ચાર અદ્ભુત ત્રિકોણ. પ્રોજેક્ટ "ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ"

ત્રિકોણમાં કહેવાતા ચાર નોંધપાત્ર બિંદુઓ છે: મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ. દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ અને કાટખૂણે દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ. ચાલો તેમાંના દરેકને જોઈએ.

ત્રિકોણ મધ્યનું આંતરછેદ બિંદુ

પ્રમેય 1

ત્રિકોણના મધ્યના આંતરછેદ પર: ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે અને શિરોબિંદુથી શરૂ થતા $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ તેના મધ્યક છે. કારણ કે મધ્યભાગ બાજુઓને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે. ચાલો મધ્ય રેખા $A_1B_1$ (ફિગ. 1) ને ધ્યાનમાં લઈએ.

આકૃતિ 1. ત્રિકોણનો મધ્યક

પ્રમેય 1 દ્વારા, $AB||A_1B_1$ અને $AB=2A_1B_1$, તેથી, $\કોણ ABB_1=\કોણ BB_1A_1,\ \કોણ BAA_1=\કોણ AA_1B_1$. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણ $ABM$ અને $A_1B_1M$ ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ માપદંડ અનુસાર સમાન છે. પછી

તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ

પ્રમેય 2

ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદ પર: ત્રિકોણના દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $AM,\BP,\CK$ તેના દ્વિભાજકો છે. બિંદુ $O$ એ $AM\ અને\BP$ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ બનવા દો. ચાલો આ બિંદુથી ત્રિકોણની બાજુઓ તરફ લંબ દોરીએ (ફિગ. 2).

આકૃતિ 2. ત્રિકોણ દ્વિભાજકો

પ્રમેય 3

અવિકસિત કોણના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન છે.

પ્રમેય 3 દ્વારા, અમારી પાસે છે: $OX=OZ,\ OX=OY$. તેથી, $OY=OZ$. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $O$ એ કોણ $ACB$ની બાજુઓથી સમાન છે અને તેથી, તેના દ્વિભાજક $CK$ પર આવેલો છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ

પ્રમેય 4

ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

એક ત્રિકોણ $ABC$ આપીએ, $n,\m,\p$ તેના લંબ દ્વિભાજકો. બિંદુ $O$ એ દ્વિભાજીય લંબ $n\ અને\ m$ (ફિગ. 3) ના આંતરછેદ બિંદુ બનવા દો.

આકૃતિ 3. ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકો

તેને સાબિત કરવા માટે, અમને નીચેના પ્રમેયની જરૂર છે.

પ્રમેય 5

સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજકનો પ્રત્યેક બિંદુ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન છે.

પ્રમેય 3 દ્વારા, અમારી પાસે છે: $OB=OC,\ OB=OA$. તેથી, $OA=OC$. આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $O$ એ સેગમેન્ટ $AC$ના છેડાથી સમાન અંતરે છે અને તેથી, તેના લંબરૂપ દ્વિભાજક $p$ પર આવેલો છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ

પ્રમેય 6

ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ અથવા તેમના વિસ્તરણ એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

ત્રિકોણ $ABC$ ને ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ તેની ઊંચાઈ છે. ચાલો શિરોબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર ત્રિકોણના દરેક શિરોબિંદુ દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ. અમને એક નવો ત્રિકોણ $A_2B_2C_2$ (ફિગ. 4) મળે છે.

આકૃતિ 4. ત્રિકોણની ઊંચાઈ

કારણ કે $AC_2BC$ અને $B_2ABC$ એ એક સામાન્ય બાજુ સાથેના સમાંતરગ્રામ છે, તો $AC_2=AB_2$, એટલે કે, બિંદુ $A$ એ બાજુની મધ્યમાં છે $C_2B_2$. એ જ રીતે, અમે શોધીએ છીએ કે બિંદુ $B$ એ બાજુ $C_2A_2$નું મધ્યબિંદુ છે, અને બિંદુ $C$ એ બાજુ $A_2B_2$નું મધ્યબિંદુ છે. બાંધકામમાંથી અમારી પાસે તે $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$ છે. તેથી, $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ એ ત્રિકોણ $A_2B_2C_2$ ના લંબ દ્વિભાજકો છે. પછી, પ્રમેય 4 દ્વારા, આપણી પાસે છે કે ઊંચાઈ $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ એક બિંદુ પર છેદે છે.

રશિયન ફેડરેશનનું શિક્ષણ અને વિજ્ઞાન મંત્રાલય ફેડરલ સ્ટેટ બજેટરી શૈક્ષણિક સંસ્થા ઓફ હાયર પ્રોફેશનલ એજ્યુકેશન

"મેગ્નિટોગોર્સ્ક સ્ટેટ યુનિવર્સિટી"

ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિતની ફેકલ્ટી

બીજગણિત અને ભૂમિતિ વિભાગ

અભ્યાસક્રમ

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ

દ્વારા પૂર્ણ: જૂથ 41 ના વિદ્યાર્થી

વક્રમીવા એ.એમ.

વૈજ્ઞાનિક સુપરવાઈઝર

વેલીકીખ એ.એસ.

મેગ્નિટોગોર્સ્ક 2014

પરિચય

ઐતિહાસિક રીતે, ભૂમિતિ ત્રિકોણથી શરૂ થઈ હતી, તેથી અઢી સહસ્ત્રાબ્દીથી ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક રહ્યું છે; પરંતુ તે માત્ર એક પ્રતીક નથી, તે ભૂમિતિનો અણુ છે.

ત્રિકોણને ભૂમિતિનો અણુ કેમ ગણી શકાય? કારણ કે અગાઉના ખ્યાલો - બિંદુ, સીધી રેખા અને કોણ - પ્રમેય અને સમસ્યાઓના સંકળાયેલ સમૂહ સાથે અસ્પષ્ટ અને અમૂર્ત અમૂર્ત છે. તેથી, આજે શાળાની ભૂમિતિ માત્ર ત્યારે જ રસપ્રદ અને અર્થપૂર્ણ બની શકે છે, જ્યારે તે ત્રિકોણનો ઊંડો અને વ્યાપક અભ્યાસ સમાવે ત્યારે જ તે યોગ્ય ભૂમિતિ બની શકે છે.

આશ્ચર્યજનક રીતે, ત્રિકોણ, તેની સ્પષ્ટ સરળતા હોવા છતાં, અભ્યાસનો અખૂટ પદાર્થ છે - કોઈ પણ, આપણા સમયમાં પણ, એવું કહેવાની હિંમત કરતું નથી કે તેઓએ ત્રિકોણના તમામ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કર્યો છે અને જાણ્યો છે.

આનો અર્થ એ છે કે ત્રિકોણની ભૂમિતિના ઊંડા અભ્યાસ વિના શાળા ભૂમિતિનો અભ્યાસ હાથ ધરી શકાતો નથી; અભ્યાસના પદાર્થ તરીકે ત્રિકોણની વિવિધતાને ધ્યાનમાં રાખીને - અને તેથી, તેનો અભ્યાસ કરવા માટેની વિવિધ પદ્ધતિઓનો સ્ત્રોત - ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓની ભૂમિતિના અભ્યાસ માટે સામગ્રી પસંદ કરવી અને વિકસાવવી જરૂરી છે. તદુપરાંત, આ સામગ્રીની પસંદગી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ ફક્ત રાજ્યના શૈક્ષણિક ધોરણ દ્વારા શાળાના અભ્યાસક્રમમાં પૂરા પાડવામાં આવેલ નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ સુધી મર્યાદિત ન રહેવું જોઈએ, જેમ કે અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર (દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ), કેન્દ્રનું કેન્દ્ર. પરિપત્ર (દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ), મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ. પરંતુ ત્રિકોણની પ્રકૃતિમાં ઊંડાણપૂર્વક પ્રવેશ કરવા અને તેની અખૂટતાને સમજવા માટે, ત્રિકોણના શક્ય તેટલા નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ વિશે વિચારો હોવા જરૂરી છે. ભૌમિતિક પદાર્થ તરીકે ત્રિકોણની અખૂટતા ઉપરાંત, અભ્યાસના પદાર્થ તરીકે ત્રિકોણની સૌથી અદ્ભુત મિલકતની નોંધ લેવી જરૂરી છે: ત્રિકોણની ભૂમિતિનો અભ્યાસ તેના કોઈપણ ગુણધર્મોના અભ્યાસ સાથે શરૂ થઈ શકે છે, તેને આધાર તરીકે લેવું; પછી ત્રિકોણનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ એવી રીતે બાંધી શકાય કે ત્રિકોણના અન્ય તમામ ગુણધર્મો આના આધારે બાંધી શકાય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ભલે તમે ત્રિકોણનો અભ્યાસ ક્યાંથી શરૂ કરો, તમે હંમેશા આ અદ્ભુત આકૃતિની કોઈપણ ઊંડાઈ સુધી પહોંચી શકો છો. પરંતુ પછી - એક વિકલ્પ તરીકે - તમે ત્રિકોણના નોંધપાત્ર મુદ્દાઓનો અભ્યાસ કરીને તેનો અભ્યાસ શરૂ કરી શકો છો.

અભ્યાસક્રમ કાર્યનો હેતુ ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓનો અભ્યાસ કરવાનો છે. આ ધ્યેય હાંસલ કરવા માટે, નીચેના કાર્યો હલ કરવા જરૂરી છે:

· દ્વિભાજક, મધ્ય, ઊંચાઈ, લંબરૂપ દ્વિભાજક અને તેમના ગુણધર્મોની વિભાવનાઓનો અભ્યાસ કરો.

· જર્ગોન પોઈન્ટ, યુલર સર્કલ અને યુલર લાઇનને ધ્યાનમાં લો, જેનો અભ્યાસ શાળામાં થતો નથી.

પ્રકરણ 1. ત્રિકોણનું દ્વિભાજક, ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર. ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મો. Gergonna બિંદુ

1 ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ એવા બિંદુઓ છે જેનું સ્થાન વિશિષ્ટ રીતે ત્રિકોણ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે ત્રિકોણની બાજુઓ અને શિરોબિંદુઓ કયા ક્રમમાં લેવામાં આવે છે તેના પર નિર્ભર નથી.

ત્રિકોણનો દ્વિભાજક એ ત્રિકોણના ખૂણાનો દ્વિભાજક ભાગ છે જે શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના બિંદુ સાથે જોડે છે.

પ્રમેય. અવિકસિત કોણના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન અંતર (એટલે કે, ત્રિકોણની બાજુઓ ધરાવતી રેખાઓથી સમાન અંતર) છે. તેનાથી વિપરિત: કોણની અંદર અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

પુરાવો. 1) કોણ BAC ના દ્વિભાજક પર એક મનસ્વી બિંદુ M લો, MK અને ML ને સીધી રેખાઓ AB અને AC તરફ દોરો અને સાબિત કરો કે MK = ML. જમણા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો ?એએમકે અને ?એએમએલ. તેઓ કર્ણ અને તીવ્ર કોણમાં સમાન છે (AM - સામાન્ય કર્ણ, 1 = 2 સંમેલન દ્વારા). તેથી, MK=ML.

) બિંદુ M ને તમારી અંદર રહેવા દો અને તેની બાજુઓ AB અને AC થી સમાન દૂર રહો. ચાલો સાબિત કરીએ કે કિરણ AM એ દ્વિભાજક BAC છે. ચાલો કાટખૂણે MK અને ML ને સીધી રેખાઓ AB અને AC તરફ દોરીએ. કાટકોણ ત્રિકોણ AKM અને ALM કર્ણો અને પગમાં સમાન છે (AM એ સામાન્ય કર્ણ છે, MK = ML સંમેલન દ્વારા). તેથી, 1 = 2. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે કિરણ AM એ BAC નો દ્વિભાજક છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પરિણામ. ત્રિકોણના દ્વિભાજકો એક બિંદુ (અંતવર્તુળનું કેન્દ્ર અને કેન્દ્ર) પર છેદે છે.

ચાલો O અક્ષર દ્વારા ત્રિકોણ ABC ના દ્વિભાજકો AA1 અને BB1 ના આંતરછેદના બિંદુને સૂચિત કરીએ અને આ બિંદુથી લંબ OK, OL અને OM, અનુક્રમે, AB, BC અને CA ની સીધી રેખાઓ તરફ દોરીએ. પ્રમેય મુજબ (અવિકસિત ખૂણાના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન છે. તેનાથી વિપરીત: કોણની અંદર રહેલો દરેક બિંદુ અને કોણની બાજુઓથી સમાન અંતર તેના દ્વિભાજક પર આવેલું છે) આપણે કહીએ છીએ કે OK = OM અને OK = ઓ.એલ. તેથી, OM = OL, એટલે કે, બિંદુ O એ ACB ની બાજુઓથી સમાન અંતરે છે અને તેથી, આ ખૂણાના દ્વિભાજક CC1 પર આવેલું છે. તેથી, ત્રણેય દ્વિભાજકો ?ABC બિંદુ O પર છેદે છે, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

વર્તુળ દ્વિભાજક ત્રિકોણ રેખા

1.2 ત્રિકોણના દ્વિભાજકના ગુણધર્મો

કોઈપણ ખૂણાના દ્વિભાજક BD (ફિગ. 1.1). ?ABC વિરુદ્ધ બાજુને ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના પ્રમાણમાં AD અને CD ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

આપણે સાબિત કરવાની જરૂર છે કે જો ABD = DBC, તો AD: DC = AB: BC.

ચાલો સીઈ હાથ ધરીએ || બાજુ AB ના ચાલુ સાથે બિંદુ E પર આંતરછેદ સુધી BD. પછી, ઘણી સમાંતર રેખાઓ દ્વારા છેદાયેલી રેખાઓ પર બનેલા ભાગોના પ્રમાણ પરના પ્રમેય મુજબ, આપણી પાસે પ્રમાણ હશે: AD: DC = AB: BE. આ પ્રમાણમાંથી સાબિત કરવાની જરૂર છે તે તરફ જવા માટે, તે શોધવું પૂરતું છે કે BE = BC, એટલે કે તે ?બધા સમદ્વિબાજુ. આ ત્રિકોણમાં E = ABD (સમાંતર રેખાઓ સાથે અનુરૂપ ખૂણા તરીકે) અને ALL = DBC (સમાન સમાંતર રેખાઓ સાથે ક્રોસવાઇઝ ખૂણા તરીકે).

પરંતુ શરત દ્વારા ABD = DBC; આનો અર્થ E = ALL છે, અને તેથી સમાન ખૂણાઓ સામે પડેલી બાજુઓ BE અને BC પણ સમાન છે.

હવે, BC સાથે ઉપર લખેલા પ્રમાણમાં BE ને બદલીને, આપણે પ્રમાણ પ્રાપ્ત કરીએ છીએ જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

20 ત્રિકોણના આંતરિક અને અડીને આવેલા ખૂણાઓના દ્વિભાજકો લંબ છે.

પુરાવો. BD એ ABC (ફિગ. 1.2) નું દ્વિભાજક છે, અને BE સ્પષ્ટ આંતરિક કોણને અડીને બાહ્ય CBF ના દ્વિભાજક છે, ?ABC. પછી જો આપણે ABD = DBC = દર્શાવીએ ?, CBE = EBF = ?, પછી 2 ? + 2?= 1800 અને આમ ?+ ?= 900. અને આનો અર્થ એ થયો કે BD? BE.

30 ત્રિકોણના બાહ્ય કોણનો દ્વિભાજક સામેની બાજુને બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં બાહ્ય રીતે વિભાજીત કરે છે.

(ફિગ.1.3) AB: BC = AD: DC, ?AED~ ?CBD, AE/BC = AD/DC = AE/BC.

40 ત્રિકોણના કોઈપણ ખૂણાનો દ્વિભાજક ત્રિકોણની બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં વિરુદ્ધ બાજુને વિભાજિત કરે છે.

પુરાવો. ચાલો વિચાર કરીએ ?ABC. નિશ્ચિતતા માટે, દ્વિભાજક CAB ને બિંદુ D (ફિગ. 1.4) પર બાજુ BC ને છેદવા દો. ચાલો બતાવીએ કે BD: DC = AB: AC. આ કરવા માટે, બિંદુ C દ્વારા રેખા AB ની સમાંતર રેખા દોરો અને E દ્વારા આ રેખા AD ના આંતરછેદના બિંદુને દર્શાવો. પછી DAB=DEC, ABD=ECD અને તેથી ?DAB~ ?ત્રિકોણની સમાનતાના પ્રથમ માપદંડ પર આધારિત DEC. આગળ, કિરણ AD એ દ્વિભાજક CAD હોવાથી, પછી CAE = EAB = AEC અને તેથી, ?ECA સમદ્વિબાજુ. તેથી AC=CE. પરંતુ આ કિસ્સામાં, સમાનતામાંથી ?DAB અને ?DEC તે BD: DC=AB: CE =AB: AC ને અનુસરે છે, અને આ સાબિત કરવાની જરૂર હતી.

જો ત્રિકોણના બાહ્ય ખૂણાનો દ્વિભાજક આ ખૂણાના શિરોબિંદુની વિરુદ્ધ બાજુના વિસ્તરણને છેદે છે, તો પરિણામી આંતરછેદ બિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુના છેડા સુધીના ભાગો ત્રિકોણની નજીકની બાજુઓના પ્રમાણસર છે.

પુરાવો. ચાલો વિચાર કરીએ ?ABC. F એ બાજુ CA ના વિસ્તરણ પર એક બિંદુ છે, D એ બાજુ CB (ફિગ. 1.5) ના વિસ્તરણ સાથે બાહ્ય ત્રિકોણ BAF ના દ્વિભાજકના આંતરછેદનું બિંદુ છે. ચાલો બતાવીએ કે DC:DB=AC:AB. ખરેખર, ચાલો બિંદુ C દ્વારા રેખા AB ની સમાંતર રેખા દોરીએ અને E દ્વારા રેખા DA સાથે આ રેખાના આંતરછેદના બિંદુને સૂચવીએ. પછી ત્રિકોણ ADB ~ ?EDC અને તેથી DC:DB=EC:AB. અને ત્યારથી ?EAC = ?ખરાબ = ?CEA, પછી સમદ્વિબાજુમાં ?CEA બાજુ AC=EC અને, આમ, DC:DB=AC:AB, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

3 દ્વિભાજકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

સમસ્યા 1. O માં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો ?ABC, CAB = ?. સાબિત કરો કે COB = 900 + ? /2.

ઉકેલ. O એ અંકિતનું કેન્દ્ર હોવાથી ?વર્તુળનું ABC (આકૃતિ 1.6), પછી કિરણો BO અને CO અનુક્રમે ABC અને BCA દ્વિભાજક છે. અને પછી COB = 1800 - (OBC + BCO) = 1800 - (ABC + BCA)/2 = 1800 -(1800 - ?)/2 = 900 + ?/2, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 2. O ને વિશે વર્ણવેલ કેન્દ્રમાં રહેવા દો ?વર્તુળનો ABC, H એ BC ની બાજુએ દોરેલી ઊંચાઈનો આધાર છે. સાબિત કરો કે દ્વિભાજક CAB પણ દ્વિભાજક છે? OAH.

AD એ CAB નો દ્વિભાજક છે, AE એ પરિઘનો વ્યાસ છે ?વર્તુળનું ABC (ફિગ. 1.7, 1.8). જો ?ABC તીવ્ર છે (ફિગ. 1.7) અને તેથી, ABC<900, то так как ABC = AEC= ½ એસી આર્ક્સ, અને ?BHA અને ?ECA લંબચોરસ (BHA =ECA = 900), પછી ?BHA~ ?ECA અને તેથી CAO = CAE =HAB. આગળ, BAD અને CAD શરત દ્વારા સમાન છે, તેથી HAD = BAD - BAH =CAD - CAE = EAD = OAD. ચાલો હવે ABC = 900. આ કિસ્સામાં, ઊંચાઈ AH બાજુ AB સાથે એકરુપ થાય છે, પછી બિંદુ O એ કર્પોટેન્યુસ AC નો હશે અને તેથી સમસ્યા નિવેદનની માન્યતા સ્પષ્ટ છે.

ચાલો કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે ABC > 900 (ફિગ. 1.8). અહીં ચતુર્ભુજ ABCE એક વર્તુળમાં અંકિત છે અને તેથી AEC = 1800 - ABC. બીજી બાજુ, ABH = 1800 - ABC, એટલે કે. AEC = ABH. અને ત્યારથી ?BHA અને ?ECA લંબચોરસ છે અને તેથી, HAB = 900 - ABH = 900 - AEC = EAC, પછી HAD = HAB + BAD = EAC + CAD = EAD = OAD. BAC અને ACB અસ્પષ્ટ હોય તેવા કિસ્સાઓ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે. ?

4 પોઇન્ટ ગેર્ગોન્ના

ગેર્ગોન બિંદુ એ વિભાગોના આંતરછેદનું બિંદુ છે જે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને આ શિરોબિંદુઓ અને ત્રિકોણના અંકિત વર્તુળની વિરુદ્ધ બાજુઓના સ્પર્શના બિંદુઓ સાથે જોડે છે.

બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ના વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. વર્તુળને અનુક્રમે D, E અને F બિંદુઓ પર ત્રિકોણ BC, AC અને ABની બાજુઓને સ્પર્શ કરવા દો. ગેર્ગોન બિંદુ એ AD, BE અને CF સેગમેન્ટ્સનું આંતરછેદ બિંદુ છે. બિંદુ O ને અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો ?ABC. વર્તુળને અનુક્રમે D, E અને F બિંદુઓ પર ત્રિકોણ BC, AC અને ABની બાજુઓને સ્પર્શ કરવા દો. ગેર્ગોન બિંદુ એ AD, BE અને CF સેગમેન્ટ્સનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે આ ત્રણ સેગમેન્ટ્સ વાસ્તવમાં એક બિંદુ પર છેદે છે. નોંધ કરો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર એ ખૂણાઓના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે ?ABC, અને વર્તુળની ત્રિજ્યા OD, OE અને OF છે ?ત્રિકોણની બાજુઓ. આમ, આપણી પાસે સમાન ત્રિકોણની ત્રણ જોડી છે (AFO અને AEO, BFO અને BDO, CDO અને CEO).

AF?BD કામ કરે છે? CE અને AE? BE? CF સમાન છે, કારણ કે BF = BD, CD = CE, AE = AF, તેથી, આ ઉત્પાદનોનો ગુણોત્તર સમાન છે, અને Ceva ના પ્રમેય દ્વારા (બિંદુ A1, B1, C1 ને BC, AC અને AB બાજુઓ પર રહેવા દો? ABC, અનુક્રમે AA1 , BB1 અને CC1 ને એક બિંદુ પર છેદે

(આપણે ત્રિકોણની આસપાસ ઘડિયાળની દિશામાં જઈએ છીએ)), વિભાગો એક બિંદુ પર છેદે છે.

અંકિત વર્તુળના ગુણધર્મો:

એક વર્તુળ ત્રિકોણમાં લખેલું કહેવાય છે જો તે તેની બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે.

કોઈપણ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખી શકાય છે.

આપેલ: ABC આ ત્રિકોણ છે, O એ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે, M, L અને K એ ત્રિકોણની બાજુઓ સાથે વર્તુળના સંપર્કના બિંદુઓ છે (ફિગ. 1.11).

સાબિત કરો: O એ ABC માં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

પુરાવો. ચાલો બિંદુ O થી AB, BC અને CA ની બાજુઓ તરફ અનુક્રમે OK, OL અને OM લંબ દોરીએ (ફિગ. 1.11). કારણ કે બિંદુ O એ ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓથી સમાન છે, તો OK = OL = OM. તેથી, ત્રિજ્યા OK ના કેન્દ્ર O સાથેનું વર્તુળ K, L, M બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ત્રિકોણ ABC ની બાજુઓ આ વર્તુળને K, L, M બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે, કારણ કે તે ત્રિજ્યા OK, OL અને OM પર લંબ છે. આનો અર્થ એ છે કે ત્રિજ્યા ઓકેના કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ ABC ત્રિકોણમાં અંકિત થયેલ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર તેના દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે.

ABC આપવા દો, O એ તેમાં અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે, D, E અને F એ બાજુઓ સાથે વર્તુળના સંપર્કના બિંદુઓ છે (ફિગ. 1.12). ? AEO = ? કર્ણ અને પગ પર AOD (EO = OD - ત્રિજ્યા તરીકે, AO - કુલ). ત્રિકોણની સમાનતામાંથી, શું થાય છે? OAD = ? O.A.E. તેથી AO એ કોણ EAD નો દ્વિભાજક છે. તે એ જ રીતે સાબિત થાય છે કે બિંદુ O ત્રિકોણના અન્ય બે દ્વિભાજકો પર આવેલું છે.

સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરેલી ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબરૂપ છે.

પુરાવો. આસપાસના (O; R)ને આપેલ વર્તુળ (ફિગ. 1.13) રહેવા દો, સીધી રેખા a તેને બિંદુ P પર સ્પર્શે છે. ત્રિજ્યા OP ને a ની લંબ ન હોવા દો. ચાલો બિંદુ O થી સ્પર્શક સુધી લંબ OD દોરીએ. સ્પર્શકની વ્યાખ્યા મુજબ, બિંદુ P સિવાયના તેના તમામ બિંદુઓ અને ખાસ કરીને બિંદુ D, વર્તુળની બહાર આવેલા છે. તેથી, લંબરૂપ OD ની લંબાઇ વળેલું OP ની લંબાઈ R કરતા વધારે છે. આ ત્રાંસી મિલકતનો વિરોધાભાસ કરે છે, અને પરિણામી વિરોધાભાસ નિવેદનને સાબિત કરે છે.

પ્રકરણ 2. ત્રિકોણના 3 નોંધપાત્ર બિંદુઓ, યુલરનું વર્તુળ, યુલરની સીધી રેખા.

1 ત્રિકોણના પરિઘનું કેન્દ્ર

સેગમેન્ટ માટે લંબરૂપ દ્વિભાજક એ સેગમેન્ટની મધ્યમાંથી પસાર થતી અને તેની પર લંબરૂપ રેખા છે.

પ્રમેય. સેગમેન્ટના કાટખૂણે દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તે સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે છે. તેનાથી વિપરિત: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના પર લંબરૂપ દ્વિભાજક પર આવેલું છે.

પુરાવો. સીધી રેખા m એ સેગમેન્ટ AB માટે લંબ દ્વિભાજક છે અને બિંદુ O એ સેગમેન્ટનો મધ્યબિંદુ છે.

ચાલો એક સીધી રેખા m પર મનસ્વી બિંદુ M ને ધ્યાનમાં લઈએ અને સાબિત કરીએ કે AM=BM. જો બિંદુ M બિંદુ O સાથે એકરુપ હોય, તો આ સમાનતા સાચી છે, કારણ કે O એ સેગમેન્ટ AB નો મધ્યબિંદુ છે. ચાલો M અને O ને જુદા જુદા બિંદુઓ હોઈએ. લંબચોરસ ?OAM અને ?OBM બે પગ પર સમાન છે (OA = OB, OM એ સામાન્ય પગ છે), તેથી AM = BM.

) એક મનસ્વી બિંદુ N ને ધ્યાનમાં લો, જે સેગમેન્ટ AB ના છેડાથી સમાન છે, અને સાબિત કરો કે બિંદુ N રેખા m પર આવેલો છે. જો N એ રેખા AB પરનું બિંદુ છે, તો તે સેગમેન્ટ AB ના મધ્યબિંદુ O સાથે એકરુપ છે અને તેથી તે રેખા m પર આવેલું છે. જો બિંદુ N રેખા AB પર ન આવે, તો પછી ધ્યાનમાં લો ?ANB, જે સમદ્વિબાજુ છે, કારણ કે AN=BN. સેગમેન્ટ NO એ આ ત્રિકોણનો મધ્યક છે અને તેથી ઊંચાઈ. આમ, NO એ AB ને લંબ છે, તેથી રેખાઓ ON અને m એકરૂપ થાય છે, અને તેથી, N એ રેખા m નો એક બિંદુ છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

પરિણામ. ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો એક બિંદુ (વર્તુળનું કેન્દ્ર) પર છેદે છે.

ચાલો AB અને BC ની બાજુઓ માટે દ્વિભાજીય લંબ m અને n ના આંતરછેદના બિંદુ O ને સૂચવીએ. ?ABC. પ્રમેય મુજબ (એક સેગમેન્ટના કાટખૂણે દ્વિભાજકનો પ્રત્યેક બિંદુ આ ખંડના છેડાથી સમાન છે. તેનાથી વિપરિત: સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન અંતરે આવેલ દરેક બિંદુ તેના કાટખૂણે દ્વિભાજક પર આવેલું છે.) આપણે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે OB = OA અને OB = OC તેથી: OA = OC, એટલે કે, બિંદુ O એ સેગમેન્ટ AC ના છેડાથી સમાન અંતરે છે અને તેથી, આ સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક p પર આવેલું છે. તેથી, ત્રણેય દ્વિભાજકો m, n અને p બાજુઓ પર ?ABC બિંદુ O પર છેદે છે.

તીવ્ર ત્રિકોણ માટે આ બિંદુ અંદર આવેલું છે, સ્થૂળ ત્રિકોણ માટે તે ત્રિકોણની બહાર આવેલું છે, કાટકોણ ત્રિકોણ માટે તે કર્ણોની મધ્યમાં આવેલું છે.

ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકની મિલકત:

રેખાઓ કે જેના પર ત્રિકોણના આંતરિક અને બાહ્ય ખૂણાઓના દ્વિભાજકો આવેલા છે, એક શિરોબિંદુમાંથી બહાર નીકળીને, ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળના વ્યાસથી વિરુદ્ધ બિંદુઓથી વિરુદ્ધ બાજુ તરફ લંબરૂપ મધ્યમાર્ગ સાથે છેદે છે.

પુરાવો. ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિભાજક ABC એ વર્ણવેલ એકને છેદે છે ?બિંદુ D પર ABC વર્તુળ (ફિગ. 2.1). પછી અંકિત ABD અને DBC સમાન હોવાથી AD = ચાપ DC. પરંતુ લંબ દ્વિભાજક થી બાજુ AC પણ ચાપ AC ને વિભાજિત કરે છે, તેથી બિંદુ D પણ આ લંબ દ્વિભાજકનો હશે. આગળ, ફકરા 1.3 માંથી 30 ગુણધર્મ દ્વારા ABC ને અડીને આવેલ દ્વિભાજક BD ABC, બાદમાં વર્તુળને એક બિંદુએ છેદશે જે બિંદુ D ની વિરુદ્ધ છે, કારણ કે એક અંકિત જમણો ખૂણો હંમેશા વ્યાસ પર રહે છે.

2 ત્રિકોણના વર્તુળનું ઓર્થોસેન્ટર

ઊંચાઈ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુથી વિરુદ્ધ બાજુ ધરાવતી સીધી રેખા તરફ દોરવામાં આવેલ લંબ છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈ (અથવા તેમના વિસ્તરણ) એક બિંદુ (ઓર્થોસેન્ટર) પર છેદે છે.

પુરાવો. મનસ્વી ધ્યાનમાં લો ?ABC અને સાબિત કરો કે રેખાઓ AA1, BB1, CC1, તેની ઊંચાઈ ધરાવતી, એક બિંદુ પર છેદે છે. ચાલો દરેક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થઈએ ?ABC એ વિરુદ્ધ બાજુની સમાંતર સીધી રેખા છે. અમને મળે છે ?A2B2C2. બિંદુઓ A, B અને C આ ત્રિકોણના મધ્યબિંદુઓ છે. ખરેખર, AB=A2C અને AB=CB2 એ ABA2C અને ABCB2 સમાંતરગ્રામની વિરુદ્ધ બાજુઓ જેવા છે, તેથી A2C=CB2. એ જ રીતે C2A=AB2 અને C2B=BA2. વધુમાં, બાંધકામમાંથી નીચે મુજબ, CC1 એ A2B2 માટે લંબ છે, AA1 એ B2C2 માટે લંબ છે અને BB1 એ A2C2 માટે લંબ છે. આમ, રેખાઓ AA1, BB1 અને CC1 એ બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો છે ?A2B2C2. તેથી, તેઓ એક બિંદુ પર છેદે છે.

ત્રિકોણના પ્રકાર પર આધાર રાખીને, ઓર્થોસેન્ટર ત્રિકોણની અંદર તીવ્ર ખૂણામાં હોઈ શકે છે, તેની બહાર - સ્થૂળ ખૂણામાં અથવા શિરોબિંદુ સાથે એકરુપ હોય છે, લંબચોરસમાં તે જમણા ખૂણા પર શિરોબિંદુ સાથે એકરુપ હોય છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈના ગુણધર્મો:

એક્યુટ ત્રિકોણના બે ઊંચાઈના પાયાને જોડતો સેગમેન્ટ તેમાંથી આપેલ સમાન ત્રિકોણને કાપી નાખે છે, જેમાં સામાન્ય કોણના કોસાઈન સમાન સમાનતા ગુણાંક હોય છે.

પુરાવો. AA1, BB1, CC1 એ એક્યુટ ત્રિકોણ ABC અને ABC = ની ઊંચાઈ છે. ?(ફિગ. 2.2). કાટકોણ ત્રિકોણ BA1A અને CC1B સમાન છે ?, તેથી તેઓ સમાન છે, જેનો અર્થ થાય છે BA1/BA = BC1/BC = cos ?. તે અનુસરે છે કે BA1/BC1=BA/BC = cos ?, એટલે કે વી ?C1BA1 અને ?ABC બાજુઓ સામાન્યને અડીને ??C1BA1~ ?ABC, cos સમાન સમાનતા ગુણાંક સાથે ?. તેવી જ રીતે તે સાબિત થાય છે ?A1CB1~ ?સમાનતા ગુણાંક સાથે ABC cos BCA, અને ?B1AC1~ ?સમાનતા ગુણાંક cos CAB સાથે ABC.

કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણાકારમાં ઘટતી ઉંચાઈ તેને બે ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે જે એકબીજાની જેમ અને મૂળ ત્રિકોણ સમાન હોય છે.

પુરાવો. એક લંબચોરસ ધ્યાનમાં લો ?ABC, જે ધરાવે છે ?BCA = 900, અને CD તેની ઊંચાઈ છે (ફિગ. 2.3).

પછી સમાનતા ?એડીસી અને ?BDC અનુસરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, AD/CD = CD/DB થી, બે પગની પ્રમાણસરતા દ્વારા જમણા ત્રિકોણની સમાનતાના સંકેત પરથી. દરેક કાટકોણ ADC અને BDC મૂળ કાટકોણ ત્રિકોણ સમાન છે, ઓછામાં ઓછા બે ખૂણા પર સમાનતા પર આધારિત છે.

એલિવેશન પ્રોપર્ટીઝનો ઉપયોગ કરતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

સમસ્યા 1. સાબિત કરો કે ત્રિકોણ, જેમાંથી એક શિરોબિંદુ આપેલ સ્થૂળ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ છે, અને અન્ય બે શિરોબિંદુઓ સ્થૂળ ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે, જે તેના અન્ય બે શિરોબિંદુઓમાંથી અવગણવામાં આવે છે, તે સમાન છે. પ્રથમ શિરોબિંદુ પર કોણના કોસાઇનના મોડ્યુલસની સમાનતા ગુણાંક સાથે આપેલ ત્રિકોણ.

ઉકેલ. એક સ્થૂળતાનો વિચાર કરો ?મૂંગું CAB સાથે ABC. AA1, BB1, CC1 ને તેની ઊંચાઈ (ફિગ. 2.4, 2.5, 2.6) રહેવા દો અને CAB = ?, ABC = ? , BCA = ?.

એ હકીકતનો પુરાવો કે ?C1BA1~ ?ABC (ફિગ. 2.4) સમાનતા ગુણાંક સાથે k = cos ?, મિલકત 1, ફકરો 2.2 ના પુરાવામાં કરવામાં આવેલા તર્કને સંપૂર્ણપણે પુનરાવર્તિત કરે છે.

ચાલો તે સાબિત કરીએ ?A1CB~ ?ABC (ફિગ. 2.5) સમાનતા ગુણાંક સાથે k1= cos ?, એ ?B1AC1~ ?સમાનતા ગુણાંક સાથે ABC (ફિગ. 2.6) k2 = |cos? |.

ખરેખર, કાટકોણ CA1A અને CB1B એક સમાન કોણ ધરાવે છે ?અને તેથી સમાન. તે અનુસરે છે કે B1C/ BC = A1C / AC= cos ?અને, તેથી, B1C/ A1C = BC / AC = cos ?, એટલે કે A1CB1 અને ABC ત્રિકોણમાં બાજુઓ એક સામાન્ય બનાવે છે ??, પ્રમાણસર છે. અને પછી, ત્રિકોણની સમાનતાના બીજા માપદંડ અનુસાર ?A1CB~ ?ABC, સમાનતા ગુણાંક સાથે k1= cos ?. છેલ્લા કેસ માટે (ફિગ. 2.6), પછી જમણા ત્રિકોણની વિચારણામાંથી ?BB1A અને ?BAB1 અને C1AC સમાન ઊભી ખૂણા સાથે CC1A તે અનુસરે છે કે તેઓ સમાન છે અને તેથી B1A / BA = C1A / CA = cos (1800 - ?) = |cos ?|, ત્યારથી ??- મંદબુદ્ધિ. તેથી B1A / C1A = BA /CA = |cos ?| અને આમ ત્રિકોણમાં ?B1AC1 અને ?સમાન ખૂણા બનાવતી ABC બાજુઓ પ્રમાણસર છે. અને આનો અર્થ એ છે કે ?B1AC1~ ?સમાનતા ગુણાંક સાથે ABC k2 = |cos? |.

સમસ્યા 2. સાબિત કરો કે જો બિંદુ O એ તીવ્ર ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ છે, તો ABC + AOC = 1800, BCA + BOA = 1800, CAB + COB = 1800.

ઉકેલ. ચાલો પ્રોબ્લેમ સ્ટેટમેન્ટમાં આપેલા ફોર્મ્યુલામાંથી પહેલાની માન્યતા સાબિત કરીએ. બાકીના બે સૂત્રોની માન્યતા સમાન રીતે સાબિત થાય છે. તો ચાલો ABC = ?, AOC = ?. A1, B1 અને C1 એ અનુક્રમે A, B અને C શિરોબિંદુઓમાંથી દોરેલા ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે (ફિગ. 2.7). પછી જમણો ત્રિકોણ BC1C માંથી તે અનુસરે છે કે BCC1 = 900 - ?અને આમ કાટકોણ ત્રિકોણમાં OA1C કોણ COA1 બરાબર છે ?. પણ AOC + COA1 = ખૂણાઓનો સરવાળો ? + ?સીધો કોણ આપે છે અને તેથી AOC + COA1 = AOC + ABC = 1800, જે સાબિત કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 3. સાબિત કરો કે તીવ્ર ત્રિકોણની ઊંચાઈ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો છે જેના શિરોબિંદુઓ આ ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે.

છે.2.8

ઉકેલ. AA1, BB1, CC1 એ એક્યુટ ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ હોવા દો અને CAB = દો ?(ફિગ. 2.8). ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો સાબિત કરીએ કે ઊંચાઈ AA1 એ કોણ C1A1B1 નું દ્વિભાજક છે. ખરેખર, કારણ કે ત્રિકોણ C1BA1 અને ABC સમાન છે (ગુણધર્મ 1), તો BA1C1 = ?અને તેથી, C1A1A = 900 - ?. A1CB1 અને ABC ત્રિકોણની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે AA1B1 = 900 - ?અને તેથી C1A1A = AA1B1= 900 - ?. પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે AA1 એ કોણ C1A1B1 નો દ્વિભાજક છે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે ત્રિકોણ ABC ની અન્ય બે ઊંચાઈ એ ત્રિકોણ A1B1C1 ના અન્ય બે અનુરૂપ ખૂણાઓના દ્વિભાજકો છે.

3 ત્રિકોણના વર્તુળનું ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર

ત્રિકોણનો મધ્યક એ ત્રિકોણના કોઈપણ શિરોબિંદુને વિરુદ્ધ બાજુના મધ્યબિંદુ સાથે જોડતો ખંડ છે.

પ્રમેય. ત્રિકોણનો મધ્યક એક બિંદુ (ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર) પર છેદે છે.

પુરાવો. ચાલો મનસ્વી ગણીએ? ABC.

ચાલો O અક્ષર વડે મધ્યક AA1 અને BB1 ના આંતરછેદ બિંદુને સૂચિત કરીએ અને આ ત્રિકોણની મધ્ય રેખા A1B1 દોરીએ. સેગમેન્ટ A1B1 બાજુ AB ની સમાંતર છે, તેથી 1 = 2 અને 3 = 4. તેથી, ?AOB અને ?A1OB1 બે ખૂણા પર સમાન છે, અને તેથી, તેમની બાજુઓ પ્રમાણસર છે: AO:A1O=BO:B1O=AB:A1B1. પરંતુ AB=2A1B1, તેથી AO=2A1O અને BO=2B1O. આમ, મધ્ય AA1 અને BB1 ના આંતરછેદનો બિંદુ O એ દરેકને શિરોબિંદુમાંથી ગણીને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે.

તે જ રીતે સાબિત થયું છે કે મધ્યસ્થ BB1 અને CC1 ના આંતરછેદ બિંદુ તેમાંથી દરેકને શિરોબિંદુમાંથી ગણીને ગુણોત્તર 2:1 માં વિભાજિત કરે છે, અને તેથી, બિંદુ O સાથે એકરુપ થાય છે અને તેના દ્વારા ગુણોત્તર 2:1 માં વિભાજિત થાય છે, શિરોબિંદુમાંથી ગણતરી.

ત્રિકોણના મધ્યના ગુણધર્મો:

10 ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે અને શિરોબિંદુથી ગણીને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં છેદન બિંદુ દ્વારા વિભાજિત થાય છે.

આપેલ: ?ABC, AA1, BB1 - મધ્યક.

સાબિત કરો: AO:OA1=VO:OB1=2:1

પુરાવો. ચાલો મધ્યમ રેખા A1B1 ||AB, A1B1=1/2 AB ના ગુણધર્મ અનુસાર મધ્યમ રેખા A1B1 (ફિગ. 2.10) દોરીએ. A1B1 થી || AB, પછી 1 = 2 સમાંતર રેખાઓ AB અને A1B1 અને સેકન્ટ AA1 સાથે ક્રોસવાઇઝ પડેલું છે. 3 = 4 સમાંતર રેખાઓ A1B1 અને AB અને સીકન્ટ BB1 સાથે ક્રોસવાઇઝ પડેલી.

આથી, ?AOB ~ ?A1OB1 બે ખૂણાઓની સમાનતા દ્વારા, જેનો અર્થ છે કે બાજુઓ પ્રમાણસર છે: AO/A1O = OB/OB1 = AB/A1B = 2/1, AO/A1O = 2/1; OB/OB1 = 2/1.

મધ્યક ત્રિકોણને સમાન ક્ષેત્રફળના બે ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

પુરાવો. BD - મધ્યક ?ABC (ફિગ. 2.11), BE - તેની ઊંચાઈ. પછી ?એબીડી અને ?DBC કદમાં સમાન છે કારણ કે તેમની પાસે અનુક્રમે AD અને DC સમાન પાયા છે અને સામાન્ય ઊંચાઈ BE છે.

સમગ્ર ત્રિકોણ તેના મધ્યક દ્વારા છ સમાન ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલું છે.

જો, ત્રિકોણના મધ્યકને ચાલુ રાખવા પર, ત્રિકોણની બાજુની મધ્યમાંથી મધ્યની લંબાઈ સમાન એક સેગમેન્ટને અલગ કરવામાં આવે છે, તો આ ખંડનો અંતિમ બિંદુ અને ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ તેના શિરોબિંદુઓ છે. સમાંતરગ્રામ.

પુરાવો. D એ બાજુ BC નો મધ્યબિંદુ છે ?ABC (ફિગ. 2.12), E એ રેખા AD પર એક બિંદુ છે જેમ કે DE=AD. પછી તેમના આંતરછેદના બિંદુ D પર ચતુર્ભુજ ABEC ના કર્ણ AE અને BC દ્વિભાજિત હોવાથી, તે ગુણધર્મ 13.4 થી અનુસરે છે કે ચતુર્ભુજ ABEC એક સમાંતરગ્રામ છે.

મધ્યકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાઓનું નિરાકરણ:

સમસ્યા 1. સાબિત કરો કે જો O એ મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ છે ?એબીસી પછી ?A.O.B. ?BOC અને ?AOC કદમાં સમાન છે.

ઉકેલ. AA1 અને BB1 ને મધ્યક બનવા દો ?ABC(ફિગ. 2.13). ચાલો વિચાર કરીએ ?AOB અને ?બીઓસી. તે સ્પષ્ટ છે કે એસ ?AOB = એસ ?AB1B-S ?AB1O, S ?BOC=S ?BB1C-S ?OB1C. પરંતુ મિલકત 2 દ્વારા અમે એસ ?AB1B=S ?BB1C, એસ ?AOB = એસ ?OB1C, જેનો અર્થ છે કે એસ ?AOB = એસ ?બીઓસી. સમાનતા એસ ?AOB = એસ ?AOC.

સમસ્યા 2. સાબિત કરો કે જો બિંદુ O અંદર આવેલું છે ?એબીસી અને ?A.O.B. ?BOC અને ?AOC ક્ષેત્રફળમાં સમાન છે, તો પછી O એ મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ છે? ABC.

ઉકેલ. ચાલો વિચાર કરીએ ?ABC (2.14) અને ધારો કે બિંદુ O મધ્ય BB1 પર આવેલો નથી. ત્યાર બાદ OB1 એ મધ્યક છે ?AOC પછી એસ ?AOB1 = S ?B1OC , અને ત્યારથી શરત દ્વારા S ?AOB = એસ ?બીઓસી, પછી એસ ?AB1OB = S ?BOB1C. પરંતુ આ ન હોઈ શકે, કારણ કે એસ ?ABB1 = એસ ?B1BC. પરિણામી વિરોધાભાસનો અર્થ છે કે બિંદુ O મધ્ય BB1 પર આવેલું છે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે બિંદુ O અન્ય બે મધ્યકોનો છે ?ABC. તે અનુસરે છે કે બિંદુ O એ ખરેખર ત્રણ મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ છે? ABC.

સમસ્યા 3. સાબિત કરો કે જો માં ?ABC બાજુઓ AB અને BC સમાન નથી, પછી તેનો દ્વિભાજક BD મધ્ય BM અને ઊંચાઈ BH વચ્ચે આવેલો છે.

પુરાવો. વિશે વર્ણન કરીએ ?ABC એ એક વર્તુળ છે અને તેના દ્વિભાજક BDને વિસ્તરે છે જ્યાં સુધી તે K બિંદુ પર વર્તુળ સાથે છેદે નહીં. સેગમેન્ટ AC તરફનો લંબબિંદુ બિંદુ K (પ્રોપર્ટી 1, ફકરા 2.1 માંથી)માંથી પસાર થશે, જેમાં મધ્ય સાથે સામાન્ય બિંદુ M છે. પરંતુ BH અને MK સેગમેન્ટ્સ સમાંતર હોવાથી, અને બિંદુઓ B અને K રેખા AC ની વિરુદ્ધ બાજુઓ પર આવેલા છે, તો BK અને AC વિભાગોના આંતરછેદ બિંદુ HM સેગમેન્ટના છે, અને આ જરૂરી સાબિત કરે છે.

સમસ્યા 4. B ?ABC મધ્ય BM એ બાજુ AB ના કદના અડધા છે અને તેની સાથે 400 નો ખૂણો બનાવે છે.

ઉકેલ. ચાલો મધ્ય BM ને બિંદુ M થી આગળ તેની લંબાઈથી વિસ્તારીએ અને બિંદુ D (ફિગ. 2.15) મેળવીએ. AB = 2BM હોવાથી, પછી AB = BD, એટલે કે, ત્રિકોણ ABD સમદ્વિબાજુ છે. તેથી, BAD = BDA = (180o - 40o): 2 = 70o. ચતુર્ભુજ ABCD એ સમાંતરગ્રામ છે કારણ કે તેના કર્ણ તેમના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા દ્વિભાજિત છે. આનો અર્થ છે CBD = ADB = 700. પછી ABC = ABD + CBD = 1100 જવાબ છે.

સમસ્યા 5. બાજુઓ?ABC a, b, c ની બરાબર છે. બાજુ c (ફિગ. 2.16) તરફ દોરેલા મધ્યકની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. ચાલો?ABC ને સમાંતર ACBP બનાવીએ, અને આ સમાંતરગ્રામ પર પ્રમેય 8 લાગુ કરીએ: CP2+AB2 = 2AC2+2BC2, એટલે કે. (2mc)2+c2= 2b2+2a2, જ્યાંથી આપણે શોધીએ છીએ:

2.4 યુલર વર્તુળ. યુલરની રેખા

પ્રમેય. મધ્યસ્થીઓના પાયા, મનસ્વી ત્રિકોણની ઊંચાઈ, તેમજ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓને તેના ઓર્થોસેન્ટર સાથે જોડતા સેગમેન્ટ્સના મધ્યબિંદુઓ સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે, જેની ત્રિજ્યા વર્તુળના અડધા ત્રિજ્યા જેટલી છે. ત્રિકોણ આ વર્તુળને નવ-બિંદુ વર્તુળ અથવા યુલરનું વર્તુળ કહેવામાં આવે છે.

પુરાવો. ચાલો મધ્યમ લઈએ? સેગમેન્ટ MN=1/2AB, કારણ કે MN - મધ્યમ રેખા? ABC. તે અનુસરે છે કે ટ્રેપેઝોઇડ QLMN સમદ્વિબાજુ છે. વર્તુળ W એ સમદ્વિબાજુ સમદ્વિબાજુ L, M, N ના 3 શિરોબિંદુઓમાંથી પસાર થતું હોવાથી, તે ચોથા શિરોબિંદુ Qમાંથી પણ પસાર થશે. એ જ રીતે, તે સાબિત થાય છે કે P W નો છે, R W નો છે.

ચાલો X, Y, Z બિંદુઓ પર આગળ વધીએ. સેગમેન્ટ XL મધ્યરેખા તરીકે BH ને લંબરૂપ છે?AHB. BH સેગમેન્ટ AC ને લંબ છે અને AC LM ને સમાંતર હોવાથી BH LM ને લંબ છે. તેથી, XLM=P/2. તેવી જ રીતે, XNM= P/2.

ચતુષ્કોણ LXNM માં, બે વિરોધી ખૂણા કાટખૂણો છે, તેથી તેની આસપાસ વર્તુળનું વર્ણન કરી શકાય છે. આ વર્તુળ W હશે. તેથી X Wનું છે, તેવી જ રીતે Y Wનું છે, Z Wનું છે.

મધ્યમ?LMN?ABC જેવું જ છે. સમાનતા ગુણાંક 2 છે. તેથી, નવ બિંદુઓના વર્તુળની ત્રિજ્યા R/2 છે.

યુલર વર્તુળના ગુણધર્મો:

નવ બિંદુઓના વર્તુળની ત્રિજ્યા એ વર્તુળની ત્રિજ્યાના અડધા જેટલી છે? ABC.

નવ બિંદુઓનું વર્તુળ ગુણાંક સાથે ABCની પરિક્રમા સાથે સમાન છે? ½ અને પોઈન્ટ H પર હોમોથેટી સેન્ટર.

પ્રમેય. ઓર્થોસેન્ટર, સેન્ટ્રોઇડ, પરિઘ કેન્દ્ર અને નવ-બિંદુ વર્તુળ કેન્દ્ર સમાન સીધી રેખા પર આવેલું છે. યુલરની સીધી રેખા.

પુરાવો. H ને એબીસી (ફિગ. 2.18) અને O ને ગોળ વર્તુળનું કેન્દ્ર બનવા દો. બાંધકામ દ્વારા, કાટખૂણે દ્વિભાજકો?ABC મધ્યની ઊંચાઈ ધરાવે છે?MNL, એટલે કે O એ એક સાથે ઓર્થોસેન્ટર છે?LMN. ?LMN ~ ?ABC, તેમનો સમાનતા ગુણાંક 2 છે, તેથી BH=2ON.

ચાલો બિંદુઓ H અને O દ્વારા એક સીધી રેખા દોરીએ. આપણને બે સમાન ત્રિકોણ મળે છે?NOG અને?BHG. BH=2ON થી, પછી BG=2GN. પછીનો અર્થ એ છે કે બિંદુ G એ સેન્ટ્રોઇડ છે? ABC. બિંદુ G માટે ગુણોત્તર HG:GO=2:1 સંતુષ્ટ છે.

આગળ TF ને કાટખૂણે દ્વિભાજક બનવા દો? MNL અને F એ આ કાટખૂણે HO રેખા સાથે છેદન બિંદુ છે. ચાલો સમાન ?TGF અને ?NGO ને ધ્યાનમાં લઈએ. બિંદુ G એ?MNL નો સેન્ટ્રોઇડ છે, તેથી?TGF અને?NGO નો સમાનતા ગુણાંક 2 ની બરાબર છે. તેથી OG=2GF અને ત્યારથી HG=2GO, તો HF=FO અને F એ HO ખંડની મધ્યમાં છે.

જો આપણે બીજી બાજુના લંબ દ્વિભાજકને લગતા સમાન તર્કને અમલમાં મૂકીએ? પરંતુ આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ F એ લંબ દ્વિભાજકોનું બિંદુ છે? MNL. આ બિંદુ એ યુલર વર્તુળનું કેન્દ્ર છે. પ્રમેય સાબિત થયો છે.

નિષ્કર્ષ

આ કાર્યમાં, અમે ત્રિકોણના 4 અદ્ભુત બિંદુઓ જોયા, શાળામાં અભ્યાસ કર્યો અને તેમની મિલકતો, જેના આધારે આપણે ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરી શકીએ. ગેર્ગોન બિંદુ, યુલર વર્તુળ અને યુલર સીધી રેખા પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી.

વપરાયેલ સ્ત્રોતોની યાદી

1.ભૂમિતિ 7-9. માધ્યમિક શાળાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક // અટાનાસ્યાન એલ.એસ., બુતુઝોવ વી.એફ. અને અન્ય - એમ.: એજ્યુકેશન, 1994.

2.એમેલકીન વી.વી. પ્લેન પર ભૂમિતિ: સિદ્ધાંત, સમસ્યાઓ, ઉકેલો: પ્રોક. ગણિત પર એક માર્ગદર્શિકા // વી.વી. એમેલકીન, વી.એલ. રાબ્ત્સેવિચ, વી.એલ. ટિમોખોવિચ - Mn.: "અસાર", 2003.

.વી.એસ. બોલોદુરિન, ઓ.એ. વખ્મ્યાનીના, ટી.એસ. ઇઝમેલોવા // પ્રાથમિક ભૂમિતિ પર મેન્યુઅલ. ઓરેનબર્ગ, OGPI, 1991.

.પ્રસોલોવ વી.જી. પ્લાનિમેટ્રીમાં સમસ્યાઓ. - ચોથી આવૃત્તિ, પૂરક - એમ.: મોસ્કો સેન્ટર ફોર કન્ટીન્યુઈંગ મેથેમેટિકલ એજ્યુકેશન, 2001નું પબ્લિશિંગ હાઉસ.

Sverdlovsk પ્રદેશના સામાન્ય અને વ્યવસાયિક શિક્ષણ મંત્રાલય.

યેકાટેરિનબર્ગની મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા.

શૈક્ષણિક સંસ્થા - મૌસોશ નંબર 212 "એકાટેરિનબર્ગ કલ્ચરલ લિસિયમ"

શૈક્ષણિક ક્ષેત્ર - ગણિત.

વિષય - ભૂમિતિ.

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ

સંદર્ભિત: 8મા ધોરણનો વિદ્યાર્થી

સેલિટ્સ્કી દિમિત્રી કોન્સ્ટેન્ટિનોવિચ.

વૈજ્ઞાનિક નિરીક્ષક:

રબકાનોવ સેર્ગેઈ પેટ્રોવિચ.

એકટેરિનબર્ગ, 2001

પરિચય 3

વર્ણનાત્મક ભાગ:

ઓર્થોસેન્ટર 4

આઈસેન્ટર 5

ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર 7

પરિભ્રમણકેન્દ્ર 8

યુલર લાઇન 9

વ્યવહારુ ભાગ:

ઓર્થોસેન્ટ્રિક ત્રિકોણ 10

નિષ્કર્ષ 11

સંદર્ભો 11

પરિચય.

ભૂમિતિ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે. અઢી હજાર વર્ષોથી, ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક છે. તેના નવા ગુણધર્મો સતત શોધવામાં આવે છે. ત્રિકોણના તમામ જાણીતા ગુણધર્મો વિશે વાત કરવામાં ઘણો સમય લાગશે. મને કહેવાતા "ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ" માં રસ હતો. આવા બિંદુઓનું ઉદાહરણ દ્વિભાજકોનું આંતરછેદ બિંદુ છે. નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે જો તમે અવકાશમાં ત્રણ મનસ્વી બિંદુઓ લો, તેમાંથી ત્રિકોણ બનાવો અને દ્વિભાજકો દોરો, તો તેઓ (દ્વિભાજકો) એક બિંદુ પર છેદે છે! એવું લાગે છે કે આ શક્ય નથી, કારણ કે અમે મનસ્વી મુદ્દાઓ લીધા છે, પરંતુ આ નિયમ હંમેશા લાગુ પડે છે. અન્ય "નોંધપાત્ર બિંદુઓ" સમાન ગુણધર્મો ધરાવે છે.

આ વિષય પરનું સાહિત્ય વાંચ્યા પછી, મેં મારા માટે પાંચ અદ્ભુત બિંદુઓ અને ત્રિકોણની વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો નક્કી કર્યા. પરંતુ મારું કાર્ય ત્યાં સમાપ્ત થતું નથી;

તેથી જ લક્ષ્યઆ કાર્ય ત્રિકોણના કેટલાક નોંધપાત્ર ગુણધર્મોનો અભ્યાસ છે અને ઓર્થોસેન્ટ્રિક ત્રિકોણનો અભ્યાસ છે. આ ધ્યેય હાંસલ કરવાની પ્રક્રિયામાં, નીચેના તબક્કાઓને ઓળખી શકાય છે:

શિક્ષકની મદદથી સાહિત્યની પસંદગી

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ અને રેખાઓના મૂળભૂત ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવો

આ ગુણધર્મોનું સામાન્યીકરણ

ઓર્થોસેન્ટ્રિક ત્રિકોણને લગતી સમસ્યાને દોરવી અને ઉકેલવી

મેં આ સંશોધન કાર્યમાં મેળવેલ પરિણામો રજૂ કર્યા. મેં કોમ્પ્યુટર ગ્રાફિક્સ (વેક્ટર ગ્રાફિક્સ એડિટર CorelDRAW) નો ઉપયોગ કરીને તમામ ડ્રોઇંગ બનાવ્યા છે.

ઓર્થોસેન્ટર. (ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ)

ચાલો સાબિત કરીએ કે ઊંચાઈઓ એક બિંદુ પર છેદે છે. ચાલો તમને શિખરો પર લઈ જઈએ એ, INઅને સાથેત્રિકોણ ABCવિરુદ્ધ બાજુઓની સમાંતર સીધી રેખાઓ. આ રેખાઓ ત્રિકોણ બનાવે છે એ 1 IN 1 સાથે 1 . ત્રિકોણની ઊંચાઈ ABCત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો છે એ 1 IN 1 સાથે 1 . તેથી, તેઓ એક બિંદુએ છેદે છે - ત્રિકોણના પરિઘનું કેન્દ્ર એ 1 IN 1 સાથે 1 . ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદના બિંદુને ઓર્થોસેન્ટર કહેવામાં આવે છે ( એચ).

Icentre એ અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

(દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ)

ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો ABCએક બિંદુ પર છેદે. મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો વિશેકોણ દ્વિભાજક આંતરછેદો એઅને IN. કોણ A ના દ્વિભાજકના કોઈપણ બિંદુઓ રેખાઓથી સમાન છે એબીઅને એસી, અને કોણ દ્વિભાજકનો કોઈપણ બિંદુ INસીધી રેખાઓથી સમાન અંતર એબીઅને સૂર્ય, તેથી બિંદુ વિશેસીધી રેખાઓથી સમાન અંતર એસીઅને સૂર્ય, એટલે કે તે કોણના દ્વિભાજક પર આવેલું છે સાથે. બિંદુ વિશેસીધી રેખાઓથી સમાન અંતર એબી, સૂર્યઅને એસ.એ, જેનો અર્થ છે કે કેન્દ્ર સાથે એક વર્તુળ છે વિશે, આ રેખાઓ પર સ્પર્શક છે, અને સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુઓ બાજુઓ પર સ્થિત છે, અને તેમના વિસ્તરણ પર નહીં. હકીકતમાં, શિરોબિંદુઓ પરના ખૂણા એઅને INત્રિકોણ AOBતીક્ષ્ણ તેથી પ્રક્ષેપણ બિંદુ વિશેસીધા એબીસેગમેન્ટની અંદર આવેલું છે એબી.

પક્ષો માટે સૂર્યઅને એસ.એસાબિતી સમાન છે.

આઈસેન્ટરમાં ત્રણ ગુણધર્મો છે:

જો કોણ દ્વિભાજક ચાલુ રહે છે સાથેત્રિકોણના પરિઘને છેદે છે ABCબિંદુ પર એમ, તે એમ.એ=એમ.વી=મો.

જો એબી- સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો આધાર ABC, પછી ખૂણાની બાજુઓ પર વર્તુળ સ્પર્શક ડીઆઈએબિંદુઓ પર એઅને IN, બિંદુમાંથી પસાર થાય છે વિશે.

જો કોઈ બિંદુમાંથી કોઈ રેખા પસાર થતી હોય વિશેબાજુની સમાંતર એબી, બાજુઓને પાર કરે છે સૂર્યઅને એસ.એબિંદુઓ પર એ 1 અને IN 1 , તે એ 1 IN 1 =એ 1 IN+એબી 1 .

ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્ર. (મીડિયન્સના આંતરછેદનું બિંદુ)

ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે. આ માટે, મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો એમ, જેના પર મધ્યક છેદે છે એએ 1 અને બીબી 1 . ચાલો ત્રિકોણમાં દોરીએ બીબી 1 સાથેમધ્યરેખા એ 1 એ 2 , સમાંતર બીબી 1 . પછી એ 1 M:AM=IN 1 એ 2 : એબી 1 =IN 1 એ 2 : IN 1 સાથે=વી.એ 1 : સૂર્ય=1:2, એટલે કે મધ્ય આંતરછેદ બિંદુ બીબી 1 અને એએ 1 મધ્યને વિભાજિત કરે છે એએ 1 1:2 ના ગુણોત્તરમાં. એ જ રીતે, મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ એસ.એસ 1 અને એએ 1 મધ્યને વિભાજિત કરે છે એએ 1 1:2 ના ગુણોત્તરમાં. તેથી, મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ એએ 1 અને બીબી 1 મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ સાથે એકરુપ છે એએ 1 અને એસ.એસ 1 .

જો ત્રિકોણના મધ્યનું આંતરછેદ બિંદુ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલ હોય, તો ત્રિકોણ સમાન ક્ષેત્રફળના ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત થશે. ખરેખર, તે સાબિત કરવા માટે પૂરતું છે કે જો આર- મધ્યનો કોઈપણ બિંદુ એએ 1 ત્રિકોણમાં ABC, પછી ત્રિકોણના વિસ્તારો AVRઅને ACPસમાન છે. છેવટે, મધ્યક એએ 1 અને આરએ 1 ત્રિકોણમાં ABCઅને આરવીએસતેમને સમાન વિસ્તારના ત્રિકોણમાં કાપો.

વાતચીતનું નિવેદન પણ સાચું છે: જો અમુક બિંદુ માટે આર, ત્રિકોણની અંદર પડેલો ABC, ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ AVR, એચઆરવીઅને SARસમાન છે, પછી આર- મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ.

આંતરછેદ બિંદુમાં એક વધુ મિલકત છે: જો તમે કોઈપણ સામગ્રીમાંથી ત્રિકોણ કાપી નાખો, તેના પર મધ્યકો દોરો, મધ્યના આંતરછેદ બિંદુ પર લિફ્ટર જોડો અને ત્રપાઈ પર સસ્પેન્શન સુરક્ષિત કરો, તો મોડેલ (ત્રિકોણ) અંદર હશે. સમતુલાની સ્થિતિ, તેથી, આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણના ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્ર સિવાય બીજું કંઈ નથી.

ઘેરાયેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર.

ચાલો સાબિત કરીએ કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓમાંથી એક બિંદુ સમાન છે, અથવા, બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ત્રિકોણના ત્રણ શિરોબિંદુઓમાંથી એક વર્તુળ પસાર થાય છે. પોઈન્ટથી સમાન અંતરે આવેલા પોઈન્ટનું સ્થાન એઅને IN, સેગમેન્ટને લંબ છે એબી, તેના મધ્યમાંથી પસાર થવું (સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજક એબી). મુદ્દાને ધ્યાનમાં લો વિશે, જેમાં ખંડોના લંબના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે એબીઅને સૂર્ય. ડોટ વિશેબિંદુઓથી સમાન અંતરે એઅને IN, તેમજ પોઈન્ટમાંથી INઅને સાથે. તેથી તે બિંદુઓથી સમાન છે એઅને સાથે, એટલે કે તે સેગમેન્ટના લંબ દ્વિભાજક પર પણ આવેલું છે એસી.

કેન્દ્ર વિશેજો ત્રિકોણ તીવ્ર હોય તો જ પરિઘ ત્રિકોણની અંદર આવેલું છે. જો ત્રિકોણ કાટખૂણે હોય, તો બિંદુ વિશેકર્ણોની મધ્ય સાથે એકરુપ છે, અને જો શિરોબિંદુ પરનો કોણ છે સાથેમંદબુદ્ધિ પછી સીધા એબીબિંદુઓને અલગ કરે છે વિશેઅને સાથે.

ગણિતમાં, ઘણી વાર એવું બને છે કે સંપૂર્ણપણે અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત વસ્તુઓ સમાન હોય છે. ચાલો એક ઉદાહરણ સાથે આ બતાવીએ.

દો એ 1 , IN 1 ,સાથે 1 - બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સૂર્ય,એસ.એઅને એબી. તે સાબિત કરી શકાય છે કે ત્રિકોણના વર્તુળો ઘેરાયેલા છે એબી 1 સાથે, એ 1 સૂર્ય 1 અને એ 1 IN 1 સાથે 1 એક બિંદુ પર છેદે છે, અને આ બિંદુ ત્રિકોણનું પરિઘ છે ABC. તેથી, આપણી પાસે બે દેખીતી રીતે સંપૂર્ણપણે અલગ બિંદુઓ છે: ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ ABCઅને ત્રિકોણના વર્તુળોના આંતરછેદ બિંદુ એબી 1 સાથે 1 , એ 1 સૂર્યઅને એ 1 IN 1 સાથે 1 . પરંતુ તે તારણ આપે છે કે આ બે બિંદુઓ એકરૂપ છે.

યુલરની સીધી રેખા.

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓની સૌથી અદ્ભુત મિલકત એ છે કે તેમાંના કેટલાક ચોક્કસ સંબંધો દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે. ઉદાહરણ તરીકે, ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર એમ, ઓર્થોસેન્ટર એનઅને વર્તુળનું કેન્દ્ર વિશેસમાન સીધી રેખા પર આડો, અને બિંદુ M સેગમેન્ટ OH ને વિભાજિત કરે છે જેથી સંબંધ માન્ય હોય OM:MN=1:2. આ પ્રમેય સ્વિસ વૈજ્ઞાનિક લિયોનાર્ડો યુલર દ્વારા 1765 માં સાબિત થયો હતો.

ઓર્થોસેન્ટ્રિક ત્રિકોણ.

ઓર્થોસેન્ટ્રિક ત્રિકોણ(ઓર્થોટ્રિન્ગલ) એક ત્રિકોણ છે ( એમએનTO), જેના શિરોબિંદુઓ આ ત્રિકોણની ઊંચાઈના પાયા છે ( ABC). આ ત્રિકોણમાં ઘણી રસપ્રદ ગુણધર્મો છે. ચાલો તેમાંથી એક આપીએ.

મિલકત.

સાબિત કરો:

ત્રિકોણ એકેએમ, સીએમએનઅને બીકેએનત્રિકોણ જેવું જ ABC;

ઓર્થોટ્રિન્ગલના ખૂણા MNKછે: એલ કેએનએમ = π - 2 એલ એ,એલકેએમએન = π – 2 એલ બી, એલ MNK = π - - 2 એલ સી.

પુરાવો:

અમારી પાસે છે એબી cos એ, એ.કે. cos એ. આથી, એ.એમ./એબી = એ.કે./A.C..

કારણ કે ત્રિકોણ પર ABCઅને એકેએમખૂણો એ– સામાન્ય, પછી તેઓ સમાન છે, જેમાંથી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે કોણ એલ એકેએમ = એલ સી. તેથી જ એલ બીકેએમ = એલ સી. આગળ અમારી પાસે છે એલ MKC= π/2 – એલ સી, એલ NKC= π/2 – - - એલ સી, એટલે કે એસ.કે- કોણ દ્વિભાજક MNK. તેથી, એલ MNK= π – 2 એલ સી. બાકીની સમાનતાઓ એ જ રીતે સાબિત થાય છે.

નિષ્કર્ષ.

આ સંશોધન કાર્યના અંતે, નીચેના તારણો દોરવામાં આવી શકે છે:

ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ અને રેખાઓ છે:

ઓર્થોસેન્ટરત્રિકોણનું તેની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ છે;

અને કેન્દ્રત્રિકોણ એ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ છે;

ગુરુત્વાકર્ષણ કેન્દ્રત્રિકોણનું તેના મધ્યકનું આંતરછેદનું બિંદુ છે;

પરિઘ કેન્દ્ર- દ્વિભાજક લંબના આંતરછેદનું બિંદુ છે;

યુલરની સીધી રેખા- આ એક સીધી રેખા છે જેના પર ગુરુત્વાકર્ષણનું કેન્દ્ર, ઓર્થોસેન્ટર અને ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર આવેલું છે.

ઓર્થોસેન્ટ્રિક ત્રિકોણ આપેલ ત્રિકોણને ત્રણ સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે.

આ કાર્ય કર્યા પછી, મેં ત્રિકોણના ગુણધર્મો વિશે ઘણું શીખ્યા. આ કાર્ય મારા માટે ગણિતના ક્ષેત્રમાં મારા જ્ઞાનને વિકસાવવાના દૃષ્ટિકોણથી સંબંધિત હતું. ભવિષ્યમાં, હું આ રસપ્રદ વિષય વિકસાવવા માંગુ છું.

સંદર્ભો.

કિસેલ્યોવ એ.પી. પ્રાથમિક ભૂમિતિ. - એમ.: શિક્ષણ, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. ભૂમિતિ સાથે નવા મેળાપ.

- એમ.: નૌકા, 1978.

પ્રસોલોવ વી.વી. પ્લાનિમેટ્રીમાં સમસ્યાઓ. – એમ.: નૌકા, 1986. – ભાગ 1.

શરીગિન આઈ.એફ. ભૂમિતિ સમસ્યાઓ: પ્લાનિમેટ્રી. - એમ.: નૌકા, 1986.

Scanavi M.I. ગણિત. ઉકેલો સાથે સમસ્યાઓ. - રોસ્ટોવ-ઓન-ડોન: ફોનિક્સ, 1998.

ત્રિકોણ મધ્યનું આંતરછેદ બિંદુ

પ્રમેય 1

પુરાવો.

આકૃતિ 1. ત્રિકોણનો મધ્યક

તેવી જ રીતે, તે સાબિત થાય છે

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણ દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ

પ્રમેય 2

પુરાવો.

આકૃતિ 2. ત્રિકોણ દ્વિભાજકો

પ્રમેય 3

અવિકસિત કોણના દ્વિભાજકનો દરેક બિંદુ તેની બાજુઓથી સમાન છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ

પ્રમેય 4

ત્રિકોણની બાજુઓ પર લંબરૂપ દ્વિભાજકો એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

આકૃતિ 3. ત્રિકોણના લંબ દ્વિભાજકો

તેને સાબિત કરવા માટે, અમને નીચેના પ્રમેયની જરૂર છે.

પ્રમેય 5

સેગમેન્ટમાં લંબરૂપ દ્વિભાજકનો પ્રત્યેક બિંદુ સેગમેન્ટના છેડાથી સમાન છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

ત્રિકોણની ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ

પ્રમેય 6

ત્રિકોણની ઊંચાઈઓ અથવા તેમના વિસ્તરણ એક બિંદુ પર છેદે છે.

પુરાવો.

આકૃતિ 4. ત્રિકોણની ઊંચાઈ

બર્જર એમ. બે ગ્રંથોમાં ભૂમિતિ - એમ: મીર, 1984.

બરાનોવા એલેના

આ કાર્ય ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓ, તેમના ગુણધર્મો અને પેટર્નની તપાસ કરે છે, જેમ કે નવ-બિંદુ વર્તુળ અને યુલર સીધી રેખા. યુલરની સીધી રેખા અને નવ-બિંદુ વર્તુળની શોધની ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ આપવામાં આવી છે. મારા પ્રોજેક્ટની અરજીની વ્યવહારિક દિશા સૂચિત છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

પ્રસ્તુતિ પૂર્વાવલોકનોનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને તેમાં લોગ ઇન કરો: https://accounts.google.com

સ્લાઇડ કૅપ્શન્સ:

"ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ." (ગણિતના લાગુ અને મૂળભૂત પ્રશ્નો) એલેના બરાનોવા 8મું ધોરણ, MKOU “માધ્યમિક શાળા નં. 20” Pos. Novoizobilny, Dukhanina Tatyana Vasilievna, ગણિત શિક્ષક, મ્યુનિસિપલ શૈક્ષણિક સંસ્થા "માધ્યમિક શાળા નંબર 20" Novoizobilny ગામ 2013. મ્યુનિસિપલ રાજ્ય શૈક્ષણિક સંસ્થા "માધ્યમિક શાળા નંબર 20"

ધ્યેય: તેના નોંધપાત્ર બિંદુઓ માટે ત્રિકોણનો અભ્યાસ કરો, તેમના વર્ગીકરણ અને ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરો. ઉદ્દેશ્યો: 1. જરૂરી સાહિત્યનો અભ્યાસ કરો 2. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓના વર્ગીકરણનો અભ્યાસ કરો 3.. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓના ગુણધર્મોથી પરિચિત થાઓ 4. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓનું નિર્માણ કરવામાં સમર્થ થાઓ. 5. નોંધપાત્ર મુદ્દાઓના અવકાશનું અન્વેષણ કરો. અભ્યાસનો હેતુ - ગણિતનો વિભાગ - ભૂમિતિ અભ્યાસનો વિષય - ત્રિકોણ સુસંગતતા: ત્રિકોણ, તેના નોંધપાત્ર બિંદુઓના ગુણધર્મો વિશે તમારા જ્ઞાનને વિસ્તૃત કરો. પૂર્વધારણા: ત્રિકોણ અને પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ

દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણના દ્વિભાજકોનો આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણની બાજુઓથી સમાન છે. OM=OA=OB

ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ ત્રિકોણના દ્વિભાજકોના આંતરછેદનું બિંદુ, જેના શિરોબિંદુઓ ઊંચાઈના પાયા છે, તે ત્રિકોણની ઊંચાઈઓના આંતરછેદના બિંદુ સાથે એકરુપ છે.

મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ ત્રિકોણના મધ્યક એક બિંદુ પર છેદે છે, જે શિરોબિંદુમાંથી ગણીને દરેક મધ્યકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. જો મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ શિરોબિંદુઓ સાથે જોડાયેલ હોય, તો ત્રિકોણ સમાન ક્ષેત્રફળના ત્રણ ત્રિકોણમાં વિભાજિત થશે. મધ્યસ્થીઓના આંતરછેદ બિંદુની એક મહત્વપૂર્ણ મિલકત એ હકીકત છે કે વેક્ટરનો સરવાળો, જેની શરૂઆત મધ્યકનો આંતરછેદ બિંદુ છે અને છેડા ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે, તે શૂન્ય M1 N C B A m2 m3 M1 બરાબર છે. N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3

ટોરીસેલી પોઈન્ટ નોંધ: જો ત્રિકોણના બધા ખૂણા 120 કરતા ઓછા હોય તો ટોરીસેલી પોઈન્ટ અસ્તિત્વમાં છે.

નવ બિંદુઓનું વર્તુળ B1, A1, C1 – ઊંચાઈના પાયા; A2, B2, C2 – અનુરૂપ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ; A3, B3, C3, સેગમેન્ટ્સ AN, VN અને CH ના મધ્યબિંદુઓ છે.

યુલરની સીધી રેખા મધ્યના આંતરછેદનું બિંદુ, ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ, નવ બિંદુઓના વર્તુળનું કેન્દ્ર એક સીધી રેખા પર આવેલું છે, જેને આ પેટર્ન નક્કી કરનાર ગણિતશાસ્ત્રીના માનમાં યુલરની સીધી રેખા કહેવામાં આવે છે.

નોંધપાત્ર બિંદુઓની શોધના ઇતિહાસમાંથી થોડુંક 1765 માં, યુલરે શોધ્યું કે ત્રિકોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ અને તેની ઊંચાઈના પાયા એક જ વર્તુળ પર આવેલા છે. ત્રિકોણના નોંધપાત્ર બિંદુઓની સૌથી આશ્ચર્યજનક મિલકત એ છે કે તેમાંના કેટલાક ચોક્કસ ગુણોત્તર દ્વારા એકબીજા સાથે જોડાયેલા છે. મધ્યવર્તી M ના આંતરછેદનું બિંદુ, H ઊંચાઈના આંતરછેદનું બિંદુ, અને વર્તુળ O નું કેન્દ્ર સમાન સીધી રેખા પર આવેલું છે, અને બિંદુ M સેગમેન્ટ OH ને વિભાજિત કરે છે જેથી સંબંધ OM: OH = 1: 2 માન્ય છે આ પ્રમેય 1765 માં લિયોનહાર્ડ યુલર દ્વારા સાબિત થયું હતું.

ભૂમિતિ અને પ્રકૃતિ વચ્ચેનું જોડાણ. આ સ્થિતિમાં, સંભવિત ઉર્જા સૌથી નાનું મૂલ્ય ધરાવે છે અને MA+MB+MC સેગમેન્ટ્સનો સરવાળો સૌથી નાનો હશે, અને ટોરિસેલી બિંદુ પર શરૂઆત સાથે આ સેગમેન્ટ્સ પર પડેલા વેક્ટરનો સરવાળો શૂન્યના બરાબર હશે.

તારણો મેં શીખ્યા કે હું જાણું છું કે ઊંચાઈઓ, મધ્યક, દ્વિભાજકો અને લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના અદ્ભુત બિંદુઓ ઉપરાંત, ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ અને રેખાઓ પણ છે. હું મારી શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓમાં આ વિષય પર મેળવેલા જ્ઞાનનો ઉપયોગ કરી શકીશ, અમુક સમસ્યાઓ માટે સ્વતંત્ર રીતે પ્રમેય લાગુ કરી શકીશ અને શીખેલા પ્રમેયને વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં લાગુ કરી શકીશ. હું માનું છું કે ગણિત શીખવામાં ત્રિકોણના અદ્ભુત બિંદુઓ અને રેખાઓનો ઉપયોગ અસરકારક છે. તેમને જાણવું એ ઘણા કાર્યોના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી બનાવે છે. સૂચિત સામગ્રીનો ઉપયોગ ગણિતના પાઠમાં અને ધોરણ 5-9ના વિદ્યાર્થીઓ માટે અભ્યાસેતર પ્રવૃત્તિઓ બંનેમાં થઈ શકે છે.

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકનનો ઉપયોગ કરવા માટે, એક Google એકાઉન્ટ બનાવો અને સાઇન ઇન કરો: