કેટલાક નંબર દો એક્સÎ આર + પ્રથમ માં બદલાઈ એ,અને પછી વી,અને નંબર એક્સએટલા મહાન છે કે આ બંને ફેરફારો સેટમાંથી અનુમાનિત થતા નથી આર + . ચાલો ફોન કરીએ રકમસંખ્યાઓ એઅને વીપરિણામી ફેરફાર દર્શાવતી વાસ્તવિક સંખ્યા. ઉદાહરણ તરીકે, જો તમે પહેલા 4 અને પછી 7 માં ફેરફાર કરો છો, તો નંબર 12 પહેલા 16 પર જશે અને પછી 16 23 પર જશે. પરંતુ 12 ને 23 પર જવા માટે, તમારે તેને 11 પર બદલવાની જરૂર છે. , જેનો અર્થ થાય છે 4 + 7 = 11, ગમે છે અને તે હોવું જોઈએ. જો તમે પહેલા -4 અને પછી -7 માં ફેરફાર કરો છો, તો પછી 12 પહેલા 8 પર જશે; અને પછી 1. પરંતુ 12 માંથી 1 મેળવવા માટે, તમારે 12 ને –11 માં બદલવાની જરૂર છે. તે અનુસરે છે કે (–4) + (–7) = –11.
સામાન્ય રીતે, જો એઅને વી -હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને
એક્સ>એ+વી,પછી જ્યારે બદલાય ત્યારે - વીસંખ્યા એક્સ–એજાય છે ( x – એ) – વી,તે વી એક્સ–(એ + વી).
પરંતુ મેળવવા માટે એક્સ – (એ + વી), બદલવાની જરૂર છે એક્સચાલુ
–(a + b). આ દર્શાવે છે કે (- એ) + (–વી) = – (a + b).
ચાલો હવે વિરોધી ચિહ્નોની સંખ્યાના ઉમેરાને ધ્યાનમાં લઈએ. જ્યારે શરતો વિરુદ્ધ સંખ્યાઓ હોય ત્યારે ચાલો કેસથી પ્રારંભ કરીએ. દેખીતી રીતે, જો તમે નંબર બદલો છો એક્સપ્રથમ પર એ, અને પછી થી - એ,પછી અમે તેને ફરીથી મેળવીશું એક્સ.બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, x +(a +(–એ)) = એક્સ.કારણ કે બીજી તરફ, એક્સ+ 0 = X,પછી તમારે તેને મુકવાની જરૂર છે a +(–એ) = 0. તેથી, વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે.
હવે સરવાળો શોધીએ એ+ (–વી) સામાન્ય કિસ્સામાં (અમે માનીએ છીએ કે એઅને વીહકારાત્મક સંખ્યાઓ છે, અને તેથી - વીનકારાત્મક). જો એ> વી,તે
એ = (એ–વી)+ માં,અને તેથી એ+ (–વી) = (એ–વી)+વી+ (–વી).
પરંતુ સંખ્યામાં ક્રમિક ફેરફારો એક્સચાલુ એ– માં, માંઅને - વીમાં બદલીને બદલી શકાય છે એ–વી(માટે બદલાય છે વીઅને - વીપરસ્પર નાશ). તેથી અમે મૂકી a +(–વી) = એ–વી,જો એ> વી.તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યારે એ> વીઅને (- વી) +એ = એ–વી.
ચાલો હવે એ<વી.આ કિસ્સામાં અમારી પાસે છે - વી = (–એ)+ (–(વી– એ)), અને તેથી એ + (–વી) = એ + (–એ) + (–(વી– એ)) = – (વી – એ). તેથી, જ્યારે a < વીમૂકવાની જરૂર છે એ + (–વી) = – (વી – એ). ઉમેરતી વખતે સમાન પરિણામ પ્રાપ્ત થશે - વીઅને એ: (–વી) + એ = –(વી– એ).
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ ઉમેરવા માટેના પરિણામી નિયમો નીચેની વ્યાખ્યા તરીકે ઘડી શકાય છે.
વ્યાખ્યા.ઉમેરતી વખતેએક જ ચિહ્નની બે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સમાન ચિહ્નની સંખ્યામાં પરિણમશે, જેનું મોડ્યુલસ શરતોના મોડ્યુલીના સરવાળા જેટલું છે. વિવિધ ચિહ્નોની સંખ્યા ઉમેરતી વખતે, એક સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે જેનું ચિહ્ન મોટા મોડ્યુલ ધરાવતા શબ્દના ચિહ્ન સાથે મેળ ખાય છે, અને મોડ્યુલ શરતોના મોટા અને નાના મોડ્યુલોના તફાવત સમાન છે. વિરોધી સંખ્યાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે, અને શૂન્ય સાથે ઉમેરવાથી સંખ્યા બદલાતી નથી.
તે ઉમેરાને તપાસવું સરળ છે આર કોમ્યુટેટીવીટી, એસોસિએટીવીટી અને કોન્ટ્રાક્ટીલીટીના ગુણધર્મો ધરાવે છે. ઉપરોક્ત વ્યાખ્યા પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે શૂન્ય એ વધારાના સંદર્ભમાં તટસ્થ તત્વ છે , તે
a + 0= એ.
બાદબાકીવિપુલ પ્રમાણમાં આર ઉમેરાની વ્યસ્ત કામગીરી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કારણ કે દરેક નંબર વીવી આર તેની વિરુદ્ધ સંખ્યા છે - વી,જેમ કે વી+ (–વી) = 0, પછી સંખ્યા બાદ કરો વીસંખ્યા સાથે ઉમેરા સમાન છે - માં: a–વી=એ+ (–વી).
હકીકતમાં, કોઈપણ માટે એઅને વીઅમારી પાસે છે:
(એ + (–વી)) + વી = એ+ ((–વી) + વી) = એ,અને આનો અર્થ એ છે કે એ– વી = એ + (–વી).
હકારાત્મક સંખ્યાઓ માટે એઅને વી, જેમ કે એ>વી,તેમનો તફાવત
એ–વીજેમાં એક ફેરફાર હતો વીમાં જાય છે એ.આ સાથે સામ્યતા દ્વારા, અમે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે કૉલ કરીએ છીએ એઅને વીસંખ્યા એ–વીઅનુવાદ કે ફેરફાર કરો વીવી એ. તે બિંદુ 0 લે છે એ – વી.હકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓની વાત કરીએ તો, આ ફેરફાર બિંદુ પરથી આવતા નિર્દેશિત સેગમેન્ટ દ્વારા ભૌમિતિક રીતે દર્શાવવામાં આવે છે. વીબિંદુ સુધી એ.તેની લંબાઈ મૂળથી બિંદુ સુધીના અંતર જેટલી છે
એ–વી,તે મોડ્યુલો નંબર એ–વી.અમે નીચેના મહત્વપૂર્ણ નિવેદનને સાબિત કર્યું છે:
બિંદુ પરથી આવતા સેગમેન્ટની લંબાઈ વીબિંદુ સુધી એ,સમાન | એ–વી|.
ચાલો સેટમાં પરિચય આપીએ આર
ઓર્ડર સંબંધ. અમે તે ધારીશું
એ> વીજો અને માત્ર જો તફાવત એ– વીહકારાત્મક તે સાબિત કરવું સરળ છે કે આ સંબંધ અપ્રતિમ અને સંક્રાન્તિક છે, એટલે કે. કડક હુકમનો સંબંધ છે. તદુપરાંત, કોઈપણ માટે એઅને વીથી આર
સંબંધોમાંથી એક અને માત્ર એક જ સાચો છે: એ= વી, એ< માં, માં< એ,તે માં ઓર્ડર સંબંધ આર
રેખીય ત્યારથી એ– 0 = એ,તે એ> 0 જો aÎ આર
+
, અને એ< 0, еслиએÎ આર -
.
તે સાબિત કરવું મુશ્કેલ નથી કે જો એ> વી,પછી કોઈપણ માટે સાથેÎ આર
અમારી પાસે છે
એ+ સાથે> વી+ સાથે.
વિષય નંબર 1.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ. આંકડાકીય અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર
I. સૈદ્ધાંતિક સામગ્રી
મૂળભૂત ખ્યાલો
· કુદરતી સંખ્યાઓ
· સંખ્યાનું દશાંશ સંકેત
· વિરોધી સંખ્યાઓ
· પૂર્ણાંક
· સામાન્ય અપૂર્ણાંક
તર્કસંગત સંખ્યાઓ
· અનંત દશાંશ
· સંખ્યાનો સમયગાળો, સામયિક અપૂર્ણાંક
· અતાર્કિક સંખ્યાઓ
· વાસ્તવિક સંખ્યાઓ
અંકગણિત કામગીરી
સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ
· અભિવ્યક્તિ મૂલ્ય
· દશાંશ અપૂર્ણાંકનું સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર
અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું
સામયિક અપૂર્ણાંકનું સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર
· અંકગણિત કામગીરીના કાયદા
· વિભાજ્યતાના ચિહ્નો
ઑબ્જેક્ટની ગણતરી કરતી વખતે અથવા સમાન ઑબ્જેક્ટ વચ્ચે ઑબ્જેક્ટનો સીરીયલ નંબર સૂચવવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી સંખ્યાઓ કહેવામાં આવે છે કુદરતી. દસનો ઉપયોગ કરીને કોઈપણ કુદરતી સંખ્યા લખી શકાય છે સંખ્યાઓ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. સંખ્યાઓના આ સંકેત કહેવામાં આવે છે દશાંશ
ઉદાહરણ તરીકે: 24; 3711; 40125.
કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે એન.
બે સંખ્યાઓ જે એકબીજાથી માત્ર ચિહ્ન દ્વારા અલગ પડે છે તેને કહેવામાં આવે છે વિરુદ્ધસંખ્યાઓ
ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 7 અને – 7.
કુદરતી સંખ્યાઓ, તેમના વિરોધી અને સંખ્યા શૂન્ય સમૂહ બનાવે છે સમગ્ર ઝેડ.
ઉદાહરણ તરીકે: – 37; 0; 2541.
ફોર્મની સંખ્યા, ક્યાં m -પૂર્ણાંક, n -કુદરતી સંખ્યા, જેને સામાન્ય કહેવાય છે અપૂર્ણાંક. નોંધ કરો કે કોઈપણ કુદરતી સંખ્યાને 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ તરીકે: , .
પૂર્ણાંકો અને અપૂર્ણાંકો (ધન અને ઋણ) ના સમૂહોનું જોડાણ સમૂહ બનાવે છે તર્કસંગતસંખ્યાઓ તે સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે પ્ર.
ઉદાહરણ તરીકે: ; – 17,55; .
આપેલ દશાંશ અપૂર્ણાંક આપવા દો. જો તમે જમણી બાજુએ કોઈપણ સંખ્યામાં શૂન્ય ઉમેરશો તો તેનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં.
ઉદાહરણ તરીકે: 3,47 = 3,470 = 3,4700 = 3,47000… .
આવા દશાંશને અનંત દશાંશ કહેવાય છે.
કોઈપણ સામાન્ય અપૂર્ણાંકને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
સંખ્યાના દશાંશ બિંદુ પછીના અંકોના ક્રમિક રીતે પુનરાવર્તિત જૂથને કહેવામાં આવે છે સમયગાળો, અને તેના સંકેતમાં આવા સમયગાળા ધરાવતા અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક કહેવાય છે સામયિક. સંક્ષિપ્તતા માટે, તે કૌંસમાં બંધ કરીને, એક વાર સમયગાળો લખવાનો રિવાજ છે.
ઉદાહરણ તરીકે: 0,2142857142857142857… = 0,2(142857).
2,73000… = 2,73(0).
અનંત દશાંશ બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે અતાર્કિકસંખ્યાઓ
તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓના સમૂહનું જોડાણ સમૂહની રચના કરે છે માન્યસંખ્યાઓ તે સામાન્ય રીતે સૂચવવામાં આવે છે આર.
ઉદાહરણ તરીકે: ; 0,(23); 41,3574…
નંબર 
અતાર્કિક છે.
બધી સંખ્યાઓ માટે, ત્રણ પગલાંની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે:
· સ્ટેજ I ક્રિયાઓ: સરવાળો અને બાદબાકી;
· સ્ટેજ II ક્રિયાઓ: ગુણાકાર અને ભાગાકાર;
· સ્ટેજ III ક્રિયાઓ: ઘાતીકરણ અને મૂળ નિષ્કર્ષણ.
સંખ્યાઓ, અંકગણિત પ્રતીકો અને કૌંસની બનેલી અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે સંખ્યાત્મક
ઉદાહરણ તરીકે: 
; .
ક્રિયાઓ કરવાના પરિણામે મેળવેલ નંબર કહેવાય છે અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય.
સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિ અર્થ નથી, જો તે શૂન્ય વડે ભાગાકાર ધરાવે છે.
અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધતી વખતે, સ્ટેજ III, સ્ટેજ II અને સ્ટેજ I ની ક્રિયાના અંતે ક્રમિક રીતે કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિમાં કૌંસની પ્લેસમેન્ટને ધ્યાનમાં લેવી જરૂરી છે.
સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનું રૂપાંતર એ યોગ્ય નિયમો (વિવિધ છેદ સાથે સામાન્ય અપૂર્ણાંક ઉમેરવા, દશાંશનો ગુણાકાર, વગેરે) નો ઉપયોગ કરીને તેમાં સમાવિષ્ટ સંખ્યાઓ પર ક્રમિક રીતે અંકગણિત ક્રિયાઓ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. પાઠ્યપુસ્તકોમાં સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને રૂપાંતરિત કરવાના કાર્યો નીચેના ફોર્મ્યુલેશનમાં જોવા મળે છે: "સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો", "સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો", "ગણતરી કરો", વગેરે.
કેટલાક સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિઓના મૂલ્યો શોધતી વખતે, તમારે વિવિધ પ્રકારના અપૂર્ણાંકો સાથે કામગીરી કરવી પડશે: સામાન્ય, દશાંશ, સામયિક. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવું અથવા વિપરીત ક્રિયા કરવી જરૂરી હોઈ શકે છે - સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય સાથે બદલો.
કન્વર્ટ કરવા માટે દશાંશથી સામાન્ય અપૂર્ણાંક, અપૂર્ણાંકના અંશમાં દશાંશ બિંદુ પછીની સંખ્યા અને છેદમાં શૂન્ય સાથેની એક સંખ્યા લખવા માટે તે પૂરતું છે, અને દશાંશ બિંદુની જમણી બાજુએ જેટલા અંકો છે તેટલા શૂન્ય હોવા જોઈએ.
ઉદાહરણ તરીકે: ; .
કન્વર્ટ કરવા માટે અપૂર્ણાંક થી દશાંશ, તમારે દશાંશ અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગવા માટેના નિયમ અનુસાર તેના અંશને તેના છેદ વડે ભાગવાની જરૂર છે.
ઉદાહરણ તરીકે: 
;
;
.
કન્વર્ટ કરવા માટે સામયિક અપૂર્ણાંકથી સામાન્ય અપૂર્ણાંક, જરૂરી:
1) બીજા સમયગાળા પહેલાની સંખ્યામાંથી, પ્રથમ અવધિ પહેલાની સંખ્યા બાદ કરો;
2) આ તફાવતને અંશ તરીકે લખો;
3) પીરિયડમાં જેટલી સંખ્યાઓ હોય છે તેટલી વખત છેદમાં નંબર 9 લખો;
4) છેદમાં ઘણા શૂન્ય ઉમેરો કારણ કે દશાંશ બિંદુ અને પ્રથમ અવધિ વચ્ચેના અંકો છે.
ઉદાહરણ તરીકે: 
; 
.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર અંકગણિત કામગીરીના નિયમો
1. મુસાફરી(વિનિમયાત્મક) વધારાનો કાયદો: શરતોને ફરીથી ગોઠવવાથી સરવાળાના મૂલ્યમાં ફેરફાર થતો નથી:
2. મુસાફરી(વિનિમયાત્મક) ગુણાકારનો કાયદો: પરિબળોને ફરીથી ગોઠવવાથી ઉત્પાદનની કિંમત બદલાતી નથી:
3. સંયોજક(એસોસિએટીવ) વધારાનો કાયદો: જો કોઈ પણ શબ્દોના જૂથને તેમના સરવાળા દ્વારા બદલવામાં આવે તો રકમનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
4. સંયોજક(સહયોગી) ગુણાકારનો કાયદો: જો પરિબળોના કોઈપણ જૂથને તેમના ઉત્પાદન દ્વારા બદલવામાં આવે તો ઉત્પાદનનું મૂલ્ય બદલાશે નહીં:
.
5. વિતરણ(વિતરણાત્મક) સરવાળો સંબંધિત ગુણાકારનો કાયદો: સંખ્યા દ્વારા રકમનો ગુણાકાર કરવા માટે, દરેક ઉમેરણને આ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવા અને પરિણામી ઉત્પાદનો ઉમેરવા માટે તે પૂરતું છે:
ગુણધર્મો 6 - 10 ને શોષણ કાયદા 0 અને 1 કહેવામાં આવે છે.
વિભાજ્યતાના ચિહ્નો
ગુણધર્મો કે જે અમુક કિસ્સાઓમાં, ભાગ્યા વિના, એક સંખ્યાને બીજી સંખ્યા વડે વિભાજ્ય છે કે કેમ તે નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે, કહેવામાં આવે છે વિભાજનના ચિહ્નો.
2 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ.સંખ્યા 2 વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો સંખ્યા અંતમાં હોય સમસંખ્યા એટલે કે, 0, 2, 4, 6, 8 પર.
ઉદાહરણ તરીકે: 12834; –2538; 39,42.
3 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ. સંખ્યા 3 વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો તેના અંકોનો સરવાળો 3 વડે ભાગી શકાય.
ઉદાહરણ તરીકે: 2742; –17940.
4 દ્વારા વિભાજ્યતા માટે પરીક્ષણ. ઓછામાં ઓછા ત્રણ અંકો ધરાવતી સંખ્યાને 4 વડે ભાગી શકાય છે જો અને માત્ર જો આપેલ સંખ્યાના છેલ્લા બે અંકો દ્વારા બનેલી બે-અંકની સંખ્યા 4 વડે વિભાજ્ય હોય.
ઉદાહરણ તરીકે: 15436; –372516.
5 દ્વારા વિભાજ્યતા પરીક્ષણ. સંખ્યા 5 વડે ભાગી શકાય છે જો અને માત્ર જો તેનો છેલ્લો અંક 0 અથવા 5 હોય.
ઉદાહરણ તરીકે: 754570; –4125.
9 સુધીમાં વિભાજ્યતા પરીક્ષણ. સંખ્યા 9 વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો તેના અંકોનો સરવાળો 9 વડે ભાગી શકાય.
ઉદાહરણ તરીકે: 846; –76455.
પાઠ #2.
પાઠ વિષય. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.
પાઠનો હેતુ. વાસ્તવિક સંખ્યાની વિભાવનાનો પરિચય આપો. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ સાથે કામગીરી.
પાઠની પ્રગતિ.
આઈ. સંસ્થાકીય ક્ષણ. પાઠનો વિષય અને હેતુ જણાવો.
II . આવરી લેવામાં આવતી સામગ્રીનું પુનરાવર્તન.
1. હોમવર્ક પરના પ્રશ્નોના જવાબો (વણઉકેલાયેલી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ).
2. જ્ઞાન પ્રાપ્તિનું નિયંત્રણ (સ્વતંત્ર કાર્ય).
વિકલ્પ 1. વિકલ્પ 2.
1. અભિવ્યક્તિઓના અર્થો શોધો:
1) ; 2) ; 3) 1) 2) 3)
2. ગણતરી કરો:
1) 2) 1) 2)
3) 4) 3) ; 4)
III . નવી સામગ્રી શીખવી.
1.તર્કસંગત સંખ્યાઓ માપન સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે પૂરતું નથી. તેથી જો તમે માત્ર તર્કસંગત સંખ્યાઓ (2.5 t.l. BC) નો ઉપયોગ કરો તો એકમ બાજુવાળા ચોરસના કર્ણને માપી શકાતું નથી.
માપન કાર્યો માટે, તમે પ્રમાણભૂત મૂલ્ય પસંદ કરી શકો છો - સેગમેન્ટની લંબાઈ અને સંખ્યાઓને ભૌમિતિક રીતે સેટ કરી શકો છો - સેગમેન્ટ્સ દ્વારા, અથવા તેના બદલે પસંદ કરેલ સિંગલ સેગમેન્ટ (સ્કેલનું એકમ) સાથેના તેમના સંબંધો દ્વારા. જો આપણે એકમ નંબરના સેગમેન્ટના ગુણોત્તરને સંખ્યા કહીએ, તો સંખ્યા લખવાનું કાર્ય ઉદ્ભવે છે. દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે સંખ્યા લખવી અનુકૂળ છે, જે અમુક માપન પ્રક્રિયાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.
બાજુ 1 સાથેના ચોરસના કર્ણને માપતી વખતે, આપણે સૌ પ્રથમ સંપૂર્ણ બાજુએ રાખીએ છીએ
એકમ સેગમેન્ટ કરો અને નંબર 1 મેળવો. બાકીના દસ અલગ રાખવામાં આવશે-
એકમ સેગમેન્ટનો તે ભાગ. તે 4 વખત જમા કરવામાં આવશે, અને એક સેગમેન્ટ રહેશે
લંબાઈ ઓછી . આપણને દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.4 મળે છે. પછી આપણે વિભાજીત કરીએ છીએ
ફરીથી 10 ભાગોમાં, બાકીના તરીકે નવા સેગમેન્ટને અલગ રાખો અને લખો
પરિણામ આપણે વધતા જતા દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ક્રમ મેળવીએ છીએ
દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યા: 1; 1.4; 1.41; 1.414; 1.4142;….
આ ક્રમને એક અનંત તરીકે રજૂ કરવું અનુકૂળ છે
નાના દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.414213562373095..., જેને ગણી શકાય
સંખ્યા તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારાવાસ્તવિક સંખ્યા અનંત છે
બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક.
2. અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક. તર્કસંગત સંખ્યા દર્શાવેલ છે
એક અપૂર્ણાંક જેના છેદમાં ફક્ત બે અને પાંચ હોય છે તે લખવામાં આવશે
અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક, કારણ કે અમુક તબક્કે દશાંશ માપન પ્રક્રિયા સમાપ્ત થશે - એકમ સેગમેન્ટનો ચોક્કસ અપૂર્ણાંક બાકીની પૂર્ણાંક સંખ્યામાં જમા કરવામાં આવશે.
ઉદાહરણ તરીકે:
જો અમુક અપૂર્ણ અપૂર્ણાંક જો છેદમાં 2 અને 5 સિવાયની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય, તો દશાંશ માપન પ્રક્રિયા સામયિક બનશે, અને અંકો (એક અથવા વધુ) સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ કરશે.
ઉદાહરણ તરીકે: 
3. અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે તર્કસંગત નથી. તેઓ અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે લખવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: .
તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓના સમૂહનું જોડાણ સમૂહ બનાવે છેવાસ્તવિક સંખ્યાઓ આર . ( ).
4 . શા માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જરૂર હતી, અને શું તે સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે પૂરતી છે?
તર્કસંગત સંખ્યાઓમાં અતાર્કિક સંખ્યાઓનો ઉમેરો કોઈપણ વિભાગોની લંબાઈને માપવાની જરૂરિયાતને કારણે થયો હતો. આ રીતે બાંધવામાં આવેલ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની મદદથી, વ્યક્તિ અન્ય ઘણા જથ્થાઓને માપી શકે છે જે હતાનામ આપવામાં આવ્યું છે સ્કેલર.
5 . એક સમાન બાજુવાળા ચોરસના કર્ણને તર્કસંગત સંખ્યા દ્વારા કેમ માપી શકાતા નથી?
6. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ પર કામગીરી.
અનંત દશાંશ એ આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યાના મર્યાદિત દશાંશ દ્વારા અંદાજિત ક્રમ છે. તેમના પર અંકગણિત કામગીરી કરવા માટે, આ કામગીરી મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક પર કરવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ તરીકે: . અમને મળે છે:
તેવી જ રીતે (કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને).
વાસ્તવિક સંખ્યાઓને સંખ્યા રેખા પરના બિંદુઓ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે. જો બે નંબર b બિંદુઓ દ્વારા ચિત્રિત સંખ્યા અક્ષ પર, પછી વચ્ચેનું અંતરએ અને બી સંખ્યાઓના તફાવતના મોડ્યુલસની સમાનa u b ગુણધર્મો:
હું વિ. આવરી લેવામાં આવેલી સામગ્રીને મજબૂત બનાવવી.
1. પ્રશ્નોના જવાબ આપો.
1) શું દરેક પૂર્ણાંક તર્કસંગત છે? (હા)
2) સંખ્યા છે અતાર્કિક? (ના)
3) શું તર્કસંગત સંખ્યાઓનો સરવાળો હંમેશા તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે? (નં. સામયિક અપૂર્ણાંકનો સરવાળો.)
4) શું અતાર્કિક સંખ્યાઓ ઉમેરવાથી તર્કસંગત સંખ્યા બની શકે? (ના)
5) શું અતાર્કિક સંખ્યા વડે ભાગવામાં આવેલ પરિમેય સંખ્યાનો ભાગ્ય પરિમેય સંખ્યા હોઈ શકે? (ના)
6) શું અતાર્કિક સંખ્યાનો વર્ગ હંમેશા તર્કસંગત સંખ્યા હોય છે? (નં. ).
2. ઉદાહરણો ઉકેલવા.
1) તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓના ઉદાહરણો આપો.
2) તર્કસંગત અને અતાર્કિક સંખ્યાઓ સૂચવો:
3) શું તે સાચું છે કે: a). b)
જુનિયર હાઈસ્કૂલનું પુનરાવર્તન
અભિન્ન
વ્યુત્પન્ન
શરીરના જથ્થા
ક્રાંતિની સંસ્થાઓ
અવકાશમાં સંકલન પદ્ધતિ
લંબચોરસ સંકલન સિસ્ટમ. વેક્ટર કોઓર્ડિનેટ્સ અને પોઈન્ટ કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેનો સંબંધ. કોઓર્ડિનેટ્સમાં સૌથી સરળ સમસ્યાઓ. વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન.
સિલિન્ડરનો ખ્યાલ. સિલિન્ડરનો સપાટી વિસ્તાર. શંકુનો ખ્યાલ.
શંકુનો સપાટી વિસ્તાર. ગોળા અને બોલ. ગોળાનું ક્ષેત્રફળ. ગોળા અને વિમાનની સંબંધિત સ્થિતિ.
વોલ્યુમનો ખ્યાલ. લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનું વોલ્યુમ. સીધા પ્રિઝમ અથવા સિલિન્ડરનું વોલ્યુમ. પિરામિડ અને શંકુનો જથ્થો. બોલનું પ્રમાણ.
વિભાગ III. ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત
વ્યુત્પન્ન. પાવર ફંક્શનનું વ્યુત્પન્ન. ભિન્નતાના નિયમો. કેટલાક પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન. વ્યુત્પન્નનો ભૌમિતિક અર્થ.
કાર્યોના અભ્યાસ માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગકાર્યમાં વધારો અને ઘટાડો. કાર્યની ચરમસીમા. પ્લોટિંગ ગ્રાફ માટે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ. કાર્યના સૌથી મોટા અને નાના મૂલ્યો.
એન્ટિડેરિવેટિવ. એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટેના નિયમો. વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ અને અભિન્ન વિસ્તાર. ઇન્ટિગ્રલ્સની ગણતરી. ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તારોની ગણતરી.
પરીક્ષાઓ માટે શૈક્ષણિક અને તાલીમ કાર્યો
વિભાગ I. બીજગણિત
સંખ્યા એ એક એબ્સ્ટ્રેક્શન છે જેનો ઉપયોગ વસ્તુઓની માત્રા નક્કી કરવા માટે થાય છે. વસ્તુઓની ગણતરી કરવાની લોકોની જરૂરિયાતના સંબંધમાં આદિમ સમાજમાં સંખ્યાઓ ઊભી થઈ. સમય જતાં, જેમ વિજ્ઞાનનો વિકાસ થતો ગયો, સંખ્યા એ સૌથી મહત્વપૂર્ણ ગાણિતિક ખ્યાલમાં ફેરવાઈ ગઈ.
સમસ્યાઓ ઉકેલવા અને વિવિધ પ્રમેય સાબિત કરવા માટે, તમારે એ સમજવાની જરૂર છે કે ત્યાં કયા પ્રકારની સંખ્યાઓ છે. મૂળભૂત પ્રકારની સંખ્યાઓમાં સમાવેશ થાય છે: કુદરતી સંખ્યાઓ, પૂર્ણાંકો, તર્કસંગત સંખ્યાઓ, વાસ્તવિક સંખ્યાઓ.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એ સંખ્યાઓ છે જે કુદરતી રીતે વસ્તુઓની ગણતરી કરીને અથવા તેના બદલે તેમને નંબર આપીને મેળવવામાં આવે છે (“પ્રથમ”, “બીજો”, “ત્રીજો”...). કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ લેટિન અક્ષર N દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે (અંગ્રેજી શબ્દ નેચરલના આધારે યાદ રાખી શકાય છે). આપણે કહી શકીએ કે N =(1,2,3,....)
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને શૂન્ય અને નકારાત્મક સંખ્યાઓ (એટલે કે, કુદરતી સંખ્યાઓની વિરુદ્ધની સંખ્યાઓ) સાથે પૂરક બનાવીને, કુદરતી સંખ્યાઓનો સમૂહ પૂર્ણાંકોના સમૂહ સુધી વિસ્તૃત થાય છે.
પૂર્ણાંકો સમૂહમાંથી સંખ્યાઓ છે (0, 1, -1, 2, -2, ....). આ સમૂહમાં ત્રણ ભાગોનો સમાવેશ થાય છે - કુદરતી સંખ્યાઓ, નકારાત્મક પૂર્ણાંકો (કુદરતી સંખ્યાઓની વિરુદ્ધ) અને સંખ્યા 0 (શૂન્ય). પૂર્ણાંકો લેટિન અક્ષર Z દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આપણે કહી શકીએ કે Z=(1,2,3,....). તર્કસંગત સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં m એ પૂર્ણાંક છે અને n એ કુદરતી સંખ્યા છે.
ત્યાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ છે જે મર્યાદિત દશાંશ તરીકે લખી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે. જો, ઉદાહરણ તરીકે, તમે જાણીતા કોર્નર ડિવિઝન અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે સંખ્યા લખવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો તમને અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક મળશે. અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક કહેવાય છે સામયિકપુનરાવર્તન નંબર 3 - તેણી સમયગાળોસામયિક અપૂર્ણાંક સંક્ષિપ્તમાં નીચે પ્રમાણે લખાયેલ છે: 0,(3); વાંચે છે: "શૂન્ય પૂર્ણાંક અને ત્રણ સમયગાળામાં."
સામાન્ય રીતે, સામયિક અપૂર્ણાંક એ અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંક છે જેમાં, ચોક્કસ દશાંશ સ્થાનથી શરૂ કરીને, સમાન અંક અથવા ઘણા અંકો પુનરાવર્તિત થાય છે - અપૂર્ણાંકનો સમયગાળો.
ઉદાહરણ તરીકે, દશાંશ અપૂર્ણાંક 56 ના સમયગાળા સાથે સામયિક છે; વાંચે છે "23 સંપૂર્ણ, 14 સોમા અને 56 સમયગાળામાં."
તેથી, દરેક તર્કસંગત સંખ્યાને અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે.
વાતચીત પણ સાચી છે: દરેક અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક એક તર્કસંગત સંખ્યા છે, કારણ કે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે, જ્યાં પૂર્ણાંક છે અને કુદરતી સંખ્યા છે.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જેનો ઉપયોગ સતત જથ્થાને માપવા માટે થાય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ લેટિન અક્ષર R દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં તર્કસંગત સંખ્યાઓ અને અતાર્કિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે. અતાર્કિક સંખ્યાઓ એવી સંખ્યાઓ છે જે તર્કસંગત સંખ્યાઓ (ઉદાહરણ તરીકે, મૂળ લેવા, લઘુગણકની ગણતરી) સાથે વિવિધ કામગીરી કરવાના પરિણામે પ્રાપ્ત થાય છે, પરંતુ તે તર્કસંગત નથી. અતાર્કિક સંખ્યાઓના ઉદાહરણો છે:
નંબર લાઇન પર કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા પ્રદર્શિત કરી શકાય છે:
ઉપર સૂચિબદ્ધ સંખ્યાઓના સમૂહ માટે, નીચેનું વિધાન સાચું છે: પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ પૂર્ણાંકોના સમૂહમાં સમાવવામાં આવેલ છે, પૂર્ણાંકોનો સમૂહ પરિમેય સંખ્યાઓના સમૂહમાં સમાવવામાં આવેલ છે, અને પરિમેય સંખ્યાઓનો સમૂહ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમૂહ. આ વિધાન યુલર વર્તુળોનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે.
સ્વતંત્ર ઉકેલ માટે કસરતો
