આંકડાઓમાં સરેરાશ મૂલ્યો. અંકગણિત એટલે સરેરાશ મૂલ્ય માટે ગાણિતિક સંકેત

આર્થિક સંશોધનમાં વપરાતા આંકડાકીય સૂચકોનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ એ સરેરાશ મૂલ્ય છે, જે આંકડાકીય વસ્તીમાં લાક્ષણિકતાની સામાન્યીકૃત માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા છે. સરેરાશ મૂલ્ય વિવિધ લાક્ષણિકતાઓમાંની એક અનુસાર સમાન ઘટનાની સામાન્ય લાક્ષણિકતા પ્રદાન કરે છે. તે વસ્તીના એકમને સોંપેલ આ લાક્ષણિકતાના સ્તરને પ્રતિબિંબિત કરે છે. સરેરાશનો વ્યાપક ઉપયોગ એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે તેમની પાસે સંખ્યાબંધ હકારાત્મક ગુણધર્મો છે જે તેમને અર્થતંત્રમાં ઘટનાઓ અને પ્રક્રિયાઓનું વિશ્લેષણ કરવા માટે અનિવાર્ય સાધન બનાવે છે.

સરેરાશ મૂલ્યની સૌથી મહત્વની મિલકત એ છે કે તે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના તમામ એકમોમાં શું સામાન્ય છે તે પ્રતિબિંબિત કરે છે. વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના વિશેષતા મૂલ્યો ઘણા પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ એક દિશામાં અથવા બીજી દિશામાં વધઘટ થાય છે, જેમાંથી મૂળભૂત અને રેન્ડમ બંને હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, કોર્પોરેશનની સંપૂર્ણ કિંમત તેની નાણાકીય સ્થિતિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે તે જ સમયે, ચોક્કસ દિવસોમાં અને ચોક્કસ એક્સચેન્જો પર, આ શેર, પ્રવર્તમાન સંજોગોને કારણે, ઊંચા અથવા ઓછા દરે વેચી શકાય છે. સરેરાશનો સાર એ હકીકતમાં રહેલો છે કે તે રેન્ડમ પરિબળોની ક્રિયાને કારણે વસ્તીના વ્યક્તિગત એકમોના લાક્ષણિક મૂલ્યોના વિચલનોને રદ કરે છે અને મુખ્ય પરિબળોની ક્રિયાને કારણે થતા ફેરફારોને ધ્યાનમાં લે છે. આ સરેરાશને વ્યક્તિગત એકમોમાં રહેલી વ્યક્તિગત લાક્ષણિકતાઓમાંથી અમૂર્ત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ચાલો સરેરાશનો ઉપયોગ કરવા માટેના કેટલાક સામાન્ય સિદ્ધાંતો જોઈએ.

1. દરેક ચોક્કસ કેસમાં સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરતી વખતે, વ્યક્તિએ જે લાક્ષણિકતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તેના સંબંધ તેમજ ગણતરી માટે ઉપલબ્ધ ડેટાને ધ્યાનમાં લેતા, લાક્ષણિકતાની ગુણાત્મક સામગ્રીમાંથી આગળ વધવું જોઈએ.

2. સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી સૌ પ્રથમ સજાતીય વસ્તીમાંથી થવી જોઈએ. ગુણાત્મક રીતે સજાતીય વસ્તી જૂથ પદ્ધતિ મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે, જેમાં હંમેશા સામાન્યકરણ સૂચકાંકોની સિસ્ટમની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે.

3. એકંદર સરેરાશ જૂથ સરેરાશ દ્વારા સમર્થિત હોવી જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો કહીએ કે વ્યક્તિગત પાકની ઉપજની ગતિશીલતાનું વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે એકંદર સરેરાશ ઉપજ ઘટી રહી છે. જો કે, તે જાણીતું છે કે આ પાકની ઉપજ જમીન, આબોહવા અને અન્ય પરિસ્થિતિઓ પર આધાર રાખે છે અને વ્યક્તિગત વિસ્તારોમાં બદલાય છે. તફાવતો અનુસાર જિલ્લાઓને જૂથબદ્ધ કર્યા પછી અને જૂથ સરેરાશની ગતિશીલતાનું વિશ્લેષણ કરીને, કોઈ શોધી શકે છે કે કેટલાક જિલ્લાઓમાં સરેરાશ ઉપજ કાં તો બદલાઈ નથી અથવા વધી રહી છે, અને સમગ્ર પ્રજાસત્તાક માટે એકંદર સરેરાશમાં ઘટાડો એ વધારાને કારણે છે. આ કૃષિ પાકના કુલ ઉત્પાદનમાં ઓછી ઉપજ ધરાવતા વિસ્તારોના હિસ્સામાં. દેખીતી રીતે, જૂથ સરેરાશની ગતિશીલતા ઉપજમાં ફેરફારોની પેટર્નને વધુ નજીકથી પ્રતિબિંબિત કરે છે, જ્યારે એકંદર સરેરાશની ગતિશીલતા માત્ર એકંદર પરિણામ દર્શાવે છે.

વસ્તી એકમની વાજબી પસંદગી કે જેના માટે સરેરાશ ગણવામાં આવે છે તે જરૂરી છે.

સરેરાશની શ્રેણી તેના ખ્યાલ દ્વારા જાહેર કરી શકાય છે મિલકત વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ ખ્યાલ મુજબ, સરેરાશ, સમગ્ર વસ્તીની સામાન્ય લાક્ષણિકતા હોવાને કારણે, આ વસ્તીના તમામ એકમો સાથે સંકળાયેલ ચોક્કસ મૂલ્ય પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવું જોઈએ. આ મૂલ્યને ફંક્શન તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: (x 1, x 2,…x n).

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં આ મૂલ્ય વાસ્તવિક આર્થિક શ્રેણીને પ્રતિબિંબિત કરે છે, તેથી સરેરાશની નિર્ધારિત મિલકતની વિભાવનાને કેટલીકવાર નિર્ધારિત સૂચકની વિભાવના દ્વારા બદલવામાં આવે છે.

જો ઉપરોક્ત કાર્યમાં તમામ મૂલ્યો x 1, x 2, x n તેમના સરેરાશ મૂલ્ય x͞ દ્વારા બદલવામાં આવે છે, તો આ કાર્યનું મૂલ્ય સમાન રહેવું જોઈએ:

ƒ(x 1 ,x 2 ,…,x n)=ƒ(x͞, x͞, …,x͞)

આ સમાનતાના આધારે, સરેરાશ નક્કી કરવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં, ઘણા કિસ્સાઓમાં સરેરાશ નક્કી કરવું શક્ય છે સરેરાશના પ્રારંભિક ગુણોત્તર દ્વારા(ISS) અથવા તેના તાર્કિક સૂત્ર:

તેથી, ઉદાહરણ તરીકે, એન્ટરપ્રાઇઝના કર્મચારીઓના સરેરાશ પગારની ગણતરી કરવા માટે, કુલ વેતન ભંડોળને કર્મચારીઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવું જરૂરી છે:

સરેરાશના પ્રારંભિક ગુણોત્તરનો અંશ એ તેનું નિર્ધારિત સૂચક છે. સરેરાશ વેતન માટે, આવા નિર્ધારિત સૂચક વેતન ભંડોળ છે. અમારી પાસે કઈ પ્રાથમિક માહિતી છે તેને ધ્યાનમાં લીધા વિના - ભલે આપણે કુલ વેતન ભંડોળ અથવા વેતન અને વ્યક્તિગત હોદ્દા પર કાર્યરત કામદારોની સંખ્યા અથવા અન્ય કોઈપણ પ્રારંભિક ડેટા જાણીએ - કોઈપણ સંજોગોમાં, સરેરાશ વેતન ફક્ત આ પ્રારંભિક ગુણોત્તર સરેરાશ દ્વારા જ મેળવી શકાય છે.

આર્થિક વિશ્લેષણમાં ઉપયોગમાં લેવાતા દરેક સૂચક માટે, સરેરાશની ગણતરી કરવા માટે માત્ર એક સાચો પ્રારંભિક ગુણોત્તર સંકલિત કરી શકાય છે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે બેંકમાં સરેરાશ થાપણની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, તો પ્રારંભિક ગુણોત્તર નીચે મુજબ હશે:

ISS=

ચાલો હવે સરેરાશના પ્રકારો પર વિચાર કરીએ. સરેરાશના પ્રકારની પસંદગી સૂચકની આર્થિક સામગ્રી અને સ્રોત ડેટા દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. દરેક ચોક્કસ કિસ્સામાં, સરેરાશ મૂલ્યોમાંથી એકનો ઉપયોગ થાય છે:

અંકગણિત

હાર્મોનિક

ભૌમિતિક

ચતુર્ભુજ

ઘન, વગેરે.

સૂચિબદ્ધ સરેરાશ વર્ગની છે શામકસરેરાશ અને સામાન્ય સૂત્ર દ્વારા જોડવામાં આવે છે (c ના વિવિધ મૂલ્યો માટે):

જ્યાં x i એ વિચારણા હેઠળની લાક્ષણિકતાનો i-th પ્રકાર છે (i=1͞,k); f i એ i-th વિકલ્પની ચોક્કસ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.

ચાલો પહેલા પાવર એવરેજને ધ્યાનમાં લઈએ.

આંકડાઓમાં સરેરાશ મૂલ્યોનો વ્યાપકપણે ઉપયોગ થાય છે. સરેરાશ મૂલ્યો વ્યાપારી પ્રવૃત્તિના ગુણાત્મક સૂચકાંકોને લાક્ષણિકતા આપે છે: વિતરણ ખર્ચ, નફો, નફાકારકતા, વગેરે.

સરેરાશ - આ સામાન્ય સામાન્યીકરણ તકનીકોમાંની એક છે. સરેરાશના સારની સાચી સમજ બજારના અર્થતંત્રમાં તેનું વિશેષ મહત્વ નક્કી કરે છે, જ્યારે સરેરાશ, વ્યક્તિગત અને અવ્યવસ્થિત દ્વારા, આર્થિક વિકાસની પેટર્નના વલણને ઓળખવા માટે, સામાન્ય અને જરૂરીને ઓળખવા માટે પરવાનગી આપે છે.

સરેરાશ મૂલ્ય - આ સામાન્યીકરણ સૂચકાંકો છે જેમાં અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી ઘટનાની સામાન્ય પરિસ્થિતિઓ અને પેટર્નની અસરો વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

આંકડાકીય સરેરાશની ગણતરી યોગ્ય રીતે આંકડાકીય રીતે સંગઠિત સામૂહિક અવલોકન (સતત અને પસંદગીયુક્ત) માંથી સામૂહિક ડેટાના આધારે કરવામાં આવે છે. જો કે, આંકડાકીય સરેરાશ ઉદ્દેશ્ય અને લાક્ષણિક હશે જો તે ગુણાત્મક રીતે એકરૂપ વસ્તી (સામૂહિક ઘટના) માટે સામૂહિક ડેટામાંથી ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે સહકારી અને રાજ્ય-માલિકીના સાહસોમાં સરેરાશ વેતનની ગણતરી કરો છો, અને પરિણામને સમગ્ર વસ્તી સુધી લંબાવો છો, તો સરેરાશ કાલ્પનિક છે, કારણ કે તે વિજાતીય વસ્તી માટે ગણવામાં આવે છે, અને આવી સરેરાશ તમામ અર્થ ગુમાવે છે.

સરેરાશની મદદથી, અવલોકનના વ્યક્તિગત એકમોમાં એક અથવા બીજા કારણોસર ઉદ્ભવતા લાક્ષણિકતાના મૂલ્યમાં તફાવતને સરળ બનાવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, વેચાણકર્તાની સરેરાશ ઉત્પાદકતા ઘણા કારણો પર આધારિત છે: લાયકાત, સેવાની લંબાઈ, ઉંમર, સેવાનું સ્વરૂપ, આરોગ્ય વગેરે.

સરેરાશ આઉટપુટ સમગ્ર વસ્તીની સામાન્ય મિલકતને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

સરેરાશ મૂલ્ય એ અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોનું પ્રતિબિંબ છે, તેથી, તે આ લાક્ષણિકતા જેવા જ પરિમાણમાં માપવામાં આવે છે.

દરેક સરેરાશ મૂલ્ય કોઈપણ એક લાક્ષણિકતા અનુસાર અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીને દર્શાવે છે. સંખ્યાબંધ આવશ્યક લાક્ષણિકતાઓ અનુસાર અભ્યાસ કરવામાં આવતી વસ્તીની સંપૂર્ણ અને વ્યાપક સમજ મેળવવા માટે, સામાન્ય રીતે સરેરાશ મૂલ્યોની સિસ્ટમ હોવી જરૂરી છે જે વિવિધ ખૂણાઓથી ઘટનાનું વર્ણન કરી શકે.

ત્યાં વિવિધ સરેરાશ છે:

અંકગણિત સરેરાશ;

ભૌમિતિક સરેરાશ;

હાર્મોનિક સરેરાશ;

સરેરાશ ચોરસ;

સરેરાશ કાલક્રમિક.

ચાલો અમુક પ્રકારના સરેરાશ જોઈએ જેનો મોટાભાગે આંકડાઓમાં ઉપયોગ થાય છે.

અંકગણિત સરેરાશ

સરળ અંકગણિત સરેરાશ (અનવેઇટેડ) આ મૂલ્યોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત વિશેષતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના સરવાળો સમાન છે.

લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોને વેરિઅન્ટ કહેવામાં આવે છે અને x(); વસ્તી એકમોની સંખ્યા n દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, લાક્ષણિકતાનું સરેરાશ મૂલ્ય દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે . તેથી, અંકગણિત સરળ સરેરાશ સમાન છે:

સ્વતંત્ર વિતરણ શ્રેણીના ડેટા અનુસાર, તે સ્પષ્ટ છે કે સમાન લાક્ષણિકતા મૂલ્યો (ચલો) ઘણી વખત પુનરાવર્તિત થાય છે. આમ, વિકલ્પ x કુલ 2 વખત આવે છે, અને વિકલ્પ x 16 વખત, વગેરે.

વિતરણ પંક્તિઓમાં લાક્ષણિકતાના સમાન મૂલ્યોની સંખ્યાને આવર્તન અથવા વજન કહેવામાં આવે છે અને તે પ્રતીક n દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

ચાલો એક કામદારના સરેરાશ પગારની ગણતરી કરીએ ઘસવામાં.:

કામદારોના દરેક જૂથ માટે વેતન ભંડોળ વિકલ્પો અને આવર્તનના ઉત્પાદન જેટલું છે, અને આ ઉત્પાદનોનો સરવાળો તમામ કામદારોના કુલ વેતન ભંડોળ આપે છે.

આને અનુરૂપ, ગણતરીઓ સામાન્ય સ્વરૂપમાં રજૂ કરી શકાય છે:

પરિણામી સૂત્રને ભારિત અંકગણિત સરેરાશ કહેવામાં આવે છે.

પ્રક્રિયાના પરિણામે, આંકડાકીય સામગ્રી માત્ર સ્વતંત્ર વિતરણ શ્રેણીના સ્વરૂપમાં જ નહીં, પણ બંધ અથવા ખુલ્લા અંતરાલો સાથે અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીના સ્વરૂપમાં પણ રજૂ કરી શકાય છે.

સમૂહિત ડેટા માટેની સરેરાશની ગણતરી ભારિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

આર્થિક આંકડાઓની પ્રેક્ટિસમાં, કેટલીકવાર જૂથ સરેરાશ અથવા વસ્તીના વ્યક્તિગત ભાગોની સરેરાશ (આંશિક સરેરાશ) નો ઉપયોગ કરીને સરેરાશની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. આવા કિસ્સાઓમાં, જૂથ અથવા ખાનગી સરેરાશને વિકલ્પો (x) તરીકે લેવામાં આવે છે, જેના આધારે એકંદર સરેરાશને સામાન્ય ભારાંકિત અંકગણિત સરેરાશ તરીકે ગણવામાં આવે છે.

અંકગણિત અર્થના મૂળભૂત ગુણધર્મો .

અંકગણિત સરેરાશમાં સંખ્યાબંધ ગુણધર્મો છે:

1. અંકગણિત સરેરાશનું મૂલ્ય લાક્ષણિકતા x ના દરેક મૂલ્યની આવર્તનને n વખત ઘટાડવા અથવા વધારવાથી બદલાશે નહીં.

જો બધી ફ્રીક્વન્સીઝને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત અથવા ગુણાકાર કરવામાં આવે, તો સરેરાશ મૂલ્ય બદલાશે નહીં.

2. લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોના સામાન્ય ગુણકને સરેરાશની નિશાનીથી આગળ લઈ શકાય છે:

3. બે અથવા વધુ જથ્થાના સરવાળા (તફાવત) ની સરેરાશ તેમની સરેરાશના સરવાળા (તફાવત) જેટલી છે:

4. જો x = c, જ્યાં c એ સ્થિર મૂલ્ય છે, તો
.

5. અંકગણિત સરેરાશ x માંથી વિશેષતા X ના મૂલ્યોના વિચલનોનો સરવાળો શૂન્ય બરાબર છે:

હાર્મોનિક સરેરાશ.

અંકગણિત સરેરાશ સાથે, આંકડા હાર્મોનિક સરેરાશનો ઉપયોગ કરે છે, ગુણના વ્યસ્ત મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશના વ્યસ્ત. અંકગણિત સરેરાશની જેમ, તે સરળ અને ભારિત હોઈ શકે છે.

વિવિધતા શ્રેણીની લાક્ષણિકતાઓ, સરેરાશ સાથે, મોડ અને મધ્ય છે.

ફેશન - આ એક લાક્ષણિકતા (ચલ) નું મૂલ્ય છે જે અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીમાં વારંવાર પુનરાવર્તિત થાય છે. ડિસ્ક્રીટ ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સીરિઝ માટે, મોડ એ સૌથી વધુ આવર્તન સાથે વેરિઅન્ટનું મૂલ્ય હશે.

સમાન અંતરાલ સાથે અંતરાલ વિતરણ શ્રેણી માટે, મોડ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

જ્યાં
- મોડ ધરાવતા અંતરાલનું પ્રારંભિક મૂલ્ય;

- મોડલ અંતરાલનું મૂલ્ય;

- મોડલ અંતરાલની આવર્તન;

- મોડલ પહેલાના અંતરાલની આવર્તન;

- મોડલ એક પછી અંતરાલની આવર્તન.

મધ્યક - આ એક વિકલ્પ છે જે વિવિધતા શ્રેણીની મધ્યમાં સ્થિત છે. જો વિતરણ શ્રેણી અલગ હોય અને તેમાં સભ્યોની વિષમ સંખ્યા હોય, તો મધ્યક્રમ ઓર્ડર કરેલ શ્રેણીની મધ્યમાં સ્થિત વિકલ્પ હશે (ક્રમાંકિત શ્રેણી એ ચડતા અથવા ઉતરતા ક્રમમાં વસ્તી એકમોની ગોઠવણી છે).

સરેરાશ(ગણિત અને આંકડાશાસ્ત્રમાં) સંખ્યાઓનો સમૂહ - તેમની સંખ્યા વડે વિભાજિત તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો. તે કેન્દ્રીય વલણના સૌથી સામાન્ય પગલાં પૈકીનું એક છે.

તે પાયથાગોરિયન્સ દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યું હતું (ભૌમિતિક સરેરાશ અને હાર્મોનિક સરેરાશ સાથે).

અંકગણિત સરેરાશના વિશિષ્ટ કિસ્સાઓ સરેરાશ (સામાન્ય વસ્તી) અને નમૂના સરેરાશ (નમૂનો) છે.

પરિચય

ચાલો ડેટાનો સમૂહ સૂચવીએ એક્સ = (x 1 , x 2 , …, x n), પછી નમૂનાનો સરેરાશ સામાન્ય રીતે ચલ (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) પર આડી પટ્ટી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, ઉચ્ચાર " xલીટી સાથે").

ગ્રીક અક્ષર μ નો ઉપયોગ સમગ્ર વસ્તીના અંકગણિત સરેરાશને દર્શાવવા માટે થાય છે. રેન્ડમ ચલ માટે કે જેના માટે સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે, μ છે સંભાવના સરેરાશઅથવા રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા. જો સેટ એક્સસંભવિત સરેરાશ μ સાથે રેન્ડમ સંખ્યાઓનો સંગ્રહ છે, પછી કોઈપણ નમૂના માટે x iઆ સમૂહમાંથી μ = E( x i) આ નમૂનાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

વ્યવહારમાં, μ અને x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) વચ્ચેનો તફાવત એ છે કે μ એ એક લાક્ષણિક ચલ છે કારણ કે તમે સમગ્ર વસ્તીને બદલે નમૂના જોઈ શકો છો. તેથી, જો નમૂનાને અવ્યવસ્થિત રીતે રજૂ કરવામાં આવે છે (સંભાવના સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ), તો પછી x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (પરંતુ μ નહીં) ને નમૂના પર સંભાવના વિતરણ ધરાવતા રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય ( સરેરાશનું સંભવિત વિતરણ).

આ બંને જથ્થાઓ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\Displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

જો એક્સરેન્ડમ ચલ છે, પછી ગાણિતિક અપેક્ષા એક્સજથ્થાના પુનરાવર્તિત માપમાં મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશ તરીકે ગણી શકાય એક્સ. આ મોટી સંખ્યાના કાયદાનું અભિવ્યક્તિ છે. તેથી, નમૂનાના સરેરાશનો ઉપયોગ અજાણ્યા અપેક્ષિત મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે.

તે પ્રાથમિક બીજગણિતમાં સાબિત થયું છે કે સરેરાશ n+ 1 સંખ્યા સરેરાશથી વધુ nસંખ્યાઓ જો અને માત્ર જો નવી સંખ્યા જૂની સરેરાશ કરતા મોટી હોય, ઓછી હોય અને માત્ર જો નવી સંખ્યા સરેરાશ કરતા ઓછી હોય, અને જો નવી સંખ્યા સરેરાશની બરાબર હોય તો જ બદલાતી નથી. વધુ n, નવા અને જૂના સરેરાશ વચ્ચેનો તફાવત જેટલો ઓછો છે.

નોંધ કરો કે પાવર સરેરાશ, કોલમોગોરોવ સરેરાશ, હાર્મોનિક સરેરાશ, અંકગણિત-ભૌમિતિક સરેરાશ અને વિવિધ ભારિત સરેરાશ (દા.ત., ભારિત અંકગણિત સરેરાશ, ભારિત ભૌમિતિક સરેરાશ, ભારિત હાર્મોનિક સરેરાશ) સહિત અન્ય ઘણી "સરેરાશ" ઉપલબ્ધ છે.

ઉદાહરણો

• ત્રણ સંખ્યાઓ માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને 3 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

• ચાર સંખ્યાઓ માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને 4 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

અથવા સરળ: 5+5=10, 10:2. કારણ કે આપણે 2 સંખ્યાઓ ઉમેરી રહ્યા હતા, જેનો અર્થ છે કે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ ઉમેરીએ છીએ, આપણે તે સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.

સતત રેન્ડમ ચલ

સતત વિતરિત જથ્થા માટે f(x) (\displaystyle f(x)), અંતરાલ પર અંકગણિત સરેરાશ [ a ; b ] (\displaystyle ) એ ચોક્કસ ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની કેટલીક સમસ્યાઓ

મજબૂતાઈનો અભાવ

જોકે અંકગણિત માધ્યમનો ઉપયોગ સરેરાશ અથવા કેન્દ્રીય વૃત્તિઓ તરીકે થાય છે, આ ખ્યાલ મજબૂત આંકડાકીય નથી, એટલે કે અંકગણિત સરેરાશ "મોટા વિચલનો" દ્વારા ખૂબ પ્રભાવિત છે. તે નોંધનીય છે કે વિકૃતિના મોટા ગુણાંક સાથેના વિતરણો માટે, અંકગણિત સરેરાશ "માર્ગ" ની વિભાવનાને અનુરૂપ ન હોઈ શકે, અને મજબૂત આંકડાઓમાંથી સરેરાશના મૂલ્યો (ઉદાહરણ તરીકે, મધ્ય) કેન્દ્રનું વધુ સારી રીતે વર્ણન કરી શકે છે. વલણ

એક ઉત્તમ ઉદાહરણ સરેરાશ આવકની ગણતરી છે. અંકગણિત સરેરાશને મધ્યક તરીકે ખોટી રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જે નિષ્કર્ષ તરફ દોરી શકે છે કે ખરેખર કરતાં વધુ આવક ધરાવતા લોકો વધુ છે. "સરેરાશ" આવકનો અર્થ એવો થાય છે કે મોટાભાગના લોકોની આવક આ સંખ્યાની આસપાસ છે. આ "સરેરાશ" (અંકગણિત સરેરાશના અર્થમાં) આવક મોટાભાગના લોકોની આવક કરતા વધારે છે, કારણ કે સરેરાશથી મોટા વિચલન સાથેની ઊંચી આવક અંકગણિતના સરેરાશને ખૂબ જ વિકૃત બનાવે છે (વિપરીત, સરેરાશ આવક આવા ત્રાંસી "પ્રતિરોધ કરે છે"). જો કે, આ "સરેરાશ" આવક સરેરાશ આવકની નજીકના લોકોની સંખ્યા વિશે કંઈ કહેતી નથી (અને મોડલ આવકની નજીકના લોકોની સંખ્યા વિશે કંઈ કહેતી નથી). જો કે, જો તમે "સરેરાશ" અને "મોટા ભાગના લોકો" ની વિભાવનાઓને હળવાશથી લો છો, તો તમે ખોટો તારણ કાઢી શકો છો કે મોટાભાગના લોકોની આવક તેમની વાસ્તવમાં છે તેના કરતા વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મદિના, વોશિંગ્ટનમાં "સરેરાશ" ચોખ્ખી આવકનો અહેવાલ, રહેવાસીઓની તમામ વાર્ષિક ચોખ્ખી આવકના અંકગણિત સરેરાશ તરીકે ગણવામાં આવે છે, જે બિલ ગેટ્સને કારણે આશ્ચર્યજનક રીતે મોટી સંખ્યામાં પેદા કરશે. નમૂનાનો વિચાર કરો (1, 2, 2, 2, 3, 9). અંકગણિત સરેરાશ 3.17 છે, પરંતુ છમાંથી પાંચ મૂલ્યો આ સરેરાશથી નીચે છે.

સંયોજન વ્યાજ

જો નંબરો ગુણાકાર, પણ નહીં ફોલ્ડ, તમારે ભૌમિતિક સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, અંકગણિત સરેરાશનો નહીં. ફાઇનાન્સમાં રોકાણ પરના વળતરની ગણતરી કરતી વખતે મોટેભાગે આ ઘટના બને છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સ્ટોક પ્રથમ વર્ષમાં 10% ઘટ્યો અને બીજામાં 30% વધ્યો, તો તે બે વર્ષમાં "સરેરાશ" વૃદ્ધિની ગણતરી અંકગણિત સરેરાશ (−10% + 30%) / 2 તરીકે કરવી અયોગ્ય છે. = 10%; આ કિસ્સામાં યોગ્ય સરેરાશ સંયોજન વાર્ષિક વૃદ્ધિ દર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે ફક્ત 8.16653826392% ≈ 8.2% વાર્ષિક વૃદ્ધિ દર આપે છે.

આનું કારણ એ છે કે દર વખતે ટકાવારીમાં નવો પ્રારંભિક બિંદુ હોય છે: 30% એટલે 30% પ્રથમ વર્ષની શરૂઆતમાં કિંમત કરતાં ઓછી સંખ્યાથી:જો સ્ટોક $30 થી શરૂ થયો અને 10% ઘટ્યો, તો બીજા વર્ષની શરૂઆતમાં તેની કિંમત $27 છે. જો સ્ટોક 30% વધ્યો, તો બીજા વર્ષના અંતે તેની કિંમત $35.1 હશે. આ વૃદ્ધિની અંકગણિત સરેરાશ 10% છે, પરંતુ 2 વર્ષમાં સ્ટોક માત્ર $5.1 વધ્યો હોવાથી, 8.2% ની સરેરાશ વૃદ્ધિ $35.1 નું અંતિમ પરિણામ આપે છે:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. જો આપણે એ જ રીતે 10% ની અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને વાસ્તવિક મૂલ્ય મળશે નહીં: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

2 વર્ષના અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ: 90% * 130% = 117%, એટલે કે, કુલ વધારો 17% છે, અને સરેરાશ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ 117% ≈ 108.2% છે (\displaystyle (\sqrt (117\%) ))\અંદાજે 108.2\%), એટલે કે 8.2% નો સરેરાશ વાર્ષિક વધારો.

દિશાઓ

ચક્રીય રીતે બદલાતા કેટલાક ચલના અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે (જેમ કે તબક્કો અથવા કોણ), ખાસ કાળજી લેવી જરૂરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1° અને 359° ની સરેરાશ 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180° હશે. આ નંબર બે કારણોસર ખોટો છે.

• પ્રથમ, કોણીય માપો માત્ર 0° થી 360° (અથવા રેડિયનમાં માપવામાં આવે ત્યારે 0 થી 2π સુધી) માટે જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેથી સંખ્યાઓની સમાન જોડી (1° અને −1°) અથવા (1° અને 719°) તરીકે લખી શકાય છે. દરેક જોડીના સરેરાશ મૂલ્યો અલગ હશે: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ વર્તુળ )).
• બીજું, આ કિસ્સામાં, 0° (360° ની સમકક્ષ) નું મૂલ્ય ભૌમિતિક રીતે વધુ સારું સરેરાશ મૂલ્ય હશે, કારણ કે સંખ્યાઓ અન્ય કોઈપણ મૂલ્ય કરતાં 0° થી ઓછી વિચલિત થાય છે (મૂલ્ય 0° માં સૌથી નાનો તફાવત છે). તુલના:
  • સંખ્યા 1° 0° થી માત્ર 1° દ્વારા વિચલિત થાય છે;
  • સંખ્યા 1° 180° બાય 179° ની ગણતરી કરેલ સરેરાશથી વિચલિત થાય છે.

ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ ચક્રીય ચલ માટે સરેરાશ મૂલ્ય કૃત્રિમ રીતે આંકડાકીય શ્રેણીની મધ્યમાં વાસ્તવિક સરેરાશની તુલનામાં ખસેડવામાં આવશે. આને કારણે, સરેરાશની ગણતરી અલગ રીતે કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સૌથી નાનો તફાવત (કેન્દ્ર બિંદુ) સાથેની સંખ્યાને સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉપરાંત, બાદબાકીને બદલે, મોડ્યુલર અંતર (એટલે ​​​​કે, પરિઘ અંતર) નો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1° અને 359° વચ્ચેનું મોડ્યુલર અંતર 2° છે, 358° નહીં (સર્કલ પર 359° અને 360°==0° - એક ડિગ્રી, 0° અને 1° વચ્ચે - પણ 1°, કુલ - 2 °).

સરેરાશ મૂલ્ય

સરેરાશ મૂલ્ય- સંખ્યાઓ અથવા કાર્યોના સમૂહની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ગણિતમાં); - તેમના મૂલ્યોમાં સૌથી નાની અને સૌથી મોટી વચ્ચેની ચોક્કસ સંખ્યા.

મૂળભૂત માહિતી

સરેરાશ સિદ્ધાંતના વિકાસ માટેનો પ્રારંભિક બિંદુ પાયથાગોરસની શાળા દ્વારા પ્રમાણનો અભ્યાસ હતો. તે જ સમયે, સરેરાશ કદ અને પ્રમાણના ખ્યાલો વચ્ચે કોઈ કડક તફાવત કરવામાં આવ્યો ન હતો. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ - ગેરાસના નિકોમાકસ (1લી સદીના અંતમાં - 2જી સદીની શરૂઆતમાં) અને એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના પપ્પસ (3જી સદી એડી) દ્વારા અંકગણિતના દૃષ્ટિકોણથી પ્રમાણના સિદ્ધાંતના વિકાસ માટે નોંધપાત્ર પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું. સરેરાશની વિભાવનાના વિકાસમાં પ્રથમ તબક્કો એ તબક્કો છે જ્યારે સરેરાશને સતત પ્રમાણના કેન્દ્રિય સભ્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે. પરંતુ પ્રગતિના કેન્દ્રિય મૂલ્ય તરીકે સરેરાશની વિભાવના, n પદોના ક્રમના સંબંધમાં સરેરાશની વિભાવના મેળવવાનું શક્ય બનાવતું નથી, પછી ભલે તેઓ એકબીજાને અનુસરતા હોય. આ હેતુ માટે સરેરાશના ઔપચારિક સામાન્યીકરણનો આશરો લેવો જરૂરી છે. આગળનો તબક્કો એ સતત પ્રમાણથી પ્રગતિમાં સંક્રમણ છે - અંકગણિત, ભૌમિતિક અને હાર્મોનિક ( અંગ્રેજી).

આંકડાશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં, પ્રથમ વખત, સરેરાશનો વ્યાપક ઉપયોગ અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક ડબલ્યુ પેટ્ટીના નામ સાથે સંકળાયેલો છે. ડબલ્યુ. પેટી એ સરેરાશ મૂલ્યને આર્થિક શ્રેણીઓ સાથે જોડીને આંકડાકીય અર્થ આપવાનો પ્રયાસ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિઓમાંના એક હતા. પરંતુ પેટીએ સરેરાશ કદના ખ્યાલનું વર્ણન કર્યું નથી અથવા તેને અલગ પાડ્યો નથી. A. Quetelet ને સરેરાશના સિદ્ધાંતના સ્થાપક માનવામાં આવે છે. એવરેજના સિદ્ધાંતને સતત વિકસાવનાર પ્રથમ વ્યક્તિઓમાંના એક હતા, અને તેના માટે ગાણિતિક આધાર પૂરો પાડવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. A. Quetelet એ બે પ્રકારની સરેરાશને અલગ પાડી - વાસ્તવિક સરેરાશ અને અંકગણિત સરેરાશ. વાસ્તવમાં, સરેરાશ એ વસ્તુ, સંખ્યા, જે વાસ્તવમાં અસ્તિત્વમાં છે તે દર્શાવે છે. વાસ્તવમાં, સરેરાશ અથવા આંકડાકીય સરેરાશ સમાન ગુણવત્તાની ઘટનાઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જે તેમના આંતરિક અર્થમાં સમાન હોય છે. અંકગણિત સરેરાશ એ એવી સંખ્યાઓ છે જે ઘણી સંખ્યાઓનો સૌથી નજીકનો સંભવિત વિચાર આપે છે, અલગ છે, જોકે સજાતીય છે.

દરેક પ્રકારની સરેરાશ કાં તો સરળ સ્વરૂપમાં અથવા ભારિત સરેરાશના સ્વરૂપમાં દેખાઈ શકે છે. મધ્યમ સ્વરૂપની યોગ્ય પસંદગી અભ્યાસના પદાર્થની ભૌતિક પ્રકૃતિને અનુસરે છે. સામાન્ય સરેરાશ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જો લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોનું સરેરાશ પુનરાવર્તન ન થાય. જ્યારે વ્યવહારુ સંશોધનમાં, અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના એકમોમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો ઘણી વખત જોવા મળે છે, ત્યારે લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોની પુનરાવર્તનની આવર્તન શક્તિ સરેરાશની ગણતરીના સૂત્રોમાં હાજર હોય છે. આ કિસ્સામાં, તેમને ભારિત સરેરાશ સૂત્રો કહેવામાં આવે છે.

ગણિતમાં સરેરાશનો વંશવેલો

• ફંક્શનનું સરેરાશ મૂલ્ય એ ઘણી રીતે વ્યાખ્યાયિત એક ખ્યાલ છે.
  • વધુ વિશિષ્ટ રીતે, પરંતુ મનસ્વી કાર્યોના આધારે, કોલમોગોરોવનો અર્થ સંખ્યાઓના સમૂહ માટે નક્કી કરવામાં આવે છે.
    • પાવર એવરેજ ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha )) સાથે કોલમોગોરોવ સરેરાશનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. વિવિધ ડિગ્રીઓની સરેરાશ સરેરાશ વિશે અસમાનતા દ્વારા જોડાયેલ છે. સૌથી સામાન્ય ખાસ કિસ્સાઓ:
      1. અંકગણિત સરેરાશ (α = 1 (\displaystyle \alpha =1));
      2. સરેરાશ ચોરસ (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
      3. હાર્મોનિક સરેરાશ (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
      4. α → 0 (\displaystyle \alpha \to 0) તરીકે સાતત્ય દ્વારા ભૌમિતિક સરેરાશને વધુ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x) માટે કોલમોગોરોવ સરેરાશ પણ છે.
• ભારિત સરેરાશ એ મનસ્વી રેખીય સંયોજનના કિસ્સામાં સરેરાશનું સામાન્યીકરણ છે:
  • ભારિત અંકગણિત સરેરાશ.
  • ભારિત ભૌમિતિક સરેરાશ.
  • ભારિત હાર્મોનિક સરેરાશ.
• સરેરાશ કાલક્રમિક - સમાન એકમ અથવા સમગ્ર વસ્તી માટે લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોને સામાન્ય બનાવે છે, સમય જતાં બદલાતા રહે છે.
• લઘુગણક સરેરાશ, સૂત્ર a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))( \ ln(a_(1)/a_(2))))), હીટ એન્જિનિયરિંગમાં વપરાય છે
• GOST 27905.4-88 અનુસાર ઇલેક્ટ્રિકલ ઇન્સ્યુલેશનમાં નિર્ધારિત લઘુગણક સરેરાશ, l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. . . + . . l o g a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...a_(n)))) (કોઈપણ આધાર માટે લઘુગણક)

સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડામાં

• નોનપેરામેટ્રિક અર્થ - મોડ, મધ્ય.
• રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલું જ છે. અનિવાર્યપણે, તે તેના વિતરણ કાર્યનું સરેરાશ મૂલ્ય છે.

પ્રતીક

પ્રતીક(પ્રાચીન ગ્રીક σύμβολον - “ (પરંપરાગત) ચિહ્ન, સંકેત") એક નિશાની છે, એક પદાર્થ અથવા પ્રાણીની છબી, ઑબ્જેક્ટની ગુણવત્તા સૂચવવા માટે; કોઈપણ વિભાવનાઓ, વિચારો, ઘટનાઓનું પરંપરાગત સંકેત 2.

કેટલીકવાર નિશાની અને પ્રતીક અલગ હોય છે કારણ કે, નિશાનીથી વિપરીત, પ્રતીકને વધુ ઊંડા સામાજિક-માનક (આધ્યાત્મિક) પરિમાણ તરીકે આભારી છે.

વાર્તા

પ્રતીકની વિભાવના કલાત્મક છબી, રૂપક અને સરખામણી જેવી શ્રેણીઓ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રાચીનકાળના અંતમાં, ક્રોસ ખ્રિસ્તી ધર્મનું પ્રતીક બની ગયું હતું[ અપ્રતિષ્ઠિત સ્ત્રોત?]. આધુનિક સમયમાં, સ્વસ્તિક રાષ્ટ્રીય સમાજવાદનું પ્રતીક બની ગયું છે.

F. I. Girenok એ હકીકત તરફ ધ્યાન દોર્યું કે આધુનિક સંસ્કૃતિમાં "ચિહ્ન અને પ્રતીક વચ્ચેનો તફાવત" ભૂંસી નાખવામાં આવ્યો છે, જ્યારે પ્રતીકની વિશિષ્ટતા એ અતિવાસ્તવનો સંકેત છે.

એ.એફ. લોસેવે પ્રતીકને "વિચાર અને વસ્તુની નોંધપાત્ર ઓળખ" તરીકે વ્યાખ્યાયિત કર્યું. દરેક પ્રતીકમાં એક છબી હોય છે, પરંતુ તેને ઘટાડી શકાતી નથી, કારણ કે તે ચોક્કસ અર્થની હાજરી સૂચવે છે, જે છબી સાથે અવિભાજ્ય રીતે જોડાય છે, પરંતુ તેની સમાન નથી. છબી અને અર્થ પ્રતીકના બે ઘટકો બનાવે છે, જે એકબીજા વિના અકલ્પ્ય છે. તેથી, પ્રતીકો માત્ર અર્થઘટનમાં પ્રતીકો તરીકે અસ્તિત્વ ધરાવે છે (અને વસ્તુઓ તરીકે નહીં).

20મી સદીમાં, નિયો-કાન્ટિયન કેસિરરે પ્રતીકની વિભાવનાનું સામાન્યીકરણ કર્યું અને ભાષા, પૌરાણિક કથા, ધર્મ, કલા અને વિજ્ઞાન જેવી સાંસ્કૃતિક ઘટનાઓના વિશાળ વર્ગને "પ્રતિકાત્મક સ્વરૂપો" તરીકે વર્ગીકૃત કર્યા, જેના દ્વારા માણસ તેની આસપાસની અરાજકતાને ગોઠવે છે. અગાઉ, કાન્તે દલીલ કરી હતી કે કલા, પ્રતિનિધિત્વની સાહજિક રીત હોવાથી, પ્રકૃતિમાં પ્રતીકાત્મક છે.

સૂર્ય કિરણોના વર્તુળમાં લખેલા પેન્ટાગ્રામનો અર્થ શું થાય છે તેમાં રસ છે?

કાકા નિકિતા

અન્યના જવાબો વાંચ્યા પછી, તે તરત જ સ્પષ્ટ થાય છે કે લોકો તરત જ પેન્ટાગ્રામમાં શેતાનનું પ્રતીક જુએ છે))) લોકો જાણવા માંગતા નથી, શેતાનનો ડર તેમના જ્ઞાનને બદલે છે.
પેન્ટાગ્રામ, અને વર્તુળમાં પણ, એક પ્રાચીન રક્ષણાત્મક નિશાની છે. અને સાચો પેન્ટાગ્રામ બંને છેડે ઉભો છે. હું ચિત્રમાં જોઉં છું તેમ, ચિત્રમાં કોઈ ઊંધી પેન્ટાગ્રામ નથી. માત્ર એક વર્તુળમાં એક સરળ પેન્ટાગ્રામ, કિરણો, ટેનટેક્લ્સ, જ્યોત (?)
સિદ્ધાંતમાં, આ માત્ર એક રક્ષણાત્મક સંકેત નથી, પણ સામગ્રી પર આધ્યાત્મિક વિજયનું પ્રતીક પણ છે. આ ચાર રસાયણ તત્વો છે, વત્તા ઈથર.

અને ઊંધી પેન્ટાગ્રામ વિરુદ્ધનું પ્રતીક છે - આધ્યાત્મિક પર સામગ્રીની જીત. અને સામાન્ય રીતે, શેતાનવાદને શેતાનની ઉપાસના સાથે મૂંઝવણમાં ન આવવી જોઈએ. આ બે અલગ-અલગ વસ્તુઓ છે અને લોકો એક જ બ્રશથી દરેક વસ્તુને રંગવાનું પસંદ કરે છે, કારણ કે તેમની પાસે જ્ઞાન નથી, પરંતુ ડર, અનુમાન, અનુમાન અને કલ્પનાઓ છે.

એકલો કાગડો

20મી સદીના સૌથી પ્રસિદ્ધ જાદુગર, એલિસ્ટર ક્રોલીએ, ઊંધી પેન્ટાગ્રામનું અર્થઘટન સૂર્યના કિરણોના રૂપમાં દર્શાવતી ભાવના તરીકે કર્યું જે દ્રવ્ય-પૃથ્વીને સજીવ કરે છે. અન્ય વિશિષ્ટતાવાદીઓ દલીલ કરે છે કે ઊંધી પેન્ટાગ્રામ સ્વર્ગમાંથી પૃથ્વી પર ઊર્જા ઠાલવે છે અને તેથી તે ભૌતિક વૃત્તિઓનું પ્રતીક છે, જ્યારે સામાન્ય પેન્ટાગ્રામ ઊર્જાને ઉપર તરફ દિશામાન કરે છે, જે માનવતાની આધ્યાત્મિક શોધનું પ્રતીક છે.

ઓહ, મેસન્સ પાસે ઘણાં વિવિધ પ્રતીકો છે...
મોટે ભાગે, આ કંઈક કબાલીસ્ટિક છે.
અને તમને શેતાની પ્રતીકોમાં કેમ રસ છે? ! તેને તમારા માથામાંથી બહાર કાઢો - અને તે તેનો અંત છે, જેમ તેઓ કહે છે.

) અને નમૂના-નો અર્થ(ઓ).

જ્ઞાનકોશીય YouTube

• 1 / 5

  ચાલો ડેટાનો સમૂહ સૂચવીએ એક્સ = (x 1 , x 2 , …, x n), પછી નમૂનાનો અર્થ સામાન્ય રીતે ચલ પર આડી પટ્ટી દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (ઉચ્ચાર " xલીટી સાથે").

  ગ્રીક અક્ષર μ નો ઉપયોગ સમગ્ર વસ્તીના અંકગણિત સરેરાશને દર્શાવવા માટે થાય છે. રેન્ડમ ચલ માટે કે જેના માટે સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે, μ છે સંભાવના સરેરાશઅથવા રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા. જો સેટ એક્સસંભવિત સરેરાશ μ સાથે રેન્ડમ સંખ્યાઓનો સંગ્રહ છે, પછી કોઈપણ નમૂના માટે x iઆ સમૂહમાંથી μ = E( x i) આ નમૂનાની ગાણિતિક અપેક્ષા છે.

  વ્યવહારમાં, μ અને વચ્ચેનો તફાવત x ¯ (\Displaystyle (\bar (x)))તે μ એ લાક્ષણિક ચલ છે કારણ કે તમે સમગ્ર વસ્તીને બદલે નમૂના જોઈ શકો છો. તેથી, જો નમૂના રેન્ડમ છે (સંભાવના સિદ્ધાંતની દ્રષ્ટિએ), તો x ¯ (\Displaystyle (\bar (x)))(પરંતુ μ નહીં) નમૂના પર સંભાવના વિતરણ ધરાવતા રેન્ડમ ચલ તરીકે ગણી શકાય (માધ્યમની સંભાવનાનું વિતરણ).

  આ બંને જથ્થાઓ સમાન રીતે ગણવામાં આવે છે:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\Displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

  ઉદાહરણો

  • ત્રણ સંખ્યાઓ માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને 3 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . (\પ્રદર્શન શૈલી (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)
  • ચાર સંખ્યાઓ માટે, તમારે તેમને ઉમેરવાની અને 4 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\પ્રદર્શન શૈલી (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

  અથવા સરળ: 5+5=10, 10:2. કારણ કે આપણે 2 સંખ્યાઓ ઉમેરી રહ્યા હતા, જેનો અર્થ છે કે આપણે કેટલી સંખ્યાઓ ઉમેરીએ છીએ, આપણે તે સંખ્યા વડે ભાગીએ છીએ.

  સતત રેન્ડમ ચલ

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

  સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની કેટલીક સમસ્યાઓ

  મજબૂતાઈનો અભાવ

  જોકે અંકગણિત માધ્યમનો ઉપયોગ સરેરાશ અથવા કેન્દ્રીય વૃત્તિઓ તરીકે થાય છે, આ ખ્યાલ મજબૂત આંકડાકીય નથી, એટલે કે અંકગણિત સરેરાશ "મોટા વિચલનો" દ્વારા ખૂબ પ્રભાવિત છે. તે નોંધનીય છે કે વિકૃતિના મોટા ગુણાંક સાથેના વિતરણો માટે, અંકગણિત સરેરાશ "માર્ગ" ની વિભાવનાને અનુરૂપ ન હોઈ શકે, અને મજબૂત આંકડાઓમાંથી સરેરાશના મૂલ્યો (ઉદાહરણ તરીકે, મધ્ય) કેન્દ્રનું વધુ સારી રીતે વર્ણન કરી શકે છે. વલણ

  એક ઉત્તમ ઉદાહરણ સરેરાશ આવકની ગણતરી છે. અંકગણિત સરેરાશને મધ્યક તરીકે ખોટી રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે, જે નિષ્કર્ષ તરફ દોરી શકે છે કે ખરેખર કરતાં વધુ આવક ધરાવતા લોકો વધુ છે. "સરેરાશ" આવકનો અર્થ એવો થાય છે કે મોટાભાગના લોકોની આવક આ સંખ્યાની આસપાસ છે. આ "સરેરાશ" (અંકગણિત સરેરાશના અર્થમાં) આવક મોટાભાગના લોકોની આવક કરતા વધારે છે, કારણ કે સરેરાશથી મોટા વિચલન સાથેની ઊંચી આવક અંકગણિતના સરેરાશને ખૂબ જ વિકૃત બનાવે છે (વિપરીત, સરેરાશ આવક આવા ત્રાંસી "પ્રતિરોધ કરે છે"). જો કે, આ "સરેરાશ" આવક સરેરાશ આવકની નજીકના લોકોની સંખ્યા વિશે કંઈ કહેતી નથી (અને મોડલ આવકની નજીકના લોકોની સંખ્યા વિશે કંઈ કહેતી નથી). જો કે, જો તમે "સરેરાશ" અને "મોટા ભાગના લોકો" ની વિભાવનાઓને હળવાશથી લો છો, તો તમે ખોટો તારણ કાઢી શકો છો કે મોટાભાગના લોકોની આવક તેમની વાસ્તવમાં છે તેના કરતા વધારે છે. ઉદાહરણ તરીકે, મદિના, વોશિંગ્ટનમાં "સરેરાશ" ચોખ્ખી આવકનો અહેવાલ, રહેવાસીઓની તમામ વાર્ષિક ચોખ્ખી આવકની અંકગણિત સરેરાશ તરીકે ગણવામાં આવે છે, જે બિલ ગેટ્સને કારણે આશ્ચર્યજનક રીતે મોટી સંખ્યામાં ઉપજશે. નમૂનાનો વિચાર કરો (1, 2, 2, 2, 3, 9). અંકગણિત સરેરાશ 3.17 છે, પરંતુ છમાંથી પાંચ મૂલ્યો આ સરેરાશથી નીચે છે.

  સંયોજન વ્યાજ

  જો નંબરો ગુણાકાર, પણ નહીં ફોલ્ડ, તમારે ભૌમિતિક સરેરાશનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, અંકગણિત સરેરાશનો નહીં. ફાઇનાન્સમાં રોકાણ પરના વળતરની ગણતરી કરતી વખતે મોટેભાગે આ ઘટના બને છે.

  ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ સ્ટોક પ્રથમ વર્ષમાં 10% ઘટ્યો અને બીજામાં 30% વધ્યો, તો તે બે વર્ષમાં "સરેરાશ" વૃદ્ધિની ગણતરી અંકગણિત સરેરાશ (−10% + 30%) / 2 તરીકે કરવી અયોગ્ય છે. = 10%; આ કિસ્સામાં યોગ્ય સરેરાશ સંયોજન વાર્ષિક વૃદ્ધિ દર દ્વારા આપવામાં આવે છે, જે ફક્ત 8.16653826392% ≈ 8.2% વાર્ષિક વૃદ્ધિ દર આપે છે.

  આનું કારણ એ છે કે દર વખતે ટકાવારીમાં નવો પ્રારંભિક બિંદુ હોય છે: 30% એટલે 30% પ્રથમ વર્ષની શરૂઆતમાં કિંમત કરતાં ઓછી સંખ્યાથી:જો સ્ટોક $30 થી શરૂ થયો અને 10% ઘટ્યો, તો બીજા વર્ષની શરૂઆતમાં તેની કિંમત $27 છે. જો સ્ટોક 30% વધ્યો, તો બીજા વર્ષના અંતે તેની કિંમત $35.1 હશે. આ વૃદ્ધિની અંકગણિત સરેરાશ 10% છે, પરંતુ 2 વર્ષમાં સ્ટોક માત્ર $5.1 વધ્યો હોવાથી, 8.2% ની સરેરાશ વૃદ્ધિ $35.1 નું અંતિમ પરિણામ આપે છે:

  [$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. જો આપણે એ જ રીતે 10% ની અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરીએ, તો આપણને વાસ્તવિક મૂલ્ય મળશે નહીં: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

  2 વર્ષના અંતે ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ: 90% * 130% = 117%, એટલે કે કુલ વધારો 17% છે, અને સરેરાશ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ 117% ≈ 108.2% (\Displaystyle (\sqrt (117\%))\અંદાજે 108.2%), એટલે કે 8.2% નો સરેરાશ વાર્ષિક વધારો આ સંખ્યા બે કારણોસર ખોટી છે.

  ઉપરોક્ત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ ચક્રીય ચલ માટે સરેરાશ મૂલ્ય કૃત્રિમ રીતે આંકડાકીય શ્રેણીની મધ્યમાં વાસ્તવિક સરેરાશની તુલનામાં ખસેડવામાં આવશે. આને કારણે, સરેરાશની ગણતરી અલગ રીતે કરવામાં આવે છે, એટલે કે, સૌથી નાનો તફાવત (કેન્દ્ર બિંદુ) સાથેની સંખ્યાને સરેરાશ મૂલ્ય તરીકે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઉપરાંત, બાદબાકીને બદલે, મોડ્યુલર અંતર (એટલે ​​​​કે, પરિઘ અંતર) નો ઉપયોગ થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1° અને 359° વચ્ચેનું મોડ્યુલર અંતર 2° છે, 358° નહીં (સર્કલ પર 359° અને 360°==0° - એક ડિગ્રી, 0° અને 1° વચ્ચે - પણ 1°, કુલ - 2 °).

  સરેરાશ મૂલ્યોનો સાર અને અર્થ.

  સંપૂર્ણ અને સંબંધિત મૂલ્યો.

  જૂથોના પ્રકાર.

  જૂથોની મદદથી હલ કરેલા કાર્યોના આધારે, નીચેના પ્રકારોને અલગ પાડવામાં આવે છે:

  ટાઇપોલોજીકલ

  માળખાકીય

  વિશ્લેષણાત્મક

  ટાઇપોલોજીનું મુખ્ય કાર્ય એ છે કે ગુણાત્મક સંબંધો માટે સમાનતા ધરાવતા જૂથોને ઓળખીને સામાજિક-આર્થિક ઘટનાનું વર્ગીકરણ કરવું.

  ગુણાત્મક એકરૂપતાને એ અર્થમાં સમજવામાં આવે છે કે, જે મિલકતનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તેના સંદર્ભમાં, વસ્તીના તમામ એકમો વિકાસના સમાન કાયદાનું પાલન કરે છે. દાખ્લા તરીકે:આર્થિક ક્ષેત્રોના સાહસોનું જૂથીકરણ.

  સંપૂર્ણ મૂલ્ય એ એક સૂચક છે જે સામાજિક-આર્થિક ઘટનાના કદને વ્યક્ત કરે છે.

  આંકડાઓમાં સંબંધિત મૂલ્ય એ એક સૂચક છે જે ઘટના વચ્ચેના જથ્થાત્મક સંબંધને વ્યક્ત કરે છે. તે એક સંપૂર્ણ મૂલ્યને બીજા સંપૂર્ણ મૂલ્ય દ્વારા વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે. આપણે જેની સાથે સરખામણી કરીએ છીએ તે જથ્થા કહેવાય છે આધારઅથવા સરખામણી આધાર.

  સંપૂર્ણ જથ્થાને હંમેશા નામ આપવામાં આવે છે.

  સંબંધિત મૂલ્યો ગુણાંક, ટકાવારી, પીપીએમ, વગેરેમાં વ્યક્ત થાય છે.

  સાપેક્ષ મૂલ્ય બતાવે છે કે કેટલી વખત, અથવા કેટલી ટકાવારી દ્વારા, તુલનાત્મક મૂલ્ય સરખામણીના આધાર કરતા વધારે કે ઓછું છે.

  આંકડાઓમાં, 8 પ્રકારના સંબંધિત જથ્થાઓ છે:

  સરેરાશ એ સૌથી સામાન્ય સારાંશ આંકડાઓમાંનું એક છે. તેઓ લઘુમતી એકમો ધરાવતી આંકડાકીય વસ્તીને એક નંબર સાથે દર્શાવવાનું લક્ષ્ય રાખે છે. સરેરાશ મોટી સંખ્યાના કાયદા સાથે નજીકથી સંબંધિત છે. આ અવલંબનનો સાર એ હકીકતમાં રહેલો છે કે મોટી સંખ્યામાં અવલોકનો સાથે, સામાન્ય આંકડાઓમાંથી રેન્ડમ વિચલનો એકબીજાને રદ કરે છે અને, સરેરાશ, આંકડાકીય પેટર્ન વધુ સ્પષ્ટ રીતે દેખાય છે.

  પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરેરાશનીચેના મુખ્ય કાર્યો હલ કરવામાં આવે છે:

  1. ઘટનાના વિકાસના સ્તરની લાક્ષણિકતાઓ.

  2. બે અથવા વધુ સ્તરોની સરખામણી.

  3. સામાજિક-આર્થિક ઘટનાના આંતરસંબંધોનો અભ્યાસ.

  4. અવકાશમાં સામાજિક-આર્થિક ઘટનાના સ્થાનનું વિશ્લેષણ.

  આ સમસ્યાઓના ઉકેલ માટે, આંકડાકીય પદ્ધતિએ વિવિધ પ્રકારની સરેરાશ વિકસાવી છે.

  અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિને સ્પષ્ટ કરવા માટે, અમે નીચેના સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

  X - અંકગણિત ચિહ્ન

  X (X1, X2, ... X3) - ચોક્કસ લાક્ષણિકતાના પ્રકારો

  n - વસ્તી એકમોની સંખ્યા

  વિશેષતાનું સરેરાશ મૂલ્ય

  સ્ત્રોત ડેટાના આધારે, અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી બે રીતે કરી શકાય છે:

  1. જો આંકડાકીય અવલોકન ડેટા જૂથબદ્ધ ન હોય, અથવા જૂથબદ્ધ વિકલ્પોમાં સમાન ફ્રીક્વન્સી હોય, તો સરળ અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

  2. જો ડેટામાં જૂથબદ્ધ ફ્રીક્વન્સીઝ અલગ હોય, તો ભારિત અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવામાં આવે છે:

  

  વિકલ્પોની સંખ્યા (આવર્તન).

  ફ્રીક્વન્સીઝનો સરવાળો

  અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી અલગ અને અંતરાલ વિવિધતા શ્રેણીમાં અલગ રીતે કરવામાં આવે છે.

  અલગ શ્રેણીમાં, લક્ષણના પ્રકારોને ફ્રીક્વન્સીઝ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, આ ઉત્પાદનોનો સરવાળો કરવામાં આવે છે, અને પરિણામી ઉત્પાદનોનો સરવાળો ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

  ચાલો એક અલગ શ્રેણીમાં અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લઈએ:

  અંતરાલ શ્રેણીમાં, એક લાક્ષણિકતાનું મૂલ્ય આપવામાં આવે છે, જેમ કે જાણીતું છે, અંતરાલોના સ્વરૂપમાં, તેથી, અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરતા પહેલા, તમારે અંતરાલ શ્રેણીમાંથી એક અલગમાં ખસેડવાની જરૂર છે.

  અનુરૂપ અંતરાલોની મધ્યનો Xi વિકલ્પો તરીકે ઉપયોગ થાય છે. તેઓને નીચલા અને ઉપલા સીમાઓના અડધા સરવાળા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

  જો કોઈ અંતરાલમાં નીચી મર્યાદા ન હોય, તો તેનું મધ્યમ ઉપલી મર્યાદા અને નીચેના અંતરાલોના અડધા મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવત તરીકે નક્કી કરવામાં આવે છે. ઉપલી મર્યાદાઓની ગેરહાજરીમાં, અંતરાલનો મધ્ય ભાગ નીચલી મર્યાદાના સરવાળા તરીકે અને અગાઉના અંતરાલના અડધા મૂલ્ય તરીકે નિર્ધારિત થાય છે. એક અલગ શ્રેણીમાં સંક્રમણ પછી, ઉપર ચર્ચા કરેલ પદ્ધતિ અનુસાર વધુ ગણતરીઓ થાય છે.

  જો વજન fi નિરપેક્ષ રીતે નહીં, પરંતુ સાપેક્ષ રીતે આપવામાં આવે છે, તો પછી અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ હશે:

  

  pi - બંધારણના સંબંધિત મૂલ્યો, તમામ ફ્રીક્વન્સીઝના સરવાળામાં ચલોની ફ્રીક્વન્સીઝ કેટલી ટકાવારી છે તે દર્શાવે છે.

  જો માળખાના સંબંધિત મૂલ્યો ટકાવારીમાં નહીં, પરંતુ શેરમાં ઉલ્લેખિત હોય, તો પછી અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવશે:

  સરેરાશ મૂલ્ય

  સરેરાશ મૂલ્ય- સંખ્યાઓ અથવા કાર્યોના સમૂહની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ગણિતમાં); - તેમના મૂલ્યોમાં સૌથી નાની અને સૌથી મોટી વચ્ચેની ચોક્કસ સંખ્યા.

  મૂળભૂત માહિતી

  સરેરાશ સિદ્ધાંતના વિકાસ માટેનો પ્રારંભિક બિંદુ પાયથાગોરસની શાળા દ્વારા પ્રમાણનો અભ્યાસ હતો. તે જ સમયે, સરેરાશ કદ અને પ્રમાણના ખ્યાલો વચ્ચે કોઈ કડક તફાવત કરવામાં આવ્યો ન હતો. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ - ગેરાસના નિકોમાકસ (1લી સદીના અંતમાં - 2જી સદીની શરૂઆતમાં) અને એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના પપ્પસ (3જી સદી એડી) દ્વારા અંકગણિતના દૃષ્ટિકોણથી પ્રમાણના સિદ્ધાંતના વિકાસ માટે નોંધપાત્ર પ્રોત્સાહન આપવામાં આવ્યું હતું. સરેરાશની વિભાવનાના વિકાસમાં પ્રથમ તબક્કો એ તબક્કો છે જ્યારે સરેરાશને સતત પ્રમાણના કેન્દ્રિય સભ્ય તરીકે ગણવામાં આવે છે. પરંતુ પ્રગતિના કેન્દ્રિય મૂલ્ય તરીકે સરેરાશની વિભાવના, n પદોના ક્રમના સંબંધમાં સરેરાશની વિભાવના મેળવવાનું શક્ય બનાવતું નથી, પછી ભલે તેઓ એકબીજાને અનુસરતા હોય. આ હેતુ માટે સરેરાશના ઔપચારિક સામાન્યીકરણનો આશરો લેવો જરૂરી છે. આગળનો તબક્કો એ સતત પ્રમાણથી પ્રગતિમાં સંક્રમણ છે - અંકગણિત, ભૌમિતિક અને હાર્મોનિક ( અંગ્રેજી).

  આંકડાશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં, પ્રથમ વખત, સરેરાશનો વ્યાપક ઉપયોગ અંગ્રેજી વૈજ્ઞાનિક ડબલ્યુ પેટ્ટીના નામ સાથે સંકળાયેલો છે. ડબલ્યુ. પેટી એ સરેરાશ મૂલ્યને આર્થિક શ્રેણીઓ સાથે જોડીને આંકડાકીય અર્થ આપવાનો પ્રયાસ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિઓમાંના એક હતા. પરંતુ પેટીએ સરેરાશ કદના ખ્યાલનું વર્ણન કર્યું નથી અથવા તેને અલગ પાડ્યો નથી. A. Quetelet ને સરેરાશના સિદ્ધાંતના સ્થાપક માનવામાં આવે છે. એવરેજના સિદ્ધાંતને સતત વિકસાવનાર પ્રથમ વ્યક્તિઓમાંના એક હતા, અને તેના માટે ગાણિતિક આધાર પૂરો પાડવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. A. Quetelet એ બે પ્રકારની સરેરાશને અલગ પાડી - વાસ્તવિક સરેરાશ અને અંકગણિત સરેરાશ. વાસ્તવમાં, સરેરાશ એ વસ્તુ, સંખ્યા, જે વાસ્તવમાં અસ્તિત્વમાં છે તે દર્શાવે છે. વાસ્તવમાં, સરેરાશ અથવા આંકડાકીય સરેરાશ સમાન ગુણવત્તાની ઘટનાઓમાંથી મેળવવામાં આવે છે, જે તેમના આંતરિક અર્થમાં સમાન હોય છે. અંકગણિત સરેરાશ એ એવી સંખ્યાઓ છે જે ઘણી સંખ્યાઓનો સૌથી નજીકનો સંભવિત વિચાર આપે છે, અલગ છે, જોકે સજાતીય છે.

  દરેક પ્રકારની સરેરાશ કાં તો સરળ સ્વરૂપમાં અથવા ભારિત સરેરાશના સ્વરૂપમાં દેખાઈ શકે છે. મધ્યમ સ્વરૂપની યોગ્ય પસંદગી અભ્યાસના પદાર્થની ભૌતિક પ્રકૃતિને અનુસરે છે. સામાન્ય સરેરાશ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે જો લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોનું સરેરાશ પુનરાવર્તન ન થાય. જ્યારે વ્યવહારુ સંશોધનમાં, અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીના એકમોમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતી લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો ઘણી વખત જોવા મળે છે, ત્યારે લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યોની પુનરાવર્તનની આવર્તન શક્તિ સરેરાશની ગણતરીના સૂત્રોમાં હાજર હોય છે. આ કિસ્સામાં, તેમને ભારિત સરેરાશ સૂત્રો કહેવામાં આવે છે.

  ગણિતમાં સરેરાશનો વંશવેલો

  • ફંક્શનનું સરેરાશ મૂલ્ય એ ઘણી રીતે વ્યાખ્યાયિત એક ખ્યાલ છે.
    • વધુ વિશિષ્ટ રીતે, પરંતુ મનસ્વી કાર્યોના આધારે, કોલમોગોરોવનો અર્થ સંખ્યાઓના સમૂહ માટે નક્કી કરવામાં આવે છે.
      • પાવર એવરેજ ϕ (x) = x α (\displaystyle \phi (x)=x^(\alpha )) સાથે કોલમોગોરોવ સરેરાશનો એક વિશિષ્ટ કેસ છે. વિવિધ ડિગ્રીઓની સરેરાશ સરેરાશ વિશે અસમાનતા દ્વારા જોડાયેલ છે. સૌથી સામાન્ય ખાસ કિસ્સાઓ:
        1. અંકગણિત સરેરાશ (α = 1 (\displaystyle \alpha =1));
        2. સરેરાશ ચોરસ (α = 2 (\displaystyle \alpha =2));
        3. હાર્મોનિક સરેરાશ (α = − 1 (\displaystyle \alpha =-1));
        4. α → 0 (\displaystyle \alpha \to 0) તરીકે સાતત્ય દ્વારા ભૌમિતિક સરેરાશને વધુ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે ϕ (x) = log ⁡ x (\displaystyle \phi (x)=\log x) માટે કોલમોગોરોવ સરેરાશ પણ છે.
  • ભારિત સરેરાશ એ મનસ્વી રેખીય સંયોજનના કિસ્સામાં સરેરાશનું સામાન્યીકરણ છે:
    • ભારિત અંકગણિત સરેરાશ.
    • ભારિત ભૌમિતિક સરેરાશ.
    • ભારિત હાર્મોનિક સરેરાશ.
  • સરેરાશ કાલક્રમિક - સમાન એકમ અથવા સમગ્ર વસ્તી માટે લાક્ષણિકતાના મૂલ્યોને સામાન્ય બનાવે છે, સમય જતાં બદલાતા રહે છે.
  • લઘુગણક સરેરાશ, સૂત્ર a ¯ = a 1 − a 2 ln ⁡ (a 1 / a 2) (\textstyle (\bar (a))=(\frac (a_(1)-a_(2))( \ ln(a_(1)/a_(2))))), હીટ એન્જિનિયરિંગમાં વપરાય છે
  • GOST 27905.4-88 અનુસાર ઇલેક્ટ્રિકલ ઇન્સ્યુલેશનમાં નિર્ધારિત લઘુગણક સરેરાશ, l o g a ¯ = log ⁡ a 1 + l o g a 2 + તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. . . + . . l o g a n a 1 + a 2 + . . . + a n (\textstyle log(\bar (a))=(\frac (\log a_(1)+loga_(2)+...loga_(n))(a_(1)+a_( 2)+...a_(n)))) (કોઈપણ આધાર માટે લઘુગણક)

  સંભાવના સિદ્ધાંત અને આંકડામાં

  મુખ્ય લેખ: વિતરણ કેન્દ્ર સૂચકાંકો
  • નોનપેરામેટ્રિક અર્થ - મોડ, મધ્ય.
  • રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલું જ છે. અનિવાર્યપણે, તે તેના વિતરણ કાર્યનું સરેરાશ મૂલ્ય છે.

  કયું પ્રતીક અંકગણિતનો અર્થ દર્શાવે છે?

  ચાલો કહીએ કે સરવાળો કેપિટલ એપ્સીલોન છે...

  કેસેનિયા

  અંકગણિત સરેરાશ એ મર્યાદા છે જેની આસપાસ અવલોકન કરેલ અને અભ્યાસ કરેલ લાક્ષણિકતાઓના વ્યક્તિગત મૂલ્યોને જૂથબદ્ધ કરવામાં આવે છે. આંકડાઓમાં, અંકગણિત સરેરાશ સામાન્ય રીતે લાક્ષણિકતાના વ્યક્તિગત મૂલ્યો (અથવા પ્રયોગના ચોક્કસ પરિણામો) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે - x1, x2, x3, વગેરે દ્વારા, અને લાક્ષણિકતાઓની કુલ સંખ્યા (અથવા પ્રયોગોની સંખ્યા) - n
  મોટી સંખ્યામાં માપન સાથે, હકારાત્મક અને નકારાત્મક રેન્ડમ ભૂલો સમાન રીતે વારંવાર થાય છે. કોઈપણ ભૌતિક જથ્થાના પુનરાવર્તિત માપનથી, તેનું અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્ય નક્કી કરી શકાય છે. પુનરાવર્તિત માપન પણ અંતિમ પરિણામ અને વ્યક્તિગત માપન બંને માટે માપની ચોકસાઈ સ્થાપિત કરવાનું શક્ય બનાવે છે, એટલે કે, માપેલ મૂલ્યનું પ્રાપ્ત પરિણામ આવેલું છે તે સીમાઓ શોધવા માટે.
  ચોક્કસ જથ્થાના n માપ સાથે, આપણે n વિવિધ મૂલ્યો મેળવીએ છીએ. માપેલ મૂલ્યના સાચા મૂલ્યની સૌથી નજીક તમામ માપનો અંકગણિત સરેરાશ હશે.
  જો આપણે વ્યક્તિગત માપને a\, az, a3, ..an દ્વારા દર્શાવીએ, તો માપેલ મૂલ્યનું અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્ય સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
  પી
  n - at + ag + - + D„_\1 a,-
  A _ ------------------
  =Y-^
  ^જે પી
  વ્યક્તિગત માપના મૂલ્યો અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્ય a0 થી નીચેના મૂલ્યો દ્વારા અલગ પડે છે:
  માપેલ જથ્થાના અંકગણિત સરેરાશ મૂલ્ય અને વ્યક્તિગત માપના મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતોના સંપૂર્ણ મૂલ્યો (Da^Dag,...) ને વ્યક્તિગત માપની સંપૂર્ણ ભૂલો કહેવામાં આવે છે. તમામ માપનની સંપૂર્ણ ભૂલોનો અંકગણિત સરેરાશ, જે સંબંધિત માપન ભૂલ નક્કી કરવા અને અંતિમ પરિણામ રેકોર્ડ કરવા માટે જરૂરી છે, તે સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:
  ^-. (2)
  આ ભૂલને સરેરાશ સંપૂર્ણ માપન ભૂલ કહેવામાં આવે છે. નિરપેક્ષ ભૂલોના એક સંકેતને સ્વીકારીને, અમે જાણીજોઈને સૌથી મોટી સંભવિત ભૂલ લઈએ છીએ.
  

  અંકગણિતનો અર્થ શું છે? અંકગણિતનો સરેરાશ કેવી રીતે શોધવો?

  અંકગણિત સરેરાશ માટે ફોર્મ્યુલા?

  એલેક્સ-89

  ઘણી સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ એ આ સંખ્યાઓનો સરવાળો છે જે તેમની સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવે છે.

  x av - અંકગણિત સરેરાશ

  S - સંખ્યાઓનો સરવાળો

  n - સંખ્યાઓની સંખ્યા.

  ઉદાહરણ તરીકે, આપણે 3, 4, 5 અને 6 નંબરોના અંકગણિત સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે.

  આ કરવા માટે, આપણે તેમને ઉમેરવાની અને પરિણામી રકમને 4 વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે:

  (3 + 4 + 5 + 6) : 4 = 18: 4 = 4,5.

  અલસો - શ

  એક ગણિતશાસ્ત્રી તરીકે, મને આ વિષય પરના પ્રશ્નોમાં રસ છે.

  હું મુદ્દાના ઇતિહાસ સાથે પ્રારંભ કરીશ. પ્રાચીન સમયથી સરેરાશ મૂલ્યો વિશે વિચારવામાં આવે છે. અંકગણિત સરેરાશ, ભૌમિતિક સરેરાશ, હાર્મોનિક સરેરાશ. આ ખ્યાલો પ્રાચીન ગ્રીસમાં પાયથાગોરિયનો દ્વારા પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવ્યા હતા.

  અને હવે પ્રશ્ન જે આપણને રુચિ છે. નો અર્થ શું છે સંખ્યાબંધ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ:

  તેથી, સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે, તમારે બધી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની અને પરિણામી રકમને પદોની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાની જરૂર છે.

  સૂત્ર છે:

  
  

  ઉદાહરણ.સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધો: 100, 175, 325.

  ચાલો ત્રણ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ (એટલે ​​​​કે, n ને બદલે 3 હશે; તમારે બધી 3 સંખ્યાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે અને પરિણામી રકમને તેમની સંખ્યા દ્વારા, એટલે કે 3 દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે). અમારી પાસે છે: x=(100+175+325)/3=600/3=200.

  જવાબ: 200.

  અંકગણિતને ગણિતની સૌથી પ્રાથમિક શાખા ગણવામાં આવે છે અને સંખ્યાઓ સાથે સરળ કામગીરીનો અભ્યાસ કરે છે. તેથી, અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટે પણ ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો વ્યાખ્યા સાથે શરૂ કરીએ. અંકગણિત સરેરાશ એ એક મૂલ્ય છે જે દર્શાવે છે કે એક જ પ્રકારની અનેક ક્રમિક ક્રિયાઓ પછી કયો નંબર સત્યની સૌથી નજીક છે. ઉદાહરણ તરીકે, સો મીટર દોડતી વખતે, વ્યક્તિ દર વખતે અલગ સમય બતાવે છે, પરંતુ સરેરાશ મૂલ્ય 12 સેકન્ડની અંદર હશે. આ રીતે અંકગણિત સરેરાશ શોધવું એ ચોક્કસ શ્રેણી (રેસ પરિણામો) માં બધી સંખ્યાઓનો ક્રમિક સરવાળો કરવા અને આ સરવાળાને આ રેસની સંખ્યા (પ્રયત્નો, સંખ્યાઓ) દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે નીચે આવે છે. ફોર્મ્યુલા સ્વરૂપમાં તે આના જેવો દેખાય છે:

  સરીફ = (Х1+Х2+..+Хn)/n

  અંકગણિત સરેરાશ એ કેટલીક સંખ્યાઓ વચ્ચેની સરેરાશ સંખ્યા છે.

  ઉદાહરણ તરીકે, નંબરો 2 અને 4 વચ્ચે, મધ્યમ નંબર 3 છે.

  અંકગણિત સરેરાશ શોધવા માટેનું સૂત્ર છે:

  તમારે બધી સંખ્યાઓ ઉમેરવાની અને આ સંખ્યાઓની સંખ્યા વડે ભાગવાની જરૂર છે:

  

  ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે 3 નંબરો છે: 2, 5 અને 8.

  અંકગણિત અર્થ શોધો:

  X=(2+5+8)/3=15/3=5

  અંકગણિત સરેરાશના ઉપયોગનો અવકાશ ઘણો વિશાળ છે.

  ઉદાહરણ તરીકે, એક સેગમેન્ટ પરના બે બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીને, તમે આ સેગમેન્ટના મધ્યના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધી શકો છો.

  ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સ: (X1,Y1,Z1)-(X2,Y2,Z2).

  ચાલો X3,Y3,Z3 કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આ સેગમેન્ટના મધ્યને દર્શાવીએ.

  અમે દરેક સંકલન માટે અલગથી મધ્યબિંદુ શોધીએ છીએ:

  સુંદર ગ્લેડ

  અંકગણિત સરેરાશ એ સંખ્યાઓ છે જે એકસાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે, પરિણામી જવાબ એ અંકગણિત સરેરાશ છે.

  ઉદાહરણ તરીકે: કાત્યાએ પિગી બેંકમાં 50 રુબેલ્સ, મેક્સિમ 100 રુબેલ્સ અને શાશાએ પિગી બેંકમાં 150 રુબેલ્સ મૂક્યા. પિગી બેંકમાં 50 + 100 + 150 = 300 રુબેલ્સ, હવે અમે આ રકમને ત્રણ દ્વારા વિભાજીત કરીએ છીએ (ત્રણ લોકો પૈસા મૂકે છે). તેથી 300: 3 = 100 રુબેલ્સ. આ 100 રુબેલ્સ અંકગણિતની સરેરાશ હશે, તેમાંના દરેક પિગી બેંકમાં મૂકવામાં આવશે.

  આવું એક સરળ ઉદાહરણ છે: એક વ્યક્તિ માંસ ખાય છે, બીજી વ્યક્તિ કોબી ખાય છે, અને અંકગણિતની રીતે સરેરાશ તેઓ બંને કોબીના રોલ્સ ખાય છે.

  સરેરાશ પગારની ગણતરી એ જ રીતે કરવામાં આવે છે...

  અંકગણિત સરેરાશ એ આપેલની સરેરાશ છે...

  તે. બસ, અમારી પાસે વિવિધ લંબાઈની સંખ્યાબંધ લાકડીઓ છે અને તેમની સરેરાશ કિંમત જાણવા માંગીએ છીએ.

  તે તાર્કિક છે કે આ માટે આપણે તેમને એકસાથે લાવીએ છીએ, લાંબી લાકડી મેળવીએ છીએ, અને પછી તેને જરૂરી સંખ્યામાં ભાગોમાં વહેંચીએ છીએ..

  અહીં અંકગણિતનો અર્થ આવે છે...

  આ રીતે સૂત્ર ઉતરી આવ્યું છે: Sa=(S(1)+..S(n))/n..

  બર્ડી2014

  અંકગણિત સરેરાશ એ તમામ મૂલ્યોનો સરવાળો છે અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે.

  ઉદાહરણ તરીકે નંબરો 2, 3, 5, 6. તમારે તેમને 2+ 3+ 5 + 6 = 16 ઉમેરવાની જરૂર છે

  આપણે 16 ને 4 વડે ભાગીએ છીએ અને જવાબ 4 મળે છે.

  4 એ આ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ છે.

  અઝામાટિક

  અંકગણિત સરેરાશ એ આ સમાન સંખ્યાઓની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત સંખ્યાઓનો સરવાળો છે. અને અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું ખૂબ જ સરળ છે.

  વ્યાખ્યામાંથી નીચે મુજબ, આપણે સંખ્યાઓ લેવી જોઈએ, તેમને ઉમેરવી જોઈએ અને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવી જોઈએ.

  ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ: આપણને 1, 3, 5, 7 નંબરો આપવામાં આવ્યા છે અને આપણે આ સંખ્યાઓનો અંકગણિત સરેરાશ શોધવાની જરૂર છે.

  • પહેલા આ નંબરો ઉમેરો (1+3+5+7) અને 16 મેળવો
  • આપણે પરિણામી પરિણામને 4 (જથ્થા) વડે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે: 16/4 અને પરિણામ 4 મેળવો.

  તેથી, સંખ્યા 1, 3, 5 અને 7 નો અંકગણિત સરેરાશ 4 છે.

  અંકગણિત સરેરાશ - આપેલ સૂચકાંકો વચ્ચેનું સરેરાશ મૂલ્ય.

  તે તમામ સૂચકાંકોના સરવાળાને તેમની સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરીને જોવા મળે છે.

  ઉદાહરણ તરીકે, મારી પાસે 200, 250, 180, 220 અને 230 ગ્રામ વજનના 5 સફરજન છે.

  અમે 1 સફરજનનું સરેરાશ વજન નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:

  • અમે બધા સફરજનના કુલ વજન (તમામ સૂચકાંકોનો સરવાળો) શોધી રહ્યા છીએ - તે 1080 ગ્રામ બરાબર છે,
  • કુલ વજનને સફરજનની સંખ્યા 1080:5 = 216 ગ્રામ વડે વિભાજીત કરો. આ અંકગણિત સરેરાશ છે.

  આંકડાઓમાં આ સૌથી સામાન્ય રીતે વપરાતું સૂચક છે.

  લીલા cheburechek

  અમે આ શાળામાંથી જાણીએ છીએ. ગણિતના સારા શિક્ષક ધરાવતા કોઈપણ વ્યક્તિ આ સરળ ક્રિયાને પ્રથમ વખત યાદ રાખી શકે છે.

  અંકગણિત સરેરાશ શોધતી વખતે, તમારે બધી ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓ ઉમેરવાની અને તેમની સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરવાની જરૂર છે.

  ઉદાહરણ તરીકે, મેં સ્ટોરમાંથી 1 કિલો સફરજન, 2 કિલો કેળા, 3 કિલો નારંગી અને 1 કિલો કિવિ ખરીદ્યું. મેં સરેરાશ કેટલા કિલોગ્રામ ફળ ખરીદ્યા?

  7/4= 1.8 કિલોગ્રામ. આ અંકગણિત સરેરાશ હશે.

  બાયમોન ઇપુ

  મને યાદ છે કે મેં ગણિતની અંતિમ પરીક્ષા લીધી હતી

  તેથી ત્યાં અંકગણિત સરેરાશ શોધવાનું જરૂરી હતું.

  તે સારું છે કે દયાળુ લોકોએ શું કરવું તે સૂચવ્યું, નહીં તો મુશ્કેલી થશે.

  ઉદાહરણ તરીકે, અમારી પાસે 4 નંબરો છે.

  સંખ્યાઓ ઉમેરો અને તેમની સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરો (આ કિસ્સામાં 4)

  ઉદાહરણ તરીકે નંબરો 2,6,1,1. 2+6+1+1 ઉમેરો અને 4 = 2.5 વડે ભાગો

  જેમ તમે જોઈ શકો છો, કંઈ જટિલ નથી. તેથી અંકગણિત સરેરાશ એ બધી સંખ્યાઓની સરેરાશ છે.