અવકાશમાં કેન્દ્રીય અક્ષીય સમપ્રમાણતા. VII

ભૂમિતિ પાઠ નોંધો, ધોરણ 10

વિષય: અવકાશમાં સમપ્રમાણતા. પ્રકૃતિ અને વ્યવહારમાં સમપ્રમાણતા.

પાઠની પ્રગતિ.

કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા સાથે ભૌમિતિક આકૃતિઓ

અવકાશમાં બિંદુઓ A1 અને A2 ને રેખા l ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે જો રેખા l સેગમેન્ટ AA1 ના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે.
સીધી રેખા l એ બિંદુઓ A1 અને A2 ની સમપ્રમાણતાની ધરી કહેવાય છે

રેખા l ના સંદર્ભમાં આકૃતિ સપ્રમાણ હોવાનું કહેવાય છે, જો આકૃતિના દરેક બિંદુ માટે, રેખા l ના સંદર્ભમાં એક બિંદુ સપ્રમાણતા પણ આ આકૃતિનો હોય. સીધી રેખા l ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાની ધરી કહેવામાં આવે છે. આકૃતિમાં અક્ષીય સમપ્રમાણતા હોવાનું પણ કહેવાય છે.

અક્ષીય સમપ્રમાણતા આપણી આસપાસ છે

નવા વિષયની સમજૂતી

સીધી રેખા અને સમતલની લંબરૂપતાનો ઉપયોગ કરીને, અમે પ્લેન અથવા અરીસાની સમપ્રમાણતા સંબંધિત સમપ્રમાણતાની મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ રજૂ કરીએ છીએ.

અરીસાની સમપ્રમાણતાની દુનિયા. પ્રકૃતિ અને વ્યવહારમાં સમપ્રમાણતા.

પાણીમાં પ્રતિબિંબ એ પ્રકૃતિમાં અરીસાની સમપ્રમાણતાનું સારું ઉદાહરણ છે.
અમે કલાકારોના લેન્ડસ્કેપ્સ અને સફળ ફોટોગ્રાફ્સની પ્રશંસા કરીએ છીએ. તળાવની સપાટી પર પર્વતો સુંદર રીતે પ્રતિબિંબિત થાય છે, જે ફોટોને સંપૂર્ણતા આપે છે. તળાવની સપાટી અરીસાની ભૂમિકા ભજવે છે અને ભૌમિતિક ચોકસાઇ સાથે પ્રતિબિંબનું પુનઃઉત્પાદન કરે છે. પાણીની સપાટી સમપ્રમાણતાનું સમતલ છે...
એકબીજાના અરીસાના પ્રતિબિંબના ઉદાહરણોમાં માનવ હાથનો સમાવેશ થાય છે. મિરર સપ્રમાણતાની અસર ઘણીવાર વ્યવહારમાં વપરાય છે. તેથી, જૂતાની દુકાનોમાં તેઓ કેટલીકવાર માત્ર એક જ જૂતા પ્રદર્શનમાં મૂકે છે. જૂતા અરીસામાં પ્રતિબિંબિત થાય છે, અને દૃષ્ટિની રીતે એવું લાગે છે કે આપણે જૂતાની જોડી જોઈ રહ્યા છીએ.
હર્મન વેલે કહ્યું: "સપ્રમાણતા એ એક વિચાર છે જેના દ્વારા સદીઓ દરમિયાન માણસે ક્રમ, સુંદરતા અને સંપૂર્ણતાને સમજવા અને બનાવવાનો પ્રયાસ કર્યો છે." હર્મન વેઈલ એક જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી છે. તેમની પ્રવૃત્તિ 20મી સદીના પહેલા ભાગની છે.
તેમણે જ સપ્રમાણતાની વ્યાખ્યા ઘડી હતી, કયા ચિહ્નોની હાજરી અથવા તેનાથી વિપરિત, આપેલ કિસ્સામાં સમપ્રમાણતાની ગેરહાજરી નક્કી કરવી તે સ્થાપિત કર્યું હતું.
ખરેખર, સપ્રમાણતા આંખને આનંદદાયક છે.
જેમણે કુદરતની રચનાઓની સપ્રમાણતાની પ્રશંસા કરી નથી: પાંદડા, ફૂલો, પક્ષીઓ, પ્રાણીઓ; અથવા માનવ રચનાઓ: ઇમારતો, ટેકનોલોજી, - દરેક વસ્તુ જે આપણને બાળપણથી ઘેરી લે છે, દરેક વસ્તુ જે સૌંદર્ય અને સંવાદિતા માટે પ્રયત્ન કરે છે.

પ્રકૃતિમાં સમપ્રમાણતા

. નિયમિત પોલિહેડ્રા.

વ્યાખ્યા. બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોન કહેવામાં આવે છે યોગ્ય , જો તેના બધા ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય અને ધારની સમાન સંખ્યા તેના દરેક શિરોબિંદુઓ પર એકરૂપ થાય.

તે સાબિત કરવું એકદમ સરળ છે કે ત્યાં ફક્ત 5 નિયમિત પોલિહેડ્રા છે: નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોન, નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન, નિયમિત અષ્ટાહેડ્રોન, નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન, નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન. આ અદ્ભુત તથ્યએ પ્રાચીન ચિંતકોને અસ્તિત્વના પ્રાથમિક તત્વો સાથે નિયમિત પોલિહેડ્રાને સહસંબંધ કરવા માટે જન્મ આપ્યો.

પોલિહેડ્રા થિયરીના ઘણા રસપ્રદ કાર્યક્રમો છે. આ ક્ષેત્રમાં ઉત્કૃષ્ટ પરિણામો પૈકી એક છે યુલરનું પ્રમેય , જે માત્ર નિયમિત માટે જ નહીં, પણ તમામ બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા માટે પણ માન્ય છે.

પ્રમેય: બહિર્મુખ પોલિહેડ્રા માટે નીચેનો સંબંધ સાચો છે: G + V – P = 2, જ્યાં B એ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા છે, G એ ચહેરાઓની સંખ્યા છે, P એ ધારની સંખ્યા છે.

નિયમિત પોલિહેડ્રામાં ઘણી રસપ્રદ ગુણધર્મો છે. સૌથી આકર્ષક ગુણધર્મોમાંની એક તેમની દ્વૈતતા છે: જો તમે નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન (ક્યુબ) ના ચહેરાના કેન્દ્રોને સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડો છો, તો તમને નિયમિત અષ્ટાહેડ્રોન મળશે; અને, તેનાથી વિપરિત, જો તમે નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોનના ચહેરાના કેન્દ્રોને સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડો છો, તો તમને એક ક્યુબ મળશે. એ જ રીતે, નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન અને ડોડેકેહેડ્રોન દ્વિ છે. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન પોતે દ્વિ હોય છે, એટલે કે. જો તમે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનના ચહેરાના કેન્દ્રોને સેગમેન્ટ્સ સાથે જોડો છો, તો તમને ફરીથી નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન મળશે.

. અવકાશમાં સમપ્રમાણતા.

વ્યાખ્યા. પોઈન્ટ એઅને INકહેવાય છે બિંદુ વિશે સપ્રમાણ વિશે(સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર), જો વિશે- સેગમેન્ટની મધ્યમાં એબી. પોઈન્ટ O ને પોતાના માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. પોઈન્ટ એઅને INકહેવાય છે સીધી રેખા વિશે સપ્રમાણ એ(સપ્રમાણતાની અક્ષ), જો સીધી હોય એ એબીઅને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે. દરેક બિંદુ સીધા છે એ

વ્યાખ્યા. પોઈન્ટ એઅને INકહેવાય છે પ્લેનની તુલનામાં સપ્રમાણતા β (સપ્રમાણતાનું પ્લેન), જો પ્લેન β સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે એબીઅને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે. પ્લેન દરેક બિંદુ β પોતાને માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા. એક બિંદુ (સીધી રેખા, સમતલ) ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય.

જો કોઈ આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) હોય, તો તેને કેન્દ્રીય (અક્ષીય, અરીસા) સપ્રમાણતા કહેવાય છે. બહુહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર, અક્ષ અને વિમાનો કહેવામાં આવે છે સમપ્રમાણતાના તત્વો આ બહુહેડ્રોન.

ઉદાહરણ. સાચો ટેટ્રાહેડ્રોન:

- સમપ્રમાણતાનું કોઈ કેન્દ્ર નથી;

- સમપ્રમાણતાના ત્રણ અક્ષો ધરાવે છે - બે વિરુદ્ધ ધારના મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓ;

તેમાં સમપ્રમાણતાના છ વિમાનો છે - ટેટ્રેહેડ્રોનની વિરુદ્ધ (પ્રથમ સાથે છેદતી) ધારની કાટખૂણેથી પસાર થતા વિમાનો.

સમપ્રમાણતાના કેટલા કેન્દ્રો કરે છે:

a) સમાંતર પાઇપ;

b) નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ;

c) ડાઇહેડ્રલ કોણ;

ડી) સેગમેન્ટ;

સમપ્રમાણતાના કેટલા અક્ષો કરે છે:

a) સેગમેન્ટ;

b) નિયમિત ત્રિકોણ;

સમપ્રમાણતાના કેટલા વિમાનો કરે છે:

એ) નિયમિત ચતુષ્કોણીય પ્રિઝમ, ક્યુબથી અલગ;

b) નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડ;

c) નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ;

નિયમિત પોલિહેડ્રામાં કેટલા અને કયા સપ્રમાણતા તત્વો હોય છે:

એ) નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન;

b) નિયમિત હેક્ઝાહેડ્રોન;

c) નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોન;

ડી) નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન;

ડી) નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન?

§ 1 સપ્રમાણતા શું છે

આ પાઠમાંથી અવતરણ પ્રખ્યાત વૈજ્ઞાનિક, સાયબરનેટિક્સના નિર્માતા નોર્બર્ટ વિનરનું નિવેદન હશે, જે આજે ચર્ચા કરવામાં આવશે તે દરેક વસ્તુને ખૂબ જ સચોટ રીતે વ્યક્ત કરે છે.

"ગણિતનો સર્વોચ્ચ હેતુ આપણી આસપાસની અરાજકતામાં સુંદરતા, સુમેળ અને વ્યવસ્થા શોધવાનો છે."

સપ્રમાણતા એ એક એવા કાયદા છે જે બ્રહ્માંડની સુમેળને સુનિશ્ચિત કરે છે, આપણે આજે તેના વિશે વાત કરીશું અને પ્લાનિમેટ્રી પાઠમાં રજૂ કરાયેલા ખ્યાલોને વિસ્તૃત કરીશું.

રોજિંદા ભાષામાં, સમપ્રમાણતા શબ્દનો ઉપયોગ બે અર્થમાં થાય છે. એક અર્થમાં, સપ્રમાણતાનો અર્થ એવો થાય છે કે જે સારી રીતે પ્રમાણસર, સંતુલિત હોય અને સપ્રમાણતા વ્યક્તિગત ભાગોની તે પ્રકારની સુસંગતતા દર્શાવે છે જે તેમને એક સંપૂર્ણમાં જોડે છે. સૌંદર્યનો સપ્રમાણતા સાથે ગાઢ સંબંધ છે. આની ચર્ચા કરવામાં આવી છે, ઉદાહરણ તરીકે, પોલીક્લીટોસ દ્વારા પ્રમાણ પરના તેમના પુસ્તકમાં, એક શિલ્પકાર જેમના શિલ્પોને તેમની સુમેળપૂર્ણ પૂર્ણતા માટે પ્રાચીન લોકો દ્વારા પ્રશંસા કરવામાં આવી હતી. ભીંગડાની છબી એ એક કુદરતી કડી છે જે આપણા સમયમાં ઉપયોગમાં લેવાતા સપ્રમાણતા શબ્દના બીજા અર્થ તરફ દોરી જાય છે: અરીસાની સમપ્રમાણતા - ડાબી અને જમણી સમપ્રમાણતા, તેથી ઉચ્ચ પ્રાણીઓ અને મનુષ્યોમાં શરીરની રચનામાં નોંધપાત્ર છે.

પ્રતિબિંબ અથવા પરિભ્રમણ જેવી ક્રિયાઓ સાથે સંબંધિત સપ્રમાણતાના ભૌમિતિક ખ્યાલના વિશેષ કેસ તરીકે અરીસાની સમપ્રમાણતા કાર્ય કરે છે.

પાયથાગોરિઅન્સ પ્લેન પરની સૌથી સંપૂર્ણ ભૌમિતિક આકૃતિઓને વર્તુળ અને અવકાશમાં તેમની સંપૂર્ણ રોટેશનલ સપ્રમાણતાને કારણે ગોળ ગણતા હતા.

સપ્રમાણતા, વ્યાપક અથવા સંકુચિત અર્થમાં, તે વિચાર છે જેના દ્વારા માણસ સદીઓથી ક્રમ, સુંદરતા અને સંપૂર્ણતાને સમજવા અને બનાવવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યો છે. આમ, અવકાશ અને સમયના ગુણધર્મો સપ્રમાણતા તરફ દોરી જાય છે, તેના સંવાદિતાના અભિવ્યક્તિ તરીકે પ્રકૃતિમાં નિયમિતતા તરફ દોરી જાય છે.

§ 2 બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા

પ્લાનિમેટ્રીમાં, અમે એવા આંકડાઓ ગણ્યા જે બિંદુના સંદર્ભમાં અને સીધી રેખાના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય. સ્ટીરીઓમેટ્રીમાં, બિંદુ, રેખા અને સમતલના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા ગણવામાં આવે છે.

બિંદુઓ A અને A1 ને બિંદુ O (સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર) ની તુલનામાં સપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે જો O એ સેગમેન્ટ AA1 ની મધ્યમાં હોય. પોઈન્ટ O ને પોતાના માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે. કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ ફૂલ અથવા પેટર્ન હશે

§ 3 સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા

જો સીધી રેખા a સેગમેન્ટ AA1 ની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે તો પોઈન્ટ A અને A1 ને સીધી રેખા a (સપ્રમાણતાની અક્ષ) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. રેખા a ના દરેક બિંદુને પોતાના માટે સપ્રમાણ ગણવામાં આવે છે.

આવી સમપ્રમાણતાનું ઉદાહરણ માત્ર સુંદર પતંગિયાઓમાં જ નહીં, પણ સમગ્ર ઇમારતોમાં પણ જોઈ શકાય છે, જેમ કે

મોસ્કો સ્ટેટ યુનિવર્સિટીની ઇમારતનું નામ આપવામાં આવ્યું છે. લોમોનોસોવ,

તારણહાર ખ્રિસ્તનું કેથેડ્રલ,

મકબરો-મસ્જિદ તાજમહેલ.

પ્લેન વિશે § 4 સમપ્રમાણતા

અવકાશી ભૂમિતિમાં, ચાલો સમતલને સંબંધિત સમપ્રમાણતા ઉમેરીએ.

જો પ્લેન α એ સેગમેન્ટ AA1 ની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે તો પોઈન્ટ A અને A1 ને પ્લેન α (સપ્રમાણતાનું પ્લેન) ની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. α પ્લેનનો દરેક બિંદુ પોતાને માટે સપ્રમાણ માનવામાં આવે છે.

સ્ટીરિયોમેટ્રીનો અભ્યાસ કરતી વખતે, વ્યક્તિ કેન્દ્ર, અક્ષ અને આકૃતિના સમપ્રમાણતાના પ્લેન વિશે પણ વાત કરી શકે છે.

એક બિંદુ (સીધી રેખા, સમતલ) ને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર (અક્ષ, સમતલ) કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય. જો કોઈ આકૃતિમાં કેન્દ્ર (અક્ષ, સમપ્રમાણતાનું પ્લેન) હોય, તો તેને કેન્દ્રીય (અક્ષીય, અરીસા) સપ્રમાણતા કહેવાય છે.

ચિત્રોમાં હવે તમે એક લંબચોરસ સમાંતર, તેમજ તેનું સપ્રમાણ કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાની અક્ષ, સમપ્રમાણતાનું વિમાન જોઈ શકો છો.

સમાંતર નળીઓ, જે લંબચોરસ નથી પરંતુ સીધી પ્રિઝમ છે, તેમાં એક સમતલ (અથવા સમતોલ જો તેનો આધાર સમચતુર્ભુજ હોય ​​તો), એક ધરી અને સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોય છે.

§ 5 અસમપ્રમાણતા

આકૃતિમાં સમપ્રમાણતાના એક અથવા વધુ કેન્દ્રો (અક્ષો, સમપ્રમાણતાના વિમાનો) હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમઘનનું સમપ્રમાણતાનું માત્ર એક કેન્દ્ર અને સમપ્રમાણતાના અનેક અક્ષો અને વિમાનો હોય છે. એવી આકૃતિઓ છે કે જેમાં અનંત ઘણા કેન્દ્રો, અક્ષો અથવા સમપ્રમાણતાના વિમાનો હોય છે. આ આંકડાઓમાં સૌથી સરળ સીધી રેખા અને પ્લેન છે. તેનાથી વિપરિત, એવા આંકડાઓ છે કે જેમાં કેન્દ્રો, અક્ષો અથવા સમપ્રમાણતાના વિમાનો નથી. આ કિસ્સામાં, અમે અસમપ્રમાણતા તરીકે અન્ય ગાણિતિક ખ્યાલ વિશે વાત કરીએ છીએ, જેનો અર્થ સમપ્રમાણતાની ગેરહાજરી છે. આજે, જીવવિજ્ઞાનીઓ અને મનોવૈજ્ઞાનિકો, રસાયણશાસ્ત્રીઓ અને ડોકટરો સમપ્રમાણતાના રહસ્યોને ઉકેલવા અને ડાબે અને જમણા રહસ્યોને ઉકેલવા માટે સાથે મળીને કામ કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા છે. દરરોજ આપણે અરીસામાં જોઈએ છીએ, પરંતુ આપણે ભાગ્યે જ એ હકીકત વિશે વિચારીએ છીએ કે પ્રતિબિંબમાં, જમણો હાથ ડાબી તરફ વળે છે. કુદરતે ગોળાર્ધ, હાથ, પગ, આંખોના કેટલાક કાર્યો શા માટે બનાવ્યા અને ડુપ્લિકેટ કર્યા, પરંતુ મનુષ્ય પાસે ફક્ત એક જ મોં છે? આશ્ચર્યજનક રીતે, આપણી બધી સમપ્રમાણતા સાથે, આપણે અસમપ્રમાણ છીએ. આધુનિક કોમ્પ્યુટર ટેક્નોલોજીઓ એ જોવાનું શક્ય બનાવે છે કે વ્યક્તિ ફક્ત ચહેરાના ડાબા ભાગોમાંથી અથવા જમણી બાજુથી કેવો હશે. પરિણામ મોટાભાગના લોકોને આશ્ચર્યચકિત કરે છે જેઓ પરિણામી પોટ્રેટ જુએ છે. જમણી અને ડાબી ગોળાર્ધની વ્યક્તિઓ એકબીજાથી અલગ હોય છે. આસપાસ જુઓ, કદાચ તમે આસપાસ સપ્રમાણતા અને અસમપ્રમાણતા જોશો અને તેની પ્રશંસા કરશો.

1. ભૂમિતિ. 10 - 11 ગ્રેડ: સામાન્ય શિક્ષણ માટે પાઠ્યપુસ્તક. સંસ્થાઓ: મૂળભૂત અને પ્રોફાઇલ. સ્તરો / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ. – એમ.: શિક્ષણ, 2013. – 255 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - (MSU - શાળામાં)
2. શાળાના શિક્ષકોને મદદ કરવા માટે શૈક્ષણિક અને પદ્ધતિસરની માર્ગદર્શિકા યારોવેન્કો V.A. L. S. Atanasyan et al. (M.: Prosveshcheniye) 10મા ધોરણના શૈક્ષણિક સમૂહ માટે ભૂમિતિમાં પાઠ વિકાસ
3. રાબિનોવિચ ઇ.એમ. તૈયાર રેખાંકનો પર કાર્યો અને કસરતો. 10 - 11 ગ્રેડ. ભૂમિતિ. - એમ.: ઇલેક્ઝા, 2006. - 80 સે.
4. એમ. યા વૈગોડસ્કી હેન્ડબુક ઓફ એલિમેન્ટરી મેથેમેટિક્સ એમ.: એએસટી એસ્ટ્રેલ, 2006. - 509 પૃષ્ઠ.
5. અવંતા+. બાળકો માટે જ્ઞાનકોશ. વોલ્યુમ 11. ગણિત 2જી આવૃત્તિ., સુધારેલ. - એમ.: વર્લ્ડ ઓફ અવંતા+ જ્ઞાનકોશ: એસ્ટ્રેલ 2007. - 621 પૃષ્ઠ. એડ. બોર્ડ: એમ. અક્સેનોવા, વી. વોલોડિન, એમ. સેમસોનોવ

અમે ખૂબ જ સુંદર અને સુમેળભર્યા વિશ્વમાં જીવીએ છીએ. આપણે એવી વસ્તુઓથી ઘેરાયેલા છીએ જે આંખને ખુશ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બટરફ્લાય, મેપલ પર્ણ, સ્નોવફ્લેક. જુઓ કે તેઓ કેટલા સુંદર છે. શું તમે તેમના પર ધ્યાન આપ્યું છે? આજે આપણે આ અદ્ભુત ગાણિતિક ઘટના - સમપ્રમાણતાને સ્પર્શ કરીશું. ચાલો અક્ષીય, કેન્દ્રીય અને અરીસાની સમપ્રમાણતાના ખ્યાલથી પરિચિત થઈએ. આપણે ધરી, કેન્દ્ર અને સમતલની તુલનામાં સપ્રમાણતા ધરાવતા આકૃતિઓ બનાવવાનું અને ઓળખવાનું શીખીશું.

ગ્રીકમાંથી અનુવાદિત સપ્રમાણતા શબ્દ સંવાદિતા જેવો લાગે છે, જેનો અર્થ છે સુંદરતા, પ્રમાણસરતા, પ્રમાણસરતા, ભાગોની ગોઠવણીમાં એકરૂપતા. માણસે લાંબા સમયથી આર્કિટેક્ચરમાં સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કર્યો છે. તે પ્રાચીન મંદિરો, મધ્યયુગીન કિલ્લાઓના ટાવર્સ અને આધુનિક ઇમારતોને સંવાદિતા અને સંપૂર્ણતા આપે છે.

કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા. બિંદુ અથવા કેન્દ્રીય સપ્રમાણતા એ ભૌમિતિક આકૃતિનો ગુણધર્મ છે જ્યારે સમપ્રમાણતાના કેન્દ્રની એક બાજુ પર સ્થિત કોઈપણ બિંદુ કેન્દ્રની બીજી બાજુ પર સ્થિત અન્ય બિંદુને અનુરૂપ હોય છે. આ કિસ્સામાં, બિંદુઓ મધ્યમાંથી પસાર થતા રેખાખંડ પર સ્થિત છે, સેગમેન્ટને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. A O B

અક્ષીય સમપ્રમાણતા. રેખા (અથવા અક્ષીય સમપ્રમાણતા) સંબંધિત સમપ્રમાણતા એ ભૌમિતિક આકૃતિની મિલકત છે જ્યારે રેખાની એક બાજુ પર સ્થિત કોઈપણ બિંદુ હંમેશા રેખાની બીજી બાજુ પર સ્થિત બિંદુને અનુરૂપ હશે, અને આ બિંદુઓને જોડતા વિભાગો હશે. સમપ્રમાણતાના અક્ષને લંબરૂપ અને તેના દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત. એબી

જો સમતલ α એ સેગમેન્ટ AB ની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને આ સેગમેન્ટને લંબરૂપ છે તો અરીસાની સમપ્રમાણતા પોઈન્ટ A અને Bને પ્લેન α (સપ્રમાણતાનું પ્લેન) ની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. α પ્લેનનો દરેક બિંદુ પોતાને માટે સપ્રમાણ માનવામાં આવે છે. AB α

2. સમપ્રમાણતાના બે અક્ષો હોય છે... a) એક સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ; b) સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડ; c) સમચતુર્ભુજ. 2. કયું વિધાન ખોટું છે? a) જો ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાની ધરી હોય, તો તે સમદ્વિબાજુ છે. b) જો ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાના બે અક્ષો હોય, તો તે સમભુજ છે. c) સમભુજ ત્રિકોણમાં સમપ્રમાણતાના બે અક્ષો હોય છે.

3. કયું વિધાન સાચું છે? a) સમાંતરગ્રામમાં, કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. b) સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડમાં, કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. c) સમભુજ ત્રિકોણમાં, મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ તેની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. 3. સમપ્રમાણતાના ચાર અક્ષો ધરાવે છે... a) લંબચોરસ; b) સમચતુર્ભુજ; c) ચોરસ.

4. હકીકત એ છે કે બિંદુઓ O અને A એ બિંદુ B ની તુલનામાં સપ્રમાણતા છે, તે અનુસરતું નથી... a) AO = 2OB; b) OB = 2AO; c) OB = AB. 4. બિંદુઓ A અને B રેખા a વિશે સપ્રમાણ છે જો તેઓ... a) રેખા a પર લંબ પર આવેલા છે; b) રેખા a થી સમાન અંતરે; c) a રેખાના કાટખૂણે આવેલા છે અને તેનાથી સમાન અંતરે છે.

5. ચતુષ્કોણ ABCO નું વિકર્ણ AC તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. આ ચતુષ્કોણ ન હોઈ શકે... એ) સમાંતરગ્રામ; b) સમચતુર્ભુજ; c) ચોરસ. 5. હકીકત એ છે કે બિંદુઓ M અને N બિંદુ K ની તુલનામાં સપ્રમાણ છે, તે અનુસરે છે કે... a) MK = 0.5 KN; b) MN=2MK; c) NK = 2MN.

6.ВD - સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ ABC માં ઊંચાઈ. કયું વિધાન ખોટું છે? a) ВD એ ત્રિકોણ ABC ની સમપ્રમાણતાનો અક્ષ છે. b) બિંદુઓ A અને C એ બિંદુ D ના સાપેક્ષ સપ્રમાણ છે. c) બિંદુ D એ ત્રિકોણ ABC ની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. 6. બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ MNPK નો કર્ણ MP એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. આ ચતુષ્કોણ ન હોઈ શકે... એ) એક લંબચોરસ; b) સમચતુર્ભુજ; c) ચોરસ.

7. એક રેખા AB ને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. કયું વિધાન સાચું છે? a) બિંદુઓ A અને B સીધી રેખા a વિશે સપ્રમાણ છે. b) બિંદુ A અને B એ રેખા a અને ખંડ AB ના આંતરછેદના બિંદુના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે. c) આ કિસ્સામાં અક્ષીય કે કેન્દ્રીય સમપ્રમાણતા નથી. 7. સમાંતરગ્રામની એક બાજુની મધ્યમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા એ તેની સમપ્રમાણતાની ધરી છે. પછી આ સમાંતર ચતુષ્કોણ ન હોઈ શકે... એ) એક લંબચોરસ; b) સમચતુર્ભુજ; c) ચોરસ.

8. બિંદુઓ A (3; - 4), B (- 3; - 4), C (- 3; 4), એક જોડી સૂચવે છે જે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ વિશે સપ્રમાણતા ધરાવે છે: a) A અને B; b) B અને C; c) A અને C. 8. બિંદુઓ વચ્ચે D (4; - 7), K (- 4; 7), P (- 4; - 7), એક જોડી સૂચવે છે જે x-અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે: a) કે અને ડી; b) K અને R; c) પી અને ડી.

9. સીધી રેખા y = x + 2 માટે, એક સીધી રેખા સૂચવો જે OY અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. a) y = -x + 2; b) y = x - 2; c) y = -x સીધી રેખા y = x + 2 માટે, એક સીધી રેખા સૂચવો જે મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે: a) y = -x + 2; b) y = x - 2; c) y = -x - 2.

જવાબો: вccabacbca 2вbcccbabbb

આ પાઠમાં આપણે અવકાશમાં સમપ્રમાણતાના પ્રકારોનું વર્ણન કરીશું અને નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાથી પરિચિત થઈશું.

પ્લેનિમેટ્રીની જેમ, અવકાશમાં આપણે બિંદુના સંદર્ભમાં અને રેખાના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતાને ધ્યાનમાં લઈશું, પરંતુ તે ઉપરાંત સમતલના સંદર્ભમાં સમપ્રમાણતા દેખાશે.

વ્યાખ્યા.

બિંદુઓ A ને બિંદુ O (સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર) ની તુલનામાં સપ્રમાણતા કહેવામાં આવે છે, જો O સેગમેન્ટની મધ્યમાં હોય. પોઈન્ટ O પોતાના માટે સપ્રમાણ છે.

આપેલ બિંદુ A માટે બિંદુ O સાથે સંબંધિત બિંદુને સપ્રમાણતા પ્રાપ્ત કરવા માટે, તમારે બિંદુ A અને O દ્વારા એક સીધી રેખા દોરવાની જરૂર છે, બિંદુ O થી OA સમાન સેગમેન્ટ દોરો અને ઇચ્છિત બિંદુ (આકૃતિ 1) મેળવો. ).

ચોખા. 1. બિંદુ વિશે સમપ્રમાણતા

એ જ રીતે, બિંદુઓ B એ બિંદુ O ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, કારણ કે O એ સેગમેન્ટની મધ્યમાં છે.

આમ, એક કાયદો આપવામાં આવ્યો છે જે મુજબ પ્લેનનો દરેક બિંદુ પ્લેનના બીજા બિંદુ પર જાય છે, અને અમે કહ્યું કે આ કિસ્સામાં કોઈપણ અંતર સાચવેલ છે, એટલે કે.

ચાલો અવકાશમાં સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા ધ્યાનમાં લઈએ.

ચોક્કસ સીધી રેખા a ના સંદર્ભમાં આપેલ બિંદુ A માટે સપ્રમાણ બિંદુ મેળવવા માટે, તમારે બિંદુ A થી સીધી રેખા સુધી લંબને નીચે કરવાની જરૂર છે અને તેના પર એક સમાન સેગમેન્ટ બનાવવો પડશે (આકૃતિ 2).

ચોખા. 2. અવકાશમાં સીધી રેખા વિશે સમપ્રમાણતા

વ્યાખ્યા.

બિંદુઓ A અને સીધી રેખા a (સપ્રમાણતાની અક્ષ) ના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ કહેવાય છે જો સીધી રેખા a સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે અને તેની પર લંબ હોય છે. સીધી રેખા પરનો દરેક બિંદુ પોતાના માટે સપ્રમાણ છે.

વ્યાખ્યા.

જો પ્લેન સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થાય અને તેની પર લંબ હોય તો પોઈન્ટ A ને પ્લેન (સપ્રમાણતાનું પ્લેન) ની તુલનામાં સપ્રમાણ કહેવામાં આવે છે. પ્લેનનો દરેક બિંદુ પોતાના માટે સપ્રમાણ છે (આકૃતિ 3).

ચોખા. 3. પ્લેનની તુલનામાં સમપ્રમાણતા

કેટલીક ભૌમિતિક આકૃતિઓમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર, સમપ્રમાણતાની અક્ષ અથવા સમપ્રમાણતાનું સમતલ હોઈ શકે છે.

વ્યાખ્યા.

બિંદુ O એ આકૃતિના સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર કહેવાય છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, સમાંતર ચતુષ્કોણ અને સમાંતર પાઇપમાં, તમામ કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે. ચાલો સમાંતર પાઈપ માટે ઉદાહરણ આપીએ.

ચોખા. 4. સમાંતર નળીઓની સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર

તેથી, સમાંતર પાઇપમાં બિંદુ O વિશે સમપ્રમાણતા સાથે બિંદુ A બિંદુમાં જાય છે, બિંદુ B બિંદુમાં જાય છે, વગેરે, આમ સમાંતર પાઇપ પોતે જ જાય છે.

વ્યાખ્યા.

એક સીધી રેખાને આકૃતિની સમપ્રમાણતાની અક્ષ કહેવામાં આવે છે જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુની તુલનામાં સપ્રમાણ હોય.

ઉદાહરણ તરીકે, સમચતુર્ભુજનો દરેક કર્ણ તેના માટે સમપ્રમાણતાનો અક્ષ છે;

ચાલો અવકાશમાં એક ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લઈએ - એક લંબચોરસ સમાંતર (બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય છે, અને પાયા પર સમાન લંબચોરસ હોય છે). આવા સમાંતર પાઇપમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષો હોય છે. તેમાંથી એક સમાંતર પાઈપ (વિકર્ણોના આંતરછેદના બિંદુ) ની સમપ્રમાણતાના કેન્દ્ર અને ઉપલા અને નીચલા પાયાના કેન્દ્રોમાંથી પસાર થાય છે.

વ્યાખ્યા.

જો આકૃતિનો દરેક બિંદુ સમાન આકૃતિના અમુક બિંદુના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ હોય તો તેને આકૃતિની સમપ્રમાણતાનું સમતલ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, લંબચોરસ સમાંતર નળીઓમાં સમપ્રમાણતાના સમતલ હોય છે. તેમાંથી એક ઉપલા અને નીચલા પાયાની વિરુદ્ધ પાંસળીના મધ્યમાંથી પસાર થાય છે (આકૃતિ 5).

ચોખા. 5. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની સમપ્રમાણતાનું પ્લેન

સપ્રમાણતાના તત્વો નિયમિત પોલિહેડ્રામાં સહજ છે.

વ્યાખ્યા.

બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનને નિયમિત કહેવામાં આવે છે જો તેના બધા ચહેરા સમાન નિયમિત બહુકોણ હોય, અને દરેક શિરોબિંદુ પર સમાન સંખ્યામાં કિનારીઓ એકરૂપ થાય.

પ્રમેય.

ત્યાં કોઈ નિયમિત પોલિહેડ્રોન નથી કે જેના ચહેરા માટે નિયમિત n-gons હોય.

પુરાવો:

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે નિયમિત ષટ્કોણ હોય. તેના તમામ આંતરિક ખૂણા સમાન છે:

પછી આંતરિક ખૂણા પર મોટા હશે.

પોલિહેડ્રોનના દરેક શિરોબિંદુ પર ઓછામાં ઓછી ત્રણ ધાર એકરૂપ થાય છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક શિરોબિંદુમાં ઓછામાં ઓછા ત્રણ સમતલ ખૂણા હોય છે. તેમનો કુલ સરવાળો (જો કે દરેક તેનાથી મોટો અથવા તેના સમાન હોય) તેનાથી મોટો અથવા બરાબર છે. આ વિધાનનો વિરોધાભાસ કરે છે: બહિર્મુખ પોલિહેડ્રોનમાં, દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો કરતાં ઓછો હોય છે.

પ્રમેય સાબિત થાય છે.

ક્યુબ (આકૃતિ 6):

ચોખા. 6. ક્યુબ

સમઘન છ ચોરસનું બનેલું છે; ચોરસ એ નિયમિત બહુકોણ છે;

દરેક શિરોબિંદુ એ ત્રણ ચોરસનું શિરોબિંદુ છે, ઉદાહરણ તરીકે, શિરોબિંદુ A એ ચોરસ ચહેરા ABCD માટે સામાન્ય છે, ;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે તેમાં ત્રણ કાટખૂણોનો સમાવેશ થાય છે. આ નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે તેના કરતા ઓછું છે;

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે - કર્ણના આંતરછેદનું બિંદુ;

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાની અક્ષો હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે સીધી રેખાઓ a અને b (આકૃતિ 6), જ્યાં સીધી રેખા a વિરુદ્ધ ચહેરાના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને b વિરુદ્ધ કિનારીઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે;

ક્યુબમાં સમપ્રમાણતાના પ્લેન હોય છે, ઉદાહરણ તરીકે એક પ્લેન જે a અને b રેખાઓમાંથી પસાર થાય છે.

2. નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન (નિયમિત ત્રિકોણાકાર પિરામિડ, જેની તમામ કિનારીઓ એકબીજાની સમાન હોય છે):

ચોખા. 7. નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોન

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન ચાર સમભુજ ત્રિકોણથી બનેલું હોય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં ત્રણ સમતલ ખૂણાઓ હોય છે. આ નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે તેના કરતા ઓછું છે;

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતા અક્ષો હોય છે; તેઓ વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે સીધી રેખા MN. વધુમાં, MN એ ક્રોસિંગ સીધી રેખાઓ AB અને CD વચ્ચેનું અંતર છે, MN એ AB અને CD ની ધાર પર લંબ છે;

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાના વિમાનો હોય છે, દરેક ધાર અને વિરુદ્ધ ધારની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે (આકૃતિ 7);

નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોનમાં સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર હોતું નથી.

3. નિયમિત ઓક્ટાહેડ્રોન:

આઠ સમભુજ ત્રિકોણ ધરાવે છે;

ચાર ધાર દરેક શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થાય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે નિયમિત અષ્ટકોણમાં ચાર સમતલ ખૂણાઓ હોય છે. આ કરતાં ઓછું છે, જે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે.

4. નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોન:

વીસ સમભુજ ત્રિકોણ ધરાવે છે;

પાંચ ધાર દરેક શિરોબિંદુ પર એકરૂપ થાય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે, કારણ કે નિયમિત આઇકોસાહેડ્રોનમાં પાંચ સમતલ ખૂણાઓ હોય છે. આ કરતાં ઓછું છે, જે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે.

5. નિયમિત ડોડેકાહેડ્રોન:

બાર નિયમિત પંચકોણ ધરાવે છે;

દરેક શિરોબિંદુ પર ત્રણ કિનારીઓ એકરૂપ થાય છે;

દરેક શિરોબિંદુ પરના તમામ સમતલ ખૂણાઓનો સરવાળો છે . આ કરતાં ઓછું છે, જે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને સંતોષે છે.

તેથી, અમે અવકાશમાં સમપ્રમાણતાના પ્રકારોની તપાસ કરી અને કડક વ્યાખ્યાઓ આપી. અમે નિયમિત પોલિહેડ્રોનની વિભાવનાને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી, આવા પોલિહેડ્રાના ઉદાહરણો અને તેમના ગુણધર્મોને જોયા.

સંદર્ભો

1. આઇ.એમ. સ્મિર્નોવા, વી.એ. સ્મિર્નોવ. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ (મૂળભૂત અને વિશિષ્ટ સ્તરો) ના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠયપુસ્તક / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5મી આવૃત્તિ, રેવ. અને વધારાના - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર.
2. શારીગિન આઈ.એફ. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10-11: સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / શારીગીન I. F. - M.: બસ્ટાર્ડ, 1999. - 208 પૃષ્ઠ: ill.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. ભૂમિતિ. ગ્રેડ 10: ગણિતના ઊંડાણપૂર્વક અને વિશિષ્ટ અભ્યાસ સાથે સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ માટે પાઠયપુસ્તક /E. વી. પોટોસ્કુએવ, એલ.આઈ. ઝ્વલિચ. - 6ઠ્ઠી આવૃત્તિ., સ્ટીરિયોટાઇપ. - એમ.: બસ્ટાર્ડ, 2008. - 233 પૃષ્ઠ: બીમાર.

1. Matemonline.com ().
2. Fmclass.ru ().
3. 5klass.net ().

હોમવર્ક

1. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની સમપ્રમાણતા અક્ષોની સંખ્યા સૂચવો;
2. નિયમિત પંચકોણીય પ્રિઝમની સમપ્રમાણતાની અક્ષોની સંખ્યા સૂચવો;
3. ઓક્ટાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના વિમાનોની સંખ્યા સૂચવો;
4. એક પિરામિડ બનાવો જેમાં સમપ્રમાણતાના તમામ તત્વો હોય.