સતત ગુણાંક સાથે વિભેદક સમીકરણોના ઉદાહરણો. બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો

શૈક્ષણિક સંસ્થા "બેલારુસિયન રાજ્ય

કૃષિ એકેડમી"

ઉચ્ચ ગણિત વિભાગ

માર્ગદર્શિકા

પત્રવ્યવહાર શિક્ષણની એકાઉન્ટિંગ ફેકલ્ટી (NISPO) ના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા "બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણો" વિષયનો અભ્યાસ કરવા માટે

ગોર્કી, 2013

રેખીય વિભેદક સમીકરણો

સ્થિરાંકો સાથેનો બીજો ક્રમગુણાંક

રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણો

સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમનું રેખીય વિભેદક સમીકરણ ફોર્મનું સમીકરણ કહેવાય છે

તે એક સમીકરણ જેમાં ઇચ્છિત કાર્ય અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ ફક્ત પ્રથમ ડિગ્રી સુધી હોય છે અને તેમાં તેમના ઉત્પાદનો શામેલ નથી. આ સમીકરણમાં અને
- કેટલીક સંખ્યાઓ અને કાર્ય
ચોક્કસ અંતરાલ પર આપવામાં આવે છે
.

જો
અંતરાલ પર
, પછી સમીકરણ (1) ફોર્મ લેશે

, (2)

અને કહેવાય છે રેખીય સજાતીય . નહિંતર, સમીકરણ (1) કહેવાય છે રેખીય અસંગત .

જટિલ કાર્યને ધ્યાનમાં લો

, (3)

જ્યાં
અને
- વાસ્તવિક કાર્યો. જો કાર્ય (3) એ સમીકરણ (2) નો જટિલ ઉકેલ છે, તો વાસ્તવિક ભાગ
, અને કાલ્પનિક ભાગ
ઉકેલો
અલગથી સમાન સમાન સમીકરણના ઉકેલો છે. આમ, સમીકરણ (2) નો કોઈપણ જટિલ ઉકેલ આ સમીકરણના બે વાસ્તવિક ઉકેલો બનાવે છે.

સજાતીય રેખીય સમીકરણના ઉકેલોમાં નીચેના ગુણધર્મો છે:

જો સમીકરણ (2) નો ઉકેલ છે, પછી કાર્ય
, ક્યાં સાથે– એક મનસ્વી સ્થિરાંક પણ સમીકરણ (2) નો ઉકેલ હશે;

જો અને સમીકરણ (2) ના ઉકેલો છે, પછી કાર્ય
સમીકરણનો ઉકેલ પણ હશે (2);

જો અને સમીકરણ (2) ના ઉકેલો છે, પછી તેમનું રેખીય સંયોજન
સમીકરણ (2) નો ઉકેલ પણ હશે, જ્યાં અને
- મનસ્વી સ્થિરાંકો.

કાર્યો
અને
કહેવાય છે રેખીય રીતે નિર્ભર અંતરાલ પર
, જો આવી સંખ્યાઓ અસ્તિત્વમાં છે અને
, એક જ સમયે શૂન્યની બરાબર નથી, કે આ અંતરાલ પર સમાનતા

જો સમાનતા (4) ત્યારે જ થાય છે જ્યારે
અને
, પછી કાર્યો
અને
કહેવાય છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર અંતરાલ પર
.

ઉદાહરણ 1 . કાર્યો
અને
રેખીય રીતે નિર્ભર છે, ત્યારથી
સમગ્ર નંબર લાઇન પર. આ ઉદાહરણમાં
.

ઉદાહરણ 2 . કાર્યો
અને
સમાનતાથી, કોઈપણ અંતરાલ પર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે
ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે
, અને
.

રેખીય સજાતીય માટે સામાન્ય ઉકેલનું નિર્માણ

સમીકરણો

સમીકરણ (2) નો સામાન્ય ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે તેના બે રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો શોધવાની જરૂર છે અને . આ ઉકેલોનું રેખીય સંયોજન
, ક્યાં અને
મનસ્વી સ્થિરાંકો છે, અને રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ આપશે.

અમે ફોર્મમાં સમીકરણ (2) ના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો શોધીશું

, (5)

જ્યાં - ચોક્કસ સંખ્યા. પછી
,
. ચાલો આ સમીકરણોને સમીકરણ (2) માં બદલીએ:

અથવા
.

કારણ કે
, તે
. તેથી કાર્ય
સમીકરણ (2) નો ઉકેલ હશે જો સમીકરણને સંતોષશે

. (6)

સમીકરણ (6) કહેવાય છે લાક્ષણિક સમીકરણ સમીકરણ માટે (2). આ સમીકરણ બીજગણિતીય ચતુર્ભુજ સમીકરણ છે.

દો અને આ સમીકરણના મૂળ છે. તેઓ કાં તો વાસ્તવિક અને અલગ, અથવા જટિલ, અથવા વાસ્તવિક અને સમાન હોઈ શકે છે. ચાલો આ કિસ્સાઓ ધ્યાનમાં લઈએ.

મૂળ દો અને લાક્ષણિક સમીકરણો વાસ્તવિક અને અલગ છે. પછી સમીકરણ (2) ના ઉકેલો વિધેયો હશે
અને
. સમાનતાથી આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે
ત્યારે જ હાથ ધરવામાં આવી શકે છે
, અને
. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

,

જ્યાં અને
- મનસ્વી સ્થિરાંકો.

ઉદાહરણ 3
.

ઉકેલ . આ તફાવત માટે લાક્ષણિકતા સમીકરણ હશે
. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણને હલ કર્યા પછી, આપણે તેના મૂળ શોધીએ છીએ
અને
. કાર્યો
અને
વિભેદક સમીકરણના ઉકેલો છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે
.

જટિલ સંખ્યા સ્વરૂપની અભિવ્યક્તિ કહેવાય છે
, ક્યાં અને વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે, અને
કાલ્પનિક એકમ કહેવાય છે. જો
, પછી નંબર
કેવળ કાલ્પનિક કહેવાય છે. જો
, પછી નંબર
વાસ્તવિક સંખ્યા સાથે ઓળખવામાં આવે છે .

નંબર જટિલ સંખ્યાનો વાસ્તવિક ભાગ કહેવાય છે, અને - કાલ્પનિક ભાગ. જો બે જટિલ સંખ્યાઓ ફક્ત કાલ્પનિક ભાગની નિશાની દ્વારા એકબીજાથી ભિન્ન હોય, તો પછી તેને સંયોજક કહેવામાં આવે છે:
,
.

ઉદાહરણ 4 . ચતુર્ભુજ સમીકરણ ઉકેલો
.

ઉકેલ . ભેદભાવપૂર્ણ સમીકરણ
. પછી. તેવી જ રીતે,
. આમ, આ ચતુર્ભુજ સમીકરણમાં જટિલ મૂળ છે.

લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળને જટિલ બનવા દો, એટલે કે.
,
, ક્યાં
.
,
સમીકરણ (2) ના ઉકેલો ફોર્મમાં લખી શકાય છે
,
અથવા

,
.

.
અને
યુલરના સૂત્રો અનુસાર

પછી,. જેમ જાણીતું છે, જો જટિલ કાર્ય એ રેખીય સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ છે, તો આ સમીકરણના ઉકેલો આ કાર્યના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગો છે. આમ, સમીકરણ (2) ના ઉકેલો કાર્યો હશે
અને
. સમાનતા થી

જ્યાં અને
- મનસ્વી સ્થિરાંકો.

માત્ર જો ચલાવી શકાય , તો પછી આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

ઉકેલ ઉદાહરણ 5
. વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો
,
. કાર્યો
અને
વિભેદક સમીકરણના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો છે. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે:

લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળને વાસ્તવિક અને સમાન થવા દો, એટલે કે.
. પછી સમીકરણ (2) ના ઉકેલો એ કાર્યો છે
અને
. આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, કારણ કે અભિવ્યક્તિ શૂન્યની બરાબર ત્યારે જ હોઈ શકે છે
અને
. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

ઉદાહરણ 6 , તો પછી આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

ઉકેલ . લાક્ષણિક સમીકરણ
સમાન મૂળ ધરાવે છે
. આ કિસ્સામાં, વિભેદક સમીકરણ માટે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલો એ કાર્યો છે
અને
. સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના અસંગત રેખીય વિભેદક સમીકરણો

અને વિશેષ જમણી બાજુ

રેખીય અસંગત સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ સામાન્ય ઉકેલના સરવાળા જેટલો છે
અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ અને કોઈપણ ચોક્કસ ઉકેલ
અસંગત સમીકરણ:
.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ જમણી બાજુના સ્વરૂપ દ્વારા તદ્દન સરળ રીતે શોધી શકાય છે.
સમીકરણ (1). ચાલો એવા કિસ્સાઓ જોઈએ જ્યાં આ શક્ય છે.

તે અસંગત સમીકરણની જમણી બાજુ એ ડિગ્રીની બહુપદી છે m. જો
લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ નથી, તો પછી અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ ડિગ્રીના બહુપદીના રૂપમાં શોધવો જોઈએ m, એટલે કે

મતભેદ
ચોક્કસ ઉકેલ શોધવાની પ્રક્રિયામાં નક્કી કરવામાં આવે છે.

જો
લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ છે, તો પછી અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ ફોર્મમાં શોધવો જોઈએ

ઉદાહરણ 7 , તો પછી આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

ઉકેલ . આ સમીકરણ માટે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ છે
. તેના લાક્ષણિક સમીકરણ
મૂળ ધરાવે છે
અને
. સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

કારણ કે
લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ નથી, તો પછી આપણે ફંક્શનના રૂપમાં અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધીશું.
. ચાલો આ ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ
,
અને તેમને આ સમીકરણમાં બદલો:

અથવા ચાલો તેના માટે ગુણાંકની સમાનતા કરીએ અને મફત સભ્યો:
આ સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, અમને મળે છે
,
. પછી અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે
, અને આપેલ અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનો સરવાળો અને અસંગત સમીકરણના વિશિષ્ટ ઉકેલનો સરવાળો હશે:
.

અસંગત સમીકરણનું સ્વરૂપ રહેવા દો

જો
લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ નથી, તો પછી અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ ફોર્મમાં શોધવો જોઈએ. જો
લાક્ષણિકતા ગુણાકાર સમીકરણનું મૂળ છે k (k=1 અથવા k=2), તો આ કિસ્સામાં અસંગત સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલનું સ્વરૂપ હશે.

ઉદાહરણ 8 , તો પછી આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

ઉકેલ . અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ માટે લાક્ષણિક સમીકરણ ફોર્મ ધરાવે છે
. તેના મૂળ
,
. આ કિસ્સામાં, અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મમાં લખાયેલ છે
.

નંબર 3 લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ ન હોવાથી, અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ ફોર્મમાં શોધવો જોઈએ.
. ચાલો પ્રથમ અને બીજા ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ:

ચાલો વિભેદક સમીકરણમાં બદલીએ:
+ +,
+,.

ચાલો તેના માટે ગુણાંકની સમાનતા કરીએ અને મફત સભ્યો:

અહીંથી
,
. પછી આ સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે
, અને સામાન્ય ઉકેલ

.

મનસ્વી સ્થિરાંકોના વિવિધતાની લેગ્રેન્જ પદ્ધતિ

જમણી બાજુના પ્રકારને ધ્યાનમાં લીધા વિના, અચળ ગુણાંક સાથેના કોઈપણ અસંગત રેખીય સમીકરણ પર વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે. જો અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ જાણીતો હોય તો આ પદ્ધતિ તમને હંમેશા અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવાની મંજૂરી આપે છે.

દો
અને
સમીકરણના રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલો છે (2). પછી આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે
, ક્યાં અને
- મનસ્વી સ્થિરાંકો. મનસ્વી સ્થિરાંકો બદલવાની પદ્ધતિનો સાર એ છે કે સમીકરણ (1) નો સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મમાં માંગવામાં આવે છે.

જ્યાં
અને
- નવા અજાણ્યા કાર્યો કે જે શોધવાની જરૂર છે. બે અજ્ઞાત કાર્યો હોવાથી, તેમને શોધવા માટે, આ વિધેયો ધરાવતાં બે સમીકરણોની જરૂર છે. આ બે સમીકરણો સિસ્ટમ બનાવે છે

જે સંદર્ભમાં સમીકરણોની રેખીય બીજગણિત સિસ્ટમ છે
અને
. આ સિસ્ટમને હલ કરીને, અમે શોધીએ છીએ
અને
. પ્રાપ્ત સમાનતાઓની બંને બાજુઓને એકીકૃત કરીને, આપણે શોધીએ છીએ

અને
.

આ અભિવ્યક્તિઓને (9) માં બદલીને, અમે અસંગત રેખીય સમીકરણ (1) માટે સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ.

ઉદાહરણ 9 , તો પછી આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી, સમીકરણ (2) ના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે
.

ઉકેલ. આપેલ વિભેદક સમીકરણને અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણ માટે લાક્ષણિકતા સમીકરણ છે
. તેના મૂળ જટિલ છે
,
. કારણ કે
અને
, તે
,
, અને સજાતીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે. પછી આપણે આ અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું જ્યાં ફોર્મમાં
અને
- અજ્ઞાત કાર્યો.

આ અજ્ઞાત કાર્યોને શોધવા માટેની સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે

આ સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, અમે શોધીએ છીએ
,
. પછી

,
. ચાલો પરિણામી સમીકરણોને સામાન્ય ઉકેલ માટે સૂત્રમાં બદલીએ:

લેગ્રેન્જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેળવેલ આ વિભેદક સમીકરણનો આ સામાન્ય ઉકેલ છે.

જ્ઞાનના સ્વ-નિયંત્રણ માટેના પ્રશ્નો

કયા વિભેદક સમીકરણને સતત ગુણાંક સાથે બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ કહેવામાં આવે છે?

કયા રેખીય વિભેદક સમીકરણને સજાતીય કહેવાય છે અને કયાને અસંગત કહેવાય છે?

રેખીય સજાતીય સમીકરણ કયા ગુણધર્મો ધરાવે છે?

રેખીય વિભેદક સમીકરણ માટે કયા સમીકરણને લાક્ષણિકતા કહેવામાં આવે છે અને તે કેવી રીતે પ્રાપ્ત થાય છે?

લાક્ષણિક સમીકરણના જુદા જુદા મૂળના કિસ્સામાં સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ કયા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે?

લાક્ષણિક સમીકરણના સમાન મૂળના કિસ્સામાં સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ કયા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે?

લાક્ષણિક સમીકરણના જટિલ મૂળના કિસ્સામાં સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ કયા સ્વરૂપમાં લખવામાં આવે છે?

રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ કેવી રીતે લખવામાં આવે છે?

જો લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ અલગ હોય અને શૂન્ય સમાન ન હોય અને સમીકરણની જમણી બાજુ ડિગ્રીની બહુપદી હોય તો રેખીય અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ કયા સ્વરૂપમાં માંગવામાં આવે છે m?

જો લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળમાં એક શૂન્ય હોય અને સમીકરણની જમણી બાજુ ડિગ્રીની બહુપદી હોય તો રેખીય અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ કયા સ્વરૂપમાં માંગવામાં આવે છે m?

લેગ્રેન્જની પદ્ધતિનો સાર શું છે?

આપણે જોયું છે કે, જ્યાં રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ જાણીતો હોય તેવા કિસ્સામાં, મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું શક્ય છે. જો કે, સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્ન ખુલ્લો રહ્યો. ખાસ કિસ્સામાં જ્યારે રેખીય વિભેદક સમીકરણમાં (3) બધા ગુણાંક p i(એક્સ)= a i - સ્થિરાંકો, તે એકીકરણ વિના પણ તદ્દન સરળ રીતે ઉકેલી શકાય છે.

સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણને ધ્યાનમાં લો, એટલે કે ફોર્મના સમીકરણો

y (n) + એ 1 y (n – 1) +...એ n – 1 y " + a n y = 0, (14)

જ્યાં અને હું- સ્થિરાંકો (i= 1, 2, ...,n).

જેમ જાણીતું છે, 1 લી ક્રમના રેખીય સજાતીય સમીકરણ માટે ઉકેલ એ ફોર્મનું કાર્ય છે ઇ kxઅમે ફોર્મમાં સમીકરણ (14) નો ઉકેલ શોધીશું j (એક્સ) = ઇ kx.

ચાલો ફંક્શનને સમીકરણમાં બદલીએ (14) j (એક્સ) અને તેના ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ m (1 £ m£ n)j (m) (એક્સ) = k m e kx. અમને મળે છે

(k n + a 1 k n – 1 +...એ એન – 1 k + a n)e kx = 0,

પણ ઇ k x ¹ કોઈપણ માટે 0 એક્સ, તેથી જ

k n + a 1 k n – 1 +...એ n – 1 k + a n = 0. (15)

સમીકરણ (15) કહેવાય છે લાક્ષણિક સમીકરણ, ડાબી બાજુએ બહુપદી- લાક્ષણિક બહુપદી , તેના મૂળ- લાક્ષણિક મૂળ વિભેદક સમીકરણ (14).

નિષ્કર્ષ:

કાર્યj (એક્સ) = ઇ kx - રેખીય સજાતીય સમીકરણનો ઉકેલ (14) જો અને માત્ર જો સંખ્યા k - લાક્ષણિક સમીકરણનું મૂળ (15).

આમ, રેખીય સજાતીય સમીકરણ (14) ને ઉકેલવાની પ્રક્રિયા બીજગણિત સમીકરણ (15) ને ઉકેલવા માટે ઘટાડી દેવામાં આવે છે.

લાક્ષણિક મૂળના વિવિધ કિસ્સાઓ શક્ય છે.

1.લાક્ષણિક સમીકરણના તમામ મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે.

આ કિસ્સામાં nવિવિધ લાક્ષણિકતા મૂળ k 1 ,k 2 ,..., કે એનઅનુલક્ષે છે nસજાતીય સમીકરણના વિવિધ ઉકેલો (14)

તે બતાવી શકાય છે કે આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે અને તેથી ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમ બનાવે છે. આમ, સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ કાર્ય છે

જ્યાં સાથે 1 , સી 2 , ..., સી એન - મનસ્વી સ્થિરાંકો.

ઉદાહરણ 7. રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો:

અ) ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - 6ખાતે¢ (એક્સ) + 8ખાતે(એક્સ) = 0,b) ખાતે¢ ¢ ¢ (એક્સ) + 2ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - 3ખાતે¢ (એક્સ) = 0.

ઉકેલ. ચાલો એક લાક્ષણિક સમીકરણ બનાવીએ. આ કરવા માટે, અમે ઓર્ડરના વ્યુત્પન્નને બદલીએ છીએ mકાર્યો y(x) યોગ્ય ડિગ્રી સુધી

k(ખાતે (m) (x) « k m),

જ્યારે કાર્ય પોતે ખાતે(એક્સ) તરીકે શૂન્ય ઓર્ડર ડેરિવેટિવ દ્વારા બદલવામાં આવે છે k 0 = 1.

કિસ્સામાં (a) લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે k 2 - 6k + 8 = 0. આ ચતુર્ભુજ સમીકરણના મૂળ k 1 = 2,k 2 = 4. તેઓ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવાથી, સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે j (એક્સ)= સી 1 ઇ 2એક્સ + સી 2 ઇ 4x.

કેસ (b) માટે, લાક્ષણિક સમીકરણ એ 3જી ડિગ્રી સમીકરણ છે k 3 + 2k 2 - 3k = 0. ચાલો આ સમીકરણના મૂળ શોધીએ:

k(k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0i k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,

ટી . ઇ . k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.

આ લાક્ષણિકતા મૂળ વિભેદક સમીકરણના ઉકેલોની મૂળભૂત સિસ્ટમને અનુરૂપ છે:

j 1 (એક્સ)= ઇ 0એક્સ = 1, j 2 (એક્સ) = e x, j 3 (એક્સ)= ઇ - 3એક્સ .

સામાન્ય ઉકેલ, સૂત્ર (9) અનુસાર કાર્ય છે

j (એક્સ)= સી 1 + સી 2 e x + C 3 ઇ - 3એક્સ .

II . લાક્ષણિક સમીકરણના તમામ મૂળ અલગ છે, પરંતુ તેમાંના કેટલાક જટિલ છે.

વિભેદક સમીકરણના તમામ ગુણાંક (14), અને તેથી તેના લાક્ષણિક સમીકરણ (15)- વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જેનો અર્થ છે કે જો c લાક્ષણિકતા મૂળમાં જટિલ મૂળ હોય k 1 = a + ib,એટલે કે, તેનું સંયોજક મૂળ k 2 = ` k 1 = એ- ibપ્રથમ મૂળ સુધી k 1 વિભેદક સમીકરણના ઉકેલને અનુરૂપ છે (14)

j 1 (એક્સ)= ઇ (a+ib)એક્સ = e a x e ibx = e કુહાડી(cosbx + isinbx)

(અમે યુલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો છે e i x = cosx + isinx). તેવી જ રીતે, મૂળ k 2 = એ- ibઉકેલને અનુરૂપ છે

j 2 (એક્સ)= ઇ (a - -ib)એક્સ = e a x e - ib x= e કુહાડી(cosbx - isinbx).

આ ઉકેલો જટિલ છે. તેમની પાસેથી વાસ્તવિક ઉકેલો મેળવવા માટે, અમે રેખીય સજાતીય સમીકરણના ઉકેલોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ (જુઓ 13.2). કાર્યો

સમીકરણના વાસ્તવિક ઉકેલો છે (14). તદુપરાંત, આ ઉકેલો રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે. આમ, આપણે નીચેના નિષ્કર્ષ પર દોરી શકીએ છીએ.

નિયમ 1.સંયુક્ત જટિલ મૂળની જોડી a± રેખીય સજાતીય સમીકરણ (14) ના FSR માં લાક્ષણિકતા સમીકરણનો ib બે વાસ્તવિક આંશિક ઉકેલોને અનુરૂપ છેઅને .

ઉદાહરણ 8. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો:

અ) ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - 2ખાતે ¢ (એક્સ) + 5ખાતે(એક્સ) = 0 ;b) ખાતે¢ ¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ ¢ (એક્સ) + 4ખાતે ¢ (એક્સ) - 4ખાતે(એક્સ) = 0.

ઉકેલ. સમીકરણ (a) ના કિસ્સામાં, લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ k 2 - 2k + 5 = 0 એ બે સંયુક્ત જટિલ સંખ્યાઓ છે

k 1, 2 = .

પરિણામે, નિયમ 1 મુજબ, તેઓ બે વાસ્તવિક રેખીય સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુરૂપ છે: અને , અને સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ એ કાર્ય છે

j (એક્સ)= સી 1 e x cos 2x + C 2 e x પાપ 2x

કિસ્સામાં (b), લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ શોધવા માટે k 3 - k 2 + 4k- 4 = 0, અમે તેની ડાબી બાજુ ફેક્ટરાઇઝ કરીએ છીએ:

k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.

તેથી, અમારી પાસે ત્રણ લાક્ષણિક મૂળ છે: k 1 = 1,k 2 , 3 = ± 2iકોર્નુ k 1 ઉકેલને અનુરૂપ છે , અને સંયુક્ત જટિલ મૂળની જોડી k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i- બે માન્ય ઉકેલો: અને . અમે સમીકરણ માટે સામાન્ય ઉકેલ કંપોઝ કરીએ છીએ:

j (એક્સ)= સી 1 e x + C 2 cos 2x + C 3 પાપ 2x

III . લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળમાં ગુણાકાર છે.

દો k 1 - ગુણાકારનું વાસ્તવિક મૂળ mલાક્ષણિક સમીકરણ (15), એટલે કે મૂળ વચ્ચે છે mસમાન મૂળ. તેમાંના દરેક વિભેદક સમીકરણના સમાન ઉકેલને અનુરૂપ છે (14) જો કે, શામેલ કરો mએફએસઆરમાં કોઈ સમાન ઉકેલો નથી, કારણ કે તે વિધેયોની રેખીય રીતે નિર્ભર સિસ્ટમ બનાવે છે.

તે બહુવિધ મૂળના કિસ્સામાં બતાવી શકાય છે k 1સમીકરણ (14) ના ઉકેલો, કાર્ય ઉપરાંત, કાર્યો છે

વિધેયો સમગ્ર આંકડાકીય અક્ષ પર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર છે, કારણ કે , એટલે કે, તેઓ FSR માં સમાવી શકાય છે.

નિયમ 2. વાસ્તવિક લાક્ષણિકતા મૂળ k 1 બહુવિધતા m FSR માં અનુલક્ષે છે mઉકેલો:

જો k 1 - જટિલ મૂળ બહુવિધતા mલાક્ષણિક સમીકરણ (15), પછી એક સંયોજક મૂળ છે k 1 બહુવિધતા m. સાદ્રશ્ય દ્વારા આપણે નીચેના નિયમ મેળવીએ છીએ.

નિયમ 3. સંયુક્ત જટિલ મૂળની જોડી a± FSR માં ib 2mreal રેખીય રીતે સ્વતંત્ર ઉકેલોને અનુલક્ષે છે:

, , ..., ,

, , ..., .

ઉદાહરણ 9. સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો:

અ) ખાતે¢ ¢ ¢ (એક્સ) + 3ખાતે¢ ¢ (એક્સ) + 3ખાતે¢ (એક્સ)+ y ( એક્સ)= 0;b) IV પર(એક્સ) + 6ખાતે¢ ¢ (એક્સ) + 9ખાતે(એક્સ) = 0.

ઉકેલ. કિસ્સામાં (a) લાક્ષણિક સમીકરણનું સ્વરૂપ છે

k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

એટલે કે k =- 1 - ગુણાકારનું મૂળ 3. નિયમ 2 ના આધારે, અમે સામાન્ય ઉકેલ લખીએ છીએ:

j (એક્સ)= સી 1 + સી 2 x + C 3 x 2 .

કેસ (b) માં લાક્ષણિકતા સમીકરણ એ સમીકરણ છે

k 4 + 6k 2 + 9 = 0

અથવા, અન્યથા,

(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i

અમારી પાસે સંયોજક જટિલ મૂળની જોડી છે, જેમાંથી પ્રત્યેકની ગુણાકાર 2 છે. નિયમ 3 મુજબ, સામાન્ય ઉકેલ આ રીતે લખવામાં આવે છે.

j (એક્સ)= સી 1 + સી 2 x + C 3 + સી 4 x

ઉપરોક્ત પરથી તે અનુસરે છે કે સતત ગુણાંક સાથેના કોઈપણ રેખીય સજાતીય સમીકરણ માટે ઉકેલોની મૂળભૂત પ્રણાલી શોધવા અને સામાન્ય ઉકેલની રચના કરવી શક્ય છે. પરિણામે, કોઈપણ સતત કાર્ય માટે અનુરૂપ અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ f(x) જમણી બાજુએ મનસ્વી સ્થિરાંકોના ભિન્નતાની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે (વિભાગ 5.3 જુઓ).

ઉદાહરણ 10. વિવિધતા પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને, અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ (એક્સ) - 6ખાતે(એક્સ) = x ઇ 2x .

ઉકેલ. પ્રથમ આપણે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધીએ છીએ ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ (એક્સ) - 6ખાતે(એક્સ) = 0. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ k 2 - k- 6 = 0 છે k 1 = 3,k 2 = - 2, એ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ - કાર્ય ` ખાતે ( એક્સ) = સી 1 ઇ 3એક્સ + સી 2 ઇ - 2એક્સ .

અમે ફોર્મમાં અસંગત સમીકરણનો ઉકેલ શોધીશું

ખાતે( એક્સ) = સાથે 1 (એક્સ)ઇ 3એક્સ + સી 2 (એક્સ)ઇ 2એક્સ . (*)

ચાલો Wronski નિર્ણાયક શોધીએ

ડબલ્યુ[ઇ 3એક્સ , ઇ 2એક્સ ] = .

ચાલો અજ્ઞાત કાર્યોના વ્યુત્પન્ન માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ (12) કંપોઝ કરીએ સાથે ¢ 1 (એક્સ) અને સાથે¢ 2 (એક્સ):

ક્રેમરના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સિસ્ટમ ઉકેલવાથી, અમે મેળવીએ છીએ

સંકલન, અમે શોધી સાથે 1 (એક્સ) અને સાથે 2 (એક્સ):

અવેજી કાર્યો સાથે 1 (એક્સ) અને સાથે 2 (એક્સ) સમાનતા (*) માં, અમે સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવીએ છીએ ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ (એક્સ) - 6ખાતે(એક્સ) = x ઇ 2x :

એવા કિસ્સામાં જ્યારે અચળ ગુણાંક સાથેના રેખીય અસંગત સમીકરણની જમણી બાજુ એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ ધરાવે છે, ત્યારે વિવિધ મનસ્વી સ્થિરાંકોની પદ્ધતિનો આશરો લીધા વિના અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી શકાય છે.

સતત ગુણાંક સાથેના સમીકરણને ધ્યાનમાં લો

y (n) + a 1 y (n– 1) +...એ n – 1વ " + a n y = f (x), (16)

f( x) = ઇકુહાડી(પી.એન(x)cosbx + Rm(x)sinbx), (17)

જ્યાં પી.એન(x) અને આરએમ(x) - ડિગ્રી બહુપદી n અને mઅનુક્રમે

ખાનગી ઉકેલ y*(એક્સસમીકરણ (16) નું ) સૂત્ર દ્વારા નક્કી થાય છે

ખાતે* (એક્સ) = xsઇ કુહાડી(શ્રી(x)cosbx + N r(x)sinbx), (18)

જ્યાં શ્રી(x) અને નં(x) - ડિગ્રી બહુપદી r = મહત્તમ(n, m) અનિશ્ચિત ગુણાંક સાથે , એ sરુટના ગુણાંક સમાન k 0 = a + ibસમીકરણનું લાક્ષણિક બહુપદી (16), અને અમે ધારીએ છીએ s = 0 જો k 0 એ લાક્ષણિક મૂળ નથી.

ફોર્મ્યુલા (18) નો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ ઉકેલ કંપોઝ કરવા માટે, તમારે ચાર પરિમાણો શોધવાની જરૂર છે - a, b, rઅને sપ્રથમ ત્રણ સમીકરણની જમણી બાજુથી નક્કી કરવામાં આવે છે, અને આર- આ ખરેખર ઉચ્ચતમ ડિગ્રી છે x, જમણી બાજુએ જોવા મળે છે. પરિમાણ sસંખ્યાઓની સરખામણીમાંથી મળે છે k 0 = a + ibઅને સમીકરણ (16) ના બધા (ગુણાકારને ધ્યાનમાં લેતા) લાક્ષણિકતા મૂળનો સમૂહ, જે અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણને હલ કરીને જોવા મળે છે.

ચાલો ફંક્શન (17) ના સ્વરૂપના વિશેષ કેસોને ધ્યાનમાં લઈએ:

1) ખાતે a ¹ 0, b= 0f(x)= e ax P n(x);

2) જ્યારે a= 0, b ¹ 0f(x)= પી.એન(x) સાથેosbx + R m(x)sinbx;

3) જ્યારે a = 0, b = 0f(x)=Pn(x).

ટિપ્પણી 1. જો P n (x) º 0 અથવા Rm(x)º 0, પછી સમીકરણની જમણી બાજુ f(x) = e ax P n (x)с osbx અથવા f(x) = e ax R m (x)sinbx, એટલે કે ફંક્શનમાંથી એક જ સમાવે છે - કોસાઇન અથવા સાઇન. પરંતુ ચોક્કસ સોલ્યુશનના રેકોર્ડિંગમાં, તે બંને હાજર હોવા જોઈએ, કારણ કે, સૂત્ર (18) મુજબ, તેમાંથી દરેકને સમાન ડિગ્રી r = max(n, m) ના અનિર્ધારિત ગુણાંક સાથે બહુપદી દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 11. જો સમીકરણની જમણી બાજુ જાણીતી હોય તો સતત ગુણાંક સાથે ચોથા ક્રમના રેખીય સજાતીય સમીકરણના આંશિક ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરો f(એક્સ) = e x(2xcos 3x+(x 2 + 1)પાપ 3x) અને લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ:

એ ) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3,k 4 = - 1;

b ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = ± 1;

વી ) k 1, 2 = 1 ± 3i,k 3, 4 = 1 ± 3i

ઉકેલ. જમણી બાજુએ આપણે તે ચોક્કસ ઉકેલમાં શોધીએ છીએ ખાતે*(એક્સ), જે સૂત્ર (18), પરિમાણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: a= 1, b= 3, r = 2. તે ત્રણેય કેસ માટે સમાન રહે છે, તેથી સંખ્યા k 0 જે છેલ્લા પરિમાણને સ્પષ્ટ કરે છે sસૂત્ર (18) બરાબર છે k 0 = 1+ 3i. કિસ્સામાં (a) લાક્ષણિક મૂળ વચ્ચે કોઈ સંખ્યા નથી k 0 = 1 + 3હું,અર્થ, s= 0, અને ચોક્કસ ઉકેલ ફોર્મ ધરાવે છે

y*(એક્સ) = x 0 e x(એમ 2 (x)cos 3x+N 2 (x)પાપ 3x) =

= ઇx( (કુહાડી 2 +Bx+C)cos 3x+(એ 1 x 2 +બી 1 x+C 1)પાપ 3x

કિસ્સામાં (b) નંબર k 0 = 1 + 3iલાક્ષણિક મૂળ વચ્ચે એકવાર થાય છે, જેનો અર્થ થાય છે s = 1 અને

y*(એક્સ) = x e x((કુહાડી 2 +Bx+C)cos 3x+(એ 1 x 2 +બી 1 x+C 1)પાપ 3x

કેસ (c) માટે અમારી પાસે છે s = 2 અને

y*(એક્સ) = x 2 e x((કુહાડી 2 +Bx+C)cos 3x+(એ 1 x 2 +બી 1 x+C 1)પાપ 3x

ઉદાહરણ 11 માં, ચોક્કસ સોલ્યુશનમાં ડિગ્રી 2 ના બે બહુપદીઓ છે જેમાં અનિશ્ચિત ગુણાંક છે. ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે આ ગુણાંકના આંકડાકીય મૂલ્યો નક્કી કરવાની જરૂર છે. ચાલો એક સામાન્ય નિયમ ઘડીએ.

બહુપદીના અજાણ્યા ગુણાંક નક્કી કરવા શ્રી(x) અને નં(x) સમાનતા (17) ને જરૂરી સંખ્યામાં વખત અલગ પાડવામાં આવે છે, અને ફંક્શનને બદલે છે y*(એક્સ) અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝને સમીકરણમાં (16). તેની ડાબી અને જમણી બાજુઓની તુલના કરીને, ગુણાંક શોધવા માટે બીજગણિતીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 12. સમીકરણનો ઉકેલ શોધો ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ (એક્સ) - 6ખાતે(એક્સ) = xe 2x, જમણી બાજુના સ્વરૂપ દ્વારા અસંગત સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલને નિર્ધારિત કર્યા.

ઉકેલ. અસંગત સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનું સ્વરૂપ છે

ખાતે( એક્સ) = ` ખાતે(એક્સ)+ y*(એક્સ),

જ્યાં ` ખાતે ( એક્સ) - અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ, અને y*(એક્સ) - બિન-સમાન સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ.

પ્રથમ આપણે સજાતીય સમીકરણ હલ કરીએ ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ (એક્સ) - 6ખાતે(એક્સ) = 0. તેનું લાક્ષણિક સમીકરણ k 2 - k- 6 = 0 બે મૂળ ધરાવે છે k 1 = 3,k 2 = - 2, તેથી, ` ખાતે ( એક્સ) = સી 1 ઇ 3એક્સ + સી 2 ઇ - 2એક્સ .

ચાલો ચોક્કસ ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે સૂત્ર (18) નો ઉપયોગ કરીએ ખાતે*(એક્સ). કાર્ય f(x) = xe 2x ફોર્મ્યુલા (17) નો એક ખાસ કેસ (a) રજૂ કરે છે, જ્યારે a = 2,b = 0 અને r = 1, એટલે કે k 0 = 2 + 0i = 2. લાક્ષણિક મૂળ સાથે સરખામણી, અમે તે નિષ્કર્ષ s = 0. બધા પરિમાણોના મૂલ્યોને ફોર્મ્યુલા (18) માં બદલીને, અમારી પાસે છે y*(એક્સ) = (આહ + બી)ઇ 2એક્સ .

મૂલ્યો શોધવા માટે એઅને IN, ચાલો ફંક્શનના પ્રથમ અને બીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ y*(એક્સ) = (આહ + બી)ઇ 2એક્સ :

y*¢ (એક્સ)= Ae 2એક્સ + 2(આહ + બી)ઇ 2એક્સ = (2આહ + આહ + 2બી)ઇ 2x,

y*¢ ¢ (એક્સ) = 2Ae 2એક્સ + 2(2આહ + આહ + 2બી)ઇ 2એક્સ = (4આહ + 4A+ 4બી)ઇ 2એક્સ .

કાર્ય અવેજી પછી y*(એક્સ) અને તેના ડેરિવેટિવ્ઝ આપણી પાસેના સમીકરણમાં છે

(4આહ + 4A+ 4બી)ઇ 2એક્સ - (2આહ + આહ + 2બી)ઇ 2એક્સ - 6(આહ + બી)ઇ 2એક્સ =xe 2x Þ Þ A=- 1/4,B=- 3/16.

આમ, અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ સ્વરૂપ ધરાવે છે

y*(એક્સ) = (- 1/4એક્સ- 3/16)ઇ 2એક્સ ,

અને સામાન્ય ઉકેલ - ખાતે ( એક્સ) = સી 1 ઇ 3એક્સ + સી 2 ઇ - 2એક્સ + (- 1/4એક્સ- 3/16)ઇ 2એક્સ .

નોંધ 2.એવા કિસ્સામાં જ્યારે કોચી સમસ્યા એક અસંગત સમીકરણ માટે ઉભી થાય છે, ત્યારે સૌ પ્રથમ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો જોઈએ.

ખાતે( એક્સ) = ,

માં ગુણાંકના તમામ સંખ્યાત્મક મૂલ્યો નક્કી કર્યા ખાતે*(એક્સ). પછી પ્રારંભિક શરતોનો ઉપયોગ કરો અને, તેમને સામાન્ય ઉકેલમાં બદલીને (અને તેમાં નહીં y*(એક્સ)), સ્થિરાંકોના મૂલ્યો શોધો C i.

ઉદાહરણ 13. કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ શોધો:

ખાતે¢ ¢ (એક્સ) - ખાતે¢ (એક્સ) - 6ખાતે(એક્સ) = xe 2x ,વાય(0) = 0, વાય ¢ (એક્સ) = 0.

ઉકેલ. આ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ છે

ખાતે(એક્સ) = સી 1 ઇ 3એક્સ + સી 2 ઇ - 2એક્સ + (- 1/4એક્સ- 3/16)ઇ 2એક્સ

ઉદાહરણ 12 માં જોવા મળ્યું હતું. આ કોચી સમસ્યાની પ્રારંભિક સ્થિતિને સંતોષતા ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, અમે સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

તેને ઉકેલવા, અમારી પાસે છે સી 1 = 1/8, સી 2 = 1/16. તેથી, કોચી સમસ્યાનો ઉકેલ એ કાર્ય છે

ખાતે(એક્સ) = 1/8ઇ 3એક્સ + 1/16ઇ - 2એક્સ + (- 1/4એક્સ- 3/16)ઇ 2એક્સ .

નોંધ 3(સુપરપોઝિશન સિદ્ધાંત). જો રેખીય સમીકરણમાં હોય Ln[y(x)]= f(x), ક્યાં f(x) = f 1 (x)+ f 2 (x) અને y* 1 (x) - સમીકરણનો ઉકેલ Ln[y(x)]= f 1 (x), એ y* 2 (x) - સમીકરણનો ઉકેલ Ln[y(x)]= f 2 (x), પછી કાર્ય y*(એક્સ)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) છે સમીકરણ ઉકેલવું Ln[y(x)]= f(x).

ઉદાહરણ 14. રેખીય સમીકરણના સામાન્ય ઉકેલનો પ્રકાર સૂચવો

ખાતે¢ ¢ (એક્સ) + 4ખાતે(એક્સ) = x + sinx.

ઉકેલ. અનુરૂપ સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ

` ખાતે(x) = સી 1 cos 2x + C 2 પાપ 2x,

લાક્ષણિક સમીકરણ થી k 2 + 4 = 0 મૂળ ધરાવે છે k 1, 2 = ± 2i.સમીકરણની જમણી બાજુ સૂત્ર (17) ને અનુરૂપ નથી, પરંતુ જો આપણે સંકેત રજૂ કરીએ f 1 (x) = x, f 2 (x) = sinxઅને સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરો , પછી અસંગત સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ ફોર્મમાં મળી શકે છે y*(એક્સ)= y* 1 (x)+ y* 2 (x), ક્યાં y* 1 (x) - સમીકરણનો ઉકેલ ખાતે¢ ¢ (એક્સ) + 4ખાતે(એક્સ) = x, એ y* 2 (x) - સમીકરણનો ઉકેલ ખાતે¢ ¢ (એક્સ) + 4ખાતે(એક્સ) = sinx.સૂત્ર મુજબ (18)

y* 1 (x) = Ax + B,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.

પછી ચોક્કસ ઉકેલ

y*(એક્સ) = Ax + B + Ccosx + Dsinx,

તેથી, સામાન્ય ઉકેલ ફોર્મ ધરાવે છે

ખાતે(એક્સ) = સી 1 cos 2x + C 2 ઇ - 2એક્સ + એ x + B + Ccosx + Dsinx.

ઉદાહરણ 15. વિદ્યુત સર્કિટમાં વર્તમાન સ્ત્રોતનો સમાવેશ થાય છે જે emf સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોય છે ઇ(t) = ઇ પાપડબલ્યુટી,ઇન્ડક્ટન્સ એલઅને કન્ટેનર સાથે, અને

આ લેખ સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોને ઉકેલવાના મુદ્દાને સંબોધિત કરે છે. આપેલ સમસ્યાઓના ઉદાહરણો સાથે સિદ્ધાંતની ચર્ચા કરવામાં આવશે. અસ્પષ્ટ શબ્દોને સમજવા માટે, વિભેદક સમીકરણોના સિદ્ધાંતની મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને વિભાવનાઓ વિશેના વિષયનો સંદર્ભ લેવો જરૂરી છે.

ચાલો બીજા ક્રમના રેખીય વિભેદક સમીકરણ (LDE) ને y "" + p · y " + q · y = f (x) સ્વરૂપના સતત ગુણાંક સાથે ધ્યાનમાં લઈએ, જ્યાં p અને q એ મનસ્વી સંખ્યાઓ છે, અને હાલનું કાર્ય f (x) એકીકરણ અંતરાલ x પર સતત છે.

ચાલો LNDE ના સામાન્ય ઉકેલ માટે પ્રમેયની રચના તરફ આગળ વધીએ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

LDNU માટે સામાન્ય ઉકેલ પ્રમેય

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ફોર્મના અસંગત વિભેદક સમીકરણના અંતરાલ x પર સ્થિત સામાન્ય ઉકેલ. . . + f 0 (x) · y = f (x) x અંતરાલ પર સતત એકીકરણ ગુણાંક સાથે f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) અને સતત કાર્ય f (x) એ સામાન્ય ઉકેલ y 0 ના સરવાળા સમાન છે, જે LOD અને કેટલાક વિશિષ્ટ ઉકેલ y ~ ને અનુરૂપ છે, જ્યાં મૂળ અસંગત સમીકરણ y = y 0 + છે y~.

આ બતાવે છે કે આવા બીજા-ક્રમના સમીકરણના ઉકેલનું સ્વરૂપ y = y 0 + y ~ છે. y 0 શોધવા માટેના અલ્ગોરિધમની ચર્ચા સતત ગુણાંક સાથે રેખીય સજાતીય બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો પરના લેખમાં કરવામાં આવી છે. જે પછી આપણે y ~ ની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધવું જોઈએ.

LPDE માટે ચોક્કસ ઉકેલની પસંદગી સમીકરણની જમણી બાજુએ ઉપલબ્ધ ફંક્શન f (x) ના પ્રકાર પર આધારિત છે. આ કરવા માટે, સતત ગુણાંક સાથે રેખીય અસંગત બીજા-ક્રમના વિભેદક સમીકરણોના ઉકેલોને અલગથી ધ્યાનમાં લેવા જરૂરી છે.

જ્યારે f (x) ને nth ડિગ્રી f (x) = P n (x) નો બહુપદી ગણવામાં આવે છે, ત્યારે તે અનુસરે છે કે LPDE નું ચોક્કસ સોલ્યુશન ફોર્મ y ~ = Q n (x) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. ) x γ, જ્યાં Q n ( x) એ ડિગ્રી n નો બહુપદી છે, r એ લાક્ષણિક સમીકરણના શૂન્ય મૂળની સંખ્યા છે. મૂલ્ય y ~ એ ચોક્કસ ઉકેલ y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) છે, પછી ઉપલબ્ધ ગુણાંક કે જે બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે
Q n (x), અમે સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) માંથી અનિશ્ચિત ગુણાંકની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શોધીએ છીએ.

ઉદાહરણ 1

કોચીના પ્રમેય y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો.

ઉકેલ

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સતત ગુણાંક y "" - 2 y" = x 2 + 1 સાથે બીજા ક્રમના રેખીય અસંગત વિભેદક સમીકરણના ચોક્કસ ઉકેલ તરફ જવાનું જરૂરી છે, જે આપેલ શરતોને સંતોષશે y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

રેખીય અસંગત સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ એ સામાન્ય ઉકેલનો સરવાળો છે, જે સમીકરણ y 0 અથવા અસંગત સમીકરણ y ~, એટલે કે, y = y 0 + y ~ ના ચોક્કસ ઉકેલને અનુરૂપ છે.

પ્રથમ, અમે LNDU માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધીશું, અને પછી કોઈ ચોક્કસ.

ચાલો y 0 શોધવા તરફ આગળ વધીએ. લાક્ષણિક સમીકરણ લખવાથી તમને મૂળ શોધવામાં મદદ મળશે. અમે તે મેળવીએ છીએ

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

અમે જોયું કે મૂળ અલગ અને વાસ્તવિક છે. તેથી, ચાલો લખીએ

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

ચાલો y ~ શોધીએ. તે જોઈ શકાય છે કે આપેલ સમીકરણની જમણી બાજુ બીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે, પછી મૂળમાંથી એક શૂન્ય બરાબર છે. આમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે y ~ માટે ચોક્કસ ઉકેલ હશે

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, જ્યાં A, B, C ના મૂલ્યો અનિર્ધારિત ગુણાંક લે છે.

ચાલો તેમને ફોર્મ y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 ની સમાનતામાંથી શોધીએ.

પછી આપણને તે મળે છે:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

x ના સમાન ઘાતાંક સાથે ગુણાંકને સમાન કરીને, આપણે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. કોઈપણ પદ્ધતિ દ્વારા હલ કરતી વખતે, આપણે ગુણાંક શોધીશું અને લખીશું: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 અને y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

આ એન્ટ્રીને મૂળ રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણનું સામાન્ય ઉકેલ કહેવામાં આવે છે જેમાં સ્થિર ગુણાંક હોય છે.

y (0) = 2, y "(0) = 1 4 શરતોને સંતોષતા ચોક્કસ ઉકેલ શોધવા માટે, મૂલ્યો નક્કી કરવા જરૂરી છે. સી 1અને સી 2, y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ફોર્મની સમાનતાના આધારે.

અમને તે મળે છે:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

અમે C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 ફોર્મના સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમ સાથે કામ કરીએ છીએ, જ્યાં C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

કોચીના પ્રમેયને લાગુ પાડીને, આપણી પાસે તે છે

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

જવાબ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

જ્યારે ફંક્શન f (x) એ ડિગ્રી n અને ઘાતાંક f (x) = P n (x) · e a x સાથે બહુપદીના ગુણાંક તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, ત્યારે આપણે મેળવીએ છીએ કે બીજા-ક્રમના LPDE માટે ચોક્કસ ઉકેલ એ હશે. ફોર્મનું સમીકરણ y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, જ્યાં Q n (x) એ nમી ડિગ્રીની બહુપદી છે, અને r એ α ની સમાન લાક્ષણિકતા સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે.

Q n (x) થી સંબંધિત ગુણાંક સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) દ્વારા જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x ફોર્મના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ

સામાન્ય સમીકરણ y = y 0 + y ~ છે. સૂચવેલ સમીકરણ LOD y "" - 2 y " = 0 ને અનુરૂપ છે. અગાઉના ઉદાહરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે તેના મૂળ સમાન છે k 1 = 0અને k 2 = 2 અને y 0 = C 1 + C 2 e 2 x લાક્ષણિક સમીકરણ દ્વારા.

તે જોઈ શકાય છે કે સમીકરણની જમણી બાજુ x 2 + 1 · e x છે. અહીંથી LPDE એ y ~ = e a x · Q n (x) · x γ દ્વારા જોવા મળે છે, જ્યાં Q n (x) એ બીજી ડિગ્રીની બહુપદી છે, જ્યાં α = 1 અને r = 0, કારણ કે લાક્ષણિકતા સમીકરણ નથી 1 ની બરાબર રુટ છે. અહીંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C એ અજાણ્યા ગુણાંક છે જે સમાનતા y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x દ્વારા શોધી શકાય છે.

સમજાયું

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

અમે સમાન ગુણાંક સાથે સૂચકાંકોને સમાન કરીએ છીએ અને રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ. અહીંથી આપણે A, B, C શોધીએ છીએ:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

જવાબ:તે સ્પષ્ટ છે કે y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 એ LNDDE નો ચોક્કસ ઉકેલ છે, અને y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - બીજા ક્રમના અસંગત તફાવત સમીકરણ માટે સામાન્ય ઉકેલ.

જ્યારે ફંક્શનને f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x તરીકે લખવામાં આવે છે, અને એ 1અને બી 1સંખ્યાઓ છે, તો પછી LPDE ના આંશિક ઉકેલને y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ સ્વરૂપનું સમીકરણ માનવામાં આવે છે, જ્યાં A અને B એ અનિર્ધારિત ગુણાંક ગણવામાં આવે છે, અને r એ સંખ્યા છે. લાક્ષણિક સમીકરણ સાથે સંબંધિત જટિલ સંયોજક મૂળ, ± i β ની બરાબર. આ કિસ્સામાં, ગુણાંકની શોધ સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 3

ફોર્મ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ના વિભેદક સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ

લાક્ષણિક સમીકરણ લખતા પહેલા, આપણે y 0 શોધીએ છીએ. પછી

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

અમારી પાસે જટિલ સંયોજક મૂળની જોડી છે. ચાલો પરિવર્તન કરીએ અને મેળવીએ:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળને સંયોજક જોડી ± 2 i, પછી f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ગણવામાં આવે છે. આ બતાવે છે કે y ~ ની શોધ y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x માંથી કરવામાં આવશે. અજ્ઞાત આપણે y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ફોર્મની સમાનતામાંથી A અને B ગુણાંક શોધીશું.

ચાલો પરિવર્તન કરીએ:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

ત્યારે સ્પષ્ટ થાય છે કે

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

સાઈન અને કોસાઈન્સના ગુણાંકને સમાન કરવા જરૂરી છે. અમને ફોર્મની સિસ્ટમ મળે છે:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

તે અનુસરે છે કે y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

જવાબ:સતત ગુણાંક સાથે મૂળ બીજા-ક્રમના LDDE નો સામાન્ય ઉકેલ ગણવામાં આવે છે

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

જ્યારે f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), તો y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ આપણી પાસે છે કે r એ લાક્ષણિક સમીકરણથી સંબંધિત મૂળના જટિલ સંયોજક જોડીની સંખ્યા છે, α ± i β, જ્યાં P n (x), Q k (x), L m (x) અને Nm(x)ડિગ્રી n, k, m, m, જ્યાં બહુપદી છે m = m a x (n, k). ગુણાંક શોધવી Lm(x)અને Nm(x)સમાનતા y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ના આધારે બનાવવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ 4

સામાન્ય ઉકેલ y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) શોધો.

ઉકેલ

શરત મુજબ તે સ્પષ્ટ છે

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

પછી m = m a x (n, k) = 1. આપણે પ્રથમ ફોર્મનું લાક્ષણિક સમીકરણ લખીને y 0 શોધીએ છીએ:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

અમે જોયું કે મૂળ વાસ્તવિક અને અલગ છે. આથી y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. આગળ, ફોર્મના અસંગત સમીકરણ y ~ પર આધારિત સામાન્ય ઉકેલ શોધવાનું જરૂરી છે.

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) પાપ (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

તે જાણીતું છે કે A, B, C ગુણાંક છે, r = 0, કારણ કે α ± i β = 3 ± 5 · i સાથે લાક્ષણિક સમીકરણ સાથે સંબંધિત સંયોજક મૂળની કોઈ જોડી નથી. અમે પરિણામી સમાનતામાંથી આ ગુણાંક શોધીએ છીએ:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + ડી) પાપ (5 x))) = - e 3 x (38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

વ્યુત્પન્ન અને સમાન શબ્દો શોધવાથી મળે છે

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

ગુણાંક સમાન કર્યા પછી, અમે ફોર્મની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 ડી = 1

દરેક વસ્તુમાંથી તે તેને અનુસરે છે

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) પાપ (5 x))

જવાબ:હવે આપણે આપેલ રેખીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ મેળવ્યો છે:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

LDNU ઉકેલવા માટે અલ્ગોરિધમ

સોલ્યુશન માટે અન્ય કોઈપણ પ્રકારના ફંક્શન f(x) માટે સોલ્યુશન અલ્ગોરિધમનું પાલન જરૂરી છે:

• અનુરૂપ રેખીય સજાતીય સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ શોધવો, જ્યાં y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, જ્યાં y 1અને y 2 LODE ના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર આંશિક ઉકેલો છે, સી 1અને સી 2મનસ્વી સ્થિરાંકો ગણવામાં આવે છે;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ના સામાન્ય ઉકેલ તરીકે અપનાવવું;
• ફોર્મ C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) ની સિસ્ટમ દ્વારા ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્સનું નિર્ધારણ ) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , અને કાર્યો શોધો C 1 (x)અને C 2 (x) એકીકરણ દ્વારા.

ઉદાહરણ 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x માટે સામાન્ય ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ

અમે અગાઉ y 0, y "" + 36 y = 0 લખીને લાક્ષણિક સમીકરણ લખવા આગળ વધીએ છીએ. ચાલો લખીએ અને હલ કરીએ:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = પાપ (6 x)

આપણી પાસે છે કે આપેલ સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) તરીકે લખવામાં આવશે. વ્યુત્પન્ન કાર્યોની વ્યાખ્યા તરફ આગળ વધવું જરૂરી છે C 1 (x)અને C2(x)સમીકરણો સાથેની સિસ્ટમ અનુસાર:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

અંગે નિર્ણય લેવાની જરૂર છે C 1" (x)અને C 2" (x)કોઈપણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. પછી અમે લખીએ છીએ:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

દરેક સમીકરણો એકીકૃત હોવા જોઈએ. પછી આપણે પરિણામી સમીકરણો લખીએ છીએ:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

તે નીચે મુજબ છે કે સામાન્ય ઉકેલમાં ફોર્મ હશે:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 પાપ (6 x)

જવાબ: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

સતત ગુણાંક (PC) સાથે રેખીય અસંગત બીજા ક્રમના વિભેદક સમીકરણો (LNDE-2) ઉકેલવાના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો

સ્થિર ગુણાંક $p$ અને $q$ સાથેનો 2જી ક્રમ LDDE $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ ધરાવે છે, જ્યાં $f\left(x \right)$ એ સતત કાર્ય છે.

PC સાથે LNDU 2 ના સંદર્ભમાં, નીચેના બે નિવેદનો સાચા છે.

ચાલો ધારીએ કે અમુક ફંક્શન $U$ એ અસંગત વિભેદક સમીકરણનું મનસ્વી આંશિક ઉકેલ છે. ચાલો આપણે એમ પણ માની લઈએ કે અમુક ફંક્શન $Y$ એ અનુરૂપ રેખીય સજાતીય વિભેદક સમીકરણ (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ નો સામાન્ય ઉકેલ (GS) છે. પછી નું GS LHDE-2 એ દર્શાવેલ ખાનગી અને સામાન્ય ઉકેલોના સરવાળાની બરાબર છે, એટલે કે, $y=U+Y$.

જો 2જી ક્રમની LMDE ની જમણી બાજુ એ કાર્યોનો સરવાળો છે, એટલે કે, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, પછી પહેલા આપણે $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ શોધી શકીએ છીએ. દરેક ફંકશન માટે $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, અને તે પછી $U=U_(1) +U_(2) +...U_(r) $ સ્વરૂપમાં CR LNDU-2 લખો.

પીસી સાથે 2જી ઓર્ડર LPDE નું સોલ્યુશન

તે સ્પષ્ટ છે કે આપેલ LNDU-2 ના એક અથવા બીજા PD $U$ નો પ્રકાર તેની જમણી બાજુના $f\left(x\right)$ ના વિશિષ્ટ સ્વરૂપ પર આધારિત છે. PD LNDU-2 શોધવાના સૌથી સરળ કિસ્સાઓ નીચેના ચાર નિયમોના સ્વરૂપમાં ઘડવામાં આવ્યા છે.

નિયમ નંબર 1.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ છે, જ્યાં $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, એટલે કે, તેને a કહેવાય છે ડિગ્રી $n$ નો બહુપદી. પછી તેનું PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(n) \left(x\right)$ બીજું છે $P_(n) \left(x\right)$, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે જે શૂન્યની બરાબર છે. બહુપદી $Q_(n) \left(x\right)$ ના ગુણાંક અનિશ્ચિત ગુણાંક (UK) ની પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.

નિયમ નંબર 2.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ છે, જ્યાં $P_(n) \left( x\right)$ એ ડિગ્રી $n$ નો બહુપદી છે. પછી તેનું PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(n) ) \ left(x\right)$ એ $P_(n) \left(x\right)$ સમાન ડિગ્રીનો બીજો બહુપદી છે, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે. , $\alpha $ ની બરાબર. બહુપદી $Q_(n) \left(x\right)$ ના ગુણાંક NC પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.

નિયમ નંબર 3.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) સ્વરૂપ ધરાવે છે \right) $, જ્યાં $a$, $b$ અને $\beta$ જાણીતી સંખ્યાઓ છે. પછી તેનું PD $U$ $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) સ્વરૂપે માંગવામાં આવે છે. \right )\cdot x^(r) $, જ્યાં $A$ અને $B$ અજ્ઞાત ગુણાંક છે, અને $r$ એ અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળની સંખ્યા છે, જે $i\cdot ની બરાબર છે. \બીટા $. ગુણાંક $A$ અને $B$ બિન-વિનાશક પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે.

નિયમ નંબર 4.

LNDU-2 ની જમણી બાજુ $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ છે, જ્યાં $P_(n) \left(x\right)$ છે ડિગ્રી $n$, અને $P_(m) \left(x\right)$ એ ડિગ્રી $m$ નો બહુપદી છે. પછી તેનું PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $માં માંગવામાં આવે છે, જ્યાં $Q_(s) \left(x\right)$ અને $R_(s) \left(x\right)$ એ ડિગ્રી $s$ ના બહુપદી છે, $s$ એ બે સંખ્યાઓની મહત્તમ $n$ અને $m$ છે, અને $r$ એ મૂળની સંખ્યા છે અનુરૂપ LODE-2 ના લાક્ષણિક સમીકરણનું, $\alpha +i\cdot \beta $ જેટલું. બહુપદી $Q_(s) \left(x\right)$ અને $R_(s) \left(x\right)$ ના ગુણાંક NC પદ્ધતિ દ્વારા જોવા મળે છે.

NK પદ્ધતિમાં નીચેના નિયમને લાગુ કરવાનો સમાવેશ થાય છે. અસંગત વિભેદક સમીકરણ LNDU-2 ના આંશિક ઉકેલનો ભાગ છે તેવા બહુપદીના અજાણ્યા ગુણાંક શોધવા માટે, તે જરૂરી છે:

• LNDU-2 ની ડાબી બાજુએ, સામાન્ય સ્વરૂપમાં લખેલા PD $U$ને બદલો;
• LNDU-2 ની ડાબી બાજુએ, સમાન શક્તિઓ સાથે સરળીકરણ અને જૂથ શબ્દો કરો $x$;
• પરિણામી ઓળખમાં, ડાબી અને જમણી બાજુઓની સમાન શક્તિઓ $x$ સાથે શરતોના ગુણાંકને સમાન બનાવો;
• અજ્ઞાત ગુણાંક માટે રેખીય સમીકરણોની પરિણામી સિસ્ટમ ઉકેલો.

ઉદાહરણ 1

કાર્ય: શોધો અથવા LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. PD પણ શોધો , $x=0$ માટે $y=6$ અને $x=0$ માટે $y"=1$ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષે છે.

અમે અનુરૂપ LOD-2 લખીએ છીએ: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

લાક્ષણિક સમીકરણ: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. લાક્ષણિક સમીકરણના મૂળ: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. આ મૂળ માન્ય અને અલગ છે. આમ, અનુરૂપ LODE-2 નું OR ફોર્મ ધરાવે છે: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

આ LNDU-2 ની જમણી બાજુ $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ છે. ઘાતાંક $\alpha =3$ ના ગુણાંકને ધ્યાનમાં લેવું જરૂરી છે. આ ગુણાંક લાક્ષણિક સમીકરણના કોઈપણ મૂળ સાથે મેળ ખાતો નથી. તેથી, આ LNDU-2 ના PD પાસે $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ છે.

અમે NC પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને $A$, $B$ ગુણાંક શોધીશું.

અમે ચેક રિપબ્લિકનું પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

અમને ચેક રિપબ્લિકનું બીજું વ્યુત્પન્ન મળે છે:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

અમે આપેલ NLDE-2 $y""-3\cdot y" માં $y""$, $y"$ અને $y$ ને બદલે $U""$, $U"$ અને $U$ ને બદલીએ છીએ. -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ વધુમાં, કારણ કે ઘાતાંક $e^(3\cdot x) $ એક પરિબળ તરીકે સામેલ છે બધા ઘટકોમાં, પછી તેને અવગણી શકાય છે:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\જમણે)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

અમે પરિણામી સમાનતાની ડાબી બાજુએ ક્રિયાઓ કરીએ છીએ:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

અમે NDT પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. અમે બે અજાણ્યા સાથે રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ મેળવીએ છીએ:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

આ સિસ્ટમનો ઉકેલ છે: $A=-2$, $B=-1$.

અમારી સમસ્યા માટે PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ આના જેવો દેખાય છે: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

અમારી સમસ્યા માટે OR $y=Y+U$ આના જેવો દેખાય છે: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

આપેલ પ્રારંભિક શરતોને સંતોષતી PD શોધવા માટે, અમે OP નું વ્યુત્પન્ન $y"$ શોધીએ છીએ:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

અમે $y$ અને $y"$ માં બદલીએ છીએ પ્રારંભિક શરતો $y=6$ માટે $x=0$ અને $y"=1$ $x=0$ માટે:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

અમને સમીકરણોની સિસ્ટમ પ્રાપ્ત થઈ છે:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

ચાલો તેને હલ કરીએ. અમે ક્રેમરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $C_(1) $ શોધીએ છીએ, અને $C_(2) $ અમે પ્રથમ સમીકરણ પરથી નક્કી કરીએ છીએ:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ બિગિન(એરે)(સીસી) (1) અને (1) \\ (-3) અને (6) \ એન્ડ(એરે)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\જમણે)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

આમ, આ વિભેદક સમીકરણના PDનું સ્વરૂપ છે: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.