નોંધ 1
બુલિયન ફંક્શનને બુલિયન એક્સપ્રેશનનો ઉપયોગ કરીને લખી શકાય છે અને પછી લોજિક સર્કિટમાં ખસેડી શકાય છે. શક્ય તેટલું સરળ (અને તેથી સસ્તું) લોજિકલ સર્કિટ મેળવવા માટે તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવવી જરૂરી છે. હકીકતમાં, લોજિકલ ફંક્શન, લોજિકલ એક્સપ્રેશન અને લોજિકલ સર્કિટ એ ત્રણ અલગ અલગ ભાષાઓ છે જે એક એન્ટિટી વિશે વાત કરે છે.
તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ સરળ બનાવવા માટે બીજગણિત તર્કશાસ્ત્રના નિયમો.
કેટલાક રૂપાંતરણો શાસ્ત્રીય બીજગણિતમાં સૂત્રોના રૂપાંતરણ જેવા જ હોય છે (કૌંસમાંથી સામાન્ય પરિબળને બહાર કાઢીને, વિનિમયાત્મક અને સંયુક્ત કાયદાઓનો ઉપયોગ કરીને, વગેરે), જ્યારે અન્ય પરિવર્તનો એવા ગુણધર્મો પર આધારિત હોય છે જે શાસ્ત્રીય બીજગણિતની કામગીરીમાં નથી (વિતરણાત્મકનો ઉપયોગ કરીને) જોડાણ માટેનો કાયદો, શોષણના કાયદા, ગ્લુઇંગ, ડી મોર્ગનના નિયમો, વગેરે).
તાર્કિક બીજગણિતના નિયમો મૂળભૂત તાર્કિક ક્રિયાઓ માટે ઘડવામાં આવે છે - "નથી" - વ્યુત્ક્રમ (નકાર), "અને" - જોડાણ (તાર્કિક ગુણાકાર) અને "અથવા" - વિભાજન (તાર્કિક ઉમેરણ).
ડબલ નેગેશનના કાયદાનો અર્થ એ છે કે "નથી" ઓપરેશન ઉલટાવી શકાય તેવું છે: જો તમે તેને બે વાર લાગુ કરો છો, તો અંતે તાર્કિક મૂલ્ય બદલાશે નહીં.
બાકાત મધ્યમનો કાયદો જણાવે છે કે કોઈપણ તાર્કિક અભિવ્યક્તિ કાં તો સાચી અથવા ખોટી છે ("ત્યાં કોઈ ત્રીજું નથી"). તેથી, જો $A=1$, તો $\bar(A)=0$ (અને ઊલટું), જેનો અર્થ છે કે આ જથ્થાઓનું જોડાણ હંમેશા શૂન્ય સમાન હોય છે, અને વિભાજન હંમેશા એક સમાન હોય છે.
$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$
ચાલો આ સૂત્રને સરળ બનાવીએ:
આકૃતિ 3.
તે અનુસરે છે કે $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.
જવાબ:વિદ્યાર્થીઓ $B$, $C$ અને $D$ ચેસ રમે છે, પરંતુ વિદ્યાર્થી $A$ રમતા નથી.
તાર્કિક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવતી વખતે, તમે નીચેની ક્રિયાઓનો ક્રમ કરી શકો છો:
- વ્યુત્ક્રમ, જોડાણ અને વિભાજનની મૂળભૂત કામગીરી દ્વારા તમામ "બિન-મૂળભૂત" કામગીરી (સમાનતા, સૂચિતાર્થ, વિશિષ્ટ OR, વગેરે) ને તેમના અભિવ્યક્તિઓ સાથે બદલો.
- ડી મોર્ગનના નિયમો અનુસાર જટિલ અભિવ્યક્તિઓના વ્યુત્ક્રમોને એવી રીતે વિસ્તૃત કરો કે નકારાત્મક ક્રિયાઓ ફક્ત વ્યક્તિગત ચલો માટે જ રહે.
- પછી શરૂઆતના કૌંસનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો, સામાન્ય પરિબળોને કૌંસની બહાર મૂકીને અને તાર્કિક બીજગણિતના અન્ય નિયમો.
ઉદાહરણ 2
અહીં, ડી મોર્ગનનો નિયમ, વિતરક કાયદો, બાકાત મધ્યનો કાયદો, વિનિમય કાયદો, પુનરાવર્તનનો કાયદો, ફરીથી વિનિમયાત્મક કાયદો અને શોષણનો કાયદો ક્રમિક રીતે ઉપયોગમાં લેવાય છે.
બીજગણિતમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા વિવિધ અભિવ્યક્તિઓમાં, એકાધિકારનો સરવાળો મહત્વપૂર્ણ સ્થાન ધરાવે છે. અહીં આવા અભિવ્યક્તિઓનાં ઉદાહરણો છે:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
મોનોમિયલ્સના સરવાળાને બહુપદી કહેવામાં આવે છે. બહુપદીના પદોને બહુપદીના પદો કહેવામાં આવે છે. મોનોમિયલને બહુપદી તરીકે પણ વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જેમાં એક સભ્યનો સમાવેશ થતો બહુપદી ગણાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે, બહુપદી
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
સરળ બનાવી શકાય છે.
ચાલો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના મોનોમિયલ્સના રૂપમાં તમામ શરતો રજૂ કરીએ:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
ચાલો પરિણામી બહુપદીમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
પરિણામ બહુપદી છે, જેની તમામ શરતો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપની એકવિધ છે, અને તેમાંથી કોઈ સમાન નથી. આવા બહુપદી કહેવાય છે પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદી.
માટે બહુપદીની ડિગ્રીપ્રમાણભૂત સ્વરૂપ તેના સભ્યોની સર્વોચ્ચ શક્તિઓ લે છે. આમ, દ્વિપદી \(12a^2b - 7b\) ત્રીજી ડિગ્રી ધરાવે છે, અને ત્રિપદી \(2b^2 -7b + 6\) બીજી ડિગ્રી ધરાવે છે.
સામાન્ય રીતે, એક ચલ ધરાવતા પ્રમાણભૂત સ્વરૂપ બહુપદીની શરતો ઘાતાંકના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
અનેક બહુપદીઓનો સરવાળો પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીમાં રૂપાંતરિત (સરળ) કરી શકાય છે.
કેટલીકવાર બહુપદીની શરતોને જૂથોમાં વિભાજિત કરવાની જરૂર છે, દરેક જૂથને કૌંસમાં બંધ કરીને. કૌંસને બંધ કરવું એ ઓપનિંગ કૌંસનું વ્યસ્ત રૂપાંતર હોવાથી, તેને ઘડવું સરળ છે. કૌંસ ખોલવાના નિયમો:
જો કૌંસની પહેલાં “+” ચિહ્ન મૂકવામાં આવ્યું હોય, તો કૌંસમાં બંધાયેલા શબ્દો સમાન ચિહ્નો સાથે લખવામાં આવે છે.
જો કૌંસની પહેલાં “-” ચિહ્ન મૂકવામાં આવ્યું હોય, તો કૌંસમાં બંધાયેલા શબ્દો વિરુદ્ધ ચિહ્નો સાથે લખવામાં આવે છે.
એકવિધ અને બહુપદીના ઉત્પાદનનું પરિવર્તન (સરળીકરણ).
ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને, તમે એકપદી અને બહુપદીના ઉત્પાદનને બહુપદીમાં રૂપાંતરિત (સરળ) કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
એકપદી અને બહુપદીનું ઉત્પાદન આ એકપદીના ઉત્પાદનોના સરવાળા અને બહુપદીની દરેક શરતો સમાન છે.
આ પરિણામ સામાન્ય રીતે નિયમ તરીકે ઘડવામાં આવે છે.
બહુપદી વડે મોનોમીયલનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તે મોનોમીયલને બહુપદીની દરેક શરતો વડે ગુણાકાર કરવો જોઈએ.
રકમ વડે ગુણાકાર કરવા માટે અમે આ નિયમનો ઘણી વખત ઉપયોગ કર્યો છે.
બહુપદીનું ઉત્પાદન. બે બહુપદીના ઉત્પાદનનું પરિવર્તન (સરળીકરણ).
સામાન્ય રીતે, બે બહુપદીનું ઉત્પાદન એક બહુપદીના પ્રત્યેક પદ અને બીજાના પ્રત્યેક પદના ગુણાંકના સરવાળા સમાન હોય છે.
સામાન્ય રીતે નીચેના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે.
બહુપદી દ્વારા બહુપદીનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે એક બહુપદીના દરેક પદને બીજાના પ્રત્યેક પદ વડે ગુણાકાર કરવાની અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવાની જરૂર છે.
સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રો. સરવાળો વર્ગ, તફાવતો અને વર્ગોનો તફાવત
તમારે બીજગણિત પરિવર્તનમાં કેટલાક અભિવ્યક્તિઓ સાથે અન્ય કરતા વધુ વખત વ્યવહાર કરવો પડશે. કદાચ સૌથી સામાન્ય સમીકરણો \(a + b)^2, \; (a - b)^2 \) અને \(a^2 - b^2 \), એટલે કે સરવાળોનો વર્ગ, નો વર્ગ વર્ગોનો તફાવત અને તફાવત. તમે નોંધ્યું છે કે આ અભિવ્યક્તિઓનાં નામ અધૂરાં લાગે છે, ઉદાહરણ તરીકે, \((a + b)^2 \) અલબત્ત, માત્ર સરવાળોનો વર્ગ નથી, પરંતુ a અને b ના સરવાળાનો વર્ગ છે. . જો કે, a અને b ના સરવાળાનો વર્ગ એક નિયમ તરીકે ઘણી વાર થતો નથી, a અને b અક્ષરોને બદલે, તેમાં વિવિધ, ક્યારેક તદ્દન જટિલ, સમીકરણો હોય છે.
અભિવ્યક્તિઓ \(a + b)^2, \; (a - b)^2 \) પ્રમાણભૂત સ્વરૂપના બહુપદીઓમાં સરળતાથી રૂપાંતરિત થઈ શકે છે, હકીકતમાં, તમે બહુપદીનો ગુણાકાર કરતી વખતે આ કાર્યનો સામનો કરી ચૂક્યા છો:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
પરિણામી ઓળખને યાદ રાખવું અને મધ્યવર્તી ગણતરીઓ વિના તેને લાગુ કરવું ઉપયોગી છે. સંક્ષિપ્ત મૌખિક ફોર્મ્યુલેશન આમાં મદદ કરે છે.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - સરવાળાનો વર્ગ ચોરસના સરવાળા અને બેવડા ગુણાંક જેટલો છે.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - તફાવતનો વર્ગ બમણા ગુણાંક વિના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - વર્ગોનો તફાવત તફાવત અને સરવાળાના ગુણાંક જેટલો છે.
આ ત્રણ ઓળખ પરિવર્તનમાં તેમના ડાબા ભાગોને જમણા ભાગો સાથે બદલવાની મંજૂરી આપે છે અને તેનાથી વિપરિત - જમણા ભાગોને ડાબા ભાગો સાથે. સૌથી અઘરી બાબત એ છે કે અનુરૂપ સમીકરણો જોવાનું અને એ સમજવું કે ચલ a અને b તેમાં કેવી રીતે બદલાય છે. ચાલો સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના ઘણા ઉદાહરણો જોઈએ.
પ્રવેશ સ્તર
અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત. વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)
અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત
આપણે વારંવાર આ અપ્રિય વાક્ય સાંભળીએ છીએ: "અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો." સામાન્ય રીતે આપણે આના જેવા અમુક પ્રકારના રાક્ષસને જોઈએ છીએ:
"તે ખૂબ સરળ છે," અમે કહીએ છીએ, પરંતુ આવા જવાબ સામાન્ય રીતે કામ કરતું નથી.
હવે હું તમને શીખવીશ કે આવા કોઈપણ કાર્યોથી ડરશો નહીં. તદુપરાંત, પાઠના અંતે, તમે જાતે જ આ ઉદાહરણને (ફક્ત!) એક સામાન્ય સંખ્યા (હા, આ અક્ષરો સાથે નરકમાં) સરળ બનાવશો.
પરંતુ તમે આ પાઠ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે અપૂર્ણાંક અને પરિબળ બહુપદીને હેન્ડલ કરવામાં સક્ષમ બનવાની જરૂર છે. તેથી, પ્રથમ, જો તમે આ પહેલાં ન કર્યું હોય, તો "" અને "" વિષયોમાં નિપુણતા મેળવવાની ખાતરી કરો.
તમે તે વાંચ્યું છે? જો હા, તો હવે તમે તૈયાર છો.
મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી
હવે ચાલો મૂળભૂત તકનીકો જોઈએ જેનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે થાય છે.
સૌથી સરળ છે
1. સમાન લાવવું
શું સમાન છે? તમે આને 7મા ધોરણમાં લીધું હતું, જ્યારે ગણિતમાં પ્રથમ વખત સંખ્યાને બદલે અક્ષરો દેખાયા હતા. સમાન અક્ષરના ભાગ સાથે સમાન શબ્દો (મોનોમિઅલ્સ) છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળામાં, સમાન શબ્દો છે અને.
શું તમને યાદ છે?
સમાન લાવવાનો અર્થ એકબીજા સાથે ઘણી સમાન શરતો ઉમેરવા અને એક પદ મેળવવા માટે.
આપણે અક્ષરોને એકસાથે કેવી રીતે મૂકી શકીએ? - તમે પૂછો.
જો તમે કલ્પના કરો કે અક્ષરો અમુક પ્રકારની વસ્તુઓ છે તો આ સમજવું ખૂબ જ સરળ છે. ઉદાહરણ તરીકે, એક પત્ર એ ખુરશી છે. તો પછી અભિવ્યક્તિ શું સમાન છે? બે ખુરશી વત્તા ત્રણ ખુરશી, કેટલી હશે? તે સાચું છે, ખુરશીઓ: .
હવે આ અભિવ્યક્તિનો પ્રયાસ કરો: .
મૂંઝવણ ટાળવા માટે, વિવિધ અક્ષરો વિવિધ વસ્તુઓને રજૂ કરવા દો. ઉદાહરણ તરીકે, - (હંમેશની જેમ) ખુરશી છે, અને - એક ટેબલ છે. પછી:
ખુરશીઓ કોષ્ટકો ખુરશી કોષ્ટકો ખુરશીઓ ખુરશીઓ કોષ્ટકો
જે સંખ્યાઓ દ્વારા આવા શબ્દોના અક્ષરોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ગુણાંક. ઉદાહરણ તરીકે, એકવિધમાં ગુણાંક સમાન છે. અને તેમાં સમાન છે.
તેથી, સમાન લાવવાનો નિયમ છે:
ઉદાહરણો:
સમાન આપો:
જવાબો:
2. (અને સમાન, કારણ કે, તેથી, આ શબ્દોમાં સમાન અક્ષરનો ભાગ છે).
2. પરિબળીકરણ
આ સામાન્ય રીતે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ છે. તમે સમાન આપ્યા પછી, મોટે ભાગે પરિણામી અભિવ્યક્તિને પરિબળ બનાવવાની જરૂર છે, એટલે કે, ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. અપૂર્ણાંકમાં આ ખાસ કરીને મહત્વપૂર્ણ છે: અપૂર્ણાંકને ઘટાડવામાં સક્ષમ થવા માટે, અંશ અને છેદને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવું આવશ્યક છે.
તમે "" વિષયમાં વિગતવાર અભિવ્યક્તિઓના ફેક્ટરિંગની પદ્ધતિઓમાંથી પસાર થયા છો, તેથી અહીં તમારે ફક્ત તમે જે શીખ્યા તે યાદ રાખવું પડશે. આ કરવા માટે, થોડા નક્કી કરો ઉદાહરણો(ફેક્ટરાઇઝ્ડ કરવાની જરૂર છે):
ઉકેલો:
3. અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.
ઠીક છે, અંશ અને છેદના ભાગને પાર કરીને અને તેમને તમારા જીવનમાંથી બહાર ફેંકી દેવા કરતાં વધુ સુખદ શું હોઈ શકે?
તે ઘટાડાની સુંદરતા છે.
તે સરળ છે:
જો અંશ અને છેદ સમાન પરિબળો ધરાવે છે, તો તે ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
આ નિયમ અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે:
એટલે કે, ઘટાડાની કામગીરીનો સાર એ છે કે આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા (અથવા સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા) વિભાજીત કરીએ છીએ.
અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે તમારે જરૂર છે:
1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
2) જો અંશ અને છેદ સમાવે છે સામાન્ય પરિબળો, તેઓ ઓળંગી શકાય છે.
સિદ્ધાંત, મને લાગે છે, સ્પષ્ટ છે?
સંક્ષિપ્ત કરતી વખતે હું તમારું ધ્યાન એક લાક્ષણિક ભૂલ તરફ દોરવા માંગુ છું. આ વિષય સરળ હોવા છતાં, ઘણા લોકો બધું ખોટું કરે છે, તે સમજતા નથી ઘટાડો- આનો અર્થ છે વિભાજનઅંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા છે.
જો અંશ અથવા છેદ રકમ હોય તો કોઈ સંક્ષેપ નથી.
ઉદાહરણ તરીકે: આપણે સરળ બનાવવાની જરૂર છે.
કેટલાક લોકો આવું કરે છે: જે તદ્દન ખોટું છે.
બીજું ઉદાહરણ: ઘટાડો.
"સૌથી હોશિયાર" આ કરશે: .
મને કહો કે અહીં શું ખોટું છે? એવું લાગે છે: - આ એક ગુણક છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઘટાડી શકાય છે.
પરંતુ ના: - આ અંશમાં માત્ર એક પદનો અવયવ છે, પરંતુ અંશ પોતે સંપૂર્ણ રીતે અવયવિત નથી.
અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: .
આ અભિવ્યક્તિ ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે, જેનો અર્થ છે કે તમે તેને ઘટાડી શકો છો, એટલે કે, અંશ અને છેદને આના દ્વારા અને પછી દ્વારા વિભાજીત કરો:
તમે તેને તરત જ વિભાજિત કરી શકો છો:
આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની એક સરળ રીત યાદ રાખો:
અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે છેલ્લે કરવામાં આવતી અંકગણિત કામગીરી એ "માસ્ટર" ક્રિયા છે. એટલે કે, જો તમે અક્ષરોને બદલે કેટલીક (કોઈપણ) સંખ્યાઓ બદલો છો અને અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જો છેલ્લી ક્રિયા ગુણાકાર છે, તો અમારી પાસે ઉત્પાદન છે (અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે). જો છેલ્લી ક્રિયા સરવાળો અથવા બાદબાકી છે, તો તેનો અર્થ એ કે અભિવ્યક્તિ પરિબળિત નથી (અને તેથી ઘટાડી શકાતી નથી).
એકીકૃત કરવા માટે, થોડાક જાતે ઉકેલો ઉદાહરણો:
જવાબો:
1. હું આશા રાખું છું કે તમે તરત જ કાપવા માટે ઉતાવળ કરી નથી અને? તે હજી પણ આના જેવા એકમોને "ઘટાડવા" માટે પૂરતું ન હતું:
પ્રથમ પગલું ફેક્ટરાઇઝેશન હોવું જોઈએ:
4. અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી એ એક પરિચિત ક્રિયા છે: અમે એક સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ. ચાલો યાદ કરીએ:
જવાબો:
1. છેદ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, એટલે કે, તેમાં સામાન્ય પરિબળો નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓનો LCM તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે. આ સામાન્ય છેદ હશે:
2. અહીં સામાન્ય છેદ છે:
3. અહીં, સૌ પ્રથમ, અમે મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને પછી સામાન્ય યોજના અનુસાર:
જો અપૂર્ણાંકમાં અક્ષરો હોય તો તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે, ઉદાહરણ તરીકે:
ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:
a) છેદમાં અક્ષરો હોતા નથી
અહીં બધું સામાન્ય આંકડાકીય અપૂર્ણાંકો જેવું જ છે: આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ:
હવે અંશમાં તમે સમાન આપી શકો છો, જો કોઈ હોય તો, અને તેમને અવયવી શકો છો:
તેને જાતે અજમાવી જુઓ:
b) છેદમાં અક્ષરો હોય છે
ચાલો અક્ષરો વિના સામાન્ય છેદ શોધવાના સિદ્ધાંતને યાદ કરીએ:
· સૌ પ્રથમ, અમે સામાન્ય પરિબળો નક્કી કરીએ છીએ;
· પછી આપણે એક સમયે બધા સામાન્ય પરિબળો લખીએ છીએ;
· અને તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.
છેદના સામાન્ય પરિબળોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે પ્રથમ તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ:
ચાલો સામાન્ય પરિબળો પર ભાર મૂકીએ:
હવે ચાલો એક સમયે એક સામાન્ય પરિબળ લખીએ અને તેમાં બધા બિન-સામાન્ય (અન્ડરલાઇન કરેલ નથી) પરિબળો ઉમેરીએ:
આ સામાન્ય છેદ છે.
ચાલો પત્રો પર પાછા જઈએ. છેદ બરાબર એ જ રીતે આપવામાં આવે છે:
· છેદનું પરિબળ;
સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો;
· બધા સામાન્ય પરિબળો એકવાર લખો;
· તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.
તેથી, ક્રમમાં:
1) છેદનું પરિબળ:
2) સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો:
3) બધા સામાન્ય પરિબળોને એકવાર લખો અને તેમને અન્ય તમામ (અવિભાજ્ય) પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો:
તેથી અહીં એક સામાન્ય છેદ છે. પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો આનાથી ગુણાકાર થવો જોઈએ, બીજાનો આનાથી:
માર્ગ દ્વારા, ત્યાં એક યુક્તિ છે:
ઉદાહરણ તરીકે: .
આપણે છેદમાં સમાન પરિબળો જોઈએ છીએ, ફક્ત બધા જ અલગ-અલગ સૂચકાંકો સાથે. સામાન્ય છેદ હશે:
એક ડિગ્રી સુધી
એક ડિગ્રી સુધી
એક ડિગ્રી સુધી
એક ડિગ્રી સુધી.
ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ:
અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ કેવી રીતે બનાવવું?
ચાલો અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને યાદ કરીએ:
તે ક્યાંય એવું નથી કહેતું કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરી શકાય (અથવા ઉમેરી શકાય). કારણ કે તે સાચું નથી!
તમારા માટે જુઓ: કોઈપણ અપૂર્ણાંક લો, ઉદાહરણ તરીકે, અને અંશ અને છેદમાં કેટલીક સંખ્યા ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે, . તમે શું શીખ્યા?
તેથી, બીજો અવિશ્વસનીય નિયમ:
જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી દો, ત્યારે માત્ર ગુણાકારની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરો!
પરંતુ તમારે શું મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે?
તેથી વડે ગુણાકાર કરો. અને વડે ગુણાકાર કરો:
અમે એવા અભિવ્યક્તિઓ કહીશું જેનું પરિબળ "પ્રાથમિક પરિબળો" કરી શકાતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, - આ એક પ્રાથમિક પરિબળ છે. - સમાન. પરંતુ ના: તે પરિબળ બની શકે છે.
અભિવ્યક્તિ વિશે શું? શું તે પ્રાથમિક છે?
ના, કારણ કે તે પરિબળ બની શકે છે:
(તમે પહેલેથી "" વિષયમાં ફેક્ટરાઇઝેશન વિશે વાંચ્યું છે).
તેથી, પ્રાથમિક પરિબળો કે જેમાં તમે અક્ષરો સાથે અભિવ્યક્તિનું વિઘટન કરો છો તે સરળ પરિબળોના એનાલોગ છે જેમાં તમે સંખ્યાઓનું વિઘટન કરો છો. અને અમે તેમની સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીશું.
આપણે જોઈએ છીએ કે બંને છેદનો ગુણક છે. તે ડિગ્રી સુધી સામાન્ય સંપ્રદાય પર જશે (શા માટે યાદ રાખો?).
પરિબળ પ્રાથમિક છે, અને તેમની પાસે સામાન્ય પરિબળ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને ફક્ત તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવો પડશે:
બીજું ઉદાહરણ:
ઉકેલ:
તમે ગભરાટમાં આ છેદનો ગુણાકાર કરો તે પહેલાં, તમારે તેમને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે વિશે વિચારવાની જરૂર છે? તેઓ બંને રજૂ કરે છે:
સરસ! પછી:
બીજું ઉદાહરણ:
ઉકેલ:
હંમેશની જેમ, ચાલો છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. પ્રથમ છેદમાં આપણે તેને ફક્ત કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ; બીજામાં - ચોરસનો તફાવત:
એવું લાગે છે કે ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી. પરંતુ જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તે સમાન છે... અને તે સાચું છે:
તો ચાલો લખીએ:
એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું: કૌંસની અંદર આપણે શરતોની અદલાબદલી કરી, અને તે જ સમયે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ ગયું. નોંધ લો, તમારે આ વારંવાર કરવું પડશે.
હવે ચાલો તેને સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવીએ:
સમજાયું? ચાલો હવે તેને તપાસીએ.
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:
જવાબો:
અહીં આપણે એક વધુ વસ્તુ યાદ રાખવાની જરૂર છે - સમઘનનો તફાવત:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાં "સરવાળાનો વર્ગ" સૂત્ર નથી! સરવાળોનો વર્ગ આના જેવો દેખાશે: .
A એ સરવાળોનો કહેવાતો અપૂર્ણ વર્ગ છે: તેમાંનો બીજો શબ્દ પ્રથમ અને છેલ્લો ગુણાંક છે, અને તેમના ડબલ ગુણાંકનો નહીં. સરવાળોનો આંશિક ચોરસ એ ક્યુબ્સના તફાવતના વિસ્તરણના પરિબળોમાંનું એક છે:
જો ત્યાં પહેલેથી જ ત્રણ અપૂર્ણાંક હોય તો શું કરવું?
હા, એ જ વાત! સૌ પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે છેદમાં પરિબળોની મહત્તમ સંખ્યા સમાન છે:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જો તમે એક કૌંસની અંદરના ચિહ્નો બદલો છો, તો અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. જ્યારે આપણે બીજા કૌંસમાં ચિહ્નો બદલીએ છીએ, ત્યારે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન ફરીથી વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. પરિણામે, તે (અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન) બદલાયું નથી.
અમે સંપૂર્ણ પ્રથમ છેદને સામાન્ય છેદમાં લખીએ છીએ, અને પછી તેમાં એવા બધા પરિબળો ઉમેરીએ છીએ જે હજી સુધી લખાયા નથી, બીજામાંથી અને પછી ત્રીજામાંથી (અને તેથી વધુ, જો ત્યાં વધુ અપૂર્ણાંક હોય તો). એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:
હમ્મ... અપૂર્ણાંક સાથે શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે. પણ બેનું શું?
તે સરળ છે: તમે અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઉમેરવું તે જાણો છો, બરાબર? તેથી, આપણે બેને અપૂર્ણાંક બનાવવાની જરૂર છે! ચાલો યાદ રાખીએ: અપૂર્ણાંક એ ભાગાકારની ક્રિયા છે (અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જો તમે ભૂલી ગયા હોવ તો). અને સંખ્યાને વડે ભાગવા સિવાય બીજું કંઈ સરળ નથી. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા પોતે બદલાશે નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવાશે:
તમને જે જોઈએ છે તે જ!
5. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.
સારું, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ હવે સમાપ્ત થઈ ગયો છે. અને આપણી આગળ સૌથી સરળ છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી મહત્વપૂર્ણ:
પ્રક્રિયા
સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા શું છે? આ અભિવ્યક્તિના અર્થની ગણતરી કરીને યાદ રાખો:
શું તમે ગણતરી કરી?
તે કામ કરવું જોઈએ.
તેથી, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું.
પ્રથમ પગલું એ ડિગ્રીની ગણતરી કરવાનું છે.
બીજું ગુણાકાર અને ભાગાકાર છે. જો ત્યાં એક જ સમયે અનેક ગુણાકાર અને વિભાગો હોય, તો તે કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.
અને અંતે, અમે સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ છીએ. ફરીથી, કોઈપણ ક્રમમાં.
પરંતુ: કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન બદલામાં કરવામાં આવે છે!
જો ઘણા કૌંસ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો આપણે પહેલા દરેક કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી તેમને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરીએ છીએ.
જો કૌંસની અંદર વધુ કૌંસ હોય તો શું? સારું, ચાલો વિચારીએ: કૌંસની અંદર કેટલીક અભિવ્યક્તિ લખેલી છે. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે પ્રથમ શું કરવું જોઈએ? તે સાચું છે, કૌંસની ગણતરી કરો. સારું, અમે તેને શોધી કાઢ્યું: પહેલા આપણે આંતરિક કૌંસની ગણતરી કરીએ છીએ, પછી બાકીનું બધું.
તેથી, ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ માટેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે (હાલની ક્રિયા લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે, એટલે કે, જે ક્રિયા હું અત્યારે કરી રહ્યો છું):
ઠીક છે, તે બધું સરળ છે.
પરંતુ આ અક્ષરો સાથેની અભિવ્યક્તિ સમાન નથી?
ના, તે જ છે! ફક્ત અંકગણિત કામગીરીને બદલે, તમારે બીજગણિતની ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ ક્રિયાઓ: સમાન લાવવું, અપૂર્ણાંક ઉમેરવું, અપૂર્ણાંક ઘટાડવું, વગેરે. માત્ર એટલો જ તફાવત ફેક્ટરિંગ બહુપદીની ક્રિયા હશે (અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ). મોટેભાગે, ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે, તમારે I નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અથવા સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવાની જરૂર છે.
સામાન્ય રીતે અમારો ધ્યેય અભિવ્યક્તિને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ.
1) પ્રથમ, અમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ. ત્યાં આપણી પાસે અપૂર્ણાંકનો તફાવત છે, અને અમારો ધ્યેય તેને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે. તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ:
આ અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવવી અશક્ય છે અહીં તમામ પરિબળો પ્રાથમિક છે (શું તમને હજુ પણ યાદ છે કે આનો અર્થ શું છે?).
2) અમને મળે છે:
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર: શું સરળ હોઈ શકે છે.
3) હવે તમે ટૂંકી કરી શકો છો:
બસ, બસ. કંઈ જટિલ નથી, બરાબર?
બીજું ઉદાહરણ:
અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.
પ્રથમ, તેને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને તે પછી જ ઉકેલ જુઓ.
સૌ પ્રથમ, ચાલો ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરીએ. પ્રથમ, ચાલો કૌંસમાં અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ, તેથી બે અપૂર્ણાંકને બદલે આપણને એક મળે છે. પછી આપણે અપૂર્ણાંકનું વિભાજન કરીશું. સારું, ચાલો છેલ્લા અપૂર્ણાંક સાથે પરિણામ ઉમેરીએ. હું પગલાઓને યોજનાકીય રીતે નંબર આપીશ:
હવે હું તમને પ્રક્રિયા બતાવીશ, વર્તમાન ક્રિયાને લાલ રંગમાં ટિન્ટ કરીને:
અંતે, હું તમને બે ઉપયોગી ટીપ્સ આપીશ:
1. જો ત્યાં સમાન હોય, તો તેઓ તરત જ લાવવા જોઈએ. આપણા દેશમાં જે પણ સમયે સમાન મુદ્દાઓ ઉદભવે છે, તેને તાત્કાલિક લાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
2. આ જ અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે લાગુ પડે છે: ઘટાડવાની તક દેખાય કે તરત જ તેનો લાભ લેવો જોઈએ. અપવાદ એ અપૂર્ણાંકો માટે છે જે તમે ઉમેરો અથવા બાદ કરો છો: જો તેઓ હવે સમાન છેદ ધરાવે છે, તો પછી ઘટાડો પછી માટે છોડી દેવો જોઈએ.
તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે અહીં કેટલાક કાર્યો છે:
અને શરૂઆતમાં શું વચન આપવામાં આવ્યું હતું:
ઉકેલો (સંક્ષિપ્ત):
જો તમે ઓછામાં ઓછા પ્રથમ ત્રણ ઉદાહરણોનો સામનો કર્યો હોય, તો પછી તમે વિષયમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
હવે શીખવા પર!
રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ. સારાંશ અને મૂળભૂત સૂત્રો
મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી:
- સમાન લાવવું: સમાન શબ્દો ઉમેરવા (ઘટાડવા) માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને અક્ષરનો ભાગ સોંપવો પડશે.
- અવયવીકરણ:સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું, તેને લાગુ કરવું વગેરે.
- અપૂર્ણાંક ઘટાડવો: અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે, જે અપૂર્ણાંકના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી.
1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
2) જો અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવો હોય, તો તેને વટાવી શકાય છે.મહત્વપૂર્ણ: માત્ર ગુણક ઘટાડી શકાય છે!
- અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી:
; - અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર:
;
કોઈપણ ભાષાનો ઉપયોગ કરીને, તમે સમાન માહિતીને વિવિધ શબ્દો અને શબ્દસમૂહોમાં વ્યક્ત કરી શકો છો. ગાણિતિક ભાષા કોઈ અપવાદ નથી. પરંતુ સમાન અભિવ્યક્તિ સમાન રીતે જુદી જુદી રીતે લખી શકાય છે. અને કેટલીક પરિસ્થિતિઓમાં, એન્ટ્રીઓમાંથી એક સરળ છે. અમે આ પાઠમાં અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા વિશે વાત કરીશું.
લોકો વિવિધ ભાષાઓમાં વાતચીત કરે છે. અમારા માટે, એક મહત્વપૂર્ણ સરખામણી એ જોડી છે "રશિયન ભાષા - ગાણિતિક ભાષા". સમાન માહિતી વિવિધ ભાષાઓમાં સંચાર કરી શકાય છે. પરંતુ, આ ઉપરાંત, તે એક ભાષામાં વિવિધ રીતે ઉચ્ચાર કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે: "પેટ્યા એ વાસ્ય સાથેના મિત્રો છે", "વાસ્ય એ પેટ્યા સાથેના મિત્રો છે", "પેટ્યા અને વાસ્યા મિત્રો છે". અલગ રીતે કહ્યું, પરંતુ એક જ વસ્તુ. આમાંના કોઈપણ શબ્દસમૂહોથી આપણે સમજીશું કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ.
ચાલો આ વાક્ય જોઈએ: "છોકરો પેટ્યા અને છોકરો વાસ્યા મિત્રો છે." અમે સમજીએ છીએ કે અમે શું વાત કરી રહ્યા છીએ. જો કે, અમને આ શબ્દસમૂહનો અવાજ ગમતો નથી. શું આપણે તેને સરળ બનાવી શકતા નથી, તે જ વાત કહી શકીએ, પણ સરળ? "છોકરો અને છોકરો" - તમે એકવાર કહી શકો છો: "છોકરાઓ પેટ્યા અને વાસ્યા મિત્રો છે."
"છોકરાઓ"... શું તેમના નામ પરથી સ્પષ્ટ નથી થતું કે તેઓ છોકરીઓ નથી? અમે "છોકરાઓ" ને દૂર કરીએ છીએ: "પેટ્યા અને વાસ્યા મિત્રો છે." અને "મિત્રો" શબ્દને "મિત્રો" સાથે બદલી શકાય છે: "પેટ્યા અને વાસ્યા મિત્રો છે." પરિણામે, પ્રથમ, લાંબો, નીચ વાક્ય એક સમકક્ષ વિધાન સાથે બદલવામાં આવ્યો જે કહેવા માટે સરળ અને સમજવામાં સરળ છે. અમે આ વાક્યને સરળ બનાવ્યું છે. સરળ બનાવવાનો અર્થ એ છે કે તેને વધુ સરળ રીતે કહેવું, પરંતુ અર્થ ગુમાવવો અથવા વિકૃત કરવો નહીં.
ગાણિતિક ભાષામાં, લગભગ સમાન વસ્તુ થાય છે. એક જ વાત કહી શકાય, અલગ રીતે લખી શકાય. અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનો અર્થ શું છે? આનો અર્થ એ છે કે મૂળ અભિવ્યક્તિ માટે ઘણા સમકક્ષ અભિવ્યક્તિઓ છે, એટલે કે, જેનો અર્થ સમાન વસ્તુ છે. અને આ બધી વિવિધતામાંથી આપણે સૌથી સરળ, અમારા મતે, અથવા અમારા આગળના હેતુઓ માટે સૌથી યોગ્ય પસંદ કરવું જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે, સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને ધ્યાનમાં લો. તે સમકક્ષ હશે.
તે પ્રથમ બેની સમકક્ષ પણ હશે: 
.
તે તારણ આપે છે કે અમે અમારી અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવી છે અને ટૂંકી સમકક્ષ અભિવ્યક્તિ શોધી કાઢી છે.
સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ માટે, તમારે હંમેશા બધું કરવાની જરૂર છે અને એકલ સંખ્યા તરીકે સમકક્ષ અભિવ્યક્તિ મેળવવાની જરૂર છે.
ચાલો શાબ્દિક અભિવ્યક્તિનું ઉદાહરણ જોઈએ . દેખીતી રીતે, તે સરળ હશે.
શાબ્દિક અભિવ્યક્તિઓને સરળ બનાવતી વખતે, બધી સંભવિત ક્રિયાઓ કરવી જરૂરી છે.
શું અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવી હંમેશા જરૂરી છે? ના, કેટલીકવાર તે આપણા માટે સમકક્ષ પરંતુ લાંબી એન્ટ્રી હોય તે વધુ અનુકૂળ રહેશે.
ઉદાહરણ: તમારે સંખ્યામાંથી સંખ્યા બાદ કરવાની જરૂર છે.
ગણતરી કરવી શક્ય છે, પરંતુ જો પ્રથમ સંખ્યા તેના સમકક્ષ સંકેત દ્વારા દર્શાવવામાં આવી હોય: , તો ગણતરીઓ તાત્કાલિક હશે: .
એટલે કે, વધુ ગણતરીઓ માટે એક સરળ અભિવ્યક્તિ હંમેશા આપણા માટે ફાયદાકારક નથી.
તેમ છતાં, ઘણી વાર આપણને એવા કાર્યનો સામનો કરવો પડે છે જે ફક્ત "અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો" જેવું લાગે છે.
અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો: .
ઉકેલ
1) પ્રથમ અને બીજા કૌંસમાં ક્રિયાઓ કરો: .
2) ચાલો ઉત્પાદનોની ગણતરી કરીએ: .
દેખીતી રીતે, છેલ્લી અભિવ્યક્તિ પ્રારંભિક એક કરતાં સરળ સ્વરૂપ ધરાવે છે. અમે તેને સરળ બનાવ્યું છે.
અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે, તેને સમકક્ષ (સમાન) સાથે બદલવું આવશ્યક છે.
સમકક્ષ અભિવ્યક્તિ નક્કી કરવા માટે તમને જરૂર છે:
1) તમામ સંભવિત ક્રિયાઓ કરો,
2) ગણતરીઓને સરળ બનાવવા માટે સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરો.
સરવાળો અને બાદબાકીના ગુણધર્મો:
1. વધારાની વિનિમયાત્મક મિલકત: શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી રકમ બદલાતી નથી.
2. સરવાળોનો સંયુક્ત ગુણધર્મ: બે સંખ્યાના સરવાળામાં ત્રીજી સંખ્યા ઉમેરવા માટે, તમે પ્રથમ નંબરમાં બીજી અને ત્રીજી સંખ્યાનો સરવાળો ઉમેરી શકો છો.
3. સંખ્યામાંથી સરવાળો બાદબાકી કરવાનો ગુણધર્મ: સંખ્યામાંથી સરવાળો બાદબાકી કરવા માટે, તમે દરેક પદને અલગથી બાદ કરી શકો છો.
ગુણાકાર અને ભાગાકારના ગુણધર્મો
1. ગુણાકારની વિનિમયાત્મક મિલકત: પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી ઉત્પાદન બદલાતું નથી.
2. સંયુક્ત ગુણધર્મ: કોઈ સંખ્યાને બે સંખ્યાના ગુણાંક દ્વારા ગુણાકાર કરવા માટે, તમે પહેલા તેને પ્રથમ અવયવ વડે ગુણાકાર કરી શકો છો, અને પછી પરિણામી ઉત્પાદનને બીજા અવયવ વડે ગુણાકાર કરી શકો છો.
3. ગુણાકારની વિતરક ગુણધર્મ: સંખ્યાને સરવાળો વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે તેને દરેક પદ દ્વારા અલગથી ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.
ચાલો જોઈએ કે આપણે ખરેખર માનસિક ગણતરી કેવી રીતે કરીએ છીએ.
ગણતરી કરો:
ઉકેલ
1) ચાલો કલ્પના કરીએ કે કેવી રીતે
2) ચાલો પ્રથમ પરિબળને બીટ પદોના સરવાળા તરીકે કલ્પીએ અને ગુણાકાર કરીએ:
3) તમે કલ્પના કરી શકો છો કે કેવી રીતે અને ગુણાકાર કરવું:
4) પ્રથમ પરિબળને સમકક્ષ રકમ સાથે બદલો:
વિતરણ કાયદો વિરુદ્ધ દિશામાં પણ વાપરી શકાય છે: .
આ પગલાં અનુસરો:
1) 
2) 
ઉકેલ
1) સગવડતા માટે, તમે વિતરણ કાયદાનો ઉપયોગ કરી શકો છો, તેનો ઉપયોગ ફક્ત વિરુદ્ધ દિશામાં કરો - સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢો.
2) ચાલો સામાન્ય પરિબળને કૌંસમાંથી બહાર કાઢીએ
રસોડું અને હૉલવે માટે લિનોલિયમ ખરીદવું જરૂરી છે. રસોડું વિસ્તાર - , હોલવે - . ત્રણ પ્રકારના લિનોલિયમ્સ છે: માટે, અને રુબેલ્સ માટે. ત્રણ પ્રકારના લિનોલિયમની કિંમત કેટલી હશે? (ફિગ. 1)
ચોખા. 1. સમસ્યા નિવેદન માટે ચિત્ર
ઉકેલ
પદ્ધતિ 1. તમે અલગથી શોધી શકો છો કે રસોડામાં લિનોલિયમ ખરીદવા માટે કેટલા પૈસા લેશે, અને પછી હૉલવેમાં અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરો.
પ્રવેશ સ્તર
અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતરિત. વિગતવાર સિદ્ધાંત (2019)
આપણે વારંવાર આ અપ્રિય વાક્ય સાંભળીએ છીએ: "અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો."સામાન્ય રીતે આપણે આના જેવા અમુક પ્રકારના રાક્ષસને જોઈએ છીએ:
"તે ખૂબ સરળ છે," અમે કહીએ છીએ, પરંતુ આવા જવાબ સામાન્ય રીતે કામ કરતું નથી.
હવે હું તમને શીખવીશ કે આવા કોઈપણ કાર્યોથી ડરશો નહીં.
તદુપરાંત, પાઠના અંતે, તમે જાતે જ આ ઉદાહરણને (ફક્ત!) એક સામાન્ય સંખ્યા (હા, આ અક્ષરો સાથે નરકમાં) સરળ બનાવશો.
પરંતુ તમે આ પ્રવૃત્તિ શરૂ કરો તે પહેલાં, તમારે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે અપૂર્ણાંકને હેન્ડલ કરોઅને પરિબળ બહુપદી.
તેથી, જો તમે આ પહેલાં ન કર્યું હોય, તો "" અને "" વિષયોમાં નિપુણતા મેળવવાની ખાતરી કરો.
તમે તે વાંચ્યું છે? જો હા, તો હવે તમે તૈયાર છો.
ચાલો જઈએ (ચાલો!)
મહત્વપૂર્ણ નોંધ!જો તમને ફોર્મ્યુલાને બદલે gobbledygook દેખાય, તો તમારી કેશ સાફ કરો. આ કરવા માટે, CTRL+F5 (Windows પર) અથવા દબાવો Cmd+R (મેક પર).
મૂળભૂત અભિવ્યક્તિ સરળીકરણ કામગીરી
હવે ચાલો મૂળભૂત તકનીકો જોઈએ જેનો ઉપયોગ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવા માટે થાય છે.
સૌથી સરળ છે
1. સમાન લાવવું
શું સમાન છે? તમે આને 7મા ધોરણમાં લીધું હતું, જ્યારે ગણિતમાં પ્રથમ વખત સંખ્યાને બદલે અક્ષરો દેખાયા હતા.
સમાન- આ સમાન અક્ષરના ભાગ સાથેના શબ્દો (મોનોમિયલ) છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સરવાળામાં, સમાન શબ્દો છે અને.
શું તમને યાદ છે?
સમાન આપો- એટલે એકબીજા સાથે ઘણી સમાન શરતો ઉમેરવી અને એક પદ મેળવવું.
આપણે અક્ષરોને એકસાથે કેવી રીતે મૂકી શકીએ? - તમે પૂછો.
જો તમે કલ્પના કરો કે અક્ષરો અમુક પ્રકારની વસ્તુઓ છે તો આ સમજવું ખૂબ જ સરળ છે.
ઉદાહરણ તરીકે, એક પત્ર એ ખુરશી છે. તો પછી અભિવ્યક્તિ શું સમાન છે?
બે ખુરશી વત્તા ત્રણ ખુરશી, કેટલી હશે? તે સાચું છે, ખુરશીઓ: .
હવે આ અભિવ્યક્તિનો પ્રયાસ કરો: .
મૂંઝવણ ટાળવા માટે, વિવિધ અક્ષરો વિવિધ વસ્તુઓને રજૂ કરવા દો.
ઉદાહરણ તરીકે, - (હંમેશની જેમ) ખુરશી છે, અને - એક ટેબલ છે.
ખુરશીઓ કોષ્ટકો ખુરશી કોષ્ટકો ખુરશીઓ ખુરશીઓ કોષ્ટકો
જે સંખ્યાઓ દ્વારા આવા શબ્દોના અક્ષરોનો ગુણાકાર કરવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે ગુણાંક.
ઉદાહરણ તરીકે, એકવિધમાં ગુણાંક સમાન છે. અને તેમાં સમાન છે.
તેથી, સમાન લાવવાનો નિયમ છે:
ઉદાહરણો:
સમાન આપો:
જવાબો:
2. (અને સમાન, કારણ કે, તેથી, આ શબ્દોમાં સમાન અક્ષરનો ભાગ છે).
2. પરિબળીકરણ
આ સામાન્ય રીતે છે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાનો સૌથી મહત્વપૂર્ણ ભાગ.
તમે સમાન આપ્યા પછી, મોટેભાગે પરિણામી અભિવ્યક્તિની જરૂર પડે છે કારણભૂત, એટલે કે, ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં પ્રસ્તુત.
ખાસ કરીને આ અપૂર્ણાંકમાં મહત્વપૂર્ણ:છેવટે, અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે સક્ષમ થવા માટે, અંશ અને છેદને ઉત્પાદન તરીકે રજૂ કરવું આવશ્યક છે.
તમે "" વિષયમાં વિગતવાર અભિવ્યક્તિઓના ફેક્ટરિંગની પદ્ધતિઓમાંથી પસાર થયા છો, તેથી અહીં તમારે ફક્ત તમે જે શીખ્યા તે યાદ રાખવું પડશે.
આ કરવા માટે, ઘણા ઉદાહરણો ઉકેલો (તમારે તેમને ફેક્ટરાઇઝ કરવાની જરૂર છે)
ઉદાહરણો:
ઉકેલો:
3. અપૂર્ણાંક ઘટાડવો.
ઠીક છે, અંશ અને છેદના ભાગને પાર કરીને અને તેમને તમારા જીવનમાંથી બહાર ફેંકી દેવા કરતાં વધુ સુખદ શું હોઈ શકે?
તે ઘટાડાની સુંદરતા છે.
તે સરળ છે:
જો અંશ અને છેદ સમાન પરિબળો ધરાવે છે, તો તે ઘટાડી શકાય છે, એટલે કે, અપૂર્ણાંકમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
આ નિયમ અપૂર્ણાંકના મૂળ ગુણધર્મમાંથી અનુસરે છે:
એટલે કે, ઘટાડાની કામગીરીનો સાર એ છે કે આપણે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા (અથવા સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા) વિભાજીત કરીએ છીએ.
અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે તમારે જરૂર છે:
1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
2) જો અંશ અને છેદ સમાવે છે સામાન્ય પરિબળો, તેઓ ઓળંગી શકાય છે.
ઉદાહરણો:
સિદ્ધાંત, મને લાગે છે, સ્પષ્ટ છે?
સંક્ષિપ્ત કરતી વખતે હું તમારું ધ્યાન એક લાક્ષણિક ભૂલ તરફ દોરવા માંગુ છું. આ વિષય સરળ હોવા છતાં, ઘણા લોકો બધું ખોટું કરે છે, તે સમજતા નથી ઘટાડો- આનો અર્થ છે વિભાજનઅંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા છે.
જો અંશ અથવા છેદ રકમ હોય તો કોઈ સંક્ષેપ નથી.
ઉદાહરણ તરીકે: આપણે સરળ બનાવવાની જરૂર છે.
કેટલાક લોકો આવું કરે છે: જે તદ્દન ખોટું છે.
બીજું ઉદાહરણ: ઘટાડો.
"સૌથી હોશિયાર" આ કરશે:
મને કહો કે અહીં શું ખોટું છે? એવું લાગે છે: - આ એક ગુણક છે, જેનો અર્થ છે કે તે ઘટાડી શકાય છે.
પરંતુ ના: - આ અંશમાં માત્ર એક પદનો અવયવ છે, પરંતુ અંશ પોતે સંપૂર્ણ રીતે અવયવિત નથી.
અહીં બીજું ઉદાહરણ છે: .
આ અભિવ્યક્તિ ફેક્ટરાઇઝ્ડ છે, જેનો અર્થ છે કે તમે તેને ઘટાડી શકો છો, એટલે કે, અંશ અને છેદને આના દ્વારા અને પછી દ્વારા વિભાજીત કરો:
તમે તેને તરત જ વિભાજિત કરી શકો છો:
આવી ભૂલોને ટાળવા માટે, અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની એક સરળ રીત યાદ રાખો:
અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે છેલ્લે કરવામાં આવતી અંકગણિત કામગીરી એ "માસ્ટર" ક્રિયા છે.
એટલે કે, જો તમે અક્ષરોને બદલે કેટલીક (કોઈપણ) સંખ્યાઓ બદલો છો અને અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જો છેલ્લી ક્રિયા ગુણાકાર છે, તો અમારી પાસે ઉત્પાદન છે (અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે).
જો છેલ્લી ક્રિયા સરવાળો અથવા બાદબાકી છે, તો તેનો અર્થ એ કે અભિવ્યક્તિ પરિબળિત નથી (અને તેથી ઘટાડી શકાતી નથી).
આને મજબૂત કરવા માટે, થોડા ઉદાહરણો જાતે ઉકેલો:
ઉદાહરણો:
ઉકેલો:
1. હું આશા રાખું છું કે તમે તરત જ કાપવા માટે ઉતાવળ કરી નથી અને? તે હજી પણ આના જેવા એકમોને "ઘટાડવા" માટે પૂરતું ન હતું:
પ્રથમ પગલું ફેક્ટરાઇઝેશન હોવું જોઈએ:
4. અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.
સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી એ એક પરિચિત ક્રિયા છે: અમે એક સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ.
ચાલો યાદ કરીએ:
જવાબો:
1. છેદ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, એટલે કે, તેમાં સામાન્ય પરિબળો નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓનો LCM તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે. આ સામાન્ય છેદ હશે:
2. અહીં સામાન્ય છેદ છે:
3. અહીં, સૌ પ્રથમ, અમે મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને પછી સામાન્ય યોજના અનુસાર:
જો અપૂર્ણાંકમાં અક્ષરો હોય તો તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે, ઉદાહરણ તરીકે:
ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:
a) છેદમાં અક્ષરો હોતા નથી
અહીં બધું સામાન્ય આંકડાકીય અપૂર્ણાંકો જેવું જ છે: આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ:
હવે અંશમાં તમે સમાન આપી શકો છો, જો કોઈ હોય તો, અને તેમને અવયવી શકો છો:
તેને જાતે અજમાવી જુઓ:
જવાબો:
b) છેદમાં અક્ષરો હોય છે
ચાલો અક્ષરો વિના સામાન્ય છેદ શોધવાના સિદ્ધાંતને યાદ કરીએ:
· સૌ પ્રથમ, અમે સામાન્ય પરિબળો નક્કી કરીએ છીએ;
· પછી આપણે એક સમયે બધા સામાન્ય પરિબળો લખીએ છીએ;
· અને તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.
છેદના સામાન્ય પરિબળોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે પ્રથમ તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ:
ચાલો સામાન્ય પરિબળો પર ભાર મૂકીએ:
હવે ચાલો એક સમયે એક સામાન્ય પરિબળ લખીએ અને તેમાં બધા બિન-સામાન્ય (અન્ડરલાઇન કરેલ નથી) પરિબળો ઉમેરીએ:
આ સામાન્ય છેદ છે.
ચાલો પત્રો પર પાછા જઈએ. છેદ બરાબર એ જ રીતે આપવામાં આવે છે:
· છેદનું પરિબળ;
સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો;
· બધા સામાન્ય પરિબળો એકવાર લખો;
· તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.
તેથી, ક્રમમાં:
1) છેદનું પરિબળ:
2) સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો:
3) બધા સામાન્ય પરિબળોને એકવાર લખો અને તેમને અન્ય તમામ (અવિભાજ્ય) પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો:
તેથી અહીં એક સામાન્ય છેદ છે. પ્રથમ અપૂર્ણાંકનો આનાથી ગુણાકાર થવો જોઈએ, બીજાનો આનાથી:
માર્ગ દ્વારા, ત્યાં એક યુક્તિ છે:
ઉદાહરણ તરીકે: .
આપણે છેદમાં સમાન પરિબળો જોઈએ છીએ, ફક્ત બધા જ અલગ-અલગ સૂચકાંકો સાથે. સામાન્ય છેદ હશે:
એક ડિગ્રી સુધી
એક ડિગ્રી સુધી
એક ડિગ્રી સુધી
એક ડિગ્રી સુધી.
ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ:
અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ કેવી રીતે બનાવવું?
ચાલો અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને યાદ કરીએ:
તે ક્યાંય એવું નથી કહેતું કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરી શકાય (અથવા ઉમેરી શકાય). કારણ કે તે સાચું નથી!
તમારા માટે જુઓ: કોઈપણ અપૂર્ણાંક લો, ઉદાહરણ તરીકે, અને અંશ અને છેદમાં કેટલીક સંખ્યા ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે, . તમે શું શીખ્યા?
તેથી, બીજો અવિશ્વસનીય નિયમ:
જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી દો, ત્યારે માત્ર ગુણાકારની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરો!
પરંતુ તમારે શું મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે?
તેથી વડે ગુણાકાર કરો. અને વડે ગુણાકાર કરો:
અમે એવા અભિવ્યક્તિઓ કહીશું જેનું પરિબળ "પ્રાથમિક પરિબળો" કરી શકાતું નથી.
ઉદાહરણ તરીકે, - આ એક પ્રાથમિક પરિબળ છે. - સમાન. પરંતુ ના: તે પરિબળ બની શકે છે.
અભિવ્યક્તિ વિશે શું? શું તે પ્રાથમિક છે?
ના, કારણ કે તે પરિબળ બની શકે છે:
(તમે પહેલેથી "" વિષયમાં ફેક્ટરાઇઝેશન વિશે વાંચ્યું છે).
તેથી, પ્રાથમિક પરિબળો કે જેમાં તમે અક્ષરો સાથે અભિવ્યક્તિનું વિઘટન કરો છો તે સરળ પરિબળોના એનાલોગ છે જેમાં તમે સંખ્યાઓનું વિઘટન કરો છો. અને અમે તેમની સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીશું.
આપણે જોઈએ છીએ કે બંને છેદનો ગુણક છે. તે ડિગ્રી સુધી સામાન્ય સંપ્રદાય પર જશે (શા માટે યાદ રાખો?).
પરિબળ પ્રાથમિક છે, અને તેમની પાસે સામાન્ય પરિબળ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને ફક્ત તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવો પડશે:
બીજું ઉદાહરણ:
ઉકેલ:
તમે ગભરાટમાં આ છેદનો ગુણાકાર કરો તે પહેલાં, તમારે તેમને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે વિશે વિચારવાની જરૂર છે? તેઓ બંને રજૂ કરે છે:
સરસ! પછી:
બીજું ઉદાહરણ:
ઉકેલ:
હંમેશની જેમ, ચાલો છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. પ્રથમ છેદમાં આપણે તેને ફક્ત કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ; બીજામાં - ચોરસનો તફાવત:
એવું લાગે છે કે ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી. પરંતુ જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તે સમાન છે... અને તે સાચું છે:
તો ચાલો લખીએ:
એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું: કૌંસની અંદર આપણે શરતોની અદલાબદલી કરી, અને તે જ સમયે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ ગયું. નોંધ લો, તમારે આ વારંવાર કરવું પડશે.
હવે ચાલો તેને સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવીએ:
સમજાયું? ચાલો હવે તેને તપાસીએ.
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:
જવાબો:
અહીં આપણે એક વધુ વસ્તુ યાદ રાખવાની જરૂર છે - સમઘનનો તફાવત:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાં "સરવાળાનો વર્ગ" સૂત્ર નથી! સરવાળોનો વર્ગ આના જેવો દેખાશે: .
A એ સરવાળોનો કહેવાતો અપૂર્ણ વર્ગ છે: તેમાંનો બીજો શબ્દ પ્રથમ અને છેલ્લો ગુણાંક છે, અને તેમના ડબલ ગુણાંકનો નહીં. સરવાળોનો આંશિક ચોરસ એ ક્યુબ્સના તફાવતના વિસ્તરણના પરિબળોમાંનું એક છે:
જો ત્યાં પહેલેથી જ ત્રણ અપૂર્ણાંક હોય તો શું કરવું?
હા, એ જ વાત! સૌ પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે છેદમાં પરિબળોની મહત્તમ સંખ્યા સમાન છે:
મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જો તમે એક કૌંસની અંદરના ચિહ્નો બદલો છો, તો અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. જ્યારે આપણે બીજા કૌંસમાં ચિહ્નો બદલીએ છીએ, ત્યારે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન ફરીથી વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. પરિણામે, તે (અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન) બદલાયું નથી.
અમે સંપૂર્ણ પ્રથમ છેદને સામાન્ય છેદમાં લખીએ છીએ, અને પછી તેમાં એવા બધા પરિબળો ઉમેરીએ છીએ જે હજી સુધી લખાયા નથી, બીજામાંથી અને પછી ત્રીજામાંથી (અને તેથી વધુ, જો ત્યાં વધુ અપૂર્ણાંક હોય તો). એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:
હમ્મ... અપૂર્ણાંક સાથે શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે. પણ બેનું શું?
તે સરળ છે: તમે અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઉમેરવું તે જાણો છો, બરાબર? તેથી, આપણે બેને અપૂર્ણાંક બનાવવાની જરૂર છે! ચાલો યાદ રાખીએ: અપૂર્ણાંક એ ભાગાકારની ક્રિયા છે (અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જો તમે ભૂલી ગયા હોવ તો). અને સંખ્યાને વડે ભાગવા સિવાય બીજું કંઈ સરળ નથી. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા પોતે બદલાશે નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવાશે:
તમને જે જોઈએ છે તે જ!
5. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.
સારું, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ હવે સમાપ્ત થઈ ગયો છે. અને આપણી આગળ સૌથી સરળ છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી મહત્વપૂર્ણ:
પ્રક્રિયા
સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા શું છે? આ અભિવ્યક્તિના અર્થની ગણતરી કરીને યાદ રાખો:
શું તમે ગણતરી કરી?
તે કામ કરવું જોઈએ.
તેથી, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું.
પ્રથમ પગલું એ ડિગ્રીની ગણતરી કરવાનું છે.
બીજું ગુણાકાર અને ભાગાકાર છે. જો ત્યાં એક જ સમયે અનેક ગુણાકાર અને વિભાગો હોય, તો તે કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.
અને અંતે, અમે સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ છીએ. ફરીથી, કોઈપણ ક્રમમાં.
પરંતુ: કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન બદલામાં કરવામાં આવે છે!
જો ઘણા કૌંસ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો આપણે પહેલા દરેક કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી તેમને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરીએ છીએ.
જો કૌંસની અંદર વધુ કૌંસ હોય તો શું? સારું, ચાલો વિચારીએ: કૌંસની અંદર કેટલીક અભિવ્યક્તિ લખેલી છે. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે પ્રથમ શું કરવું જોઈએ? તે સાચું છે, કૌંસની ગણતરી કરો. સારું, અમે તેને શોધી કાઢ્યું: પહેલા આપણે આંતરિક કૌંસની ગણતરી કરીએ છીએ, પછી બાકીનું બધું.
તેથી, ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ માટેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે (હાલની ક્રિયા લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે, એટલે કે, જે ક્રિયા હું અત્યારે કરી રહ્યો છું):
ઠીક છે, તે બધું સરળ છે.
પરંતુ આ અક્ષરો સાથેની અભિવ્યક્તિ સમાન નથી?
ના, તે જ છે! ફક્ત અંકગણિત કામગીરીને બદલે, તમારે બીજગણિતની ક્રિયાઓ કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ ક્રિયાઓ: સમાન લાવવું, અપૂર્ણાંક ઉમેરવું, અપૂર્ણાંક ઘટાડવું, વગેરે. માત્ર એટલો જ તફાવત ફેક્ટરિંગ બહુપદીની ક્રિયા હશે (અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ). મોટેભાગે, ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે, તમારે I નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અથવા સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવાની જરૂર છે.
સામાન્ય રીતે અમારો ધ્યેય અભિવ્યક્તિને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે.
ઉદાહરણ તરીકે:
ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ.
1) પ્રથમ, અમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ. ત્યાં આપણી પાસે અપૂર્ણાંકનો તફાવત છે, અને અમારો ધ્યેય તેને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે. તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ:
આ અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવવી અશક્ય છે અહીં તમામ પરિબળો પ્રાથમિક છે (શું તમને હજુ પણ યાદ છે કે આનો અર્થ શું છે?).
2) અમને મળે છે:
અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર: શું સરળ હોઈ શકે છે.
3) હવે તમે ટૂંકી કરી શકો છો:
બસ, બસ. કંઈ જટિલ નથી, બરાબર?
બીજું ઉદાહરણ:
અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.
પ્રથમ, તેને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને તે પછી જ ઉકેલ જુઓ.
ઉકેલ:
સૌ પ્રથમ, ચાલો ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરીએ.
પ્રથમ, ચાલો કૌંસમાં અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ, તેથી બે અપૂર્ણાંકને બદલે આપણને એક મળે છે.
પછી આપણે અપૂર્ણાંકનું વિભાજન કરીશું. સારું, ચાલો છેલ્લા અપૂર્ણાંક સાથે પરિણામ ઉમેરીએ.
હું પગલાઓને યોજનાકીય રીતે નંબર આપીશ:
હવે હું તમને પ્રક્રિયા બતાવીશ, વર્તમાન ક્રિયાને લાલ રંગમાં ટિન્ટ કરીને:
અંતે, હું તમને બે ઉપયોગી ટીપ્સ આપીશ:
1. જો ત્યાં સમાન હોય, તો તેઓ તરત જ લાવવા જોઈએ. આપણા દેશમાં જે પણ સમયે સમાન મુદ્દાઓ ઉદભવે છે, તેને તાત્કાલિક લાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
2. આ જ અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે લાગુ પડે છે: ઘટાડવાની તક દેખાય કે તરત જ તેનો લાભ લેવો જોઈએ. અપવાદ એ અપૂર્ણાંકો માટે છે જે તમે ઉમેરો અથવા બાદ કરો છો: જો તેઓ હવે સમાન છેદ ધરાવે છે, તો પછી ઘટાડો પછી માટે છોડી દેવો જોઈએ.
તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે અહીં કેટલાક કાર્યો છે:
અને શરૂઆતમાં શું વચન આપવામાં આવ્યું હતું:
જવાબો:
ઉકેલો (સંક્ષિપ્ત):
જો તમે ઓછામાં ઓછા પ્રથમ ત્રણ ઉદાહરણોનો સામનો કર્યો હોય, તો પછી તમે વિષયમાં નિપુણતા મેળવી લીધી છે.
હવે શીખવા પર!
રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ. સારાંશ અને મૂળભૂત સૂત્રો
મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી:
- સમાન લાવવું: સમાન શબ્દો ઉમેરવા (ઘટાડવા) માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને અક્ષરનો ભાગ સોંપવો પડશે.
- અવયવીકરણ:સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું, તેને લાગુ કરવું વગેરે.
- અપૂર્ણાંક ઘટાડવો: અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે, જે અપૂર્ણાંકના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી.
1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
2) જો અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવો હોય, તો તેને વટાવી શકાય છે.મહત્વપૂર્ણ: માત્ર ગુણક ઘટાડી શકાય છે!
- અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી:
; - અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર:
;
