રેન્ડમ ચલ x ના વિતરણની શ્રેણી આપેલ છે, તેને શોધો. "રેન્ડમ ચલ" વિષય પર સમસ્યાઓ ઉકેલવાના ઉદાહરણો

એક્સસંભાવના વિતરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: પછી તેનું પ્રમાણભૂત વિચલન ... 0.80 બરાબર છે

ઉકેલ:
રેન્ડમ ચલ X ના પ્રમાણભૂત વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે , જ્યાં સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને એક અલગ રેન્ડમ ચલના તફાવતની ગણતરી કરી શકાય છે, અને

ઉકેલ:
એ(રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલ બોલ કાળો હોય છે) અમે કુલ સંભાવના સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ: અહીં એવી સંભાવના છે કે સફેદ બોલ પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત થયો હતો; - કાળો બોલ પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત થવાની સંભાવના; - શરતી સંભાવના કે દોરવામાં આવેલ બોલ કાળો છે જો સફેદ બોલ પ્રથમ કલશમાંથી બીજામાં ખસેડવામાં આવ્યો હોય; - શરતી સંભાવના કે દોરેલ બોલ કાળો છે જો કાળો બોલ પ્રથમ કલગીમાંથી બીજામાં ખસેડવામાં આવ્યો હોય.

અલગ રેન્ડમ ચલ X સંભાવના વિતરણના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: પછી સંભાવના સમાન...

ઉકેલ:
એક અલગ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. પછી

અથવા . છેલ્લા સમીકરણને હલ કરવાથી, આપણને બે મૂળ મળે છે અને

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
12 ભાગોના બેચમાં, 5 ખામીયુક્ત ભાગો છે. ત્રણ ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. પછી સંભાવના છે કે પસંદ કરેલા ભાગોમાં કોઈ યોગ્ય ભાગો નથી ...

ઉકેલ:
ઇવેન્ટ A (પસંદ કરેલ ભાગોમાં કોઈ યોગ્ય ભાગો નથી) ની ગણતરી કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં n m– ઘટના A ની ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા. અમારા કિસ્સામાં, સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા એ 12 ઉપલબ્ધમાંથી ત્રણ વિગતો કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે.

અને સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા પાંચમાંથી ત્રણ ખામીયુક્ત ભાગો કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે.

બેંક તમામ લોનમાંથી 44% કાનૂની સંસ્થાઓને અને 56% વ્યક્તિઓને આપે છે. કાનૂની એન્ટિટી સમયસર લોન ચૂકવશે નહીં તેવી સંભાવના 0.2 છે; અને વ્યક્તિ માટે આ સંભાવના 0.1 છે. પછી સંભાવના છે કે આગામી લોન સમયસર ચૂકવવામાં આવશે...

ઉકેલ:
ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે એ(જારી કરાયેલ લોન સમયસર ચૂકવવામાં આવશે) કુલ સંભાવના ફોર્મ્યુલા લાગુ કરો: . અહીં એવી સંભાવના છે કે લોન કાનૂની એન્ટિટીને જારી કરવામાં આવી હતી; - કોઈ વ્યક્તિને લોન આપવામાં આવી હોવાની સંભાવના; - શરતી સંભાવના કે જો લોન કાનૂની એન્ટિટીને જારી કરવામાં આવી હોય તો તે સમયસર ચૂકવવામાં આવશે; - જો લોન કોઈ વ્યક્તિને આપવામાં આવી હોય તો તે સમયસર ચૂકવવામાં આવશે તેવી શરતી સંભાવના. પછી

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ X માટે

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
ડાઇને બે વાર ફેરવવામાં આવે છે. પછી રોલ્ડ પોઈન્ટનો સરવાળો નવ કરતાં ઓછો ન હોવાની સંભાવના...

ઉકેલ:
ઘટનાની ગણતરી કરવા માટે (રોલ્ડ કરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો નવ હશે), અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, કસોટીના સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા ક્યાં છે અને m- ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા એ. અમારા કિસ્સામાં તે શક્ય છે પ્રાથમિક કસોટીના પરિણામો, જેમાંથી અનુકૂળ ફોર્મના પરિણામો , , , , , , અને , એટલે કે. આથી,

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો

સંભાવના વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે:

પછી પરિમાણનું મૂલ્ય સમાન હોઈ શકે છે ...

ઉકેલ:
વ્યાખ્યા દ્વારા . તેથી, અને. આ શરતો સંતુષ્ટ છે, ઉદાહરણ તરીકે, મૂલ્ય દ્વારા

વિષય: રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
એક સતત રેન્ડમ ચલ એ સંભાવના વિતરણ કાર્ય દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

પછી તેનો તફાવત છે ...

ઉકેલ:
આ રેન્ડમ ચલ અંતરાલમાં સમાનરૂપે વિતરિત થાય છે. પછી ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને તેના તફાવતની ગણતરી કરી શકાય છે . એટલે કે

વિષય: કુલ સંભાવના. બેઝ સૂત્રો
પ્રથમ કલરમાં 6 કાળા દડા અને 4 સફેદ દડા હોય છે. બીજા કલરમાં 2 સફેદ અને 8 કાળા દડા છે. એક બોલ રેન્ડમ કલશમાંથી લેવામાં આવ્યો હતો, જે સફેદ નીકળ્યો હતો. પછી સંભાવના છે કે આ બોલ પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવ્યો હતો...

ઉકેલ:
એ(રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોય છે) કુલ સંભાવના સૂત્ર મુજબ: . અહીં એવી સંભાવના છે કે બોલ પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવ્યો છે; - બોલ બીજા કલશમાંથી દોરવામાં આવ્યો હોવાની સંભાવના; - શરતી સંભાવના કે દોરેલા બોલ સફેદ હોય છે જો તે પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવે છે; શરતી સંભાવના છે કે દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોય જો તે બીજા કલશમાંથી દોરવામાં આવે.
પછી .
હવે ચાલો શરતી સંભાવનાની ગણતરી કરીએ કે આ બોલ બેયસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ કલશમાંથી દોરવામાં આવ્યો હતો:

વિષય: રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સસંભાવના વિતરણના કાયદા દ્વારા આપવામાં આવે છે:

પછી તેનો તફાવત છે ...

ઉકેલ:
એક અલગ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો

ઉકેલ:
વ્યાખ્યા દ્વારા . પછી
એ) ખાતે , ,
b) ખાતે , ,
c) ખાતે , ,
ડી) ખાતે , ,
ડી) ખાતે, .
આથી,

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
ત્રિજ્યા 4 ના વર્તુળની અંદર એક બિંદુ રેન્ડમ પર ફેંકવામાં આવે છે. પછી સંભાવના છે કે બિંદુ વર્તુળમાં લખેલા ચોરસની બહાર હશે...

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
12 ભાગોના બેચમાં, 5 ખામીયુક્ત ભાગો છે. ત્રણ ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. પછી સંભાવના છે કે પસંદ કરેલા ભાગોમાં કોઈ ખામીયુક્ત ભાગો નથી ...

ઉકેલ:
ઇવેન્ટની ગણતરી કરવા માટે (પસંદ કરેલા ભાગોમાં કોઈ ખામીયુક્ત ભાગો નથી), અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં nશક્ય પ્રાથમિક પરીક્ષણ પરિણામોની કુલ સંખ્યા છે, અને m- ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા. અમારા કિસ્સામાં, સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા એ 12 ઉપલબ્ધમાંથી ત્રણ વિગતો કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે. અને સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા સાતમાંથી ત્રણ બિન-ક્ષતિપૂર્ણ ભાગોને કાઢવામાં આવે તેવી રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે. આથી,

વિષય: કુલ સંભાવના. બેઝ સૂત્રો

ઉકેલ:
ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે એ
પછી

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

પછી સંભાવના સમાન...

ઉકેલ:
ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ . પછી

વિષય: કુલ સંભાવના. બેઝ સૂત્રો

ઉકેલ:
ચાલો પહેલા ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ એ
.
.

વિષય: રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ

પછી તેની ગાણિતિક અપેક્ષા છે...

ઉકેલ:
ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ . પછી .

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ

ઉકેલ:

વિષય: રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
એક સતત રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે . પછી ગાણિતિક અપેક્ષા aઅને આ રેન્ડમ ચલનું પ્રમાણભૂત વિચલન બરાબર છે ...

ઉકેલ:
સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણ ઘનતા ફોર્મ ધરાવે છે , ક્યાં , . તેથી જ .

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

પછી મૂલ્યો aઅને bસમાન હોઈ શકે છે...

ઉકેલ:
કારણ કે સંભવિત મૂલ્યોની સંભાવનાઓનો સરવાળો 1 ની બરાબર છે, તો પછી. જવાબ આ સ્થિતિને સંતોષે છે: .

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
ત્રિજ્યા 5 નું નાનું વર્તુળ ત્રિજ્યા 8 ના વર્તુળમાં મૂકવામાં આવે છે. પછી મોટા વર્તુળમાં અવ્યવસ્થિત રીતે ફેંકવામાં આવેલ બિંદુ પણ નાના વર્તુળમાં આવે તેવી સંભાવના છે ...

ઉકેલ:
ઇચ્છિત ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે, અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં નાના વર્તુળનો વિસ્તાર છે અને મોટા વર્તુળનો વિસ્તાર છે. આથી, .

વિષય: કુલ સંભાવના. બેઝ સૂત્રો
પ્રથમ કલરમાં 3 કાળા દડા અને 7 સફેદ દડા હોય છે. બીજા કલરમાં 4 સફેદ દડા અને 5 કાળા દડા છે. એક બોલને પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલરમાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવ્યો હતો. પછી સંભાવના છે કે બીજા કલગીમાંથી રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હશે...

ઉકેલ:
ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે એ(રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોય છે) કુલ સંભાવના સૂત્ર લાગુ કરો: . અહીં એવી સંભાવના છે કે સફેદ બોલ પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત થયો હતો; - કાળો બોલ પ્રથમ કલશમાંથી બીજા કલશમાં સ્થાનાંતરિત થવાની સંભાવના; - શરતી સંભાવના કે દોરેલા બોલ સફેદ હોય છે જો સફેદ બોલને પ્રથમ કલશમાંથી બીજામાં ખસેડવામાં આવ્યો હોય; - શરતી સંભાવના કે દોરેલા બોલ સફેદ હોય છે જો કાળો બોલ પ્રથમ કલગીમાંથી બીજામાં ખસેડવામાં આવે છે.
પછી

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે:

સંભાવના વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે:

પછી પરિમાણનું મૂલ્ય સમાન હોઈ શકે છે ...

TASK N 10 ભૂલની જાણ કરે છે
વિષય: કુલ સંભાવના. બેઝ સૂત્રો
બેંક તમામ લોનમાંથી 70% કાનૂની સંસ્થાઓને અને 30% વ્યક્તિઓને આપે છે. કાનૂની એન્ટિટી સમયસર લોન ચૂકવશે નહીં તેવી સંભાવના 0.15 છે; અને વ્યક્તિ માટે આ સંભાવના 0.05 છે. લોન ભરપાઈ ન થઈ હોવાનો સંદેશો મળ્યો હતો. પછી સંભાવના છે કે કાનૂની એન્ટિટીએ આ લોન ચૂકવી નથી...

ઉકેલ:
ચાલો પહેલા ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરીએ એ(જારી કરાયેલ લોન સમયસર ચૂકવવામાં આવશે નહીં) કુલ સંભાવના સૂત્ર અનુસાર: . અહીં એવી સંભાવના છે કે લોન કાનૂની એન્ટિટીને જારી કરવામાં આવી હતી; - કોઈ વ્યક્તિને લોન આપવામાં આવી હોવાની સંભાવના; - શરતી સંભાવના કે જો લોન કાનૂની એન્ટિટીને જારી કરવામાં આવી હોય તો તે સમયસર ચૂકવવામાં આવશે નહીં; - શરતી સંભાવના કે જો લોન કોઈ વ્યક્તિને આપવામાં આવી હોય તો તે સમયસર ચૂકવવામાં આવશે નહીં. પછી
.
હવે ચાલો શરતી સંભાવનાની ગણતરી કરીએ કે આ લોન કાનૂની એન્ટિટી દ્વારા ચૂકવવામાં આવી ન હતી, બેયસ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
.

TASK N 11 ભૂલની જાણ કરે છે
વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
12 ભાગોના બેચમાં, 5 ખામીયુક્ત ભાગો છે. ત્રણ ભાગો રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. પછી સંભાવના છે કે પસંદ કરેલા ભાગોમાં કોઈ યોગ્ય ભાગો નથી ...

ઉકેલ:
ઇવેન્ટની ગણતરી કરવા માટે (પસંદ કરેલા ભાગોમાં કોઈ યોગ્ય ભાગો નથી), અમે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જ્યાં nશક્ય પ્રાથમિક પરીક્ષણ પરિણામોની કુલ સંખ્યા છે, અને m- ઘટનાની ઘટના માટે અનુકૂળ પ્રાથમિક પરિણામોની સંખ્યા. અમારા કિસ્સામાં, સંભવિત પ્રાથમિક પરિણામોની કુલ સંખ્યા એ 12 ઉપલબ્ધમાંથી ત્રણ વિગતો કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે. અને સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા પાંચમાંથી ત્રણ ખામીયુક્ત ભાગો કાઢવાની રીતોની સંખ્યા જેટલી છે, એટલે કે. આથી,

TASK N 12 ભૂલની જાણ કરે છે
વિષય: રેન્ડમ ચલોની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ
એક સતત રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણ ઘનતા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

પછી તેનો તફાવત છે ...

ઉકેલ:
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલના ભિન્નતાની ગણતરી કરી શકાય છે

પછી

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

પછી તેની સંભાવના વિતરણ કાર્ય ફોર્મ ધરાવે છે...

ઉકેલ:
વ્યાખ્યા દ્વારા . પછી
એ) ખાતે , ,
b) ખાતે , ,
c) ખાતે , ,
ડી) ખાતે , ,
ડી) ખાતે, .
આથી,

વિષય: કુલ સંભાવના. બેઝ સૂત્રો
5 સફેદ અને 5 કાળા દડાવાળા ત્રણ ભઠ્ઠીઓ છે, અને 6 સફેદ અને 4 કાળા દડાવાળા સાત ભઠ્ઠીઓ છે. એક બોલ રેન્ડમ કલશમાંથી દોરવામાં આવે છે. પછી આ બોલ સફેદ હોવાની સંભાવના...

ઉકેલ:
ઘટનાની સંભાવનાની ગણતરી કરવા માટે એ(રેન્ડમ પર દોરવામાં આવેલ બોલ સફેદ હોય છે) કુલ સંભાવના સૂત્ર લાગુ કરો: . અહીં એવી સંભાવના છે કે કલરની પ્રથમ શ્રેણીમાંથી બોલ દોરવામાં આવ્યો છે; - એવી સંભાવના છે કે બોલ કલરની બીજી શ્રેણીમાંથી દોરવામાં આવ્યો છે; - શરતી સંભાવના કે દોરેલા બોલ સફેદ હોય છે જો તે ભઠ્ઠીની પ્રથમ શ્રેણીમાંથી દોરવામાં આવે છે; - શરતી સંભાવના કે દોરવામાં આવેલ દડો સફેદ હોય છે જો તે ભઠ્ઠીની બીજી શ્રેણીમાંથી દોરવામાં આવે છે.
પછી .

વિષય: અલગ રેન્ડમ ચલોની સંભાવના વિતરણના નિયમો
એક અલગ રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણ કાયદા દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે:

પછી સંભાવના સમાન...

વિષય: સંભાવનાનું નિર્ધારણ
ડાઇને બે વાર ફેરવવામાં આવે છે. પછી સંભવ છે કે દોરેલા પોઈન્ટનો સરવાળો દસ છે...

અમે અલગ રેન્ડમ ચલોના વિતરણના સૌથી સામાન્ય નિયમોને પ્રકાશિત કરી શકીએ છીએ:

• દ્વિપદી વિતરણ કાયદો
• ઝેર વિતરણ કાયદો
• ભૌમિતિક વિતરણ કાયદો
• હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કાયદો

અલગ રેન્ડમ ચલોના આપેલ વિતરણો માટે, તેમના મૂલ્યોની સંભાવનાઓની ગણતરી, તેમજ સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ (ગાણિતિક અપેક્ષા, ભિન્નતા, વગેરે) ચોક્કસ "સૂત્રો" નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે. તેથી, આ પ્રકારના વિતરણો અને તેમના મૂળભૂત ગુણધર્મોને જાણવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે.

1. દ્વિપદી વિતરણ કાયદો.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ એ દ્વિપદી સંભાવના વિતરણ કાયદાને આધીન છે જો તે $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ $P\left(X=k\right)= સાથે મૂલ્યો લે છે. C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\જમણે))^(n-k)$. વાસ્તવમાં, રેન્ડમ ચલ $X$ એ $n$ સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સમાં $A$ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંભાવના વિતરણનો કાયદો:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને \\ બિંદુઓ અને n \\
\hલાઇન
p_i & P_n\left(0\જમણે) & P_n\left(1\જમણે) & \dots & P_n\left(n\જમણે) \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

આવા રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા $M\left(X\right)=np$ છે, ભિન્નતા $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$ છે.

ઉદાહરણ . પરિવારમાં બે બાળકો છે. $0.5$ સમાન છોકરો અને છોકરી હોવાની સંભાવનાઓ ધારી રહ્યા છીએ, રેન્ડમ ચલ $\xi$ - કુટુંબમાં છોકરાઓની સંખ્યાના વિતરણનો કાયદો શોધો.

રેન્ડમ ચલ $\xi $ ને કુટુંબમાં છોકરાઓની સંખ્યા થવા દો. મૂલ્યો કે જે $\xi લઈ શકે છે:\ 0, \ 1,\ 2$. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે )$, જ્યાં $n =2$ એ સ્વતંત્ર ટ્રાયલ્સની સંખ્યા છે, $p=0.5$ એ $n$ ટ્રાયલ્સની શ્રેણીમાં બનતી ઘટનાની સંભાવના છે. અમને મળે છે:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\જમણે))^(2-0)=(0, 5)^2=0.25;$

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0.5\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-1)=2\cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5;$

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0.5)^2\cdot (\left(1-0.5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 =0.25.$

પછી રેન્ડમ ચલ $\xi $નો વિતરણ કાયદો એ $0,\1,\2$ અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેનો પત્રવ્યવહાર છે, એટલે કે:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
\xi અને 0 અને 1 અને 2 \\
\hલાઇન
P(\xi) અને 0.25 અને 0.5 અને 0.25 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

વિતરણ કાયદામાં સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ જેટલો હોવો જોઈએ, એટલે કે, $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0.25+0.5+ 0, 25=$1.

અપેક્ષા $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0.5=1$, તફાવત $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0.5\ cdot 0.5=0.5$, પ્રમાણભૂત વિચલન $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0.5 )\અંદાજે $0.707.

2. પોઈસન વિતરણ કાયદો.

જો એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ માત્ર $0,\1,\2,\ \dots ,\n$ ને $P\left(X=k\right)=(((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

ટિપ્પણી. આ વિતરણની ખાસિયત એ છે કે, પ્રાયોગિક ડેટાના આધારે, અમે અંદાજો $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$ શોધીએ છીએ, જો પ્રાપ્ત અંદાજો એકબીજાની નજીક હોય, તો અમારી પાસે છે રેન્ડમ ચલ પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન છે તેવું ભારપૂર્વક જણાવવાનું કારણ.

ઉદાહરણ . પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો આ હોઈ શકે છે: આવતીકાલે ગેસ સ્ટેશન દ્વારા પીરસવામાં આવશે તે કારની સંખ્યા; ઉત્પાદિત ઉત્પાદનોમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા.

ઉદાહરણ . ફેક્ટરીએ આધાર પર $500$ ઉત્પાદનો મોકલ્યા. પરિવહનમાં ઉત્પાદનને નુકસાન થવાની સંભાવના $0.002$ છે. ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યાના સમાન રેન્ડમ ચલ $X$ના વિતરણનો કાયદો શોધો; $M\left(X\right),\D\left(X\right)$ શું છે.

અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ને ક્ષતિગ્રસ્ત ઉત્પાદનોની સંખ્યા થવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ $\lambda =np=500\cdot 0.002=1$ પેરામીટર સાથે પોઈસન વિતરણ કાયદાને આધીન છે. મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k) ની બરાબર છે}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\જમણે)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\જમણે)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\જમણે)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\જમણે)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\જમણે)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\જમણે)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો $X$:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને 2 અને 3 અને 4 અને 5 અને 6 અને ... & k \\
\hલાઇન
P_i & 0.368; & 0.368 & 0.184 & 0.061 & 0.015 & 0.003 & 0.001 &... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hલાઇન
\end(એરે)$

આવા રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા એકબીજાને સમાન છે અને પરિમાણ $\lambda $, એટલે કે, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda. =1$.

3. ભૌમિતિક વિતરણ કાયદો.

જો એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ માત્ર $1,\2,\\dots ,\n$ સંભાવનાઓ સાથે લઈ શકે છે $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) જમણે)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, પછી તેઓ કહે છે કે આવા રેન્ડમ ચલ $X$ એ સંભાવના વિતરણના ભૌમિતિક નિયમને આધીન છે. હકીકતમાં, ભૌમિતિક વિતરણ એ પ્રથમ સફળતા સુધી બર્નૌલી પરીક્ષણ છે.

ઉદાહરણ . ભૌમિતિક વિતરણ ધરાવતા રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો આ હોઈ શકે છે: લક્ષ્ય પર પ્રથમ હિટ પહેલાં શોટની સંખ્યા; પ્રથમ નિષ્ફળતા સુધી ઉપકરણ પરીક્ષણોની સંખ્યા; પ્રથમ માથું ન આવે ત્યાં સુધી સિક્કા ફેંકવાની સંખ્યા, વગેરે.

ભૌમિતિક વિતરણને અનુક્રમે રેન્ડમ ચલ વિષયની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) સમાન છે )/p^ $2.

ઉદાહરણ . સ્પાવિંગ સાઇટ પર માછલીની હિલચાલના માર્ગ પર $4$ લોક છે. દરેક લોકમાંથી માછલી પસાર થવાની સંભાવના $p=3/5$ છે. રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણની શ્રેણી બનાવો - તાળા પર પ્રથમ અટકાયત પહેલાં માછલી દ્વારા પસાર કરાયેલા તાળાઓની સંખ્યા. $M\left(X\right),\D\left(X\right),\\sigma \left(X\right)$ શોધો.

રેન્ડમ ચલ $X$ એ તાળા પર પ્રથમ ધરપકડ પહેલાં માછલી દ્વારા પસાર કરાયેલા તાળાઓની સંખ્યા હોવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ સંભાવના વિતરણના ભૌમિતિક કાયદાને આધીન છે. મૂલ્યો કે જે રેન્ડમ ચલ $X લઈ શકે છે:$ 1, 2, 3, 4. આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, જ્યાં: $ p=2/5$ - તાળામાંથી માછલી પકડવાની સંભાવના, $q=1-p=3/5$ - તાળામાંથી માછલી પસાર થવાની સંભાવના, $k=1,\ 2,\3,\4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^0=(2)\ ઉપર (5))=0.4;$

$P\left(X=2\right)=((2)\over (5))\cdot ((3)\over (5))=(6)\over (25))=0.24 $;

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^2=(2)\ ઉપર (5))\cdot ((9)\over (25))=((18)\over (125))=0.144;$

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left((3)\over (5))\જમણે)^3+(\left(( (3)\over (5))\જમણે))^4=((27)\over (125))=0.216.$

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 1 અને 2 અને 3 અને 4 \\
\hલાઇન
પી\ડાબે(X_i\જમણે) અને 0.4 અને 0.24 અને 0.144 અને 0.216 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ગાણિતિક અપેક્ષા:

$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0.4+2\cdot 0.24+3\cdot 0.144+4\cdot 0.216=2.176.$

વિક્ષેપ:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\જમણે))^2+0.24\cdot (\left(2-2,176\જમણે))^2+0.144\cdot (\left(3-2,176\જમણે))^2+$

$+\0.216\cdot (\left(4-2,176\જમણે))^2\અંદાજે 1.377.$

માનક વિચલન:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\અંદાજે 1,173.$

4. હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ કાયદો.

જો $N$ ઑબ્જેક્ટ, જેમાંથી $m$ ઑબ્જેક્ટ આપેલ પ્રોપર્ટી ધરાવે છે. $n$ ઑબ્જેક્ટ્સ પરત કર્યા વિના અવ્યવસ્થિત રીતે પુનઃપ્રાપ્ત કરવામાં આવે છે, જેમાંથી $k$ ઑબ્જેક્ટ્સ આપેલ મિલકત ધરાવે છે. હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ એ સંભવિતતાનો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે કે નમૂનામાં બરાબર $k$ ઑબ્જેક્ટ આપેલ મિલકત ધરાવે છે. રેન્ડમ ચલ $X$ એ નમૂનામાં આપેલ ગુણધર્મ ધરાવતા ઑબ્જેક્ટ્સની સંખ્યા તરીકે રહેવા દો. પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ના મૂલ્યોની સંભાવનાઓ:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

ટિપ્પણી. એક્સેલ $f_x$ ફંક્શન વિઝાર્ડનું આંકડાકીય કાર્ય HYPERGEOMET તમને ચોક્કસ સંખ્યામાં પરીક્ષણો સફળ થવાની સંભાવના નક્કી કરવા દે છે.

$f_x\to$ આંકડાકીય$\to$ હાયપરજિયોમેટ$\to$ ઠીક છે. એક સંવાદ બોક્સ દેખાશે જે તમારે ભરવાની જરૂર છે. કૉલમમાં નમુનામાં_સફળતાઓની_સંખ્યામૂલ્ય $k$ દર્શાવો. નમૂના_કદ$n$ બરાબર છે. કૉલમમાં એકસાથે_સફળતાઓની_સંખ્યામૂલ્ય $m$ દર્શાવો. વસ્તી_માપ$N$ બરાબર છે.

ભૌમિતિક વિતરણ કાયદાને આધીન અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા અનુક્રમે $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= સમાન છે. ((nm\left(1 -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\જમણે))\over (N-1))$.

ઉદાહરણ . બેંકનો ધિરાણ વિભાગ ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ સાથે 5 નિષ્ણાતો અને ઉચ્ચ કાનૂની શિક્ષણ સાથે 3 નિષ્ણાતોને રોજગારી આપે છે. બેંકના મેનેજમેન્ટે તેમની લાયકાત સુધારવા માટે 3 નિષ્ણાતોને મોકલવાનું નક્કી કર્યું, તેમને રેન્ડમ ક્રમમાં પસંદ કર્યા.

a) ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા નિષ્ણાતોની સંખ્યા માટે વિતરણ શ્રેણી બનાવો કે જેમને તેમની કુશળતા સુધારવા માટે મોકલી શકાય;

b) આ વિતરણની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓ શોધો.

રેન્ડમ વેરિયેબલ $X$ એ ત્રણ પસંદ કરેલા લોકોમાં ઉચ્ચ નાણાકીય શિક્ષણ ધરાવતા નિષ્ણાતોની સંખ્યા છે. મૂલ્યો કે જે $X લઈ શકે છે: 0,\1,\2,\3$. આ રેન્ડમ ચલ $X$ ને નીચેના પરિમાણો સાથે હાઇપરજીઓમેટ્રિક વિતરણ અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે: $N=8$ - વસ્તીનું કદ, $m=5$ - વસ્તીમાં સફળતાઓની સંખ્યા, $n=3$ - નમૂનાનું કદ, $ k=0,\1, \2,\3$ - નમૂનામાં સફળતાઓની સંખ્યા. પછી સંભાવનાઓ $P\left(X=k\right)$ ની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ C_( N)^(n) ) $ થી વધુ. અમારી પાસે છે:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\અંદાજે 0.018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\અંદાજે 0.268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\અંદાજે 0.536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\અંદાજે 0.179.$

પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ની વિતરણ શ્રેણી:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i અને 0 અને 1 અને 2 અને 3 \\
\hલાઇન
p_i & 0.018 & 0.268 & 0.536 & 0.179 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ચાલો હાયપરજીઓમેટ્રિક વિતરણના સામાન્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાઓની ગણતરી કરીએ.

$M\left(X\right)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-(n)\over (N))\જમણે)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\જમણે)\cdot \left(1-(3)\over (8) ))\જમણે))\over (8-1))=((225)\over (448))\અંદાજે 0.502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0.502)\અંદાજે 0.7085.$

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય

કૃષિ એકેડમી"

ઉચ્ચ ગણિત વિભાગ

માર્ગદર્શિકા

ફેકલ્ટી ઓફ એકાઉન્ટિંગ ફોર કોરસપોન્ડન્સ એજ્યુકેશન (NISPO) ના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા "રેન્ડમ વેરીએબલ્સ" વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે

ગોર્કી, 2013

રેન્ડમ ચલો

અલગ અને સતત રેન્ડમ ચલો

સંભાવના સિદ્ધાંતમાં મુખ્ય ખ્યાલોમાંની એક ખ્યાલ છે રેન્ડમ ચલ . રેન્ડમ ચલ એક એવો જથ્થો છે જે, પરીક્ષણના પરિણામે, તેના ઘણા સંભવિત મૂલ્યોમાંથી માત્ર એક જ લે છે, અને તે અગાઉથી જાણી શકાતું નથી કે કયું મૂલ્ય.

રેન્ડમ ચલો છે સ્વતંત્ર અને સતત . ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ (DRV) એક રેન્ડમ ચલ છે જે એકબીજાથી અલગ પડેલા મર્યાદિત સંખ્યામાં મૂલ્યો લઈ શકે છે, એટલે કે. જો આ જથ્થાના સંભવિત મૂલ્યોની પુનઃગણતરી કરી શકાય. સતત રેન્ડમ ચલ (CNV) રેન્ડમ ચલ છે, જેનાં તમામ સંભવિત મૂલ્યો સંખ્યા રેખાના ચોક્કસ અંતરાલને સંપૂર્ણપણે ભરે છે.

રેન્ડમ ચલોને લેટિન મૂળાક્ષરો X, Y, Z, વગેરેના મોટા અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. રેન્ડમ ચલોના સંભવિત મૂલ્યો અનુરૂપ નાના અક્ષરો દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

રેકોર્ડ
એટલે કે "એક રેન્ડમ ચલની સંભાવના એક્સ 0.28 ની બરાબર 5 નું મૂલ્ય લેશે.

ઉદાહરણ 1 . એક્સડાઇસ એકવાર ફેંકવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, 1 થી 6 સુધીની સંખ્યાઓ દેખાઈ શકે છે, જે પોઈન્ટની સંખ્યા દર્શાવે છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(રોલ્ડ પોઈન્ટ્સની સંખ્યા). પરીક્ષણના પરિણામે આ રેન્ડમ ચલ છ મૂલ્યોમાંથી માત્ર એક જ લઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, 5 અથવા 6. તેથી, રેન્ડમ ચલ

DSV છે. ઉદાહરણ 2 એક્સ. જ્યારે પથ્થર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ચોક્કસ અંતરે જાય છે. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(સ્ટોન ફ્લાઇટ અંતર). આ રેન્ડમ ચલ ચોક્કસ અંતરાલમાંથી કોઈપણ, પરંતુ માત્ર એક, મૂલ્ય લઈ શકે છે. તેથી, રેન્ડમ ચલ

ત્યાં NSV છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો .

જો તમામ સંભવિત મૂલ્યો જાણીતા છે
રેન્ડમ ચલ એક્સઅને સંભાવનાઓ
આ મૂલ્યોનો દેખાવ, પછી એવું માનવામાં આવે છે કે DSV ના વિતરણનો કાયદો એક્સજાણીતું છે અને કોષ્ટક સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે:

DSV વિતરણ કાયદો ગ્રાફિકલી ચિત્રિત કરી શકાય છે જો બિંદુઓ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં દર્શાવવામાં આવે છે
,
, …,
અને તેમને સીધી રેખાના ભાગો સાથે જોડો. પરિણામી આકૃતિને વિતરણ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3 . સફાઈ માટે બનાવાયેલ અનાજમાં 10% નીંદણ હોય છે. 4 અનાજ રેન્ડમ પસંદ કરવામાં આવ્યા હતા. ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(પસંદ કરેલ ચારમાંથી નીંદણની સંખ્યા). DSV વિતરણ કાયદો બનાવો એક્સઅને વિતરણ બહુકોણ.

ઉકેલ . ઉદાહરણ શરતો અનુસાર. પછી:

ચાલો DSV X ના વિતરણ કાયદાને કોષ્ટકના રૂપમાં લખીએ અને વિતરણ બહુકોણ બનાવીએ:

એક અલગ રેન્ડમ ચલની અપેક્ષા

એક અલગ રેન્ડમ ચલના સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગુણધર્મો તેની લાક્ષણિકતાઓ દ્વારા વર્ણવવામાં આવે છે. આ લક્ષણો પૈકી એક છે ગાણિતિક અપેક્ષા રેન્ડમ ચલ.

DSV વિતરણ કાયદો જાણીએ એક્સ:

ગાણિતિક અપેક્ષા ડીએસવી એક્સઅનુરૂપ સંભાવના દ્વારા આ જથ્થાના દરેક મૂલ્યના ઉત્પાદનોનો સરવાળો છે:
.

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના તમામ મૂલ્યોના અંકગણિત સરેરાશ જેટલી હોય છે. તેથી, વ્યવહારિક સમસ્યાઓમાં, આ રેન્ડમ ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય ઘણીવાર ગાણિતિક અપેક્ષા તરીકે લેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 8 . શૂટર 0.1, 0.45, 0.3 અને 0.15 ની સંભાવનાઓ સાથે 4, 8, 9 અને 10 પોઇન્ટ મેળવે છે. એક શોટ સાથે પોઈન્ટની સંખ્યાની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ઉકેલ . ચાલો રેન્ડમ ચલ દર્શાવીએ એક્સ=(પૉઇન્ટની સંખ્યા) પછી . આમ, એક શોટ સાથે મેળવેલા પોઈન્ટની અપેક્ષિત સરેરાશ સંખ્યા 8.2 છે, અને 10 શોટ સાથે - 82.

મુખ્ય ગુણધર્મો ગાણિતિક અપેક્ષાઓ છે:

.

.

, ક્યાં
,
.

.

, ક્યાં એક્સઅને વાયસ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલ છે.

તફાવત
કહેવાય છે વિચલન રેન્ડમ ચલ એક્સતેની ગાણિતિક અપેક્ષાથી. આ તફાવત રેન્ડમ ચલ છે અને તેની ગાણિતિક અપેક્ષા શૂન્ય છે, એટલે કે.
.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા

રેન્ડમ ચલને દર્શાવવા માટે, ગાણિતિક અપેક્ષા ઉપરાંત, અમે પણ ઉપયોગ કરીએ છીએ વિખેરવું , જે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોના ફેલાવા (સ્પ્રેડ)નો અંદાજ લગાવવાનું શક્ય બનાવે છે. સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથે બે સજાતીય રેન્ડમ ચલોની સરખામણી કરતી વખતે, "શ્રેષ્ઠ" મૂલ્ય તે જ ગણવામાં આવે છે જેનો ફેલાવો ઓછો હોય, એટલે કે. ઓછું વિક્ષેપ.

ભિન્નતા રેન્ડમ ચલ એક્સતેને તેની ગાણિતિક અપેક્ષામાંથી રેન્ડમ ચલના વર્ગ વિચલનની ગાણિતિક અપેક્ષા કહેવાય છે: .

પ્રાયોગિક સમસ્યાઓમાં, ભિન્નતાની ગણતરી કરવા માટે સમકક્ષ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.

વિક્ષેપના મુખ્ય ગુણધર્મો છે:

.

રેન્ડમ ચલ એક ચલ છે જે વિવિધ સંજોગોના આધારે ચોક્કસ મૂલ્યો લઈ શકે છે, અને બદલામાં, રેન્ડમ ચલ કહેવામાં આવે છે અલગ , જો તેના મૂલ્યોનો સમૂહ મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર છે.

અલગ રેન્ડમ ચલો ઉપરાંત, સતત રેન્ડમ ચલો પણ છે.

ચાલો રેન્ડમ ચલની વિભાવનાને વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈએ. વ્યવહારમાં, ઘણી વખત એવા જથ્થાઓ હોય છે જે ચોક્કસ મૂલ્યો લઈ શકે છે, પરંતુ તેમાંથી દરેક અનુભવ, ઘટના અથવા વિચારણા હેઠળના અવલોકનમાં શું મૂલ્ય લેશે તેની વિશ્વસનીય આગાહી કરવી અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે, આગામી દિવસોમાં મોસ્કોમાં જન્મેલા છોકરાઓની સંખ્યા બદલાઈ શકે છે. તે શૂન્યની બરાબર હોઈ શકે છે (એક પણ છોકરો જન્મશે નહીં: બધી છોકરીઓ જન્મશે અથવા ત્યાં કોઈ નવજાત હશે નહીં), એક, બે, અને તેથી જ અમુક મર્યાદિત સંખ્યા સુધી n. આવા મૂલ્યોમાં શામેલ છે: સાઇટ પર ખાંડના બીટના મૂળનો સમૂહ, આર્ટિલરી શેલની ફ્લાઇટ રેન્જ, બેચમાં ખામીયુક્ત ભાગોની સંખ્યા, વગેરે. અમે આવા જથ્થાઓને રેન્ડમ કહીશું. તેઓ માત્રાત્મક દૃષ્ટિકોણથી અનુભવ અથવા અવલોકનના તમામ સંભવિત પરિણામોનું લક્ષણ દર્શાવે છે.

અલગ રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો મૂલ્યોની મર્યાદિત સંખ્યા સાથે, વસ્તીવાળા વિસ્તારમાં દિવસ દરમિયાન જન્મેલા બાળકોની સંખ્યા, બસ મુસાફરોની સંખ્યા, મોસ્કો મેટ્રો દ્વારા દરરોજ પરિવહન કરાયેલા મુસાફરોની સંખ્યા વગેરે હોઈ શકે છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સંખ્યા અનંત, પરંતુ ગણનાપાત્ર સમૂહ હોઈ શકે છે. પરંતુ કોઈ પણ સંજોગોમાં, તેઓને અમુક ક્રમમાં ક્રમાંકિત કરી શકાય છે, અથવા, વધુ સ્પષ્ટ રીતે, રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો અને કુદરતી નંબરો 1, 2, 3, ... વચ્ચે એક-થી-એક પત્રવ્યવહાર સ્થાપિત કરી શકાય છે. , n.

ધ્યાન: સંભાવના સિદ્ધાંતમાં એક નવો, ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ ખ્યાલ - વિતરણ કાયદો . દો એક્સસ્વીકારી શકે છે nમૂલ્યો:. અમે માની લઈશું કે તે બધા જુદા છે (અન્યથા સમાનને જોડવા જોઈએ) અને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવાયેલા છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલને સંપૂર્ણ રીતે દર્શાવવા માટે માત્ર તેના તમામ મૂલ્યો જ નહીં, પણ સંભાવનાઓ પણ દર્શાવવી જોઈએ , જેની સાથે રેન્ડમ ચલ દરેક મૂલ્યો લે છે, એટલે કે. .

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો કોઈપણ નિયમ (કાર્ય, ટેબલ) કહેવાય છે પી(x), જે તમને રેન્ડમ ચલ સાથે સંકળાયેલ તમામ પ્રકારની ઘટનાઓની સંભાવનાઓ શોધવાની મંજૂરી આપે છે (ઉદાહરણ તરીકે, સંભાવના કે તે અમુક મૂલ્યનું ઉદાહરણ છે અથવા અમુક અંતરાલમાં આવે છે).

નીચેના કોષ્ટકના રૂપમાં અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો સેટ કરવો સૌથી સરળ અને અનુકૂળ છે:

આ ટેબલ કહેવામાં આવે છે એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણની નજીક. ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સિરીઝની ટોચની લાઇન ડિસ્ક્રીટ રેન્ડમ ચલ (x) ના તમામ સંભવિત મૂલ્યોને ચડતા ક્રમમાં સૂચિબદ્ધ કરે છે, અને નીચેની લાઇન આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓને સૂચિબદ્ધ કરે છે ( પી).

ઘટનાઓ અસંગત છે અને એકમાત્ર શક્ય છે: તેઓ ઘટનાઓની સંપૂર્ણ સિસ્ટમ બનાવે છે. તેથી, તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન છે:

.

ઉદાહરણ 1.વિદ્યાર્થી સમૂહમાં લોટરીનું આયોજન કરવામાં આવ્યું હતું. 1,000 રુબની કિંમતની બે આઇટમ પકડવા માટે તૈયાર છે. અને એકની કિંમત 3,000 રુબેલ્સ છે. 100 રુબેલ્સ માટે એક ટિકિટ ખરીદનાર વિદ્યાર્થી માટે ચોખ્ખી જીતની રકમ માટે વિતરણ કાયદો દોરો. કુલ 50 ટિકિટો વેચાઈ હતી.

ઉકેલ. આપણે જે રેન્ડમ ચલમાં રસ ધરાવીએ છીએ તે છે એક્સત્રણ મૂલ્યો લઈ શકે છે: - 100 ઘસવું. (જો વિદ્યાર્થી જીતતો નથી, પરંતુ વાસ્તવમાં ટિકિટ માટે ચૂકવેલ 100 રુબેલ્સ ગુમાવે છે), 900 રુબેલ્સ. અને 2900 ઘસવું. (વાસ્તવિક જીત 100 રુબેલ્સ દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે - ટિકિટની કિંમત દ્વારા). પ્રથમ પરિણામ 50 માંથી 47 વખત પસંદ કરવામાં આવ્યું છે, બીજું - 2, અને ત્રીજું - એક. તેથી તેમની સંભાવનાઓ છે: પી(એક્સ=-100)=47/50=0,94 , પી(એક્સ=900)=2/50=0,04 , પી(એક્સ=2900)=1/50=0,02 .

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક્સજેવો દેખાય છે

એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય: બાંધકામ

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન સીરિઝ માત્ર એક અલગ રેન્ડમ વેરીએબલ માટે જ બનાવી શકાય છે (એક બિન-ડિસ્ક્રીટ માટે તે બનાવી શકાતી નથી, જો માત્ર કારણ કે આવા રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોનો સેટ અગણિત છે, તો તેને ટોચની પંક્તિમાં સૂચિબદ્ધ કરી શકાતી નથી. ટેબલની).

વિતરણ કાયદાનું સૌથી સામાન્ય સ્વરૂપ, જે તમામ રેન્ડમ વેરિયેબલ્સ (બંને અલગ અને બિન-વિકૃત) માટે યોગ્ય છે, તે વિતરણ કાર્ય છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્યઅથવા અભિન્ન કાર્યકાર્ય કહેવાય છે , જે રેન્ડમ ચલની કિંમતની સંભાવના નક્કી કરે છે એક્સમર્યાદા મૂલ્ય કરતાં ઓછું અથવા બરાબર એક્સ.

કોઈપણ અલગ રેન્ડમ વેરીએબલનું વિતરણ કાર્ય એ એક અવ્યવસ્થિત સ્ટેપ ફંક્શન છે, જેમાંથી કૂદકા રેન્ડમ ચલના સંભવિત મૂલ્યોને અનુરૂપ બિંદુઓ પર થાય છે અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ સમાન હોય છે.

ઉદાહરણ 2.અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સ- ડાઇ ફેંકતી વખતે મેળવેલા પોઈન્ટની સંખ્યા. તેના વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. એક અલગ રેન્ડમ ચલની વિતરણ શ્રેણી એક્સફોર્મ ધરાવે છે:

વિતરણ કાર્ય એફ(x) ની તીવ્રતામાં 1/6 (નીચેની આકૃતિમાં) સમાન 6 જમ્પ છે.

ઉદાહરણ 3.કલરમાં 6 સફેદ દડા અને 4 કાળા દડા છે. કલગીમાંથી 3 બોલ દોરવામાં આવે છે. દોરેલા દડાઓમાં સફેદ દડાઓની સંખ્યા એક અલગ રેન્ડમ ચલ છે એક્સ. તેને અનુરૂપ વિતરણ કાયદો દોરો.

એક્સમૂલ્યો 0, 1, 2, 3 પર લઈ શકે છે. અનુરૂપ સંભાવનાઓ સૌથી સરળતાથી આનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરી શકાય છે સંભાવના ગુણાકાર નિયમ. અમે અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો નીચેનો કાયદો મેળવીએ છીએ:

ઉદાહરણ 4.એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે વિતરણ કાયદો દોરો - ચાર શોટ સાથે લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા, જો એક શોટ સાથે હિટની સંભાવના 0.1 છે.

ઉકેલ. અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સપાંચ અલગ-અલગ મૂલ્યો લઈ શકે છે: 1, 2, 3, 4, 5. અમે અનુરૂપ સંભાવનાઓનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ બર્નૌલીનું સૂત્ર . મુ

n = 4 ,

પી = 1,1 ,

q = 1 - પી = 0,9 ,

m = 0, 1, 2, 3, 4

અમે મેળવીએ છીએ

પરિણામે, એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો એક્સજેવો દેખાય છે

જો અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોની સંભાવનાઓ બર્નૌલી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકાય છે, તો રેન્ડમ ચલ પાસે છે દ્વિપદી વિતરણ .

જો અજમાયશની સંખ્યા પૂરતી મોટી હોય, તો આ ટ્રાયલ્સમાં રુચિની ઘટના બનવાની સંભાવના છે mવખત, કાયદાનું પાલન કરે છે ઝેરનું વિતરણ .

એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય: ગણતરી

એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યની ગણતરી કરવા માટે એફ(એક્સ), તે તમામ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ ઉમેરવાની જરૂર છે જે બાઉન્ડ્રી મૂલ્ય કરતાં ઓછી અથવા સમાન હોય એક્સ.

ઉદાહરણ 5.કોષ્ટક લગ્નની અવધિ પર વર્ષ દરમિયાન ઓગળેલા લગ્નોની સંખ્યાની અવલંબન દર્શાવે છે. સંભવિતતા શોધો કે પછીના છૂટાછેડા લીધેલા લગ્ન 5 વર્ષથી ઓછા અથવા તેની બરાબર ચાલ્યા.

ઉકેલ. સંભાવનાઓની ગણતરી અનુરૂપ વિસર્જન થયેલા લગ્નની સંખ્યાને કુલ 6010 ની સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરીને કરવામાં આવે છે. આગામી ઓગળેલા લગ્ન 5 વર્ષ ચાલ્યા હોવાની સંભાવના 0.056 છે. આગામી છૂટાછેડા લીધેલા લગ્નની અવધિ 5 વર્ષથી ઓછી અથવા તેની બરાબર હોવાની સંભાવના 0.186 છે. અમે તેને મૂલ્યમાં ઉમેરીને મેળવ્યું એફ(x) 4 વર્ષ સહિતની અવધિવાળા લગ્નો માટે, 5 વર્ષની અવધિવાળા લગ્નની સંભાવના.

એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદા અને ગાણિતિક અપેક્ષા અને વિક્ષેપ વચ્ચેનો સંબંધ

ઘણીવાર અલગ રેન્ડમ ચલના તમામ મૂલ્યો જાણીતા નથી, પરંતુ શ્રેણીમાંથી કેટલાક મૂલ્યો અથવા સંભાવનાઓ જાણીતી છે, તેમજ રેન્ડમ ચલનું ગાણિતિક અપેક્ષા અને (અથવા) ભિન્નતા, જેના માટે એક અલગ પાઠ સમર્પિત છે.

ચાલો આપણે અહીં આ પાઠમાંથી કેટલાક સૂત્રો રજૂ કરીએ જે અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણના કાયદાને દોરતી વખતે મદદ કરી શકે છે અને આવી સમસ્યાઓ હલ કરવાના ઉદાહરણો જોઈએ.

એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા તેના તમામ સંભવિત મૂલ્યોના ઉત્પાદનોનો સરવાળો અને આ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ છે:

(1)

વ્યાખ્યા દ્વારા અલગ રેન્ડમ ચલના ભિન્નતા માટેનું સૂત્ર છે:

ગણતરીઓ માટે ઘણીવાર નીચેનું વિક્ષેપ સૂત્ર વધુ અનુકૂળ છે:

, (2)

જ્યાં .

ઉદાહરણ 6.અલગ રેન્ડમ ચલ એક્સમાત્ર બે મૂલ્યો લઈ શકે છે. તે સંભાવના સાથે એક નાનું મૂલ્ય લે છે પી= 0.6. એક અલગ રેન્ડમ ચલનો વિતરણ કાયદો શોધો એક્સ, જો તે જાણીતું હોય કે તેની ગાણિતિક અપેક્ષા અને ભિન્નતા છે.

ઉકેલ. રેન્ડમ ચલ મોટી કિંમત લેશે તેવી સંભાવના x2 , 1 − 0.6 = 4 બરાબર છે. ગાણિતિક અપેક્ષાના સૂત્ર (1) નો ઉપયોગ કરીને, અમે એક સમીકરણ બનાવીએ છીએ જેમાં અજ્ઞાત એ આપણા અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો છે:

વિક્ષેપ સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને, અમે બીજું સમીકરણ બનાવીએ છીએ જેમાં અજાણ્યાઓ પણ એક અલગ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યો છે:

બે પ્રાપ્ત સમીકરણોની સિસ્ટમ

અવેજી પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલો. પ્રથમ સમીકરણથી આપણે મેળવીએ છીએ

આ અભિવ્યક્તિને બીજા સમીકરણમાં બદલીને, સરળ પરિવર્તનો પછી આપણને મળે છે ચતુર્ભુજ સમીકરણ

,

જેના બે મૂળ છે: 7/5 અને −1. પ્રથમ રુટ સમસ્યાની શરતોને પૂર્ણ કરતું નથી, ત્યારથી x2 < x 1 . આમ, એક અલગ રેન્ડમ ચલ જે મૂલ્યો લઈ શકે છે એક્સઅમારા ઉદાહરણની શરતો અનુસાર, સમાન છે x1 = −1 અને x2 = 2 .

રેન્ડમ ચલચલને ચલ કહેવામાં આવે છે જે, દરેક પરીક્ષણના પરિણામે, રેન્ડમ કારણોને આધારે, અગાઉની એક અજાણી કિંમત લે છે. રેન્ડમ ચલોને મોટા લેટિન અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે: $X,\Y,\Z,\ \dots $ તેમના પ્રકાર અનુસાર, રેન્ડમ ચલ હોઈ શકે છે અલગઅને સતત.

અલગ રેન્ડમ ચલ- આ એક રેન્ડમ ચલ છે જેની કિંમતો ગણતરીપાત્ર કરતાં વધુ ન હોઈ શકે, એટલે કે, કાં તો મર્યાદિત અથવા ગણતરીપાત્ર. ગણતરીક્ષમતા દ્વારા અમારો અર્થ એ છે કે રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ 1 . અહીં અલગ રેન્ડમ ચલોના ઉદાહરણો છે:

a) $n$ શોટ સાથે લક્ષ્ય પર હિટની સંખ્યા, અહીં સંભવિત મૂલ્યો $0,\1,\ \dots ,\n$ છે.

b) સિક્કો ફેંકતી વખતે છોડવામાં આવેલા પ્રતીકોની સંખ્યા, અહીં સંભવિત મૂલ્યો $0,\1,\ \dots ,\n$ છે.

c) બોર્ડ પર આવતા જહાજોની સંખ્યા (મૂલ્યોનો ગણી શકાય એવો સમૂહ).

d) PBX પર આવતા કૉલ્સની સંખ્યા (મૂલ્યોનો ગણી શકાય એવો સમૂહ).

1. એક અલગ રેન્ડમ ચલની સંભાવના વિતરણનો કાયદો.

એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ $p\left(x_1\right),\ \dots ,\p\left(x_n\right)$ સાથે $x_1,\dots ,\ x_n$ મૂલ્યો લઈ શકે છે. આ મૂલ્યો અને તેમની સંભાવનાઓ વચ્ચેના પત્રવ્યવહારને કહેવામાં આવે છે એક અલગ રેન્ડમ ચલના વિતરણનો કાયદો. નિયમ પ્રમાણે, આ પત્રવ્યવહાર કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે, જેની પ્રથમ લાઇનમાં $x_1,\dots ,\ x_n$ મૂલ્યો સૂચવવામાં આવે છે, અને બીજી લાઇનમાં સંભાવનાઓ $p_1,\dots ,\p_n$ આ મૂલ્યોને અનુરૂપ સૂચવવામાં આવે છે.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hલાઇન
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

ઉદાહરણ 2 . રેન્ડમ વેરીએબલ $X$ એ ડાઇને ટૉસ કરતી વખતે રોલ કરેલા પોઈન્ટની સંખ્યા હોવા દો. આવા રેન્ડમ ચલ $X$ નીચેના મૂલ્યો લઈ શકે છે: $1,\2,\3,\4,\5,\6$. આ તમામ મૂલ્યોની સંભાવનાઓ $1/6$ જેટલી છે. પછી રેન્ડમ ચલ $X$ ની સંભાવના વિતરણનો કાયદો:

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hલાઇન

\hલાઇન
\end(એરે)$

ટિપ્પણી. એક અલગ રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિતરણ કાયદામાં ઘટનાઓ $1,\2,\\dots ,\6$ ઘટનાઓનું સંપૂર્ણ જૂથ બનાવે છે, તો પછી સંભાવનાઓનો સરવાળો એક સમાન હોવો જોઈએ, એટલે કે, $ \sum(p_i)=1$.

2. એક અલગ રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષા.

રેન્ડમ ચલની ગાણિતિક અપેક્ષાતેનો "મધ્ય" અર્થ સુયોજિત કરે છે. એક અલગ રેન્ડમ ચલ માટે, ગાણિતિક અપેક્ષાની ગણતરી આ મૂલ્યોને અનુરૂપ $x_1,\dots ,\ x_n$ $p_1,\dots ,\p_n$ ની સંભાવનાઓ દ્વારા મૂલ્યોના ઉત્પાદનોના સરવાળા તરીકે કરવામાં આવે છે, એટલે કે : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. અંગ્રેજી ભાષાના સાહિત્યમાં, અન્ય સંકેત $E\left(X\right)$ વપરાય છે.

ગાણિતિક અપેક્ષાના ગુણધર્મો$M\ડાબે(X\જમણે)$:

1. $M\left(X\right)$ એ રેન્ડમ ચલ $X$ ના સૌથી નાના અને સૌથી મોટા મૂલ્યો વચ્ચે આવેલું છે.
2. અચળની ગાણિતિક અપેક્ષા અચલની જ છે, એટલે કે. $M\left(C\જમણે)=C$.
3. ગાણિતિક અપેક્ષાના ચિહ્નમાંથી સ્થિર પરિબળ લઈ શકાય છે: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. રેન્ડમ ચલોના સરવાળાની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના સરવાળા જેટલી છે: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના ઉત્પાદનની ગાણિતિક અપેક્ષા તેમની ગાણિતિક અપેક્ષાઓના ઉત્પાદનની બરાબર છે: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

ઉદાહરણ 3 . ચાલો રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષાને ઉદાહરણ $2$ થી શોધીએ.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1) )\over (6))=3.5.$$

અમે નોંધ કરી શકીએ છીએ કે $M\left(X\right)$ એ રેન્ડમ ચલ $X$ના સૌથી નાના ($1$) અને સૌથી મોટા ($6$) મૂલ્યો વચ્ચે આવેલું છે.

ઉદાહરણ 4 . તે જાણીતું છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા $M\left(X\right)=2$ જેટલી છે. રેન્ડમ ચલ $3X+5$ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમને $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ મળે છે. cdot 2 +5=$11.

ઉદાહરણ 5 . તે જાણીતું છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ ની ગાણિતિક અપેક્ષા $M\left(X\right)=4$ બરાબર છે. રેન્ડમ ચલ $2X-9$ની ગાણિતિક અપેક્ષા શોધો.

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમને $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ મળે છે. cdot 4 -9=-1$.

3. એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિક્ષેપ.

સમાન ગાણિતિક અપેક્ષાઓ સાથેના રેન્ડમ ચલોના સંભવિત મૂલ્યો તેમના સરેરાશ મૂલ્યોની આસપાસ અલગ રીતે વિખેરી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે વિદ્યાર્થી જૂથોમાં સંભાવના સિદ્ધાંતમાં પરીક્ષા માટે સરેરાશ સ્કોર 4 હતો, પરંતુ એક જૂથમાં દરેક સારા વિદ્યાર્થીઓ હોવાનું બહાર આવ્યું, અને બીજા જૂથમાં ફક્ત C વિદ્યાર્થીઓ અને ઉત્તમ વિદ્યાર્થીઓ હતા. તેથી, રેન્ડમ ચલની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતાની જરૂર છે જે તેની ગાણિતિક અપેક્ષાની આસપાસ રેન્ડમ ચલના મૂલ્યોનો ફેલાવો દર્શાવે છે. આ લાક્ષણિકતા વિક્ષેપ છે.

એક અલગ રેન્ડમ ચલનો ભિન્નતા$X$ બરાબર છે:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2).\ $$

અંગ્રેજી સાહિત્યમાં $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ નો ઉપયોગ થાય છે. ઘણી વાર $D\left(X\right)$ ની ગણતરી $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. ડાબે(X \જમણે)\જમણે))^2$.

વિક્ષેપ ગુણધર્મો$D\ડાબે(X\જમણે)$:

1. ભિન્નતા હંમેશા શૂન્ય કરતા વધારે અથવા સમાન હોય છે, એટલે કે. $D\left(X\જમણે)\ge 0$.
2. અચળનું વિચલન શૂન્ય છે, એટલે કે. $D\left(C\જમણે)=0$.
3. અચળ પરિબળને વિક્ષેપના ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે જો કે તે ચોરસ હોય, એટલે કે. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\જમણે)$.
4. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોના સરવાળાનો ભિન્નતા તેમના ભિન્નતાના સરવાળા સમાન છે, એટલે કે. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\જમણે)$.
5. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલો વચ્ચેના તફાવતનો તફાવત તેમના ભિન્નતાના સરવાળા જેટલો છે, એટલે કે. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\જમણે)$.

ઉદાહરણ 6 . ચાલો રેન્ડમ ચલ $X$ ના વિચલનની ગણતરી ઉદાહરણ $2$ થી કરીએ.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right)^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\જમણે))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\જમણે))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\જમણે))^2=((35)\over (12))\અંદાજે 2.92.$$

ઉદાહરણ 7 . તે જાણીતું છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ નું વિચલન $D\left(X\right)=2$ બરાબર છે. રેન્ડમ ચલ $4X+1$ નું વિચલન શોધો.

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= શોધીએ છીએ. 16D\ ડાબે(X\જમણે)=16\cdot 2=32$.

ઉદાહરણ 8 . તે જાણીતું છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ નું વિચલન $D\left(X\right)=3$ બરાબર છે. રેન્ડમ વેરીએબલ $3-2X$નો તફાવત શોધો.

ઉપરોક્ત ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ ડાબે(X\જમણે)=4\cdot 3=12$.

4. એક અલગ રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય.

ડિસ્ટ્રિબ્યુશન શ્રેણીના સ્વરૂપમાં એક અલગ રેન્ડમ ચલને રજૂ કરવાની પદ્ધતિ એકમાત્ર નથી, અને સૌથી અગત્યનું, તે સાર્વત્રિક નથી, કારણ કે વિતરણ શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને સતત રેન્ડમ ચલનો ઉલ્લેખ કરી શકાતો નથી. રેન્ડમ ચલને રજૂ કરવાની બીજી રીત છે - વિતરણ કાર્ય.

વિતરણ કાર્યરેન્ડમ વેરીએબલ $X$ ને ફંક્શન $F\left(x\right)$ કહેવાય છે, જે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે રેન્ડમ ચલ $X$ અમુક નિશ્ચિત મૂલ્ય $x$ કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે, એટલે કે, $F\ ડાબે(x\જમણે)=P\ડાબે(X< x\right)$

વિતરણ કાર્યના ગુણધર્મો:

1. $0\le F\left(x\જમણે)\le 1$.
2. રેન્ડમ ચલ $X$ એ $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ માંથી મૂલ્યો લેશે તેવી સંભાવના આના છેડે વિતરણ કાર્યના મૂલ્યો વચ્ચેના તફાવતની બરાબર છે. અંતરાલ: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - બિન-ઘટતું.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

ઉદાહરણ 9 . ચાલો આપણે ડિસ્ટ્રિબ્યુશન ફંક્શન $F\left(x\right)$ શોધીએ.

$\begin(એરે)(|c|c|)
\hલાઇન
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hલાઇન
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hલાઇન
\end(એરે)$

જો $x\le 1$, તો દેખીતી રીતે, $F\left(x\right)=0$ ($x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X સહિત)< 1\right)=0$).

જો $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

જો $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

જો $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

જો $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

જો $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

જો $x > 6$, તો $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

તેથી $F(x)=\left\(\begin(મેટ્રિક્સ)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, પર\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, પર\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ માટે\ x > 6.
\end(મેટ્રિક્સ)\right.$