જમણા સમાંતર પાઈપ વચ્ચે શું તફાવત છે? વળેલું સમાંતર: ગણિતના શિક્ષક માટે ગુણધર્મો, સૂત્રો અને કાર્યો

અથવા (સમાન રીતે) પોલિહેડ્રોન, જેમાં છ ચહેરા છે અને તેમાંથી દરેક - સમાંતરગ્રામ.

સમાંતર ના પ્રકાર

ત્યાં ઘણા પ્રકારના સમાંતર પાઈપ છે:

ક્યુબોઇડ એ સમાંતર પાઇપ છે જેના ચહેરા બધા લંબચોરસ છે.
જમણી બાજુની સમાંતરપાઈપ એ 4 બાજુના ચહેરાઓ સાથેની સમાંતર છે જે લંબચોરસ છે.
વળેલું સમાંતરપાઈપ એ સમાંતર નળી છે જેની બાજુના ચહેરા પાયાને લંબરૂપ નથી.

મૂળભૂત તત્વો

સમાન કિનારી ધરાવતા ન હોય તેવા સમાંતર ના બે ચહેરાઓને વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે, અને જે સામાન્ય ધાર ધરાવતા હોય તેને સંલગ્ન કહેવામાં આવે છે. સમાન ચહેરાના ન હોય તેવા સમાંતર નળીઓના બે શિરોબિંદુઓ વિરુદ્ધ કહેવાય છે. વિરુદ્ધ શિરોબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને સમાંતર નળીનો કર્ણ કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય શિરોબિંદુ ધરાવતા લંબચોરસ સમાંતરની ત્રણ ધારની લંબાઈને તેના પરિમાણો કહેવામાં આવે છે.

ગુણધર્મો

સમાંતર પાઇપ તેના કર્ણની મધ્યમાં સપ્રમાણ છે.
પેરેલેલપાઈપની સપાટી સાથે જોડાયેલા અને તેના કર્ણની મધ્યમાંથી પસાર થતા છેડા સાથેનો કોઈપણ સેગમેન્ટ તેના દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલો છે; ખાસ કરીને, સમાંતર પાઇપના તમામ કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે અને તેના દ્વારા દ્વિભાજિત થાય છે.
સમાંતર નળીઓના વિરોધી ચહેરાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.
લંબચોરસ સમાંતર નળીઓની ત્રાંસા લંબાઈનો ચોરસ તેના ત્રણ પરિમાણના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

મૂળભૂત સૂત્રો

જમણી બાજુની સમાંતર

બાજુની સપાટી વિસ્તાર S b =P o *h, જ્યાં P o એ આધારની પરિમિતિ છે, h એ ઊંચાઈ છે

કુલ સપાટી વિસ્તાર S p =S b +2S o, જ્યાં S o એ પાયાનો વિસ્તાર છે

વોલ્યુમ V=S o *h

લંબચોરસ સમાંતર

બાજુની સપાટી વિસ્તાર S b =2c(a+b), જ્યાં a, b એ પાયાની બાજુઓ છે, c એ લંબચોરસ સમાંતરની બાજુની ધાર છે

કુલ સપાટી વિસ્તાર S p =2(ab+bc+ac)

વોલ્યુમ V=abc, જ્યાં a, b, c એ લંબચોરસ સમાંતર ના પરિમાણ છે.

ક્યુબ

સપાટી વિસ્તાર: $S=6a^2$
વોલ્યુમ: $V=a^3$ , ક્યાં $a$ - એક ક્યુબની ધાર.

કોઈપણ સમાંતર

વળાંકવાળા સમાંતર પાઇપમાં વોલ્યુમ અને ગુણોત્તર ઘણીવાર વેક્ટર બીજગણિતનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે. એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી સમાંતર નળીઓની ત્રણ બાજુઓ દ્વારા નિર્ધારિત ત્રણ વેક્ટરના મિશ્રિત ઉત્પાદનના સંપૂર્ણ મૂલ્યની સમાન સમાંતર પાઇપનું પ્રમાણ છે. સમાંતર નળીઓની બાજુઓની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓ વચ્ચેનો સંબંધ એ નિવેદન આપે છે કે દર્શાવેલ ત્રણ વેક્ટરનો ગ્રામ નિર્ણાયક તેમના મિશ્રિત ઉત્પાદનના ચોરસ સમાન છે: 215.

ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં

એન-ડાયમેન્શનલ ક્યુબોઇડ હેઠળ ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં $બી$ ઘણા મુદ્દાઓ સમજો $x = (x_1,\ldots,x_n)$ પ્રકારની $B = $x|a_1\leqslant x_1\leqslant b_1,\ldots,a_n\leqslant x_n\leqslant b_n$$

લેખ "સમાંતર" વિશે સમીક્ષા લખો

નોંધો

લિંક્સ

સાચો

સાચો
બિન-બહિર્મુખ

બહિર્મુખ

સૂત્રો,
પ્રમેય
સિદ્ધાંતો

અન્ય

પેરેલેલેપાઇપનું લક્ષણ દર્શાવતો એક અવતરણ

- ઓન ડીટ ક્યુ લેસ રિવોક્સ સે સોન્ટ ગ્રેસ એ એન્જીન સાથે સમાધાન... [તેઓ કહે છે કે આ બીમારીને કારણે હરીફો વચ્ચે સમાધાન થયું હતું.]
એન્જીન શબ્દ ખૂબ આનંદ સાથે પુનરાવર્તિત થયો.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait Dangereux. [જૂની ગણતરી ખૂબ જ હૃદયસ્પર્શી છે, તેઓ કહે છે. તે બાળકની જેમ રડ્યો જ્યારે ડૉક્ટર તે ખતરનાક કેસ જણાવ્યું હતું.]
- ઓહ, CE serait une perte ભયંકર. C"est une femme ravissante. [ઓહ, તે એક મોટી ખોટ હશે. આવી સુંદર સ્ત્રી.]
"વૂસ પાર્લેઝ દે લા પૌવરે કોમ્ટેસે," અન્ના પાવલોવનાએ નજીક આવતાં કહ્યું. "J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde," અન્ના પાવલોવનાએ તેના ઉત્સાહ પર સ્મિત સાથે કહ્યું. – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [તમે ગરીબ કાઉન્ટેસ વિશે વાત કરો છો... મેં તેણીની તબિયત વિશે જાણવા માટે મોકલ્યું છે. તેઓએ મને કહ્યું કે તેણી થોડી સારી અનુભવી રહી છે. ઓહ, કોઈ શંકા વિના, આ વિશ્વની સૌથી સુંદર સ્ત્રી છે. અમે અલગ-અલગ શિબિરો સાથે જોડાયેલા છીએ, પરંતુ તે મને તેણીની યોગ્યતાઓ પર માન આપવાથી રોકતું નથી. તે ખૂબ નાખુશ છે.] - અન્ના પાવલોવનાએ ઉમેર્યું.
આ શબ્દોથી અન્ના પાવલોવના કાઉન્ટેસની માંદગી પરની ગુપ્તતાનો પડદો સહેજ ઉઠાવી રહી હોવાનું માનતા, એક બેદરકાર યુવાને પોતાને આશ્ચર્ય વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપી કે પ્રખ્યાત ડોકટરોને બોલાવવામાં આવ્યા ન હતા, પરંતુ કાઉન્ટેસની સારવાર ચાર્લાટન દ્વારા કરવામાં આવી રહી હતી જે ખતરનાક આપી શકે છે. ઉપાયો
"Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes," અન્ના પાવલોવનાએ અચાનક બિનઅનુભવી યુવાન પર ઝેરી હુમલો કર્યો. – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [તમારા સમાચાર મારા કરતાં વધુ સચોટ હોઈ શકે છે... પરંતુ હું સારા સ્ત્રોતોથી જાણું છું કે આ ડૉક્ટર ખૂબ જ વિદ્વાન અને કુશળ વ્યક્તિ છે. આ સ્પેનની રાણીના જીવન ચિકિત્સક છે.] - અને આ રીતે યુવાનનો નાશ કરીને, અન્ના પાવલોવના બિલીબિન તરફ વળ્યા, જેમણે, બીજા વર્તુળમાં, ચામડી ઉપાડી લીધી અને દેખીતી રીતે, અનમોટ કહેવા માટે તેને ઢીલું કરવા જઈ રહ્યા હતા, બોલ્યા. ઑસ્ટ્રિયન વિશે.
"Je trouve que c"est charmant! [મને તે મોહક લાગે છે!]," તેમણે રાજદ્વારી કાગળ વિશે કહ્યું કે જેની સાથે વિટગેન્સ્ટેઇન દ્વારા લેવામાં આવેલા ઑસ્ટ્રિયન બેનરો વિયેનામાં મોકલવામાં આવ્યા હતા, le heros de Petropol [પેટ્રોપોલનો હીરો] (જેમ કે તે પીટર્સબર્ગમાં બોલાવવામાં આવ્યો હતો).
- કેવી રીતે, આ કેવી રીતે છે? - અન્ના પાવલોવના તેની તરફ વળ્યા, મોટ સાંભળવા માટે મૌન જાગૃત કર્યા, જે તેણી પહેલેથી જ જાણતી હતી.
અને બિલિબિને તેણે સંકલિત રાજદ્વારી રવાનગીના નીચેના મૂળ શબ્દોનું પુનરાવર્તન કર્યું:
"L"Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," બિલિબિને કહ્યું, "drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [સમ્રાટ ઑસ્ટ્રિયન બેનરો, મૈત્રીપૂર્ણ અને ખોવાયેલા બેનરો મોકલે છે જે તેને વાસ્તવિક રસ્તાની બહાર મળ્યાં હતાં.], ” બિલીબિન સમાપ્ત થયું, ત્વચાને ઢીલી કરી.
"મોહક, મોહક, [લવલી, મોહક," પ્રિન્સ વેસિલીએ કહ્યું.
"C"est la route de Varsovie peut être, [આ વોર્સો રોડ છે, કદાચ.] - પ્રિન્સ હિપ્પોલિટે મોટેથી અને અનપેક્ષિત રીતે કહ્યું. બધાએ તેની તરફ પાછળ જોયું, તે આ દ્વારા શું કહેવા માંગે છે તે સમજી શક્યા નહીં. પ્રિન્સ હિપ્પોલિટે પણ પાછળ જોયું. તેની આસપાસ ખુશખુશાલ આશ્ચર્ય સાથે, તે, તેના રાજદ્વારી કારકિર્દી દરમિયાન, તેણે જે શબ્દો બોલ્યા તેનો અર્થ શું છે તે સમજી શક્યું નહીં, તેણે એક કરતા વધુ વખત નોંધ્યું કે આ રીતે બોલાયેલા શબ્દો અચાનક ખૂબ જ રમૂજી બની ગયા. "કદાચ તે ખૂબ જ સારી રીતે કામ કરશે," તેમણે વિચાર્યું, "અને જો તે કામ કરતું નથી, તો તેઓ તેને ત્યાં ગોઠવી શકશે." અણઘડ મૌન શાસન કર્યું, તે અન્ના પાવલોવનામાં પ્રવેશ્યો, અને તેણીએ, હસતાં અને ઇપ્પોલિટ પર તેની આંગળી હલાવી, પ્રિન્સ વેસિલીને ટેબલ પર આમંત્રણ આપ્યું, અને, તેને બે મીણબત્તીઓ અને હસ્તપ્રત સાથે રજૂ કરીને, બધું મૌન થઈ ગયું .

લંબચોરસ સમાંતર

એક લંબચોરસ સમાંતર એક જમણી બાજુની સમાંતર છે જેમાં તેના બધા ચહેરા લંબચોરસ હોય છે.

આપણી આસપાસ જોવા માટે તે પૂરતું છે, અને આપણે જોઈશું કે આપણી આસપાસની વસ્તુઓનો આકાર સમાંતર પાઈપ જેવો છે. તેઓ રંગ દ્વારા ઓળખી શકાય છે, તેમાં ઘણી વધારાની વિગતો છે, પરંતુ જો આ સૂક્ષ્મતાને છોડી દેવામાં આવે, તો આપણે કહી શકીએ કે, ઉદાહરણ તરીકે, કેબિનેટ, બોક્સ, વગેરે, લગભગ સમાન આકાર ધરાવે છે.

અમે લગભગ દરરોજ લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની વિભાવના પર આવીએ છીએ! આસપાસ જુઓ અને મને કહો કે તમને લંબચોરસ સમાંતર નળીઓ ક્યાં દેખાય છે? પુસ્તક જુઓ, બરાબર એ જ આકાર છે! ઈંટ, એક મેચબોક્સ, લાકડાનો એક બ્લોક સમાન આકાર ધરાવે છે, અને અત્યારે પણ તમે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપની અંદર છો, કારણ કે વર્ગખંડ આ ભૌમિતિક આકૃતિનું સૌથી તેજસ્વી અર્થઘટન છે.

વ્યાયામ:તમે પેરેલેલેપાઇપના કયા ઉદાહરણોનું નામ આપી શકો છો?

ચાલો ક્યુબોઇડ પર નજીકથી નજર કરીએ. અને આપણે શું જોઈએ છીએ?

પ્રથમ, આપણે જોઈએ છીએ કે આ આકૃતિ છ લંબચોરસમાંથી બનેલી છે, જે ઘનચક્રના ચહેરા છે;

બીજું, ક્યુબોઇડમાં આઠ શિરોબિંદુઓ અને બાર ધાર હોય છે. ક્યુબોઇડની કિનારીઓ તેના ચહેરાની બાજુઓ છે, અને ઘનકારની શિરોબિંદુઓ ચહેરાના શિરોબિંદુઓ છે.

વ્યાયામ:

1. લંબચોરસ સમાંતર ના દરેક ચહેરાનું નામ શું છે? 2. સમાંતરગ્રામને કયા પરિમાણોથી માપી શકાય છે? 3. વિરુદ્ધ ચહેરાઓ વ્યાખ્યાયિત કરો.

સમાંતર પાઈપેડના પ્રકાર

પરંતુ સમાંતર પાઈપેડ માત્ર લંબચોરસ જ નથી, પરંતુ તે સીધી અને ઝોકવાળી પણ હોઈ શકે છે, અને સીધી રેખાઓ લંબચોરસ, બિન-લંબચોરસ અને ક્યુબ્સમાં વિભાજિત થાય છે.

અસાઇનમેન્ટ: ચિત્ર જુઓ અને કહો કે તેના પર કયા સમાંતર પાઇપ્સ બતાવવામાં આવ્યા છે. લંબચોરસ સમાંતર ક્યુબથી કેવી રીતે અલગ પડે છે?

લંબચોરસ સમાંતરના ગુણધર્મો

લંબચોરસ સમાંતર પાઈપમાં સંખ્યાબંધ મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો છે:

પ્રથમ, આ ભૌમિતિક આકૃતિના કર્ણનો ચોરસ તેના ત્રણ મુખ્ય પરિમાણોના ચોરસના સરવાળા જેટલો છે: ઊંચાઈ, પહોળાઈ અને લંબાઈ.

બીજું, તેના ચારેય કર્ણ એકદમ સરખા છે.

ત્રીજે સ્થાને, જો સમાંતર નળીઓના ત્રણેય પરિમાણો સમાન હોય, એટલે કે લંબાઈ, પહોળાઈ અને ઊંચાઈ સમાન હોય, તો આવા સમાંતર નાઈપને ક્યુબ કહેવામાં આવે છે, અને તેના બધા ચહેરા સમાન ચોરસ સમાન હશે.

વ્યાયામ

1. શું લંબચોરસ સમાંતર નળી સમાન બાજુઓ ધરાવે છે? જો ત્યાં કોઈ હોય, તો પછી તેમને આકૃતિમાં બતાવો. 2. લંબચોરસ સમાંતર ના ચહેરાઓ કયા ભૌમિતિક આકારો ધરાવે છે? 3. એકબીજાના સંબંધમાં સમાન ધારની ગોઠવણી શું છે? 4. આ આકૃતિના સમાન ચહેરાઓની જોડીની સંખ્યાને નામ આપો. 5. લંબચોરસ સમાંતરમાં ધાર શોધો જે તેની લંબાઈ, પહોળાઈ, ઊંચાઈ દર્શાવે છે. તમે કેટલા ગણ્યા?

કાર્ય

તેની માતા માટે જન્મદિવસની ભેટને સુંદર રીતે સજાવવા માટે, તાન્યાએ લંબચોરસ સમાંતર આકારનું એક બોક્સ લીધું. આ બોક્સનું કદ 25cm*35cm*45cm છે. આ પેકેજિંગને સુંદર બનાવવા માટે, તાન્યાએ તેને સુંદર કાગળથી આવરી લેવાનું નક્કી કર્યું, જેની કિંમત 1 dm2 દીઠ 3 રિવનિયા છે. રેપિંગ પેપર પર તમારે કેટલા પૈસા ખર્ચવા જોઈએ?

શું તમે જાણો છો કે પ્રસિદ્ધ ભ્રાંતિવાદી ડેવિડ બ્લેને પ્રયોગના ભાગ રૂપે થેમ્સ પર લટકાવેલા કાચના સમાંતર પાઇપમાં 44 દિવસ ગાળ્યા હતા. આ 44 દિવસ સુધી તેણે ખાધું નહોતું, માત્ર પાણી પીધું હતું. તેની સ્વૈચ્છિક જેલમાં, ડેવિડે ફક્ત લેખન સામગ્રી, એક ઓશીકું અને ગાદલું અને રૂમાલ લીધો.

આ પાઠમાં, દરેક વ્યક્તિ "લંબચોરસ સમાંતર" વિષયનો અભ્યાસ કરી શકશે. પાઠની શરૂઆતમાં, આપણે મનસ્વી અને સીધા સમાંતર નળીઓ શું છે તેનું પુનરાવર્તન કરીશું, તેમના વિરોધી ચહેરાઓ અને સમાંતરના કર્ણના ગુણધર્મોને યાદ રાખીશું. પછી આપણે ક્યુબોઇડ શું છે તે જોઈશું અને તેના મૂળભૂત ગુણધર્મોની ચર્ચા કરીશું.

વિષય: રેખાઓ અને વિમાનોની લંબરૂપતા

પાઠ: ઘન

બે સમાન સમાંતર ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 અને ચાર સમાંતર ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 ની બનેલી સપાટી કહેવાય છે. સમાંતર(ફિગ. 1).

ચોખા. 1 સમાંતર

એટલે કે: આપણી પાસે બે સમાન સમાંતર ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 (બેઝ) છે, તેઓ સમાંતર સમતલમાં આવેલા છે જેથી બાજુની ધાર AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 સમાંતર હોય. આમ, સમાંતરગ્રામની બનેલી સપાટી કહેવાય છે સમાંતર.

આમ, સમાંતર નળીઓની સપાટી એ સમાંતર નળીઓ બનાવેલા તમામ સમાંતરગ્રામોનો સરવાળો છે.

1. સમાંતર નળીઓના વિરોધી ચહેરાઓ સમાંતર અને સમાન હોય છે.

(આકારો સમાન છે, એટલે કે, તેમને ઓવરલેપ કરીને જોડી શકાય છે)

ઉદાહરણ તરીકે:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (વ્યાખ્યા પ્રમાણે સમાન સમાંતરગ્રામ),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (કારણ કે AA 1 B 1 B અને DD 1 C 1 C સમાંતર નળીઓના વિરુદ્ધ ચહેરા છે),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (કારણ કે AA 1 D 1 D અને BB 1 C 1 C સમાંતર નળીઓના વિરુદ્ધ ચહેરા છે).

2. સમાંતર નળીઓના કર્ણ એક બિંદુ પર છેદે છે અને આ બિંદુથી દ્વિભાજિત થાય છે.

સમાંતર AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ના કર્ણ એક બિંદુ O પર છેદે છે, અને દરેક કર્ણ આ બિંદુ (ફિગ. 2) દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલું છે.

ચોખા. 2 સમાંતરપાઈપવાળા કર્ણ એકબીજાને છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચાયેલા છે.

3. સમાંતર નળીઓની સમાન અને સમાંતર ધારના ત્રણ ચતુષ્કોણ હોય છે: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

વ્યાખ્યા. જો તેની બાજુની કિનારીઓ પાયાને લંબરૂપ હોય તો સમાંતર નળીઓને સીધી કહેવામાં આવે છે.

બાજુની ધાર AA 1 ને આધાર (ફિગ. 3) પર લંબરૂપ થવા દો. આનો અર્થ એ છે કે સીધી રેખા AA 1 એ સીધી રેખાઓ AD અને AB માટે લંબરૂપ છે, જે આધારના સમતલમાં આવેલી છે. આનો અર્થ એ છે કે બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ ધરાવે છે. અને પાયામાં મનસ્વી સમાંતરગ્રામો હોય છે. ચાલો ∠BAD = φ સૂચવીએ, કોણ φ કોઈપણ હોઈ શકે છે.

ચોખા. 3 જમણી બાજુની સમાંતર

તેથી, જમણી બાજુની સમાંતર નળીઓ એ સમાંતર પાઇપ છે જેમાં બાજુની કિનારીઓ સમાંતર ના પાયા પર લંબરૂપ હોય છે.

વ્યાખ્યા. સમાંતર પાઇપને લંબચોરસ કહેવામાં આવે છે,જો તેની બાજુની કિનારીઓ આધારને લંબરૂપ હોય. પાયા લંબચોરસ છે.

સમાંતર ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 લંબચોરસ છે (ફિગ. 4), જો:

1. AA 1 ⊥ ABCD (બેઝના પ્લેન પર લંબરૂપ બાજુની ધાર, એટલે કે સીધી સમાંતર)

2. ∠BAD = 90°, એટલે કે આધાર એક લંબચોરસ છે.

ચોખા. 4 લંબચોરસ સમાંતર

એક લંબચોરસ સમાંતર નળીઓ મનસ્વી સમાંતર ના તમામ ગુણધર્મો ધરાવે છે.પરંતુ ત્યાં વધારાના ગુણધર્મો છે જે ક્યુબોઇડની વ્યાખ્યામાંથી મેળવવામાં આવે છે.

તેથી, ક્યુબોઇડએક સમાંતર પાઇપ છે જેની બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબ છે. ક્યુબોઇડનો આધાર એક લંબચોરસ છે.

1. લંબચોરસ સમાંતરમાં, બધા છ ચહેરા લંબચોરસ છે.

ABCD અને A 1 B 1 C 1 D 1 વ્યાખ્યા પ્રમાણે લંબચોરસ છે.

2. બાજુની પાંસળીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય છે. આનો અર્થ એ થાય છે કે લંબચોરસ સમાંતર ના તમામ બાજુના ચહેરાઓ લંબચોરસ છે.

3. લંબચોરસ સમાંતર નળીઓના તમામ ડાયહેડ્રલ ખૂણાઓ સાચા હોય છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ધાર AB સાથે લંબચોરસ સમાંતર પાઈપવાળા ડાયહેડ્રલ કોણ, એટલે કે, એબીસી 1 અને એબીસી વિમાનો વચ્ચેના ડાયહેડ્રલ કોણને ધ્યાનમાં લઈએ.

AB એ એક ધાર છે, બિંદુ A 1 એક પ્લેનમાં આવેલું છે - પ્લેન ABB 1 માં, અને બિંદુ D બીજામાં - પ્લેન A 1 B 1 C 1 D 1 માં. પછી વિચારણા હેઠળના ડાઇહેડ્રલ કોણને પણ નીચે પ્રમાણે સૂચિત કરી શકાય છે: ∠A 1 ABD.

ચાલો ધાર AB પર બિંદુ A લઈએ. AA 1 એ પ્લેન АВВ-1 માં કિનારી AB ને લંબ છે, AD એ પ્લેન ABC માં કિનારી AB ને લંબ છે. આનો અર્થ છે કે ∠A 1 AD એ આપેલ ડાયહેડ્રલ કોણનો રેખીય કોણ છે. ∠A 1 AD = 90°, જેનો અર્થ છે કે ધાર AB પરનો ડાયહેડ્રલ કોણ 90° છે.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90°.

એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે લંબચોરસ સમાંતર ના કોઈપણ ડાયહેડ્રલ કોણ સાચા છે.

લંબચોરસ સમાંતરના કર્ણનો ચોરસ તેના ત્રણ પરિમાણના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

નોંધ. ક્યુબોઇડના એક શિરોબિંદુમાંથી નીકળતી ત્રણ ધારની લંબાઈ એ ઘનનું માપ છે. તેમને ક્યારેક લંબાઈ, પહોળાઈ, ઊંચાઈ કહેવામાં આવે છે.

આપેલ: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - લંબચોરસ સમાંતરપાઇપ (ફિગ. 5).

સાબિત કરો:.

ચોખા. 5 લંબચોરસ સમાંતર

પુરાવો:

સીધી રેખા CC 1 એ પ્લેન ABC માટે લંબ છે અને તેથી સીધી રેખા AC માટે. આનો અર્થ છે કે ત્રિકોણ CC 1 A કાટખૂણે છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

જમણો ત્રિકોણ ABC ને ધ્યાનમાં લો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય અનુસાર:

પરંતુ BC અને AD એ લંબચોરસની વિરુદ્ધ બાજુઓ છે. તેથી BC = AD. પછી:

કારણ કે , એ , તે. CC 1 = AA 1 હોવાથી, આ તે છે જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

લંબચોરસ સમાંતર પાઇપના કર્ણ સમાન હોય છે.

ચાલો સમાંતર ABC ના પરિમાણોને a, b, c (જુઓ. 6) તરીકે દર્શાવીએ, પછી AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

પાઠ હેતુઓ:

1. શૈક્ષણિક:

સમાંતર પાઇપ અને તેના પ્રકારોનો ખ્યાલ રજૂ કરો;
- ઘડવો (સમાંતરગ્રામ અને લંબચોરસ સાથે સામ્યતાનો ઉપયોગ કરીને) અને સમાંતરપાઇપ્ડ અને ક્યુબોઇડના ગુણધર્મોને સાબિત કરો;
- અવકાશમાં સમાંતરતા અને લંબને લગતા પ્રશ્નોનું પુનરાવર્તન કરો.

2. વિકાસલક્ષી:

વિદ્યાર્થીઓમાં જ્ઞાનાત્મક પ્રક્રિયાઓનો વિકાસ ચાલુ રાખો જેમ કે ધારણા, સમજ, વિચાર, ધ્યાન, યાદશક્તિ;
- વિચારના ગુણો (અંતર્જ્ઞાન, અવકાશી વિચારસરણી) તરીકે વિદ્યાર્થીઓમાં સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિના ઘટકોના વિકાસને પ્રોત્સાહન આપો;
- વિદ્યાર્થીઓમાં સાદ્રશ્ય સહિત તારણો કાઢવાની ક્ષમતા વિકસાવવી, જે ભૂમિતિમાં આંતર-વિષય જોડાણોને સમજવામાં મદદ કરે છે.

3. શૈક્ષણિક:

વ્યવસ્થિત કાર્યની સંસ્થા અને ટેવોના વિકાસમાં ફાળો આપો;
- નોંધો બનાવતી વખતે અને રેખાંકનો બનાવતી વખતે સૌંદર્યલક્ષી કૌશલ્યની રચનામાં ફાળો આપો.

પાઠનો પ્રકાર: પાઠ-શિક્ષણ નવી સામગ્રી (2 કલાક).

પાઠ માળખું:

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.
2. જ્ઞાન અપડેટ કરવું.
3. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ.
4. સારાંશ અને હોમવર્ક સેટ કરો.

સાધનસામગ્રી: પુરાવા સાથે પોસ્ટરો (સ્લાઇડ્સ), વિવિધ ભૌમિતિક સંસ્થાઓના મોડલ, જેમાં તમામ પ્રકારના પેરેલેલેપાઇપ, ગ્રાફિક પ્રોજેક્ટરનો સમાવેશ થાય છે.

પાઠની પ્રગતિ.

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ.

2. જ્ઞાન અપડેટ કરવું.

પાઠના વિષયની વાતચીત કરવી, વિદ્યાર્થીઓ સાથે મળીને ધ્યેયો અને ઉદ્દેશો ઘડવું, વિષયના અભ્યાસનું વ્યવહારિક મહત્વ દર્શાવવું, આ વિષયને લગતા અગાઉ અભ્યાસ કરેલા મુદ્દાઓનું પુનરાવર્તન કરવું.

3. નવી સામગ્રીનો અભ્યાસ.

3.1. સમાંતર અને તેના પ્રકારો.

પેરેલેલેપાઈપ્ડના મોડલ દર્શાવવામાં આવે છે, તેમની વિશેષતાઓને ઓળખી કાઢે છે, જે પ્રિઝમની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને પેરેલેલેપાઈપની વ્યાખ્યા ઘડવામાં મદદ કરે છે.

વ્યાખ્યા:

સમાંતરપ્રિઝમ કહેવાય છે જેનો આધાર સમાંતરગ્રામ છે.

સમાંતર પાઇપનું ડ્રોઇંગ બનાવવામાં આવે છે (આકૃતિ 1), પ્રિઝમના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે સમાંતર પાઇપના તત્વો સૂચિબદ્ધ છે. સ્લાઇડ 1 બતાવેલ છે.

વ્યાખ્યાની યોજનાકીય સંકેત:

વ્યાખ્યામાંથી તારણો ઘડવામાં આવે છે:

1) જો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 એ પ્રિઝમ છે અને ABCD સમાંતરગ્રામ છે, તો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – સમાંતર.

2) જો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - સમાંતર, તો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 એ પ્રિઝમ છે અને ABCD એ સમાંતરગ્રામ છે.

3) જો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 એ પ્રિઝમ નથી અથવા ABCD સમાંતર ચતુષ્કોણ નથી, તો
ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – નહીં સમાંતર.

4). જો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – નહીં સમાંતર, તો ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 એ પ્રિઝમ નથી અથવા ABCD એ સમાંતરગ્રામ નથી.

આગળ, વર્ગીકરણ યોજના (ફિગ. 3 જુઓ) ના નિર્માણ સાથે સમાંતર ના ખાસ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, મોડેલો દર્શાવવામાં આવે છે, સીધા અને લંબચોરસ સમાંતર પાઈપ્સના લાક્ષણિક ગુણધર્મો પ્રકાશિત કરવામાં આવે છે, અને તેમની વ્યાખ્યાઓ ઘડવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા:

જો તેની બાજુની કિનારીઓ પાયા પર લંબરૂપ હોય તો તેને સમાંતર નળી સીધી કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા:

પેરેલેલેપાઇપ્ડ કહેવાય છે લંબચોરસ, જો તેની બાજુની કિનારીઓ આધારને લંબરૂપ હોય અને આધાર લંબચોરસ હોય (આકૃતિ 2 જુઓ).

વ્યાખ્યાઓને યોજનાકીય સ્વરૂપમાં રેકોર્ડ કર્યા પછી, તેમાંથી તારણો ઘડવામાં આવે છે.

3.2. પેરેલેલેપાઇપેડના ગુણધર્મો.

પ્લાનિમેટ્રિક આકૃતિઓ માટે શોધો, જેનાં અવકાશી એનાલોગ સમાંતર અને ક્યુબોઇડ (સમાંતરગ્રામ અને લંબચોરસ) છે. આ કિસ્સામાં, અમે આંકડાઓની દ્રશ્ય સમાનતા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ. સાદ્રશ્ય દ્વારા અનુમાન નિયમનો ઉપયોગ કરીને, કોષ્ટકો ભરવામાં આવે છે.

સાદ્રશ્ય દ્વારા અનુમાન નિયમ:

1. અગાઉ અભ્યાસ કરેલા આંકડાઓમાંથી આના જેવી જ આકૃતિ પસંદ કરો.
2. પસંદ કરેલ આકૃતિની મિલકતની રચના કરો.
3. મૂળ આકૃતિની સમાન મિલકત બનાવો.
4. ઘડવામાં આવેલા નિવેદનને સાબિત કરો અથવા અસ્વીકાર કરો.

ગુણધર્મો ઘડ્યા પછી, તેમાંથી દરેકનો પુરાવો નીચેની યોજના અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે:

સાબિતી યોજનાની ચર્ચા;
પુરાવા સાથે સ્લાઇડનું પ્રદર્શન (સ્લાઇડ્સ 2 – 6);
વિદ્યાર્થીઓ તેમની નોટબુકમાં પુરાવા ભરે છે.

3.3 ક્યુબ અને તેના ગુણધર્મો.

વ્યાખ્યા: સમઘન એક લંબચોરસ સમાંતર છે જેમાં ત્રણેય પરિમાણ સમાન હોય છે.

સમાંતર સાથે સામ્યતા દ્વારા, વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે વ્યાખ્યાનું યોજનાકીય સંકેત બનાવે છે, તેમાંથી પરિણામો મેળવે છે અને ક્યુબના ગુણધર્મો ઘડે છે.

4. સારાંશ અને હોમવર્ક સેટ કરો.

ગૃહકાર્ય:

ધોરણ 10-11 માટે ભૂમિતિ પાઠ્યપુસ્તકમાંથી પાઠ નોંધોનો ઉપયોગ કરીને, L.S. અટાનાસ્યાન અને અન્ય, અધ્યાય 1, §4, ફકરો 13, પ્રકરણ 2, §3, ફકરો 24 નો અભ્યાસ કરો.
કોષ્ટકની આઇટમ 2 સમાંતર પાઈપવાળી મિલકતને સાબિત કરો અથવા ખોટી સાબિત કરો.
સુરક્ષા પ્રશ્નોના જવાબ આપો.

પરીક્ષણ પ્રશ્નો.

1. તે જાણીતું છે કે સમાંતર નળીઓના માત્ર બે બાજુના ચહેરા પાયા પર લંબ છે. સમાંતર પાઈપ કયા પ્રકારનું?

2. લંબચોરસ આકારના કેટલા બાજુના ચહેરા સમાંતર નળીવાળા હોઈ શકે છે?

3. શું માત્ર એક બાજુના ચહેરા સાથે સમાંતર પાઈપ હોવું શક્ય છે:

1) આધાર માટે લંબરૂપ;
2) લંબચોરસનો આકાર ધરાવે છે.

4. જમણી બાજુના સમાંતરમાં, બધા કર્ણ સમાન હોય છે. શું તે લંબચોરસ છે?

5. શું તે સાચું છે કે જમણા સમાંતરમાં ત્રાંસા વિભાગો પાયાના વિમાનોને લંબરૂપ છે?

6. લંબચોરસ સમાંતરના વિકર્ણના ચોરસ વિશેના પ્રમેયને વ્યસ્ત પ્રમેય જણાવો.

7. કઈ વધારાની વિશેષતાઓ ક્યુબને લંબચોરસ સમાંતરથી અલગ પાડે છે?

8. શું પેરેલેલપાઈપ એ ક્યુબ હશે જેમાં એક શિરોબિંદુ પરની બધી કિનારીઓ સમાન હોય?

9. ક્યુબના કેસ માટે ક્યુબોઇડના કર્ણના ચોરસ પર પ્રમેય જણાવો.

ગ્રીકમાંથી અનુવાદિત, સમાંતરગ્રામ એટલે વિમાન. સમાંતરપાઈપ એ તેના આધાર પર સમાંતર ચતુષ્કોણ ધરાવતું પ્રિઝમ છે. સમાંતરગ્રામના પાંચ પ્રકાર છે: ત્રાંસુ, સીધા અને ઘનકાર. ક્યુબ અને રોમ્બોહેડ્રોન પણ પેરેલેલપાઈપ સાથે સંબંધિત છે અને તેની વિવિધતા છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો પર આગળ વધતા પહેલા, ચાલો કેટલીક વ્યાખ્યાઓ આપીએ:

સમાંતર નળીનો કર્ણ એ એક સેગમેન્ટ છે જે સમાંતર નળીઓના શિરોબિંદુઓને એક કરે છે જે એકબીજાની વિરુદ્ધ હોય છે.
જો બે મુખ સમાન ધાર ધરાવે છે, તો આપણે તેને અડીને આવેલી ધાર કહી શકીએ. જો ત્યાં કોઈ સામાન્ય ધાર નથી, તો પછી ચહેરાને વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે.
બે શિરોબિંદુઓ કે જે એક જ ચહેરા પર આવેલા નથી તેને વિરુદ્ધ કહેવામાં આવે છે.

સમાંતર પાઈપમાં કયા ગુણધર્મો હોય છે?

વિરુદ્ધ બાજુઓ પર પડેલા સમાંતર નળીઓના ચહેરા એકબીજાના સમાંતર અને એકબીજાના સમાન હોય છે.
જો તમે એક શિરોબિંદુથી બીજા શિરોબિંદુ તરફ કર્ણ દોરો છો, તો આ કર્ણનો આંતરછેદ બિંદુ તેમને અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરશે.
પાયાના સમાન ખૂણા પર પડેલા સમાંતર પાઇપની બાજુઓ સમાન હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સહ-નિર્દેશિત બાજુઓના ખૂણા એકબીજાના સમાન હશે.

ત્યાં કયા પ્રકારના સમાંતર પાઈપ છે?

હવે ચાલો આકૃતિ કરીએ કે ત્યાં કયા પ્રકારની પેરેલેલેપાઈપ છે. ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, આ આકૃતિના ઘણા પ્રકારો છે: સીધી, લંબચોરસ, વળેલું સમાંતર, તેમજ ક્યુબ અને રોમ્બોહેડ્રોન. તેઓ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ પડે છે? તે બધા વિમાનો વિશે છે જે તેમને બનાવે છે અને તેઓ જે કોણ બનાવે છે.

ચાલો દરેક સૂચિબદ્ધ પ્રકારના પેરેલેલેપાઈપ પર વધુ વિગતમાં જોઈએ.

નામ પરથી પહેલાથી જ સ્પષ્ટ છે તેમ, ઝોકવાળા સમાંતરમાં ઝુકાવાયેલા ચહેરાઓ હોય છે, એટલે કે એવા ચહેરા કે જે પાયાના સંબંધમાં 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર ન હોય.
પરંતુ જમણી બાજુના સમાંતર માટે, આધાર અને ધાર વચ્ચેનો ખૂણો બરાબર નેવું ડિગ્રી છે. તે આ કારણોસર છે કે આ પ્રકારના સમાંતર પાઈપનું આવું નામ છે.
જો સમાંતરના બધા ચહેરા સમાન ચોરસ હોય, તો આ આંકડો સમઘન ગણી શકાય.
એક લંબચોરસ સમાંતર પાઈપને આ નામ મળ્યું છે કારણ કે તે બનાવે છે. જો તે બધા લંબચોરસ (બેઝ સહિત) હોય, તો આ એક ક્યુબોઇડ છે. આ પ્રકારની પેરેલેલેપાઈપ ઘણી વાર જોવા મળતી નથી. ગ્રીકમાંથી અનુવાદિત, રોમ્બોહેડ્રોનનો અર્થ ચહેરો અથવા આધાર છે. આ ત્રિ-પરિમાણીય આકૃતિને આપવામાં આવેલું નામ છે જેના ચહેરા રોમ્બસ છે.

સમાંતર પાઇપ માટે મૂળભૂત સૂત્રો

સમાંતર પાઇપનું પ્રમાણ પાયાના ક્ષેત્રફળના ગુણાંક અને તેની ઊંચાઈ પાયાના લંબ સમાન હોય છે.

બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ પાયાની પરિમિતિ અને ઊંચાઈના ઉત્પાદન જેટલું હશે.
મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને સૂત્રો જાણીને, તમે આધાર વિસ્તાર અને વોલ્યુમની ગણતરી કરી શકો છો. આધાર તમારા વિવેકબુદ્ધિથી પસંદ કરી શકાય છે. જો કે, એક નિયમ તરીકે, એક લંબચોરસનો ઉપયોગ આધાર તરીકે થાય છે.