઓ પર અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આ નમૂનાઓ તેમની સંસ્થા માટેની પ્રક્રિયાના આધારે વિવિધ પ્રમાણમાં હોઈ શકે છે. સ્વતંત્રમાન્ય નમૂનાઓએ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કે એક નમૂનામાં કોઈપણ વિષયની પસંદગીની સંભાવના બીજા નમૂનામાં કોઈપણ વિષયની પસંદગી પર આધારિત નથી. સામે, આશ્રિત નમૂનાઓએ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે કે એક નમૂનામાંથી દરેક વિષય બીજા નમૂનાના વિષય દ્વારા ચોક્કસ માપદંડ અનુસાર મેળ ખાય છે.

સામાન્ય રીતે, આશ્રિત નમૂનાઓમાં તુલનાત્મક નમૂનાઓમાં વિષયોની જોડીવાર પસંદગીનો સમાવેશ થાય છે, અને સ્વતંત્ર નમૂનાઓ વિષયોની સ્વતંત્ર પસંદગી સૂચવે છે.

એ નોંધવું જોઈએ કે "આંશિક રીતે આશ્રિત" (અથવા "આંશિક રીતે સ્વતંત્ર") નમૂનાઓના કિસ્સાઓ અસ્વીકાર્ય છે: આ અણધારી રીતે તેમની પ્રતિનિધિત્વનું ઉલ્લંઘન કરે છે.

નિષ્કર્ષમાં, અમે નોંધીએ છીએ કે મનોવૈજ્ઞાનિક સંશોધનના બે દાખલાઓને અલગ કરી શકાય છે. કહેવાતા આર- પદ્ધતિચોક્કસ પ્રભાવ, પરિબળ અથવા અન્ય મિલકતના પ્રભાવ હેઠળ ચોક્કસ મિલકત (મનોવૈજ્ઞાનિક) ની પરિવર્તનશીલતાના અભ્યાસનો સમાવેશ કરે છે. નમૂના બહુવિધ છે વિષયોની સંખ્યા . અન્ય અભિગમ પ્ર- પદ્ધતિવિવિધ ઉત્તેજના (સ્થિતિઓ, પરિસ્થિતિઓ, વગેરે) ના પ્રભાવ હેઠળ વિષય (વ્યક્તિગત) ની પરિવર્તનશીલતાના અભ્યાસનો સમાવેશ થાય છે. તે પરિસ્થિતિને અનુરૂપ છે જ્યારે નમૂના છે ઘણા પ્રોત્સાહનો છે .

વિસંગત મૂલ્યો માટે નમૂના તપાસી રહ્યું છે.

સામાન્યતા ચકાસવા માટે, માપેલા ચલનું નમૂના વિતરણ સામાન્ય કરતા અલગ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે વિવિધ પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આવી સરખામણીની જરૂરિયાત ત્યારે ઊભી થાય છે જ્યારે આપણે શંકા કરીએ કે લક્ષણ કયા સ્કેલ પર રજૂ થાય છે - ઑર્ડિનલ અથવા મેટ્રિક. અને આવી શંકાઓ ઘણી વાર ઊભી થાય છે, કારણ કે આપણે, એક નિયમ તરીકે, અગાઉથી જાણતા નથી કે અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી મિલકતને માપવા માટે કયા સ્કેલ પર શક્ય હશે (અલબત્ત, સ્પષ્ટ રીતે નામાંકિત માપનના કિસ્સાઓ સિવાય).

ઓછામાં ઓછા બે કારણોસર, લક્ષણને કયા સ્કેલ પર માપવામાં આવે છે તે નક્કી કરવાનું મહત્વ વધારે પડતું આંકી શકાતું નથી. તે આના પર નિર્ભર છે પ્રથમ,પ્રારંભિક પ્રયોગમૂલક માહિતીને ધ્યાનમાં લેવાની સંપૂર્ણતા (ખાસ કરીને, વ્યક્તિગત તફાવતો વિશે), બીજું,ઘણી માહિતી વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓની ઉપલબ્ધતા. જો સંશોધક ઑર્ડિનલ સ્કેલ પર માપવાનું નક્કી કરે છે, તો પછી અનિવાર્ય અનુગામી રેન્કિંગ વિષયો, અભ્યાસ કરેલા જૂથો, લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધો, વગેરે વચ્ચેના તફાવતો વિશેની મૂળ માહિતીના ભાગને ગુમાવવા તરફ દોરી જાય છે. વધુમાં, મેટ્રિક ડેટાનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે. વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓની નોંધપાત્ર રીતે વ્યાપક શ્રેણી અને પરિણામે, સંશોધન નિષ્કર્ષોને વધુ ઊંડા અને વધુ અર્થપૂર્ણ બનાવે છે.

એ હકીકતની તરફેણમાં સૌથી આકર્ષક દલીલ એ છે કે લાક્ષણિકતાને મેટ્રિક સ્કેલ પર માપવામાં આવે છે તે નમૂનાના વિતરણનો સામાન્ય સાથે પત્રવ્યવહાર છે. આ સામાન્ય વિતરણના કાયદાનું પરિણામ છે. જો તમે-બોરોચ વિતરણ સામાન્ય કરતા અલગ નથી, આનો અર્થ એ છે કેમાપેલી મિલકત મેટ્રિક સ્કેલમાં પ્રતિબિંબિત થઈ હતી(સામાન્ય રીતે અંતરાલ).

સામાન્યતા માટે પરીક્ષણ કરવાની ઘણી જુદી જુદી રીતો છે, જેમાંથી અમે થોડાક જ ટૂંકમાં વર્ણન કરીશું, એમ માનીને કે વાચક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સનો ઉપયોગ કરીને આ પરીક્ષણો કરશે.

ગ્રાફિક પદ્ધતિ(પ્ર- પ્ર પ્લોટ, આર-આરપ્લોટ). તેઓ કાં તો ક્વોન્ટાઇલ ગ્રાફ અથવા સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝના ગ્રાફ બનાવે છે. ક્વોન્ટાઇલ પ્લોટ (પ્ર- પ્ર પ્લોટ) નીચે પ્રમાણે બાંધવામાં આવે છે. પ્રથમ, અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના પ્રયોગમૂલક મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે, જે 5મી, 10મી, ..., 95મી પર્સેન્ટાઈલને અનુરૂપ છે. Z-સ્કોર્સ (સૈદ્ધાંતિક) પછી આ દરેક ટકાવારી માટે સામાન્ય વિતરણ કોષ્ટકમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે. સંખ્યાઓની બે પરિણામી શ્રેણીઓ ગ્રાફ પરના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉલ્લેખ કરે છે: વિશેષતાના પ્રયોગમૂલક મૂલ્યો એબ્સિસા અક્ષ પર રચાયેલ છે, અને અનુરૂપ સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર રચાયેલ છે. સામાન્ય વિતરણ માટે, બધા પોઈન્ટ હશેસમાન લાઇન પર અથવા તેની નજીક દબાવો. બિંદુઓથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર જેટલું વધારે છે, તેટલું ઓછું વિતરણ સામાન્યને અનુરૂપ છે. સંચિત ફ્રીક્વન્સીઝના આલેખ (PPપ્લોટ) સમાન રીતે બાંધવામાં આવે છે. સંચિત સાપેક્ષ ફ્રીક્વન્સીઝના મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ પર સમાન અંતરાલો પર રચાય છે, ઉદાહરણ તરીકે 0.05; 0.1; ...; 0.95. આગળ, અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના પ્રયોગમૂલક મૂલ્યો નક્કી કરવામાં આવે છે, સંચિત આવર્તનના દરેક મૂલ્યને અનુરૂપ, જે z-સ્કોરમાં રૂપાંતરિત થાય છે. દ્વારાસામાન્ય વિતરણ કોષ્ટક સૈદ્ધાંતિક સંચય નક્કી કરે છેમાપેલ ફ્રીક્વન્સીઝ (વળાંક હેઠળનો વિસ્તાર)દરેક ગણતરી કરેલ આર-મૂલ્યો માટે, જે ઓર્ડિનેટ પર રચાયેલ છે. જો વિતરણ છેસામાન્યને અનુલક્ષે છે, ગ્રાફ પર મેળવેલ પોઈન્ટ સમાન છેપ્રત્યક્ષ.

skewness અને kurtosis માટે માપદંડ.આ માપદંડો સામાન્ય વિતરણને અનુરૂપ શૂન્ય મૂલ્યોમાંથી skewness અને kurtosis ના પ્રયોગમૂલક મૂલ્યોના વિચલનની અનુમતિપાત્ર ડિગ્રી નક્કી કરે છે. વિચલનની સ્વીકાર્ય ડિગ્રી તે છે જે અમને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે કે આ આંકડા સામાન્ય પરિમાણોથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ નથી. અનુમતિપાત્ર વિચલનોની માત્રા અસમપ્રમાણતા અને કર્ટોસિસની કહેવાતી પ્રમાણભૂત ભૂલો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. અસમપ્રમાણતા સૂત્ર (4.10) માટે, પ્રમાણભૂત ભૂલ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં એન-નમૂનાનું કદ.

સ્ક્યુનેસ અને કર્ટોસિસના નમૂના મૂલ્યો શૂન્યથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોય છે જો તેઓ તેમની પ્રમાણભૂત ભૂલો કરતાં વધુ ન હોય. આ એક નિશાની ગણી શકાય કે નમૂનાનું વિતરણ સામાન્ય કાયદાને અનુરૂપ છે. એ નોંધવું જોઈએ કે કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામ્સ અસમપ્રમાણતા, કુર્ટોસિસ અને અનુરૂપ પ્રમાણભૂત ભૂલોના સૂચકાંકોની ગણતરી અન્ય, વધુ જટિલ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કરે છે.

કોલમોગોરોવ-સ્મિરનોવ આંકડાકીય સામાન્યતા પરીક્ષણસામાન્ય સાથે પ્રયોગમૂલક વિતરણના પાલનની ડિગ્રી નક્કી કરવા માટે સૌથી યોગ્ય માનવામાં આવે છે. તે તમને સંભવિતતાનો અંદાજ લગાવવા દે છે કે આપેલ નમૂના સામાન્ય વિતરણ સાથેની વસ્તીનો છે. જો આ સંભાવના આર< 0.05, પછી આ પ્રયોગમૂલક વિતરણ સામાન્ય કરતાં નોંધપાત્ર રીતે અલગ છે, અને જો આર> 0.05, પછી તેઓ નિષ્કર્ષ પર આવે છે કે આ પ્રયોગમૂલક વિતરણ લગભગ સામાન્યને અનુરૂપ છે.

સામાન્યતામાંથી વિચલનનાં કારણો.સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી લાક્ષણિકતાના નમૂનાના વિતરણના આકારના વિચલન માટેનું સામાન્ય કારણ મોટાભાગે માપન પ્રક્રિયાનું લક્ષણ છે: ઉપયોગમાં લેવાતા સ્કેલ તેની પરિવર્તનશીલતાની શ્રેણીના જુદા જુદા ભાગોમાં માપેલી મિલકત માટે અસમાન સંવેદનશીલતા ધરાવી શકે છે. .

ઉદાહરણધારો કે ચોક્કસ ક્ષમતાની તીવ્રતા ફાળવેલ સમયમાં પૂર્ણ થયેલા કાર્યોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો કાર્યો સરળ છે અથવા સમય ઘણો લાંબો છે, તો આ માપન પ્રક્રિયામાં ફક્ત તે વિષયોના એક ભાગ માટે પૂરતી સંવેદનશીલતા હશે જેમના માટે આ કાર્યો તદ્દન મુશ્કેલ છે. અને વિષયોનું ખૂબ મોટું પ્રમાણ તમામ અથવા લગભગ તમામ કાર્યોને હલ કરશે. પરિણામે, અમે ઉચ્ચારણ જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતા સાથે વિતરણ મેળવીશું. અલબત્ત, પછીથી વધુ જટિલ કાર્યો ઉમેરીને અથવા આપેલ કાર્યોના સમૂહને પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સમય ઘટાડીને પ્રયોગમૂલક સામાન્યીકરણ દ્વારા માપનની ગુણવત્તામાં સુધારો કરવો શક્ય છે. જો આપણે માપન પ્રક્રિયાને વધુ જટિલ બનાવીએ, તો વિપરીત પરિસ્થિતિ ઊભી થશે જ્યારે મોટાભાગના વિષયો નાની સંખ્યામાં કાર્યોને હલ કરશે અને પ્રયોગમૂલક વિતરણ ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા પ્રાપ્ત કરશે.

આમ, સામાન્ય સ્વરૂપમાંથી વિચલનો, જેમ કે જમણી- અથવા ડાબી બાજુની અસમપ્રમાણતા અથવા ખૂબ મોટી કુર્ટોસિસ (0 કરતાં વધુ), મોડ પ્રદેશમાં માપન પ્રક્રિયાની પ્રમાણમાં ઓછી સંવેદનશીલતા સાથે સંકળાયેલા છે (આવર્તન વિતરણ ગ્રાફની ટોચ પર ).

વિચલનના પરિણામોથી સામાન્યતાએ નોંધવું જોઈએ કે પ્રયોગમૂલક વિતરણ મેળવવાનું કાર્ય કે જે સામાન્ય કાયદાને સખત રીતે અનુરૂપ હોય છે તે સંશોધન પ્રેક્ટિસમાં વારંવાર આવતું નથી. સામાન્ય રીતે, આવા કિસ્સાઓ નવી માપન પ્રક્રિયા અથવા પરીક્ષણ સ્કેલના વિકાસ સુધી મર્યાદિત હોય છે, જ્યારે પ્રયોગમૂલક અથવા બિનરેખીય નોર્મલાઇઝેશનનો ઉપયોગ પ્રયોગમૂલક વિતરણને "સચોટ" કરવા માટે કરવામાં આવે છે. બહુમતીમાંસામાન્યતા સાથે અનુરૂપતા અથવા બિન-અનુરૂપતાના કિસ્સાઓ તેની પ્રકૃતિ છેમાપેલ લાક્ષણિકતાની મિલકત, જે સંશોધકે ક્યારે ધ્યાનમાં લેવી જોઈએડેટા વિશ્લેષણ માટે આંકડાકીય પ્રક્રિયાઓની પસંદગી.

સામાન્ય રીતે, જો સામાન્ય કરતાં પ્રયોગમૂલક વિતરણમાં નોંધપાત્ર વિચલન હોય, તો વ્યક્તિએ એવી ધારણા છોડી દેવી જોઈએ કે લાક્ષણિકતા મેટ્રિક સ્કેલ પર માપવામાં આવે છે. પરંતુ પ્રશ્ન ખુલ્લો રહે છે: આ વિચલનના મહત્વનું માપ શું છે? આ ઉપરાંત, વિવિધ ડેટા વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓ સામાન્યતામાંથી વિચલનો માટે અલગ સંવેદનશીલતા ધરાવે છે. સામાન્ય રીતે, આ સમસ્યાની સંભાવનાઓને ન્યાયી ઠેરવતી વખતે, આર. ફિશરનો સિદ્ધાંત, આધુનિક આંકડાશાસ્ત્રના "સ્થાપક પિતા" પૈકીના એક, ટાંકવામાં આવે છે: "સામાન્યથી વિચલનોઆ પ્રકારનું, જ્યાં સુધી તે ખૂબ ધ્યાનપાત્ર ન હોય, ફક્ત મોટા દ્વારા શોધી શકાય છેનવા નમૂનાઓ; તેઓ પોતે જ આંકડાકીય સમીક્ષામાં થોડો તફાવત કરે છેરિયા અને અન્ય મુદ્દાઓ."ઉદાહરણ તરીકે, મનોવૈજ્ઞાનિક સંશોધન (50 લોકો સુધી) માટે નાના પરંતુ લાક્ષણિક નમૂનાઓ સાથે, કોલ્મોગોરોવ-સ્મિર્નોવ માપદંડ સામાન્યતામાંથી ખૂબ જ નોંધપાત્ર "આંખ દ્વારા" વિચલનોને નિર્ધારિત કરવા માટે પૂરતો સંવેદનશીલ નથી. તે જ સમયે, મેટ્રિક ડેટાના પૃથ્થકરણ માટેની કેટલીક પ્રક્રિયાઓ સામાન્ય વિતરણમાંથી વિચલનોને સંપૂર્ણપણે મંજૂરી આપે છે (કેટલાકને વધુ હદ સુધી, અન્યો ઓછી હદ સુધી). ભવિષ્યમાં, સામગ્રી પ્રસ્તુત કરતી વખતે, અમે, જો જરૂરી હોય તો, સામાન્યતાની જરૂરિયાતની કઠોરતાની ડિગ્રી નક્કી કરીશું.

સાયકોડાયગ્નોસ્ટિક તકનીકોના માનકીકરણ માટેના મૂળભૂત નિયમો.

091208-matmetody.txt

માનકીકરણ સાયકોડાયગ્નોસ્ટિક પદ્ધતિઓસ્કેલ મેળવવા માટેની પ્રક્રિયા છે જે તમને વ્યક્તિગત પરીક્ષણ પરિણામની તુલના મોટા જૂથના પરિણામો સાથે કરવાની મંજૂરી આપે છે.

વ્યક્તિગત પરીક્ષણ પરિણામનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે પ્રમાણભૂત નમૂનામાંથી મેળવેલા પરીક્ષણ ધોરણો સાથે તેની તુલના કરીને ટેસ્ટ સ્કેલ વિકસાવવામાં આવે છે. માનકીકરણ નમૂનાપરીક્ષણ સ્કેલના વિકાસ માટે ખાસ રચાયેલ છે - તે સામાન્ય વસ્તીના પ્રતિનિધિ હોવા જોઈએ જેના માટે આ પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવાની યોજના છે. ત્યારબાદ, પરીક્ષણ કરતી વખતે, એવું માનવામાં આવે છે કે પરીક્ષણ કરવામાં આવી રહેલી વ્યક્તિ અને માનકીકરણ નમૂના બંને સમાન સામાન્ય વસ્તીના છે.

ટેસ્ટ સ્કેલ વિકસાવતી વખતે પ્રારંભિક સિદ્ધાંત એ ધારણા છે કે જે મિલકત માપવામાં આવી રહી છે તે સામાન્ય કાયદા અનુસાર સામાન્ય વસ્તીમાં વહેંચવામાં આવે છે. તદનુસાર, માનકીકરણ નમૂના પર પરીક્ષણ સ્કેલમાં આ ગુણધર્મનું માપન પણ સામાન્ય વિતરણની ખાતરી આપવી જોઈએ. જો એમ હોય, તો પછી ટેસ્ટ સ્કેલ મેટ્રિક છે - વધુ સ્પષ્ટ રીતે, સમાન અંતરાલ. જો આ કિસ્સો ન હોય, તો મિલકતને શ્રેષ્ઠ રીતે, ઓર્ડર સ્કેલમાં પ્રતિબિંબિત કરી શકાય છે. સ્વાભાવિક રીતે, મોટાભાગના પ્રમાણભૂત પરીક્ષણ સ્કેલ મેટ્રિક છે, જે તમને પરીક્ષણ પરિણામોને વધુ વિગતવાર અર્થઘટન કરવાની મંજૂરી આપે છે - સામાન્ય વિતરણના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેતા - અને આંકડાકીય વિશ્લેષણની કોઈપણ પદ્ધતિઓને યોગ્ય રીતે લાગુ કરો. આમ, ધોરણની મુખ્ય સમસ્યાપરીક્ષણ પરીક્ષણ એ એક સ્કેલ વિકસાવવાનું છે જેમાં વિતરણમાનકીકરણ નમૂના પર પરીક્ષણ સૂચકાંકોમાં ઘટાડો અનુરૂપ હશેસામાન્ય વિતરણ.

પ્રારંભિક કસોટીના સ્કોર્સ એ અમુક પરીક્ષણ પ્રશ્નોના જવાબોની સંખ્યા, સમય અથવા સમસ્યાઓનો ઉકેલ વગેરેની સંખ્યા છે. તેને પ્રાથમિક અથવા "કાચા" સ્કોર્સ પણ કહેવામાં આવે છે. માનકીકરણનું પરિણામ એ કસોટી ધોરણો છે - "કાચા" ગ્રેડને પ્રમાણભૂત પરીક્ષણ સ્કેલમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનું ટેબલ.

ત્યાં ઘણા પ્રમાણભૂત પરીક્ષણ સ્કેલ છે, જેનો મુખ્ય હેતુ અર્થઘટન માટે અનુકૂળ સ્વરૂપમાં વ્યક્તિગત પરીક્ષણ પરિણામો રજૂ કરવાનો છે. આમાંના કેટલાક ભીંગડા ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 5.5. તેમની પાસે જે સામાન્ય છે તે સામાન્ય વિતરણનું પાલન છે, અને તે માત્ર બે સૂચકાંકોમાં અલગ પડે છે: સરેરાશ મૂલ્ય અને સ્કેલ (પ્રમાણભૂત વિચલન - o), જે સ્કેલની ગ્રેન્યુલારિટી નક્કી કરે છે.

માનકીકરણનો સામાન્ય ક્રમ(પરીક્ષણ ધોરણોનો વિકાસ - "કાચા" સ્કોર્સને પ્રમાણભૂત ટેસ્ટ સ્કોર્સમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના કોષ્ટકો) નીચે મુજબ છે:

સામાન્ય વસ્તી કે જેના માટે તે વિકસાવવામાં આવી રહી છે તે નક્કી કરવામાં આવે છે
પદ્ધતિ અને માનકીકરણનો પ્રતિનિધિ નમૂના રચાય છે;

પરીક્ષણના પ્રાથમિક સંસ્કરણને લાગુ કરવાના પરિણામોના આધારે, વિતરણ
"કાચા" અંદાજોનું નિર્ધારણ;

સામાન્ય સાથે પરિણામી વિતરણનું પાલન તપાસો
કોન;

જો "કાચા" અંદાજોનું વિતરણ સામાન્યને અનુરૂપ હોય, તો તરફી-
પરેશાન રેખીય માનકીકરણ;

જો "કાચા" અંદાજોનું વિતરણ સામાન્યને અનુરૂપ નથી, તો પછી
બે વિકલ્પો શક્ય છે:

રેખીય માનકીકરણ પહેલાં, એક પ્રયોગમૂલક ધોરણ ઉત્પન્ન થાય છે -
liization;

બિનરેખીય સામાન્યકરણ હાથ ધરે છે.

"કાચા" અંદાજોનું વિતરણ વિશિષ્ટ માપદંડોનો ઉપયોગ કરીને સામાન્ય કાયદાના પાલન માટે તપાસવામાં આવે છે, જેને આપણે આ પ્રકરણમાં પછીથી ધ્યાનમાં લઈશું.

રેખીય માનકીકરણએ હકીકતમાં રહેલું છે કે "કાચા" અંદાજોના અંતરાલોની સીમાઓ નક્કી કરવામાં આવે છે, જે પ્રમાણભૂત પરીક્ષણ સૂચકાંકોને અનુરૂપ છે. આ સીમાઓની ગણતરી સરેરાશ "કાચા" સ્કોર્સમાં (અથવા તેમાંથી બાદ કરીને) ટેસ્ટ સ્કેલને અનુરૂપ પ્રમાણભૂત વિચલનોના શેરમાં ઉમેરીને કરવામાં આવે છે.

પરીક્ષણ ધોરણો - "કાચા" બિંદુઓને દિવાલોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેનું કોષ્ટક

પરીક્ષણ ધોરણોના આ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, વ્યક્તિગત પરિણામ ("કાચો" સ્કોર) દિવાલ સ્કેલમાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે તમને માપવામાં આવેલી મિલકતની ગંભીરતાનું અર્થઘટન કરવાની મંજૂરી આપે છે.

પ્રયોગમૂલક નોર્મલાઇઝેશનજ્યારે "કાચા" સ્કોર્સનું વિતરણ સામાન્ય કરતા અલગ હોય ત્યારે વપરાય છે. તે પરીક્ષણ કાર્યોની સામગ્રીને બદલવાનો સમાવેશ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો "કાચો" સ્કોર એ ફાળવેલ સમયમાં પરીક્ષા આપનારાઓ દ્વારા ઉકેલવામાં આવેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે, અને જમણી બાજુની અસમપ્રમાણતા સાથેનું વિતરણ મેળવવામાં આવે છે, તો તેનો અર્થ એ છે કે પરીક્ષણ લેનારાઓનું ખૂબ મોટું પ્રમાણ વધુ હલ કરે છે. અડધા કરતાં વધુ કાર્યો. આ કિસ્સામાં, કાં તો વધુ મુશ્કેલ કાર્યો ઉમેરવા અથવા ઉકેલનો સમય ઘટાડવો જરૂરી છે.

બિનરેખીય સામાન્યકરણજો પ્રયોગમૂલક સામાન્યીકરણ અશક્ય અથવા અનિચ્છનીય હોય તો તેનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમય અને સંસાધનોના દૃષ્ટિકોણથી. આ કિસ્સામાં, "કાચા" અંદાજોનું પ્રમાણભૂતમાં રૂપાંતર મૂળ વિતરણમાં જૂથોની ટકાવારી સીમાઓ શોધીને કરવામાં આવે છે, જે પ્રમાણભૂત ધોરણના સામાન્ય વિતરણમાં જૂથોની ટકાવારી સીમાઓને અનુરૂપ છે. માનક સ્કેલનો દરેક અંતરાલ "કાચા" રેટિંગ સ્કેલના અંતરાલ સાથે સંકળાયેલો છે જેમાં માનકીકરણ નમૂનાની સમાન ટકાવારી હોય છે. શેરના મૂલ્યો એકમ સામાન્ય વળાંક હેઠળના વિસ્તાર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, જે પ્રમાણભૂત સ્કેલના આપેલ અંતરાલને અનુરૂપ આર-અંદાજ વચ્ચે બંધાયેલ છે.

ઉદાહરણ તરીકે, નીચલી મર્યાદા દિવાલ 10 સાથે કયો "કાચો" સ્કોર અનુરૂપ હોવો જોઈએ તે નિર્ધારિત કરવા માટે, તમારે પહેલા એ શોધવું જોઈએ કે આ મર્યાદા કયા આર-વેલ્યુને અનુરૂપ છે. (z = 2). પછી, સામાન્ય વિતરણના કોષ્ટક (પરિશિષ્ટ 1) નો ઉપયોગ કરીને, આ મૂલ્ય (0.023) ની જમણી બાજુએ સામાન્ય વળાંક હેઠળના વિસ્તારનું પ્રમાણ શું છે તે નિર્ધારિત કરવું જરૂરી છે. આ પછી, તે નક્કી કરવામાં આવે છે કે કયું મૂલ્ય માનકીકરણ નમૂનાના "કાચા" સ્કોર્સના ઉચ્ચતમ મૂલ્યોના 2.3% ને કાપી નાખે છે. મળેલ મૂલ્ય 9મી અને 10મી દિવાલોની સીમાને અનુરૂપ હશે.

સાયકોડાયગ્નોસ્ટિક્સના જણાવેલ મૂળભૂત સિદ્ધાંતો અમને પરીક્ષણ માટે ગાણિતિક રીતે યોગ્ય આવશ્યકતાઓ ઘડવાની મંજૂરી આપે છે. પરીક્ષણ પ્રક્રિયાનું પાલન કરવું આવશ્યક છેપકડી રાખો

માનકીકરણ નમૂનાનું વર્ણન;

"કાચા" સ્કોર્સના વિતરણની લાક્ષણિકતાઓ સરેરાશ દર્શાવે છે અને
પ્રમાણભૂત વિચલન;

નામ, પ્રમાણભૂત સ્કેલની લાક્ષણિકતાઓ;

પરીક્ષણ ધોરણો - "કાચા" સ્કોર્સને સ્કેલ સ્કોરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટેના કોષ્ટકો.

Z-સ્કોર સ્કેલ. (???)

091208-matmetody.txt

પ્રમાણિત (અથવા પ્રમાણભૂત) વિચલન સામાન્ય રીતે Z અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. (નોટબુકમાં ફિગ. 1) Z-સ્કોર મેળવવામાં આવે છે.

સામાન્ય વિતરણોમાં એક વિશેષ સ્થાન કહેવાતા પ્રમાણભૂત અથવા એકમ સામાન્ય વિતરણ દ્વારા કબજે કરવામાં આવે છે. આ વિતરણ એ શરત હેઠળ મેળવવામાં આવે છે કે અંકગણિત સરેરાશ શૂન્ય બરાબર છે અને પ્રમાણભૂત વિચલન 1 બરાબર છે. સામાન્ય વિતરણ અનુકૂળ છે કારણ કે કોઈપણ વિતરણ પ્રમાણભૂતીકરણ દ્વારા ઘટાડી શકાય છે.

માનકીકરણ કામગીરી નીચે મુજબ છે: અંકગણિત સરેરાશ દરેક વ્યક્તિગત પરિમાણ મૂલ્યમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે. આ કામગીરીને સેન્ટરિંગ કહેવામાં આવે છે. અને પરિણામી તફાવત પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા વિભાજિત થાય છે. આ ઓપરેશનને નોર્મલાઇઝેશન કહેવામાં આવે છે.

સાથે. 47 (54) (ત્યાં ભીંગડા સાથેનું ચિત્ર જુઓ)

મોનીટરીંગ2.htm

આમ, જો આપણે કોઈ ચોક્કસ વિષયના સ્કોરને સરેરાશમાંથી બાદ કરીએ અને તફાવતને પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા વિભાજીત કરીએ, તો આપણે વ્યક્તિગત ગુણને પ્રમાણભૂત વિચલનના અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકીએ છીએ. આ રીતે મેળવેલ ડાયગ્નોસ્ટિક શેરને Z-સ્કોર કહેવામાં આવે છે. Z - સ્કોર કોઈપણ પ્રમાણભૂત સ્કેલનો આધાર છે. z-સ્કોરની સૌથી આકર્ષક મિલકત એ છે કે તેઓ સરેરાશ અને પ્રમાણભૂત વિચલનને ધ્યાનમાં લીધા વિના, જૂથના તમામ પરિણામોમાં વિષયના પરિણામની સંબંધિત સ્થિતિને લાક્ષણિકતા આપે છે. વધુમાં, z-સ્કોર એકમ-મુક્ત છે. z-સ્કોરના આ બે ગુણધર્મો માટે આભાર, તેનો ઉપયોગ વિવિધ રીતે અને વર્તન નમૂનાના વિવિધ પાસાઓ પર મેળવેલ પરિણામોની તુલના કરવા માટે કરી શકાય છે.

સ્ટેનાઇન સ્કેલ
વોલ સ્કેલ
ટી-સ્કેલ
IQ સ્કેલ

Z-સ્કોર સ્કેલ પરથી મેળવેલ ભીંગડા.

મોનીટરીંગ2.htm (માનકીકરણ અને પ્રમાણભૂત વિચલન વિશે પણ સારી શરૂઆત છે)

z-સ્કોરનો ગેરલાભ એ છે કે તમારે અપૂર્ણાંક અને નકારાત્મક મૂલ્યો સાથે વ્યવહાર કરવો પડશે. તેથી, તે સામાન્ય રીતે કહેવાતા પ્રમાણભૂત ભીંગડામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જે વાપરવા માટે વધુ અનુકૂળ છે. પરંપરાગત રીતે અને ડાયગ્નોસ્ટિક્સમાં અન્ય કરતા વધુ વખત, નીચેના ભીંગડાઓનો ઉપયોગ થાય છે:

સ્ટેનાઇન સ્કેલ
વોલ સ્કેલ
ટી-સ્કેલ
IQ સ્કેલ

સાથે. 47 (54) (ત્યાં ભીંગડા સાથેનું ચિત્ર જુઓ)

0028.htm 7. મનોવૈજ્ઞાનિક પ્રશ્નાવલિનું માનકીકરણ

પરીક્ષણ સૂચકાંકોનું સામાન્યકરણ.

મનોવૈજ્ઞાનિક પ્રશ્નાવલિનો વ્યવહારિક રીતે ઉપયોગ કરવા માટે, એટલે કે. અવ્યવસ્થિત રીતે પસંદ કરેલા વિષય (આ પ્રશ્નાવલિની માન્યતાના માપદંડનો ઉપયોગ કરીને) દ્વારા તેની પૂર્ણતાને આધારે નવી પરિસ્થિતિઓમાં તેના વર્તનની આગાહી કરવા માટે, આદર્શ નમૂના પર સૂચકોને સામાન્ય બનાવવું જરૂરી છે. માત્ર આંકડાકીય ધોરણોનો ઉપયોગ ચોક્કસ વિષયમાં ચોક્કસ મનોવૈજ્ઞાનિક ગુણવત્તાની તીવ્રતામાં વધારો અથવા ઘટાડો નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે. લાગુ મનોવિજ્ઞાન માટે ધોરણો મહત્વપૂર્ણ હોવા છતાં, મનોવૈજ્ઞાનિક સંશોધન માટે કાચા પગલાંનો સીધો ઉપયોગ કરવો સૌથી સરળ છે.

ચોક્કસ વિષયના પ્રદર્શનની તુલના પર્યાપ્ત આદર્શ જૂથના પ્રદર્શન સાથે થવી જોઈએ. આ અમુક રૂપાંતરણ દ્વારા પરિપૂર્ણ થાય છે જે જૂથની સાપેક્ષ વ્યક્તિની સ્થિતિ દર્શાવે છે.

કાચા સ્કેલ મૂલ્યોના રેખીય અને બિનરેખીય પરિવર્તન. પ્રાથમિક સૂચકાંકોના રેખીય અને બિન-રેખીય રૂપાંતરણ દ્વારા માનક સૂચકાંકો મેળવી શકાય છે. રેખીય રૂપાંતરણ પ્રાથમિક સૂચકમાંથી સ્થિરાંકને બાદ કરીને અને બીજા સ્થિરાંક વડે વધુ વિભાજિત કરીને મેળવવામાં આવે છે, તેથી પ્રાથમિક સૂચકોની લાક્ષણિકતા તમામ સંબંધો રેખીય રાશિઓને પણ લાગુ પડે છે. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતો z-સ્કોર (ફોર્મ્યુલા 3) છે.

પરંતુ હકીકત એ છે કે ઘણીવાર એક અથવા બીજા સ્કેલ પર અંતિમ સ્કોર્સનું વિતરણ સામાન્ય નથી, આ પ્રમાણિત સૂચકાંકોમાંથી ટકાવારી મેળવી શકાતી નથી, એટલે કે. અંદાજ લગાવો કે કેટલા ટકા વિષયોએ આપેલ વિષય જેટલું જ સૂચક મેળવ્યું છે.

જો દિવાલોમાં રૂપાંતર સાથે પર્સન્ટાઇલ નોર્મલાઇઝેશન અને દિવાલોમાં રૂપાંતર સાથે રેખીય નોર્મલાઇઝેશન સમાન દિવાલ મૂલ્યો આપે છે, તો વિતરણને ધોરણ દસની અંદર સામાન્ય ગણવામાં આવે છે.

વિવિધ આકારોના વિતરણ સાથે સંબંધિત પરિણામોની તુલનાત્મકતા હાંસલ કરવા માટે, બિનરેખીય પરિવર્તન લાગુ કરી શકાય છે.

બિનરેખીય રૂપાંતરણનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ સામાન્ય પ્રમાણભૂત સ્કોર્સ એ વિતરણને અનુરૂપ પ્રમાણભૂત સ્કોર્સ છે જેનું રૂપાંતર કરવામાં આવ્યું છે જેથી તે સામાન્ય બને. તેમની ગણતરી કરવા માટે, કાચા બિંદુઓને પ્રમાણભૂત મુદ્દાઓમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે વિશેષ કોષ્ટકો બનાવવામાં આવે છે. તેઓ વિવિધ ડિગ્રીના વિચલનોના કેસોની ટકાવારી આપે છે (સરેરાશ મૂલ્યમાંથી σ ના એકમોમાં). આમ, જૂથના પરિણામોના 50% હાંસલ કરવા માટે અનુરૂપ સરેરાશ મૂલ્ય 0 સાથે સરખાવી શકાય છે. સરેરાશ બાદબાકી પ્રમાણભૂત વિચલન -1 સાથે સરખાવી શકાય છે, આ નવું મૂલ્ય લગભગ 16% નમૂનામાં જોવામાં આવશે, અને મૂલ્ય +1 - લગભગ 84% માં.

કાર્ય "વાણી ઉપચાર જૂથોનું કાર્ય"; 2. "શાળાની કેન્ટીનમાં... સેનિટરી ધોરણોનું પાલન"; 3. "ઓહ કામવોઇવોડશીપ સ્પેશિયલ (સુધારાત્મક) શાળાનું વહીવટ...

2.6 સ્ક્યુનેસ અને કર્ટોસિસ

ગાણિતિક આંકડાઓમાં, રેન્ડમ ચલની સંભાવના ઘનતાના ભૌમિતિક સ્વરૂપને નિર્ધારિત કરવા માટે, ત્રીજા અને ચોથા ક્રમની કેન્દ્રીય ક્ષણો સાથે સંકળાયેલી બે સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2.22 નમૂના અસમપ્રમાણતા ગુણાંકx 1 , x 2 , …, x nપ્રમાણભૂત વિચલનના ઘન અને ત્રીજા ક્રમના કેન્દ્રીય નમૂનાની ક્ષણના ગુણોત્તરની સમાન સંખ્યા છે એસ:

ત્યારથી , પછી અસમપ્રમાણતા ગુણાંક નીચેના સૂત્ર દ્વારા કેન્દ્રીય ક્ષણો દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:

આમાંથી આપણે પ્રારંભિક ક્ષણો દ્વારા અસમપ્રમાણતા ગુણાંકને વ્યક્ત કરતું સૂત્ર મેળવીએ છીએ:

, જે વ્યવહારિક ગણતરીઓની સુવિધા આપે છે.

સૈદ્ધાંતિક મુદ્દાઓનો ઉપયોગ કરીને અનુરૂપ સૈદ્ધાંતિક લાક્ષણિકતા રજૂ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 2.23 રેન્ડમ ચલનો અસમપ્રમાણતા ગુણાંકએક્સનંબર કહેવાય છેત્રીજા ક્રમના કેન્દ્રીય ક્ષણ ગુણોત્તરની સમાનપ્રમાણભૂત વિચલનના ઘન સુધી:

જો રેન્ડમ ચલ X પાસે ગાણિતિક અપેક્ષા μ ની તુલનામાં સપ્રમાણ વિતરણ છે, તો તેનો સૈદ્ધાંતિક અસમપ્રમાણતા ગુણાંક 0 ની બરાબર છે, પરંતુ જો સંભાવના વિતરણ અસમપ્રમાણ છે, તો અસમપ્રમાણતા ગુણાંક શૂન્યથી અલગ છે. અસમપ્રમાણતા ગુણાંકનું હકારાત્મક મૂલ્ય સૂચવે છે કે રેન્ડમ ચલના મોટાભાગના મૂલ્યો ગાણિતિક અપેક્ષાની જમણી બાજુએ સ્થિત છે, એટલે કે, સંભાવના ઘનતા વળાંકની જમણી શાખા ડાબી કરતા લાંબી છે. અસમપ્રમાણતા ગુણાંક માટે નકારાત્મક મૂલ્ય સૂચવે છે કે વળાંકનો લાંબો ભાગ ડાબી બાજુએ સ્થિત છે. આ નિવેદન નીચેની આકૃતિ દ્વારા સચિત્ર છે.

આકૃતિ 2.1 – હકારાત્મક અને નકારાત્મક અસમપ્રમાણતા

વિતરણો

ઉદાહરણ 2.29ચાલો ઉદાહરણ 2.28 માંથી તણાવપૂર્ણ પરિસ્થિતિઓના અભ્યાસના ડેટાના આધારે નમૂનાની અસમપ્રમાણતા ગુણાંક શોધીએ.

કેન્દ્રીય નમૂનાના ક્ષણોના અગાઉ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેળવીએ છીએ

.

રાઉન્ડ અપ = 0.07. અસમપ્રમાણતા ગુણાંકનું મળેલ બિન-શૂન્ય મૂલ્ય સરેરાશની તુલનામાં વિતરણની વિકૃતિ દર્શાવે છે. સકારાત્મક મૂલ્ય સૂચવે છે કે સંભાવના ઘનતા વળાંકની લાંબી શાખા જમણી બાજુએ છે.

નીચેનો સ્થિરાંક તેના મોડલ મૂલ્ય X મોડની આસપાસ રેન્ડમ ચલ મૂલ્યોના વિતરણને દર્શાવે છે.

વ્યાખ્યા 2.24 નમૂનાના કુર્ટોસિસx 1 , x 2 , …, x nનંબર કહેવાય છે , સમાન

,

જ્યાં- ચોથા ક્રમની પસંદગીયુક્ત કેન્દ્રીય ક્ષણ,

એસ 4 - ધોરણની ચોથી ડિગ્રીવિચલનોએસ.

કુર્ટોસિસની સૈદ્ધાંતિક ખ્યાલ એ નમૂનાનું એનાલોગ છે.

વ્યાખ્યા 2.25 રેન્ડમ ચલનું કુર્ટોસિસએક્સનંબર કહેવાય છે e,સમાન

,

જ્યાં– સૈદ્ધાંતિક ચોથો ક્રમ કેન્દ્રીય ક્ષણ,

–પ્રમાણભૂત વિચલનની ચોથી ડિગ્રી.

કુર્ટોસિસ મૂલ્ય ઇમહત્તમ બિંદુની આસપાસ વિતરણ ઘનતા વળાંકની ટોચની સંબંધિત ઢાળને લાક્ષણિકતા આપે છે. જો કુર્ટોસિસ એક ધન સંખ્યા છે, તો અનુરૂપ વિતરણ વળાંક તીવ્ર શિખર ધરાવે છે. નકારાત્મક કુર્ટોસિસ સાથેનું વિતરણ સરળ અને ચપટી ટોચ ધરાવે છે. નીચેની આકૃતિ સંભવિત કિસ્સાઓ દર્શાવે છે.

આકૃતિ 2.2 – હકારાત્મક, શૂન્ય અને નકારાત્મક કર્ટોસિસ મૂલ્યો સાથેનું વિતરણ

Skewness SKES કાર્ય દ્વારા ગણવામાં આવે છે. તેની દલીલ એ ડેટા સાથેના કોષોનું અંતરાલ છે, ઉદાહરણ તરીકે, =SKES(A1:A100), જો ડેટા A1 થી A100 સુધીના કોષોના અંતરાલમાં સમાયેલ હોય.

કુર્ટોસિસની ગણતરી KURTESS ફંક્શન દ્વારા કરવામાં આવે છે, જેની દલીલ આંકડાકીય માહિતી છે, સામાન્ય રીતે કોષોના અંતરાલ તરીકે ઉલ્લેખિત છે, ઉદાહરણ તરીકે: =KURTESS(A1:A100).

§2.3. વિશ્લેષણ સાધન વર્ણનાત્મક આંકડા

IN એક્સેલવિશ્લેષણ સાધનનો ઉપયોગ કરીને એક જ સમયે નમૂનાની તમામ બિંદુ લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરવી શક્ય છે વર્ણનાત્મક આંકડા, જેમાં સમાયેલ છે વિશ્લેષણ પેકેજ.

વર્ણનાત્મક આંકડાડેટા સેટ માટે મૂળભૂત આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓનું કોષ્ટક બનાવે છે. આ કોષ્ટકમાં નીચેની લાક્ષણિકતાઓ હશે: સરેરાશ, પ્રમાણભૂત ભૂલ, વિક્ષેપ, પ્રમાણભૂત વિચલન, મોડ, મધ્ય, અંતરાલ વિવિધતાની શ્રેણી, મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો, અસમપ્રમાણતા, કુર્ટોસિસ, વસ્તી વોલ્યુમ, તમામ વસ્તી ઘટકોનો સરવાળો, વિશ્વાસ અંતરાલ (વિશ્વસનીયતા સ્તર ). સાધન વર્ણનાત્મક આંકડાઆંકડાકીય વિશ્લેષણને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવે છે કે આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓની અલગથી ગણતરી કરવા માટે દરેક ફંક્શનને કૉલ કરવાની જરૂર નથી.

કૉલ કરવા માટે વર્ણનાત્મક આંકડા, નીચે મુજબ છે:

1) મેનુમાં સેવાએક ટીમ પસંદ કરો ડેટા વિશ્લેષણ;

2) યાદીમાં વિશ્લેષણ સાધનોસંવાદ બોક્સ ડેટા વિશ્લેષણસાધન પસંદ કરો વર્ણનાત્મક આંકડાઅને દબાવો ઠીક છે.

બારીમાં વર્ણનાત્મક આંકડાજરૂરી:

· જૂથમાં ઇનપુટ ડેટાક્ષેત્રમાં ઇનપુટ અંતરાલડેટા ધરાવતા કોષોની શ્રેણીનો ઉલ્લેખ કરો;

· જો ઇનપુટ શ્રેણીમાં પ્રથમ પંક્તિમાં કૉલમ હેડર હોય, તો પછી પ્રથમ લીટીમાં લેબલ્સ ફીલ્ડતપાસવું જોઈએ;

· જૂથમાં આઉટપુટ વિકલ્પોસ્વીચ સક્રિય કરો (બોક્સ ચેક કરો) સારાંશ આંકડા, જો તમને લાક્ષણિકતાઓની સંપૂર્ણ સૂચિની જરૂર હોય;

· સ્વીચ સક્રિય કરો વિશ્વસનીયતા સ્તરઅને જો તમારે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય તો % માં વિશ્વસનીયતાનો ઉલ્લેખ કરો (ડિફોલ્ટ વિશ્વસનીયતા 95% છે). ક્લિક કરો ઠીક છે.

પરિણામે, ઉપરોક્ત આંકડાકીય લાક્ષણિકતાઓના ગણતરી કરેલ મૂલ્યો સાથે કોષ્ટક દેખાશે. તરત જ, આ કોષ્ટકને નાપસંદ કર્યા વિના, આદેશ ચલાવો ફોર્મેટ® કૉલમ® સ્વતઃ પહોળાઈ પસંદગી.

સંવાદ બોક્સ દૃશ્ય વર્ણનાત્મક આંકડા:

વ્યવહારુ કાર્યો

2.1. પ્રમાણભૂત કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને મૂળભૂત બિંદુ આંકડાઓની ગણતરી એક્સેલ

સમાન વોલ્ટમેટરે સર્કિટના એક વિભાગ પર 25 વખત વોલ્ટેજ માપ્યું. પ્રયોગોના પરિણામે, વોલ્ટમાં નીચેના વોલ્ટેજ મૂલ્યો પ્રાપ્ત થયા હતા:

32, 32, 35, 37, 35, 38, 32, 33, 34, 37, 32, 32, 35,

34, 32, 34, 35, 39, 34, 38, 36, 30, 37, 28, 30.

સરેરાશ, નમૂના અને સુધારેલ ભિન્નતા, પ્રમાણભૂત વિચલન, વિવિધતાની શ્રેણી, સ્થિતિ, મધ્ય શોધો. સ્ક્યુનેસ અને કર્ટોસિસની ગણતરી કરીને સામાન્ય વિતરણમાંથી વિચલનનું પરીક્ષણ કરો.

આ કાર્ય પૂર્ણ કરવા માટે, નીચેના પગલાંઓ પૂર્ણ કરો.

1. કૉલમ A માં પ્રયોગના પરિણામો લખો.

2. સેલ B1 માં પ્રકાર "સરેરાશ", B2 માં - "નમૂના વિચલન", B3 માં - "માનક વિચલન", B4 માં - "સુધારેલ વિચલન", B5 માં - "સુધારેલ પ્રમાણભૂત વિચલન", B6 માં - "મહત્તમ", B7 માં - "લઘુત્તમ", B8 માં - "વિવિધતાની શ્રેણી", B9 માં - "મોડ", B10 માં - "માધ્યમ", B11 માં - "અસમપ્રમાણતા", B12 માં - "કર્ટોસિસ".

3. ઉપયોગ કરીને આ કૉલમની પહોળાઈને સમાયોજિત કરો સ્વતઃ-પસંદગીપહોળાઈ

4. સેલ C1 પસંદ કરો અને ફોર્મ્યુલા બારમાં “=” ચિહ્ન સાથે બટન પર ક્લિક કરો. ઉપયોગ કરીને કાર્ય વિઝાર્ડ્સશ્રેણીમાં આંકડાકીય AVERAGE કાર્ય શોધો, પછી ડેટા કોષોની શ્રેણીને પ્રકાશિત કરો અને ક્લિક કરો ઠીક છે.

5. સેલ C2 પસંદ કરો અને ફોર્મ્યુલા બારમાં = સાઇન પર ક્લિક કરો. ઉપયોગ કરીને કાર્ય વિઝાર્ડ્સશ્રેણીમાં આંકડાકીય VAR ફંક્શન શોધો, પછી ડેટા સેલની શ્રેણીને હાઇલાઇટ કરો અને ક્લિક કરો ઠીક છે.

6. બાકીની લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરવા માટે તે જ પગલાં જાતે કરો.

7. સેલ C8 માં વિવિધતાની શ્રેણીની ગણતરી કરવા માટે, સૂત્ર દાખલ કરો: =C6-C7.

8. તમારા ટેબલની સામે એક લીટી ઉમેરો, જેમાં અનુરૂપ કૉલમના હેડિંગ ટાઈપ કરો: "લાક્ષણિકતાઓનું નામ" અને "સંખ્યાત્મક મૂલ્યો".