વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક સંખ્યાઓ. જટિલ સંખ્યા શું છે? ઉદાહરણો

ચતુર્ભુજ સમીકરણના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે, એક પ્રતિબંધ સેટ કરવામાં આવ્યો હતો - શૂન્ય કરતા ઓછા ભેદભાવ માટે, ત્યાં કોઈ ઉકેલ નથી. તે તરત જ કહેવામાં આવ્યું હતું કે અમે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના સમૂહ વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ. ગણિતશાસ્ત્રીના જિજ્ઞાસુ મનને એમાં રસ હશે કે વાસ્તવિક મૂલ્યો વિશેની કલમમાં કયું રહસ્ય સમાયેલું છે?

સમય જતાં, ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જટિલ સંખ્યાઓનો ખ્યાલ રજૂ કર્યો, જ્યાં બાદબાકીના બીજા મૂળના શરતી મૂલ્યને એક તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઐતિહાસિક પૃષ્ઠભૂમિ

ગાણિતિક સિદ્ધાંત ક્રમશઃ વિકાસ પામે છે, સરળથી જટિલ સુધી. ચાલો આકૃતિ કરીએ કે "જટિલ નંબર" નામનો ખ્યાલ કેવી રીતે ઉભો થયો અને તેની શા માટે જરૂર છે.

અનાદિ કાળથી, ગણિતનો આધાર સામાન્ય ગણતરી રહ્યો છે. સંશોધકો માત્ર કુદરતી મૂલ્યો જ જાણતા હતા. સરવાળા અને બાદબાકી સરળ હતા. જેમ જેમ આર્થિક સંબંધો વધુ જટિલ બન્યા તેમ, સમાન મૂલ્યો ઉમેરવાને બદલે ગુણાકારનો ઉપયોગ થવા લાગ્યો. ગુણાકારની વ્યસ્ત ક્રિયા દેખાય છે - ભાગાકાર.

પ્રાકૃતિક સંખ્યાની વિભાવનાએ અંકગણિત કામગીરીનો ઉપયોગ મર્યાદિત કર્યો. પૂર્ણાંક મૂલ્યોના સમૂહ પર વિભાજનની તમામ સમસ્યાઓ હલ કરવી અશક્ય છે. પ્રથમ તર્કસંગત મૂલ્યોની વિભાવના તરફ દોરી જાય છે, અને પછી અતાર્કિક મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે. જો તર્કસંગત માટે લીટી પરના બિંદુનું ચોક્કસ સ્થાન સૂચવવાનું શક્ય છે, તો અતાર્કિક માટે આવા બિંદુને સૂચવવું અશક્ય છે. તમે ફક્ત સ્થાન અંતરાલને અંદાજે સૂચવી શકો છો. તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓના સંયોજનથી વાસ્તવિક સમૂહની રચના થાય છે, જે આપેલ સ્કેલ સાથે ચોક્કસ રેખા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. રેખા સાથેનું દરેક પગલું એ કુદરતી સંખ્યા છે, અને તેમની વચ્ચે તર્કસંગત અને અતાર્કિક મૂલ્યો છે.

સૈદ્ધાંતિક ગણિતનો યુગ શરૂ થયો. ખગોળશાસ્ત્ર, મિકેનિક્સ અને ભૌતિકશાસ્ત્રના વિકાસ માટે વધુને વધુ જટિલ સમીકરણોના ઉકેલની જરૂર હતી. સામાન્ય સ્વરૂપમાં, ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ મળી આવ્યા હતા. વધુ જટિલ ક્યુબિક બહુપદીને ઉકેલતી વખતે, વૈજ્ઞાનિકોને વિરોધાભાસનો સામનો કરવો પડ્યો. નકારાત્મક ઘનમૂળનો ખ્યાલ અર્થપૂર્ણ છે, પરંતુ વર્ગમૂળ માટે તે અનિશ્ચિતતામાં પરિણમે છે. તદુપરાંત, ચતુર્ભુજ સમીકરણ એ ઘન સમીકરણનો માત્ર એક વિશેષ કેસ છે.

1545માં, ઇટાલિયન જી. કાર્ડનોએ કાલ્પનિક સંખ્યાની વિભાવના રજૂ કરવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો.

આ સંખ્યા માઈનસ વનનું બીજું મૂળ બની ગયું. જટિલ સંખ્યા શબ્દ આખરે ત્રણસો વર્ષ પછી પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી ગૌસના કાર્યોમાં રચાયો હતો. તેમણે ઔપચારિક રીતે બીજગણિતના તમામ નિયમોને કાલ્પનિક સંખ્યા સુધી વિસ્તારવાનો પ્રસ્તાવ મૂક્યો. વાસ્તવિક રેખા વિમાન સુધી વિસ્તરી છે. દુનિયા મોટી થઈ ગઈ છે.

મૂળભૂત ખ્યાલો

ચાલો આપણે સંખ્યાબંધ કાર્યોને યાદ કરીએ જે વાસ્તવિક સેટ પર પ્રતિબંધો ધરાવે છે:

• y = arcsin(x), નકારાત્મક અને હકારાત્મક એકતા વચ્ચેના મૂલ્યોની શ્રેણીમાં વ્યાખ્યાયિત.
• y = ln(x), હકારાત્મક દલીલો માટે અર્થપૂર્ણ છે.
• વર્ગમૂળ y = √x, માત્ર x ≥ 0 માટે ગણવામાં આવે છે.

i = √(-1) સૂચવીને, અમે કાલ્પનિક સંખ્યા તરીકે આવા ખ્યાલને રજૂ કરીએ છીએ, આ અમને ઉપરોક્ત કાર્યોની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી તમામ પ્રતિબંધોને દૂર કરવાની મંજૂરી આપશે. y = arcsin(2), y = ln(-4), y = √(-5) જેવા અભિવ્યક્તિઓ જટિલ સંખ્યાઓની ચોક્કસ જગ્યામાં અર્થ લે છે.

બીજગણિત સ્વરૂપને વાસ્તવિક મૂલ્યો x અને y, અને i 2 = -1 ના સમૂહ પર z = x + i×y તરીકે લખી શકાય છે.

નવો ખ્યાલ કોઈપણ બીજગણિત કાર્યના ઉપયોગ પરના તમામ પ્રતિબંધોને દૂર કરે છે અને તેનો દેખાવ વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક મૂલ્યોના કોઓર્ડિનેટ્સમાં સીધી રેખાના ગ્રાફ જેવો છે.

જટિલ વિમાન

જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક સ્વરૂપ તેમની ઘણી મિલકતોની કલ્પના કરવાનું શક્ય બનાવે છે. Re(z) અક્ષની સાથે અમે x ના વાસ્તવિક મૂલ્યોને ચિહ્નિત કરીએ છીએ, Im(z) - y ના કાલ્પનિક મૂલ્યો સાથે, પછી પ્લેન પરનો બિંદુ z જરૂરી જટિલ મૂલ્ય પ્રદર્શિત કરશે.

વ્યાખ્યાઓ:

• Re(z) - વાસ્તવિક અક્ષ.
• Im(z) - એટલે કાલ્પનિક ધરી.
• z એ જટિલ સંખ્યાનો શરતી બિંદુ છે.
• શૂન્ય બિંદુથી z સુધીના વેક્ટરની લંબાઈના આંકડાકીય મૂલ્યને મોડ્યુલ કહેવામાં આવે છે.
• વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક અક્ષો પ્લેનને ક્વાર્ટર્સમાં વિભાજિત કરે છે. હકારાત્મક સંકલન મૂલ્ય સાથે - I ક્વાર્ટર. જ્યારે વાસ્તવિક અક્ષની દલીલ 0 કરતા ઓછી હોય, અને કાલ્પનિક અક્ષ 0 કરતા વધારે હોય - બીજા ક્વાર્ટર. જ્યારે કોઓર્ડિનેટ્સ નકારાત્મક હોય છે - III ક્વાર્ટર. છેલ્લા, IV ક્વાર્ટરમાં ઘણા હકારાત્મક વાસ્તવિક મૂલ્યો અને નકારાત્મક કાલ્પનિક મૂલ્યો છે.

આમ, કોઓર્ડિનેટ્સ x અને y સાથેના પ્લેન પર, તમે હંમેશા જટિલ સંખ્યાના બિંદુને દૃષ્ટિની રીતે દર્શાવી શકો છો. વાસ્તવિક ભાગને કાલ્પનિક ભાગથી અલગ કરવા માટે i ચિહ્ન રજૂ કરવામાં આવ્યું છે.

ગુણધર્મો

1. કાલ્પનિક દલીલના શૂન્ય મૂલ્ય સાથે, આપણે ફક્ત એક સંખ્યા (z = x) મેળવીએ છીએ, જે વાસ્તવિક ધરી પર સ્થિત છે અને વાસ્તવિક સમૂહની છે.
2. એક વિશિષ્ટ કેસ જ્યારે વાસ્તવિક દલીલનું મૂલ્ય શૂન્ય બને છે, ત્યારે અભિવ્યક્તિ z = i×y કાલ્પનિક ધરી પરના બિંદુના સ્થાનને અનુલક્ષે છે.
3. સામાન્ય સ્વરૂપ z = x + i×y દલીલોના બિન-શૂન્ય મૂલ્યો માટે હશે. એક ક્વાર્ટરમાં જટિલ સંખ્યા દર્શાવતા બિંદુનું સ્થાન સૂચવે છે.

ત્રિકોણમિતિ સંકેત

ચાલો ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલી અને sin અને cos ની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ. દેખીતી રીતે, આ કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને તમે પ્લેન પરના કોઈપણ બિંદુના સ્થાનનું વર્ણન કરી શકો છો. આ કરવા માટે, ધ્રુવીય કિરણની લંબાઈ અને વાસ્તવિક ધરી તરફ ઝોકનો કોણ જાણવા માટે તે પૂરતું છે.

વ્યાખ્યા. ત્રિકોણમિતિ વિધેયો cos(ϴ) અને કાલ્પનિક ભાગ i ×sin(ϴ) ના સરવાળા દ્વારા ગુણાકાર ∣z ∣ ફોર્મના સંકેતને ત્રિકોણમિતિ જટિલ સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. અહીં આપણે વાસ્તવિક ધરી તરફ ઝોકના સંકેત કોણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ

ϴ = arg(z), અને r = ∣z∣, બીમની લંબાઈ.

ત્રિકોણમિતિ વિધેયોની વ્યાખ્યા અને ગુણધર્મોમાંથી, એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ Moivre સૂત્ર નીચે મુજબ છે:

z n = r n × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, ત્રિકોણમિતિ વિધેયો ધરાવતી સમીકરણોની ઘણી સિસ્ટમોને ઉકેલવા માટે તે અનુકૂળ છે. ખાસ કરીને જ્યારે ઘાતની સમસ્યા ઊભી થાય.

મોડ્યુલ અને તબક્કો

જટિલ સમૂહનું વર્ણન પૂર્ણ કરવા માટે, અમે બે મહત્વપૂર્ણ વ્યાખ્યાઓ સૂચવીએ છીએ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયને જાણીને, ધ્રુવીય સંકલન પ્રણાલીમાં કિરણની લંબાઈની ગણતરી કરવી સરળ છે.

r = ∣z∣ = √(x 2 + y 2), જટિલ અવકાશમાં આવા સંકેતને "મોડ્યુલસ" કહેવામાં આવે છે અને તે પ્લેન પર 0 થી એક બિંદુ સુધીનું અંતર દર્શાવે છે.

જટિલ કિરણના વાસ્તવિક રેખા ϴ તરફના ઝોકના કોણને સામાન્ય રીતે તબક્કો કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોનું વર્ણન ચક્રીય કાર્યોનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. જેમ કે:

• x = r × cos(ϴ);
• y = r × sin(ϴ);

તેનાથી વિપરીત, તબક્કાનો સૂત્ર દ્વારા બીજગણિત મૂલ્યો સાથે જોડાણ છે:

ϴ = arctan(x / y) + µ, ભૌમિતિક કાર્યોની સામયિકતાને ધ્યાનમાં લેવા માટે સુધારણા µ રજૂ કરવામાં આવે છે.

યુલરનું સૂત્ર

ગણિતશાસ્ત્રીઓ ઘણીવાર ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરે છે. જટિલ સમતલની સંખ્યાઓ અભિવ્યક્તિ તરીકે લખવામાં આવે છે

z = r × e i × ϴ, જે યુલરના સૂત્રમાંથી અનુસરે છે.

ભૌતિક જથ્થાની વ્યવહારિક ગણતરી માટે આ સંકેત વ્યાપક બની ગયું છે. ઘાતાંકીય જટિલ સંખ્યાઓના સ્વરૂપમાં રજૂઆતનું સ્વરૂપ એન્જિનિયરિંગ ગણતરીઓ માટે ખાસ કરીને અનુકૂળ છે, જ્યાં સાઇનસૉઇડલ પ્રવાહો સાથે સર્કિટની ગણતરી કરવાની જરૂર હોય છે અને આપેલ સમયગાળા સાથેના કાર્યોના અવિભાજ્યનું મૂલ્ય જાણવું જરૂરી છે. વિવિધ મશીનો અને મિકેનિઝમ્સની ડિઝાઇનમાં ગણતરીઓ પોતે એક સાધન તરીકે સેવા આપે છે.

વ્યાખ્યાયિત કામગીરી

પહેલેથી જ નોંધ્યું છે તેમ, મૂળભૂત ગાણિતિક કાર્યો સાથે કામ કરવાના તમામ બીજગણિત નિયમો જટિલ સંખ્યાઓને લાગુ પડે છે.

સરવાળો કામગીરી

જટિલ મૂલ્યો ઉમેરતી વખતે, તેમના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો પણ ઉમેરાય છે.

z = z 1 + z 2, જ્યાં z 1 અને z 2 એ સામાન્ય સ્વરૂપની જટિલ સંખ્યાઓ છે. અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતરણ, કૌંસ ખોલ્યા પછી અને સંકેતને સરળ બનાવ્યા પછી, આપણને વાસ્તવિક દલીલ x = (x 1 + x 2), કાલ્પનિક દલીલ y = (y 1 + y 2) મળે છે.

ગ્રાફ પર તે જાણીતા સમાંતરગ્રામ નિયમ મુજબ બે વેક્ટરના ઉમેરા જેવું લાગે છે.

બાદબાકી કામગીરી

તેને વધારાના વિશિષ્ટ કેસ તરીકે ગણવામાં આવે છે, જ્યારે એક સંખ્યા સકારાત્મક હોય છે, ત્યારે બીજી નકારાત્મક હોય છે, એટલે કે, મિરર ક્વાર્ટરમાં સ્થિત હોય છે. બીજગણિત સંકેત વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો વચ્ચેના તફાવત જેવું લાગે છે.

z = z 1 - z 2 , અથવા, દલીલોના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા, વધારાની ક્રિયાની જેમ, અમે વાસ્તવિક મૂલ્યો x = (x 1 - x 2) અને કાલ્પનિક મૂલ્યો y = માટે મેળવીએ છીએ. (y 1 - y 2).

જટિલ વિમાનમાં ગુણાકાર

બહુપદી સાથે કામ કરવાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, અમે જટિલ સંખ્યાઓને ઉકેલવા માટેનું સૂત્ર મેળવીશું.

સામાન્ય બીજગણિત નિયમો z=z 1 ×z 2 ને અનુસરીને, અમે દરેક દલીલનું વર્ણન કરીએ છીએ અને સમાન દલીલો રજૂ કરીએ છીએ. વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગો નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:

• x = x 1 × x 2 - y 1 × y 2,
• y = x 1 × y 2 + x 2 × y 1.

જો આપણે ઘાતાંકીય જટિલ સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ તો તે વધુ સુંદર લાગે છે.

અભિવ્યક્તિ આના જેવી દેખાય છે: z = z 1 × z 2 = r 1 × e i ϴ 1 × r 2 × e i ϴ 2 = r 1 × r 2 × e i(ϴ 1+ ϴ 2) .

વિભાગ

જ્યારે વિભાજન ક્રિયાને ગુણાકારની ક્રિયાના વ્યસ્ત તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, ત્યારે ઘાતાંકીય સંકેતમાં આપણે એક સરળ અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ. z 1 ની કિંમતને z 2 વડે વિભાજીત કરવી એ તેમના મોડ્યુલો અને તબક્કાના તફાવતને વિભાજીત કરવાનું પરિણામ છે. ઔપચારિક રીતે, જટિલ સંખ્યાઓના ઘાતાંકીય સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતી વખતે, તે આના જેવો દેખાય છે:

z = z 1 / z 2 = r 1 × e i ϴ 1 / r 2 × e i ϴ 2 = r 1 / r 2 × e i(ϴ 1- ϴ 2) .

બીજગણિત સંકેતના સ્વરૂપમાં, જટિલ સમતલમાં સંખ્યાઓને વિભાજિત કરવાની કામગીરી થોડી વધુ જટિલ લખવામાં આવે છે:

દલીલોનું વર્ણન કરીને અને બહુપદીના રૂપાંતરણને હાથ ધરવાથી, x = x 1 × x 2 + y 1 × y 2 , અનુક્રમે y = x 2 × y 1 - x 1 × y 2, જોકે, મૂલ્યો મેળવવાનું સરળ છે. , વર્ણવેલ જગ્યાના માળખામાં આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ બને છે, જો z 2 ≠ 0.

મૂળ કાઢવા

ઉપરોક્ત તમામનો ઉપયોગ વધુ જટિલ બીજગણિત વિધેયોને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે થઈ શકે છે - કોઈપણ શક્તિમાં વધારો અને તેના વિપરિત - મૂળને કાઢવા.

પાવર n ને વધારવાના સામાન્ય ખ્યાલનો ઉપયોગ કરીને, આપણે વ્યાખ્યા મેળવીએ છીએ:

z n = (r × e i ϴ) n .

સામાન્ય ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે તેને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ:

z n = r n × e i ϴ n .

જટિલ સંખ્યાને ઘાતમાં વધારવા માટે અમે એક સરળ સૂત્ર મેળવ્યું છે.

ડિગ્રીની વ્યાખ્યામાંથી આપણે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ પરિણામ મેળવીએ છીએ. કાલ્પનિક એકમની સમ શક્તિ હંમેશા 1 ની બરાબર હોય છે. કાલ્પનિક એકમની કોઈપણ વિષમ શક્તિ હંમેશા -1 ની બરાબર હોય છે.

હવે ચાલો વ્યસ્ત ફંક્શનનો અભ્યાસ કરીએ - રુટ કાઢવા.

નોટેશનની સરળતા માટે, આપણે n = 2 લઈએ છીએ. જટિલ પ્લેન C પર જટિલ મૂલ્ય z નું વર્ગમૂળ w સામાન્ય રીતે z = ±, શૂન્ય કરતાં મોટી અથવા સમાન કોઈપણ વાસ્તવિક દલીલ માટે માન્ય ગણવામાં આવે છે. w ≤ 0 માટે કોઈ ઉકેલ નથી.

ચાલો સૌથી સરળ ચતુર્ભુજ સમીકરણ z 2 = 1 જોઈએ. જટિલ સંખ્યાઓ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે r 2 × e i 2ϴ = r 2 × e i 2ϴ = e i 0 ફરીથી લખીએ છીએ. રેકોર્ડ પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે r 2 = 1 અને ϴ = 0, તેથી, અમારી પાસે 1 ની બરાબર અનન્ય ઉકેલ છે. પરંતુ આ ખ્યાલનો વિરોધાભાસ કરે છે કે z = -1, વર્ગમૂળની વ્યાખ્યાને પણ અનુરૂપ છે.

ચાલો જાણીએ કે આપણે શું ધ્યાનમાં લેતા નથી. જો આપણે ત્રિકોણમિતિ સંકેત યાદ રાખીએ, તો અમે નિવેદનને પુનઃસ્થાપિત કરીશું - તબક્કામાં સામયિક ફેરફાર સાથે ϴ, જટિલ સંખ્યા બદલાતી નથી. ચાલો પીરિયડનું મૂલ્ય p પ્રતીક દ્વારા દર્શાવીએ, પછી નીચે આપેલ માન્ય છે: r 2 × e i 2ϴ = e i (0+ p), જેમાંથી 2ϴ = 0 + p, અથવા ϴ = p / 2. તેથી, e i 0 = 1 અને e i p /2 = -1 . અમે બીજો ઉકેલ મેળવ્યો, જે વર્ગમૂળની સામાન્ય સમજને અનુરૂપ છે.

તેથી, જટિલ સંખ્યાનું મનસ્વી મૂળ શોધવા માટે, અમે પ્રક્રિયાને અનુસરીશું.

• ચાલો ઘાતાંકીય સ્વરૂપ લખીએ w= ∣w∣ × e i (arg (w) + pk), k એ એક મનસ્વી પૂર્ણાંક છે.
• અમે યુલર ફોર્મ z = r × e i ϴ નો ઉપયોગ કરીને જરૂરી સંખ્યાને પણ રજૂ કરી શકીએ છીએ.
• ચાલો મૂળ નિષ્કર્ષણ કાર્ય r n *e i n ϴ = ∣w∣ × e i (arg (w) + pk) ની સામાન્ય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ.
• મોડ્યુલો અને દલીલોની સમાનતાના સામાન્ય ગુણધર્મોમાંથી, આપણે r n = ∣w∣ અને nϴ = arg (w) + p×k લખીએ છીએ.
• જટિલ સંખ્યાના મૂળ માટે અંતિમ સંકેત સૂત્ર z = √∣w∣ × e i (arg (w) + pk) / n દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે.
• ટિપ્પણી. મૂલ્ય ∣w∣, વ્યાખ્યા દ્વારા, એક હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યા છે, જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ શક્તિનું મૂળ અર્થપૂર્ણ છે.

ક્ષેત્ર અને સાથી

નિષ્કર્ષમાં, અમે બે મહત્વપૂર્ણ વ્યાખ્યાઓ આપીએ છીએ જે જટિલ સંખ્યાઓ સાથે લાગુ પડતી સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે બહુ મહત્વની નથી, પરંતુ ગાણિતિક સિદ્ધાંતના વધુ વિકાસ માટે જરૂરી છે.

ઉમેરા અને ગુણાકાર માટેના અભિવ્યક્તિઓ એક ક્ષેત્ર રચવા માટે કહેવાય છે જો તેઓ જટિલ સમતલ z ના કોઈપણ ઘટકો માટે સ્વયંસિદ્ધિઓને સંતોષે છે:

1. જટિલ શબ્દોના સ્થાનો બદલવાથી જટિલ રકમ બદલાતી નથી.
2. વિધાન સાચું છે - જટિલ અભિવ્યક્તિમાં, બે સંખ્યાઓનો કોઈપણ સરવાળો તેમના મૂલ્ય દ્વારા બદલી શકાય છે.
3. એક તટસ્થ મૂલ્ય 0 છે જેના માટે z + 0 = 0 + z = z સાચું છે.
4. કોઈપણ z માટે એક વિરોધી છે - z, જેનો ઉમેરો શૂન્ય આપે છે.
5. જટિલ પરિબળોના સ્થાનો બદલતી વખતે, જટિલ ઉત્પાદન બદલાતું નથી.
6. કોઈપણ બે સંખ્યાના ગુણાકારને તેમની કિંમત દ્વારા બદલી શકાય છે.
7. એક તટસ્થ મૂલ્ય 1 છે, જેનાથી ગુણાકાર કરવાથી જટિલ સંખ્યા બદલાતી નથી.
8. દરેક z ≠ 0 માટે, એક વ્યસ્ત મૂલ્ય z -1 છે, જેનાથી ગુણાકાર કરવાથી 1 થાય છે.
9. બે સંખ્યાઓના સરવાળાને ત્રીજા વડે ગુણાકાર કરવો એ તેમાંથી દરેકને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવા અને પરિણામો ઉમેરવાની ક્રિયા સમાન છે.
10. 0 ≠ 1.

સંખ્યાઓ z 1 = x + i×y અને z 2 = x - i×y ને સંયોજક કહેવામાં આવે છે.

પ્રમેય.જોડી બનાવવા માટે, નીચેનું વિધાન સાચું છે:

• સરવાળોનું જોડાણ એ સંયોજક તત્વોના સરવાળા જેટલું હોય છે.
• ઉત્પાદનનું સંયોજક જોડાણના ઉત્પાદન જેટલું છે.
• સંખ્યા પોતે સમાન.

સામાન્ય બીજગણિતમાં, આવા ગુણધર્મોને સામાન્ય રીતે ફીલ્ડ ઓટોમોર્ફિઝમ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણો

જટિલ સંખ્યાઓ માટે આપેલ નિયમો અને સૂત્રોને અનુસરીને, તમે તેમની સાથે સરળતાથી કામ કરી શકો છો.

ચાલો સૌથી સરળ ઉદાહરણો જોઈએ.

કાર્ય 1.સમાનતા 3y +5 x i= 15 - 7i નો ઉપયોગ કરીને, x અને y નક્કી કરો.

ઉકેલ. ચાલો જટિલ સમાનતાઓની વ્યાખ્યા યાદ કરીએ, પછી 3y = 15, 5x = -7. તેથી x = -7/5, y = 5.

કાર્ય 2. 2 + i 28 અને 1 + i 135 ની કિંમતોની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. દેખીતી રીતે, 28 એ એક સમાન સંખ્યા છે, જટિલ સંખ્યાની વ્યાખ્યાના કોરોલરીથી લઈને આપણી પાસે i 28 = 1 છે, જેનો અર્થ છે કે અભિવ્યક્તિ 2 + i 28 = 3 છે. બીજી કિંમત, i 135 = -1, પછી 1 + i 135 = 0.

કાર્ય 3. 2 + 5i અને 4 + 3i મૂલ્યોના ઉત્પાદનની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. જટિલ સંખ્યાઓના ગુણાકારના સામાન્ય ગુણધર્મોમાંથી આપણે (2 + 5i)X(4 + 3i) = 8 - 15 + i(6 + 20) મેળવીએ છીએ. નવી કિંમત -7 + 26i હશે.

કાર્ય 4.સમીકરણ z 3 = -i ના મૂળની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. જટિલ સંખ્યા શોધવા માટે ઘણા વિકલ્પો હોઈ શકે છે. ચાલો શક્ય પૈકી એકને ધ્યાનમાં લઈએ. વ્યાખ્યા મુજબ, ∣ - i∣ = 1, -i માટેનો તબક્કો -p / 4 છે. મૂળ સમીકરણને r 3 *e i 3ϴ = e - p/4+ pk તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે, જ્યાંથી z = e - p / 12 + pk /3 , કોઈપણ પૂર્ણાંક k માટે.

ઉકેલોના સમૂહમાં ફોર્મ હોય છે (e - ip/12, e ip /4, e i 2 p/3).

જટિલ સંખ્યાઓ શા માટે જરૂરી છે?

ઇતિહાસ ઘણા ઉદાહરણો જાણે છે જ્યારે વૈજ્ઞાનિકો, સિદ્ધાંત પર કામ કરતા, તેમના પરિણામોના વ્યવહારિક ઉપયોગ વિશે વિચારતા પણ નથી. ગણિત, સૌ પ્રથમ, મનની રમત છે, કારણ અને અસર સંબંધોનું કડક પાલન છે. લગભગ તમામ ગાણિતિક રચનાઓ અભિન્ન અને વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવા માટે નીચે આવે છે, અને તે બદલામાં, અમુક અંદાજ સાથે, બહુપદીના મૂળ શોધીને ઉકેલવામાં આવે છે. અહીં આપણે સૌ પ્રથમ કાલ્પનિક સંખ્યાઓના વિરોધાભાસનો સામનો કરીએ છીએ.

વૈજ્ઞાનિક પ્રાકૃતિક વૈજ્ઞાનિકો, સંપૂર્ણપણે વ્યવહારુ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ, વિવિધ સમીકરણોના ઉકેલોનો આશરો લેતા, ગાણિતિક વિરોધાભાસ શોધે છે. આ વિરોધાભાસનું અર્થઘટન સંપૂર્ણપણે આશ્ચર્યજનક શોધો તરફ દોરી જાય છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની દ્વિ પ્રકૃતિ એ આવું જ એક ઉદાહરણ છે. જટિલ સંખ્યાઓ તેમના ગુણધર્મોને સમજવામાં નિર્ણાયક ભૂમિકા ભજવે છે.

આને બદલામાં, ઓપ્ટિક્સ, રેડિયો ઇલેક્ટ્રોનિક્સ, ઊર્જા અને અન્ય ઘણા તકનીકી ક્ષેત્રોમાં વ્યવહારુ ઉપયોગ મળ્યો છે. બીજું ઉદાહરણ, ભૌતિક ઘટનાઓને સમજવા માટે વધુ મુશ્કેલ. પેનની ટોચ પર એન્ટિમેટરની આગાહી કરવામાં આવી હતી. અને માત્ર ઘણા વર્ષો પછી તેને શારીરિક રીતે સંશ્લેષણ કરવાનો પ્રયાસ શરૂ થાય છે.

કોઈએ એવું ન વિચારવું જોઈએ કે આવી પરિસ્થિતિઓ ફક્ત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જીવંત પ્રકૃતિમાં, મેક્રોમોલેક્યુલ્સના સંશ્લેષણ દરમિયાન અને કૃત્રિમ બુદ્ધિના અભ્યાસ દરમિયાન કોઈ ઓછી રસપ્રદ શોધો કરવામાં આવતી નથી. અને આ બધું આપણી ચેતનાના વિસ્તરણને આભારી છે, કુદરતી જથ્થાના સરળ ઉમેરા અને બાદબાકીથી દૂર જઈ રહ્યા છે.

§1. જટિલ સંખ્યાઓ

1°. વ્યાખ્યા. બીજગણિત સંકેત.

વ્યાખ્યા 1. જટિલ સંખ્યાઓવાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમબદ્ધ જોડી કહેવામાં આવે છે અને , જો તેમના માટે સમાનતા, સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓની વિભાવના વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી હોય, તો નીચેના સ્વયંસિદ્ધિઓને સંતોષે છે:

1) બે સંખ્યા
અને
સમાન જો અને માત્ર જો
,
, એટલે કે

2) જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો
અને

અને સમાન
, એટલે કે

3) જટિલ સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન
અને
દ્વારા સૂચિત નંબર છે
અને સમાન, એટલે કે

જટિલ સંખ્યાઓનો સમૂહ સૂચવવામાં આવે છે સી.

ફોર્મ્યુલા (2), (3) ફોર્મની સંખ્યાઓ માટે
ફોર્મ લો

જ્યાંથી તે ફોર્મની સંખ્યાઓ માટે સરવાળો અને ગુણાકારની કામગીરીને અનુસરે છે
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સરવાળો અને ગુણાકાર સાથે મેળ ખાય છે ફોર્મની જટિલ સંખ્યા
વાસ્તવિક નંબર સાથે ઓળખાય છે .

જટિલ સંખ્યા
કહેવાય છે કાલ્પનિક એકમઅને નિયુક્ત થયેલ છે , એટલે કે
પછીથી (3)

માંથી (2), (3)  જેનો અર્થ થાય છે

અભિવ્યક્તિ (4) કહેવાય છે બીજગણિતીય સંકેતજટિલ સંખ્યા.

બીજગણિત સંકેતોમાં, સરવાળો અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ ફોર્મ લે છે:

જટિલ સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે
,- વાસ્તવિક ભાગ, - કાલ્પનિક ભાગ, એક સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યા છે. હોદ્દો:
,
.

વ્યાખ્યા 2. જટિલ સંખ્યા
કહેવાય છે જોડાણજટિલ સંખ્યા સાથે
.

જટિલ જોડાણના ગુણધર્મો.

1)

2)
.

3) જો
, તે
.

4)
.

5)
- વાસ્તવિક સંખ્યા.

સાબિતી સીધી ગણતરી દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા 3. નંબર
કહેવાય છે મોડ્યુલજટિલ સંખ્યા
અને નિયુક્ત થયેલ છે
.

તે સ્પષ્ટ છે કે
, અને


. સૂત્રો પણ સ્પષ્ટ છે:
અને
.

2°. સરવાળો અને ગુણાકારની કામગીરીના ગુણધર્મો.

1) કોમ્યુટેટીવીટી:
,
.

2) સહયોગીતા:,
.

3) વિતરણ: .

સાબિતી 1) – 3) વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સમાન ગુણધર્મો પર આધારિત સીધી ગણતરીઓ દ્વારા હાથ ધરવામાં આવે છે.

4)
,
.

5) , સી ! , સમીકરણને સંતોષે છે
. આ

6) ,સી, 0, ! :
. આ દ્વારા સમીકરણનો ગુણાકાર કરીને જોવા મળે છે



.

ઉદાહરણ. ચાલો એક જટિલ સંખ્યાની કલ્પના કરીએ
બીજગણિત સ્વરૂપમાં. આ કરવા માટે, અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને છેદની સંયુક્ત સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરો. અમારી પાસે છે:

3° જટિલ સંખ્યાઓનું ભૌમિતિક અર્થઘટન. જટિલ સંખ્યા લખવાનું ત્રિકોણમિતિ અને ઘાતાંકીય સ્વરૂપ.

પ્લેન પર લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમનો ઉલ્લેખ કરવા દો. પછી
સીતમે કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે પ્લેન પરના બિંદુને મેચ કરી શકો છો
.(ફિગ 1 જુઓ). દેખીતી રીતે, આવા પત્રવ્યવહાર એક-થી-એક છે. આ કિસ્સામાં, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એબ્સીસા અક્ષ પર રહે છે, અને સંપૂર્ણ કાલ્પનિક સંખ્યાઓ ઓર્ડિનેટ અક્ષ પર રહે છે. તેથી, abscissa અક્ષ કહેવામાં આવે છે વાસ્તવિક ધરી, અને ઓર્ડિનેટ અક્ષ − કાલ્પનિક ધરી. પ્લેન કે જેના પર જટિલ સંખ્યાઓ હોય છે તેને કહેવામાં આવે છે જટિલ વિમાન.

તેની નોંધ લો અને
મૂળ વિશે સપ્રમાણ છે, અને અને બળદ વિશે સપ્રમાણ.

દરેક જટિલ સંખ્યા (એટલે ​​​​કે, પ્લેન પરના દરેક બિંદુ) બિંદુ O પર શરૂઆત સાથે અને બિંદુ પર અંત સાથે વેક્ટર સાથે સંકળાયેલ હોઈ શકે છે
. વેક્ટર અને જટિલ સંખ્યાઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર એક-થી-એક છે. તેથી, જટિલ સંખ્યાને અનુરૂપ વેક્ટર , સમાન અક્ષર દ્વારા સૂચિત

ડી વેક્ટર રેખા
જટિલ સંખ્યાને અનુરૂપ
, સમાન છે
, અને
,
.

વેક્ટર અર્થઘટનનો ઉપયોગ કરીને, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વેક્ટર
- વેક્ટર્સનો સરવાળો અને , એ
- વેક્ટર્સનો સરવાળો અને
.(ફિગ 2 જુઓ). તેથી, નીચેની અસમાનતાઓ માન્ય છે: ,

લંબાઈ સાથે વેક્ટર ચાલો કોણ પરિચય કરીએ વેક્ટર વચ્ચે અને ઓક્સ અક્ષ, ઓક્સ અક્ષની સકારાત્મક દિશામાંથી ગણવામાં આવે છે: જો ગણતરી ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય, તો કોણનું ચિહ્ન હકારાત્મક માનવામાં આવે છે, જો ઘડિયાળની દિશામાં હોય, તો તે નકારાત્મક છે. આ કોણ કહેવાય છે જટિલ સંખ્યાની દલીલઅને નિયુક્ત થયેલ છે
. કોર્નર અસ્પષ્ટપણે નિર્ધારિત નથી, પરંતુ ચોકસાઇ સાથે
…. માટે
દલીલ વ્યાખ્યાયિત નથી.

સૂત્રો (6) કહેવાતા વ્યાખ્યાયિત કરે છે ત્રિકોણમિતિ સંકેતજટિલ સંખ્યા.

(5) થી તે અનુસરે છે કે જો
અને
તે

(5) તરફથી
શું વિશે અને જટિલ સંખ્યા અનન્ય રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે. વાતચીત સાચી નથી: એટલે કે, જટિલ સંખ્યા પર તેનું મોડ્યુલ અનન્ય રીતે જોવા મળે છે, અને દલીલ , (7) ના આધારે, − ચોકસાઈ સાથે
. તે (7) થી પણ અનુસરે છે કે દલીલ સમીકરણના ઉકેલ તરીકે શોધી શકાય છે

જો કે, આ સમીકરણના તમામ ઉકેલો (7) ના ઉકેલો નથી.

જટિલ સંખ્યાની દલીલના તમામ મૂલ્યોમાંથી, એક પસંદ કરવામાં આવે છે, જેને દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય કહેવામાં આવે છે અને તેને સૂચિત કરવામાં આવે છે.
. સામાન્ય રીતે દલીલનું મુખ્ય મૂલ્ય ક્યાં તો અંતરાલમાં પસંદ કરવામાં આવે છે
, અથવા અંતરાલમાં

ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ કરવા માટે અનુકૂળ છે.

પ્રમેય 1.જટિલ સંખ્યાઓના ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ અને મોડ્યુલોના ઉત્પાદન સમાન છે, અને દલીલ એ દલીલોનો સરવાળો છે, એટલે કે.

, એ.

તેવી જ રીતે

,

પુરાવો.દો,. પછી સીધા ગુણાકાર દ્વારા આપણને મળે છે:

તેવી જ રીતે

.■

પરિણામ(મોઇવરનું સૂત્ર). માટે
મોઇવરનું સૂત્ર માન્ય છે

પી ઉદાહરણ ચાલો બિંદુનું ભૌમિતિક સ્થાન શોધીએ
. પ્રમેય 1 થી તે અનુસરે છે.

તેથી, તેને બાંધવા માટે, તમારે પહેલા એક બિંદુ બનાવવું જોઈએ , જે વ્યુત્ક્રમ છે એકમ વર્તુળની સાપેક્ષમાં, અને પછી ઓક્સ અક્ષની સાપેક્ષ તેની સાથે સપ્રમાણતાવાળા બિંદુ શોધો.

દો
, તે.
જટિલ સંખ્યા
દ્વારા સૂચિત
, એટલે કે આરયુલરનું સૂત્ર માન્ય છે

કારણ કે
, તે
,
. પ્રમેય 1 થી
કાર્ય સાથે શું છે
તમે નિયમિત ઘાતાંકીય કાર્ય સાથે કામ કરી શકો છો, એટલે કે. સમાનતાઓ માન્ય છે

,
,
.

(8) તરફથી
નિદર્શનાત્મક સંકેતજટિલ સંખ્યા

, ક્યાં
,

ઉદાહરણ. .

4°. મૂળ જટિલ સંખ્યાની -મી ઘાત.

સમીકરણ ધ્યાનમાં લો

દો
, અને સમીકરણ (9) નો ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવ્યો છે
. પછી (9) ફોર્મ લે છે
, જ્યાંથી આપણે તે શોધીએ છીએ
,
, એટલે કે

,
,
.

આમ, સમીકરણ (9) મૂળ ધરાવે છે

ચાલો બતાવીએ કે (10) વચ્ચે બરાબર છે વિવિધ મૂળ. ખરેખર,

અલગ છે, કારણ કે તેમની દલીલો અલગ છે અને તેનાથી ઓછી અલગ છે
. આગળ,
, કારણ કે
. તેવી જ રીતે
.

આમ, સમીકરણ (9) ખાતે
બરાબર છે મૂળ
, નિયમિત ના શિરોબિંદુ પર સ્થિત છે - ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં કોતરેલ ત્રિકોણ t.O ખાતે કેન્દ્ર સાથે

આમ તે સાબિત થાય છે

પ્રમેય 2.રુટ નિષ્કર્ષણ જટિલ સંખ્યાની -મી ઘાત
તે હંમેશા શક્ય છે. બધા મૂળ અર્થ ની મી ડિગ્રી યોગ્ય ના શિરોબિંદુ પર સ્થિત છે - શૂન્ય અને ત્રિજ્યા પર કેન્દ્ર સાથે વર્તુળમાં કોતરેલ ગોન
. તે જ સમયે,

પરિણામ.મૂળ -1 ની ઘાત સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

.

1 ના બે મૂળનું ઉત્પાદન એક મૂળ છે, 1 એક મૂળ છે - એકતાની શક્તિ, મૂળ
:
.

ચાલો જટિલ સંખ્યાઓ વિશે જરૂરી માહિતી યાદ કરીએ.

જટિલ સંખ્યાસ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ છે a + દ્વિ, ક્યાં a, bવાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને i- કહેવાતા કાલ્પનિક એકમ, એક પ્રતીક જેનો ચોરસ -1 બરાબર છે, એટલે કે i 2 = –1. નંબર aકહેવાય છે વાસ્તવિક ભાગ, અને નંબર b - કાલ્પનિક ભાગજટિલ સંખ્યા z = a + દ્વિ. જો b= 0, પછી તેના બદલે a + 0iતેઓ સરળ રીતે લખે છે a. તે જોઈ શકાય છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જટિલ સંખ્યાઓનો વિશેષ કેસ છે.

જટિલ સંખ્યાઓ પરની અંકગણિત ક્રિયાઓ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ જેવી જ છે: તે એકબીજા દ્વારા ઉમેરી, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર કરી શકાય છે. સરવાળા અને બાદબાકી નિયમ મુજબ થાય છે ( a + દ્વિ) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± ડી)i, અને ગુણાકાર નિયમને અનુસરે છે ( a + દ્વિ) · ( c + di) = (એસી – bd) + (જાહેરાત + પૂર્વે)i(અહીં તેનો ઉપયોગ થાય છે i 2 = –1). સંખ્યા = a – દ્વિકહેવાય છે જટિલ જોડાણથી z = a + દ્વિ. સમાનતા z · = a 2 + b 2 તમને એક જટિલ સંખ્યાને બીજી (શૂન્ય સિવાયની) જટિલ સંખ્યા દ્વારા કેવી રીતે વિભાજીત કરવી તે સમજવાની મંજૂરી આપે છે:

(ઉદાહરણ તરીકે, .)

જટિલ સંખ્યાઓ અનુકૂળ અને દ્રશ્ય ભૌમિતિક રજૂઆત ધરાવે છે: સંખ્યા z = a + દ્વિકોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટર દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે ( a; b) કાર્ટેશિયન પ્લેન પર (અથવા, જે લગભગ સમાન વસ્તુ છે, એક બિંદુ - આ કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટરનો અંત). આ કિસ્સામાં, બે જટિલ સંખ્યાઓનો સરવાળો અનુરૂપ વેક્ટરના સરવાળા તરીકે દર્શાવવામાં આવ્યો છે (જે સમાંતરગ્રામ નિયમનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે). પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે વેક્ટરની લંબાઈ ( a; b) બરાબર છે. આ જથ્થો કહેવામાં આવે છે મોડ્યુલજટિલ સંખ્યા z = a + દ્વિઅને | દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે z| આ વેક્ટર x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે બનાવે છે તે કોણ (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગણાય છે) કહેવાય છે. દલીલજટિલ સંખ્યા zઅને Arg દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે z. દલીલ વિશિષ્ટ રીતે વ્યાખ્યાયિત નથી, પરંતુ માત્ર 2 ના ગુણાંકના ઉમેરા સુધી π રેડિયન (અથવા 360°, જો ડિગ્રીમાં ગણવામાં આવે તો) - છેવટે, તે સ્પષ્ટ છે કે મૂળની આસપાસ આવા ખૂણા દ્વારા પરિભ્રમણ વેક્ટરને બદલશે નહીં. પરંતુ જો લંબાઈનો વેક્ટર આરએક ખૂણો બનાવે છે φ x-અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે, પછી તેના કોઓર્ડિનેટ્સ સમાન છે ( આર cos φ ; આરપાપ φ ). અહીંથી તે બહાર આવ્યું છે ત્રિકોણમિતિ સંકેતજટિલ સંખ્યા: z = |z| · (કારણ કે (આર્ગ z) + iપાપ (આર્ગ z)). આ ફોર્મમાં જટિલ સંખ્યાઓ લખવી ઘણીવાર અનુકૂળ હોય છે, કારણ કે તે ગણતરીઓને મોટા પ્રમાણમાં સરળ બનાવે છે. જટિલ સંખ્યાઓનો ત્રિકોણમિતિ સ્વરૂપમાં ગુણાકાર કરવો ખૂબ જ સરળ છે: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (કારણ કે (આર્ગ z 1 + Arg z 2) + iપાપ (આર્ગ z 1 + Arg z 2)) (બે જટિલ સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરતી વખતે, તેમના મોડ્યુલોનો ગુણાકાર થાય છે અને તેમની દલીલો ઉમેરવામાં આવે છે). અહીંથી અનુસરો મોઇવરના સૂત્રો: z n = |z|n· (કારણ કે( n· (આર્ગ z)) + iપાપ( n· (આર્ગ z))). આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને, જટિલ સંખ્યાઓમાંથી કોઈપણ ડિગ્રીના મૂળ કેવી રીતે કાઢવા તે શીખવું સરળ છે. z નું nમું મૂળ- આ એક જટિલ સંખ્યા છે ડબલ્યુ, શું w એન = z. તે સ્પષ્ટ છે કે , અને , ક્યાં kસમૂહમાંથી કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે (0, 1, ..., n– 1). આનો અર્થ એ છે કે ત્યાં હંમેશા બરાબર છે nમૂળ nજટિલ સંખ્યાની મી ડિગ્રી (પ્લેન પર તેઓ નિયમિતના શિરોબિંદુઓ પર સ્થિત છે n-ગોન).