કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ શું છે. અમુક પ્રકારના સિક્વન્સ

કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લો: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

જો આપણે દરેક કુદરતી સંખ્યાને બદલીએ nચોક્કસ સંખ્યા દ્વારા આ શ્રેણીમાં a n, કેટલાક કાયદાને અનુસરીને, અમને સંખ્યાઓની નવી શ્રેણી મળે છે:

a 1 , a 2 , a 3, , a n –1 , a n , ,

સંક્ષિપ્તમાં નિયુક્ત અને કહેવાય છે સંખ્યાત્મક ક્રમ. તીવ્રતા a nસંખ્યા ક્રમનો સામાન્ય સભ્ય કહેવાય છે. સામાન્ય રીતે સંખ્યા ક્રમ અમુક સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે a n = f(n) તમને અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યને તેની સંખ્યા દ્વારા શોધવાની મંજૂરી આપે છે n; આ સૂત્રને સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. નોંધ કરો કે સામાન્ય શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરવું હંમેશા શક્ય નથી; કેટલીકવાર તેના સભ્યોનું વર્ણન કરીને ક્રમ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, ક્રમમાં હંમેશા તત્વોની અનંત સંખ્યા હોય છે: કોઈપણ બે અલગ-અલગ તત્વો ઓછામાં ઓછા તેમની સંખ્યામાં ભિન્ન હોય છે, જેમાંથી અનંત ઘણા છે.

સંખ્યા ક્રમ એ ફંક્શનનો વિશિષ્ટ કેસ છે. ક્રમ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહ પર નિર્ધારિત કાર્ય છે અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં મૂલ્યો લે છે, એટલે કે ફોર્મનું કાર્ય f : એન  આર.

અનુગામી
કહેવાય છે વધારો(ઘટતું), જો કોઈ માટે n  એન
આવા સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે સખત એકવિધ.

કેટલીકવાર બધી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો નંબર તરીકે ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ નથી, પરંતુ તેમાંથી માત્ર કેટલીક (ઉદાહરણ તરીકે, કેટલીક કુદરતી સંખ્યાઓથી શરૂ થતી કુદરતી સંખ્યાઓ n 0). નંબરિંગ માટે માત્ર કુદરતી સંખ્યાઓ જ નહીં, પણ અન્ય સંખ્યાઓનો પણ ઉપયોગ કરવો શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, n= 0, 1, 2,  (અહીં કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહમાં શૂન્ય બીજી સંખ્યા તરીકે ઉમેરવામાં આવે છે). આવા કિસ્સાઓમાં, ક્રમનો ઉલ્લેખ કરતી વખતે, નંબરો કયા મૂલ્યો લે છે તે દર્શાવો n.

જો કોઈ માટે અમુક ક્રમમાં n  એન
પછી ક્રમ કહેવાય છે બિન-ઘટતું(બિન-વધતું). આવા સિક્વન્સ કહેવામાં આવે છે એકવિધ.

ઉદાહરણ 1 . સંખ્યા ક્રમ 1, 2, 3, 4, 5, ... એ કુદરતી સંખ્યાઓની શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય શબ્દ છે a n = n.

ઉદાહરણ 2 . સંખ્યા ક્રમ 2, 4, 6, 8, 10, ... એ સમ સંખ્યાઓની શ્રેણી છે અને તેનો સામાન્ય શબ્દ છે a n = 2n.

ઉદાહરણ 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … – વધતી સચોટતા સાથે અંદાજિત મૂલ્યોનો સંખ્યાત્મક ક્રમ.

છેલ્લા ઉદાહરણમાં ક્રમના સામાન્ય શબ્દ માટે સૂત્ર આપવાનું અશક્ય છે.

ઉદાહરણ 4 . સંખ્યા ક્રમના પ્રથમ 5 પદો તેના સામાન્ય પદનો ઉપયોગ કરીને લખો
. ગણતરી કરવી aસામાન્ય શબ્દ માટે સૂત્રમાં 1 જરૂરી છે a nતેના બદલે nગણતરી માટે 1 ને બદલે a 2 − 2, વગેરે. પછી આપણી પાસે છે:

ટેસ્ટ 6 . ક્રમ 1, 2, 6, 24, 120,  નો સામાન્ય સભ્ય છે:

1)

2)

3)

4)

ટેસ્ટ 7 .
છે:

1)

2)

3)

4)

ટેસ્ટ 8 . ક્રમનો સામાન્ય સભ્ય
છે:

1)

2)

3)

4)

સંખ્યા ક્રમ મર્યાદા

સંખ્યાના ક્રમને ધ્યાનમાં લો જેનો સામાન્ય શબ્દ અમુક સંખ્યાની નજીક પહોંચે છે એજ્યારે સીરીયલ નંબર વધે છે n. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા હોવાનું કહેવાય છે. આ ખ્યાલની વધુ કડક વ્યાખ્યા છે.

નંબર એસંખ્યા ક્રમની મર્યાદા કહેવાય છે
:

(1)

જો કોઈ  > 0 માટે આવી સંખ્યા હોય n 0 = n 0 (),  પર આધાર રાખીને, જે
ખાતે n > n 0 .

આ વ્યાખ્યાનો અર્થ થાય છે એસંખ્યા ક્રમની મર્યાદા હોય છે જો તેનો સામાન્ય શબ્દ મર્યાદા વિના પહોંચે છે એવધારો સાથે n. ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ  > 0 માટે આવી સંખ્યા શોધી શકાય છે n 0 , જે, થી શરૂ થાય છે n > n 0 , ક્રમના તમામ સભ્યો અંતરાલની અંદર સ્થિત છે ( એ – , એ+ ). મર્યાદા ધરાવતો ક્રમ કહેવાય છે કન્વર્જન્ટ; અન્યથા - અલગ.

સંખ્યાના ક્રમમાં ચોક્કસ ચિહ્નની માત્ર એક મર્યાદા (મર્યાદિત અથવા અનંત) હોઈ શકે છે.

ઉદાહરણ 5 . હાર્મોનિક ક્રમ મર્યાદા નંબર 0 છે. ખરેખર, સંખ્યા તરીકે કોઈપણ અંતરાલ (–; +) માટે એન 0 કરતાં મોટો કોઈપણ પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. પછી દરેક માટે n > n 0 > અમારી પાસે છે

ઉદાહરણ 6 . ક્રમ 2, 5, 2, 5,  અલગ છે. ખરેખર, લંબાઈનો કોઈ અંતરાલ, ઉદાહરણ તરીકે, એક, ચોક્કસ સંખ્યાથી શરૂ કરીને, ક્રમના તમામ સભ્યોને સમાવી શકે છે.

ક્રમ કહેવાય છે મર્યાદિત, જો આવી સંખ્યા અસ્તિત્વમાં છે એમ, શું
દરેક માટે n. દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમ બંધાયેલ છે. દરેક મોનોટોનિક અને બાઉન્ડેડ સિક્વન્સની એક મર્યાદા હોય છે. દરેક કન્વર્જન્ટ ક્રમની એક અનન્ય મર્યાદા હોય છે.

ઉદાહરણ 7 . અનુગામી
વધી રહી છે અને મર્યાદિત છે. તેણીની મર્યાદા છે
=ઇ.

નંબર ઇકહેવાય છે યુલર નંબરઅને લગભગ 2.718 28 ની બરાબર છે.

ટેસ્ટ 9 . ક્રમ 1, 4, 9, 16,  છે:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

ટેસ્ટ 10 . અનુગામી
છે:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

4) અંકગણિત પ્રગતિ;

5) ભૌમિતિક પ્રગતિ.

ટેસ્ટ 11 . અનુગામી નથી:

1) કન્વર્જન્ટ;

2) ભિન્ન;

3) મર્યાદિત;

4) હાર્મોનિક.

ટેસ્ટ 12 . સામાન્ય પદ દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમની મર્યાદા
સમાન

કુદરતી સંખ્યા એ એક અપરિવર્તિત સમૂહની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા છે, જો કે, વ્યવહારમાં, વસ્તુઓની સંખ્યા સતત બદલાતી રહે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ચોક્કસ ખેતરમાં પશુધનની સંખ્યા. તદુપરાંત, સૌથી સરળ, પણ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ક્રમ ગણતરી પ્રક્રિયામાં તરત જ દેખાય છે - આ કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ છે: 1, 2, 3, ....

જો ચોક્કસ વસ્તીમાં ઑબ્જેક્ટ્સની સંખ્યામાં ફેરફાર કુદરતી સંખ્યાઓના ચોક્કસ ક્રમ (ક્રમના સભ્યો) ના સ્વરૂપમાં નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે, તો તરત જ બીજો ક્રમ કુદરતી રીતે ઉદ્ભવે છે - ઉદાહરણ તરીકે સંખ્યાઓનો ક્રમ

આ સંદર્ભે, ક્રમના સભ્યોના નામકરણની સમસ્યા ઊભી થાય છે. નીચેના કારણોસર દરેક સભ્યને વિશેષ પત્ર સાથે નિયુક્ત કરવું અત્યંત અસુવિધાજનક છે. પ્રથમ, ક્રમમાં ખૂબ મોટી, અથવા તો અસંખ્ય શબ્દો શામેલ હોઈ શકે છે. બીજું, વિવિધ અક્ષરો એ હકીકતને છુપાવે છે કે ક્રમના સભ્યો સમાન વસ્તીના છે, તેમ છતાં તત્વોની સંખ્યા બદલાતી રહે છે. છેલ્લે, આ કિસ્સામાં અનુક્રમમાં સભ્ય સંખ્યાઓ પ્રતિબિંબિત થશે નહીં.

આ કારણો અમને ક્રમના સભ્યોને એક અક્ષર સાથે નિયુક્ત કરવા અને અનુક્રમણિકા દ્વારા અલગ પાડવા માટે દબાણ કરે છે. ઉદાહરણ તરીકે, દસ શબ્દોનો ક્રમ અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે એ: એ 1 , એ 2 , એ 3 , …, એ 10. હકીકત એ છે કે ક્રમ અનંત છે તે અંડાકાર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, જેમ કે આ ક્રમને અનિશ્ચિત સમય સુધી લંબાવવામાં આવે છે: એ 1 , એ 2 , એ 3, ... કેટલીકવાર ક્રમ શરૂઆતથી ક્રમાંકિત થવાનું શરૂ થાય છે: : એ 0 , એ 1 , એ 2 , એ 3 , …

કેટલાક અનુક્રમોને સંખ્યાના રેન્ડમ સેટ તરીકે માની શકાય છે, કારણ કે ક્રમના સભ્યોની રચનાનો કાયદો અજ્ઞાત છે, અથવા તો ગેરહાજર છે. જો કે, એવા સિક્વન્સ પર ખાસ ધ્યાન દોરવામાં આવે છે કે જેના માટે આવો કાયદો જાણીતો છે.

ક્રમ સભ્યોની રચનાના કાયદાને સૂચવવા માટે, બે પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ મોટેભાગે થાય છે. તેમાંથી પ્રથમ નીચે મુજબ છે. પ્રથમ શબ્દ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, અને પછી પદ્ધતિ નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જે મુજબ છેલ્લી, પહેલાથી જાણીતી શબ્દનો ઉપયોગ કરીને આગામી એક મેળવવામાં આવે છે. કાયદો લખવા માટે, અસ્પષ્ટ નંબર સાથેના ક્રમ સભ્યનો ઉપયોગ થાય છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને kઅને આગામી સભ્ય અને k +1, જે પછી તેમને જોડતું સૂત્ર લખવામાં આવે છે.

સૌથી પ્રખ્યાત અને મહત્વપૂર્ણ ઉદાહરણો અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. અંકગણિત પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને k +1 = અને k + r(અથવા અને k +1 = અને k – આર). અંકગણિત પ્રગતિની શરતો કાં તો એકસરખી રીતે વધે છે (સીડીની જેમ) અથવા એકસરખી રીતે ઘટે છે (નિસરણીની જેમ). તીવ્રતા આરકારણ કે પ્રગતિ તફાવત કહેવાય છે અને k +1 – અને k = આર. પ્રાકૃતિક શબ્દો સાથે અંકગણિત પ્રગતિના ઉદાહરણો છે

એ) કુદરતી સંખ્યાઓ ( a 1 = 1 ;અને k +1 = અને k + 1);

b) અનંત ક્રમ 1, 3, 5, 7, … ( a 1 = 1 ;અને k +1 = અને k + 2);

c) અંતિમ ક્રમ 15, 12, 9, 6, 3 ( a 1 = 15 ;અને k +1 = અને k–3 ).

ભૌમિતિક પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે b k +1 = b k ∙q. તીવ્રતા qકારણ કે ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ કહેવાય છે b k +1:b k = q. કુદરતી શરતો સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ અને એકથી વધુનો છેદ હિમપ્રપાતની જેમ ઝડપથી વધે છે અને વધે છે. કુદરતી શરતો સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના ઉદાહરણો છે

a) અનંત ક્રમ 1, 2, 4, 8, … ( b 1 = 1 ;b k +1 = b k ∙2);

b) અનંત ક્રમ 3, 12, 48, 192, 768,… ( b 1 = 3 ;b k +1 = b k ∙4).

ક્રમની શરતો નક્કી કરવા માટેનો કાયદો સૂચવવાની બીજી રીત એ છે કે એક સૂત્ર સૂચવવું જે તમને અસ્પષ્ટ સંખ્યા (સામાન્ય શબ્દ) સાથે અનુક્રમ સભ્યની ગણતરી કરવાની મંજૂરી આપે છે, ઉદાહરણ તરીકે, અને k, નંબરનો ઉપયોગ કરીને k.

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતો પણ આ રીતે ગણી શકાય. કારણ કે અંકગણિતની પ્રગતિ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે અને k +1 = અને k + rસભ્ય કેવી રીતે વ્યક્ત થાય છે તે સમજવું સરળ છે અને kનંબરનો ઉપયોગ કરીને k:

a 1- મનસ્વી રીતે નક્કી;

a 2 = a 1 + r = a 1 + 1∙r;

a 3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2∙r;

a 4 = a 3 + r = a 1 + 2∙r + r = a 1 + 3∙r;

…………………………………

અને k = a 1 + (k–1) ∙ આર- અંતિમ સૂત્ર.

ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે, સામાન્ય શબ્દ માટેનું સૂત્ર સમાન રીતે લેવામાં આવ્યું છે: b k = b 1 ∙ q k –1 .

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ ઉપરાંત, અન્ય અનુક્રમો કે જેમાં પરિવર્તનનું વિશિષ્ટ પાત્ર હોય છે તે જ રીતે નક્કી કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અમે કુદરતી સંખ્યાઓના ચોરસનો ક્રમ આપીએ છીએ: s k = k 2: 1 2 = 1, 2 2 = 4, 3 2 = 9, 4 2 = 16, 5 2 = 25…

સિક્વન્સ બનાવવાની વધુ જટિલ રીતો છે, ઉદાહરણ તરીકે, એક બીજાની મદદથી બનાવવામાં આવે છે. અંકગણિત માટે વિશેષ મહત્વ એ પરિમાણો દ્વારા નિર્ધારિત ભૌમિતિક પ્રગતિ છે b 1 = 1, q= 10, એટલે કે, દસની શક્તિઓનો ક્રમ: 1 = 10 0, 10 = 10 1, 10 2, 10 3, ..., 10 k, ... તેનો ઉપયોગ સ્થિતિની સંખ્યામાં કુદરતી સંખ્યાઓને દર્શાવવા માટે થાય છે. સિસ્ટમ વધુમાં, દરેક કુદરતી સંખ્યા માટે nએક ક્રમ દેખાય છે જેમાં સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેની સાથે આપેલ નંબર લખવામાં આવે છે: a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. નંબર અને kપ્રકાર 10 ના કેટલા શબ્દો સૂચવે છે kસંખ્યા ધરાવે છે n.

ક્રમની વિભાવના ગણિત માટે જથ્થા અને કાર્યની સૌથી મહત્વપૂર્ણ વિભાવનાઓ તરફ દોરી જાય છે. જથ્થો એ પદાર્થ અથવા ઘટનાની બદલાતી સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે. તેના ફેરફારને સંખ્યાઓના ક્રમ તરીકે જોવામાં આવે છે. શબ્દો અને તેમની સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધનું અસ્તિત્વ, તેમજ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તેની અભિવ્યક્તિ, કાર્યની વિભાવનાને નજીકથી દોરી જાય છે.

સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક શોધ, જેનો ઉપયોગ એકદમ વિકસિત સમાજના લગભગ દરેક સભ્ય દ્વારા કરવામાં આવે છે, તે સ્થિતિની સંખ્યા સિસ્ટમ છે. તે ગણતરીની મુખ્ય સમસ્યાને હલ કરવાનું શક્ય બનાવ્યું, જે ફક્ત પ્રથમ થોડા નંબરો માટે સંકેતો (અંકો) નો ઉપયોગ કરીને વધુ અને વધુ નવા નંબરોને નામ આપવાની ક્ષમતા છે.

પોઝિશનલ નંબર સિસ્ટમ પરંપરાગત રીતે દસ નંબર સાથે સંકળાયેલી છે, પરંતુ અન્ય સિસ્ટમો, ઉદાહરણ તરીકે, બાઈનરી, સમાન સિદ્ધાંતો પર બાંધી શકાય છે. દશાંશ સ્થાનીય નંબર સિસ્ટમ બનાવતી વખતે, દસ અરબી અંકો રજૂ કરવામાં આવે છે: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. તેમની સહાયથી, એક સંખ્યા લખી શકાય છે જે વસ્તુઓની સંખ્યાને વ્યક્ત કરે છે. કોઈપણ મર્યાદિત સમૂહ. આ હેતુ માટે, એક વિશિષ્ટ અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, એટલે કે, પ્રાથમિક ક્રિયાઓનો સ્પષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત ક્રમ.

ગણાતી વસ્તુઓને દસના જૂથોમાં જોડવામાં આવે છે, જે બાકીના સાથે દસ વડે ભાગાકારને અનુરૂપ છે. પરિણામે, બે સેટ રચાય છે - એક અને દસ. દસને ફરીથી સેંકડોમાં દસ દ્વારા જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે દસની સંખ્યા (અમે તેને દ્વારા સૂચિત કરીએ છીએ a 1) આવશ્યકપણે દસ કરતાં ઓછું છે, અને તેથી, a 1સંખ્યા દ્વારા સૂચવી શકાય છે. પછી સેંકડોને હજારોમાં, હજારોને દસ હજારમાં, વગેરેમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. મોટા સૂચકાંકોમાંથી નાનામાં ડાબેથી જમણે પરિણામી સંખ્યાઓ લખીને સંખ્યાનું નિર્માણ પૂર્ણ થાય છે. ડિજિટલ અને k 10 ના પદાર્થોના જૂથોની સંખ્યાને અનુરૂપ k. સંખ્યાના અંતિમ રેકોર્ડમાં અંકોનો મર્યાદિત ક્રમ હોય છે a n a n – 1 ... a 2 a 1 a 0. અનુરૂપ સંખ્યા અભિવ્યક્તિ સમાન છે

а n ·10 n + а n – 1 ·10 n – 1 + … + а 2 ·10 2 + а 1 ·10 1 + а 0 ·10 0.

નંબર સિસ્ટમના નામમાં "પોઝિશનલ" શબ્દ એ હકીકતને કારણે છે કે સંખ્યાના સંકેતમાં તેની સ્થિતિના આધારે સંખ્યા તેના અર્થને બદલે છે. છેલ્લો અંક એકમોની સંખ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, ઉપાંત્ય અંક દસની સંખ્યાને સ્પષ્ટ કરે છે, વગેરે.

નોંધ કરો કે કોઈપણ આધાર સાથે નંબર સિસ્ટમમાં સંખ્યાઓનો રેકોર્ડ મેળવવા માટેનું અલ્ગોરિધમ એન: અનુસાર વસ્તુઓના ક્રમિક જૂથીકરણનો સમાવેશ થાય છે એનવસ્તુઓ નંબરો લખતી વખતે તમારે ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે એનસંખ્યાઓ

અનુગામી

અનુગામી- આ કિટકેટલાક સમૂહના ઘટકો:

• દરેક કુદરતી સંખ્યા માટે તમે આપેલ સમૂહના તત્વનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો;
• આ સંખ્યા એ તત્વની સંખ્યા છે અને ક્રમમાં આ તત્વની સ્થિતિ સૂચવે છે;
• ક્રમના કોઈપણ તત્વ (સદસ્ય) માટે, તમે અનુક્રમના આગલા ઘટકનો ઉલ્લેખ કરી શકો છો.

તેથી ક્રમ પરિણામ તરીકે બહાર આવે છે સુસંગતઆપેલ સમૂહના ઘટકોની પસંદગી. અને, જો તત્વોનો કોઈપણ સમૂહ મર્યાદિત હોય, અને આપણે મર્યાદિત વોલ્યુમના નમૂના વિશે વાત કરીએ, તો ક્રમ અનંત વોલ્યુમનો નમૂનો હોવાનું બહાર આવે છે.

ક્રમ તેના સ્વભાવ દ્વારા એક મેપિંગ છે, તેથી તેને એવા સમૂહ સાથે ભેળસેળ ન કરવી જોઈએ કે જે ક્રમ "માર્ગે ચાલે છે".

ગણિતમાં, ઘણાં વિવિધ ક્રમ ગણવામાં આવે છે:

• બંને સંખ્યાત્મક અને બિન-સંખ્યાત્મક પ્રકૃતિની સમય શ્રેણી;
• મેટ્રિક સ્પેસના તત્વોનો ક્રમ
• કાર્યાત્મક અવકાશ તત્વોનો ક્રમ
• કંટ્રોલ સિસ્ટમ્સ અને મશીનોની સ્થિતિનો ક્રમ.

તમામ સંભવિત સિક્વન્સનો અભ્યાસ કરવાનો હેતુ પેટર્ન શોધવા, ભવિષ્યની સ્થિતિની આગાહી કરવાનો અને સિક્વન્સ જનરેટ કરવાનો છે.

વ્યાખ્યા

મનસ્વી પ્રકૃતિના તત્વોનો ચોક્કસ સમૂહ આપવા દો. | પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાંથી આપેલ સમૂહ સુધીના કોઈપણ મેપિંગને કહેવામાં આવે છે ક્રમ(સેટના તત્વો).

કુદરતી સંખ્યાની છબી, એટલે કે, તત્વ, કહેવામાં આવે છે - મી સભ્યઅથવા ક્રમ તત્વ, અને ક્રમના સભ્યની ક્રમાંકિત સંખ્યા તેની અનુક્રમણિકા છે.

સંબંધિત વ્યાખ્યાઓ

• જો આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો વધતો ક્રમ લઈએ, તો તેને અમુક ક્રમના સૂચકાંકોના ક્રમ તરીકે ગણી શકાય: જો આપણે મૂળ ક્રમના ઘટકોને અનુરૂપ સૂચકાંકો સાથે લઈએ (કુદરતી સંખ્યાઓના વધતા ક્રમમાંથી લેવામાં આવે છે), તો પછી આપણે ફરીથી નામનો ક્રમ મેળવી શકો છો અનુગામીઆપેલ ક્રમ.

ટિપ્પણીઓ

• ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં, એક મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ એ સંખ્યા ક્રમની મર્યાદા છે.

હોદ્દો

ફોર્મની સિક્વન્સ

કૌંસનો ઉપયોગ કરીને સઘન રીતે લખવાનો રિવાજ છે:

કેટલીકવાર સર્પાકાર કૌંસનો ઉપયોગ થાય છે:

વાણીની થોડી સ્વતંત્રતાને મંજૂરી આપીને, આપણે ફોર્મના મર્યાદિત ક્રમને પણ ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ

જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ક્રમના પ્રારંભિક સેગમેન્ટની છબી રજૂ કરે છે.

પણ જુઓ

વિકિમીડિયા ફાઉન્ડેશન.

સમાનાર્થી

અનુગામી. I.V. કિરીવ્સ્કીના લેખ "ઓગણીસમી સદી" (1830) માં આપણે વાંચીએ છીએ: "રોમન સામ્રાજ્યના પતનથી લઈને આપણા સમય સુધી, યુરોપનું જ્ઞાન આપણને ક્રમશઃ વિકાસ અને અવિરત ક્રમમાં દેખાય છે" (વોલ્યુમ 1, પૃષ્ઠ. ... ... શબ્દોનો ઇતિહાસ

સિક્વન્સ, સિક્વન્સ, બહુવચન. ના, સ્ત્રી (પુસ્તક). વિચલિત સંજ્ઞા ક્રમિક માટે. ઘટનાઓનો ક્રમ. બદલાતી ભરતીમાં સુસંગતતા. તર્કમાં સુસંગતતા. ઉષાકોવનો સમજૂતી શબ્દકોષ..... ઉષાકોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

સ્થિરતા, સાતત્ય, તર્ક; પંક્તિ, પ્રગતિ, નિષ્કર્ષ, શ્રેણી, શબ્દમાળા, વળાંક, સાંકળ, સાંકળ, કાસ્કેડ, રિલે રેસ; દ્રઢતા, માન્યતા, સમૂહ, પદ્ધતિસરનીતા, વ્યવસ્થા, સંવાદિતા, મક્કમતા, અનુગામી, જોડાણ, કતાર, ... ... સમાનાર્થી શબ્દકોષ

ક્રમ, સંખ્યાઓ અથવા તત્વો સંગઠિત રીતે ગોઠવાય છે. ક્રમ મર્યાદિત (મર્યાદિત સંખ્યામાં ઘટકો ધરાવતો) અથવા અનંત હોઈ શકે છે, જેમ કે કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4 નો સંપૂર્ણ ક્રમ ....... ... વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ક્રમ, સંખ્યાઓનો સમૂહ (ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ, વગેરે; તેઓ કહે છે: કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો), કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત. ક્રમ x1, x2,..., xn,... અથવા સંક્ષિપ્તમાં (xi) ... તરીકે લખાયેલ છે. આધુનિક જ્ઞાનકોશ

ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક. ક્રમ કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો દ્વારા રચાય છે, કુદરતી સંખ્યાઓ 1, 2, ..., n, ... સાથે ક્રમાંકિત અને x1, x2, ..., xn, ... અથવા ટૂંકમાં (xn) તરીકે લખવામાં આવે છે. .. મોટા જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

અનુગામી- ક્રમ, સંખ્યાઓનો સમૂહ (ગાણિતિક અભિવ્યક્તિઓ, વગેરે; તેઓ કહે છે: કોઈપણ પ્રકૃતિના તત્વો), કુદરતી સંખ્યાઓ સાથે ક્રમાંકિત. ક્રમ x1, x2, ..., xn, ... અથવા સંક્ષિપ્તમાં (xi) તરીકે લખાયેલ છે. ... સચિત્ર જ્ઞાનકોશીય શબ્દકોશ

ક્રમ, અને, સ્ત્રી. 1. ક્રમિક જુઓ. 2. ગણિતમાં: સંખ્યાઓનો અનંત ક્રમાંકિત સમૂહ. ઓઝેગોવનો ખુલાસાત્મક શબ્દકોશ. એસ.આઈ. ઓઝેગોવ, એન.યુ. શ્વેડોવા. 1949 1992 … ઓઝેગોવની સમજૂતીત્મક શબ્દકોશ

અંગ્રેજી ઉત્તરાધિકાર/ક્રમ; જર્મન કોન્સેક્વેન્ઝ. 1. એક પછી એકનો ક્રમ. 2. ગણિતની મૂળભૂત વિભાવનાઓમાંની એક. 3. સાચી તાર્કિક વિચારસરણીની ગુણવત્તા, જેમાં તર્ક એક અને બીજામાં આંતરિક વિરોધાભાસથી મુક્ત હોય છે... ... સમાજશાસ્ત્રનો જ્ઞાનકોશ

અનુગામી- "કુદરતી સંખ્યાઓના સમૂહ પર નિર્ધારિત કાર્ય, મૂલ્યોનો સમૂહ જેમાં કોઈપણ પ્રકૃતિના ઘટકોનો સમાવેશ થઈ શકે છે: સંખ્યાઓ, બિંદુઓ, કાર્યો, વેક્ટર્સ, સમૂહો, રેન્ડમ ચલો, વગેરે, કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા ક્રમાંકિત.. . આર્થિક-ગાણિતિક શબ્દકોશ

પુસ્તકો

• અમે એક ક્રમ બનાવીએ છીએ. બિલાડીના બચ્ચાં. 2-3 વર્ષ. રમત "બિલાડીના બચ્ચાં". અમે એક ક્રમ બનાવીએ છીએ. સ્તર 1. શ્રેણી "પૂર્વશાળા શિક્ષણ". ખુશખુશાલ બિલાડીના બચ્ચાંએ બીચ પર સૂર્યસ્નાન કરવાનું નક્કી કર્યું! પરંતુ તેઓ સ્થાનોને વિભાજિત કરી શકતા નથી. તેમને મદદ કરો...

કુદરતી દલીલ n (n=1; 2; 3; 4;...) નું કાર્ય a n =f (n) ને સંખ્યા ક્રમ કહેવામાં આવે છે.

સંખ્યાઓ એ 1; a 2 ; a 3 ; a 4;…, એક ક્રમ બનાવે છે, તેને સંખ્યાત્મક ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. તેથી a 1 =f (1); a 2 =f (2); a 3 =f (3); a 4 =f (4);…

તેથી, અનુક્રમના સભ્યોને સૂચકાંકો દર્શાવતા અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે - તેમના સભ્યોના સીરીયલ નંબરો: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4;…, તેથી, a 1 એ ક્રમનો પ્રથમ સભ્ય છે;

a 2 એ ક્રમનો બીજો શબ્દ છે;

a 3 એ ક્રમનો ત્રીજો સભ્ય છે;

a 4 એ ક્રમનો ચોથો શબ્દ છે, વગેરે.

સંક્ષિપ્તમાં સંખ્યાત્મક ક્રમ નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: a n =f (n) અથવા (a n).

સંખ્યા ક્રમનો ઉલ્લેખ કરવાની નીચેની રીતો છે:

1) મૌખિક પદ્ધતિ.શબ્દોમાં વર્ણવેલ ક્રમના સભ્યોની ગોઠવણી માટે પેટર્ન અથવા નિયમનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

ઉદાહરણ 1. બધી બિન-ઋણાત્મક સંખ્યાઓનો ક્રમ લખો જે 5 ના ગુણાંક છે.

ઉકેલ. 0 અથવા 5 માં સમાપ્ત થતી તમામ સંખ્યાઓ 5 વડે વિભાજ્ય હોવાથી, ક્રમ આ રીતે લખવામાં આવશે:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

ઉદાહરણ 2. ક્રમ જોતાં: 1; 4; 9; 16; 25; 36; ... તેને મૌખિક રીતે પૂછો.

ઉકેલ. અમે નોંધ્યું છે કે 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગોનો સમાવેશ કરતો ક્રમ આપવામાં આવે છે.

2) વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ.ક્રમ nth શબ્દના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: a n =f (n). આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, તમે ક્રમના કોઈપણ સભ્યને શોધી શકો છો.

ઉદાહરણ 3. સંખ્યા ક્રમના kth પદ માટે અભિવ્યક્તિ જાણીતી છે: a k = 3+2·(k+1). આ ક્રમના પ્રથમ ચાર પદોની ગણતરી કરો.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

ઉદાહરણ 4. તેના પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક ક્રમ કંપોઝ કરવા માટેનો નિયમ નક્કી કરો અને સરળ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ક્રમના સામાન્ય શબ્દને વ્યક્ત કરો: 1; 3; 5; 7; 9; ...

ઉકેલ. અમે નોંધ્યું છે કે અમને બેકી સંખ્યાઓનો ક્રમ આપવામાં આવ્યો છે. કોઈપણ વિષમ સંખ્યા ફોર્મમાં લખી શકાય છે: 2k-1, જ્યાં k એ કુદરતી સંખ્યા છે, એટલે કે. k=1; 2; 3; 4; ... જવાબ: a k =2k-1.

3) રિકરન્ટ પદ્ધતિ.ક્રમ પણ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે, પરંતુ સામાન્ય શબ્દ સૂત્ર દ્વારા નહીં, જે ફક્ત શબ્દની સંખ્યા પર આધાર રાખે છે. એક સૂત્ર નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેના દ્વારા દરેક આગલી પદ પહેલાની શરતો દ્વારા જોવા મળે છે. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાની રિકરન્ટ પદ્ધતિના કિસ્સામાં, ક્રમના એક અથવા ઘણા પ્રથમ સભ્યો હંમેશા વધારામાં સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 5. ક્રમના પ્રથમ ચાર પદો લખો (a n),

જો 1 = 7; a n+1 = 5+a n .

a 2 =5+a 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. જવાબ: 7; 12; 17; 22; ...

ઉદાહરણ 6. ક્રમના પ્રથમ પાંચ પદો લખો (b n),

જો b 1 = -2, b 2 = 3; b n+2 = 2b n +b n+1 .

b 3 = 2∙b 1 + b 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

b 4 = 2∙b 2 + b 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

b 5 = 2∙b 3 + b 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. જવાબ: -2; 3; -1; 5; 3; ...

4) ગ્રાફિક પદ્ધતિ.સંખ્યાત્મક ક્રમ ગ્રાફ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે અલગ બિંદુઓને રજૂ કરે છે. આ બિંદુઓના અવકાશ કુદરતી સંખ્યાઓ છે: n=1; 2; 3; 4; ... ઓર્ડિનેટ્સ એ ક્રમના સભ્યોના મૂલ્યો છે: a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4;….

ઉદાહરણ 7. ગ્રાફિકલી આપેલ સંખ્યાત્મક ક્રમના તમામ પાંચ શબ્દો લખો.

આ કોઓર્ડિનેટ પ્લેનમાં દરેક બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સ (n; a n) ધરાવે છે. ચાલો abscissa n ના ચડતા ક્રમમાં ચિહ્નિત બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ લખીએ.

આપણને મળે છે: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

તેથી, a 1 = -3; a 2 =1; a 3 = 4; a 4 =6; a 5 = 7.

જવાબ:-3; 1; 4; 6; 7.

ફંક્શન તરીકે ગણવામાં આવેલ સંખ્યાત્મક ક્રમ (ઉદાહરણ તરીકે 7) પ્રથમ પાંચ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ (n=1; 2; 3; 4; 5) ના સમૂહ પર આપવામાં આવે છે, તેથી, છે મર્યાદિત સંખ્યાનો ક્રમ(પાંચ સભ્યોનો સમાવેશ થાય છે).

જો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમગ્ર સમૂહ પર ફંક્શન તરીકે સંખ્યાનો ક્રમ આપવામાં આવે, તો આવો ક્રમ હશે અનંત સંખ્યાનો ક્રમ.

સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે વધારો, જો તેના સભ્યો વધી રહ્યા હોય (a n+1 >a n) અને ઘટતા હોય, જો તેના સભ્યો ઘટી રહ્યા છે(a n+1

વધતી અથવા ઘટતી સંખ્યા ક્રમ કહેવાય છે એકવિધ.