સમ અથવા વિષમ કાર્યો. સમ અને વિષમ કાર્યોનો આલેખ

કાર્યને સમ (વિષમ) કહેવામાં આવે છે જો કોઈ હોય તો અને સમાનતા

.

સમ કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે
.

વિચિત્ર કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે.

ઉદાહરણ 6.2.તપાસો કે ફંક્શન સમ કે વિષમ છે

1)
; 2)
; 3)
.

ઉકેલ.

1) કાર્ય ક્યારે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે
. અમે શોધીશું
.

તે.
. આનો અર્થ એ છે કે આ કાર્ય સમ છે.

2) કાર્ય ક્યારે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે

તે.
. આમ, આ કાર્ય વિચિત્ર છે.

3) કાર્ય માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે, એટલે કે. માટે

,
. તેથી ફંક્શન સમ કે વિષમ નથી. ચાલો તેને સામાન્ય સ્વરૂપનું કાર્ય કહીએ.

3. એકવિધતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ.

કાર્ય
જો આ અંતરાલમાં દલીલનું દરેક મોટું મૂલ્ય ફંક્શનના મોટા (નાના) મૂલ્યને અનુરૂપ હોય તો તેને ચોક્કસ અંતરાલ પર વધતું (ઘટતું) કહેવામાં આવે છે.

ચોક્કસ અંતરાલમાં વધતા (ઘટાડા) કાર્યોને મોનોટોનિક કહેવામાં આવે છે.

જો કાર્ય
અંતરાલ પર વિભેદક
અને તેમાં સકારાત્મક (નકારાત્મક) વ્યુત્પન્ન છે
, પછી કાર્ય
આ અંતરાલ પર વધે છે (ઘટાડો).

ઉદાહરણ 6.3. કાર્યોની એકવિધતાના અંતરાલો શોધો

1)
; 3)
.

ઉકેલ.

1) આ કાર્ય સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ.

વ્યુત્પન્ન જો શૂન્ય બરાબર છે
અને
. વ્યાખ્યાનું ડોમેન બિંદુઓ દ્વારા વિભાજિત સંખ્યા અક્ષ છે
,
અંતરાલો પર. ચાલો દરેક અંતરાલમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ.

અંતરાલમાં
વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, કાર્ય આ અંતરાલ પર ઘટે છે.

અંતરાલમાં
વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, તેથી, કાર્ય આ અંતરાલ પર વધે છે.

2) આ કાર્ય વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે જો
અથવા

.

અમે દરેક અંતરાલમાં ચતુર્ભુજ ત્રિપદીનું ચિહ્ન નક્કી કરીએ છીએ.

આમ, કાર્યની વ્યાખ્યાનું ડોમેન

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ
,
, જો
, એટલે કે
, પરંતુ
. ચાલો અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ
.

અંતરાલમાં
વ્યુત્પન્ન નકારાત્મક છે, તેથી, અંતરાલ પર કાર્ય ઘટે છે
. અંતરાલમાં
વ્યુત્પન્ન હકારાત્મક છે, કાર્ય અંતરાલ પર વધે છે
.

4. અંતિમ ભાગ પર કાર્યનો અભ્યાસ.

ડોટ
કાર્યનો મહત્તમ (ન્યૂનતમ) બિંદુ કહેવાય છે
, જો બિંદુની આવી પડોશી હોય તે દરેક માટે છે
આ પડોશમાંથી અસમાનતા ધરાવે છે

.

ફંક્શનના મહત્તમ અને લઘુત્તમ બિંદુઓને એક્સ્ટ્રીમ પોઈન્ટ કહેવામાં આવે છે.

જો કાર્ય
બિંદુ પર એક્સ્ટ્રીમમ ધરાવે છે, તો આ બિંદુએ ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન શૂન્ય બરાબર છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી (એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે જરૂરી સ્થિતિ).

જે બિંદુઓ પર વ્યુત્પન્ન શૂન્ય છે અથવા અસ્તિત્વમાં નથી તેને જટિલ કહેવામાં આવે છે.

5. એક્સ્ટ્રીમમના અસ્તિત્વ માટે પૂરતી શરતો.

નિયમ 1. જો સંક્રમણ દરમિયાન (ડાબેથી જમણે) જટિલ બિંદુ દ્વારા વ્યુત્પન્ન
"+" થી "-" માં ચિહ્ન બદલો, પછી બિંદુ પર કાર્ય
મહત્તમ છે; જો “–” થી “+” હોય, તો ન્યૂનતમ; જો
ચિહ્ન બદલાતું નથી, પછી ત્યાં કોઈ અંતિમ નથી.

નિયમ 2. બિંદુ પર દો
ફંક્શનનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન
શૂન્ય બરાબર
, અને બીજું વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે અને શૂન્યથી અલગ છે. જો
, તે - મહત્તમ બિંદુ, જો
, તે - કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ.

ઉદાહરણ 6.4 . મહત્તમ અને લઘુત્તમ કાર્યોનું અન્વેષણ કરો:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

ઉકેલ.

1) કાર્ય અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે
.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ
અને સમીકરણ ઉકેલો
, એટલે કે
.અહીંથી
- નિર્ણાયક મુદ્દાઓ.

ચાલો અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ,
.

જ્યારે પોઈન્ટમાંથી પસાર થાય છે
અને
વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન “–” થી “+”, તેથી, નિયમ 1 અનુસાર
- ન્યૂનતમ પોઈન્ટ.

જ્યારે એક બિંદુ પરથી પસાર થાય છે
વ્યુત્પન્ન ફેરફારો ચિહ્ન “+” થી “–”, તેથી
- મહત્તમ બિંદુ.

,
.

2) કાર્ય અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત અને સતત છે
. ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ
.

સમીકરણ હલ કર્યા
, અમે શોધીશું
અને
- નિર્ણાયક મુદ્દાઓ. જો છેદ
, એટલે કે
, તો વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં નથી. તેથી,
- ત્રીજો નિર્ણાયક મુદ્દો. ચાલો અંતરાલોમાં વ્યુત્પન્નની નિશાની નક્કી કરીએ.

તેથી, કાર્ય બિંદુ પર ન્યૂનતમ છે
, પોઈન્ટમાં મહત્તમ
અને
.

3) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને સતત જો
, એટલે કે ખાતે
.

ચાલો વ્યુત્પન્ન શોધીએ

.

ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ:

પોઈન્ટની પડોશ
વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં નથી, તેથી તેઓ આત્યંતિક નથી. તેથી, ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓની તપાસ કરીએ
અને
.

4) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત અને અંતરાલ પર સતત છે
. ચાલો નિયમ 2 નો ઉપયોગ કરીએ. વ્યુત્પન્ન શોધો
.

ચાલો નિર્ણાયક મુદ્દાઓ શોધીએ:

ચાલો બીજું વ્યુત્પન્ન શોધીએ
અને પોઈન્ટ પર તેની નિશાની નક્કી કરો

બિંદુઓ પર
કાર્યમાં ન્યૂનતમ છે.

બિંદુઓ પર
કાર્ય મહત્તમ છે.

સમ કાર્ય.

સમએક કાર્ય છે જેનું ચિહ્ન બદલાય ત્યારે બદલાતું નથી x.

xસમાનતા ધરાવે છે f(–x) = f(x). સહી xચિહ્નને અસર કરતું નથી y.

સમ ફંક્શનનો ગ્રાફ કોઓર્ડિનેટ અક્ષ (ફિગ. 1) વિશે સપ્રમાણ છે.

સમાન કાર્યના ઉદાહરણો:

y=cos x

y = x 2

y = –x 2

y = x 4

y = x 6

y = x 2 + x

સમજૂતી:
ચાલો ફંક્શન લઈએ y = x 2 અથવા y = –x 2 .
કોઈપણ મૂલ્ય માટે xકાર્ય હકારાત્મક છે. સહી xચિહ્નને અસર કરતું નથી y. આલેખ સંકલન અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે. આ એક સમાન કાર્ય છે.

વિચિત્ર કાર્ય.

વિષમએક કાર્ય છે જેનું ચિહ્ન બદલાય છે જ્યારે ચિહ્ન બદલાય છે x.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કોઈપણ મૂલ્ય માટે xસમાનતા ધરાવે છે f(–x) = –f(x).

વિચિત્ર કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે (ફિગ. 2).

વિચિત્ર કાર્યના ઉદાહરણો:

y= પાપ x

y = x 3

y = –x 3

સમજૂતી:

ચાલો ફંક્શન y = – લઈએ x 3 .
બધા અર્થ ખાતેતેમાં માઈનસ ચિહ્ન હશે. એ નિશાની છે xચિહ્નને પ્રભાવિત કરે છે y. જો સ્વતંત્ર ચલ હકારાત્મક સંખ્યા છે, તો કાર્ય હકારાત્મક છે, જો સ્વતંત્ર ચલ નકારાત્મક સંખ્યા છે, તો કાર્ય નકારાત્મક છે: f(–x) = –f(x).
ફંક્શનનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે. આ એક વિચિત્ર કાર્ય છે.

સમ અને વિષમ કાર્યોના ગુણધર્મો:

નોંધ:

બધા કાર્યો સમ કે વિષમ હોતા નથી. એવા કાર્યો છે જે આવા ગ્રેડેશનનું પાલન કરતા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, રુટ ફંક્શન ખાતે = √એક્સસમાન અથવા વિષમ કાર્યો પર લાગુ પડતું નથી (ફિગ. 3). આવા વિધેયોના ગુણધર્મોને સૂચિબદ્ધ કરતી વખતે, યોગ્ય વર્ણન આપવું જોઈએ: ન તો સમાન કે ન તો વિચિત્ર.

સામયિક કાર્યો.

જેમ તમે જાણો છો, સામયિકતા એ ચોક્કસ સમયાંતરે અમુક પ્રક્રિયાઓનું પુનરાવર્તન છે. આ પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરતા કાર્યો કહેવામાં આવે છે સામયિક કાર્યો. એટલે કે, આ એવા કાર્યો છે જેના ગ્રાફમાં એવા તત્વો છે જે ચોક્કસ સંખ્યાત્મક અંતરાલો પર પુનરાવર્તિત થાય છે.

બેક ફોરવર્ડ

ધ્યાન આપો! સ્લાઇડ પૂર્વાવલોકનો ફક્ત માહિતીના હેતુ માટે છે અને તે પ્રસ્તુતિની તમામ સુવિધાઓને રજૂ કરી શકશે નહીં. જો તમને આ કાર્યમાં રસ હોય, તો કૃપા કરીને સંપૂર્ણ સંસ્કરણ ડાઉનલોડ કરો.

લક્ષ્યો:

• સમ અને વિષમ કાર્યોની વિભાવના ઘડવી, કાર્યોનો અભ્યાસ કરતી વખતે અને ગ્રાફનું નિર્માણ કરતી વખતે આ ગુણધર્મોને નિર્ધારિત કરવાની અને તેનો ઉપયોગ કરવાની ક્ષમતા શીખવો;
• વિદ્યાર્થીઓની સર્જનાત્મક પ્રવૃત્તિ, તાર્કિક વિચારસરણી, તુલના કરવાની ક્ષમતા અને સામાન્યીકરણનો વિકાસ કરો;
• સખત મહેનત અને ગાણિતિક સંસ્કૃતિ કેળવો; સંચાર કૌશલ્ય વિકસાવો .

સાધન:મલ્ટીમીડિયા ઇન્સ્ટોલેશન, ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ, હેન્ડઆઉટ્સ.

કામના સ્વરૂપો:શોધ અને સંશોધન પ્રવૃત્તિઓના ઘટકો સાથે આગળનો અને જૂથ.

માહિતી સ્ત્રોતો:

1. બીજગણિત 9મો વર્ગ એ.જી. મોર્ડકોવિચ. પાઠ્યપુસ્તક.
2. બીજગણિત 9મો ગ્રેડ એ.જી. મોર્ડકોવિચ. સમસ્યા પુસ્તક.
3. બીજગણિત 9મો ગ્રેડ. વિદ્યાર્થીઓના શિક્ષણ અને વિકાસ માટેના કાર્યો. બેલેન્કોવા ઇ.યુ. લેબેડેન્ટસેવા ઇ.એ.

પાઠની પ્રગતિ

1. સંસ્થાકીય ક્ષણ

પાઠ માટે લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશો સેટ કરો.

2. હોમવર્ક તપાસી રહ્યું છે

નંબર 10.17 (9મા ધોરણની સમસ્યા પુસ્તક. એ.જી. મોર્ડકોવિચ).

અ) ખાતે = f(એક્સ), f(એક્સ) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. ઇ( f) = [– 3; + ∞)
3. f(એક્સ) = 0 ખાતે એક્સ ~ 0,4
4. f(એક્સ) >0 ખાતે એક્સ > 0,4 ; f(એક્સ) < 0 при – 2 < એક્સ < 0,4.
5. જ્યારે કાર્ય વધે છે એક્સ € [– 2; + ∞)
6. કાર્ય નીચેથી મર્યાદિત છે.
7. ખાતેનઇમ = – 3, ખાતેનાયબ અસ્તિત્વમાં નથી
8. કાર્ય સતત છે.

(શું તમે ફંક્શન એક્સપ્લોરેશન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કર્યો છે?) સ્લાઇડ.

2. ચાલો સ્લાઇડમાંથી તમને પૂછવામાં આવેલ ટેબલ તપાસીએ.

ટેબલ ભરો
	વ્યાખ્યાનું ડોમેન	કાર્ય શૂન્ય	ચિહ્ન સ્થિરતાના અંતરાલો		Oy સાથે ગ્રાફના આંતરછેદના બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) યુ U(2;∞)	x € (–∞;–5) યુ U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) યુ U(2;∞)	x € (–∞;–5) યુ U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) યુ U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. જ્ઞાન અપડેટ કરવું

- કાર્યો આપવામાં આવે છે.
- દરેક કાર્ય માટે વ્યાખ્યાનો અવકાશ સ્પષ્ટ કરો.
– દલીલ મૂલ્યોની દરેક જોડી માટે દરેક ફંક્શનના મૂલ્યની તુલના કરો: 1 અને – 1; 2 અને – 2.
- વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં આમાંથી કયા કાર્યો માટે સમાનતાઓ ધરાવે છે f(– એક્સ) = f(એક્સ), f(– એક્સ) = – f(એક્સ)? (મેળવેલ ડેટા કોષ્ટકમાં દાખલ કરો) સ્લાઇડ

4. નવી સામગ્રી

– આ કામ કરતી વખતે, મિત્રો, અમે ફંક્શનની બીજી મિલકત ઓળખી, જે તમારા માટે અજાણ છે, પરંતુ અન્ય કરતા ઓછી મહત્વની નથી - આ કાર્યની સમાનતા અને વિચિત્રતા છે. પાઠનો વિષય લખો: “સમ અને વિષમ કાર્યો”, અમારું કાર્ય ફંક્શનની સમાનતા અને વિચિત્રતા નક્કી કરવાનું શીખવાનું છે, ફંક્શન્સ અને પ્લોટિંગ ગ્રાફના અભ્યાસમાં આ ગુણધર્મનું મહત્વ શોધવાનું છે.
તો ચાલો પાઠ્યપુસ્તકમાં વ્યાખ્યાઓ શોધીએ અને વાંચીએ (પૃષ્ઠ 110) . સ્લાઇડ

ડેફ. 1કાર્ય ખાતે = f (એક્સ), સમૂહ X પર વ્યાખ્યાયિત કહેવાય છે સમ, જો કોઈ મૂલ્ય માટે એક્સЄ X ચલાવવામાં આવે છે સમાનતા f(–x) = f(x). ઉદાહરણો આપો.

ડેફ. 2કાર્ય y = f(x), સમૂહ X પર વ્યાખ્યાયિત કહેવાય છે વિચિત્ર, જો કોઈ મૂલ્ય માટે એક્સЄ X સમાનતા f(–х)= –f(х) ધરાવે છે. ઉદાહરણો આપો.

આપણે “સમ” અને “વિષમ” શબ્દોને ક્યાં મળ્યા?
તમને લાગે છે કે આમાંથી કયું કાર્ય સમ હશે? શા માટે? જેઓ વિચિત્ર છે? શા માટે?
ફોર્મના કોઈપણ કાર્ય માટે ખાતે= x n, ક્યાં n- એક પૂર્ણાંક, એવી દલીલ કરી શકાય છે કે જ્યારે કાર્ય વિચિત્ર હોય છે n- વિષમ અને કાર્ય સમ હોય ત્યારે n- પણ.
- કાર્યો જુઓ ખાતે= અને ખાતે = 2એક્સ- 3 બે પણ નથી કે વિષમ પણ નથી, કારણ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ નથી f(– એક્સ) = – f(એક્સ), f(– એક્સ) = f(એક્સ)

ફંક્શન સમ કે વિષમ છે તે અભ્યાસને સમાનતા માટે ફંક્શનનો અભ્યાસ કહેવામાં આવે છે.સ્લાઇડ

વ્યાખ્યા 1 અને 2 માં આપણે x અને – x પરના ફંક્શનના મૂલ્યો વિશે વાત કરી રહ્યા હતા, તેથી એવું માનવામાં આવે છે કે ફંક્શન પણ મૂલ્ય પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે એક્સ, અને ખાતે - એક્સ.

ડેફ 3.જો સંખ્યાત્મક સમૂહ, તેના દરેક તત્વો x સાથે, વિરોધી તત્વ –x પણ ધરાવે છે, તો સમૂહ એક્સસપ્રમાણ સમૂહ કહેવાય છે.

ઉદાહરણો:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) સપ્રમાણ સમૂહો છે, અને , [–5;4] અસમપ્રમાણ છે.

- શું ફંક્શન્સમાં પણ વ્યાખ્યાનું ડોમેન છે જે સપ્રમાણ સમૂહ છે? વિચિત્ર રાશિઓ?
- જો ડી( f) એ અસમપ્રમાણ સમૂહ છે, તો પછી કાર્ય શું છે?
- આમ, જો કાર્ય ખાતે = f(એક્સ) – સમ અથવા વિષમ, પછી તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર D( f) એ સપ્રમાણ સમૂહ છે. શું કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ સાચું છે: જો ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સપ્રમાણ સમૂહ છે, તો તે સમ છે કે વિષમ?
- આનો અર્થ એ છે કે વ્યાખ્યાના ડોમેનના સપ્રમાણ સમૂહની હાજરી એ આવશ્યક સ્થિતિ છે, પરંતુ તે પર્યાપ્ત નથી.
- તો તમે પેરિટી માટે ફંક્શનની તપાસ કેવી રીતે કરશો? ચાલો એક એલ્ગોરિધમ બનાવવાનો પ્રયાસ કરીએ.

સ્લાઇડ

સમાનતા માટે કાર્યનો અભ્યાસ કરવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. ફંક્શનની વ્યાખ્યાનું ડોમેન સપ્રમાણ છે કે કેમ તે નક્કી કરો. જો નહિં, તો ફંક્શન સમ કે વિષમ નથી. જો હા, તો પછી અલ્ગોરિધમના સ્ટેપ 2 પર જાઓ.

2. માટે અભિવ્યક્તિ લખો f(–એક્સ).

3. સરખામણી કરો f(–એક્સ.અને f(એક્સ):

• જો f(–એક્સ).= f(એક્સ), પછી કાર્ય સમ છે;
• જો f(–એક્સ).= – f(એક્સ), પછી કાર્ય વિચિત્ર છે;
• જો f(–એક્સ) ≠ f(એક્સ) અને f(–એક્સ) ≠ –f(એક્સ), તો ફંક્શન બે તો સમાન કે વિષમ નથી.

ઉદાહરણો:

સમાનતા માટે કાર્ય એ) તપાસો ખાતે= x 5 +; b) ખાતે= ; વી) ખાતે= .

ઉકેલ.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), સપ્રમાણ સમૂહ.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => કાર્ય h(x)= x 5 + વિષમ.

b) y =,

ખાતે = f(એક્સ), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), એક અસમપ્રમાણ સમૂહ, જેનો અર્થ થાય છે કે ફંક્શન બે તો સમાન કે વિચિત્ર નથી.

વી) f(એક્સ) = , y = f (x),

1) ડી( f) = (–∞; 3] ≠; b) (∞; –2), (–4; 4]?

વિકલ્પ 2

1. આપેલ સેટ સપ્રમાણ છે: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

મ્યુચ્યુઅલ ચેક ચાલુ સ્લાઇડ

6. હોમવર્ક: №11.11, 11.21,11.22;

સમાનતા ગુણધર્મના ભૌમિતિક અર્થનો પુરાવો.

***(યુનિફાઇડ સ્ટેટ એક્ઝામિનેશન વિકલ્પની સોંપણી).

1. વિષમ કાર્ય y = f(x) સમગ્ર સંખ્યા રેખા પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. ચલ xના કોઈપણ બિન-નકારાત્મક મૂલ્ય માટે, આ કાર્યનું મૂલ્ય ફંક્શન g(ના મૂલ્ય સાથે મેળ ખાય છે. એક્સ) = એક્સ(એક્સ + 1)(એક્સ + 3)(એક્સ– 7). ફંક્શન h(ની કિંમત શોધો એક્સ) = ખાતે એક્સ = 3.

7. સારાંશ

વ્યાખ્યા 1. ફંક્શન કહેવાય છે સમ (વિચિત્ર ), જો દરેક ચલ મૂલ્ય સાથે હોય
અર્થ - એક્સપણ સંબંધ ધરાવે છે
અને સમાનતા ધરાવે છે

આમ, ફંક્શન સમ અથવા વિષમ તો જ હોઈ શકે જો તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર સંખ્યા રેખા (સંખ્યા એક્સઅને - એક્સતે જ સમયે સંબંધિત છે
). ઉદાહરણ તરીકે, કાર્ય
ન તો સમ કે વિચિત્ર છે, કારણ કે તેની વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર
મૂળ વિશે સપ્રમાણતા નથી.

કાર્ય
પણ, કારણ કે
મૂળ વિશે સપ્રમાણતા અને.

કાર્ય
વિચિત્ર, કારણ કે
અને
.

કાર્ય
સમ અને વિચિત્ર નથી, તેમ છતાં
અને મૂળના સંદર્ભમાં સપ્રમાણ છે, સમાનતાઓ (11.1) સંતુષ્ટ નથી. ઉદાહરણ તરીકે,.

સમ કાર્યનો ગ્રાફ અક્ષ વિશે સપ્રમાણ છે ઓહ, કારણ કે જો બિંદુ

પણ શેડ્યૂલ માટે અનુસરે છે. વિષમ કાર્યનો ગ્રાફ મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે, કારણ કે જો
આલેખ માટે અનુસરે છે, પછી બિંદુ
પણ શેડ્યૂલ માટે અનુસરે છે.

ફંક્શન સમ કે વિષમ છે તે સાબિત કરતી વખતે, નીચેના વિધાન ઉપયોગી છે.

પ્રમેય 1. a) બે સમ (વિષમ) કાર્યોનો સરવાળો એ એક સમાન (વિષમ) કાર્ય છે.

b) બે સમ (વિષમ) વિધેયોનું ઉત્પાદન એ સમ કાર્ય છે.

c) સમ અને વિષમ ફંક્શનનું ઉત્પાદન એક વિષમ કાર્ય છે.

ડી) જો f- સેટ પર પણ કાર્ય એક્સ, અને કાર્ય g સેટ પર વ્યાખ્યાયિત
, પછી કાર્ય
- પણ.

ડી) જો f- સેટ પર વિચિત્ર કાર્ય એક્સ, અને કાર્ય g સેટ પર વ્યાખ્યાયિત
અને સમ (વિષમ), પછી કાર્ય
- સમ (વિષમ).

પુરાવો. ચાલો સાબિત કરીએ, ઉદાહરણ તરીકે, b) અને d).

b) ચાલો
અને
- પણ કાર્યો. પછી, તેથી. વિચિત્ર કાર્યોના કેસને સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે
અને
.

ડી) દો f એક સમાન કાર્ય છે. પછી.

પ્રમેયના બાકીના નિવેદનો સમાન રીતે સાબિત કરી શકાય છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પ્રમેય 2. કોઈપણ કાર્ય
, સેટ પર વ્યાખ્યાયિત એક્સ, મૂળ વિશે સપ્રમાણ, સમ અને વિષમ કાર્યોના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.

પુરાવો. કાર્ય
ફોર્મમાં લખી શકાય છે

.

કાર્ય
- પણ, કારણ કે
, અને કાર્ય
- વિચિત્ર, કારણ કે. આમ,
, ક્યાં
- પણ, અને
- વિચિત્ર કાર્યો. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વ્યાખ્યા 2. કાર્ય
કહેવાય છે સામયિક , જો ત્યાં સંખ્યા છે
, જેમ કે કોઈપણ માટે
સંખ્યાઓ
અને
વ્યાખ્યાના ક્ષેત્રમાં પણ છે
અને સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે

આવી સંખ્યા ટીકહેવાય છે સમયગાળો કાર્યો
.

વ્યાખ્યા 1 થી તે અનુસરે છે કે જો ટી- કાર્યનો સમયગાળો
, પછી નંબર - ટીસમાન કાર્યનો સમયગાળો છે
(જ્યારેથી બદલી રહ્યા છીએ ટીપર - ટીસમાનતા જાળવવામાં આવે છે). ગાણિતિક ઇન્ડક્શનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તે બતાવી શકાય છે કે જો ટી- કાર્યનો સમયગાળો f, પછી
, પણ એક સમયગાળો છે. તે અનુસરે છે કે જો કોઈ ફંક્શનમાં પીરિયડ હોય, તો તેમાં અનંતપણે ઘણા બધા પીરિયડ્સ હોય છે.

વ્યાખ્યા 3. ફંક્શનના ધન સમયગાળોમાંથી સૌથી નાનાને તેના કહેવાય છે મુખ્ય સમયગાળો

પ્રમેય 3. જો ટી- કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો f, પછી બાકીના સમયગાળા તેના ગુણાકાર છે.

પુરાવો. ચાલો આપણે વિપરીત ધારીએ, એટલે કે, એક સમયગાળો છે કાર્યો f (>0), બહુવિધ નહીં ટી. પછી, વિભાજન પર ટીબાકીના સાથે, અમે મેળવીએ છીએ
, ક્યાં
. તેથી જ

તે છે - કાર્યનો સમયગાળો f, અને
, અને આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે ટી- કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો f. પ્રમેયનું નિવેદન પરિણામી વિરોધાભાસથી અનુસરે છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

તે જાણીતું છે કે ત્રિકોણમિતિ કાર્યો સામયિક છે. મુખ્ય સમયગાળો
અને
બરાબર
,
અને
. ચાલો ફંક્શનનો સમયગાળો શોધીએ
. દો
- આ કાર્યનો સમયગાળો. પછી

(કારણ કે
.

oror
.

અર્થ ટી, પ્રથમ સમાનતાથી નિર્ધારિત, સમયગાળો હોઈ શકતો નથી, કારણ કે તે તેના પર નિર્ભર છે એક્સ, એટલે કે નું કાર્ય છે એક્સ, અને સ્થિર સંખ્યા નથી. સમયગાળો બીજી સમાનતાથી નક્કી કરવામાં આવે છે:
. અનંત ઘણા સમયગાળા છે, સાથે
સૌથી નાનો હકારાત્મક સમયગાળો પર પ્રાપ્ત થાય છે
:
. આ કાર્યનો મુખ્ય સમયગાળો છે
.

વધુ જટિલ સામયિક કાર્યનું ઉદાહરણ ડિરિચલેટ ફંક્શન છે

નોંધ કરો કે જો ટીપછી એક તર્કસંગત સંખ્યા છે
અને
તર્કસંગત માટે તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે એક્સઅને અતાર્કિક જ્યારે અતાર્કિક એક્સ. તેથી જ

કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા માટે ટી. તેથી, કોઈપણ તર્કસંગત સંખ્યા ટીડિરિચલેટ ફંક્શનનો સમયગાળો છે. તે સ્પષ્ટ છે કે આ ફંક્શનમાં મુખ્ય સમયગાળો નથી, કારણ કે ત્યાં સકારાત્મક તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે જે મનસ્વી રીતે શૂન્યની નજીક છે (ઉદાહરણ તરીકે, એક પરિમેય સંખ્યા પસંદ કરીને બનાવી શકાય છે. nમનસ્વી રીતે શૂન્યની નજીક).

પ્રમેય 4. જો કાર્ય f સેટ પર વ્યાખ્યાયિત એક્સઅને સમયગાળો છે ટી, અને કાર્ય g સેટ પર વ્યાખ્યાયિત
, પછી એક જટિલ કાર્ય
સમયગાળો પણ છે ટી.

પુરાવો. અમારી પાસે છે, તેથી

એટલે કે, પ્રમેયનું નિવેદન સાબિત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, ત્યારથી cos x સમયગાળો છે
, પછી કાર્યો
સમયગાળો છે
.

વ્યાખ્યા 4. સામયિક ન હોય તેવા કાર્યો કહેવાય છે બિન-સામયિક .

બતાવો છુપાવો

કાર્ય સ્પષ્ટ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ

ફંક્શનને સૂત્ર દ્વારા આપવા દો: y=2x^(2)-3. સ્વતંત્ર ચલ x ને કોઈપણ મૂલ્યો સોંપીને, તમે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આશ્રિત ચલ y ના અનુરૂપ મૂલ્યોની ગણતરી કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો x=-0.5, તો પછી, સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, આપણે શોધીએ છીએ કે y ની અનુરૂપ કિંમત y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 છે.

y=2x^(2)-3 સૂત્રમાં દલીલ x દ્વારા લેવામાં આવેલ કોઈપણ મૂલ્યને લઈને, તમે તેને અનુરૂપ ફંક્શનના માત્ર એક મૂલ્યની ગણતરી કરી શકો છો. કાર્યને કોષ્ટક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:

આ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, તમે જોઈ શકો છો કે દલીલ મૂલ્ય −1 માટે કાર્ય મૂલ્ય −3 અનુરૂપ હશે; અને મૂલ્ય x=2 y=0, વગેરેને અનુરૂપ હશે. તે જાણવું પણ અગત્યનું છે કે કોષ્ટકમાં દરેક દલીલ મૂલ્ય માત્ર એક જ કાર્ય મૂલ્યને અનુરૂપ છે.

આલેખનો ઉપયોગ કરીને વધુ કાર્યોનો ઉલ્લેખ કરી શકાય છે. ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, તે સ્થાપિત થાય છે કે ફંક્શનનું કયું મૂલ્ય ચોક્કસ મૂલ્ય x સાથે સંકળાયેલું છે. મોટેભાગે, આ કાર્યનું અંદાજિત મૂલ્ય હશે.

સમ અને વિષમ કાર્ય

કાર્ય છે સમ કાર્ય, જ્યારે વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી કોઈપણ x માટે f(-x)=f(x). આવા કાર્ય ઓય અક્ષ વિશે સપ્રમાણ હશે.

કાર્ય છે વિચિત્ર કાર્ય, જ્યારે વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી કોઈપણ x માટે f(-x)=-f(x). આ પ્રકારનું કાર્ય મૂળ O (0;0) વિશે સપ્રમાણ હશે.

કાર્ય છે પણ નહીં, ન તો વિચિત્રઅને કહેવાય છે સામાન્ય કાર્ય, જ્યારે તેની ધરી અથવા મૂળ વિશે સમપ્રમાણતા નથી.

ચાલો સમાનતા માટે નીચેના કાર્યની તપાસ કરીએ:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) મૂળને સંબંધિત વ્યાખ્યાના સપ્રમાણ ડોમેન સાથે. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

આનો અર્થ એ છે કે ફંક્શન f(x)=3x^(3)-7x^(7) વિચિત્ર છે.

સામયિક કાર્ય

કાર્ય y=f(x) , જે ડોમેનમાં સમાનતા f(x+T)=f(x-T)=f(x) કોઈપણ x માટે ધરાવે છે, તેને કહેવાય છે સામયિક કાર્યસમયગાળો T \neq 0 સાથે.

લંબાઈ T ધરાવતા x-અક્ષના કોઈપણ સેગમેન્ટ પર ફંક્શનના ગ્રાફનું પુનરાવર્તન કરવું.

અંતરાલો જ્યાં ફંક્શન ધન છે, એટલે કે, f(x) > 0, એ એબ્સીસા અક્ષના સેગમેન્ટ્સ છે જે એબ્સીસા અક્ષની ઉપર આવેલા ફંક્શન ગ્રાફ પરના બિંદુઓને અનુરૂપ છે.

f(x) > 0 ચાલુ (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

અંતરાલો જ્યાં ફંક્શન નકારાત્મક છે, એટલે કે, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

મર્યાદિત કાર્ય

નીચેથી બંધાયેલજ્યારે A નંબર A હોય જેના માટે અસમાનતા f(x) \geq A કોઈપણ x \in X માટે ધરાવે છે ત્યારે ફંક્શન y=f(x), x \in X ને કૉલ કરવાનો રિવાજ છે.

નીચેથી બંધાયેલ ફંક્શનનું ઉદાહરણ: y=\sqrt(1+x^(2)) ત્યારથી y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 કોઈપણ x માટે.

ઉપરથી બંધાયેલોફંક્શન y=f(x), x \in X એ જ્યારે સંખ્યા B હોય ત્યારે કહેવામાં આવે છે જેના માટે અસમાનતા f(x) \neq B કોઈપણ x \in X માટે ધરાવે છે.

નીચે બંધાયેલ કાર્યનું ઉદાહરણ: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]ત્યારથી y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 કોઈપણ x માટે \in [-1;1].

લિમિટેડજ્યારે કોઈ સંખ્યા K > 0 હોય જેના માટે અસમાનતા \left | f(x)\right | કોઈપણ x માટે \neq K \in X.

મર્યાદિત કાર્યનું ઉદાહરણ: y=\sin x સમગ્ર સંખ્યા અક્ષ પર મર્યાદિત છે, ત્યારથી \ડાબે | \sin x \right | \neq 1.

કાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો

તે એક ફંક્શન વિશે વાત કરવાનો રિવાજ છે જે વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર વધે છે કાર્યમાં વધારોપછી, જ્યારે x નું મોટું મૂલ્ય y=f(x) ફંક્શનના મોટા મૂલ્યને અનુલક્ષે છે. તે અનુસરે છે કે વિચારણા હેઠળના અંતરાલમાંથી દલીલ x_(1) અને x_(2) ના બે મનસ્વી મૂલ્યો લેવાથી, x_(1) > x_(2) સાથે, પરિણામ y(x_(1)) > આવશે. y(x_(2)).

વિચારણા હેઠળના અંતરાલ પર ઘટતું કાર્ય કહેવાય છે ઘટતું કાર્યજ્યારે x નું મોટું મૂલ્ય ફંક્શન y(x) ના નાના મૂલ્યને અનુરૂપ હોય છે. તે અનુસરે છે કે, વિચારણા હેઠળના અંતરાલમાંથી દલીલના બે મનસ્વી મૂલ્યો x_(1) અને x_(2) , અને x_(1) > x_(2) લેવાથી, પરિણામ y(x_(1)) આવશે.< y(x_{2}) .

કાર્ય મૂળતે બિંદુઓને કૉલ કરવાનો રિવાજ છે કે જ્યાં ફંક્શન F=y(x) એબ્સીસા અક્ષને છેદે છે (તે સમીકરણ y(x)=0 ઉકેલીને મેળવવામાં આવે છે).

a) જો x > 0 માટે સમ કાર્ય વધે છે, તો તે x માટે ઘટે છે< 0

b) જ્યારે સમ કાર્ય x > 0 પર ઘટે છે, ત્યારે તે x પર વધે છે< 0

c) જ્યારે વિષમ કાર્ય x > 0 પર વધે છે, ત્યારે તે x પર પણ વધે છે< 0

d) જ્યારે x > 0 માટે વિષમ કાર્ય ઘટે છે, ત્યારે તે x માટે પણ ઘટશે< 0

કાર્યની ચરમસીમા

કાર્યનો ન્યૂનતમ બિંદુ y=f(x) સામાન્ય રીતે બિંદુ x=x_(0) કહેવાય છે જેની પડોશમાં અન્ય બિંદુઓ હશે (બિંદુ x=x_(0) સિવાય), અને તેમના માટે અસમાનતા f(x) > f પછી હશે સંતુષ્ટ (x_(0)) . y_(મિનિટ) - લઘુત્તમ બિંદુ પર કાર્યનું હોદ્દો.

કાર્યનો મહત્તમ બિંદુ y=f(x) સામાન્ય રીતે બિંદુ x=x_(0) કહેવાય છે જેની પડોશમાં અન્ય બિંદુઓ હશે (બિંદુ x=x_(0) સિવાય), અને તેમના માટે અસમાનતા f(x) પછી સંતુષ્ટ થશે< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

પૂર્વશરત

ફર્મેટના પ્રમેય મુજબ: f"(x)=0 જ્યારે ફંક્શન f(x) કે જે બિંદુ x_(0) પર વિભેદક છે તે આ બિંદુએ એક સીમા હશે.

પૂરતી સ્થિતિ

1. જ્યારે વ્યુત્પન્ન ચિહ્ન વત્તાથી માઈનસમાં બદલાય છે, ત્યારે x_(0) લઘુત્તમ બિંદુ હશે;
2. x_(0) - જ્યારે સ્થિર બિંદુ x_(0)માંથી પસાર થતી વખતે વ્યુત્પન્ન ફેરફારો માઈનસથી પ્લસમાં સાઇન કરે ત્યારે જ મહત્તમ બિંદુ હશે.

અંતરાલ પર ફંક્શનનું સૌથી મોટું અને નાનું મૂલ્ય

ગણતરીના પગલાં:

1. વ્યુત્પન્ન f"(x) માંગવામાં આવે છે;
2. ફંક્શનના સ્થિર અને નિર્ણાયક બિંદુઓ જોવા મળે છે અને તે સેગમેન્ટથી સંબંધિત છે તે પસંદ કરવામાં આવે છે;
3. ફંક્શન f(x) ના મૂલ્યો સ્થિર અને નિર્ણાયક બિંદુઓ અને સેગમેન્ટના છેડા પર જોવા મળે છે. પ્રાપ્ત પરિણામોમાં નાનું હશે કાર્યનું સૌથી નાનું મૂલ્ય, અને વધુ - સૌથી મોટું.