સજાતીય સિસ્ટમના વિશિષ્ટ ઉકેલો. મૂળભૂત નિર્ણય પ્રણાલી (ચોક્કસ ઉદાહરણ)

અમે અમારી ટેક્નોલોજીને પોલિશ કરવાનું ચાલુ રાખીશું પ્રાથમિક પરિવર્તનોપર રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ.
પ્રથમ ફકરાઓના આધારે, સામગ્રી કંટાળાજનક અને સામાન્ય લાગે છે, પરંતુ આ છાપ ભ્રામક છે. તકનીકોના વધુ વિકાસ ઉપરાંત, ઘણી બધી નવી માહિતી હશે, તેથી કૃપા કરીને આ લેખમાંના ઉદાહરણોની અવગણના ન કરવાનો પ્રયાસ કરો.

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ શું છે?

જવાબ પોતે સૂચવે છે. જો ફ્રી ટર્મ હોય તો રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ સજાતીય હોય છે દરેક વ્યક્તિસિસ્ટમનું સમીકરણ શૂન્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે:

તે બિલકુલ સ્પષ્ટ છે સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, એટલે કે, તેની પાસે હંમેશા ઉકેલ હોય છે. અને, સૌ પ્રથમ, જે તમારી આંખને પકડે છે તે કહેવાતા છે તુચ્છઉકેલ . તુચ્છ, જેઓ વિશેષણનો અર્થ બિલકુલ સમજી શકતા નથી, તેનો અર્થ શો-ઓફ વિના થાય છે. શૈક્ષણિક નથી, અલબત્ત, પરંતુ સમજી શકાય તેવું =) ...શા માટે ઝાડની આસપાસ હરાવ્યું, ચાલો શોધીએ કે આ સિસ્ટમમાં અન્ય કોઈ ઉકેલો છે કે કેમ:

ઉદાહરણ 1

ઉકેલ: સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલવા માટે લખવું જરૂરી છે સિસ્ટમ મેટ્રિક્સઅને પ્રાથમિક પરિવર્તનની મદદથી તેને સ્ટેપ્ડ ફોર્મમાં લાવો. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે અહીં વર્ટિકલ બાર અને ફ્રી ટર્મ્સની શૂન્ય કૉલમ લખવાની જરૂર નથી - છેવટે, તમે શૂન્ય સાથે શું કરો છો, તે શૂન્ય જ રહેશે:

(1) પ્રથમ લીટી બીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –2 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો. પ્રથમ લીટી ત્રીજી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –3 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

(2) બીજી લાઇન ત્રીજી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી, તેને –1 વડે ગુણાકાર કરવામાં આવ્યો હતો.

ત્રીજી લીટીને 3 વડે વિભાજિત કરવાનો બહુ અર્થ નથી.

પ્રાથમિક રૂપાંતરણોના પરિણામે, સમકક્ષ સજાતીય સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થાય છે , અને, ગૌસીયન પદ્ધતિના વિપરીતનો ઉપયોગ કરીને, તે ચકાસવું સરળ છે કે ઉકેલ અનન્ય છે.

જવાબ આપો:

ચાલો એક સ્પષ્ટ માપદંડ ઘડીએ: રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ છે માત્ર એક તુચ્છ ઉકેલ, જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સ રેન્ક(આ કિસ્સામાં 3) ચલોની સંખ્યાની બરાબર છે (આ કિસ્સામાં - 3 ટુકડાઓ).

ચાલો ગરમ થઈએ અને અમારા રેડિયોને પ્રાથમિક પરિવર્તનની તરંગો સાથે ટ્યુન કરીએ:

ઉદાહરણ 2

રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો

આખરે અલ્ગોરિધમને એકીકૃત કરવા માટે, ચાલો અંતિમ કાર્યનું વિશ્લેષણ કરીએ:

ઉદાહરણ 7

સજાતીય સિસ્ટમ ઉકેલો, વેક્ટર સ્વરૂપમાં જવાબ લખો.

ઉકેલ: ચાલો સિસ્ટમનું મેટ્રિક્સ લખીએ અને પ્રાથમિક રૂપાંતરણોનો ઉપયોગ કરીને તેને સ્ટેપવાઇઝ સ્વરૂપમાં લાવીએ:

(1) પ્રથમ લીટીનું ચિહ્ન બદલાઈ ગયું છે. ફરી એકવાર, હું એક તકનીક તરફ ધ્યાન દોરું છું જેનો ઘણી વખત સામનો કરવામાં આવ્યો છે, જે તમને આગલી ક્રિયાને નોંધપાત્ર રીતે સરળ બનાવવા દે છે.

(1) પ્રથમ લાઇન 2જી અને 3જી લાઇનમાં ઉમેરવામાં આવી હતી. પ્રથમ લીટી, 2 વડે ગુણાકાર, 4 થી લીટીમાં ઉમેરવામાં આવી હતી.

(3) છેલ્લી ત્રણ રેખાઓ પ્રમાણસર છે, તેમાંથી બે દૂર કરવામાં આવી છે.

પરિણામે, પ્રમાણભૂત સ્ટેપ મેટ્રિક્સ પ્રાપ્ત થાય છે, અને સોલ્યુશન ગાંઠવાળા ટ્રેક સાથે ચાલુ રહે છે:

- મૂળભૂત ચલો;
- મફત ચલો.

ચાલો મૂળભૂત ચલોને મુક્ત ચલોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ. 2જી સમીકરણમાંથી:

- 1લા સમીકરણમાં બદલો:

તેથી સામાન્ય ઉકેલ છે:

વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણમાં ત્રણ મુક્ત ચલો હોવાથી, મૂળભૂત સિસ્ટમમાં ત્રણ વેક્ટર છે.

ચાલો મૂલ્યોના ટ્રિપલને બદલીએ સામાન્ય ઉકેલમાં અને એક વેક્ટર મેળવો જેના કોઓર્ડિનેટ્સ સજાતીય સિસ્ટમના દરેક સમીકરણને સંતોષે છે. અને ફરીથી, હું પુનરાવર્તન કરું છું કે દરેક પ્રાપ્ત વેક્ટરને તપાસવું ખૂબ જ સલાહભર્યું છે - તે વધુ સમય લેશે નહીં, પરંતુ તે તમને ભૂલોથી સંપૂર્ણપણે સુરક્ષિત કરશે.

મૂલ્યોના ત્રિવિધ માટે વેક્ટર શોધો

અને છેવટે ત્રણ માટે આપણને ત્રીજો વેક્ટર મળે છે:

જવાબ આપો:, ક્યાં

જેઓ અપૂર્ણાંક મૂલ્યોને ટાળવા માંગતા હોય તેઓ ત્રિપુટીને ધ્યાનમાં લઈ શકે છે અને સમકક્ષ સ્વરૂપમાં જવાબ મેળવી શકે છે:

અપૂર્ણાંક બોલતા. ચાલો સમસ્યામાં મેળવેલ મેટ્રિક્સ જોઈએ અને ચાલો આપણે આપણી જાતને પૂછીએ: શું આગળના ઉકેલને સરળ બનાવવું શક્ય છે? છેવટે, અહીં આપણે પ્રથમ અપૂર્ણાંક દ્વારા મૂળભૂત ચલ વ્યક્ત કર્યું, પછી અપૂર્ણાંક દ્વારા મૂળભૂત ચલ, અને, મારે કહેવું જ જોઇએ, આ પ્રક્રિયા સૌથી સરળ અને સૌથી સુખદ ન હતી.

બીજો ઉકેલ:

પ્રયાસ કરવાનો વિચાર છે અન્ય આધાર ચલો પસંદ કરો. ચાલો મેટ્રિક્સ જોઈએ અને ત્રીજા સ્તંભમાં બે મુદ્દાઓ પર ધ્યાન આપીએ. તો શા માટે ટોચ પર શૂન્ય નથી? ચાલો એક વધુ પ્રાથમિક પરિવર્તન કરીએ:

રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ જેમાં તમામ મુક્ત પદો શૂન્ય સમાન હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે સજાતીય :

કોઈપણ સજાતીય સિસ્ટમ હંમેશા સુસંગત હોય છે, કારણ કે તે હંમેશા હોય છે શૂન્ય (તુચ્છ ) ઉકેલ. પ્રશ્ન એ ઊભો થાય છે કે કઈ પરિસ્થિતિઓમાં સજાતીય પ્રણાલીમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હશે.

પ્રમેય 5.2.સજાતીય પ્રણાલીમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર ત્યારે જ જો અંતર્ગત મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતા ઓછો હોય.

પરિણામ. એક ચોરસ સજાતીય સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે જો અને માત્ર જો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર ન હોય.

ઉદાહરણ 5.6.પેરામીટર l ના મૂલ્યો નક્કી કરો કે જેના પર સિસ્ટમ પાસે બિન-તુચ્છ ઉકેલો છે, અને આ ઉકેલો શોધો:

ઉકેલ. જ્યારે મુખ્ય મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય ત્યારે આ સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હશે:

આમ, જ્યારે l=3 અથવા l=2 હોય ત્યારે સિસ્ટમ બિન-તુચ્છ છે. l=3 માટે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 1 છે. પછી, માત્ર એક સમીકરણ છોડીને અને ધારી રહ્યા છીએ કે y=aઅને z=b, અમને મળે છે x=b-a, એટલે કે

l=2 માટે, સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ 2 છે. પછી, આધાર તરીકે નાનાને પસંદ કરીને:

અમને એક સરળ સિસ્ટમ મળે છે

અહીંથી આપણે તે શોધીએ છીએ x=z/4, y=z/2. માનતા z=4a, અમને મળે છે

સજાતીય સિસ્ટમના તમામ ઉકેલોનો સમૂહ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે રેખીય મિલકત : જો કૉલમ X 1 અને એક્સ 2 - સજાતીય સિસ્ટમના ઉકેલો AX = 0, પછી તેમાંથી કોઈપણ રેખીય સંયોજન a એક્સ 1 + b એક્સ 2 આ સિસ્ટમનો ઉકેલ પણ હશે. ખરેખર, ત્યારથી AX 1 = 0 અને AX 2 = 0 , તે એ(એ એક્સ 1 + b એક્સ 2) = એ AX 1 + b AX 2 = a · 0 + b · 0 = 0. તે આ ગુણધર્મને કારણે છે કે જો રેખીય પ્રણાલીમાં એક કરતાં વધુ ઉકેલો હોય, તો આ ઉકેલોની અસંખ્ય સંખ્યા હશે.

રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ ઇ 1 , ઇ 2 , એક, જે સજાતીય પ્રણાલીના ઉકેલો છે, કહેવામાં આવે છે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ રેખીય સમીકરણોની સજાતીય સિસ્ટમ જો આ સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ કૉલમના રેખીય સંયોજન તરીકે લખી શકાય:

જો સજાતીય સિસ્ટમ હોય nચલ, અને સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો ક્રમ બરાબર છે આર, તે k = n-r.

ઉદાહરણ 5.7.રેખીય સમીકરણોની નીચેની સિસ્ટમના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ શોધો:

ઉકેલ. ચાલો સિસ્ટમના મુખ્ય મેટ્રિક્સનો રેન્ક શોધીએ:

આમ, સમીકરણોની આ સિસ્ટમના ઉકેલોનો સમૂહ પરિમાણની રેખીય સબસ્પેસ બનાવે છે n-r= 5 - 2 = 3. ચાલો નાનાને આધાર તરીકે પસંદ કરીએ

.

પછી, ફક્ત મૂળભૂત સમીકરણો (બાકીના આ સમીકરણોનું રેખીય સંયોજન હશે) અને મૂળભૂત ચલો (અમે બાકીના, કહેવાતા મુક્ત ચલોને જમણી તરફ ખસેડીએ છીએ) ને છોડીને, અમે સમીકરણોની એક સરળ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

માનતા x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, અમે શોધીએ છીએ

, .

માનતા a= 1, b = c= 0, અમે પ્રથમ મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ; માનતા b= 1, a = c= 0, અમે બીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ; માનતા c= 1, a = b= 0, અમે ત્રીજો મૂળભૂત ઉકેલ મેળવીએ છીએ. પરિણામે, ઉકેલોની સામાન્ય મૂળભૂત સિસ્ટમ સ્વરૂપ લેશે

મૂળભૂત સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને, સજાતીય સિસ્ટમના સામાન્ય ઉકેલને આ રીતે લખી શકાય છે

એક્સ = aE 1 + bE 2 + cE 3. a

ચાલો રેખીય સમીકરણોની અસંગત પ્રણાલીના ઉકેલોના કેટલાક ગુણધર્મો નોંધીએ AX=Bઅને સમીકરણોની અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલી સાથેનો તેમનો સંબંધ AX = 0.

અસંગત સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલઅનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલી AX = 0 ના સામાન્ય ઉકેલના સરવાળો અને અસંગત પ્રણાલીના મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલના સરવાળા સમાન છે. ખરેખર, દો વાય 0 એ અસંગત પ્રણાલીનું મનસ્વી વિશિષ્ટ ઉકેલ છે, એટલે કે. એવાય 0 = બી, અને વાય- વિજાતીય સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ, એટલે કે. AY=B. એક સમાનતાને બીજીમાંથી બાદ કરીએ તો આપણને મળે છે
એ(Y-Y 0) = 0, એટલે કે. Y-Y 0 એ અનુરૂપ સજાતીય પ્રણાલીનો સામાન્ય ઉકેલ છે AX=0. આથી, Y-Y 0 = એક્સ, અથવા Y=Y 0 + એક્સ. Q.E.D.

અસંગત પ્રણાલીમાં AX = B સ્વરૂપ રહેવા દો 1 + બી 2 . પછી આવી સિસ્ટમનો સામાન્ય ઉકેલ X = X તરીકે લખી શકાય 1 + એક્સ 2 , જ્યાં AX 1 = બી 1 અને AX 2 = બી 2. આ ગુણધર્મ સામાન્ય રીતે (બીજગણિત, વિભેદક, કાર્યાત્મક, વગેરે) કોઈપણ રેખીય સિસ્ટમોની સાર્વત્રિક મિલકતને વ્યક્ત કરે છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આ ગુણધર્મ કહેવાય છે સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત, ઇલેક્ટ્રિકલ અને રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં - સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત. ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય વિદ્યુત સર્કિટના સિદ્ધાંતમાં, કોઈપણ સર્કિટમાં વર્તમાન દરેક ઉર્જા સ્ત્રોત દ્વારા અલગથી થતા પ્રવાહોના બીજગણિત સરવાળા તરીકે મેળવી શકાય છે.

સેવાનો હેતુ. ઑનલાઇન કેલ્ક્યુલેટર SLAE માટે બિન-તુચ્છ અને મૂળભૂત ઉકેલ શોધવા માટે રચાયેલ છે. પરિણામી સોલ્યુશન વર્ડ ફાઇલમાં સેવ થાય છે (ઉદાહરણ સોલ્યુશન જુઓ).

સૂચનાઓ. મેટ્રિક્સ પરિમાણ પસંદ કરો:

રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમોના ગુણધર્મો

પ્રમેય. જો અને માત્ર જો આ સિસ્ટમનો નિર્ણાયક શૂન્ય સમાન હોય તો જ m=n કિસ્સામાં સિસ્ટમમાં બિન-તુચ્છ ઉકેલ હોય છે.

પ્રમેય. સિસ્ટમના ઉકેલોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન એ પણ તે સિસ્ટમનો ઉકેલ છે.
વ્યાખ્યા. રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોના સમૂહને કહેવામાં આવે છે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ, જો આ સમૂહમાં રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો હોય અને સિસ્ટમનો કોઈપણ ઉકેલ આ ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન હોય.

પ્રમેય. જો સિસ્ટમ મેટ્રિક્સનો ક્રમ r અજ્ઞાતની સંખ્યા n કરતા ઓછો હોય, તો ત્યાં (n-r) ઉકેલો ધરાવતા ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ અસ્તિત્વમાં છે.

રેખીય સજાતીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. મેટ્રિક્સનો ક્રમ શોધવો.
2. અમે મૂળભૂત માઇનોર પસંદ કરીએ છીએ. અમે આશ્રિત (મૂળભૂત) અને મુક્ત અજ્ઞાતને અલગ પાડીએ છીએ.
3. અમે સિસ્ટમના તે સમીકરણોને વટાવીએ છીએ કે જેના ગુણાંક બેઝિસ માઇનરમાં શામેલ નથી, કારણ કે તે અન્યના પરિણામો છે (આધારિત ગૌણ પરના પ્રમેય મુજબ).
4. અમે મુક્ત અજ્ઞાત ધરાવતા સમીકરણોની શરતોને જમણી બાજુએ ખસેડીએ છીએ. પરિણામે, આપણે r અજ્ઞાત સાથે r સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ, જે આપેલ સમકક્ષ છે, જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.
5. અમે અજાણ્યાઓને દૂર કરીને પરિણામી સિસ્ટમને હલ કરીએ છીએ. અમે મુક્ત રાશિઓ દ્વારા આશ્રિત ચલોને વ્યક્ત કરતા સંબંધો શોધીએ છીએ.
6. જો મેટ્રિક્સનો ક્રમ ચલોની સંખ્યા જેટલો ન હોય, તો આપણે સિસ્ટમનો મૂળભૂત ઉકેલ શોધી શકીએ છીએ.
7. કિસ્સામાં rang = n અમારી પાસે એક તુચ્છ ઉકેલ છે.

ઉદાહરણ. વેક્ટર્સ સિસ્ટમનો આધાર શોધો (a 1, a 2,...,a m), ક્રમાંક આપો અને આધારના આધારે વેક્ટર્સને વ્યક્ત કરો. જો a 1 =(0,0,1,-1), અને 2 =(1,1,2,0), અને 3 =(1,1,1,1), અને 4 =(3,2,1 ,4), અને 5 =(2,1,0,3).
ચાલો સિસ્ટમનું મુખ્ય મેટ્રિક્સ લખીએ:

સજાતીય પ્રણાલી હંમેશા સુસંગત હોય છે અને તેનો નજીવો ઉકેલ હોય છે
. બિન-તુચ્છ ઉકેલ અસ્તિત્વમાં છે તે માટે, તે જરૂરી છે કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ અજાણ્યાઓની સંખ્યા કરતાં ઓછી હતી:

.

ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ સજાતીય સિસ્ટમ
કૉલમ વેક્ટરના સ્વરૂપમાં ઉકેલોની સિસ્ટમને કૉલ કરો
, જે કેનોનિકલ આધારને અનુરૂપ છે, એટલે કે. જેના આધારે મનસ્વી સ્થિરાંકો
વૈકલ્પિક રીતે એકની બરાબર સેટ કરો, જ્યારે બાકીનાને શૂન્યની બરાબર સેટ કરો.

પછી સજાતીય પ્રણાલીના સામાન્ય ઉકેલમાં આ સ્વરૂપ છે:

જ્યાં
- મનસ્વી સ્થિરાંકો. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, એકંદર ઉકેલ એ ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમનું રેખીય સંયોજન છે.

આમ, સામાન્ય ઉકેલોમાંથી મૂળભૂત ઉકેલો મેળવી શકાય છે જો મુક્ત અજાણ્યાઓને બદલામાં એકનું મૂલ્ય આપવામાં આવે, બાકીના બધાને શૂન્યની બરાબર સેટ કરવામાં આવે.

ઉદાહરણ. ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ

ચાલો સ્વીકારીએ, પછી આપણને ફોર્મમાં ઉકેલ મળે છે:

ચાલો હવે ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવીએ:

.

સામાન્ય ઉકેલ આ રીતે લખવામાં આવશે:

સજાતીય રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલોમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સજાતીય પ્રણાલીમાં ઉકેલોનું કોઈપણ રેખીય સંયોજન એ ફરીથી ઉકેલ છે.

ગૌસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી

રેખીય સમીકરણોની પ્રણાલીઓ ઉકેલવામાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને ઘણી સદીઓથી રસ છે. પ્રથમ પરિણામો 18 મી સદીમાં પ્રાપ્ત થયા હતા. 1750 માં, જી. ક્રેમર (1704-1752) એ ચોરસ મેટ્રિક્સના નિર્ધારકો પર તેમની રચનાઓ પ્રકાશિત કરી અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. 1809 માં, ગૌસે એક નવી ઉકેલ પદ્ધતિની રૂપરેખા આપી જે દૂર કરવાની પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાય છે.

ગૌસીયન પદ્ધતિ, અથવા અજાણ્યાઓને ક્રમિક દૂર કરવાની પદ્ધતિ, એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે, પ્રારંભિક પરિવર્તનની મદદથી, સમીકરણોની સિસ્ટમને એક પગલા (અથવા ત્રિકોણાકાર) સ્વરૂપની સમકક્ષ સિસ્ટમમાં ઘટાડવામાં આવે છે. આવી સિસ્ટમો ચોક્કસ ક્રમમાં તમામ અજાણ્યાઓને ક્રમિક રીતે શોધવાનું શક્ય બનાવે છે.

ચાલો ધારીએ કે સિસ્ટમમાં (1)
(જે હંમેશા શક્ય છે).

(1)

કહેવાતા દ્વારા પ્રથમ સમીકરણનો એક પછી એક ગુણાકાર યોગ્ય સંખ્યાઓ

અને સિસ્ટમના અનુરૂપ સમીકરણો સાથે ગુણાકારનું પરિણામ ઉમેરીને, અમે એક સમકક્ષ સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ જેમાં પ્રથમ સિવાયના તમામ સમીકરણોમાં કોઈ અજ્ઞાત રહેશે નહીં. એક્સ 1

(2)

ચાલો હવે સિસ્ટમ (2) ના બીજા સમીકરણને યોગ્ય સંખ્યાઓ વડે ગુણાકાર કરીએ, એમ ધારીએ

,

અને તેને નીચલા રાશિઓ સાથે ઉમેરીને, અમે વેરીએબલને દૂર કરીએ છીએ બધા સમીકરણોમાંથી, ત્રીજાથી શરૂ કરીને.

આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખવી, પછી
પગલું આપણે મેળવીએ છીએ:

(3)

જો ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા
શૂન્યની બરાબર નથી, તો અનુરૂપ સમાનતા વિરોધાભાસી છે અને સિસ્ટમ (1) અસંગત છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ સંયુક્ત નંબર સિસ્ટમ માટે
શૂન્ય સમાન છે. નંબર સિસ્ટમના મેટ્રિક્સ (1) ના રેન્ક કરતાં વધુ કંઈ નથી.

સિસ્ટમ (1) થી (3) માં સંક્રમણ કહેવામાં આવે છે સીધા આગળ ગૌસ પદ્ધતિ, અને (3) માંથી અજ્ઞાત શોધવા - વિપરીત માં .

ટિપ્પણી : સમીકરણો સાથે નહીં, પરંતુ સિસ્ટમના વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ (1) સાથે પરિવર્તન કરવું વધુ અનુકૂળ છે.

ઉદાહરણ. ચાલો સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધીએ

.

ચાલો સિસ્ટમનું વિસ્તૃત મેટ્રિક્સ લખીએ:

.

ચાલો અનુક્રમે (-2), (-3), (-2) વડે ગુણાકાર કરીને લીટીઓ 2,3,4માં પ્રથમ ઉમેરીએ:

.

ચાલો પંક્તિઓ 2 અને 3 ની અદલાબદલી કરીએ, પછી પરિણામી મેટ્રિક્સમાં પંક્તિ 2 ને પંક્તિ 4 થી ગુણાકાર કરીએ :

.

લીટી 4 લીટી 3 વડે ગુણાકારમાં ઉમેરો
:

.

તે સ્પષ્ટ છે કે
, તેથી, સિસ્ટમ સુસંગત છે. સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમમાંથી

અમે વિપરીત અવેજી દ્વારા ઉકેલ શોધીએ છીએ:

,
,
,
.

ઉદાહરણ 2.સિસ્ટમ માટે ઉકેલ શોધો:

.

તે સ્પષ્ટ છે કે સિસ્ટમ અસંગત છે, કારણ કે
, એ
.

ગૌસ પદ્ધતિના ફાયદા :

ક્રેમરની પદ્ધતિ કરતાં ઓછા શ્રમ-સઘન.

અસંદિગ્ધ રીતે સિસ્ટમની સુસંગતતા સ્થાપિત કરે છે અને તમને ઉકેલ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે.

કોઈપણ મેટ્રિસિસની રેન્ક નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવે છે.