સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી અને સિગ્નલ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી દ્વારા એકબીજા સાથે સંબંધિત છે:
બધી મિલકતો વર્ણપટની ઘનતાસ્પેક્ટ્રા વિશેના મુખ્ય પ્રમેયમાં સંયુક્ત છે.
I. લીનિયરીટી પ્રોપર્ટી.
જો સંકેતોનો ચોક્કસ સમૂહ હોય અને,..., તો સિગ્નલોનો ભારાંકિત સરવાળો નીચે પ્રમાણે રૂપાંતરિત થાય છે:
અહીં મનસ્વી સંખ્યાત્મક ગુણાંક છે.
II. શિફ્ટ પ્રમેય.
ધારો કે સિગ્નલમાં જાણીતો પત્રવ્યવહાર છે. ચાલો એ જ સિગ્નલને ધ્યાનમાં લઈએ, પરંતુ સેકંડ પછી થાય છે. બિંદુને સમયની નવી શરૂઆત તરીકે લેતા, અમે આ વિસ્થાપિત સંકેત તરીકે દર્શાવીએ છીએ. ચાલો ચલનો ફેરફાર રજૂ કરીએ: . પછી,
મોડ્યુલ જટિલ સંખ્યાકોઈપણ માટે 1 ની બરાબર છે, તેથી સિગ્નલ બનાવે છે તે પ્રાથમિક હાર્મોનિક ઘટકોના કંપનવિસ્તાર સમય અક્ષ પર તેની સ્થિતિ પર આધારિત નથી. આ સિગ્નલ લાક્ષણિકતા વિશેની માહિતી તબક્કાના સ્પેક્ટ્રમમાં સમાયેલ છે.
III. સ્કેલ પ્રમેય.
ચાલો ધારીએ કે મૂળ સિગ્નલ સમયના ધોરણમાં ફેરફારને આધીન છે. આનો અર્થ એ છે કે સમયની ભૂમિકા નવા સ્વતંત્ર ચલ દ્વારા ભજવવામાં આવે છે (- કેટલાક વાસ્તવિક સંખ્યા.) જો > 1, તો મૂળ સિગ્નલનું "કમ્પ્રેશન" થાય છે; જો 0<<1, то сигнал “растягивается” во времени. Если, то:
ચાલો વેરીએબલને બદલીએ, પછી તે નીચે મુજબ છે:
જ્યારે સિગ્નલ સમય અક્ષ પર એકના પરિબળ દ્વારા સંકુચિત થાય છે, ત્યારે આવર્તન અક્ષ પર તેનું સ્પેક્ટ્રમ સમાન રકમથી વિસ્તરે છે. આ કિસ્સામાં, સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા મોડ્યુલસ એક પરિબળ દ્વારા ઘટે છે.
દેખીતી રીતે, જ્યારે સિગ્નલ સમયસર ખેંચાય છે (એટલે કે, જ્યારે<1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.
IV. વ્યુત્પન્ન અને અનિશ્ચિત અભિન્ન સ્પેક્ટ્રમ પર પ્રમેય.
સિગ્નલ અને તેનું સ્પેક્ટ્રલ પ્લેન આપવા દો. અમે નવા સિગ્નલનો અભ્યાસ કરીશું અને તેની વર્ણપટની ઘનતા શોધવાનું લક્ષ્ય નક્કી કરીશું.
વ્યાખ્યા દ્વારા:
ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ એ રેખીય કામગીરી છે, જેનો અર્થ થાય છે સમાનતા (2.3) વર્ણપટની ઘનતાના સંદર્ભમાં પણ સાચી છે. શિફ્ટ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને અમે મેળવીએ છીએ:
ઘાતાંકીય કાર્યને ટેલર શ્રેણી તરીકે રજૂ કરવું:
આ શ્રેણીને (2.6) માં બદલીને અને શ્રેણીની પ્રથમ બે શરતો સુધી પોતાને મર્યાદિત કરીને, અમે શોધીએ છીએ
તેથી, સમયના સંદર્ભમાં સિગ્નલને અલગ પાડવું એ એક પરિબળ દ્વારા વર્ણપટની ઘનતાને ગુણાકાર કરવાની સરળ બીજગણિત ક્રિયા સમાન છે. તેથી, કાલ્પનિક સંખ્યાને ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં કાર્યરત વિભેદક ઓપરેટર કહેવાય છે.
પ્રમેયનો બીજો ભાગ. ગણવામાં આવેલ ફંક્શન ફંક્શનના સંદર્ભમાં અનિશ્ચિત અભિન્ન અંગ છે. આ અભિન્ન અસ્તિત્વમાં છે, જેનો અર્થ થાય છે તેની વર્ણપટની ઘનતા, અને સૂત્ર (2.7) થી તે બરાબર છે:
આમ, ગુણક ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં એકીકરણ ઓપરેટર તરીકે સેવા આપે છે.
V. કન્વોલ્યુશન પ્રમેય.
સિગ્નલોનો સારાંશ કરતી વખતે, તેમના સ્પેક્ટ્રા ઉમેરવામાં આવે છે. જો કે, સંકેતોના ઉત્પાદનનું વર્ણપટ સ્પેક્ટ્રાના ઉત્પાદન જેટલું નથી, પરંતુ પરિબળોના સ્પેક્ટ્રા વચ્ચેના કેટલાક વિશિષ્ટ અભિન્ન સંબંધ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.
ચાલો અને બે સંકેતો કે જેના માટે પત્રવ્યવહાર જાણીતા છે. ચાલો આ સંકેતોનું ઉત્પાદન બનાવીએ: અને તેની વર્ણપટની ઘનતાની ગણતરી કરીએ. સામાન્ય નિયમ તરીકે:
ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને લાગુ કરીને, અમે સિગ્નલને તેની વર્ણપટની ઘનતાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ છીએ અને પરિણામને (2.9) માં બદલીએ છીએ:
એકીકરણનો ક્રમ બદલીને, અમારી પાસે છે:
જમણી બાજુએ અભિન્ન કહેવાય છે બંડલકાર્યો અને. સાંકેતિક રીતે, કન્વોલ્યુશન ઓપરેશનને * તરીકે સૂચવવામાં આવે છે.
આમ, બે સિગ્નલોના ઉત્પાદનની વર્ણપટની ઘનતા, સતત સંખ્યાત્મક પરિબળ સુધી, પરિબળની વર્ણપટની ઘનતાના સંક્રમણ સમાન છે.
1. સિગ્નલો અને સ્પેક્ટ્રા. ડિજિટલ સંચારના સૈદ્ધાંતિક પાયા1. સિગ્નલો અને સ્પેક્ટ્રા
1.1. ડિજિટલ સંચારમાં સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ
1.1.1. શા માટે "ડિજિટલ"
શા માટે લશ્કરી અને વ્યાપારી સંચાર પ્રણાલી "અંકો" નો ઉપયોગ કરે છે? ઘણા કારણો છે. આ અભિગમનો મુખ્ય ફાયદો એ એનાલોગની સરખામણીમાં ડિજિટલ સિગ્નલોના પુનઃનિર્માણની સરળતા છે. ચાલો ફિગમાં જોઈએ. 1.1, જે ડેટા ચેનલ સાથે પ્રચાર કરતી આદર્શ બાઈનરી ડિજિટલ પલ્સ દર્શાવે છે. વેવફોર્મ બે મુખ્ય મિકેનિઝમ્સથી પ્રભાવિત થાય છે: (1) તમામ ચેનલો અને ટ્રાન્સમિશન લાઇન્સ બિન-આદર્શ આવર્તન પ્રતિભાવ ધરાવતી હોવાથી, આદર્શ પલ્સ વિકૃત છે; અને (2) અનિચ્છનીય વિદ્યુત અવાજ અથવા અન્ય બાહ્ય હસ્તક્ષેપ પલ્સના આકારને વધુ વિકૃત કરે છે. ચેનલ જેટલી લાંબી છે, વધુ નોંધપાત્ર રીતે આ પદ્ધતિઓ પલ્સને વિકૃત કરે છે (ફિગ. 1.1). તે સ્થાને જ્યાં પ્રસારિત પલ્સ હજુ પણ વિશ્વસનીય રીતે નક્કી કરી શકાય છે (તે અસ્પષ્ટ સ્થિતિમાં ઘટે તે પહેલાં), પલ્સ ડિજિટલ એમ્પ્લીફાયર દ્વારા વિસ્તૃત થાય છે, તેના મૂળ આદર્શ આકારને પુનઃસ્થાપિત કરે છે.
ડિજિટલ ચેનલો એનાલોગ ચેનલો કરતાં વિકૃતિ અને દખલ માટે ઓછી સંવેદનશીલ હોય છે. કારણ કે દ્વિસંગી ડિજિટલ ચૅનલો અર્થપૂર્ણ સિગ્નલ માત્ર ત્યારે જ ઉત્પન્ન કરે છે જ્યારે બેમાંથી એક અવસ્થામાં કાર્ય કરે છે - ચાલુ અથવા બંધ - ચૅનલના ઑપરેટિંગ બિંદુને એક રાજ્યમાંથી બીજી સ્થિતિમાં ખસેડવા માટે ખલેલ એટલી મોટી હોવી જોઈએ. માત્ર બે સ્થિતિઓ રાખવાથી સિગ્નલનું પુનઃનિર્માણ કરવાનું સરળ બને છે અને તેથી ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન અવાજ અથવા અન્ય વિક્ષેપને એકઠા થતા અટકાવે છે. એનાલોગ સિગ્નલો, તેનાથી વિપરીત, બે-રાજ્ય સંકેતો નથી; તેઓ અનંત સંખ્યા સ્વીકારી શકે છે સ્વરૂપો એનાલોગ ચેનલોમાં, એક નાની ખલેલ પણ સિગ્નલને ઓળખવાની બહાર વિકૃત કરી શકે છે. એકવાર એનાલોગ સિગ્નલ વિકૃત થઈ જાય, પછી એમ્પ્લીફિકેશન દ્વારા ખલેલ દૂર કરી શકાતી નથી.
ઘોંઘાટનું નિર્માણ એ એનાલોગ સિગ્નલો સાથે આંતરિક રીતે જોડાયેલું હોવાથી, પરિણામે તેઓ સંપૂર્ણ રીતે પુનઃઉત્પાદિત કરી શકાતા નથી. ડિજિટલ ટેક્નોલોજી સાથે, ખૂબ જ ઓછો ભૂલ દર વત્તા ભૂલ શોધ અને સુધારણા પ્રક્રિયાઓનો ઉપયોગ સિગ્નલને અત્યંત સચોટ બનાવે છે.
તે ફક્ત એ નોંધવાનું રહે છે કે એનાલોગ તકનીકો સાથે આવી પ્રક્રિયાઓ ઉપલબ્ધ નથી. એનાલોગ કરતાં વધુ લવચીક અમલીકરણ (ઉદાહરણ તરીકે, માઇક્રોપ્રોસેસર્સ, ડિજિટલ સ્વિચિંગ અને મોટા પાયે ઇન્ટિગ્રેટેડ સર્કિટ (LSI)). ડિજિટલ સિગ્નલો અને ટાઇમ-ડિવિઝન મલ્ટિપ્લેક્સિંગ (TDM)નો ઉપયોગ એનાલોગ સિગ્નલો અને ફ્રીક્વન્સી-ડિવિઝન મલ્ટિપ્લેક્સિંગ (FDM) કરતાં વધુ સરળ છે. ટ્રાન્સમિટ અને સ્વિચ કરતી વખતે, વિવિધ પ્રકારના ડિજિટલ સિગ્નલો (ડેટા, ટેલિગ્રાફ, ટેલિફોન, ટેલિવિઝન) સમાન ગણી શકાય: છેવટે, થોડી થોડી છે. વધુમાં, સ્વિચિંગ અને પ્રોસેસિંગની સરળતા માટે, ડિજિટલ સંદેશાઓને પેકેટ તરીકે ઓળખાતા સ્વાયત્ત એકમોમાં જૂથબદ્ધ કરી શકાય છે. ડિજિટલ ટેક્નોલોજીઓ કુદરતી રીતે એવી સુવિધાઓનો સમાવેશ કરે છે જે હસ્તક્ષેપ અને સિગ્નલ જામિંગ સામે રક્ષણ આપે છે, અથવા એન્ક્રિપ્શન અથવા ગોપનીયતા પ્રદાન કરે છે. (સમાન તકનીકોની ચર્ચા પ્રકરણ 12 અને 14 માં કરવામાં આવી છે.) વધુમાં, ડેટા એક્સચેન્જ મુખ્યત્વે બે કમ્પ્યુટર્સ વચ્ચે અથવા કમ્પ્યુટર અને ડિજિટલ ઉપકરણ અથવા ટર્મિનલ વચ્ચે છે. આવા ડિજિટલ ટર્મિનલ ઉપકરણો વધુ સારા છે (અને વધુ કુદરતી!) ડિજિટલ સંચાર ચેનલો દ્વારા સેવા આપવામાં આવે છે.
ડિજિટલ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમના ફાયદા માટે આપણે શું ચૂકવીએ છીએ? ડિજિટલ સિસ્ટમ્સને એનાલોગ કરતાં વધુ સઘન પ્રક્રિયાની જરૂર છે. વધુમાં, ડિજિટલ સિસ્ટમોને વિવિધ સ્તરે સિંક્રનાઇઝેશન માટે સંસાધનોના નોંધપાત્ર ભાગની ફાળવણીની જરૂર પડે છે (જુઓ પ્રકરણ 10). એનાલોગ સિસ્ટમો, બીજી બાજુ, સિંક્રનાઇઝ કરવા માટે સરળ છે. ડિજિટલ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમનો બીજો ગેરલાભ એ છે કે ગુણવત્તામાં અધોગતિ થ્રેશોલ્ડ છે. જો સિગ્નલ-ટુ-નોઈઝ રેશિયો ચોક્કસ થ્રેશોલ્ડથી નીચે આવે છે, તો સેવાની ગુણવત્તા અચાનક ખૂબ જ સારીમાંથી ખૂબ ખરાબમાં બદલાઈ શકે છે. એનાલોગ સિસ્ટમ્સમાં, ગુણવત્તામાં બગાડ વધુ સરળતાથી થાય છે.
1.1.2. લાક્ષણિક બોક્સ ડાયાગ્રામ અને મૂળભૂત પરિવર્તનો
કાર્યાત્મક બ્લોક ડાયાગ્રામ ફિગમાં બતાવેલ છે. 1.2 લાક્ષણિક ડિજિટલ કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ (DCS) માં સિગ્નલ પ્રચાર અને પ્રક્રિયાના પગલાંને સમજાવે છે. ટોચના બ્લોક્સ - ફોર્મેટિંગ, સોર્સ એન્કોડિંગ, એન્ક્રિપ્શન, ચેનલ એન્કોડિંગ, મલ્ટિપ્લેક્સિંગ, પલ્સ મોડ્યુલેશન, બેન્ડપાસ મોડ્યુલેશન, સ્પ્રેડ સ્પેક્ટ્રમ અને મલ્ટિપલ એક્સેસ - સ્ત્રોતથી ટ્રાન્સમીટર સુધીના માર્ગ પર સિગ્નલ ટ્રાન્સફોર્મેશનને પ્રતિબિંબિત કરે છે. ડાયાગ્રામના નીચેના બ્લોક્સ રીસીવરથી માહિતી પ્રાપ્તકર્તા સુધીના માર્ગમાં સિગ્નલ ટ્રાન્સફોર્મેશન છે, અને હકીકતમાં, તે ઉપરના બ્લોક્સની વિરુદ્ધ છે. મોડ્યુલેશન અને ડિમોડ્યુલેશન/ડિટેક્શન બ્લોક્સને સામૂહિક રીતે મોડેમ કહેવામાં આવે છે.
"મોડેમ" શબ્દ ઘણીવાર સિગ્નલ પ્રોસેસિંગના ઘણા તબક્કાઓને જોડે છે, જે ફિગમાં દર્શાવેલ છે. 1.2; આ કિસ્સામાં, મોડેમને સિસ્ટમના "મગજ" તરીકે વિચારી શકાય છે. ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.ફિગ માં. આકૃતિ 1.2 સિસ્ટમના ઉપલા (પ્રસારણ) અને નીચલા (પ્રાપ્ત) ભાગોના બ્લોક્સ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને દર્શાવે છે. સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ સ્ટેપ્સ જે ટ્રાન્સમીટરમાં થાય છે તે મુખ્યત્વે રીસીવરની સરખામણીમાં વિપરીત હોય છે. ફિગ માં. 1.2 મૂળ માહિતી દ્વિસંગી અંકો (બિટ્સ) માં રૂપાંતરિત થાય છે; પછી બિટ્સને ડિજિટલ સંદેશાઓ અથવા સંદેશ પ્રતીકોમાં જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આવા દરેક પ્રતીક (જ્યાં) ને સમાવિષ્ટ મર્યાદિત મૂળાક્ષરોના તત્વ તરીકે ગણી શકાય ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.એમ ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.તત્વો તેથી, માટે ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.=2 સંદેશ પ્રતીક દ્વિસંગી છે (એટલે કે, તે એક બીટ ધરાવે છે). જોકે દ્વિસંગી અક્ષરો તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.>2; આનો અર્થ એ છે કે આવા પ્રતીકોમાં બે અથવા વધુ બિટ્સનો ક્રમ હોય છે. (ડીસીએસ સિસ્ટમ્સના આ મર્યાદિત મૂળાક્ષરોને એનાલોગ સિસ્ટમ્સમાં જે છે તેની સાથે સરખાવો, જ્યાં સંદેશ સિગ્નલ સંભવિત સિગ્નલોના અનંત સમૂહનું એક તત્વ છે.) ચેનલ કોડિંગ (ભૂલ સુધારણા કોડ્સ) નો ઉપયોગ કરતી સિસ્ટમ્સ માટે, સંદેશ પ્રતીકોનો ક્રમ રૂપાંતરિત થાય છે. ચેનલ પ્રતીકો (કોડ પ્રતીકો) ના ક્રમમાં, અને દરેક ચેનલ પ્રતીક નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. સંદેશ પ્રતીકો અથવા ચેનલ પ્રતીકોમાં સિંગલ બીટ અથવા બિટ્સના જૂથનો સમાવેશ થઈ શકે છે, તેથી આવા પ્રતીકોના ક્રમને બીટ સ્ટ્રીમ કહેવામાં આવે છે (આકૃતિ 1.2).
ચાલો ફિગમાં બતાવેલ કી સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ બ્લોક્સને ધ્યાનમાં લઈએ. 1.2; DCS સિસ્ટમો માટે જરૂરી માત્ર પગલાં ફોર્મેટિંગ, મોડ્યુલેશન, ડિમોડ્યુલેશન/ડિટેક્શન અને સિંક્રોનાઇઝેશન છે.
ફોર્મેટિંગ મૂળ માહિતીને બિટ્સમાં રૂપાંતરિત કરે છે, આમ ખાતરી કરે છે કે માહિતી અને સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ કાર્યો DCS સિસ્ટમ સાથે સુસંગત છે. આકૃતિના આ બિંદુથી પલ્સ મોડ્યુલેશન બ્લોક સુધી, માહિતી બિટ્સના પ્રવાહના સ્વરૂપમાં રહે છે.
ચોખા. 1.2. લાક્ષણિક ડિજિટલ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમનો બ્લોક ડાયાગ્રામ
મોડ્યુલેશન એ એવી પ્રક્રિયા છે કે જેના દ્વારા સંદેશ પ્રતીકો અથવા ચેનલ પ્રતીકો (જો ચેનલ કોડિંગનો ઉપયોગ કરવામાં આવે તો) ડેટા ચેનલ દ્વારા લાદવામાં આવેલી આવશ્યકતાઓ સાથે સુસંગત સંકેતોમાં રૂપાંતરિત થાય છે. પલ્સ મોડ્યુલેશન એ બીજું જરૂરી પગલું છે કારણ કે દરેક પ્રતીક કે જેને ટ્રાન્સમિટ કરવાની જરૂર છે તે સૌપ્રથમ દ્વિસંગી પ્રતિનિધિત્વ (દ્વિસંગી 0s અને 1sનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વોલ્ટેજ સ્તરો) માંથી નેરોબેન્ડ સિગ્નલ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થવું જોઈએ. "બેઝબેન્ડ" શબ્દ એવા સંકેતને વ્યાખ્યાયિત કરે છે કે જેનું સ્પેક્ટ્રમ ડીસી ઘટકથી (અથવા નજીકમાં) શરૂ થાય છે અને અમુક મર્યાદિત મૂલ્ય પર સમાપ્ત થાય છે (સામાન્ય રીતે થોડા મેગાહર્ટ્ઝ કરતાં વધુ નહીં). પલ્સ કોડ મોડ્યુલેશન બ્લોકમાં સામાન્ય રીતે ટ્રાન્સમિશન બેન્ડવિડ્થ ઘટાડવા માટે ફિલ્ટરિંગનો સમાવેશ થાય છે. જ્યારે દ્વિસંગી પ્રતીકો પર પલ્સ મોડ્યુલેશન લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિણામી બાઈનરી સિગ્નલને PCM (પલ્સ-કોડ મોડ્યુલેશન) એન્કોડેડ સિગ્નલ કહેવામાં આવે છે. પીસીએમ સિગ્નલોના ઘણા પ્રકારો છે (પ્રકરણ 2 માં વર્ણવેલ છે); ટેલિફોની એપ્લિકેશન્સમાં આ સિગ્નલોને ઘણીવાર ચેનલ કોડ કહેવામાં આવે છે. જ્યારે પલ્સ મોડ્યુલેશન બિન-દ્વિસંગી અક્ષરો પર લાગુ થાય છે, ત્યારે પરિણામી સંકેત કહેવામાં આવે છે ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.-એરી પલ્સ-મોડ્યુલેટેડ. આવા સંકેતોના ઘણા પ્રકારો છે, જેનું વર્ણન પ્રકરણ 2 માં પણ કરવામાં આવ્યું છે, જ્યાં પલ્સ-એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશન (PAM) પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવામાં આવ્યું છે. ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.પલ્સ મોડ્યુલેશન પછી, દરેક સંદેશ પ્રતીક અથવા ચેનલ પ્રતીક બેન્ડપાસ સિગ્નલનું સ્વરૂપ લે છે, જ્યાં . કોઈપણ ઈલેક્ટ્રોનિક અમલીકરણમાં, પલ્સ મોડ્યુલેશન પહેલાની બીટ સ્ટ્રીમ વોલ્ટેજ સ્તરો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કોઈને આશ્ચર્ય થશે કે પલ્સ મોડ્યુલેશન માટે અલગ બ્લોક શા માટે છે, જ્યારે વાસ્તવમાં દ્વિસંગી શૂન્ય અને રાશિઓ માટેના વોલ્ટેજનું સ્તર પહેલેથી જ આદર્શ લંબચોરસ કઠોળ તરીકે ગણી શકાય, જેમાંના દરેકનો સમયગાળો એક બીટના ટ્રાન્સમિશન સમય જેટલો હોય છે? આ વોલ્ટેજ સ્તરો અને મોડ્યુલેશન માટે વપરાતા બેન્ડપાસ સિગ્નલો વચ્ચે બે મહત્વપૂર્ણ તફાવત છે. પ્રથમ, પલ્સ મોડ્યુલેશન બ્લોક દ્વિસંગીનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે અને
- એરી સંકેતો. વિભાગ 2.8.2 આ સિગ્નલ પ્રકારો માટે વિવિધ ઉપયોગી પરિમાણોનું વર્ણન કરે છે. બીજું, પલ્સ મોડ્યુલેશન યુનિટમાં કરવામાં આવતું ફિલ્ટરિંગ કઠોળ પેદા કરે છે જેનો સમયગાળો એક બીટના ટ્રાન્સમિશન સમય કરતાં લાંબો હોય છે. ગાળણ લાંબા સમય સુધી કઠોળનો ઉપયોગ કરવાની મંજૂરી આપે છે;
વિપરીત દિશામાં, રીસીવર ફ્રન્ટ એન્ડ અને/અથવા ડીમોડ્યુલેટર દરેક બેન્ડપાસ સિગ્નલની આવર્તન ઘટાડે છે. શોધની તૈયારીમાં, ડિમોડ્યુલેટર શ્રેષ્ઠ સાંકડી બેન્ડ સિગ્નલ પરબિડીયુંનું પુનઃનિર્માણ કરે છે. સામાન્ય રીતે, ઘણા ફિલ્ટર્સ રીસીવર અને ડિમોડ્યુલેટર સાથે સંકળાયેલા હોય છે - ફિલ્ટરિંગ અનિચ્છનીય ઉચ્ચ-આવર્તન ઘટકોને દૂર કરવા (બેન્ડપાસ સિગ્નલને નેરોબેન્ડ સિગ્નલમાં રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયામાં) અને પલ્સને આકાર આપવા માટે કરવામાં આવે છે. સમાનીકરણને ડિમોડ્યુલેટર (અથવા ડિમોડ્યુલેટર પછી) પર વપરાતા ફિલ્ટરિંગના પ્રકાર તરીકે વર્ણવી શકાય છે જે ચેનલને કારણે થતી કોઈપણ સિગ્નલ ડિગ્રેડેશન અસરોને દૂર કરવા માટે. જ્યારે ચેનલનો આવેગ પ્રતિભાવ એટલો નબળો હોય કે પ્રાપ્ત સિગ્નલ ગંભીર રીતે વિકૃત હોય ત્યારે સમાનતા જરૂરી છે. બિન-આદર્શ લાક્ષણિકતાને લીધે થતી તમામ સિગ્નલ વિકૃતિની ભરપાઈ કરવા (એટલે કે, દૂર કરવા અથવા ઘટાડવા) માટે સમાનતા (લેવલિંગ ઉપકરણ) લાગુ કરવામાં આવે છે. છેલ્લે, સેમ્પલિંગ સ્ટેજ ચેનલ સિમ્બોલ અથવા મેસેજ સિમ્બોલ (જો ચેનલ કોડિંગનો ઉપયોગ ન કરવામાં આવ્યો હોય તો) પુનઃપ્રાપ્ત કરવા (લગભગ) જનરેટ કરેલ પલ્સને નમૂનામાં રૂપાંતરિત કરે છે. કેટલાક લેખકો ડિમોડ્યુલેશન અને ડિટેક્શન શબ્દોનો એકબીજાના બદલે ઉપયોગ કરે છે. આ પુસ્તકમાં, ડિમોડ્યુલેશન એ સિગ્નલ (બેન્ડવિડ્થ પલ્સ) ના પુનઃનિર્માણનો સંદર્ભ આપે છે, અને શોધ એ આ સિગ્નલના ડિજિટલ મૂલ્ય અંગે નિર્ણય લેવાનો સંદર્ભ આપે છે.
મોડેમમાં સિગ્નલ પ્રોસેસિંગના બાકીના તબક્કાઓ વૈકલ્પિક છે અને તેનો હેતુ ચોક્કસ સિસ્ટમ જરૂરિયાતોને પહોંચી વળવાનો છે. સોર્સ કોડિંગ એ એનાલોગ સિગ્નલનું ડિજિટલ સિગ્નલ (એનાલોગ સ્ત્રોતો માટે)માં રૂપાંતર અને બિનજરૂરી (બિનજરૂરી) માહિતીને દૂર કરવાનું છે. નોંધ કરો કે સામાન્ય DCS સિસ્ટમ ક્યાં તો સ્રોત એન્કોડિંગનો ઉપયોગ કરી શકે છે (મૂળ માહિતીને ડિજિટાઇઝ કરવા અને સંકુચિત કરવા) અથવા સરળ ફોર્મેટિંગ રૂપાંતરણ (માત્ર ડિજિટાઇઝેશન માટે). સિસ્ટમ સોર્સ કોડિંગ અને ફોર્મેટિંગ બંનેને એકસાથે લાગુ કરી શકતી નથી, કારણ કે પહેલામાં માહિતીને ડિજિટાઇઝ કરવાના જરૂરી તબક્કાનો સમાવેશ થાય છે. એન્ક્રિપ્શન, જેનો ઉપયોગ સંદેશાવ્યવહારની ગોપનીયતાને સુનિશ્ચિત કરવા માટે થાય છે, તે અનધિકૃત વપરાશકર્તાને સંદેશને સમજવા અને સિસ્ટમમાં ખોટા સંદેશા દાખલ કરવાથી અટકાવે છે. આપેલ ડેટા રેટ પર ચેનલ કોડિંગ PE ભૂલની સંભાવના ઘટાડી શકે છે અથવા ટ્રાન્સમિશન બેન્ડવિડ્થ વધારીને અથવા ડીકોડરને જટિલ બનાવીને PE ની ઇચ્છિત સંભાવના મેળવવા માટે જરૂરી સિગ્નલ-ટુ-નોઈઝ રેશિયો ઘટાડી શકે છે. મલ્ટિપ્લેક્સિંગ અને મલ્ટિપલ એક્સેસ પ્રક્રિયાઓ એવા સંકેતોને જોડે છે કે જે અલગ-અલગ લાક્ષણિકતાઓ ધરાવતા હોઈ શકે છે અથવા અલગ-અલગ સ્ત્રોતોમાંથી આવી શકે છે જેથી તેઓ સંચાર સંસાધનોનો એક ભાગ શેર કરી શકે (દા.ત., સ્પેક્ટ્રમ, સમય).
ફિગમાં બતાવેલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ બ્લોક્સ. 1.2 લાક્ષણિક ડિજિટલ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ ડાયાગ્રામ રજૂ કરે છે;
જો કે, આ બ્લોક્સ ક્યારેક થોડા અલગ ક્રમમાં લાગુ કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મલ્ટિપ્લેક્સિંગ ચેનલ કોડિંગ અથવા મોડ્યુલેશન પહેલાં થઈ શકે છે, અથવા - બે-તબક્કાની મોડ્યુલેશન પ્રક્રિયામાં (સબકેરિયર અને કેરિયર) - તે બે મોડ્યુલેશન તબક્કાઓ વચ્ચે થઈ શકે છે. તેવી જ રીતે, આવર્તન વિસ્તરણ એકમ ફિગની ટોચની પંક્તિમાં વિવિધ સ્થળોએ સ્થિત હોઈ શકે છે. 1.2; તેનું ચોક્કસ સ્થાન ઉપયોગમાં લેવાતી વિશિષ્ટ તકનીક પર આધારિત છે. સિંક્રોનાઇઝેશન અને તેનું મુખ્ય તત્વ, ઘડિયાળ સિગ્નલ, DCS સિસ્ટમમાં સિગ્નલ પ્રોસેસિંગના તમામ તબક્કામાં સામેલ છે. સરળતા માટે, ફિગમાં સિંક્રનાઇઝેશન બ્લોક. 1.2 કોઈપણ સંદર્ભ વિના બતાવવામાં આવે છે, જો કે હકીકતમાં તે આકૃતિમાં દર્શાવેલ લગભગ દરેક બ્લોકમાં કામગીરીના નિયમનમાં સામેલ છે.
ફિગ માં. આકૃતિ 1.3 નીચેના નવ જૂથોમાં વિભાજિત સિગ્નલ પ્રોસેસિંગ (જેને સિગ્નલ કન્ડીશનીંગ તરીકે વિચારી શકાય) ના મૂળભૂત કાર્યો દર્શાવે છે.
ફિગ.1.3. મુખ્ય ડિજિટલ સંચાર પરિવર્તન
1. સ્ત્રોતનું ફોર્મેટિંગ અને એન્કોડિંગ
2. નેરોબેન્ડ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન
3. બેન્ડપાસ સિગ્નલિંગ
4. સંરેખણ
5. ચેનલ કોડિંગ
6. સીલ અને બહુવિધ ઍક્સેસ
7. સ્પેક્ટ્રમ વિસ્તરણ
8. એન્ક્રિપ્શન
9. સિંક્રનાઇઝેશન ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.ફિગ માં. 1.3 બ્લોક નેરોબેન્ડ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન પીસીએમ મોડ્યુલેશન અથવા રેખીય કોડનો ઉપયોગ કરતી વખતે બાઈનરી વિકલ્પોની સૂચિ ધરાવે છે. આ બ્લોક સિગ્નલોની બિન-દ્વિસંગી શ્રેણીને પણ ઓળખે છે જેને કહેવાય છે
ચેનલ કોડિંગ એ ડિજિટલ સિગ્નલોને વધારવા માટે વપરાતી તકનીકોનો સંદર્ભ આપે છે, જે તેમને અવાજ, વિલીન અને સિગ્નલ સપ્રેસન જેવા અધોગતિ પરિબળો માટે ઓછા સંવેદનશીલ બનાવે છે. ફિગ માં. 1.3 ચેનલ કોડિંગને બે બ્લોકમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે, એક વેવફોર્મ કોડિંગ બ્લોક અને સ્ટ્રક્ચર્ડ સિક્વન્સ બ્લોક. વેવફોર્મ કોડિંગમાં નવા સિગ્નલોનો ઉપયોગ સામેલ છે જે મૂળ સિગ્નલની સરખામણીમાં સુધારેલ ડિટેક્શન કામગીરી રજૂ કરે છે. સ્ટ્રક્ચર્ડ સિક્વન્સમાં ચેનલમાં ઘોંઘાટને કારણે ભૂલ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવા માટે વધારાના બિટ્સનો ઉપયોગ સામેલ છે. આવી જ એક ટેક્નોલોજી, ઓટોમેટિક રિપીટ રિક્વેસ્ટ (ARQ), સરળ રીતે ઓળખે છે કે ભૂલ આવી છે અને પ્રેષકને સંદેશને ફરીથી પ્રસારિત કરવા કહે છે; ફોરવર્ડ એરર કરેક્શન (એફઈસી) તરીકે ઓળખાતી બીજી ટેક્નોલોજી ભૂલોને આપમેળે સુધારવાની મંજૂરી આપે છે (ચોક્કસ મર્યાદાઓ સાથે). સ્ટ્રક્ચર્ડ સિક્વન્સ જોતી વખતે, અમે ત્રણ સામાન્ય પદ્ધતિઓની ચર્ચા કરીશું - બ્લોક, કન્વોલ્યુશનલ અને ટર્બો કોડિંગ.
ડિજિટલ સંચારમાં, સિંક્રનાઇઝેશનમાં સમય અને આવર્તન બંનેની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. ફિગ માં બતાવ્યા પ્રમાણે. 1.3, સિંક્રનાઇઝેશન પાંચ સ્તરો પર કરવામાં આવે છે. સુસંગત સિસ્ટમોની સંદર્ભ ફ્રીક્વન્સીઝને આવર્તન અને તબક્કામાં વાહક (અને કદાચ સબકેરિયર) સાથે સિંક્રનાઇઝ કરવાની જરૂર છે. અસંગત સિસ્ટમો માટે, તબક્કા સિંક્રનાઇઝેશન જરૂરી નથી. મૂળભૂત સમય સુમેળ પ્રક્રિયા અક્ષર સમન્વયન (અથવા દ્વિસંગી અક્ષરો માટે બીટ સિંક્રનાઇઝેશન) છે.
ડિમોડ્યુલેટર અને ડિટેક્ટરને ખબર હોવી જોઈએ કે પ્રતીક અને બીટ શોધ પ્રક્રિયા ક્યારે શરૂ કરવી અને બંધ કરવી; સિંક્રનાઇઝેશન ભૂલ શોધ કાર્યક્ષમતામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. ટાઇમ સિંક્રનાઇઝેશનનું આગલું સ્તર, ફ્રેમ સિંક્રનાઇઝેશન, સંદેશાઓને ફરીથી ગોઠવવાની મંજૂરી આપે છે. અને છેલ્લું સ્તર, નેટવર્ક સિંક્રનાઇઝેશન, તમને સંસાધનોનો અસરકારક રીતે ઉપયોગ કરવા માટે અન્ય વપરાશકર્તાઓ સાથે ક્રિયાઓનું સંકલન કરવાની મંજૂરી આપે છે.
1.1.3. ડિજિટલ સંચાર ક્ષેત્રે મૂળભૂત પરિભાષા
નીચે કેટલાક મૂળભૂત શબ્દો છે જેનો ઉપયોગ ઘણીવાર ડિજિટલ સંચારના ક્ષેત્રમાં થાય છે.(માહિતી સ્ત્રોત). એક ઉપકરણ જે DCS સિસ્ટમ દ્વારા માહિતી પ્રસારિત કરે છે. માહિતી સ્ત્રોત એનાલોગ અથવા અલગ હોઈ શકે છે. એનાલોગ સ્ત્રોતનું આઉટપુટ કંપનવિસ્તારની સતત શ્રેણીમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે, જ્યારે અલગ માહિતી સ્ત્રોતનું આઉટપુટ કંપનવિસ્તારના મર્યાદિત સમૂહમાંથી મૂલ્યો લઈ શકે છે. એનાલોગ માહિતી સ્ત્રોતોને સેમ્પલિંગ અથવા ક્વોન્ટાઇઝેશન દ્વારા ડિજિટલમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. સેમ્પલિંગ અને ક્વોન્ટાઇઝેશન પદ્ધતિઓ જેને સ્ત્રોત ફોર્મેટિંગ અને એન્કોડિંગ કહેવાય છે (ફિગ. 1.3).
ટેક્સ્ટ સંદેશ(ટેક્સ્ટ્યુઅલ સંદેશ). અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,એ
). ડિજિટલ ડેટા ટ્રાન્સમિશનમાં, સંદેશ એ અક્ષરો અથવા મૂળાક્ષરોના મર્યાદિત સમૂહ સાથે જોડાયેલા સંખ્યાઓ અથવા પ્રતીકોનો ક્રમ છે.સહી (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4, b
). અક્ષરોને દ્વિસંગી અંકોના ક્રમમાં મેપ કરી શકાય છે. ASCII કોડ (અમેરિકન સ્ટાન્ડર્ડ કોડ ફોર ઇન્ફોર્મેશન ઇન્ટરચેન્જ), EBCDIC કોડ (એક્સ્ટેન્ડેડ બાઈનરી કોડેડ ડેસિમલ ઇન્ટરચેન્જ કોડ), હોલેરીથ કોડ હોલેરીથ કોડ, બાઉડોટ કોડ, મુરે કોડ અને મોર્સ કોડ સહિત કેરેક્ટર એન્કોડિંગ માટે ઘણા પ્રમાણિત કોડનો ઉપયોગ થાય છે.
ફિગ.1.4. શરતોનું ચિત્રણ: a) ટેક્સ્ટ સંદેશાઓ; b) પ્રતીકો; 
;
c) બીટ સ્ટ્રીમ (7-બીટ ASCII કોડ); ડી) પ્રતીકો, 
e) બેન્ડપાસ ડિજિટલ સિગ્નલદ્વિસંગી અંક
(દ્વિસંગી અંક) (બીટ) (બીટ).(બીટ સ્ટ્રીમ). દ્વિસંગી અંકોનો ક્રમ (શૂન્ય અને રાશિઓ). બીટ સ્ટ્રીમને ઘણીવાર બેઝબેન્ડ સિગ્નલ કહેવામાં આવે છે; આ સૂચવે છે કે તેના વર્ણપટના ઘટકો ડીસી ઘટકથી (અથવા આસપાસ) અમુક મર્યાદિત મૂલ્ય સુધીના હોય છે, સામાન્ય રીતે થોડા મેગાહર્ટ્ઝથી વધુ હોતા નથી. ફિગ માં. 1.4, HOW સંદેશ સાત-બીટ ASCII કોડનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવામાં આવે છે, અને બીટ સ્ટ્રીમ બે-સ્તરના કઠોળના સ્વરૂપમાં બતાવવામાં આવે છે. પલ્સ સિક્વન્સને નજીકના કઠોળ વચ્ચેના ગાબડા સાથે અત્યંત ઢબના (સંપૂર્ણપણે લંબચોરસ) સંકેતોનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સિસ્ટમમાં, કઠોળ ક્યારેય આના જેવા દેખાશે નહીં, કારણ કે આવા ગાબડા એકદમ નકામા છે. આપેલ ડેટા રેટ માટે, ગાબડા ટ્રાન્સમિશન માટે જરૂરી બેન્ડવિડ્થમાં વધારો કરશે; અથવા, આપેલ બેન્ડવિડ્થ માટે, તેઓ સંદેશ પ્રાપ્ત કરવા માટે જરૂરી સમય વિલંબમાં વધારો કરશે.
પ્રતીક(પ્રતીક) (ડિજિટલ સંદેશ). પ્રતીક એ એક જૂથ છે kબિટ્સને સમગ્ર તરીકે ગણવામાં આવે છે. આગળ આપણે આ બ્લોકને પ્રતીકો અથવા મૂળાક્ષરોના મર્યાદિત સમૂહમાંથી સંદેશ પ્રતીક () કહીશું (ફિગ. 1.4 d) આલ્ફાબેટ સાઇઝ ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.ની બરાબર છે, ક્યાં k- પ્રતીકમાં બિટ્સની સંખ્યા. નેરોબેન્ડ ટ્રાન્સમિશનમાં, દરેક પ્રતીક નેરોબેન્ડ પલ્સ સિગ્નલોના સમૂહમાંથી એક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે. 
. કેટલીકવાર, આવા કઠોળના ક્રમને પ્રસારિત કરતી વખતે, પલ્સ ટ્રાન્સમિશન રેટ (પ્રતીક દર) વ્યક્ત કરવા માટે એકમ બૉડ (બૉડ) નો ઉપયોગ થાય છે. સામાન્ય બેન્ડપાસ ટ્રાન્સમિશન માટે, દરેક પલ્સ બેન્ડપાસ પલ્સ સિગ્નલોના સમૂહમાંથી એક દ્વારા રજૂ કરવામાં આવશે. 
. આમ, વાયરલેસ સિસ્ટમ્સ માટે, પ્રતીક માટે ડિજિટલ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિટ કરીને મોકલવામાં આવે છે ટીસેકન્ડ આગલું પાત્ર આગલા સમયના અંતરાલ દરમિયાન મોકલવામાં આવે છે, ટી. હકીકત એ છે કે DCS સિસ્ટમ દ્વારા પ્રસારિત પ્રતીકોનો સમૂહ મર્યાદિત છે આ સિસ્ટમો અને એનાલોગ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ વચ્ચેનો મુખ્ય તફાવત છે. DCS રીસીવરને માત્ર તેમાંથી કયું તે નક્કી કરવાની જરૂર છે ટ્રાન્સમીટર અને રીસીવરને સિસ્ટમના "સ્નાયુઓ" તરીકે ગણી શકાય. વાયરલેસ એપ્લિકેશન્સ માટે, ટ્રાન્સમીટરમાં રેડિયો ફ્રીક્વન્સી (RF) બૂસ્ટ સર્કિટ, પાવર એમ્પ્લીફાયર અને એન્ટેના હોય છે, અને રીસીવરમાં એન્ટેના અને લો-નોઈઝ એમ્પ્લીફાયર (LNA) હોય છે. રિવર્સ ફ્રીક્વન્સી રિડક્શન રીસીવર અને/અથવા ડિમોડ્યુલેટરના આઉટપુટ પર કરવામાં આવે છે.સંભવિત સંકેતો પ્રસારિત કરવામાં આવ્યા હતા; જ્યારે એનાલોગ રીસીવરે સિગ્નલોની સતત શ્રેણીથી સંબંધિત મૂલ્ય ચોક્કસ રીતે નક્કી કરવું જોઈએ.
ડિજિટલ સિગ્નલ(ડિજિટલ વેવફોર્મ). વોલ્ટેજ અથવા વર્તમાન સ્તર દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે, સિગ્નલ (નેરોબેન્ડ માટે પલ્સ અથવા બેન્ડપાસ માટે સાઈન વેવ) ડિજિટલ અક્ષરનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. સિગ્નલની લાક્ષણિકતાઓ (પલ્સ માટે - કંપનવિસ્તાર, અવધિ અને સ્થાન, અથવા સાઈન વેવ માટે - કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને તબક્કો) તેને મર્યાદિત મૂળાક્ષરોના પ્રતીકોમાંના એક તરીકે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. ફિગ માં. 1.4,ડી ટીબેન્ડપાસ ડિજિટલ સિગ્નલનું ઉદાહરણ આપવામાં આવ્યું છે. જો કે સિગ્નલ સાઈન વેવ છે અને તેથી એનાલોગ દેખાવ ધરાવે છે, તેમ છતાં તેને ડિજિટલ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તે ડિજિટલ માહિતીને એન્કોડ કરે છે. આ આકૃતિમાં, દરેક સમય અંતરાલ દરમિયાન ટ્રાન્સમિશન દ્વારા ડિજિટલ મૂલ્ય દર્શાવવામાં આવ્યું છે
ચોક્કસ આવર્તનનો સંકેત.ડેટા ટ્રાન્સફર રેટ k(ડેટા દર). ટીબિટ્સ પ્રતિ સેકન્ડમાં આ મૂલ્ય (bps) જ્યાં (bps) દ્વારા આપવામાં આવે છે બિટ્સ સાંકેતિક મૂળાક્ષરોમાંથી એક અક્ષર વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અને- આ સમયગાળો છે
થી
-બીટ પ્રતીક.
1.1.4. ડિજિટલ અને એનાલોગ પ્રદર્શન માપદંડ
એનાલોગ અને ડિજિટલ કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ વચ્ચેનો મૂળભૂત તફાવત તેમની કામગીરીનું મૂલ્યાંકન કરવાની રીત સાથે સંબંધિત છે.
એનાલોગ સિસ્ટમ સિગ્નલો એક અખંડ છે, તેથી રીસીવરે અસંખ્ય સંભવિત સિગ્નલો સાથે વ્યવહાર કરવો જોઈએ. એનાલોગ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સનું પ્રદર્શન માપન ચોકસાઈ છે, જેમ કે સિગ્નલ-ટુ-નોઈઝ રેશિયો, ટકાવારી વિકૃતિ અથવા અપેક્ષિત મૂળ એટલે કે પ્રસારિત અને પ્રાપ્ત સિગ્નલો વચ્ચે ચોરસ ભૂલ.
એનાલોગથી વિપરીત, ડિજિટલ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ સિગ્નલ ટ્રાન્સમિટ કરે છે જે સંખ્યાઓનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. આ અંકો એક મર્યાદિત સમૂહ અથવા મૂળાક્ષર બનાવે છે, અને આ સમૂહ પ્રાપ્તકર્તા માટે અગ્રતા તરીકે ઓળખાય છે.
1.2.2. સામયિક અને બિન-સામયિક સંકેતો
સિગ્નલને સમયાંતરે કહેવામાં આવે છે જો ત્યાં સતત એવું હોય
માટે (1.2)
જ્યાં મારફતે tસમય દર્શાવેલ છે. સૌથી નાનું મૂલ્ય જે આ સ્થિતિને સંતોષે છે તેને સિગ્નલ અવધિ કહેવામાં આવે છે. સમયગાળો કાર્યના એક સંપૂર્ણ ચક્રની અવધિ નક્કી કરે છે.
સિગ્નલ કે જેના માટે કોઈ મૂલ્ય નથી જે સમીકરણ (1.2) ને સંતોષે છે તેને બિન-સામયિક કહેવાય છે.
1.2.3. એનાલોગ અને અલગ સિગ્નલો tએનાલોગ સિગ્નલ એ સમયનું સતત કાર્ય છે, એટલે કે. દરેક માટે અનન્ય રીતે નિર્ધારિત . વિદ્યુત એનાલોગ સિગ્નલ ત્યારે થાય છે જ્યારે કોઈ ઉપકરણ દ્વારા ભૌતિક સંકેત (જેમ કે ભાષણ)ને વિદ્યુત સંકેતમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. તુલનાત્મક રીતે, એક અલગ સિગ્નલ એ સિગ્નલ છે જે સમયના અલગ અંતરાલો પર અસ્તિત્વમાં છે; તે સમયની દરેક ક્ષણ માટે નિર્ધારિત સંખ્યાઓના ક્રમ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે,સીટી k, ક્યાં ટીપૂર્ણાંક છે, અને
- નિશ્ચિત સમયગાળો.
1.2.4. ઊર્જા અથવા શક્તિના સંદર્ભમાં વ્યક્ત સંકેતો વિદ્યુત સિગ્નલને વોલ્ટેજમાં ફેરફાર અથવા પ્રતિકાર પર ત્વરિત શક્તિ સાથે વર્તમાનમાં ફેરફાર તરીકે વિચારી શકાય છે.:
આર વિદ્યુત સિગ્નલને વોલ્ટેજમાં ફેરફાર અથવા પ્રતિકાર પર ત્વરિત શક્તિ સાથે વર્તમાનમાં ફેરફાર તરીકે વિચારી શકાય છે.સંદેશાવ્યવહાર પ્રણાલીઓમાં, પાવર ઘણીવાર સામાન્ય થાય છે (એવું માનવામાં આવે છે કે પ્રતિકાર
1 ઓહ્મ બરાબર છે, જો કે વાસ્તવિક ચેનલમાં તે કંઈપણ હોઈ શકે છે). જો વાસ્તવિક શક્તિ મૂલ્ય નક્કી કરવું જરૂરી હોય, તો તે સામાન્ય મૂલ્યને "ડિનોર્મિંગ" દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. સામાન્યકૃત કિસ્સામાં, સમીકરણો (1.3,a) અને (1.3,6) સમાન સ્વરૂપ ધરાવે છે. તેથી, સિગ્નલ વોલ્ટેજ અથવા વર્તમાનના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવે છે કે કેમ તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, સામાન્ય સ્વરૂપ અમને તાત્કાલિક શક્તિને આ રીતે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે
(1.5)
ક્યાં તો વોલ્ટેજ અથવા વર્તમાન છે.
(1.6)
સંચાર પ્રણાલીનું પ્રદર્શન પ્રાપ્ત સિગ્નલની ઊર્જા પર આધારિત છે; ઉચ્ચ ઊર્જા સાથેના સંકેતો વધુ વિશ્વસનીય રીતે (ઓછી ભૂલો સાથે) શોધવામાં આવે છે - શોધ કાર્ય પ્રાપ્ત ઊર્જા દ્વારા કરવામાં આવે છે. બીજી બાજુ, પાવર એ દર છે કે જેના પર ઊર્જા પૂરી પાડવામાં આવે છે. આ બિંદુ ઘણા કારણોસર મહત્વપૂર્ણ છે.
પાવર એ વોલ્ટેજ નક્કી કરે છે કે જે ટ્રાન્સમીટર પર લાગુ થવો જોઈએ અને ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક ફીલ્ડ્સની મજબૂતાઈ કે જે રેડિયો સિસ્ટમ્સમાં ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ (એટલે કે, એન્ટેના સાથે ટ્રાન્સમીટરને જોડતા વેવગાઈડમાંના ક્ષેત્રો અને એન્ટેનાના રેડિયેટિંગ તત્વોની આસપાસના ક્ષેત્રો) .
(1.7)
સંચાર સંકેતોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, સિગ્નલ ઉર્જા સાથે કામ કરવું તે ઘણીવાર ઇચ્છનીય છે. અમે તેને ઊર્જા સંકેત કહીશું જો અને માત્ર જો તેમાં બિન-શૂન્ય મર્યાદિત ઊર્જા હોય (), જ્યાં
(1.8)
વાસ્તવિક પરિસ્થિતિમાં, અમે હંમેશા મર્યાદિત ઊર્જા () સાથે સિગ્નલો પ્રસારિત કરીએ છીએ. જો કે, સામયિક સંકેતોનું વર્ણન કરવા માટે, જે વ્યાખ્યા (સમીકરણ (1.2)) હંમેશા અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને તેથી, અનંત ઊર્જા ધરાવે છે, અને રેન્ડમ સિગ્નલો સાથે કામ કરવા માટે, જેમાં અમર્યાદિત ઉર્જા પણ હોય છે, તેમાં વ્યક્ત કરાયેલા સંકેતોના વર્ગને વ્યાખ્યાયિત કરવું અનુકૂળ છે. સત્તાની શરતો. તેથી, જો તે સામયિક હોય અને કોઈપણ સમયે બિન-શૂન્ય મર્યાદિત શક્તિ (), જ્યાં પાવરનો ઉપયોગ કરીને સિગ્નલનું પ્રતિનિધિત્વ કરવું અનુકૂળ છે
ચોક્કસ સંકેતને ઊર્જાસભર અથવા સામયિક તરીકે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. ઊર્જાસભર સિગ્નલમાં મર્યાદિત ઊર્જા હોય છે પરંતુ શૂન્ય સરેરાશ શક્તિ હોય છે, જ્યારે સામયિક સિગ્નલમાં શૂન્ય સરેરાશ શક્તિ હોય છે પરંતુ અનંત ઊર્જા હોય છે. સિસ્ટમમાં સિગ્નલ તેની ઊર્જા અથવા સામયિક મૂલ્યોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. સામાન્ય નિયમ તરીકે, સામયિક અને અવ્યવસ્થિત સંકેતો શક્તિની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, અને સંકેતો કે જે નિર્ધારિત અને બિન-સામયિક છે તે ઊર્જાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે.
સંદેશાવ્યવહાર પ્રણાલીનું વર્ણન કરવા માટે સિગ્નલ ઊર્જા અને શક્તિ એ બે મહત્વપૂર્ણ પરિમાણો છે. સિગ્નલને ઊર્જાસભર અથવા સામયિક તરીકે વર્ગીકૃત કરવું એ એક અનુકૂળ મોડલ છે જે વિવિધ સંકેતો અને અવાજની ગાણિતિક સારવારની સુવિધા આપે છે. વિભાગ 3.1.5 ડિજિટલ કમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સના સંદર્ભમાં આ વિચારો વિકસાવે છે.
કોમ્યુનિકેશન થિયરીમાં એક ઉપયોગી કાર્ય એ યુનિટ ઇમ્પલ્સ અથવા ડીરાક ડેલ્ટા ફંક્શન છે. ઇમ્પલ્સ ફંક્શન એ અમૂર્તતા છે, અનંત વિશાળ કંપનવિસ્તાર, શૂન્ય પહોળાઈ અને એકમ વજન (ઇમ્પલ્સ હેઠળનો વિસ્તાર) સાથેનો આવેગ, તે બિંદુ પર કેન્દ્રિત છે કે જ્યાં તેની દલીલનું મૂલ્ય શૂન્ય છે. નીચેના સંબંધો દ્વારા એકમ આવેગ આપવામાં આવે છે.
બિંદુ પર અમર્યાદિત (1.11)
(1.12)
એક જ આવેગ એ શબ્દના સામાન્ય અર્થમાં કાર્ય નથી. જો તે કોઈપણ કામગીરીમાં સામેલ હોય, તો તેને મર્યાદિત કંપનવિસ્તાર, એકમ વિસ્તાર અને બિન-શૂન્ય અવધિની પલ્સ ગણવી અનુકૂળ છે, ત્યારબાદ તે મર્યાદાને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે કારણ કે પલ્સનો સમયગાળો શૂન્ય તરફ વળે છે. ગ્રાફિકલી તે બિંદુ પર સ્થિત એક શિખર તરીકે દર્શાવી શકાય છે, જેની ઊંચાઈ તેના અથવા તેના વિસ્તારના અભિન્ન ભાગ જેટલી છે. આમ, સતત સાથે એએક આવેગ કાર્ય રજૂ કરે છે જેનો વિસ્તાર (અથવા વજન) છે એ, અને બિંદુ સિવાય, દરેક જગ્યાએ મૂલ્ય શૂન્ય છે.
સમીકરણ (1.12) એ યુનિટ ઇમ્પલ્સ ફંક્શનની સીવિંગ (અથવા ક્વોન્ટાઇઝિંગ) ગુણધર્મ તરીકે ઓળખાય છે;
એકમ આવેગ અને મનસ્વી કાર્યનું અભિન્ન અંગ બિંદુ પરના કાર્યનો નમૂનો આપે છે.
1.3. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા
સિગ્નલ લાક્ષણિકતાઓની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા એ આવર્તન શ્રેણી પર સિગ્નલ ઊર્જા અથવા શક્તિનું વિતરણ છે. સંચાર પ્રણાલીઓમાં ફિલ્ટરિંગને ધ્યાનમાં લેતી વખતે આ ખ્યાલ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ બની જાય છે. અમે ફિલ્ટર આઉટપુટ પર સિગ્નલ અને અવાજનો અંદાજ કાઢવા સક્ષમ હોવા જોઈએ. આ આકારણી એનર્જી સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી (ESD) અથવા પાવર સ્પેક્ટરલ ડેન્સિટી (PSD) નો ઉપયોગ કરે છે.
1.3.1. સ્પેક્ટ્રલ એનર્જી ડેન્સિટી
, (1.13)
અંતરાલમાં વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક ઊર્જા સંકેતની કુલ ઊર્જા સમીકરણ (1.7) દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. પાર્સેવલના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, આપણે આવા સિગ્નલની ઉર્જા, સમયના ડોમેનમાં દર્શાવવામાં આવતા, ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં વ્યક્ત થતી ઊર્જા સાથે જોડી શકીએ છીએ:
(1.14)
બિન-સામયિક સિગ્નલનું ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ ક્યાં છે. (ફોરિયર વિશ્લેષણનો સારાંશ પરિશિષ્ટ A માં મળી શકે છે.) ચાલો આપણે વ્યાખ્યાયિત લંબચોરસ કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ દ્વારા સૂચિત કરીએ
(1.15)
આ સમીકરણ બતાવે છે કે સિગ્નલ ઉર્જા આવર્તન ડોમેનમાં ગ્રાફ હેઠળના વિસ્તાર જેટલી છે.
(1.16)
સ્પેક્ટ્રલ ઊર્જા ઘનતા એકમ બેન્ડવિડ્થ દીઠ સિગ્નલ ઊર્જાનું વર્ણન કરે છે અને J/Hz માં માપવામાં આવે છે. હકારાત્મક અને નકારાત્મક આવર્તન ઘટકો સમાન ઉર્જા યોગદાન આપે છે, તેથી, વાસ્તવિક સંકેત માટે, જથ્થો આવર્તનનું એક સમાન કાર્ય છે. તેથી, સ્પેક્ટ્રલ ઊર્જા ઘનતા મૂળના સંદર્ભમાં આવર્તનમાં સપ્રમાણ છે, અને કુલ સંકેત ઊર્જા નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે.
1.3.2. પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા
સામયિક રજૂઆતમાં વાસ્તવિક સિગ્નલની સરેરાશ શક્તિ સમીકરણ (1.8) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. જો પીરિયડ સાથે સામયિક સિગ્નલ હોય, તો તેને સામયિક રજૂઆતમાં સિગ્નલ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. સામયિક સિગ્નલની સરેરાશ શક્તિ માટેની અભિવ્યક્તિ સૂત્ર (1.6) દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં સમયની સરેરાશ એક સમયગાળામાં લેવામાં આવે છે.
(1.17,a)
વાસ્તવિક સામયિક સિગ્નલ માટે પાર્સેવલના પ્રમેયનું સ્વરૂપ છે
, (1.17,b)
જ્યાં શરતો સામયિક સિગ્નલ માટે ફોરિયર શ્રેણીના જટિલ ગુણાંક છે (જુઓ પરિશિષ્ટ A).
(1.18)
સમીકરણ (1.17.6) નો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે માત્ર ગુણાંકનું મૂલ્ય જાણવાની જરૂર છે. સામયિક સિગ્નલની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી (PSD), જે આવર્તનનું વાસ્તવિક, સમાન અને બિન-નકારાત્મક કાર્ય છે અને આવર્તન શ્રેણી પર સિગ્નલનું પાવર વિતરણ આપે છે, તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
(1.19)
સમીકરણ (1.18) સામયિક સિગ્નલની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાને ભારિત ડેલ્ટા કાર્યોના ક્રમ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તેથી, સામયિક સિગ્નલનું PSD એ આવર્તનનું એક અલગ કાર્ય છે. સમીકરણ (1.18) માં વ્યાખ્યાયિત PSD નો ઉપયોગ કરીને, વાસ્તવિક સિગ્નલની સરેરાશ સામાન્ય શક્તિ લખી શકાય છે.
(1.20)
ઉદાહરણ 1.1. સરેરાશ સામાન્ય શક્તિ
a) સરેરાશ સામાન્યકૃત સિગ્નલ પાવર શોધો 
સમયની સરેરાશનો ઉપયોગ.
b) વર્ણપટના ગુણાંકનો સરવાળો કરીને પગલું a પૂર્ણ કરો.
ઉકેલ
a) સમીકરણ (1.17,a) નો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે નીચે મુજબ છે.
b) સમીકરણો (1.18) અને (1.19) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે નીચેના મેળવીએ છીએ.
(પરિશિષ્ટ A જુઓ)
1.4. સ્વયંસંબંધ
1.4.1. એનર્જી સિગ્નલનો સ્વતઃસંબંધ
સહસંબંધ એ મેચિંગ પ્રક્રિયા છે; સ્વતઃસંબંધ એ સિગ્નલનું તેના પોતાના વિલંબિત સંસ્કરણ સાથે મેળ ખાતું હોય છે. વાસ્તવિક ઊર્જા સંકેતનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
માટે (1.21)
ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન સિગ્નલની તેની પોતાની નકલ સાથે સમાનતાનું માપ આપે છે, જે સમયના એકમો દ્વારા શિફ્ટ થાય છે. વેરીએબલ સ્કેનિંગ અથવા સર્ચ પેરામીટર તરીકે કામ કરે છે. - આ સમયનું કાર્ય નથી; તે માત્ર સિગ્નલ અને તેની ઓફસેટ નકલ વચ્ચેના સમયના તફાવતનું કાર્ય છે.
વાસ્તવિક ઉર્જા સિગ્નલના સ્વતઃસંબંધ કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે.
1. 
3. 
સ્વતઃસંબંધ અને ESD એ એકબીજાના ફોરિયર રૂપાંતરણ છે, જે બે માથાવાળા તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે
4. 
શૂન્ય પરનું મૂલ્ય સિગ્નલ ઊર્જા જેટલું છે
ફકરાઓના સંતોષ પર. 1-3 એ ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન છે.
શરત 4 એ શરત 3 નું પરિણામ છે, તેથી તેને ઑટોકોરિલેશન ફંક્શન માટે ચકાસવા માટે મુખ્ય સમૂહમાં શામેલ કરવાની જરૂર નથી.
1.4.2. સામયિક સંકેતનો સ્વતઃસંબંધ
વાસ્તવિક સામયિક સિગ્નલનો સ્વતઃસંબંધ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
માટે (1.22)
જો સિગ્નલ સમયગાળા સાથે સામયિક હોય, તો સમીકરણમાં સમયની સરેરાશ (1.22) એક સમયગાળામાં લઈ શકાય છે, અને સ્વતઃસંબંધ નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત કરી શકાય છે.
માટે (1.23)
1. સામયિક સિગ્નલના સ્વતઃસંબંધ કે જે વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે તેમાં ઉર્જા સિગ્નલની સમાન ગુણધર્મો હોય છે.
શૂન્ય વિશે સમપ્રમાણતા
3. 
2. બધા માટે મહત્તમ મૂલ્ય શૂન્ય છે
4. 
સ્વતઃસંબંધ અને ESD એ એકબીજાના ફોરિયર રૂપાંતરણ છે
1.5. રેન્ડમ સિગ્નલો
સંચાર પ્રણાલીનું મુખ્ય કાર્ય સંચાર ચેનલ પર માહિતી પ્રસારિત કરવાનું છે. બધા ઉપયોગી સંદેશ સંકેતો અવ્યવસ્થિત રીતે દેખાય છે, એટલે કે. પ્રાપ્તકર્તાને અગાઉથી ખબર હોતી નથી કે સંભવિત સંદેશ પ્રતીકોમાંથી કયા પ્રસારિત થશે. વધુમાં, વિવિધ વિદ્યુત પ્રક્રિયાઓ અવાજ ઉત્પન્ન કરે છે જે માહિતી સંકેતો સાથે હોય છે. તેથી, અમને રેન્ડમ સિગ્નલોનું વર્ણન કરવા માટે એક કાર્યક્ષમ રીતની જરૂર છે.
1.5.1. રેન્ડમ ચલો રેન્ડમ ચલ દો HA) એઅને વાસ્તવિક સંખ્યા. નોટેશનની સગવડ માટે, ચાલો રેન્ડમ વેરીએબલને દ્વારા દર્શાવીએ એક્સ, અને તેના પર તેની કાર્યાત્મક અવલંબન એઅમે તેને સ્પષ્ટ ગણીશું. રેન્ડમ ચલ અલગ અથવા સતત હોઈ શકે છે. રેન્ડમ ચલનું વિતરણ એક્સઅભિવ્યક્તિ દ્વારા જોવા મળે છે:
, (1.24)
કિંમત સ્વીકારવામાં આવે તેવી સંભાવના ક્યાં છે; રેન્ડમ ચલ એક્સવાસ્તવિક સંખ્યા કરતાં ઓછી એક્સઅથવા તેના સમાન.
2. 
વિતરણ કાર્યમાં નીચેના ગુણધર્મો છે.
જો એક્સરેન્ડમ ચલ સાથે સંબંધિત અન્ય ઉપયોગી કાર્ય
, સંભાવના ઘનતા છે, જે નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે.
(1.25,a) એક્સવિતરણ કાર્યની જેમ, સંભાવના ઘનતા એ વાસ્તવિક સંખ્યાનું કાર્ય છે
. "ઘનતા કાર્ય" નામ એ હકીકત પરથી આવ્યું છે કે ઘટનાની સંભાવના નીચેનાની બરાબર છે. એક્સસમીકરણ (1.25.6) નો ઉપયોગ કરીને, આપણે લગભગ એ સંભાવનાને લખી શકીએ છીએ કે રેન્ડમ ચલ
અને વચ્ચેના ખૂબ નાના અંતરાલ સાથે સંબંધિત મૂલ્ય ધરાવે છે.
આમ, મર્યાદામાં, શૂન્ય તરફ વલણ, આપણે નીચે લખી શકીએ છીએ.
2. 
.
સંભાવના ઘનતા નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે. એક્સઆમ, સંભાવના ઘનતા હંમેશા બિન-નકારાત્મક હોય છે અને તેનો એકમ વિસ્તાર હોય છે. પુસ્તકના ટેક્સ્ટમાં આપણે સતત રેન્ડમ ચલ માટે સંભાવના ઘનતા દર્શાવવા માટે સંકેતનો ઉપયોગ કરીશું. નોટેશનની સરળતા માટે, અમે ઘણીવાર અનુક્રમણિકાને છોડી દઈશું એક્સઅને લખવા માટે સરળ. જો રેન્ડમ ચલ
માત્ર અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અમે સંભાવના ઘનતા દર્શાવવા માટે સંકેતનો ઉપયોગ કરીશું.
1.5.1.1. એન્સેમ્બલ એવરેજ એક્સરેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય અથવા અપેક્ષિત મૂલ્ય
, (1.26)
અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણ n એક્સ- રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણનો ક્રમ
(1.27)
આગામી જથ્થો કહેવામાં આવે છે. એક્સસંચાર પ્રણાલીના વિશ્લેષણ માટે, ચલની પ્રથમ બે ક્ષણો મહત્વપૂર્ણ છે જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણ. હા, ક્યારે જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણ=1 સમીકરણ (1.27) ઉપર ચર્ચા કરેલ ક્ષણ આપે છે, અને અંતે એક્સ.
(1.28)
= 1 - મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્ય એક્સતમે કેન્દ્રિય ક્ષણોને પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો, જે તફાવતની ક્ષણો છે
અને . સેકન્ડ ઓર્ડર સેન્ટ્રલ મોમેન્ટ (જેને વિક્ષેપ પણ કહેવાય છે) નીચેની સમાન છે. એક્સવિખેરી નાખવું એક્સતરીકે પણ લખવામાં આવે છે, અને આ મૂલ્યનું વર્ગમૂળ, , ને પ્રમાણભૂત વિચલન કહેવાય છે એક્સ.
રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાને સ્પષ્ટ કરવાથી સંભાવના ઘનતા કાર્યની પહોળાઈને મર્યાદિત કરે છે. વિભિન્નતા અને સરેરાશ ચોરસ મૂલ્ય નીચેના સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે.
આમ, વિચલન એ મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્ય અને સરેરાશ મૂલ્યના વર્ગ વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે.
1.5.2. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ એરેન્ડમ પ્રક્રિયાને બે ચલોના કાર્ય તરીકે ગણી શકાય: ઘટનાઓ અને સમય. ફિગ માં. 1.5 રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું ઉદાહરણ બતાવે છે. બતાવેલએન 
સમયના નમૂના કાર્યો. નમૂનાના દરેક કાર્યોને અલગ અવાજ જનરેટરના આઉટપુટ તરીકે ગણી શકાય. દરેક ઇવેન્ટ માટે અમારી પાસે સિંગલ ટાઇમ ફંક્શન છે (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશું X(t) એ, અને પર કાર્યાત્મક અવલંબન
અમે તેને સ્પષ્ટ ગણીશું.
ફિગ.1.5. રેન્ડમ અવાજ પ્રક્રિયા
1.5.2.1. રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો આંકડાકીય સરેરાશ (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંદરેક અનુગામી સમયે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું મૂલ્ય અજ્ઞાત હોવાથી, એક રેન્ડમ પ્રક્રિયા કે જેના વિતરણ કાર્યો સતત હોય છે તે સંભવિતતા ઘનતા દ્વારા આંકડાકીય રીતે વર્ણવી શકાય છે. સામાન્ય રીતે, જુદા જુદા સમયે રેન્ડમ પ્રક્રિયા માટેના આ કાર્યનું સ્વરૂપ અલગ હશે. મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સંભવિત વિતરણને પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવું અવાસ્તવિક છે. તે જ સમયે, સંચાર પ્રણાલીઓની જરૂરિયાતો માટે, સરેરાશ અને સ્વતઃસંબંધ કાર્ય સહિત આંશિક વર્ણન, ઘણીવાર પૂરતું હોય છે. તેથી, ચાલો રેન્ડમ પ્રક્રિયાની સરેરાશ નક્કી કરીએ
, (1.30)
કેવી રીતે
સમયના એક બિંદુએ રેન્ડમ પ્રક્રિયાને ધ્યાનમાં લઈને રેન્ડમ ચલ ક્યાં પ્રાપ્ત થાય છે, a એ સંભાવનાની ઘનતા છે (સમયના એક બિંદુએ ઘટનાઓના જોડાણ પર ઘનતા). (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંચાલો રેન્ડમ પ્રક્રિયાના સ્વતઃસંબંધ કાર્યને વ્યાખ્યાયિત કરીએ
બે ચલોના કાર્ય તરીકે અને (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંક્યાં અને રેન્ડમ ચલો છે તે ધ્યાનમાં લઈને મેળવવામાં આવે છે
સમયના બિંદુઓ પર અને તે મુજબ.
ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન એ એક રેન્ડમ પ્રક્રિયાના બે સમયના નમૂનાઓ વચ્ચેના સંબંધનું માપ છે. (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંજો તેના કોઈપણ આંકડા સમયના મૂળના સ્થાનાંતરણથી પ્રભાવિત ન થાય તો તેને કડક અર્થમાં સ્થિર કહેવામાં આવે છે. રેન્ડમ પ્રક્રિયાને વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર કહેવામાં આવે છે જો તેના બે આંકડા, સરેરાશ અને સ્વતઃસંબંધ કાર્ય, જ્યારે સમયનું મૂળ સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે બદલાતું નથી. આમ, પ્રક્રિયા વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર છે જો
કડક અર્થમાં સ્થિરતા વ્યાપક અર્થમાં સ્થિરતા સૂચવે છે, પરંતુ ઊલટું નહીં. સંચાર સિદ્ધાંતના મોટાભાગના ઉપયોગી પરિણામો એ ધારણા પર આધારિત છે કે રેન્ડમ માહિતી સંકેતો અને અવાજ વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર છે. વ્યવહારિક દૃષ્ટિકોણથી, અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા હંમેશા સ્થિર હોવી જરૂરી નથી, વ્યવહારિક રસના અમુક અવલોકનક્ષમ સમય અંતરાલમાં સ્થિરતા પૂરતી હોય છે.
સ્થિર પ્રક્રિયાઓ માટે, સમીકરણ (1.33) માં સ્વતઃસંબંધ કાર્ય સમય પર આધારિત નથી, પરંતુ માત્ર તફાવત પર આધારિત છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, મૂલ્યોની તમામ જોડી (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંઅંતરાલ દ્વારા વિભાજિત સમયના બિંદુઓ પર, સમાન સહસંબંધ મૂલ્ય ધરાવે છે. તેથી, સ્થિર સિસ્ટમો માટે ફંક્શનને સરળ રીતે લખી શકાય છે.
1.5.2.3. વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓનો સ્વતઃસંબંધ
જેમ વેરિએન્સ રેન્ડમ ચલ માટે રેન્ડમનેસનું માપ આપે છે, ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન માપ પ્રદાન કરે છે. વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર હોય તેવી પ્રક્રિયાઓ માટે, સ્વતઃસંબંધ કાર્ય માત્ર સમયના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
શૂન્ય સરેરાશ સાથે વ્યાપક રીતે સ્થિર પ્રક્રિયા માટે, કાર્ય દર્શાવે છે કે પ્રક્રિયાના રેન્ડમ ચલો આંકડાકીય રીતે કેવી રીતે સહસંબંધિત છે, સેકન્ડ દ્વારા અલગ કરવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે રેન્ડમ પ્રક્રિયા સાથે સંકળાયેલ આવર્તન પ્રતિભાવ વિશે માહિતી પ્રદાન કરે છે. જો તે શૂન્યથી અમુક મૂલ્ય સુધી વધે તેમ ધીમે ધીમે બદલાય છે, તો તે સરેરાશ નમૂનાના મૂલ્યો દર્શાવે છે (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશું, સમયની ક્ષણો પર લેવામાં આવે છે અને , વ્યવહારીક રીતે સમાન છે. તેથી, અમને આવર્તન રજૂઆતમાં અપેક્ષા રાખવાનો અધિકાર છે (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંઓછી આવર્તન પ્રબળ રહેશે. બીજી બાજુ, જો θ વધે તેમ તે ઝડપથી ઘટે, તો અમે તેની અપેક્ષા રાખીશું (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંસમયની સાથે ઝડપથી બદલાશે અને તેથી તેમાં મુખ્યત્વે ઉચ્ચ ફ્રીક્વન્સીનો સમાવેશ થશે.
વ્યાપક અર્થમાં સ્થિર પ્રક્રિયાનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય જે વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે તે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે.
1. 
સામયિક સિગ્નલના સ્વતઃસંબંધ કે જે વાસ્તવિક મૂલ્યો લે છે તેમાં ઉર્જા સિગ્નલની સમાન ગુણધર્મો હોય છે.
2. 
બધા માટે મહત્તમ મૂલ્ય શૂન્ય છે
3. 
સ્વતઃસંબંધ અને પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા એ એકબીજાના ફોરિયર રૂપાંતરણ છે
4. 
શૂન્ય પરનું મૂલ્ય એવરેજ સિગ્નલ પાવર જેટલું છે
1.5.3. સમય સરેરાશ અને એર્ગોડિસિટી
ગણતરી કરવા માટે અને એસેમ્બલ પર સરેરાશ કરીને, અમારે પ્રક્રિયાના તમામ નમૂના કાર્યો પર તેમને સરેરાશ કરવાની જરૂર છે, અને તેથી, અમને પ્રથમ અને બીજા અંદાજમાં સંભાવના ઘનતા કાર્યોના પરસ્પર વિતરણ વિશે સંપૂર્ણ માહિતીની જરૂર પડશે. સામાન્ય રીતે, આવી માહિતી સામાન્ય રીતે ઉપલબ્ધ હોતી નથી.
જો રેન્ડમ પ્રક્રિયા એર્ગોડિક પ્રક્રિયાઓના વર્ગ તરીકે ઓળખાતા વિશિષ્ટ વર્ગની હોય, તો તેની સમયની સરેરાશ એસેમ્બલ એવરેજ જેટલી હોય છે અને પ્રક્રિયાના આંકડાકીય ગુણધર્મો સમયાંતરે પ્રક્રિયાના એક નમૂનાના કાર્યની સરેરાશ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયા એર્ગોડિક બનવા માટે, તે કડક અર્થમાં સ્થિર હોવી જોઈએ (વિપરીત જરૂરી નથી). જો કે, કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સ માટે, જ્યાં વ્યાપક અર્થમાં સ્થિરતા આપણા માટે પર્યાપ્ત છે, અમને ફક્ત સરેરાશ અને સ્વતઃસંબંધ કાર્યમાં રસ છે.
અવ્યવસ્થિત પ્રક્રિયાને સરેરાશ જો સંદર્ભમાં એર્ગોડિક કહેવાય છે
(1.35)
અને ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનના સંદર્ભમાં એર્ગોડિક જો
(1.36)
એર્ગોડિસિટી માટે રેન્ડમ પ્રક્રિયાનું પરીક્ષણ કરવું સામાન્ય રીતે ખૂબ મુશ્કેલ છે. વ્યવહારમાં, એક નિયમ તરીકે, એક સાહજિક ધારણાનો ઉપયોગ એસેમ્બલ એવરેજને સમયની સરેરાશ સાથે બદલવાની સલાહ વિશે કરવામાં આવે છે. સંદેશાવ્યવહાર ચેનલોમાં મોટાભાગના સંકેતોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે (આવેગ અસરોની ગેરહાજરીમાં), તે માનવું વાજબી છે કે રેન્ડમ સિગ્નલો સ્વતઃસંબંધ કાર્યના સંદર્ભમાં એર્ગોડિક છે. એર્ગોડિક પ્રક્રિયાઓ માટે સમયની સરેરાશ એ એસેમ્બલ એવરેજની બરાબર હોવાથી, મૂળભૂત વિદ્યુત પરિમાણો જેમ કે ડીસી એમ્પ્લીટ્યુડ, આરએમએસ અને સરેરાશ પાવર એર્ગોડિક રેન્ડમ પ્રક્રિયાની ક્ષણો સાથે સંબંધિત હોઈ શકે છે.
1. મૂલ્ય સિગ્નલના સતત ઘટક જેટલું છે.
2. મૂલ્ય પ્રત્યક્ષ ઘટકની સામાન્ય શક્તિની બરાબર છે.
3. બીજા ઓર્ડરની ક્ષણ (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશું, , કુલ સરેરાશ સામાન્ય શક્તિની બરાબર છે.
4. મૂલ્ય વર્તમાન અથવા વોલ્ટેજના સંદર્ભમાં દર્શાવવામાં આવેલા સિગ્નલના મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્યની બરાબર છે.
5. વિક્ષેપ એ વૈકલ્પિક સંકેતની સરેરાશ સામાન્ય શક્તિની બરાબર છે.
6. જો પ્રક્રિયાનો અર્થ શૂન્ય (એટલે કે) હોય, તો , અને ભિન્નતા મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્યની બરાબર હોય અથવા (બીજી ફોર્મ્યુલેશન) ભિન્નતા સામાન્ય લોડમાં કુલ શક્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
7. પ્રમાણભૂત વિચલન એ વૈકલ્પિક સંકેતનું મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્ય છે.
8. જો , તો સિગ્નલનું મૂળ સરેરાશ ચોરસ મૂલ્ય છે.
1.5.4. પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી અને રેન્ડમ પ્રક્રિયાનો સ્વતઃસંબંધ
ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન એ એક રેન્ડમ પ્રક્રિયાના બે સમયના નમૂનાઓ વચ્ચેના સંબંધનું માપ છે. (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંસમીકરણ (1.20) માં આપેલ પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ધરાવતા સામયિક સંકેત તરીકે ઓળખી શકાય છે. ફંક્શન ખાસ કરીને કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સમાં ઉપયોગી છે કારણ કે તે ફ્રીક્વન્સી રેન્જ પર સિગ્નલ પાવરના વિતરણનું વર્ણન કરે છે.
પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા તમને સિગ્નલ પાવરનો અંદાજ કાઢવા દે છે જે જાણીતી આવર્તન લાક્ષણિકતાઓવાળા નેટવર્ક દ્વારા પ્રસારિત કરવામાં આવશે.
2. 
પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા કાર્યોના મુખ્ય ગુણધર્મો નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે. (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશું 1. હંમેશા માન્ય મૂલ્યો લે છે
3. 
માટે
4. 
, વાસ્તવિક મૂલ્યો લેવું
સ્વતઃસંબંધ અને પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા એ એકબીજાના ફોરિયર રૂપાંતરણ છે
સરેરાશ સામાન્ય શક્તિ અને પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા વચ્ચેનો સંબંધ ફિગ માં. આકૃતિ 1.6 ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન અને પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી ફંક્શનની વિઝ્યુઅલ રજૂઆત દર્શાવે છે. "સંબંધ" શબ્દનો અર્થ શું છે? જ્યારે આપણે બે ઘટનાઓના સહસંબંધમાં રસ ધરાવીએ છીએ, ત્યારે અમે પૂછીએ છીએ કે તેઓ વર્તન અથવા દેખાવમાં કેટલી નજીકથી સંબંધિત છે અને તેઓ કેટલી સુસંગત છે. ગણિતમાં, સિગ્નલનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય (સમય ડોમેનમાં) અમુક સમયગાળા દ્વારા બદલાતા સિગ્નલના પત્રવ્યવહારનું વર્ણન કરે છે. એક ચોક્કસ નકલ માઇનસ અનંત પર બનાવવામાં અને સ્થાનિકીકરણ માનવામાં આવે છે. પછી અમે નકલને સમય અક્ષની હકારાત્મક દિશામાં ક્રમિક રીતે ખસેડીએ છીએ અને પૂછીએ છીએ કે તેઓ (મૂળ સંસ્કરણ અને નકલ) એકબીજાને કેટલી સારી રીતે અનુરૂપ છે. અમે પછી નકલને હકારાત્મક દિશામાં વધુ એક પગલું ખસેડીએ છીએ અને પૂછીએ છીએ કે તેઓ હવે કેટલા મેળ ખાતા હોય છે, વગેરે. બે સંકેતો વચ્ચેનો સહસંબંધ સમયના કાર્ય તરીકે રચાયેલ છે, સૂચિત ; આ કિસ્સામાં, સમયને સ્કેનિંગ પરિમાણ તરીકે ગણી શકાય.ફિગ માં. 1.6, અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4, a-d (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંઉપર વર્ણવેલ પરિસ્થિતિ સમયના અમુક બિંદુઓ પર દર્શાવવામાં આવી છે. ચોખા. 1.6, ટીવ્યાપક રીતે સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના એક સિગ્નલને સમજાવે છે (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,એ જ ક્રમ બતાવવામાં આવે છે, જે સમયસર સેકન્ડોમાં બદલાય છે. સ્વીકૃત નોટેશન મુજબ, આ ક્રમ દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે. ચાલો ધારીએ કે પ્રક્રિયા (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંઓટોકોરિલેશન ફંક્શનના સંદર્ભમાં એર્ગોડિક છે, તેથી અમે તેને શોધવા માટે એસેમ્બલ એવરેજિંગને બદલે સમયની સરેરાશનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ. (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંમૂલ્ય બે ક્રમનો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે (એટલે કે પસંદગીયુક્ત કાર્ય). તમામ સેમ્પલ ફંક્શન્સના સેટને એન્સેમ્બલ કહેવામાં આવે છે. સમયના કોઈપણ સમયે, એક રેન્ડમ ચલ છે જેનું મૂલ્ય ઘટના પર આધારિત છે. અને છેલ્લે, ચોક્કસ ઘટના માટે અને સમયના ચોક્કસ બિંદુ માટે, સામાન્ય સંખ્યા છે. નોટેશનની સુવિધા માટે, અમે રેન્ડમ પ્રક્રિયા દ્વારા સૂચિત કરીશુંઅને પછી સમીકરણ (1.36) નો ઉપયોગ કરીને સરેરાશ શોધો, જે ફક્ત મર્યાદામાં જ એર્ગોડિક પ્રક્રિયાઓ માટે માન્ય છે. જો કે, પૂર્ણાંક સંખ્યાના સમયગાળા પરનું એકીકરણ આપણને થોડો અંદાજ આપી શકે છે. નોંધ કરો કે સ્થળાંતર દ્વારા શું મેળવી શકાય છે હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને દિશામાં.એક સમાન કેસ ફિગ માં સચિત્ર છે. 1.6, અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,વી (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,, જેના પર મૂળ નમૂના ક્રમનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો (ફિગ. 1.6, ) અને તેની વિસ્થાપિત નકલ (ફિગ. 1.6,). ઉત્પાદન વળાંક હેઠળના છાંયેલા વિસ્તારો ઉત્પાદનમાં સકારાત્મક યોગદાન આપે છે, જ્યારે ગ્રે વિસ્તારો નકારાત્મક રીતે ફાળો આપે છે. પલ્સ ટ્રાન્સમિશન સમય પર એકીકરણ વળાંક પર એક બિંદુ આપે છે. ) અને તેની વિસ્થાપિત નકલ (ફિગ. 1.6,ક્રમ વધુ બદલાઈ શકે છે અને આવી દરેક શિફ્ટ ફિગમાં દર્શાવેલ એકંદર સ્વતઃસંબંધ કાર્ય પર એક બિંદુ ઉત્પન્ન કરશે. 1.6, ) અને તેની વિસ્થાપિત નકલ (ફિગ. 1.6,જી
. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દ્વિધ્રુવી કઠોળનો દરેક રેન્ડમ ક્રમ ફિગમાં બતાવેલ સામાન્ય વળાંક પરના સ્વતઃસંબંધ બિંદુને અનુરૂપ છે. 1.6, ) અને તેની વિસ્થાપિત નકલ (ફિગ. 1.6,.
(1.37)
ફંક્શનનો મહત્તમ બિંદુ બિંદુ પર છે (શ્રેષ્ઠ ફિટ ત્યારે થાય છે જ્યારે , શૂન્યની બરાબર હોય, કારણ કે બધા માટે) અને કાર્ય ની જેમ ઘટે છે.
ફિગ માં. 1.6,
અનુરૂપ બિંદુઓ અને બતાવવામાં આવે છે.
ફિગમાં બતાવેલ સ્વતઃસંબંધ કાર્ય માટે વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ. 1.6, ) અને તેની વિસ્થાપિત નકલ (ફિગ. 1.6,અને ફોર્મ્યુલા 1.37) વધવાની સાથે ધીમે ધીમે ઘટશે. ચાલો હવે ધારીએ કે સિગ્નલ પર્યાપ્ત ઝડપથી બદલાય છે (એટલે કે, આપણી પાસે મોટી બેન્ડવિડ્થ છે). આ કિસ્સામાં, એક નાનો ફેરફાર પણ સહસંબંધ શૂન્ય અને સ્વતઃસંબંધ કાર્યને ખૂબ જ સાંકડો આકારનું કારણ બનશે.
તેથી, આકાર દ્વારા ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન્સની સરખામણી કરવાથી સિગ્નલ બેન્ડવિડ્થ વિશે કેટલીક માહિતી મળે છે. શું કાર્ય ધીમે ધીમે ઘટે છે? આ કિસ્સામાં, અમારી પાસે સાંકડી બેન્ડ સાથે સંકેત છે. શું કાર્યનો આકાર સાંકડી શિખર જેવો છે? પછી સિગ્નલમાં વિશાળ બેન્ડ છે.
(1.38)
ઑટોકોરિલેશન ફંક્શન વ્યક્તિને રેન્ડમ સિગ્નલની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી સ્પષ્ટ રીતે વ્યક્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે. પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી અને ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન એ એકબીજાના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સ હોવાથી, પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી, , દ્વિધ્રુવી સ્પંદનોના રેન્ડમ સિક્વન્સ ફંક્શનના ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તરીકે શોધી શકાય છે, જેની વિશ્લેષણાત્મક અભિવ્યક્તિ સમીકરણમાં આપવામાં આવે છે ( 1.37). આ માટે તમે ટેબલનો ઉપયોગ કરી શકો છો. A.1. તેની નોંધ લો સિગ્નલની લાક્ષણિકતાઓ (પલ્સ માટે - કંપનવિસ્તાર, અવધિ અને સ્થાન, અથવા સાઈન વેવ માટે - કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને તબક્કો) તેને મર્યાદિત મૂળાક્ષરોના પ્રતીકોમાંના એક તરીકે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. ફિગ માં. 1.4,.
કાર્યનું સામાન્ય દૃશ્ય ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 1.6, સિગ્નલની લાક્ષણિકતાઓ (પલ્સ માટે - કંપનવિસ્તાર, અવધિ અને સ્થાન, અથવા સાઈન વેવ માટે - કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને તબક્કો) તેને મર્યાદિત મૂળાક્ષરોના પ્રતીકોમાંના એક તરીકે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. ફિગ માં. 1.4,નોંધ કરો કે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી કર્વ હેઠળનો વિસ્તાર સરેરાશ સિગ્નલ પાવર દર્શાવે છે. બેન્ડવિડ્થનું એક અનુકૂળ માપ મુખ્ય સ્પેક્ટ્રલ લોબની પહોળાઈ છે (વિભાગ 1.7.2 જુઓ). ફિગ માં. 1.6, સિગ્નલ બેન્ડવિડ્થ વ્યસ્ત પ્રતીક અવધિ અથવા પલ્સ પહોળાઈ સાથે સંબંધિત હોવાનું દર્શાવવામાં આવ્યું છે. ચોખા. 1.6,ઇ-કે ઔપચારિક રીતે ફિગનું પુનરાવર્તન કરો. 1.6,નરક , સિવાય કે પછીના આંકડાઓમાં પલ્સનો સમયગાળો ઓછો છે.નોંધ કરો કે ટૂંકા કઠોળ માટે કાર્ય સંકુચિત છે (ફિગ. 1.6, ) અને તેની વિસ્થાપિત નકલ (ફિગ. 1.6,અને , સિવાય કે પછીના આંકડાઓમાં પલ્સનો સમયગાળો ઓછો છે.) લાંબા સમય સુધી (ફિગ. 1.6, ). ફિગ માં. 1.6,; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ટૂંકા પલ્સ અવધિના કિસ્સામાં, ની ઓફસેટ નલ મેચ બનાવવા અથવા ઓફસેટ સિક્વન્સ વચ્ચેનો સંબંધ સંપૂર્ણપણે ગુમાવવા માટે પૂરતો છે. ફિગ માં થી. 1.6, ટીઇ અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,પલ્સ અવધિ બિટ્સ સાંકેતિક મૂળાક્ષરોમાંથી એક અક્ષર વ્યાખ્યાયિત કરે છે, અનેફિગ કરતાં ઓછી (ઉચ્ચ પલ્સ ટ્રાન્સમિશન ઝડપ). 1.6, સિગ્નલની લાક્ષણિકતાઓ (પલ્સ માટે - કંપનવિસ્તાર, અવધિ અને સ્થાન, અથવા સાઈન વેવ માટે - કંપનવિસ્તાર, આવર્તન અને તબક્કો) તેને મર્યાદિત મૂળાક્ષરોના પ્રતીકોમાંના એક તરીકે ઓળખવાની મંજૂરી આપે છે. ફિગ માં. 1.4,.
,ફિગમાં બેન્ડ ઓક્યુપન્સી. 1.6,
"ઘોંઘાટ" શબ્દ અનિચ્છનીય વિદ્યુત સંકેતોનો સંદર્ભ આપે છે જે હંમેશા વિદ્યુત પ્રણાલીઓમાં હાજર હોય છે.
સિગ્નલ "પડછાયા" અથવા માસ્ક, સિગ્નલ પર અધિકૃત અવાજની હાજરી; આ પ્રતીકોના અર્થ વિશે સચોટ નિર્ણય લેવાની રીસીવરની ક્ષમતાને મર્યાદિત કરે છે, અને તેથી માહિતી પ્રસારિત થઈ શકે તે ઝડપને મર્યાદિત કરે છે. અવાજની પ્રકૃતિ અલગ છે અને તેમાં કુદરતી અને કૃત્રિમ બંને સ્ત્રોતોનો સમાવેશ થાય છે.
કૃત્રિમ અવાજ એ ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશનના અન્ય સંબંધિત સ્ત્રોતોમાંથી સ્પાર્ક ઇગ્નીશન, સ્વિચિંગ આવેગ અવાજ અને અવાજનો અવાજ છે. કુદરતી અવાજો વાતાવરણ, સૂર્ય અને અન્ય આકાશગંગાના સ્ત્રોતોમાંથી આવે છે.સારી એન્જિનિયરિંગ ડિઝાઇન ફિલ્ટરિંગ, શિલ્ડિંગ, મોડ્યુલેશન પસંદગી અને શ્રેષ્ઠ રીસીવર સ્થાન દ્વારા મોટાભાગના અવાજ અથવા તેની અનિચ્છનીય અસરોને દૂર કરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સંવેદનશીલ રેડિયો ખગોળશાસ્ત્ર માપન સામાન્ય રીતે કુદરતી અવાજના સ્ત્રોતોથી દૂર દૂરના રણના સ્થળોએ કરવામાં આવે છે. જો કે, ત્યાં એક કુદરતી અવાજ છે, જેને થર્મલ અવાજ કહેવાય છે, જેને દૂર કરી શકાતો નથી. થર્મલ અવાજ એ તમામ વિસર્જન ઘટકો - રેઝિસ્ટર, કંડક્ટર વગેરેમાં ઇલેક્ટ્રોનની થર્મલ હિલચાલને કારણે થાય છે. તે જ ઇલેક્ટ્રોન જે વિદ્યુત વાહકતા માટે જવાબદાર છે તે થર્મલ અવાજનું કારણ છે. tથર્મલ અવાજને શૂન્ય સરેરાશ સાથે ગૌસીયન રેન્ડમ પ્રક્રિયા તરીકે વર્ણવી શકાય છે. ગૌસીયન પ્રક્રિયા
, (1.40)
n(t) જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણરેન્ડમ ફંક્શન છે, જેનું મૂલ્ય સમયની મનસ્વી ક્ષણે
આંકડાકીય રીતે ગૌસીયન સંભાવના ઘનતા કાર્ય દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે: અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,તફાવત ક્યાં છે જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણ . શૂન્ય-મીન પ્રક્રિયાનું સામાન્યકૃત ગૌસીયન ઘનતા કાર્ય એ ધારણા હેઠળ મેળવવામાં આવે છે કે . એક યોજનાકીય નોર્મલાઇઝ્ડ પ્રોબેબિલિટી ડેન્સિટી ફંક્શન ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 1.7.
, (1.41)
અહીં એક રેન્ડમ સિગ્નલ છે, જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણ.
- સંચાર ચેનલમાં સિગ્નલ, અને
ગૌસીયન અવાજને વ્યક્ત કરતું રેન્ડમ ચલ છે. પછી સંભાવના ઘનતા કાર્ય તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં, ઉપર મુજબ, વિક્ષેપ છેઆંકડાકીય રીતે સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો ગૌસીયન વિતરણને આધીન છે, અને વ્યક્તિગત વિતરણ કાર્યોના પ્રકારથી કોઈ ફરક પડતો નથી. આમ, જો વ્યક્તિગત ઘોંઘાટ મિકેનિઝમ્સનું બિન-ગૌસીયન વિતરણ હોય, તો પણ આવી ઘણી પદ્ધતિઓના સંગ્રહમાં ગૌસીયન વિતરણ હોય છે.
1.5.5.1. સફેદ અવાજ
થર્મલ અવાજની મુખ્ય સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતા એ છે કે તેની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા મોટાભાગની સંચાર પ્રણાલીઓમાં રસ ધરાવતી તમામ ફ્રીક્વન્સીઝ માટે સમાન છે; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, થર્મલ અવાજનો સ્ત્રોત એકમ બેન્ડવિડ્થ દીઠ સમાન શક્તિ સાથે તમામ ફ્રીક્વન્સીઝ પર ઉત્સર્જન કરે છે - સતત ઘટકથી Hz ના ક્રમની આવર્તન સુધી. તેથી, થર્મલ અવાજનું એક સરળ મોડેલ ધારે છે કે તેની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા તમામ ફ્રીક્વન્સીઝમાં સમાન છે, જેમ કે ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 1.8, અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,, અને નીચેના ફોર્મમાં લખાયેલ છે.
(1.42)
અહીં, 2 નું પરિબળ એ બતાવવા માટે સમાવવામાં આવેલ છે કે તે દ્વિ-માર્ગી પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા છે. જ્યારે અવાજની શક્તિમાં સમાન વર્ણપટની ઘનતા હોય છે, ત્યારે આપણે તેને સફેદ અવાજ કહીએ છીએ.
વિશેષણ "સફેદ" નો ઉપયોગ સફેદ પ્રકાશ માટે સમાન અર્થમાં થાય છે, જેમાં ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક રેડિયેશનની દૃશ્યમાન શ્રેણીની તમામ ફ્રીક્વન્સીઝનું સમાન પ્રમાણ હોય છે.
ફિગ.1.8. સફેદ અવાજ: a) પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા;
b) સ્વતઃસંબંધ કાર્ય
(1.43)
શ્વેત ઘોંઘાટનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય અવાજ શક્તિ સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા (કોષ્ટક A.1 જુઓ) ના વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને તે નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે. (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,આમ, સફેદ ઘોંઘાટ ઓટોકોરિલેશન એ એક પરિબળ દ્વારા ભારિત અને બિંદુ પર સ્થિત ડેલ્ટા કાર્ય છે, જેમ કે ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે.
1.8,
(1.44)
. નોંધ કરો કે તે માટે શૂન્ય બરાબર છે, એટલે કે. સફેદ ઘોંઘાટના બે અલગ-અલગ નમૂનાઓ સહસંબંધ ધરાવતા નથી, પછી ભલે તે ગમે તેટલા નજીકના હોય.
સમીકરણ (1.43) માં ડેલ્ટા ફંક્શનનો અર્થ છે કે અવાજ સિગ્નલ કુદરતી અવાજો વાતાવરણ, સૂર્ય અને અન્ય આકાશગંગાના સ્ત્રોતોમાંથી આવે છે.કોઈપણ માટે તેના પોતાના પક્ષપાતી સંસ્કરણ સાથે સંપૂર્ણપણે અસંબંધિત છે. સમીકરણ (1.43) બતાવે છે કે સફેદ અવાજની પ્રક્રિયાના કોઈપણ બે નમૂનાઓ અસંબંધિત છે. થર્મલ અવાજ એ ગૌસીયન પ્રક્રિયા હોવાથી અને તેના નમૂનાઓ અસંબંધિત હોવાથી, અવાજના નમૂનાઓ પણ સ્વતંત્ર છે. આમ, શોધ પ્રક્રિયા પર ઉમેરણ સફેદ ગૌસિયન અવાજ ચેનલની અસર એ છે કે અવાજ દરેક પ્રસારિત પ્રતીકને સ્વતંત્ર રીતે અસર કરે છે. આવી ચેનલને મેમરીલેસ ચેનલ કહેવામાં આવે છે. "એડિટિવ" શબ્દનો અર્થ એ છે કે ઘોંઘાટ ફક્ત સિગ્નલ પર લગાવવામાં આવે છે અથવા તેમાં ઉમેરવામાં આવે છે - ત્યાં કોઈ ગુણાકારની પદ્ધતિઓ નથી.
કારણ કે થર્મલ ઘોંઘાટ તમામ સંચાર પ્રણાલીઓમાં હાજર છે અને મોટાભાગની સિસ્ટમો માટે અવાજનો નોંધપાત્ર સ્ત્રોત છે, થર્મલ અવાજની વિશેષતાઓ (એડિટિવ, વ્હાઇટ અને ગૌસિયન) નો ઉપયોગ સંચાર પ્રણાલીઓમાં અવાજનું મોડેલ બનાવવા માટે થાય છે. કારણ કે શૂન્ય-મધ્યમ ગૌસિયન અવાજ સંપૂર્ણપણે તેના વિભિન્નતા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, આ મોડેલ સિગ્નલ શોધ અને શ્રેષ્ઠ રીસીવરોની ડિઝાઇનમાં ઉપયોગમાં લેવા માટે ખાસ કરીને સરળ છે. આ પુસ્તકમાં અમે ધારીશું (જ્યાં સુધી અન્યથા જણાવ્યું ન હોય ત્યાં સુધી) કે સિસ્ટમ શૂન્ય સરેરાશ સાથે ઉમેરણ સફેદ ગૌસિયન અવાજ દ્વારા વિકૃતિને આધીન છે, જો કે કેટલીકવાર આ સરળીકરણ ખૂબ મજબૂત હશે.
1.6. લીનિયર સિસ્ટમ્સ દ્વારા સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન
હવે જ્યારે અમે સિગ્નલ અને ઘોંઘાટ માટે મોડલ્સનો સમૂહ વિકસાવ્યો છે, ચાલો સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓ અને સિગ્નલો અને અવાજ પર તેમની અસર જોઈએ. સિસ્ટમને ફ્રીક્વન્સી અને ટાઇમ ડોમેન્સ બંનેમાં સમાન રીતે સારી રીતે દર્શાવી શકાય છે, તેથી બંને કિસ્સાઓમાં એક મનસ્વી ઇનપુટ સિગ્નલ માટે રેખીય સિસ્ટમના પ્રતિભાવનું વિશ્લેષણ કરવા માટે પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે. સિસ્ટમ ઇનપુટ (ફિગ. 1.9) પર લાગુ સિગ્નલને ટાઇમ સિગ્નલ તરીકે, અથવા તેના ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ દ્વારા વર્ણવી શકાય છે. ટાઈમિંગ એનાલિસિસનો ઉપયોગ કરવાથી ટાઈમિંગ આઉટપુટ મળે છે અને પ્રક્રિયામાં નેટવર્કનું ફંક્શન, ઈમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ અથવા ઈમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ નક્કી કરવામાં આવશે. ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં ઇનપુટને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, આપણે સિસ્ટમ માટે ફ્રીક્વન્સી રિસ્પોન્સ અથવા ટ્રાન્સફર ફંક્શનને વ્યાખ્યાયિત કરવું જોઈએ, જે ફ્રીક્વન્સી આઉટપુટ નક્કી કરશે. સિસ્ટમ રેખીય અને સમય અવ્યવસ્થિત હોવાનું માનવામાં આવે છે. એવું પણ માનવામાં આવે છે કે ઇનપુટ સિગ્નલ લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે સિસ્ટમમાં કોઈ છુપી ઊર્જા નથી.
ફિગ.1.9. લીનિયર સિસ્ટમ અને તેના મુખ્ય પરિમાણો
1.6.1. આવેગ પ્રતિભાવ
ફિગમાં દર્શાવેલ રેખીય, સમય-અન્યતન સિસ્ટમ અથવા નેટવર્ક. 1.9, આવેગ પ્રતિભાવ દ્વારા (સમય ડોમેનમાં) વર્ણવવામાં આવે છે, જે તેના ઇનપુટ પર એક પલ્સ લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે સિસ્ટમનો પ્રતિભાવ છે.
"આવેગ પ્રતિભાવ" શબ્દનો વિચાર કરો, જે આ ઘટના માટે અત્યંત યોગ્ય છે. તેના આવેગ પ્રતિભાવ દ્વારા સિસ્ટમની લાક્ષણિકતાઓનું વર્ણન સીધું ભૌતિક અર્થઘટન છે. અમે સિસ્ટમના ઇનપુટ પર એક જ પલ્સ લાગુ કરીએ છીએ (અનંત કંપનવિસ્તાર, શૂન્ય પહોળાઈ અને એકમ વિસ્તાર ધરાવતું અવાસ્તવિક સંકેત), ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે. 1.10, અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,. (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,.)
સિસ્ટમમાં આવા આવેગની ડિલિવરી "ફ્લેશ" તરીકે ગણી શકાય. બળના આવા ઉપયોગ (આવેગ) માટે સિસ્ટમ કેવી રીતે પ્રતિક્રિયા આપશે ("પ્રતિસાદ")?
(1.46)
આઉટપુટ સિગ્નલ એ સિસ્ટમનો આવેગ પ્રતિભાવ છે. (આ પ્રતિભાવનું સંભવિત સ્વરૂપ આકૃતિ 1.10 માં બતાવવામાં આવ્યું છે,
આર્બિટરી સિગ્નલ માટે નેટવર્ક પ્રતિસાદ એ ની સાથેનું કન્વ્યુલેશન છે, જે નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે.
ફિગ.1.10. "ઇમ્પલ્સ રિસ્પોન્સ" ના ખ્યાલનું ચિત્રણ: a) ઇનપુટ સિગ્નલ એક યુનિટ ઇમ્પલ્સ ફંક્શન છે;
b) આઉટપુટ સિગ્નલ - સિસ્ટમનો આવેગ પ્રતિભાવ
અહીં “*” ચિહ્ન કન્વોલ્યુશન ઓપરેશન સૂચવે છે (વિભાગ A.5 જુઓ). સિસ્ટમને કારણભૂત માનવામાં આવે છે, જેનો અર્થ છે કે ઇનપુટ પર સિગ્નલ લાગુ ન થાય ત્યાં સુધી આઉટપુટ પર કોઈ સિગ્નલ નથી.
તેથી, એકીકરણની નીચલી સીમાને શૂન્ય તરીકે લઈ શકાય છે, અને આઉટપુટ કંઈક અલગ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે.
(1.47,a)
અથવા ફોર્મમાં
(1.47,b) 
સમીકરણો (1.46) અને (1.47) માં સમીકરણોને કન્વોલ્યુશન ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે. કન્વોલ્યુશન એ એક મૂળભૂત ગાણિતિક તકનીક છે જે તમામ સંચાર પ્રણાલીઓને સમજવામાં મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે. જો વાચક આ કામગીરીથી પરિચિત નથી, તો તેણે વિભાગ A.5 નો સંદર્ભ લેવો જોઈએ, જ્યાં સમીકરણો (1.46) અને (1.47) ની વ્યુત્પત્તિ આપવામાં આવી છે.
, (1.50)
1.6.2. ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન
(1.51)
ફ્રિક્વન્સી આઉટપુટ સિગ્નલ ફૌરીયર ટ્રાન્સફોર્મને સમીકરણની બંને બાજુએ લાગુ કરીને મેળવવામાં આવે છે (1.46). સમય ડોમેનમાં કન્વોલ્યુશન ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં ગુણાકાર બની જાય છે (અને તેનાથી વિપરિત), અમે સમીકરણ (1.46) માંથી નીચેના મેળવીએ છીએ.
રેખીય, સમય-અપરિવર્તનશીલ નેટવર્કનું ફ્રીક્વન્સી ટ્રાન્સફર ફંક્શન સરળતાથી લેબોરેટરી સેટિંગમાં માપી શકાય છે - ઇનપુટ પર હાર્મોનિક જનરેટર અને આઉટપુટ પર ઓસિલોસ્કોપવાળા નેટવર્કમાં. જો ઇનપુટ સિગ્નલ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે
,
પછી આઉટપુટ નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે.
ઇનપુટ આવર્તન અમને રસના મૂલ્યમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે; આમ, ઇનપુટ અને આઉટપુટ પરના માપ અમને પ્રકાર નક્કી કરવા દે છે.
1.6.2.1. રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓ અને રેખીય સિસ્ટમો
જો રેન્ડમ પ્રક્રિયા લીનિયર, ટાઇમ-અપરિવર્તનશીલ સિસ્ટમનું ઇનપુટ બનાવે છે, તો આ સિસ્ટમના આઉટપુટ પર આપણે રેન્ડમ પ્રક્રિયા પણ મેળવીશું. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ઇનપુટ પ્રક્રિયાના દરેક નમૂના કાર્ય આઉટપુટ પ્રક્રિયાના નમૂના કાર્ય આપે છે. ઇનપુટ પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી અને આઉટપુટ પાવર સ્પેક્ટરલ ડેન્સિટી નીચે મુજબ સંબંધિત છે.
(1.53)
સમીકરણ (1.53) જ્યારે રેન્ડમ પ્રક્રિયાને ખવડાવવામાં આવે ત્યારે રેખીય, સમય-અપરિવર્તનશીલ સિસ્ટમની આઉટપુટ પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા શોધવાની એક સરળ રીત પ્રદાન કરે છે.
પ્રકરણ 3 અને 4 માં, અમે ગૌસીયન અવાજમાં સંકેતો શોધવા પર ધ્યાન આપીશું. ગૌસીયન પ્રક્રિયાઓની મૂળભૂત મિલકત રેખીય સિસ્ટમ પર લાગુ કરવામાં આવશે. તે બતાવવામાં આવશે કે જો ગૌસીયન પ્રક્રિયાને સમય-અપરિવર્તનશીલ રેખીય ફિલ્ટર પર ખવડાવવામાં આવે છે, તો આઉટપુટને આપવામાં આવતી રેન્ડમ પ્રક્રિયા પણ ગૌસીયન છે.
1.6.3. વિકૃતિ મુક્ત ટ્રાન્સમિશન
નેટવર્કને આદર્શ ટ્રાન્સમિશન ચેનલ તરીકે વર્તે તે માટે શું જરૂરી છે? આદર્શ સંચાર ચેનલનું આઉટપુટ સિગ્નલ ઇનપુટ સિગ્નલથી પાછળ રહી શકે છે; વધુમાં, આ સિગ્નલોમાં વિવિધ કંપનવિસ્તાર હોઈ શકે છે (સ્કેલમાં એક સરળ ફેરફાર), પરંતુ બાકીની બધી બાબતો માટે - સિગ્નલ વિકૃત ન હોવા જોઈએ, એટલે કે. તેનો આકાર ઇનપુટ સિગ્નલ જેવો જ હોવો જોઈએ. તેથી, આદર્શ અવિકૃત ટ્રાન્સમિશન માટે આપણે આઉટપુટ સિગ્નલનું વર્ણન કરી શકીએ છીએ
, (1.54)
જ્યાં અને સ્થિર છે. ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને બંને બાજુએ લાગુ કરવું (વિભાગ A.3.1 જુઓ), અમારી પાસે નીચે મુજબ છે.
(1.55)
અભિવ્યક્તિ (1.55) ને સમીકરણ (1.49) માં બદલીને, આપણે જોઈએ છીએ કે વિકૃતિ વિના ટ્રાન્સમિશન માટે સિસ્ટમના જરૂરી ટ્રાન્સફર ફંક્શનનું નીચેનું સ્વરૂપ છે.
(1.56)
તેથી, વિકૃતિ વિના આદર્શ ટ્રાન્સમિશન મેળવવા માટે, સિસ્ટમના એકંદર પ્રતિભાવમાં સતત તીવ્રતા હોવી જોઈએ, અને તબક્કાની પાળી આવર્તનમાં રેખીય હોવી જોઈએ. સિસ્ટમ માટે તમામ આવર્તન ઘટકોને સમાન રીતે વિસ્તૃત અથવા ઘટાડવા માટે તે પૂરતું નથી. સિગ્નલના તમામ હાર્મોનિક્સ એ જ વિલંબ સાથે આઉટપુટ પર આવવું જોઈએ જેથી તેનો સારાંશ થઈ શકે. કારણ કે વિલંબ એ સંબંધ દ્વારા તબક્કાની પાળી અને ચક્રીય આવર્તન સાથે સંબંધિત છે
, (1.57,a)
તે સ્પષ્ટ છે કે તમામ ઘટકોના વિલંબને સમાન બનાવવા માટે, તબક્કાની પાળી આવર્તનના પ્રમાણમાં હોવી જોઈએ. વિલંબને કારણે સિગ્નલ વિકૃતિને માપવા માટે, જૂથ વિલંબ તરીકે ઓળખાતી લાક્ષણિકતાનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે; તે નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
(1.57,b)
આમ, વિકૃતિ-મુક્ત ટ્રાન્સમિશન માટે અમારી પાસે બે સમકક્ષ આવશ્યકતાઓ છે: તબક્કો આવર્તનમાં રેખીય હોવો જોઈએ અથવા જૂથ વિલંબ સ્થિરતા સમાન હોવો જોઈએ. વ્યવહારમાં, સિગ્નલ વિકૃત થશે કારણ કે તે સિસ્ટમના કેટલાક ભાગોમાંથી પસાર થાય છે. આ વિકૃતિને દૂર કરવા માટે, તબક્કો અથવા કંપનવિસ્તાર કરેક્શન (સમાનીકરણ) સર્કિટ સિસ્ટમમાં દાખલ કરી શકાય છે. સામાન્ય રીતે, વિકૃતિ એ સિસ્ટમના I/O ની એકંદર લાક્ષણિકતા છે જે તેનું પ્રદર્શન નક્કી કરે છે.
1.6.3.1. આદર્શ ફિલ્ટર
સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ આદર્શ નેટવર્ક બનાવવું અશક્ય છે (1.56). સમસ્યા એ છે કે સમીકરણ (1.56) અનંત બેન્ડવિડ્થ ધારે છે, જેમાં સિસ્ટમ બેન્ડવિડ્થ હકારાત્મક ફ્રીક્વન્સીઝના અંતરાલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે જેના પર મોડ્યુલસ આપેલ તીવ્રતા ધરાવે છે. (સામાન્ય રીતે, બેન્ડવિડ્થના ઘણા માપદંડો છે; સૌથી સામાન્ય વિભાગ 1.7 માં સૂચિબદ્ધ છે.) અનંત બેન્ડવિડ્થ સાથેના આદર્શ નેટવર્કના અંદાજ તરીકે, અમે એક કપાયેલ નેટવર્ક પસંદ કરીએ છીએ જે વિકૃતિ વિના પસાર થાય છે અને તેની વચ્ચેની ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે તમામ હાર્મોનિક્સ ક્યાં છે. નીચલી કટઓફ આવર્તન, અને અંજીરમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ઉપલા છે. 1.11. આવા તમામ નેટવર્કને આદર્શ ફિલ્ટર કહેવામાં આવે છે.
પાસબેન્ડ નામની શ્રેણીની બહાર, આદર્શ ફિલ્ટરનો પ્રતિભાવ કંપનવિસ્તાર શૂન્ય હોવાનું માનવામાં આવે છે. અસરકારક બેન્ડવિડ્થ ફિલ્ટર બેન્ડવિડ્થ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે અને તે Hz છે. અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,જો અને , ફિલ્ટરને ટ્રાન્સમિટિંગ કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 1.11, (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,). જો તેનું મર્યાદિત મૂલ્ય હોય, તો તેને લો-પાસ ફિલ્ટર કહેવામાં આવે છે (ફિગ. 1.11, હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને દિશામાં.).
ફિગ.1.11.
આદર્શ ફિલ્ટર્સનું સ્થાનાંતરણ કાર્ય: a) આદર્શ ટ્રાન્સમિશન ફિલ્ટર; b) આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર; c) આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,સમીકરણ (1.59) નો ઉપયોગ કરીને અને ફિગમાં બતાવેલ Hz બેન્ડવિડ્થ સાથે આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર માટે ધારી રહ્યા છીએ. 1.11,
(1.58)
, આપણે નીચે પ્રમાણે ટ્રાન્સફર ફંક્શન લખી શકીએ છીએ.
ફિગમાં બતાવેલ આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરનો આવેગ પ્રતિભાવ. 1.12, નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.
ફિગ.1.12. આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરનો આવેગ પ્રતિભાવ
જ્યાં કાર્ય સમીકરણમાં વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે (1.39).
ફિગમાં દર્શાવેલ આવેગ પ્રતિભાવ. 1.12, બિન-કારણકારી છે; આનો અર્થ એ છે કે આ ક્ષણે સિગ્નલ ઇનપુટ પર લાગુ થાય છે (), ફિલ્ટર આઉટપુટ પર બિન-શૂન્ય પ્રતિસાદ છે. આમ, તે સ્પષ્ટ હોવું જોઈએ કે સમીકરણ (1.58) દ્વારા વર્ણવેલ આદર્શ ફિલ્ટર વાસ્તવિકતામાં સમજાયું નથી. 
ઉદાહરણ 1.2. આદર્શ ફિલ્ટર દ્વારા સફેદ અવાજ પસાર કરવો અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા સાથે સફેદ અવાજ (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,, આકૃતિ 1.8 માં બતાવેલ છે,
ઉકેલ
, ફિગમાં બતાવેલ આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરના ઇનપુટ પર આપવામાં આવે છે. 1.11,
.
આઉટપુટ સિગ્નલની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી અને ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન નક્કી કરો.
ઑટોકોરિલેશન ફંક્શન એ પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી પર ઇનવર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ લાગુ કરવાનું પરિણામ છે. સ્વતઃસંબંધ કાર્ય નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે (કોષ્ટક A.1 જુઓ). અક્ષરોનો ક્રમ (ફિગ. 1.4,ફોર્મ્યુલા (1.62) સાથે પ્રાપ્ત પરિણામની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈએ છીએ કે તે ફિગમાં બતાવેલ આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરના આવેગ પ્રતિભાવ જેવું જ સ્વરૂપ ધરાવે છે. 1.12. આ ઉદાહરણમાં, એક આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટર વ્હાઇટ નોઇઝ ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન (ડેલ્ટા ફંક્શન દ્વારા વ્યાખ્યાયિત) ને ફંક્શનમાં રૂપાંતરિત કરે છે. ફિલ્ટર કર્યા પછી, સિસ્ટમમાં સફેદ અવાજ રહેશે નહીં. આઉટપુટ નોઈઝ સિગ્નલનો તેની પોતાની ઓફસેટ નકલો સાથે શૂન્ય સહસંબંધ હશે ત્યારે જ જ્યારે શૂન્ય સિવાય અન્ય કોઈ પૂર્ણાંક હોય ત્યાંથી ઓફસેટ કરવામાં આવે.
, (1.63)
1.6.3.2. અમલ કરવા યોગ્ય ફિલ્ટર્સ (પાત્ર). મૂળાક્ષરો અથવા અક્ષર સમૂહનું એક તત્વ (ફિગ. 1.4,, હકારાત્મક અને નકારાત્મક બંને દિશામાં.સૌથી સરળ અમલ કરી શકાય તેવા લો-પાસ ફિલ્ટરમાં પ્રતિરોધક (R) અને કેપેસીટન્સ (C) હોય છે, જે ફિગમાં બતાવેલ છે. 1.13,
સામાન્ય રીતે, અડધો પાવર પોઈન્ટ ડેસિબલ્સ (dB) માં -3 dB પોઈન્ટ તરીકે અથવા પોઈન્ટ 3 dB મહત્તમ મૂલ્યની નીચે દર્શાવવામાં આવે છે. વ્યાખ્યા દ્વારા, ડેસિબલ્સમાં મૂલ્ય શક્તિના ગુણોત્તર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે, અને.
(1.64, એ)
અહીં અને વોલ્ટેજ છે, અને અને પ્રતિકાર છે. કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમ્સમાં, રેટેડ પાવરનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે વિશ્લેષણ માટે થાય છે; આ કિસ્સામાં, પ્રતિકાર 1 ઓહ્મ સમાન ગણવામાં આવે છે, પછી
ફિગ.1.13. આરસી ફિલ્ટર અને તેનું ટ્રાન્સફર ફંક્શન: એ) આરસી ફિલ્ટર; b) આરસી ફિલ્ટરનો કંપનવિસ્તાર પ્રતિભાવ; c) આરસી ફિલ્ટરનો તબક્કો પ્રતિભાવ
(1.64, બી)
કંપનવિસ્તાર પ્રતિભાવ ડેસિબલ્સમાં આ રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે
, (1.64, માં)
ઇનપુટ અને આઉટપુટ પર વોલ્ટેજ ક્યાં અને છે અને ઇનપુટ અને આઉટપુટ પરના પ્રતિકાર સમાન હોવાનું માનવામાં આવે છે.
સમીકરણ (1.63) પરથી, RC લો પાસ ફિલ્ટરનો અડધો પાવર પોઈન્ટ rad/s, અથવા Hz છે તે ચકાસવું સરળ છે. આમ, હર્ટ્ઝમાં બેન્ડવિડ્થ છે. ફિલ્ટર ફોર્મ ફેક્ટર એ એક માપ છે કે વાસ્તવિક ફિલ્ટર એક આદર્શને કેટલી સારી રીતે અંદાજે છે. તે સામાન્ય રીતે -60 dB અને -6 dB ફિલ્ટર બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
એકદમ નાનું ફોર્મ ફેક્ટર (લગભગ 2) ખૂબ જ તીક્ષ્ણ કટઓફ સાથે ટ્રાન્સમિશન ફિલ્ટરમાં મેળવી શકાય છે. સરખામણી માટે, સરળ RC લો-પાસ ફિલ્ટરનું ફોર્મ ફેક્ટર લગભગ 600 છે.
, (1.65)
આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરની લાક્ષણિકતાઓ માટે ઘણા ઉપયોગી અંદાજો છે. તેમાંથી એક બટરવર્થ ફિલ્ટર દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, જે કાર્ય દ્વારા આદર્શ લો-પાસ ફિલ્ટરનું અનુમાન કરે છે.
ઉપલા કટઓફ આવર્તન (-3 ડીબી) ક્યાં છે, અને ફિલ્ટર ક્રમ છે. ઓર્ડર જેટલો ઊંચો છે, ફિલ્ટરને અમલમાં મૂકવાની જટિલતા અને કિંમત વધારે છે. ફિગ માં. આકૃતિ 1.14 અનેક મૂલ્યો માટે કંપનવિસ્તાર આલેખ બતાવે છે. નોંધ કરો કે જેમ જેમ તે વધે છે તેમ, કંપનવિસ્તારની લાક્ષણિકતાઓ આદર્શ ફિલ્ટરની સાથે આવે છે. બટરવર્થ ફિલ્ટર્સ લોકપ્રિય છે કારણ કે તે ફિલ્ટરના પાસબેન્ડની સપાટતા વધારવાના સંદર્ભમાં આદર્શ કેસનો શ્રેષ્ઠ અંદાજ છે. સિગ્નલ દો(t s t 1 ,t) નોન-સામયિક કાર્ય તરીકે ઉલ્લેખિત છે, અને તે માત્ર અંતરાલ પર જ અસ્તિત્વમાં છે ( 2) (ઉદાહરણ - એક પલ્સ). ચાલો મનસ્વી સમયગાળો પસંદ કરીએટી t 1 ,t, અંતરાલ સહિત (
2) (ફિગ 1 જુઓ). સિગ્નલ દો(tચાલો આપણે મેળવેલ સામયિક સંકેતને સૂચિત કરીએ t), ફોર્મમાં (
). પછી આપણે તેના માટે ફોરિયર શ્રેણી લખી શકીએ છીએ સિગ્નલ દો(tફંક્શનમાં જવા માટે t) અભિવ્યક્તિમાં અનુસરે છે ( ) સમયગાળાને અનંત તરફ દિશામાન કરો. આ કિસ્સામાં, ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે હાર્મોનિક ઘટકોની સંખ્યા=જ્યાં તેને અપેક્ષિત મૂલ્ય ઓપરેટર કહેવામાં આવે છે. ક્ષણ 2ડબલ્યુ/2) (ઉદાહરણ - એક પલ્સ). ચાલો મનસ્વી સમયગાળો પસંદ કરીએપી
ઘટકોના કંપનવિસ્તાર પણ અનંત હશે. તેથી, આવા સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમ વિશે વાત કરવી હવે શક્ય નથી, કારણ કે સ્પેક્ટ્રમ સતત બને છે.
આંતરિક અભિન્ન એ આવર્તનનું કાર્ય છે. તેને સિગ્નલની વર્ણપટની ઘનતા અથવા સિગ્નલની આવર્તન પ્રતિભાવ કહેવામાં આવે છે અને તેને નિયુક્ત કરવામાં આવે છે એટલે કે.
સામાન્યતા માટે, એકીકરણની મર્યાદા અનંત પર સેટ કરી શકાય છે, કારણ કે તે બધું સમાન છે જ્યાં s(t) શૂન્યની બરાબર છે, અને પૂર્ણાંક શૂન્યની બરાબર છે.
વર્ણપટની ઘનતા માટેની અભિવ્યક્તિને ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ કહેવામાં આવે છે. વ્યસ્ત ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તેના વર્ણપટની ઘનતા પરથી સિગ્નલનું સમય કાર્ય નક્કી કરે છે
ડાયરેક્ટ (*) અને ઇન્વર્સ (**) ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સને એકસાથે ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ્સની જોડી કહેવામાં આવે છે. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા મોડ્યુલ 
સિગ્નલના કંપનવિસ્તાર-આવર્તન પ્રતિભાવ (એએફસી) અને તેની દલીલ નક્કી કરે છે 
સિગ્નલનો ફેઝ-ફ્રિકવન્સી રિસ્પોન્સ (PFC) કહેવાય છે. સિગ્નલનો આવર્તન પ્રતિભાવ એક સમાન કાર્ય છે, અને તબક્કા પ્રતિભાવ એક વિચિત્ર છે.
મોડ્યુલનો અર્થ એસ() સમયગાળાને અનંત તરફ દિશામાન કરો. આ કિસ્સામાં, ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે હાર્મોનિક ઘટકોની સંખ્યા) એ અનંત સાંકડા ફ્રીક્વન્સી બેન્ડમાં 1 હર્ટ્ઝ દીઠ સિગ્નલ (વર્તમાન અથવા વોલ્ટેજ) ના કંપનવિસ્તાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેમાં પ્રશ્નમાં આવર્તનનો સમાવેશ થાય છે ) સમયગાળાને અનંત તરફ દિશામાન કરો. આ કિસ્સામાં, ફ્રીક્વન્સીઝ સાથે હાર્મોનિક ઘટકોની સંખ્યા. તેનું પરિમાણ [સિગ્નલ/ફ્રિકવન્સી] છે.
સિગ્નલનું એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ.જો ફંક્શન s(t) પાસે ફોરિયર સિગ્નલ પાવર ડેન્સિટી ( સંકેત ઊર્જા સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા) અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)
પાવર સ્પેક્ટ્રમ એ W()-વાસ્તવિક બિન-નેગેટિવ ઇવન ફંક્શન છે, જેને સામાન્ય રીતે એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ કહેવામાં આવે છે. પાવર સ્પેક્ટ્રમ, સિગ્નલની સ્પેક્ટ્રલ ઘનતાના મોડ્યુલસના ચોરસ તરીકે, તેના આવર્તન ઘટકો વિશે તબક્કાની માહિતી ધરાવતું નથી, અને તેથી, પાવર સ્પેક્ટ્રમમાંથી સિગ્નલનું પુનર્નિર્માણ અશક્ય છે. આનો અર્થ એ પણ થાય છે કે વિવિધ તબક્કાની લાક્ષણિકતાઓવાળા સિગ્નલોમાં સમાન પાવર સ્પેક્ટ્રા હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને, સિગ્નલ શિફ્ટ તેના પાવર સ્પેક્ટ્રમને અસર કરતું નથી. બાદમાં આપણને અભિવ્યક્તિ (5.2.7) માંથી સીધા જ ઊર્જા સ્પેક્ટ્રમ માટે અભિવ્યક્તિ મેળવવાની મંજૂરી આપે છે. મર્યાદામાં, શિફ્ટ t 0 સાથે સમાન સંકેતો u(t) અને v(t) માટે, સ્પેક્ટ્રમ Wuv () નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે, અને વાસ્તવિક ભાગ સ્પેક્ટ્રમ મોડ્યુલસના મૂલ્યો તરફ વલણ ધરાવે છે. . સંકેતોના સંપૂર્ણ ટેમ્પોરલ સંયોજન સાથે અમારી પાસે છે:
તે સિગ્નલ એનર્જી તેના ફ્રીક્વન્સી સ્પેક્ટ્રમના સ્ક્વેર્ડ મોડ્યુલસના ઇન્ટિગ્રલ જેટલી હોય છે - તેના આવર્તન ઘટકોની ઊર્જાનો સરવાળો, અને તે હંમેશા વાસ્તવિક મૂલ્ય હોય છે.
મનસ્વી સંકેત s(t) માટે સમાનતા
સામાન્ય રીતે પારસેવલની સમાનતા કહેવાય છે (ગણિતમાં - પ્લાનચેરેલનું પ્રમેય, ભૌતિકશાસ્ત્રમાં - રેલેનું સૂત્ર). સમાનતા સ્પષ્ટ છે, કારણ કે સંકલન અને આવર્તન રજૂઆતો આવશ્યકપણે સમાન સિગ્નલની માત્ર અલગ ગાણિતિક રજૂઆતો છે. એ જ રીતે બે સંકેતોની ક્રિયાપ્રતિક્રિયાની ઊર્જા માટે:
પાર્સેવલની સમાનતા પરથી તે અનુસરે છે કે સિગ્નલોનું સ્કેલર ઉત્પાદન અને ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મના સંદર્ભમાં ધોરણ અપરિવર્તનશીલ છે:
સિગ્નલના રેકોર્ડિંગ અને ટ્રાન્સમિટિંગની અસંખ્ય શુદ્ધ વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, સિગ્નલનું ઉર્જા સ્પેક્ટ્રમ ખૂબ જ નોંધપાત્ર છે. સામયિક સંકેતોને સ્પેક્ટ્રલ પ્રદેશમાં ફ્યુરિયર શ્રેણીના સ્વરૂપમાં અનુવાદિત કરવામાં આવે છે. ચાલો જટિલ સ્વરૂપમાં ફોરિયર શ્રેણીના સ્વરૂપમાં પીરિયડ T સાથે સામયિક સંકેત લખીએ:
અંતરાલ 0-T માં તમામ પૂર્ણાંક ઘાતાંકના સમયગાળાની પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય છે, અને તે k = -m પરના ઘાતાંકીયના અપવાદ સાથે શૂન્યની બરાબર હોય છે, જેના માટે પૂર્ણાંક T ની બરાબર હોય છે. તદનુસાર, a ની સરેરાશ ઘાત સામયિક સિગ્નલ તેની ફોરિયર શ્રેણીના ગુણાંકના ચોરસ મોડ્યુલોના સરવાળા સમાન છે:
સિગ્નલનું એનર્જી સ્પેક્ટ્રમ - આ મૂળભૂત સિગ્નલોની ઊર્જાનું વિતરણ છે જે ફ્રીક્વન્સી અક્ષ પર બિન-હાર્મોનિક સિગ્નલ બનાવે છે. ગાણિતિક રીતે, સિગ્નલનું ઊર્જા વર્ણપટ સ્પેક્ટ્રલ ફંક્શનના મોડ્યુલસના ચોરસ જેટલું છે:
તદનુસાર, કંપનવિસ્તાર-આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ આવર્તન ધરી પરના મૂળભૂત સંકેતોના ઘટકોના કંપનવિસ્તારનો સમૂહ બતાવે છે, અને તબક્કા-આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ તબક્કાઓનો સમૂહ દર્શાવે છે.
સ્પેક્ટ્રલ ફંક્શનના મોડ્યુલસને ઘણીવાર કહેવામાં આવે છે કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ, અને તેની દલીલ છે તબક્કો સ્પેક્ટ્રમ.
વધુમાં, ત્યાં એક ઇન્વર્સ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે જે તમને તેના વર્ણપટના કાર્યને જાણીને મૂળ સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરવાની મંજૂરી આપે છે:
ઉદાહરણ તરીકે, એક લંબચોરસ આવેગ લો:
સ્પેક્ટ્રાનું બીજું ઉદાહરણ:
Nyquist આવર્તન, Kotelnikov પ્રમેય .
Nyquist આવર્તન - ડિજિટલ સિગ્નલ પ્રોસેસિંગમાં, સેમ્પલિંગ ફ્રિક્વન્સીના અડધા જેટલી આવર્તન. હેરી Nyquist પછી નામ આપવામાં આવ્યું. કોટેલનિકોવના પ્રમેયમાંથી તે અનુસરે છે કે જ્યારે એનાલોગ સિગ્નલનું નમૂના લેતી વખતે, સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ (સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા) Nyquist ફ્રિકવન્સી કરતાં બરાબર અથવા ઓછું હોય તો જ માહિતીની ખોટ થશે નહીં. નહિંતર, એનાલોગ સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરતી વખતે, સ્પેક્ટ્રલ "પૂંછડીઓ" (ફ્રીક્વન્સી અવેજી, ફ્રીક્વન્સી માસ્કિંગ) નું ઓવરલેપ હશે અને પુનઃસ્થાપિત સિગ્નલનો આકાર વિકૃત થશે. જો સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમમાં Nyquist આવર્તનથી ઉપર કોઈ ઘટકો નથી, તો તે (સૈદ્ધાંતિક રીતે) નમૂના લઈ શકાય છે અને પછી વિકૃતિ વિના પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. વાસ્તવમાં, સિગ્નલનું "ડિજિટાઇઝેશન" (એનાલોગ સિગ્નલનું ડિજિટલમાં રૂપાંતર) એ નમૂનાઓના પરિમાણ સાથે સંકળાયેલું છે - દરેક નમૂના મર્યાદિત બીટ ઊંડાઈના ડિજિટલ કોડના રૂપમાં લખાયેલ છે, જેના પરિણામે ક્વોન્ટાઈઝેશન (રાઉન્ડિંગ) ભૂલો નમૂનાઓમાં ઉમેરવામાં આવે છે, અમુક શરતો હેઠળ "ક્વોન્ટાઇઝેશન અવાજ" તરીકે ગણવામાં આવે છે.
મર્યાદિત અવધિના વાસ્તવિક સંકેતોમાં હંમેશા અનંત વિશાળ સ્પેક્ટ્રમ હોય છે, જે વધતી આવર્તન સાથે વધુ કે ઓછા ઝડપથી ઘટે છે. તેથી, સિગ્નલ સેમ્પલિંગ હંમેશા માહિતીની ખોટ તરફ દોરી જાય છે (સેમ્પલિંગ અને પુનઃનિર્માણ દરમિયાન સિગ્નલના આકારની વિકૃતિ), પછી ભલેને નમૂનાની આવર્તન કેટલી ઊંચી હોય. પસંદ કરેલ નમૂનાના દરે, Nyquist આવર્તનથી ઉપરના એનાલોગ સિગ્નલ (પ્રી-સેમ્પલિંગ) ના સ્પેક્ટ્રલ ઘટકોને દબાવીને વિકૃતિ ઘટાડી શકાય છે, જેને એલિયાસિંગ ટાળવા માટે ખૂબ જ ઉચ્ચ-ક્રમના ફિલ્ટરની જરૂર છે. આવા ફિલ્ટરનું વ્યવહારુ અમલીકરણ ખૂબ જ જટિલ છે, કારણ કે ફિલ્ટર્સની કંપનવિસ્તાર-આવર્તન લાક્ષણિકતાઓ લંબચોરસ નથી, પરંતુ સરળ છે, અને પાસબેન્ડ અને સપ્રેસન બેન્ડ વચ્ચે ચોક્કસ સંક્રમણ આવર્તન બેન્ડ રચાય છે. તેથી, નમૂનાની આવર્તન માર્જિન સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, ઑડિઓ સીડીમાં 44,100 હર્ટ્ઝની નમૂનાની આવર્તનનો ઉપયોગ થાય છે, જ્યારે ઑડિઓ સિગ્નલોના સ્પેક્ટ્રમમાં સૌથી વધુ આવર્તન 20,000 હર્ટ્ઝ ગણવામાં આવે છે. 44100 / 2 - 20000 = 2050 Hz નો Nyquist આવર્તન માર્જિન તમને અમલમાં મૂકાયેલ લો-ઓર્ડર ફિલ્ટરનો ઉપયોગ કરતી વખતે આવર્તન અવેજીકરણને ટાળવા દે છે.
કોટેલનિકોવનું પ્રમેય
નાના વિકૃતિઓ (ભૂલો) સાથેના નમૂનામાંથી મૂળ સતત સિગ્નલને પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે, નમૂના લેવાનું પગલું તર્કસંગત રીતે પસંદ કરવું જરૂરી છે. તેથી, જ્યારે એનાલોગ સિગ્નલને અલગમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સેમ્પલિંગ સ્ટેપના કદનો પ્રશ્ન સાહજિક રીતે ઉદ્ભવે છે, નીચેના વિચારને સમજવો મુશ્કેલ નથી. જો એનાલોગ સિગ્નલમાં ચોક્કસ ઉપલા આવર્તન Fe દ્વારા મર્યાદિત ઓછી-આવર્તન સ્પેક્ટ્રમ હોય (એટલે કે, ફંક્શન u(t) કંપનવિસ્તારમાં તીવ્ર ફેરફારો વિના, સરળ રીતે બદલાતા વળાંકનું સ્વરૂપ ધરાવે છે), તો તે અસંભવિત છે કે આ કાર્ય કરી શકે છે. કેટલાક નાના નમૂના સમય અંતરાલ પર નોંધપાત્ર રીતે બદલો. તે તદ્દન સ્પષ્ટ છે કે તેના નમૂનાઓના ક્રમમાંથી એનાલોગ સિગ્નલને પુનઃનિર્માણ કરવાની ચોકસાઈ સેમ્પલિંગ અંતરાલના કદ પર આધારિત છે, તે જેટલું ઓછું હશે, તેટલું ઓછું કાર્ય u(t) નમૂનામાંથી પસાર થતા સરળ વળાંકથી અલગ હશે. પોઈન્ટ જો કે, જેમ જેમ સેમ્પલિંગ અંતરાલ ઘટે છે તેમ, પ્રોસેસિંગ સાધનોની જટિલતા અને વોલ્યુમ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે. જો સેમ્પલિંગ અંતરાલ પૂરતો મોટો હોય, તો એનાલોગ સિગ્નલનું પુનર્નિર્માણ કરતી વખતે વિકૃતિ અથવા માહિતી ગુમાવવાની સંભાવના વધે છે. નમૂનાના અંતરાલનું શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય કોટેલનિકોવના પ્રમેય દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવે છે (અન્ય નામો સેમ્પલિંગ પ્રમેય, કે. શેનોનનું પ્રમેય, X. નાયક્વિસ્ટનું પ્રમેય છે: પ્રમેય પ્રથમ વખત ઓ. કોચીના ગણિતમાં શોધાયો હતો, અને પછી ડી દ્વારા ફરીથી વર્ણવવામાં આવ્યો હતો. કાર્સન અને આર. હાર્ટલી), તેમના દ્વારા 1933 માં સાબિત થયેલ વી. એ. કોટેલનિકોવના પ્રમેયમાં મહત્વપૂર્ણ સૈદ્ધાંતિક અને વ્યવહારિક મહત્વ છે: તે એનાલોગ સિગ્નલને યોગ્ય રીતે નમૂના લેવાનું શક્ય બનાવે છે અને નમૂનાના મૂલ્યોમાંથી પ્રાપ્ત થતા અંતે તેને પુનઃસ્થાપિત કરવાની શ્રેષ્ઠ રીત નક્કી કરે છે.
કોટેલનિકોવના પ્રમેયના સૌથી પ્રસિદ્ધ અને સરળ અર્થઘટનમાંના એક અનુસાર, એક મનસ્વી સંકેત u(t), જેનું સ્પેક્ટ્રમ ચોક્કસ આવર્તન Fe દ્વારા મર્યાદિત હોય છે, તેને તેના સંદર્ભ મૂલ્યોના ક્રમથી સંપૂર્ણપણે પુનઃનિર્માણ કરી શકાય છે. અંતરાલ
રેડિયો એન્જિનિયરિંગમાં સેમ્પલિંગ ઈન્ટરવલ અને ફ્રીક્વન્સી Fe(1)ને અનુક્રમે ઈન્ટરવલ અને Nyquist ફ્રીક્વન્સી કહેવામાં આવે છે. વિશ્લેષણાત્મક રીતે, કોટેલનિકોવનું પ્રમેય આગળ પ્રસ્તુત છે 
જ્યાં k નમૂના નંબર છે; - સંદર્ભ બિંદુઓ પર સિગ્નલ મૂલ્ય - સિગ્નલ સ્પેક્ટ્રમની ઉપરની આવર્તન.
અલગ સિગ્નલોની આવર્તન રજૂઆત .
મોટાભાગના સિગ્નલોને ફોરિયર શ્રેણી તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
સિગ્નલના સ્પેક્ટ્રમ પર ઉર્જાના વિતરણને દર્શાવતો જથ્થો અને જેને એનર્જી સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી કહેવાય છે તે માત્ર સિગ્નલો માટે જ અસ્તિત્વમાં છે જેમાં અનંત સમય અંતરાલ પરની ઊર્જા મર્યાદિત હોય છે અને તેથી, ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ તેમને લાગુ પડે છે.
સમયસર ક્ષીણ થતા નથી તેવા સંકેતો માટે, ઉર્જા અનંત મોટી છે અને અભિન્ન (1.54) અલગ પડે છે. કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ સ્પષ્ટ કરવું શક્ય નથી. જો કે, સરેરાશ શક્તિ Рср, સંબંધ દ્વારા નિર્ધારિત
મર્યાદિત હોવાનું બહાર આવ્યું છે. તેથી, "પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી" નો વ્યાપક ખ્યાલ વપરાય છે. ચાલો તેને આવર્તનના સંદર્ભમાં સરેરાશ સિગ્નલ પાવરના વ્યુત્પન્ન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરીએ અને તેને Сk(п) તરીકે દર્શાવીએ:
ઇન્ડેક્સ k ભાર મૂકે છે કે અહીં આપણે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટીને સિગ્નલના અમલીકરણનું વર્ણન કરતા નિર્ધારિત કાર્ય u(t) ની લાક્ષણિકતા તરીકે ગણીએ છીએ.
આ સિગ્નલ લાક્ષણિકતા કંપનવિસ્તાર વર્ણપટની ઘનતા કરતાં ઓછી અર્થપૂર્ણ છે, કારણ કે તે તબક્કાની માહિતીથી વંચિત છે [જુઓ. (1.38)]. તેથી, તેમાંથી મૂળ સિગ્નલ અમલીકરણને અસ્પષ્ટપણે પુનઃનિર્માણ કરવું અશક્ય છે. જો કે, તબક્કાની માહિતીની ગેરહાજરી અમને આ ખ્યાલને સંકેતો પર લાગુ કરવાની મંજૂરી આપે છે જેના માટે તબક્કો વ્યાખ્યાયિત નથી.
વર્ણપટની ઘનતા Сk(ш) અને કંપનવિસ્તાર સ્પેક્ટ્રમ વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવા માટે, અમે મર્યાદિત સમય અંતરાલ (-T) પર હાજર u(t) સિગ્નલનો ઉપયોગ કરીશું.<. t સમય-મર્યાદિત સિગ્નલની પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ક્યાં છે. તે પછીથી બતાવવામાં આવશે (જુઓ § 1.11) કે ઘણી અનુભૂતિઓ પર આ લાક્ષણિકતાને સરેરાશ કરીને, રેન્ડમ પ્રક્રિયાઓના મોટા વર્ગ માટે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા પ્રાપ્ત કરવી શક્ય છે. ફ્રીક્વન્સી ડોમેનમાં હવે બે લાક્ષણિકતાઓ છે: સ્પેક્ટ્રલ રિસ્પોન્સ અને પાવર સ્પેક્ટરલ ડેન્સિટી. સ્પેક્ટ્રલ લાક્ષણિકતા, જે સિગ્નલ u(t) વિશે સંપૂર્ણ માહિતી ધરાવે છે, તે સમય કાર્યના સ્વરૂપમાં ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મને અનુરૂપ છે. ચાલો જાણીએ કે પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા, તબક્કાની માહિતીથી વંચિત, સમયના ડોમેનમાં શું અનુલક્ષે છે. એવું માની લેવું જોઈએ કે સમાન પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ઘણા સમયના કાર્યોને અનુરૂપ છે જે તબક્કામાં અલગ પડે છે. સોવિયેત વૈજ્ઞાનિક L.Ya. ખિંચિન અને અમેરિકન વૈજ્ઞાનિક એન. વિનરને લગભગ એકસાથે સ્પેક્ટ્રલ પાવર ડેન્સિટીનું ઇન્વર્સ ફ્યુરિયર રૂપાંતરણ મળ્યું: ચાલો સામાન્યકૃત સમય ફંક્શન r() કહીએ, જેમાં તબક્કાની માહિતી નથી, સમય ઓટોકોરિલેશન ફંક્શન. તે સમય અંતરાલ દ્વારા અલગ કરાયેલ ફંક્શન u(t) ના મૂલ્યો વચ્ચેના સહસંબંધની ડિગ્રી દર્શાવે છે અને સહસંબંધ ગુણાંકની વિભાવના વિકસાવીને આંકડાકીય સિદ્ધાંતમાંથી મેળવી શકાય છે. નોંધ કરો કે સમયના સહસંબંધ કાર્યમાં, એવરેજિંગ પૂરતા લાંબા સમયગાળાની એક અનુભૂતિની અંદર સમય સાથે કરવામાં આવે છે. ફંક્શન સામયિક નથી, તેથી તેને ફોરિયર શ્રેણીમાં વિસ્તૃત કરી શકાતું નથી. બીજી બાજુ, ફંક્શન, તેની અમર્યાદિત અવધિને કારણે, એકીકૃત કરી શકાતું નથી અને તેથી તેને ફ્યુરિયર ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા રજૂ કરી શકાતું નથી. આ મુશ્કેલીઓ ટાળવા માટે, એક સહાયક કાર્ય રજૂ કરવામાં આવ્યું છે, જે અંતરાલ પરના કાર્ય સાથે એકરુપ છે અને આ અંતરાલની બહાર શૂન્યની બરાબર છે: ફંક્શન અવિભાજ્ય છે અને તેના માટે ડાયરેક્ટ ફોરિયર ટ્રાન્સફોર્મ છે (ફુરિયર ઇન્ટિગ્રલ): પાવર સ્પેક્ટ્રલ ઘનતારેન્ડમ સિગ્નલ (અથવા માત્ર વર્ણપટની ઘનતા
) ને ફોર્મનું કાર્ય કહેવામાં આવે છે: સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી એ સિગ્નલ હાર્મોનિક્સના સ્ક્વેર એમ્પ્લીટ્યુડ્સના સરેરાશ મૂલ્યોના વિતરણને દર્શાવતું કાર્ય છે. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે: 1. સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયા જેટલી ઝડપથી બદલાય છે, તેટલો ગ્રાફ પહોળો થાય છે .
2. સ્પેક્ટ્રલ ડેન્સિટી ગ્રાફ પર વ્યક્તિગત શિખરો રેન્ડમ સિગ્નલમાં સામયિક ઘટકોની હાજરી સૂચવે છે. 3. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા એ એક સમાન કાર્ય છે: સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા નીચે પ્રમાણે સિગ્નલ વિખેરવા સાથે સંબંધિત છે: પ્રાયોગિક રીતે, નીચેની યોજના અનુસાર વર્ણપટની ઘનતા નક્કી કરવામાં આવે છે (ગણતરી કરવામાં આવે છે): ચોખા. 5.6. સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા નીચેના અભિવ્યક્તિ દ્વારા સહસંબંધ કાર્ય સાથે સંબંધિત છે (ખિનચિન-વિનર પ્રમેય અનુસાર): જો આપણે પરિબળોને વિસ્તૃત કરીએ અને યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ અને ધ્યાનમાં લઈએ કે , અને સમાન કાર્યો છે, અને એક વિચિત્ર કાર્ય છે, તો અભિવ્યક્તિઓ (5.20), (5.21) નીચેના સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થઈ શકે છે: અભિવ્યક્તિઓ (5.23), (5.24) વ્યવહારિક ગણતરીઓમાં વપરાય છે. તે જોવાનું સરળ છે કે જ્યારે અભિવ્યક્તિ (5.24) સ્થિર રેન્ડમ પ્રક્રિયાના વિક્ષેપને નિર્ધારિત કરે છે: કોરિલેશન ફંક્શન અને વર્ણપટની ઘનતાને જોડતા સંબંધોમાં ફ્યુરિયર ટ્રાન્સફોર્મમાં અંતર્ગત તમામ ગુણધર્મો હોય છે અને તે નીચેની તુલનાત્મક લાક્ષણિકતાઓ નક્કી કરે છે: આલેખ જેટલો પહોળો, ગ્રાફ જેટલો સાંકડો, અને ઊલટું, ફંક્શન જેટલું ઝડપી ઘટે છે, તેટલું ધીમા કાર્ય ઘટે છે. . આ સંબંધ ફિગ (5.7), (5.8) માં ગ્રાફિક્સ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યો છે. ચોખા. 5.7. ચોખા. 5.8. બંને આકૃતિઓમાં લીટી 1 ધીમે ધીમે બદલાતા રેન્ડમ સિગ્નલને અનુરૂપ છે, જેનું વર્ણપટ ઓછી-આવર્તન હાર્મોનિક્સ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. લાઇન્સ 2 ઝડપથી બદલાતા સિગ્નલને અનુરૂપ છે, જેનો સ્પેક્ટ્રમ ઉચ્ચ-આવર્તન હાર્મોનિક્સ દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. જો રેન્ડમ સિગ્નલ સમય જતાં ખૂબ જ તીવ્રપણે બદલાય છે અને તેના અગાઉના અને અનુગામી મૂલ્યો વચ્ચે વ્યવહારીક રીતે કોઈ સંબંધ નથી, તો સહસંબંધ કાર્ય ડેલ્ટા ફંક્શન (લાઇન 3) નું સ્વરૂપ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં સ્પેક્ટ્રલ ઘનતા ગ્રાફ શ્રેણીમાં આડી રેખા દર્શાવે છે. આ સૂચવે છે કે હાર્મોનિક કંપનવિસ્તાર સમગ્ર આવર્તન શ્રેણીમાં સમાન છે. આ સિગ્નલ કહેવાય છે સફેદ અવાજ
(સફેદ પ્રકાશ સાથે સામ્યતા દ્વારા, જેમાં, જેમ જાણીતું છે, તમામ ઘટકોની તીવ્રતા સમાન છે). "સફેદ અવાજ" ની વિભાવના એ ગાણિતિક અમૂર્ત છે. ભૌતિક રીતે, સફેદ ઘોંઘાટના રૂપમાં સંકેતો શક્ય નથી, કારણ કે અનંત વિશાળ સ્પેક્ટ્રમ અનંત વિશાળ વિક્ષેપને અનુલક્ષે છે, અને તેથી અનંત મોટી શક્તિ છે. જો કે, ઘણીવાર મર્યાદિત સ્પેક્ટ્રમ ધરાવતી વાસ્તવિક સિસ્ટમોને લગભગ સફેદ અવાજ તરીકે ગણી શકાય. આ સરળીકરણ એવા કિસ્સાઓમાં માન્ય છે કે જ્યાં સિગ્નલનું સ્પેક્ટ્રમ સિસ્ટમની બેન્ડવિડ્થ કરતાં ઘણું વિશાળ છે જેના પર સિગ્નલ કાર્ય કરે છે.નિર્ધારિત સંકેતનું સ્વતઃસંબંધ કાર્ય
(5.15)
(5.16)
(5.17)
(5.18)
(5.19)
(5.20)
(5.21)
(5.22)
(5.23)
(5.24)
