દશાંશ સંખ્યાઓને કુદરતી સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવી. તેઓ સમાન નંબરો ધરાવે છે! નવા પાઠ્યપુસ્તકો અનુસાર

અપૂર્ણાંક એ સંપૂર્ણના એક અથવા વધુ ભાગો છે, જે સામાન્ય રીતે એક (1) તરીકે લેવામાં આવે છે. કુદરતી સંખ્યાઓની જેમ, તમે અપૂર્ણાંક સાથે તમામ મૂળભૂત અંકગણિત કામગીરી (ઉમેર, બાદબાકી, ભાગાકાર, ગુણાકાર) કરી શકો છો, આ કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવાની સુવિધાઓ જાણવાની અને તેમના પ્રકારો વચ્ચે તફાવત કરવાની જરૂર છે. અપૂર્ણાંકના ઘણા પ્રકારો છે: દશાંશ અને સામાન્ય અથવા સરળ. દરેક પ્રકારના અપૂર્ણાંકની પોતાની વિશિષ્ટતાઓ હોય છે, પરંતુ એકવાર તમે તેને કેવી રીતે હેન્ડલ કરવું તે સારી રીતે સમજી લો, પછી તમે કોઈપણ ઉદાહરણોને અપૂર્ણાંક સાથે હલ કરી શકશો, કારણ કે તમે અપૂર્ણાંક સાથે અંકગણિત ગણતરીઓ કરવાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતોને જાણશો. ચાલો વિવિધ પ્રકારના અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે કેવી રીતે વિભાજીત કરી શકાય તેના ઉદાહરણો જોઈએ.

દશાંશને પૂર્ણ સંખ્યા વડે કેવી રીતે ભાગી શકાય?
દશાંશ એ એક અપૂર્ણાંક છે જે એકમને દસ, હજાર અને તેથી વધુ ભાગોમાં વિભાજીત કરીને મેળવવામાં આવે છે. દશાંશ સાથે અંકગણિત કામગીરી એકદમ સરળ છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ કે કેવી રીતે અપૂર્ણાંકને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ભાગી શકાય. ચાલો કહીએ કે આપણે દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.925 ને પ્રાકૃતિક સંખ્યા 5 વડે ભાગવાની જરૂર છે.

• કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવા માટે, લાંબા ભાગનો ઉપયોગ થાય છે;
  
• જ્યારે ડિવિડન્ડના સંપૂર્ણ ભાગનું વિભાજન પૂર્ણ થાય છે ત્યારે અલ્પવિરામ ભાગાંકમાં મૂકવામાં આવે છે.
  

ભાગલાકારનો પ્રથમ અંક શોધો (ભાગાકારનું પરિણામ).આ કરવા માટે, ડિવિડન્ડના પ્રથમ અંકને વિભાજક દ્વારા વિભાજીત કરો. વિભાજક હેઠળ પરિણામ લખો.

• અમારા ઉદાહરણમાં, ડિવિડન્ડનો પ્રથમ આંકડો 3 છે. 3 ને 12 વડે ભાગો. 3 એ 12 કરતા ઓછો હોવાથી, ભાગાકારનું પરિણામ 0 આવશે. વિભાજક હેઠળ 0 લખો - આ ભાગણનો પ્રથમ અંક છે.

પાઠ: "દશાંશને કુદરતી સંખ્યા વડે ભાગવું"

ગણિત શિક્ષક

સ્ટારોડુબત્સેવા એલેના અલેકસેવના

કુર્સ્ક, 2015

પાઠનો વિષય: "દશાંશ અપૂર્ણાંકને પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ભાગવું"

પાઠનો પ્રકાર :

"કુદરતી સંખ્યા વડે દશાંશ અપૂર્ણાંકનું વિભાજન" વિષય પર નવી સામગ્રી શીખવાનો પાઠ.

લક્ષ્યો:

શૈક્ષણિક:
"દશાંશ અપૂર્ણાંકને પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવું" વિષય પર ઉદાહરણો ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમનો અભ્યાસ કરો અને તેનો અભ્યાસ કરો.

વિકાસલક્ષી:
ધ્યાન, તાર્કિક વિચારસરણીનો વિકાસ કરો, માહિતી તકનીકના ઉપયોગ દ્વારા માનસિક પ્રવૃત્તિને સક્રિય કરો, ગણિત અને ભૂગોળ વચ્ચે આંતરશાખાકીય જોડાણો સ્થાપિત કરો.

શૈક્ષણિક:
ગણિતમાં રસ કેળવો, જવાબદારીની ભાવના કેળવો, સામૂહિકતા, સખત મહેનત, ચોકસાઈ, સામાન્ય વ્યક્તિગત સંસ્કૃતિ વિકસાવો, પર્યાવરણીય શિક્ષણ.

શૈક્ષણિક પ્રવૃત્તિઓના સંગઠનના સ્વરૂપો : સામૂહિક, જૂથ, વ્યક્તિગત.

સાધનસામગ્રી : કમ્પ્યુટર, પ્રોજેક્ટર, ઇન્ટરેક્ટિવ વ્હાઇટબોર્ડ.

પાઠનો ડિડેક્ટિક સપોર્ટ : પ્રસ્તુતિ "દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે વિભાજીત કરવી", ફિલ્મ "બૈકલ તળાવ" માંથી અંશો , દરેક ડેસ્ક પર તાર, માપવાના સાધનો, બહુ રંગીન આકારણીઓ.

પાઠ પ્રગતિ .

શિક્ષક:

હેલો મિત્રો! તમારા ડેસ્કમેટ અને મહેમાનોને સ્મિત સાથે નમસ્કાર કરો!

પાઠ માટે ભાવનાત્મક મૂડ.

બાળકો, તમે ગરમ છો? (હા!)

શું ઘંટ પહેલેથી જ વાગી છે? (હા!)

શું હમણાં જ વર્ગ શરૂ થયો છે? (હા!)

શું તમે અભ્યાસ કરવા માંગો છો? (હા!)

જેથી દરેક વ્યક્તિ બેસી શકે!

હું તમને વર્ગમાં સારા મૂડ અને સક્રિય પ્રવૃત્તિની ઇચ્છા કરું છું.

પાઠ પ્રેરણા. સ્લાઇડ 1

જે કંઈપણ ભણતો નથી

તે કંઈપણ ધ્યાન આપતો નથી.

જે કંઈપણ ધ્યાન આપતું નથી

તે હંમેશા રડતો અને કંટાળો આવે છે.

કવિ આર. સેફ

- અને જેથી તમે લોકો વર્ગમાં કંટાળો ન આવે, દરેક વ્યક્તિએ સક્રિય ભાગ લેવો જોઈએ. આ પાઠમાં આપણને ઘણી શોધ કરવાનો અધિકાર આપવામાં આવશે.

મૌખિક કાર્ય કાર્ડ્સ

વ્યાયામ. સ્લાઇડ 2-4

1. જો તમે આ નંબરો પર છો

તમે ધ્યાનથી જોશો,

પછી તમને એક પેટર્ન મળશે

અને નંબરો ચાલુ રાખોપંક્તિ:

એ) 1.2; 1.8; 2.4; 3…3,6; 4,2

b) 9.6; 8.9; 8.2; 7.5…6,8; 6,1

c) 0.9; 1.8; 3.6; 7.2…14,4; 28,8

2. આ પગલાં અનુસરો:

2,5 – 1,6 0,9

2,7 + 1,6 4,3

0,55 + 0,45 1

4 – 0,8 3,2

4,71 *10 47,1

1,6 * 5 8

1,2 *3 3,6

3,2 *100 320

0,3 * 2 0,6

પ્રથમ ઉદાહરણોમાં દશાંશનો ઉમેરો અને બાદબાકીનો સમાવેશ થાય છે. ચાલો નિયમ યાદ રાખીએ: દશાંશ અપૂર્ણાંક ઉમેરવા (બાદબાકી) કરવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

આ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ સ્થાનોની સંખ્યાને સમાન કરો;

તેમને એક બીજાની નીચે લખો જેથી અલ્પવિરામ અલ્પવિરામ હેઠળ લખવામાં આવે;

અલ્પવિરામ પર ધ્યાન આપ્યા વિના સરવાળો (બાદબાકી) કરો;

આ અપૂર્ણાંકોમાં અલ્પવિરામની નીચે તમારા જવાબમાં અલ્પવિરામ મૂકો.

નીચેના ઉદાહરણો કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવાના નિયમ સાથે સંબંધિત છે: કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે આવશ્યક છે:

1) અલ્પવિરામને અવગણીને તેને આ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો,

2) પરિણામી ઉત્પાદનમાં, અલ્પવિરામ વડે જમણી બાજુના ઘણા અંકોને અલ્પવિરામ વડે અલગ કરો.

દશાંશ અપૂર્ણાંકને 10,100,1000 વગેરે વડે ગુણાકાર કરવા માટે, તમારે આ અપૂર્ણાંકમાં દશાંશ બિંદુને જમણી બાજુએ ખસેડવાની જરૂર છે કારણ કે પરિબળમાં એક પછી શૂન્ય છે.

3. વિભાજન પણ કરો:

2,15:10 = 0,215 11,3: 100 = 0,113 16,8:10= 1,68 23,7:1000= 0,0237

શિક્ષક:

તળાવની છબીઓને નજીકથી જુઓ સ્લાઇડ 5 પર. આ તળાવ દરેક રશિયન વ્યક્તિના હૃદયની નજીક છે અને રશિયાનું મોતી છે. આ કેવા પ્રકારનું તળાવ છે? હા, આ બૈકલ તળાવ છે.

(બૈકલ તળાવ વિશેની ફિલ્મમાંથી એક અવતરણ છે) ચાલુ 2,13 રોકો

બૈકલ તળાવની પ્રકૃતિ શું છે?

આ ફિલ્મના ફૂટેજમાં તમે શું જોયું?

ઘણી વાર, જ્યારે લોકો બૈકલ તળાવ સાથે મુસાફરી કરે છે, ત્યારે તેઓ દોરડા વિના કરી શકતા નથી, કારણ કે કિનારે પર્વતો છે.

લેબોરેટરી કામ. નવી સામગ્રીની સમજૂતી. સ્લાઇડ 6

શિક્ષક:

તમારા ટેબલ પર તાર છે અને તમે જોડીમાં કામ કરો છો. દોરડાની લંબાઈને મિલીમીટરમાં માપો અને પરિણામ તમારી નોટબુકમાં લખો.

તમે વિવિધ માપન પરિણામો મેળવી શકો છો, અમે સંમત છીએ કે દોરડાની લંબાઈ 116mm છે.

ઘણી વાર દોરડાને ભાગોમાં વિભાજીત કરવું જરૂરી છે.

કોઈપણ માપવાના સાધનો વિના તમે દોરડાને ચાર સમાન ભાગોમાં કેવી રીતે વિભાજીત કરી શકો? દોરડાને અડધા ભાગમાં ફોલ્ડ કરી શકાય છે, અને પછી ફરીથી અડધા ભાગમાં.

ચાલો વિભાજન કરીએ:

116:4 =29 (મીમી)

આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાને પ્રાકૃતિક સંખ્યા વડે ભાગ્યા.

ચાલો કૉલમમાં વિભાગ લખવાનો પ્રયત્ન કરીએ.

(વિભાગ બોર્ડ પરની કોલમમાં લખાયેલ છે - વિગતવાર.)

કાર્ય.દોરડાની લંબાઈ 11.6 સેમી છે

સમાન ભાગો? સ્લાઇડ 7

શું આપણે જાણીએ છીએ કે દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા કેવી રીતે વિભાજિત કરવું?

ચાલો 116 mm અને 29 mm સંખ્યાઓને સેન્ટીમીટરમાં રૂપાંતરિત કરીએ.

1 સે.મી.માં કેટલા mm છે? 1 સેમી = 10 મીમી.

11.6: 4=2.9 (સેમી)

પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો વિભાજન હતો અને હવે પ્રાકૃતિક સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકનો વિભાજન છે.

આ નિયમો કેવી રીતે અલગ છે?

જ્યારે દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવામાં આવે છે, ત્યારે અલ્પવિરામનું સ્થાન મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવે છે જ્યારે સમગ્ર ભાગનું વિભાજન પૂર્ણ થાય છે.

પ્રશ્નો: સ્લાઇડ 8

આજે આપણા પાઠનો વિષય નક્કી કરો?

આપણે કયા લક્ષ્યો નક્કી કરીશું?

આજે વર્ગમાં હું ઈચ્છું છું: સ્લાઇડ 9

જાણવા માટે….

જાણો…..

સમજો.....

પાઠ વિષય: કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા દશાંશ ભાગાકાર સ્લાઇડ 10

લક્ષ્યો અને ઉદ્દેશ્યો:

કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાનો નિયમ જાણો.

કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા દશાંશને વિભાજીત કરવાનું શીખો.

ગાય્સ! તમારામાંથી કયો નિયમ સાથે આવી શકે છે? સ્લાઇડ 11

કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવા માટે:

અલ્પવિરામને અવગણીને આ સંખ્યા દ્વારા અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરો;

2) જ્યારે આખા ભાગનું વિભાજન સમાપ્ત થાય ત્યારે અવશેષમાં અલ્પવિરામ મૂકો.

જો પૂર્ણાંક ભાગ વિભાજક કરતા ઓછો હોય, તો પછી ભાગાંક શૂન્ય પૂર્ણાંકોથી શરૂ થાય છે:

અલ્પવિરામ વિશે કવિતા: સ્લાઇડ 12

સૂરજ ઊગી રહ્યો છે

રાત ગાયબ થઈ ગઈ છે

અલ્પવિરામ આવવામાં વાંધો નથી.

તમે આખો ભાગ વિભાજીત કરશો -

અલ્પવિરામને અદૃશ્ય થવા દો નહીં

તેને મૂકો અને પછીથી ભાગ કરો

મુશ્કેલી સાથે અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરો

કારણ કે તે સરળ છે

તમે ક્યારેય અલગ થશો નહીં!

નવી સામગ્રીનું એકીકરણ. સ્લાઇડ 13

ચાલો ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને આ નિયમ પર કામ કરીએ:

મૌખિક રીતે ગણતરી કરો:

7,6: 2 = 3,8 0,8: 4 = 0,2

1,4: 7 = 0,2 1,8: 4 = 0,45

6,3: 3 = 2,1 3,9: 3 = 1,3

પાઠ્યપુસ્તકમાંથી ઉદાહરણો ઉકેલવા અને રેકોર્ડ કરવા

નિયમનો બીજો ભાગ (જો પૂર્ણાંક ભાગ વિભાજક કરતા ઓછો હોય તો).

અપૂર્ણાંકની કલ્પના કરો142 દશાંશ તરીકે. (28,4 )

ફિઝમિનુટકા

ચાલો આગળની સ્લાઈડમાં જોઈએ. તે બૈકલ તળાવ - ફર સીલના સ્વદેશી રહેવાસીઓને દર્શાવે છે.

કાર્ય નંબર 1. સ્લાઇડ 15

વિશ્વના તાજા પાણીનો ભંડાર 115 મિલિયન ટન (0.115 બિલિયન ટન) જેટલો છે. બૈકલ તળાવમાં વિશ્વના તાજા પાણીના ભંડારનો પાંચમો ભાગ છે. બૈકલ તળાવમાં કેટલા અબજ ટન તાજા પાણી છે?

આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે 0.115 નંબરનો પાંચમો ભાગ શોધવાની જરૂર છે.

0.115:5=0.023 (બિલિયન ટન)

જવાબ: 0.023 બિલિયન ટન.

જો આપણે નીચેનાને ધ્યાનમાં લઈએ સ્લાઇડ 16, પછી આપણે જોઈશું કે બૈકલ તળાવ શાંત તળાવ જેવું લાગતું નથી, પરંતુ સમુદ્ર જેવું લાગે છે. આવું એટલા માટે થાય છે કારણ કે લેક ​​બૈકલ એ વિશ્વનું સૌથી ઊંડું તળાવ છે.

બૈકલ તળાવની ઊંડાઈ 1642 મીટર છે.

કાર્ય નંબર 2. સ્લાઇડ 17

એક ટાપુમાં બૈકલ સરોવરની ઊંડાઈ 1.61 કિમી છે, અને લાડોગા તળાવની ઊંડાઈ 7 ગણી ઓછી છે. લાડોગા તળાવની ઊંડાઈ શોધો.

1.61:7=0.23(km)=230 (m)

જવાબ: 230 મીટર.

સ્વતંત્ર કાર્ય. સ્લાઇડ 18

પગલાંઓ અનુસરો, એક પત્ર પસંદ કરો અને માછલીનું નામ મેળવો જે ફક્ત બૈકલ તળાવમાં જોવા મળે છે.

72.8: 8 = 9.1 0.03 - બી

5.1:17 = 0.3 5.3 - y

26.5:5 = 5.3 9.1 - o

1.6: 8 = 0.2 0.2 - l

0.48: 16 = 0.03 0.3 – મી

આ માછલીને ઓમુલ કહેવામાં આવે છે, તે ફક્ત બૈકલ તળાવમાં જોવા મળે છે, તે અસામાન્ય રીતે કોમળ અને સુખદ-સ્વાદવાળી માછલી છે, અને સફેદ માછલી, સ્ટર્જન અને ગ્રેલિંગ પણ તળાવમાં જોવા મળે છે.

બૈકલ તળાવના રહસ્યો સ્લાઇડ 19

આજે તમે પાંચમા ધોરણના છો, પરંતુ ભવિષ્યમાં, કદાચ તમારામાંથી કેટલાકને બૈકલ તળાવના રહસ્યો ઉકેલવા પડશે. દર વર્ષે, જેમ જેમ તળાવ પર બરફ દેખાય છે, તમે તેની સપાટી પર વિવિધ કદના વર્તુળો જોઈ શકો છો. તમે આ સ્લાઇડ પર જોઈ શકો છો. આ કોયડાના ઘણા સંસ્કરણો છે: એલિયન્સ તેમને બરફ પર દોરે છે, પાણીની અંદરના પ્રવાહો આ ઘટનાને પ્રભાવિત કરે છે, પાણીની રચના રેખાંકનો બનાવવાની મંજૂરી આપે છે ... પરંતુ હજી સુધી આ ઘટનાની પ્રકૃતિ હલ થઈ નથી.

પર્યાવરણીય મુદ્દાઓ

બૈકલ તળાવ સાથે સંકળાયેલી એક મોટી પર્યાવરણીય સમસ્યા છે. તેના પર પલ્પ અને પેપર મિલ બનાવવામાં આવી હતી જ્યારે રહેવાસીઓ વેકેશન પર આવે છે ત્યારે તળાવના કિનારાને પ્રદૂષિત કરે છે.

સ્લાઇડ 20

અન્ય તળાવો વચ્ચે રાજા,

સૂર્યના સામ્રાજ્યમાં, જંગલો, પર્વતો,

બૈકલ બોગાટ નિયમો

હું દરેકને પીવા અને ખવડાવવા માટે કંઈક આપીને ખુશ થઈશ

પણ લોકો સમજતા નથી

તે બૈકલ રણ હશે,

એક મજબૂત રાજા મૃત્યુ પામે છે

જંગલ જૂના જમાના જેવું નથી,

અને ક્રિસ્ટલ પાણીમાં

ગંદકી અને કચરો નાખવામાં આવે છે,

માછલીઓ, પ્રાણીઓ અને પક્ષીઓ મૃત્યુ પામે છે

પાણી ઝેરીલું છે.....

આ વિશે મને કહ્યું

બૈકલ તળાવોનો ભવ્ય રાજા.

તેણે તમને પૂછ્યું

હવે તેને મદદ કરો!

અને જ્યારે તમે તળાવો પર આવો છો, ત્યારે શું તમે હંમેશા તમારી જાતને સાફ કરો છો અને બેંકોને વ્યવસ્થિત કરો છો? છેવટે, અમારી પાસે ઘણા સુંદર તળાવો છે!

હોમવર્ક સ્લાઇડ 2 1

* કોઈપણ નકશાનો ઉપયોગ કરીને (તેના સ્કેલને જાણીને) બૈકલ તળાવની લંબાઈ અને પહોળાઈ નક્કી કરો.

પાઠ સારાંશ:

- આજે વર્ગમાં: સ્લાઇડ 22

મને ખબર પડી......

હું શીખ્યો.....

હું સમજું છું....

આજે વર્ગમાં અમે ઘણી શોધો કરી: અમે કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાનો નિયમ શીખ્યા (નિયમનું પુનરાવર્તન કરો), અમે એક માછલીનું નામ શીખ્યા જે ફક્ત બૈકલ તળાવ પર જ જોવા મળે છે, અમે શીખ્યા કે બૈકલ તળાવ સૌથી ઊંડું છે. વિશ્વમાં તળાવ, અને તે ઘણાં વણઉકેલાયેલા રહસ્યોથી ભરપૂર છે.

ઉપમા:

એક ઋષિ ચાલતા હતા, અને ત્રણ લોકો તેમને મળ્યા, તેઓ તપતા સૂર્ય હેઠળ બાંધકામ માટે પત્થરોવાળી ગાડીઓ લઈ જતા હતા. ઋષિએ અટકીને દરેકને એક પ્રશ્ન પૂછ્યો. પ્રથમ વ્યક્તિએ પૂછ્યું: "તમે આખો દિવસ શું કરો છો?" અને તેણે સ્મિત સાથે જવાબ આપ્યો કે તે આખો દિવસ તિરસ્કૃત પથ્થરો વહન કરતો હતો. ઋષિએ બીજાને પૂછ્યું: "તમે આખો દિવસ શું કર્યું?", અને તેણે જવાબ આપ્યો: "અને મેં મારું કામ નિષ્ઠાપૂર્વક કર્યું." અને ત્રીજો હસ્યો, તેનો ચહેરો આનંદ અને આનંદથી ચમક્યો: "અને મેં મંદિરના નિર્માણમાં ભાગ લીધો!"

ગાય્સ! ચાલો પાઠ માટે દરેકના કાર્યનું મૂલ્યાંકન કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

સ્લાઇડ 23

બાળકો બોર્ડ પર તેમના ગ્રેડ પોસ્ટ કરે છે. "પવિત્ર બૈકલ" ગીત વગાડવામાં આવે છે.

ચાલો તાળીઓના ગડગડાટ સાથે સારા કામ માટે એકબીજાનો આભાર માનીએ.

ગુડબાય! પાઠ પૂરો થયો.

1. બુડાકાઈ નાડેઝડા ડુક્ટુગોવના એમબીઓયુ ઓશ ગામ. ટેન્ડિંસ્કી કોઝુનનું ઉસ્ત-ખાદિન

2. ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર શિક્ષક

3. ગણિત

5. કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા દશાંશ ભાગાકાર. પાઠ નંબર 1

6. "ગણિત 5" એન. યા. વિલેન્કીન, વી. આઇ. ઝોખોવ અને અન્ય.

7. પાઠનો હેતુ:

8. આયોજિત પરિણામો:

અંગત સાંભળવાની કુશળતા વિકસાવો; મૌખિક અને લેખિત ભાષણમાં તમારા વિચારો સ્પષ્ટ, સચોટ અને સક્ષમ રીતે વ્યક્ત કરો; ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સર્જનાત્મક વિચારસરણી, પહેલ, કોઠાસૂઝ અને પ્રવૃત્તિનો વિકાસ કરો; જ્ઞાનના માર્ગ તરીકે ગણિત વિશે વિચારો રચવા;

મેટાવિષય: અન્ય શાખાઓમાં, આસપાસના જીવનમાં સમસ્યાની પરિસ્થિતિના સંદર્ભમાં ગાણિતિક સમસ્યાને જોવાની ક્ષમતા વિકસાવો; જૂથોમાં કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;

વિષય: ગાણિતિક ટેક્સ્ટ સાથે કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો (વિશ્લેષણ કરો, જરૂરી માહિતી કાઢો).

9. પાઠનો પ્રકાર: નવા જ્ઞાનની શોધ

10. વિદ્યાર્થી કાર્યના સ્વરૂપો: જૂથ, વ્યક્તિગત

11. જરૂરી ટેકનિકલ સાધનો: મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, કોમ્પ્યુટર, સમૂહ કાર્ય માટે હેન્ડઆઉટ.

12. પાઠનું માળખું અને પ્રવાહ

ડાઉનલોડ કરો:

પૂર્વાવલોકન:

જૂથ કાર્ય સોંપણી.

આ ક્રિયા અનુસરો:

એ) 0.7: 25; e) 9.607: 10;

બી) 543.4: 143; g) 0.0142: 100;

ટેસ્ટ

1. ગણતરી કરો: જો ડિવિડન્ડ 199.5 હોય અને વિભાજક 15 હોય તો ભાગ્ય શું છે

એ) 133;

b) 13.3;

c) 1.33.

1. 243.2:8 અભિવ્યક્તિની કિંમત શોધો

એ) 30.4;

b) 3.04;

c) 304.

1. 0.76 * 0.7598. નંબરો વચ્ચે, * ને બદલે, તમારે એક ચિહ્ન મૂકવાની જરૂર છે:

a) “>”;

b) "

c) "=".

1. અભિવ્યક્તિ 45: 60 ની કિંમત શોધો

a) 1.333;

b) 7 5;

c) 0.75.

પૂર્વાવલોકન:

વિષય: કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા દશાંશ ભાગાકાર.

1. બુડાકાઈ નાડેઝ્ડા ડુક્ટુગોવના MBOU OOSH s. ટેન્ડિંસ્કી કોઝુનનું ઉસ્ત-ખાદિન
2. ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રના શિક્ષક
3. ગણિત
4. 5 મી ગ્રેડ
5. કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા દશાંશ ભાગાકાર. પાઠ નંબર 1
6. "ગણિત 5" એન. યા. વિલેન્કિન, વી. આઈ. ઝોખોવ અને અન્ય.
7. પાઠનો ઉદ્દેશ્ય:
8. આયોજિત પરિણામો:

અંગત સાંભળવાની કુશળતા વિકસાવો; મૌખિક અને લેખિત ભાષણમાં તમારા વિચારો સ્પષ્ટ, સચોટ અને સક્ષમ રીતે વ્યક્ત કરો; ગાણિતિક સમસ્યાઓ હલ કરવામાં સર્જનાત્મક વિચારસરણી, પહેલ, કોઠાસૂઝ અને પ્રવૃત્તિનો વિકાસ કરો; જ્ઞાનના માર્ગ તરીકે ગણિત વિશે વિચારો રચવા;

મેટાવિષય: અન્ય શાખાઓમાં, આસપાસના જીવનમાં સમસ્યાની પરિસ્થિતિના સંદર્ભમાં ગાણિતિક સમસ્યાને જોવાની ક્ષમતા વિકસાવો; જૂથોમાં કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો;

વિષય: ગાણિતિક ટેક્સ્ટ સાથે કામ કરવાની ક્ષમતા વિકસાવો (વિશ્લેષણ કરો, જરૂરી માહિતી કાઢો).

1. પાઠનો પ્રકાર: નવા જ્ઞાનની શોધ
2. વિદ્યાર્થી કાર્યના સ્વરૂપો: જૂથ, વ્યક્તિગત
3. જરૂરી તકનીકી સાધનો: મલ્ટીમીડિયા પ્રોજેક્ટર, કોમ્પ્યુટર, જૂથ કાર્ય માટે હેન્ડઆઉટ્સ.
4. પાઠનું માળખું અને પ્રવાહ

તકનીકી પાઠ નકશો

ચાલો આ પ્રકાશમાં દશાંશ વિભાજનના ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ.

દશાંશ અપૂર્ણાંક 1.2 ને દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.48 વડે વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

જવાબ:

1,2:0,48=2,5 .

ઉદાહરણ.

સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.(504) ને દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.56 વડે વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

ચાલો સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ: અમે અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક 0.56 ને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં પણ રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અમારી પાસે 0.56 = 56/100 છે. હવે આપણે મૂળ દશાંશ અપૂર્ણાંકના ભાગાકારથી સામાન્ય અપૂર્ણાંકના ભાગાકાર તરફ આગળ વધી શકીએ છીએ અને ગણતરીઓ પૂરી કરી શકીએ છીએ: .

ચાલો પરિણામી સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતર કરીએ અને અંશને છેદ વડે કૉલમ વડે વિભાજીત કરીએ:

જવાબ:

0,(504):0,56=0,(900) .

અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરવાનો સિદ્ધાંતમર્યાદિત અને સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના વિભાજનના સિદ્ધાંતથી અલગ છે, કારણ કે બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતા નથી. અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના વિભાજનને મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકના વિભાજનમાં ઘટાડવામાં આવે છે, જેના માટે આપણે કાર્ય કરીએ છીએ. રાઉન્ડિંગ નંબરોચોક્કસ સ્તર સુધી. તદુપરાંત, જો સંખ્યાઓમાંથી એક કે જેની સાથે ભાગાકાર કરવામાં આવે છે તે મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક હોય, તો તે બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકના સમાન અંકમાં પણ ગોળાકાર કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.

અનંત બિન-સામયિક દશાંશ 0.779...ને મર્યાદિત દશાંશ 1.5602 વડે વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

પ્રથમ તમારે દશાંશને ગોળાકાર કરવાની જરૂર છે જેથી કરીને તમે અનંત બિન-સામયિક દશાંશને વિભાજિત કરીને મર્યાદિત દશાંશને વિભાજિત કરી શકો. આપણે નજીકના સોમાં રાઉન્ડ કરી શકીએ છીએ: 0.779…≈0.78 અને 1.5602≈1.56. આમ, 0.779…:1.5602≈0.78:1.56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

જવાબ:

0,779…:1,5602≈0,5 .

પ્રાકૃતિક સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક વડે ભાગાકાર અને તેનાથી વિપરિત

કુદરતી સંખ્યાને દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજીત કરવા અને દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવાના અભિગમનો સાર દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવાના સારથી અલગ નથી. એટલે કે, મર્યાદિત અને સામયિક અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને અનંત બિન-સામયિક અપૂર્ણાંક ગોળાકાર હોય છે.

સમજાવવા માટે, દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે ભાગવાનું ઉદાહરણ ધ્યાનમાં લો.

ઉદાહરણ.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા 45 દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંક 25.5 ને વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

દશાંશ અપૂર્ણાંક 25.5 ને સામાન્ય અપૂર્ણાંક 255/10=51/2 સાથે બદલીને, ભાગાકાર સામાન્ય અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવા માટે ઘટાડવામાં આવે છે:. દશાંશ સંકેતમાં પરિણામી અપૂર્ણાંકનું સ્વરૂપ 0.5(6) છે.

જવાબ:

25,5:45=0,5(6) .

દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે કૉલમ વડે ભાગવું

મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકોને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાં સ્તંભ દ્વારા, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સ્તંભ દ્વારા ભાગાકાર સાથે સામ્યતા દ્વારા વિભાજિત કરવું અનુકૂળ છે. ચાલો વિભાજનનો નિયમ રજૂ કરીએ.

થી સ્તંભનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરો, જરૂરી:

• વિભાજિત થતા દશાંશ અપૂર્ણાંકની જમણી બાજુએ કેટલાક અંકો 0 ઉમેરો (વિભાજન પ્રક્રિયા દરમિયાન, જો જરૂરી હોય તો, તમે કોઈપણ સંખ્યામાં શૂન્ય ઉમેરી શકો છો, પરંતુ આ શૂન્યની જરૂર ન હોઈ શકે);
• પ્રાકૃતિક સંખ્યાના સ્તંભ દ્વારા ભાગાકારના તમામ નિયમો અનુસાર કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકના સ્તંભ દ્વારા ભાગાકાર કરો, પરંતુ જ્યારે દશાંશ અપૂર્ણાંકના સંપૂર્ણ ભાગનું વિભાજન પૂર્ણ થઈ જાય, તો તમારે અવશેષમાં મૂકવાની જરૂર છે. અલ્પવિરામ અને વિભાજન ચાલુ રાખો.

ચાલો તરત જ કહીએ કે મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યા વડે વિભાજિત કરવાના પરિણામે, તમે કાં તો મર્યાદિત દશાંશ અપૂર્ણાંક અથવા અનંત સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક મેળવી શકો છો. ખરેખર, વિભાજિત થતા અપૂર્ણાંકના તમામ બિન-0 દશાંશ સ્થાનોનું વિભાજન પૂર્ણ થયા પછી, કાં તો શેષ 0 હોઈ શકે છે, અને આપણને અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંક મળશે, અથવા શેષ સમયાંતરે પુનરાવર્તિત થવાનું શરૂ કરશે, અને અમને મળશે સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક.

ચાલો ઉદાહરણો ઉકેલતી વખતે દશાંશ અપૂર્ણાંકને કુદરતી સંખ્યાઓ દ્વારા વિભાજીત કરવાની તમામ જટિલતાઓને સમજીએ.

ઉદાહરણ.

દશાંશ અપૂર્ણાંક 65.14 ને 4 વડે વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

ચાલો સ્તંભનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરીએ. ચાલો અપૂર્ણાંક 65.14 ના સંકેતમાં જમણી બાજુએ બે શૂન્ય ઉમેરીએ, અને આપણને સમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક 65.1400 મળશે (સમાન અને અસમાન દશાંશ અપૂર્ણાંક જુઓ). હવે તમે પ્રાકૃતિક સંખ્યા 4 દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંક 65.1400 ના પૂર્ણાંક ભાગને કૉલમ વડે વિભાજીત કરવાનું શરૂ કરી શકો છો:

આ દશાંશ અપૂર્ણાંકના પૂર્ણાંક ભાગનું વિભાજન પૂર્ણ કરે છે. અહીં ભાગલામાં તમારે દશાંશ બિંદુ મૂકવાની અને વિભાગ ચાલુ રાખવાની જરૂર છે:

અમે 0 ના શેષ સુધી પહોંચી ગયા છીએ, આ તબક્કે કૉલમ દ્વારા વિભાજન સમાપ્ત થાય છે. પરિણામે, અમારી પાસે 65.14:4=16.285 છે.

જવાબ:

65,14:4=16,285 .

ઉદાહરણ.

164.5 ને 27 વડે ભાગો.

ઉકેલ.

ચાલો સ્તંભનો ઉપયોગ કરીને કુદરતી સંખ્યા દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજીત કરીએ. આખા ભાગને વિભાજીત કર્યા પછી આપણને નીચેનું ચિત્ર મળે છે:

હવે આપણે અવશેષમાં અલ્પવિરામ મૂકીએ છીએ અને કૉલમ સાથે વિભાજન કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ:

હવે તે સ્પષ્ટપણે દેખાઈ રહ્યું છે કે અવશેષો 25, 7 અને 16 પુનરાવર્તન કરવાનું શરૂ કર્યું છે, જ્યારે ભાગાંકમાં 9, 2 અને 5 નંબરોનું પુનરાવર્તન થાય છે. આમ, દશાંશ 164.5 ને 27 વડે ભાગવાથી આપણને સામયિક દશાંશ 6.0(925) મળે છે.

જવાબ:

164,5:27=6,0(925) .

દશાંશ અપૂર્ણાંકનો કૉલમ વિભાજન

દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા દશાંશ અપૂર્ણાંકના ભાગાકારને દશાંશ અપૂર્ણાંકને સ્તંભ સાથેની કુદરતી સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવા માટે ઘટાડી શકાય છે. આ કરવા માટે, ડિવિડન્ડ અને વિભાજકને 10, અથવા 100, અથવા 1,000, વગેરે જેવી સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, જેથી વિભાજક કુદરતી સંખ્યા બની જાય, અને પછી કૉલમ સાથે કુદરતી સંખ્યા દ્વારા ભાગાકાર કરો. આપણે આ ભાગાકાર અને ગુણાકારના ગુણધર્મોને કારણે કરી શકીએ છીએ, કારણ કે a:b=(a·10):(b·10), a:b=(a·100):(b·100) વગેરે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પાછળના દશાંશને પાછળના દશાંશ દ્વારા વિભાજીત કરવા, જરૂર છે:

• ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં, વિભાજકમાં દશાંશ બિંદુ પછી અલ્પવિરામને જમણી બાજુએ ખસેડો જો ડિવિડન્ડમાં અલ્પવિરામને ખસેડવા માટે પૂરતા ચિહ્નો ન હોય, તો તમારે જરૂરી સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે જમણી તરફ શૂન્ય;
• આ પછી, કુદરતી સંખ્યા વડે દશાંશ સ્તંભ વડે ભાગાકાર કરો.

ઉદાહરણ ઉકેલતી વખતે, દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજનના આ નિયમના ઉપયોગને ધ્યાનમાં લો.

ઉદાહરણ.

7.287 કૉલમ વડે 2.1 વડે વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

ચાલો આ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં અલ્પવિરામને એક અંક જમણી બાજુએ ખસેડીએ, આ આપણને દશાંશ અપૂર્ણાંક 7.287 ને દશાંશ અપૂર્ણાંક 2.1 વડે ભાગવાથી માંડીને કુદરતી સંખ્યા 21 વડે દશાંશ અપૂર્ણાંક 72.87 ને વિભાજિત કરવા માટે પરવાનગી આપશે. ચાલો કૉલમ દ્વારા વિભાજન કરીએ:

જવાબ:

7,287:2,1=3,47 .

ઉદાહરણ.

દશાંશ 16.3 ને દશાંશ 0.021 વડે ભાગો.

ઉકેલ.

ડિવિડન્ડ અને વિભાજકમાં અલ્પવિરામને જમણી ત્રણ જગ્યાએ ખસેડો. દેખીતી રીતે, વિભાજક પાસે દશાંશ બિંદુને ખસેડવા માટે પૂરતા અંકો નથી, તેથી આપણે જમણી બાજુએ જરૂરી સંખ્યામાં શૂન્ય ઉમેરીશું. હવે ચાલો અપૂર્ણાંક 16300.0 ના સ્તંભને પ્રાકૃતિક સંખ્યા 21 દ્વારા વિભાજીત કરીએ:

આ ક્ષણથી, બાકીના 4, 19, 1, 10, 16 અને 13 પુનરાવર્તન કરવાનું શરૂ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે ભાગાંકમાં 1, 9, 0, 4, 7 અને 6 નંબરો પણ પુનરાવર્તિત થશે. પરિણામે, આપણને સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક 776,(190476) મળે છે.

જવાબ:

16,3:0,021=776,(190476) .

નોંધ કરો કે જાહેર કરેલ નિયમ તમને કુદરતી સંખ્યાને કૉલમ દ્વારા અંતિમ દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરવાની મંજૂરી આપે છે.

ઉદાહરણ.

પ્રાકૃતિક સંખ્યા 3 ને દશાંશ અપૂર્ણાંક 5.4 દ્વારા વિભાજીત કરો.

ઉકેલ.

દશાંશ બિંદુ એક અંકને જમણી બાજુએ ખસેડ્યા પછી, આપણે સંખ્યા 30.0 ને 54 વડે ભાગતા પહોંચીએ છીએ. ચાલો કૉલમ દ્વારા વિભાજન કરીએ:
.

અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને 10, 100, .... વડે વિભાજીત કરતી વખતે પણ આ નિયમ લાગુ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, 3,(56):1,000=0.003(56) અને 593.374…:100=5.93374….

દશાંશને 0.1, 0.01, 0.001, વગેરે વડે વિભાજિત કરવું.

ત્યારથી 0.1 = 1/10, 0.01 = 1/100, વગેરે, પછી સામાન્ય અપૂર્ણાંક વડે ભાગવાના નિયમથી તે અનુસરે છે કે દશાંશ અપૂર્ણાંકને 0.1, 0.01, 0.001, વગેરે વડે વિભાજીત કરો. તે આપેલ દશાંશને 10, 100, 1,000, વગેરે વડે ગુણાકાર કરવા સમાન છે. અનુક્રમે

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દશાંશ અપૂર્ણાંકને 0.1, 0.01, ... દ્વારા વિભાજીત કરવા માટે તમારે દશાંશ બિંદુને 1, 2, 3, ... અંકો દ્વારા જમણી તરફ ખસેડવાની જરૂર છે અને જો દશાંશ અપૂર્ણાંકમાં અંકો પૂરતા ન હોય તો દશાંશ બિંદુને ખસેડવા માટે, તમારે જમણી શૂન્યમાં જરૂરી સંખ્યા ઉમેરવાની જરૂર છે.

ઉદાહરણ તરીકે, 5.739:0.1=57.39 અને 0.21:0.00001=21,000.

અનંત દશાંશ અપૂર્ણાંકને 0.1, 0.01, 0.001, વગેરે વડે વિભાજીત કરતી વખતે સમાન નિયમ લાગુ કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, તમારે સામયિક અપૂર્ણાંકનું વિભાજન કરતી વખતે ખૂબ કાળજી લેવી જોઈએ જેથી કરીને વિભાજનના પરિણામે પ્રાપ્ત થયેલા અપૂર્ણાંકના સમયગાળા સાથે ભૂલ ન થાય. દા.ત. અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે બધું સરળ છે: 394,38283…:0,001=394382,83… .

અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યાને દશાંશ અને ઊલટું વડે ભાગવું

સામાન્ય અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યાને મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંક દ્વારા વિભાજિત કરવી, તેમજ મર્યાદિત અથવા સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા દ્વારા વિભાજીત કરવી, સામાન્ય અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા માટે નીચે આવે છે. આ કરવા માટે, દશાંશ અપૂર્ણાંકને અનુરૂપ સામાન્ય અપૂર્ણાંકો દ્વારા બદલવામાં આવે છે, અને મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે.

જ્યારે અનંત બિન-સામયિક દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યા દ્વારા અને તેનાથી વિપરીત, તમારે દશાંશ અપૂર્ણાંકને વિભાજિત કરવા માટે આગળ વધવું જોઈએ, સામાન્ય અપૂર્ણાંક અથવા મિશ્ર સંખ્યાને અનુરૂપ દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે બદલો.

સંદર્ભો.

• ગણિત: પાઠ્યપુસ્તક 5મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2007. - 280 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 5-346-00699-0.
• ગણિત. 6ઠ્ઠો ધોરણ: શૈક્ષણિક. સામાન્ય શિક્ષણ માટે સંસ્થાઓ / [એન. યા વિલેન્કીન અને અન્ય]. - 22મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: નેમોસીન, 2008. - 288 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-00897-2.
• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.