કયા મેટ્રિસિસ માટે વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે છે? વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું: ત્રણ અલ્ગોરિધમ્સ અને ઉદાહરણો

આ વિષય વિદ્યાર્થીઓમાં સૌથી વધુ નફરતનો વિષય છે. ખરાબ, કદાચ, ક્વોલિફાયર છે.

યુક્તિ એ છે કે વ્યસ્ત તત્વની ખૂબ જ ખ્યાલ (અને હું માત્ર મેટ્રિસિસ વિશે વાત કરતો નથી) આપણને ગુણાકારની ક્રિયાનો સંદર્ભ આપે છે. શાળાના અભ્યાસક્રમમાં પણ, ગુણાકારને જટિલ કામગીરી ગણવામાં આવે છે, અને મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સામાન્ય રીતે એક અલગ વિષય છે, જેના માટે મારી પાસે સંપૂર્ણ ફકરો અને વિડિઓ પાઠ સમર્પિત છે.

આજે આપણે મેટ્રિક્સ ગણતરીઓની વિગતોમાં જઈશું નહીં. ચાલો ફક્ત યાદ રાખીએ: મેટ્રિસિસ કેવી રીતે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, તેઓ કેવી રીતે ગુણાકાર થાય છે અને આનાથી શું થાય છે.

સમીક્ષા: મેટ્રિક્સ ગુણાકાર

સૌ પ્રથમ, ચાલો નોટેશન પર સંમત થઈએ. $\left[ m\times n \right]$ નું મેટ્રિક્સ $A$ એ ફક્ત $m$ પંક્તિઓ અને $n$ કૉલમ્સ સાથેની સંખ્યાઓનું કોષ્ટક છે:

\=\અંડરબ્રેસ(\left[ \begin(મેટ્રિક્સ) ((a)_(11)) અને ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) અને ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) અને ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\end(મેટ્રિક્સ) \\\\'અધિકાર])_(n)\]

આકસ્મિક રીતે પંક્તિઓ અને કૉલમનું મિશ્રણ ટાળવા માટે (મારા પર વિશ્વાસ કરો, પરીક્ષામાં તમે એકને બે સાથે મૂંઝવણમાં મૂકી શકો છો, કેટલીક પંક્તિઓ છોડી દો), ફક્ત ચિત્ર જુઓ:

શું થઈ રહ્યું છે? જો તમે સ્ટાન્ડર્ડ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ $OXY$ ને ઉપરના ડાબા ખૂણામાં મૂકો અને અક્ષોને દિશામાન કરો જેથી કરીને તેઓ સમગ્ર મેટ્રિક્સને આવરી લે, તો આ મેટ્રિક્સના દરેક કોષને $\left(x;y \right)$ સાથે વિશિષ્ટ રીતે સંકલન કરી શકાય છે. - આ રો નંબર અને કોલમ નંબર હશે.

કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ ઉપર ડાબા ખૂણામાં શા માટે મૂકવામાં આવે છે? હા, કારણ કે ત્યાંથી જ આપણે કોઈપણ ગ્રંથો વાંચવાનું શરૂ કરીએ છીએ. તે યાદ રાખવું ખૂબ જ સરળ છે.

શા માટે $x$ અક્ષ નીચે તરફ નિર્દેશિત છે અને જમણી તરફ નથી? ફરીથી, તે સરળ છે: પ્રમાણભૂત કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ લો ($x$ અક્ષ જમણી તરફ જાય છે, $y$ અક્ષ ઉપર જાય છે) અને તેને ફેરવો જેથી તે મેટ્રિક્સને આવરી લે. આ ઘડિયાળની દિશામાં 90 ડિગ્રીનું પરિભ્રમણ છે - આપણે ચિત્રમાં પરિણામ જોઈએ છીએ.

સામાન્ય રીતે, અમે મેટ્રિક્સ તત્વોના સૂચકાંકો કેવી રીતે નક્કી કરવા તે શોધી કાઢ્યું છે. હવે ચાલો ગુણાકાર જોઈએ.

વ્યાખ્યા. મેટ્રિસિસ $A=\left[ m\times n \right]$ અને $B=\left[ n\times k \right]$, જ્યારે પ્રથમમાં કૉલમની સંખ્યા બીજી પંક્તિઓની સંખ્યા સાથે એકરુપ હોય છે, તે છે સુસંગત કહેવાય છે.

બરાબર એ ક્રમમાં. કોઈ મૂંઝવણમાં આવી શકે છે અને કહી શકે છે કે મેટ્રિસિસ $A$ અને $B$ એક ઓર્ડર કરેલ જોડી બનાવે છે $\left(A;B \right)$: જો તેઓ આ ક્રમમાં સુસંગત હોય, તો તે $B જરૂરી નથી. $ અને $A$ તે. જોડી $\left(B;A \right)$ પણ સુસંગત છે.

માત્ર મેળ ખાતી મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યા. મેળ ખાતી મેટ્રિક્સ $A=\left[ m\times n \right]$ અને $B=\left[ n\times k \right]$ એ નવું મેટ્રિક્સ $C=\left[ m\times k \right છે ]$ , જે તત્વોના $((c)_(ij))$ ની ગણતરી સૂત્ર અનુસાર કરવામાં આવે છે:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો: મેટ્રિક્સ $C=A\cdot B$ નું તત્વ $((c)_(ij))$ મેળવવા માટે, તમારે પ્રથમ મેટ્રિક્સની $i$-પંક્તિ, $j$ લેવાની જરૂર છે -બીજા મેટ્રિક્સની મી કૉલમ, અને પછી આ પંક્તિ અને કૉલમમાંથી જોડી ઘટકોમાં ગુણાકાર કરો. પરિણામો ઉમેરો.

હા, આ એક કઠોર વ્યાખ્યા છે. કેટલાક તથ્યો તરત જ તેમાંથી અનુસરે છે:

1. મેટ્રિક્સ ગુણાકાર, સામાન્ય રીતે કહીએ તો, બિન-વિનિમયાત્મક છે: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. જો કે, ગુણાકાર એ સહયોગી છે: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. અને વિતરિત રીતે પણ: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. અને ફરી એકવાર વિતરિત રીતે: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

ગુણાકારની ડિસ્ટ્રિબ્યુટીવીટીને ડાબે અને જમણા સરવાળા પરિબળ માટે અલગથી વર્ણવવાની જરૂર હતી કારણ કે ગુણાકારની ક્રિયાની બિન-વિનિમયક્ષમતા.

જો તે બહાર આવ્યું કે $A\cdot B=B\cdot A$, તો આવા મેટ્રિસિસને વિનિમયાત્મક કહેવામાં આવે છે.

કોઈપણ મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવતા તમામ મેટ્રિસીસમાં, ત્યાં ખાસ છે - તે કે જે, જ્યારે કોઈપણ મેટ્રિક્સ $A$ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, ત્યારે ફરીથી $A$ આપે છે:

વ્યાખ્યા. જો $A\cdot E=A$ અથવા $E\cdot A=A$ તો મેટ્રિક્સ $E$ ને ઓળખ કહેવામાં આવે છે. ચોરસ મેટ્રિક્સ $A$ ના કિસ્સામાં આપણે લખી શકીએ:

મેટ્રિક્સ સમીકરણો ઉકેલતી વખતે ઓળખ મેટ્રિક્સ વારંવાર અતિથિ છે. અને સામાન્ય રીતે, મેટ્રિસિસની દુનિયામાં વારંવાર મહેમાન.

અને આ $E$ ને કારણે, કોઈએ બધી બકવાસ સાથે આવી જે આગળ લખવામાં આવશે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શું છે

મેટ્રિક્સ ગુણાકાર એ ખૂબ જ શ્રમ-સઘન કામગીરી હોવાથી (તમારે પંક્તિઓ અને કૉલમના સમૂહનો ગુણાકાર કરવો પડશે), વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ પણ સૌથી તુચ્છ નથી. અને થોડી સમજૂતીની જરૂર છે.

કી વ્યાખ્યા

સારું, સત્ય જાણવાનો સમય આવી ગયો છે.

વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સ $B$ એ મેટ્રિક્સ $A$ જોનું વ્યસ્ત કહેવાય છે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સને $((A)^(-1))$ (ડિગ્રી સાથે મૂંઝવણમાં ન આવે!) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેથી વ્યાખ્યાને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

એવું લાગે છે કે બધું ખૂબ જ સરળ અને સ્પષ્ટ છે. પરંતુ આ વ્યાખ્યાનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, તરત જ કેટલાક પ્રશ્નો ઉભા થાય છે:

1. શું વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હંમેશા અસ્તિત્વમાં છે? અને જો હંમેશા નહીં, તો પછી કેવી રીતે નક્કી કરવું: તે ક્યારે અસ્તિત્વમાં છે અને ક્યારે નથી?
2. અને કોણે કહ્યું કે આવા એક મેટ્રિક્સ બરાબર છે? જો કેટલાક પ્રારંભિક મેટ્રિક્સ $A$ માટે વ્યસ્તોની સંપૂર્ણ ભીડ હોય તો શું?
3. આ બધા "વિપરીઓ" કેવા દેખાય છે? અને કેવી રીતે, બરાબર, આપણે તેમની ગણતરી કરવી જોઈએ?

ગણતરી એલ્ગોરિધમ્સ માટે, અમે આ વિશે થોડી વાર પછી વાત કરીશું. પરંતુ બાકીના પ્રશ્નોના જવાબ અમે અત્યારે આપીશું. ચાલો તેમને અલગ નિવેદનો-લેમ્માના રૂપમાં ઘડીએ.

મૂળભૂત ગુણધર્મો

ચાલો શરૂઆત કરીએ કે મેટ્રિક્સ $A$, સૈદ્ધાંતિક રીતે, $((A)^(-1))$ તેના માટે અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે કેવી રીતે જોવું જોઈએ. હવે આપણે ખાતરી કરીશું કે આ બંને મેટ્રિસિસ ચોરસ અને સમાન કદના હોવા જોઈએ: $\left[ n\times n \right]$.

લેમ્મા 1. એક મેટ્રિક્સ $A$ અને તેની વ્યસ્ત $((A)^(-1))$ આપેલ છે. પછી આ બંને મેટ્રિસિસ ચોરસ છે, અને તે જ ક્રમમાં $n$ છે.

પુરાવો. તે સરળ છે. ચાલો મેટ્રિક્સ $A=\left[ m\times n \right]$, $(A)^(-1))=\left[ a\times b \right]$. ઉત્પાદન $A\cdot ((A)^(-1))=E$ વ્યાખ્યા દ્વારા અસ્તિત્વમાં હોવાથી, મેટ્રિસિસ $A$ અને $((A)^(-1))$ બતાવેલ ક્રમમાં સુસંગત છે:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \ end( સંરેખિત કરો)\]

આ મેટ્રિક્સ ગુણાકાર અલ્ગોરિધમનું સીધું પરિણામ છે: ગુણાંક $n$ અને $a$ "ટ્રાન્ઝીટ" છે અને સમાન હોવા જોઈએ.

તે જ સમયે, વ્યસ્ત ગુણાકાર પણ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $((A)^(-1))\cdot A=E$, તેથી મેટ્રિસિસ $((A)^(-1))$ અને $A$ છે ઉલ્લેખિત ક્રમમાં પણ સુસંગત:

\[\begin(align) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( સંરેખિત કરો)\]

આમ, સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના, અમે ધારી શકીએ કે $A=\left[ m\times n \right]$, $((A)^(-1))=\left[ n\times m \right]$. જો કે, $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$ ની વ્યાખ્યા મુજબ, તેથી મેટ્રિસીસના કદ સખત રીતે એકરૂપ થાય છે:

\[\begin(align) & \left[ m\times n \right]=\left[ n\times m \right] \\ & m=n \ end(align)\]

તેથી તે તારણ આપે છે કે ત્રણેય મેટ્રિસિસ - $A$, $(A)^(-1))$ અને $E$ - $\left[ n\times n \right]$ના કદના ચોરસ મેટ્રિસિસ છે. લેમ્મા સાબિત થાય છે.

સારું, તે પહેલેથી જ સારું છે. આપણે જોઈએ છીએ કે માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવા છે. હવે ચાલો ખાતરી કરીએ કે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હંમેશા સમાન છે.

લેમ્મા 2. એક મેટ્રિક્સ $A$ અને તેની વ્યસ્ત $((A)^(-1))$ આપેલ છે. પછી આ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એકમાત્ર છે.

પુરાવો. ચાલો વિરોધાભાસ દ્વારા જઈએ: મેટ્રિક્સ $A$ ને ઓછામાં ઓછા બે વ્યુત્ક્રમો - $B$ અને $C$ હોવા દો. પછી, વ્યાખ્યા મુજબ, નીચેની સમાનતાઓ સાચી છે:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

લેમ્મા 1 થી આપણે તારણ કાઢીએ છીએ કે તમામ ચાર મેટ્રિસિસ - $A$, $B$, $C$ અને $E$ - સમાન ક્રમના વર્ગો છે: $\left[ n\times n \right]$. તેથી, ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:

કારણ કે મેટ્રિક્સ ગુણાકાર સહયોગી છે (પરંતુ વિનિમયાત્મક નથી!), અમે લખી શકીએ છીએ:

\[\begin(align) & B\cdot A\cdot C=\left(B\cdot A \right)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\Rightarrow B=C. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

અમને એકમાત્ર સંભવિત વિકલ્પ મળ્યો: વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની બે નકલો સમાન છે. લેમ્મા સાબિત થાય છે.

ઉપરોક્ત તર્ક તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $b\ne 0$ માટે વ્યસ્ત તત્વની વિશિષ્ટતાના પુરાવાને લગભગ શબ્દશઃ પુનરાવર્તન કરે છે. એકમાત્ર નોંધપાત્ર ઉમેરો મેટ્રિસિસના પરિમાણને ધ્યાનમાં લે છે.

જો કે, દરેક ચોરસ મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે કે કેમ તે વિશે અમને હજુ પણ કંઈ ખબર નથી. અહીં નિર્ણાયક અમારી સહાય માટે આવે છે - આ તમામ ચોરસ મેટ્રિસિસ માટે મુખ્ય લાક્ષણિકતા છે.

લેમ્મા 3. મેટ્રિક્સ $A$ આપેલ છે. જો તેનો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $((A)^(-1))$ અસ્તિત્વમાં હોય, તો મૂળ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક નોનઝીરો છે:

\[\left| A\right|\ne 0\]

પુરાવો. આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ કે $A$ અને $(A)^(-1))$ એ $\left[ n\times n \right]$ના કદના ચોરસ મેટ્રિસ છે. તેથી, તે દરેક માટે આપણે નિર્ણાયકની ગણતરી કરી શકીએ છીએ: $\left| A\right|$ અને $\left| ((A)^(-1)) \right|$. જો કે, ઉત્પાદનનો નિર્ણાયક નિર્ધારકોના ઉત્પાદન સમાન છે:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \right|\Rightarrow \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|\]

પરંતુ વ્યાખ્યા મુજબ, $A\cdot ((A)^(-1))=E$, અને $E$ નો નિર્ધારક હંમેશા 1 ની બરાબર હોય છે, તેથી

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| ઇ\જમણે|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \right|=1. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જો આ દરેક સંખ્યા બિન-શૂન્ય હોય તો જ બે સંખ્યાઓનું ઉત્પાદન એક સમાન છે:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \right|\ne 0.\]

તેથી તે બહાર આવ્યું છે કે $\left| A \right|\ne 0$. લેમ્મા સાબિત થાય છે.

હકીકતમાં, આ જરૂરિયાત તદ્દન તાર્કિક છે. હવે આપણે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેના અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ કરીશું - અને તે સંપૂર્ણપણે સ્પષ્ટ થઈ જશે કે શા માટે, શૂન્ય નિર્ણાયક સાથે, સિદ્ધાંતમાં કોઈ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી.

પરંતુ પ્રથમ, ચાલો "સહાયક" વ્યાખ્યા ઘડીએ:

વ્યાખ્યા. એકવચન મેટ્રિક્સ એ $\left[ n\times n \right]$ કદનું ચોરસ મેટ્રિક્સ છે જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

આમ, આપણે દાવો કરી શકીએ છીએ કે દરેક ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ બિન-એકવચન છે.

મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત કેવી રીતે શોધવો

હવે આપણે વ્યસ્ત મેટ્રિસિસ શોધવા માટે સાર્વત્રિક અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરીશું. સામાન્ય રીતે, ત્યાં બે સામાન્ય રીતે સ્વીકૃત અલ્ગોરિધમ્સ છે, અને અમે આજે બીજાને પણ ધ્યાનમાં લઈશું.

હવે જેની ચર્ચા કરવામાં આવશે તે $\left[ 2\times 2 \right]$ અને - આંશિક રીતે - $\left[ 3\times 3 \right]$ના કદના મેટ્રિસિસ માટે ખૂબ અસરકારક છે. પરંતુ $\left[ 4\times 4 \right]$ થી શરૂ કરીને તેનો ઉપયોગ ન કરવો તે વધુ સારું છે. શા માટે - હવે તમે બધું જાતે સમજી શકશો.

બીજગણિત ઉમેરાઓ

તૈયાર થઈ જાઓ. હવે પીડા થશે. ના, ચિંતા કરશો નહીં: સ્કર્ટમાં એક સુંદર નર્સ, ફીત સાથેના સ્ટોકિંગ્સ તમારી પાસે આવશે નહીં અને તમને નિતંબમાં ઇન્જેક્શન આપશે. બધું ખૂબ જ વધુ અસ્પષ્ટ છે: બીજગણિત ઉમેરાઓ અને હર મેજેસ્ટી "યુનિયન મેટ્રિક્સ" તમારી પાસે આવે છે.

ચાલો મુખ્ય વસ્તુથી પ્રારંભ કરીએ. ચાલો ત્યાં $A=\left[ n\times n \right]$નું એક ચોરસ મેટ્રિક્સ હોય, જેના તત્વોને $((a)_(ij))$ કહેવાય છે. પછી આવા દરેક તત્વ માટે આપણે બીજગણિતીય પૂરક વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ:

વ્યાખ્યા. મેટ્રિક્સ $A=\left[ની $i$th પંક્તિ અને $j$th કૉલમમાં સ્થિત $((a)_(ij))$ તત્વ માટે બીજગણિતીય પૂરક $((A)_(ij))$ n \times n \right]$ એ ફોર્મનું બાંધકામ છે

\[(A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

જ્યાં $M_(ij)^(*)$ એ સમાન $i$th પંક્તિ અને $j$th કૉલમને કાઢી નાખીને મૂળ $A$માંથી મેળવેલ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે.

ફરી. કોઓર્ડિનેટ્સ $\left(i;j \right)$ સાથે મેટ્રિક્સ ઘટકનું બીજગણિત પૂરક $((A)_(ij))$ તરીકે સૂચવવામાં આવે છે અને યોજના અનુસાર ગણતરી કરવામાં આવે છે:

1. પ્રથમ, અમે મૂળ મેટ્રિક્સમાંથી $i$-પંક્તિ અને $j$-th કૉલમ કાઢી નાખીએ છીએ. અમે એક નવું ચોરસ મેટ્રિક્સ મેળવીએ છીએ, અને અમે તેના નિર્ણાયકને $M_(ij)^(*)$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
2. પછી આપણે આ નિર્ણાયકને $((\left(-1 \right))^(i+j))$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ - શરૂઆતમાં આ અભિવ્યક્તિ મનને ફૂંકાવી દે તેવી લાગે છે, પરંતુ સારમાં આપણે ફક્ત સામેની નિશાની શોધી રહ્યા છીએ. $M_(ij)^(*) $.
3. અમે ગણતરી કરીએ છીએ અને ચોક્કસ નંબર મેળવીએ છીએ. તે. બીજગણિત ઉમેરો એ ચોક્કસ સંખ્યા છે, અને કોઈ નવું મેટ્રિક્સ નથી, વગેરે.

મેટ્રિક્સ $M_(ij)^(*)$ પોતે $((a)_(ij))$ તત્વ માટે વધારાની ગૌણ કહેવાય છે. અને આ અર્થમાં, બીજગણિત પૂરકની ઉપરની વ્યાખ્યા એ વધુ જટિલ વ્યાખ્યાનો એક વિશેષ કેસ છે - જે આપણે નિર્ણાયક વિશેના પાઠમાં જોયું છે.

મહત્વપૂર્ણ નોંધ. ખરેખર, "પુખ્ત" ગણિતમાં, બીજગણિત ઉમેરણો નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

1. અમે ચોરસ મેટ્રિક્સમાં $k$ પંક્તિઓ અને $k$ કૉલમ લઈએ છીએ. તેમના આંતરછેદ પર આપણને $\left[ k\times k \right]$ માપનું મેટ્રિક્સ મળે છે - તેના નિર્ણાયકને $k$ ના ક્રમમાં માઇનોર કહેવામાં આવે છે અને તેને $((M)_(k))$ સૂચવવામાં આવે છે.
2. પછી આપણે આ "પસંદ કરેલ" $k$ પંક્તિઓ અને $k$ કૉલમને પાર કરીએ છીએ. ફરી એકવાર તમને ચોરસ મેટ્રિક્સ મળે છે - તેના નિર્ણાયકને વધારાના માઇનોર કહેવામાં આવે છે અને તેને $M_(k)^(*)$ સૂચવવામાં આવે છે.
3. $M_(k)^(*)$ ને $((\left(-1 \right))^(t))$ વડે ગુણાકાર કરો, જ્યાં $t$ એ બધી પસંદ કરેલી પંક્તિઓની સંખ્યાઓનો સરવાળો છે (હવે ધ્યાન આપો!) અને કૉલમ. આ બીજગણિતીય ઉમેરણ હશે.

ત્રીજું પગલું જુઓ: ખરેખર $2k$ શરતોનો સરવાળો છે! બીજી બાબત એ છે કે $k=1$ માટે આપણને ફક્ત 2 પદ મળશે - આ સમાન $i+j$ હશે - તત્વ $((a)_(ij))$ ના "કોઓર્ડિનેટ્સ" જેના માટે આપણે છીએ બીજગણિતીય પૂરક શોધી રહ્યા છીએ.

તો આજે આપણે થોડી સરળ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરી રહ્યા છીએ. પરંતુ જેમ આપણે પછી જોઈશું, તે પર્યાપ્ત કરતાં વધુ હશે. નીચેની વસ્તુ વધુ મહત્વપૂર્ણ છે:

વ્યાખ્યા. સ્ક્વેર મેટ્રિક્સ $A=\left[ n\times n \right]$ એ સંલગ્ન મેટ્રિક્સ $S$ એ $\left[ n\times n \right]$નું નવું મેટ્રિક્સ છે, જે $A$ માંથી મેળવવામાં આવે છે. બીજગણિત ઉમેરણો દ્વારા $((a)_(ij))$ ને બદલીને $((A)_(ij))$:

\\Rightarrow S=\left[ \begin(matrix) ((A)_(11)) અને ((A)_(12)) &... & ((A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) અને ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\end(મેટ્રિક્સ) \\right]\]

આ વ્યાખ્યાની અનુભૂતિની ક્ષણે પ્રથમ વિચાર જે ઉદ્ભવે છે તે છે "કેટલું ગણવું પડશે!" આરામ કરો: તમારે ગણતરી કરવી પડશે, પરંતુ એટલું નહીં :)

સારું, આ બધું ખૂબ સરસ છે, પરંતુ તે શા માટે જરૂરી છે? પણ શા માટે.

મુખ્ય પ્રમેય

ચાલો થોડા પાછળ જઈએ. યાદ રાખો, લેમ્મા 3 એ જણાવ્યું હતું કે ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ $A$ હંમેશા બિન-એકવચન છે (એટલે ​​કે, તેનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય છે: $\left| A \right|\ne 0$).

તેથી, વિપરીત પણ સાચું છે: જો મેટ્રિક્સ $A$ એકવચન નથી, તો તે હંમેશા ઉલટાવી શકાય તેવું છે. અને $((A)^(-1))$ માટે પણ શોધ યોજના છે. તેને તપાસો:

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પ્રમેય. ચોરસ મેટ્રિક્સ $A=\left[ n\times n \right]$ આપવા દો, અને તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે: $\left| A \right|\ne 0$. પછી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $((A)^(-1))$ અસ્તિત્વમાં છે અને સૂત્ર દ્વારા ગણતરી કરવામાં આવે છે:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))\]

અને હવે - બધું સમાન છે, પરંતુ સુવાચ્ય હસ્તાક્ષરમાં. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે, તમારે આની જરૂર છે:

1. નિર્ણાયક $\left| ની ગણતરી કરો A \right|$ અને ખાતરી કરો કે તે બિન-શૂન્ય છે.
2. યુનિયન મેટ્રિક્સ $S$ બનાવો, એટલે કે. 100500 બીજગણિત ઉમેરણો $((A)_(ij))$ ગણો અને તેમને $((a)_(ij))$ પર મૂકો.
3. આ મેટ્રિક્સ $S$ સ્થાનાંતરિત કરો, અને પછી તેને અમુક સંખ્યા $q=(1)/(\left| A \right|)\;$ વડે ગુણાકાર કરો.

બસ એટલું જ! વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ $((A)^(-1))$ મળી આવ્યું છે. ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ:

\[\લેફ્ટ[ \begin(મેટ્રિક્સ) 3 અને 1 \\ 5 અને 2 \\\અંત(મેટ્રિક્સ) \જમણે]\]

ઉકેલ. ચાલો રિવર્સિબિલિટી તપાસીએ. ચાલો નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ:

\[\left| A\જમણે|=\ડાબે| \begin(મેટ્રિક્સ) 3 અને 1 \\ 5 અને 2 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ છે. આનો અર્થ એ છે કે મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે. ચાલો યુનિયન મેટ્રિક્સ બનાવીએ:

ચાલો બીજગણિત ઉમેરણોની ગણતરી કરીએ:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2 \right|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5 \right|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \right|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\right|=3. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: નિર્ધારકો |2|, |5|, |1| અને |3| $\left[ 1\times 1 \right]$ ના મેટ્રિસીસના નિર્ધારકો છે, અને મોડ્યુલો નથી. તે. જો નિર્ણાયકોમાં નકારાત્મક સંખ્યાઓ હોય, તો "માઈનસ" દૂર કરવાની જરૂર નથી.

કુલમાં, અમારું યુનિયન મેટ્રિક્સ આના જેવો દેખાય છે:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\left| A \right|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(એરે) \right])^(T))=\left[ \begin (એરે)(*(35)(r)) 2 અને -1 \\ -5 અને 3 \\\end(એરે) \right]\]

બસ, બસ. સમસ્યા હલ થાય છે.

જવાબ આપો. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(એરે) \right]$

કાર્ય. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right] \]

ઉકેલ. અમે ફરીથી નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & \left| \begin(array)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(array) \right|=\begin(matrix ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(મેટ્રિક્સ)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

નિર્ણાયક બિનશૂન્ય છે - મેટ્રિક્સ ઉલટાવી શકાય તેવું છે. પરંતુ હવે તે ખરેખર અઘરું બનશે: આપણે 9 જેટલા (નવ, મધરફકર!) બીજગણિત ઉમેરાઓની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. અને તેમાંના દરેકમાં નિર્ણાયક $\left[ 2\times 2 \right]$ હશે. ઉડાન ભરી:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(મેટ્રિક્સ) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \begin(મેટ્રિક્સ) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \begin(મેટ્રિક્સ) 0 અને 2 \\ 1 અને 0 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \begin(મેટ્રિક્સ) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right|=2; \\ \end(મેટ્રિક્સ)\]

ટૂંકમાં, યુનિયન મેટ્રિક્સ આના જેવો દેખાશે:

તેથી, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હશે:

\[(A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matrix) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 અને 1 અને 2 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]=\left[ \begin(array)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \2 અને 1 અને -2 \\\અંત(એરે) \right]\]

બસ. અહીં જવાબ છે.

જવાબ આપો. $\left[ \begin(array)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(એરે) \જમણે ]$

જેમ તમે જોઈ શકો છો, દરેક ઉદાહરણના અંતે અમે તપાસ કરી. આ સંદર્ભે, એક મહત્વપૂર્ણ નોંધ:

તપાસવામાં આળસુ ન બનો. મૂળ મેટ્રિક્સને મળેલા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરો - તમારે $E$ મેળવવું જોઈએ.

ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે તમે મેટ્રિક્સ સમીકરણ હલ કરી રહ્યાં હોવ ત્યારે આગળની ગણતરીઓમાં ભૂલ શોધવા કરતાં આ તપાસ કરવી વધુ સરળ અને ઝડપી છે.

વૈકલ્પિક માર્ગ

મેં કહ્યું તેમ, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પ્રમેય $\left[ 2\times 2 \right]$ અને $\left[ 3\times 3 \right]$ માટે સરસ કામ કરે છે (પછીના કિસ્સામાં, તે એટલું "મહાન" નથી" ), પરંતુ મોટા કદના મેટ્રિસિસ માટે ઉદાસી શરૂ થાય છે.

પરંતુ ચિંતા કરશો નહીં: એક વૈકલ્પિક અલ્ગોરિધમ છે જેની મદદથી તમે શાંતિથી મેટ્રિક્સ $\left[ 10\times 10 \right]$ માટે પણ વ્યુત્ક્રમ શોધી શકો છો. પરંતુ, ઘણીવાર થાય છે, આ અલ્ગોરિધમનો વિચાર કરવા માટે આપણને થોડી સૈદ્ધાંતિક પૃષ્ઠભૂમિની જરૂર છે.

પ્રાથમિક પરિવર્તનો

તમામ સંભવિત મેટ્રિક્સ રૂપાંતરણોમાં, ત્યાં ઘણા વિશિષ્ટ છે - તેમને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે. ત્યાં બરાબર ત્રણ આવા પરિવર્તનો છે:

1. ગુણાકાર. તમે $i$મી પંક્તિ (કૉલમ) લઈ શકો છો અને તેને કોઈપણ સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરી શકો છો $k\ne 0$;
2. ઉમેરણ. $i$-th પંક્તિ (કૉલમ) માં કોઈપણ અન્ય $j$-th પંક્તિ (કૉલમ) માં કોઈપણ સંખ્યા $k\ne 0$ વડે ગુણાકાર કરો (તમે, અલબત્ત, $k=0$ કરી શકો છો, પરંતુ શું છે કંઈપણ બદલાશે નહીં?
3. પુનઃ ગોઠવણી. $i$th અને $j$th પંક્તિઓ (કૉલમ્સ) લો અને સ્થાનો સ્વેપ કરો.

શા માટે આ પરિવર્તનોને પ્રાથમિક કહેવામાં આવે છે (મોટા મેટ્રિસિસ માટે તેઓ એટલા પ્રાથમિક દેખાતા નથી) અને શા માટે તેમાંથી ફક્ત ત્રણ જ છે - આ પ્રશ્નો આજના પાઠના અવકાશની બહાર છે. તેથી, અમે વિગતોમાં જઈશું નહીં.

બીજી વસ્તુ મહત્વની છે: આપણે આ બધી વિકૃતિઓ સંલગ્ન મેટ્રિક્સ પર કરવાની છે. હા, હા: તમે સાચું સાંભળ્યું. હવે એક વધુ વ્યાખ્યા હશે - આજના પાઠમાં છેલ્લી.

સંલગ્ન મેટ્રિક્સ

ચોક્કસ શાળામાં તમે ઉમેરણ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલી. સારું, ત્યાં, એક લીટીમાંથી બીજી બાદબાકી કરો, અમુક લીટીને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરો - બસ.

તેથી: હવે બધું સમાન હશે, પરંતુ "પુખ્ત" રીતે. શું તમે તૈયાર છો?

વ્યાખ્યા. એક મેટ્રિક્સ $A=\left[ n\times n \right]$ અને સમાન કદના $N$નું એક ઓળખ મેટ્રિક્સ $E$ આપવા દો. પછી સંલગ્ન મેટ્રિક્સ $\left[ A\left| ઇ\જમણે. \right]$ એ $\left[ n\times 2n \right]$નું નવું મેટ્રિક્સ છે જે આના જેવું દેખાય છે:

\[\left[ A\left| ઇ\જમણે. \right]=\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) &... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\(a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(એરે) \right]\]

ટૂંકમાં, અમે મેટ્રિક્સ $A$ લઈએ છીએ, જમણી બાજુએ અમે તેને જરૂરી કદનું ઓળખ મેટ્રિક્સ $E$ સોંપીએ છીએ, અમે તેમને સુંદરતા માટે ઊભી પટ્ટીથી અલગ કરીએ છીએ - અહીં તમારી પાસે સંલગ્ન છે :)

મજાક શું છે? અહીં શું છે:

પ્રમેય. મેટ્રિક્સ $A$ ને ઇન્વર્ટિબલ થવા દો. સંલગ્ન મેટ્રિક્સ $\left[ A\left| ધ્યાનમાં લો ઇ\જમણે. \right]$. જો ઉપયોગ કરે છે પ્રાથમિક શબ્દમાળા રૂપાંતરણોતેને $\left[ E\left| ફોર્મમાં લાવો B\જમણે. \right]$, એટલે કે જમણી બાજુના $A$ મેટ્રિક્સ $E$માંથી મેળવવા માટે પંક્તિઓનો ગુણાકાર, બાદબાકી અને પુન: ગોઠવણી કરીને, પછી ડાબી બાજુએ મેળવેલ મેટ્રિક્સ $B$ એ $A$ નું વ્યસ્ત છે:

\[\left[ A\left| ઇ\જમણે. \right]\to\left[ E\left| B\જમણે. \right]\Rightarrow B=((A)^(-1))\]

તે સરળ છે! ટૂંકમાં, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ આના જેવું દેખાય છે:

1. સંલગ્ન મેટ્રિક્સ $\left[ A\left| લખો ઇ\જમણે. \right]$;
2. જ્યાં સુધી $A$ ના બદલે $E$ દેખાય ત્યાં સુધી પ્રાથમિક સ્ટ્રિંગ રૂપાંતરણ કરો;
3. અલબત્ત, કંઈક ડાબી બાજુ પણ દેખાશે - ચોક્કસ મેટ્રિક્સ $B$. આ વિપરીત હશે;
4. નફો! :)

અલબત્ત, આ કરવામાં આવે તે કરતાં કહ્યું ખૂબ સરળ છે. તો ચાલો કેટલાક ઉદાહરણો જોઈએ: $\left[ 3\times 3 \right]$ અને $\left[ 4\times 4 \right]$ માટે.

કાર્ય. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો:

\[\left[ \begin(array)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(array) \right]\ ]

ઉકેલ. અમે સંલગ્ન મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 અને 5 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 3 અને 2 અને 1 અને 0 અને 1 અને 0 \\ 6 અને -2 અને 1 અને 0 & 0 અને 1 \\\અંત(એરે) \જમણે]\]

મૂળ મેટ્રિક્સની છેલ્લી કૉલમ રાશિઓથી ભરેલી હોવાથી, બાકીનામાંથી પ્રથમ પંક્તિ બાદ કરો:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 અને 5 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 3 અને 2 અને 1 અને 0 અને 1 અને 0 \\ 6 & - 2 અને 1 અને 0 અને 0 અને 1 \\\end(એરે) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\\end(matrix)\to \\ & \to \left [ \begin(એરે)(rrr|rrr) 1 અને 5 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 2 અને -3 અને 0 અને -1 અને 1 અને 0 \\ 5 અને -7 અને 0 અને -1 અને 0 & 1 \\\અંત(એરે) \જમણે] \\ \અંત(સંરેખિત)\]

પ્રથમ લાઇન સિવાય, ત્યાં વધુ એકમો નથી. પરંતુ અમે તેને સ્પર્શતા નથી, અન્યથા નવા દૂર કરેલા એકમો ત્રીજા કૉલમમાં "ગુણાકાર" કરવાનું શરૂ કરશે.

પરંતુ આપણે બીજી લાઇનને છેલ્લીમાંથી બે વાર બાદ કરી શકીએ છીએ - અમને નીચલા ડાબા ખૂણામાં એક મળે છે:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 અને 5 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 2 અને -3 અને 0 અને -1 અને 1 અને 0 \\ 5 & -7 અને 0 અને -1 અને 0 અને 1 \\\end(એરે) \right]\begin(matrix) \\ \downarrow \\ -2 \\\end(matrix)\to \\ & \left [ \begin(એરે)(rrr|rrr) 1 અને 5 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 2 અને -3 અને 0 અને -1 અને 1 અને 0 \\ 1 અને -1 અને 0 અને 1 અને -2 & 1 \\\અંત(એરે) \જમણે] \\ \અંત(સંરેખિત)\]

હવે આપણે પ્રથમમાંથી છેલ્લી પંક્તિ અને બીજીમાંથી બે વાર બાદ કરી શકીએ છીએ - આ રીતે આપણે પ્રથમ કૉલમને "શૂન્ય" કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 અને 0 અને 1 અને -2 અને 1 \\\end(એરે) \right]\begin(મેટ્રિક્સ) -1 \\ -2 \\ \\uparrow \\\end(મેટ્રિક્સ)\to \\ & \ \\ ડાબે[ \begin(એરે)(rrr|rrr) 0 અને 6 અને 1 અને 0 અને 2 અને -1 \\ 0 અને -1 અને 0 અને -3 અને 5 અને -2 \\ 1 અને -1 અને 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

બીજી લાઇનને −1 વડે ગુણાકાર કરો અને પછી તેને પ્રથમમાંથી 6 વખત બાદ કરો અને છેલ્લી 1 વખત ઉમેરો:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 અને 6 અને 1 અને 0 અને 2 અને -1 \\ 0 અને -1 અને 0 અને -3 અને 5 અને -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\end(એરે) \right]\begin(matrix) \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \\\end(મેટ્રિક્સ)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 અને 6 અને 1 અને 0 અને 2 અને -1 \\ 0 અને 1 અને 0 & 3 અને -5 અને 2 \\ 1 & -1 અને 0 અને 1 અને -2 અને 1 \\\end(એરે) \right]\begin(મેટ્રિક્સ) -6 \\ \updownarrow \\ +1 \\\end (મેટ્રિક્સ)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrr|rrr) 0 અને 0 અને 1 અને -18 અને 32 અને -13 \\ 0 અને 1 અને 0 અને 3 અને -5 અને 2 \\ 1 અને 0 અને 0 અને 4 અને -7 અને 3 \\\end(એરે) \right] \\ \end(એલાઈન)\]

જે બાકી છે તે લીટીઓ 1 અને 3 ને સ્વેપ કરવાનું છે:

\[\left[ \begin(array)(rrr|rrr) 1 અને 0 અને 0 અને 4 અને -7 અને 3 \\ 0 અને 1 અને 0 અને 3 અને -5 અને 2 \\ 0 અને 0 અને 1 અને - 18 અને 32 અને -13 \\\અંત(એરે) \right]\]

તૈયાર! જમણી બાજુએ જરૂરી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે.

જવાબ આપો. $\left[ \begin(array)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\end(એરે) \જમણે ]$

કાર્ય. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો:

\[\left[ \begin(matrix) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\અંત(મેટ્રિક્સ) \જમણે]\]

ઉકેલ. અમે ફરીથી સંલગ્ન કંપોઝ કરીએ છીએ:

\[\left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 અને 4 અને 2 અને 3 અને 1 અને 0 અને 0 અને 0 \\ 1 અને -2 અને 1 અને -2 અને 0 અને 1 અને 0 અને 0 \ \ 1 અને -1 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 અને 1 અને 0 \\ 0 અને -10 અને -2 અને -5 અને 0 અને 0 અને 0 અને 1 \\\end(એરે) \right]\]

ચાલો થોડું રડીએ, ઉદાસ થઈ જઈએ કે હવે આપણે કેટલી ગણતરી કરવી પડશે... અને ગણતરી શરૂ કરીએ. પ્રથમ, પંક્તિ 2 અને 3 માંથી પંક્તિ 1 બાદ કરીને પ્રથમ કૉલમને "શૂન્ય બહાર" કરીએ:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 અને 0 અને 0 \\ 1 અને -1 અને 1 અને 1 અને 0 અને 0 અને 1 અને 0 \\ 0 અને -10 અને -2 અને -5 અને 0 અને 0 અને 0 અને 1 \\\end(એરે) \right]\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 અને 2 અને 3 અને 1 અને 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને -6 અને -1 અને -5 અને -1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 0 અને -5 અને -1 અને -2 અને -1 & 0 અને 1 અને 0 \\ 0 અને -10 અને -2 અને -5 અને 0 અને 0 અને 0 અને 1 \\\end(એરે) \right] \\ \end(એલાઈન)\]

આપણે 2-4 લીટીઓમાં ઘણા બધા “વિપક્ષ” જોઈએ છીએ. ત્રણેય પંક્તિઓને −1 વડે ગુણાકાર કરો, અને પછી બાકીની પંક્તિ 3માંથી બાદ કરીને ત્રીજી કૉલમ બર્ન કરો:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 અને 4 અને 2 અને 3 અને 1 અને 0 અને 0 અને 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 અને 1 અને 0 અને 0 \\ 0 અને -5 અને -1 અને -2 અને -1 અને 0 અને 1 અને 0 \\ 0 અને -10 અને -2 અને -5 અને 0 અને 0 અને 0 અને 1 \\ \end(એરે) \right]\begin(મેટ્રિક્સ) \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ડાબે| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ડાબે| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\end(મેટ્રિક્સ)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 અને 4 અને 2 અને 3 અને 1 અને 0 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 6 અને 1 & 5 અને 1 અને -1 અને 0 અને 0 \\ 0 અને 5 અને 1 અને 2 અને 1 અને 0 અને -1 અને 0 \\ 0 અને 10 અને 2 અને 5 અને 0 અને 0 અને 0 અને -1 \\ \અંત (એરે) \right]\begin(મેટ્રિક્સ) -2 \\ -1 \\ \updownarrow \\ -2 \\\end(મેટ્રિક્સ)\to \\ & \to \left[ \begin(array)( rrrr 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(array) \right] \\ \end(align)\]

હવે મૂળ મેટ્રિક્સની છેલ્લી કૉલમને "ફ્રાય" કરવાનો સમય છે: બાકીનામાંથી પંક્તિ 4 બાદ કરો:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 અને 1 અને 0 \\ 0 અને 5 અને 1 અને 2 અને 1 અને 0 અને -1 અને 0 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 1 અને -2 અને 0 અને 2 અને -1 \\\end(એરે ) \right]\begin(matrix) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \uparrow \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 અને -6 અને 0 અને 0 અને -3 અને 0 અને 4 અને -1 \\ 0 અને 1 અને 0 અને 0 અને 6 અને -1 અને -5 અને 3 \\ 0 અને 5 અને 1 અને 0 અને 5 અને 0 & -5 અને 2 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 1 અને -2 અને 0 અને 2 અને -1 \\\end(એરે) \right] \\ \end(align)\]

અંતિમ ફેંકવું: લાઇન 1 અને 3 માંથી લાઇન 2 બાદ કરીને બીજી કૉલમ "બર્ન આઉટ" કરો:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 અને -6 અને 0 અને 0 અને -3 અને 0 અને 4 અને -1 \\ 0 અને 1 અને 0 અને 0 અને 6 & -1 અને -5 અને 3 \\ 0 અને 5 અને 1 અને 0 અને 5 અને 0 અને -5 અને 2 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 1 અને -2 અને 0 અને 2 અને -1 \\\end( array) \right]\begin(matrix) 6 \\ \updownarrow \\ -5 \\ \\\end(matrix)\to \\ & \to \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 0 અને 0 અને 0 અને 33 અને -6 અને -26 અને -17 \\ 0 અને 1 અને 0 અને 0 અને 6 અને -1 અને -5 અને 3 \\ 0 અને 0 અને 1 અને 0 અને -25 અને 5 & 20 અને -13 \\ 0 અને 0 અને 0 અને 1 અને -2 અને 0 અને 2 અને -1 \\\end(એરે) \right] \\ \end(એલાઈન)\]

અને ફરીથી ઓળખ મેટ્રિક્સ ડાબી બાજુએ છે, જેનો અર્થ છે કે વ્યસ્ત જમણી બાજુએ છે :)

જવાબ આપો. $\left[ \begin(matrix) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\end(મેટ્રિક્સ) \right]$

nમા ક્રમનો ચોરસ મેટ્રિક્સ હોવા દો

મેટ્રિક્સ A-1 કહેવાય છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સમેટ્રિક્સ A ના સંબંધમાં, જો A*A -1 = E, જ્યાં E એ nમા ક્રમનું ઓળખ મેટ્રિક્સ છે.

ઓળખ મેટ્રિક્સ- આવા ચોરસ મેટ્રિક્સ જેમાં મુખ્ય કર્ણ સાથેના તમામ તત્વો, ઉપરના ડાબા ખૂણાથી નીચેના જમણા ખૂણે પસાર થાય છે, તે એક છે, અને બાકીના શૂન્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે:

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સઅસ્તિત્વમાં હોઈ શકે છે માત્ર ચોરસ મેટ્રિસ માટેતે તે મેટ્રિસીસ માટે કે જેમાં પંક્તિઓ અને કૉલમ્સની સંખ્યા એકરૂપ થાય છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની અસ્તિત્વ સ્થિતિ માટે પ્રમેય

મેટ્રિક્સમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હોય તે માટે, તે બિન-એકવચન હોવું જરૂરી અને પૂરતું છે.

મેટ્રિક્સ A = (A1, A2,...A n) કહેવાય છે બિન-અધોગતિ, જો કૉલમ વેક્ટર રેખીય રીતે સ્વતંત્ર હોય. મેટ્રિક્સના રેખીય રીતે સ્વતંત્ર કૉલમ વેક્ટર્સની સંખ્યાને મેટ્રિક્સનો ક્રમ કહેવામાં આવે છે. તેથી, આપણે કહી શકીએ કે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના અસ્તિત્વ માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે મેટ્રિક્સનો ક્રમ તેના પરિમાણની સમાન હોય, એટલે કે. r = n.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ

1. ગૌસીયન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવા માટે કોષ્ટકમાં મેટ્રિક્સ A લખો અને તેને જમણી બાજુએ (સમીકરણોની જમણી બાજુની જગ્યાએ) મેટ્રિક્સ E સોંપો.
2. જોર્ડન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને, મેટ્રિક્સ A ને એકમ કૉલમ ધરાવતા મેટ્રિક્સમાં ઘટાડો; આ કિસ્સામાં, એક સાથે મેટ્રિક્સ E નું પરિવર્તન કરવું જરૂરી છે.
3. જો જરૂરી હોય તો, છેલ્લા કોષ્ટકની પંક્તિઓ (સમીકરણો) ને ફરીથી ગોઠવો જેથી કરીને મૂળ કોષ્ટકના મેટ્રિક્સ A હેઠળ તમને ઓળખ મેટ્રિક્સ E મળે.
4. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 લખો, જે મૂળ કોષ્ટકના મેટ્રિક્સ E હેઠળ છેલ્લા કોષ્ટકમાં સ્થિત છે.

મેટ્રિક્સ A માટે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 શોધો

ઉકેલ: અમે મેટ્રિક્સ A લખીએ છીએ અને ઓળખ મેટ્રિક્સ E ને જમણી બાજુએ સોંપીએ છીએ, જોર્ડન ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને, અમે મેટ્રિક્સ A ને ઓળખ મેટ્રિક્સ E માં ઘટાડીએ છીએ. ગણતરીઓ કોષ્ટક 31.1 માં આપવામાં આવી છે.

ચાલો મૂળ મેટ્રિક્સ A અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 નો ગુણાકાર કરીને ગણતરીની સાચીતા તપાસીએ.

મેટ્રિક્સ ગુણાકારના પરિણામે, ઓળખ મેટ્રિક્સ મેળવવામાં આવ્યું હતું. તેથી, ગણતરીઓ યોગ્ય રીતે કરવામાં આવી હતી.

જવાબ:

મેટ્રિક્સ સમીકરણો ઉકેલવા

મેટ્રિક્સ સમીકરણો આના જેવા દેખાઈ શકે છે:

AX = B, HA = B, AXB = C,

જ્યાં A, B, C એ ઉલ્લેખિત મેટ્રિક્સ છે, X એ ઇચ્છિત મેટ્રિક્સ છે.

મેટ્રિક્સ સમીકરણો સમીકરણને વ્યસ્ત મેટ્રિસિસ દ્વારા ગુણાકાર કરીને ઉકેલવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણમાંથી મેટ્રિક્સ શોધવા માટે, તમારે આ સમીકરણને ડાબી બાજુએ ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

તેથી, સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે, તમારે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની અને તેને સમીકરણની જમણી બાજુના મેટ્રિક્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે.

અન્ય સમીકરણો પણ એ જ રીતે ઉકેલાય છે.

AX = B જો સમીકરણ ઉકેલો

ઉકેલ: વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સમાન હોવાથી (ઉદાહરણ 1 જુઓ)

આર્થિક વિશ્લેષણમાં મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ

અન્ય લોકો સાથે, તેઓ પણ ઉપયોગમાં લેવાય છે મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓ. આ પદ્ધતિઓ રેખીય અને વેક્ટર-મેટ્રિક્સ બીજગણિત પર આધારિત છે. જટિલ અને બહુપરિમાણીય આર્થિક ઘટનાઓનું વિશ્લેષણ કરવાના હેતુઓ માટે આવી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. મોટેભાગે, જ્યારે સંસ્થાઓની કામગીરી અને તેમના માળખાકીય વિભાગોનું તુલનાત્મક મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી હોય ત્યારે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

મેટ્રિક્સ વિશ્લેષણ પદ્ધતિઓ લાગુ કરવાની પ્રક્રિયામાં, ઘણા તબક્કાઓને અલગ કરી શકાય છે.

પ્રથમ તબક્કેઆર્થિક સૂચકાંકોની એક સિસ્ટમ બનાવવામાં આવી રહી છે અને તેના આધારે પ્રારંભિક ડેટાનું મેટ્રિક્સ સંકલિત કરવામાં આવે છે, જે એક કોષ્ટક છે જેમાં સિસ્ટમ નંબરો તેની વ્યક્તિગત પંક્તિઓમાં બતાવવામાં આવે છે. (i = 1,2,....,n), અને ઊભી કૉલમમાં - સૂચકોની સંખ્યા (j = 1,2, ....,m).

બીજા તબક્કેદરેક વર્ટિકલ કૉલમ માટે, ઉપલબ્ધ સૂચક મૂલ્યોમાંથી સૌથી મોટાને ઓળખવામાં આવે છે, જે એક તરીકે લેવામાં આવે છે.

આ પછી, આ સ્તંભમાં પ્રતિબિંબિત તમામ રકમને સૌથી મોટા મૂલ્ય દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે અને પ્રમાણિત ગુણાંકનું મેટ્રિક્સ રચાય છે.

ત્રીજા તબક્કેમેટ્રિક્સના તમામ ઘટકો ચોરસ છે. જો તેમનું અલગ મહત્વ હોય, તો દરેક મેટ્રિક્સ સૂચકને ચોક્કસ વજન ગુણાંક સોંપવામાં આવે છે k. બાદમાંનું મૂલ્ય નિષ્ણાતના અભિપ્રાય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

છેલ્લા એક પર, ચોથો તબક્કોરેટિંગ મૂલ્યો મળ્યાં આરજેતેમના વધારો અથવા ઘટાડાના ક્રમમાં જૂથ થયેલ છે.

દર્શાવેલ મેટ્રિક્સ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, વિવિધ રોકાણ પ્રોજેક્ટ્સના તુલનાત્મક વિશ્લેષણમાં, તેમજ સંસ્થાઓની પ્રવૃત્તિઓના અન્ય આર્થિક સૂચકાંકોનું મૂલ્યાંકન કરવા માટે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવી.

આ લેખમાં આપણે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વિભાવના, તેના ગુણધર્મો અને શોધવાની પદ્ધતિઓ સમજીશું. ચાલો આપણે ઉદાહરણો ઉકેલવા પર વિગતવાર ધ્યાન આપીએ જેમાં આપેલ એક માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ બનાવવું જરૂરી છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ - વ્યાખ્યા.

બીજગણિતીય પૂરકમાંથી મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો.

ગૌસ-જોર્ડન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું.

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અનુરૂપ પ્રણાલીઓને હલ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના તત્વો શોધવા.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ - વ્યાખ્યા.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ ફક્ત એવા ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે જેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે, એટલે કે બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે.

વ્યાખ્યા.

મેટ્રિક્સમેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત કહેવાય છે, જેનો નિર્ધારક શૂન્યથી અલગ છે જો સમાનતાઓ સાચી હોય , ક્યાં ઇ- યુનિટ ઓર્ડર મેટ્રિક્સ nપર n.

બીજગણિતીય પૂરકમાંથી મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું.

આપેલ એક માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ કેવી રીતે શોધવું?

પ્રથમ, આપણને ખ્યાલોની જરૂર છે ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ, મેટ્રિક્સ તત્વનું મેટ્રિક્સ માઇનોર અને બીજગણિતીય પૂરક.

વ્યાખ્યા.

ગૌણkth ઓર્ડરમેટ્રિસિસ એઓર્ડર mપર nઓર્ડર મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક છે kપર k, જે મેટ્રિક્સ તત્વોમાંથી મેળવવામાં આવે છે એપસંદ કરેલ માં સ્થિત થયેલ છે kરેખાઓ અને kકૉલમ ( kસૌથી નાની સંખ્યાથી વધુ નથી mઅથવા n).

ગૌણ (n-1)મીઓર્ડર, જે સિવાય તમામ પંક્તિઓના ઘટકોથી બનેલો છે i-th, અને સિવાય તમામ કૉલમ jth, ચોરસ મેટ્રિક્સ એઓર્ડર nપર nચાલો તેને તરીકે દર્શાવીએ.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ગૌણ ચોરસ મેટ્રિક્સમાંથી મેળવવામાં આવે છે એઓર્ડર nપર nતત્વોને પાર કરીને i-thરેખાઓ અને jthકૉલમ

ઉદાહરણ તરીકે, ચાલો લખીએ, નાના 2જીઓર્ડર, જે મેટ્રિક્સમાંથી મેળવવામાં આવે છે તેની બીજી, ત્રીજી પંક્તિ અને પ્રથમ, ત્રીજી કૉલમના ઘટકો પસંદ કરી રહ્યા છીએ . અમે માઇનોર પણ બતાવીશું, જે મેટ્રિક્સમાંથી મેળવેલ છે બીજી લાઇન અને ત્રીજી સ્તંભને પાર કરીને . ચાલો આ સગીરોના બાંધકામને સમજાવીએ: અને .

વ્યાખ્યા.

બીજગણિતીય પૂરકચોરસ મેટ્રિક્સના ઘટકને ગૌણ કહેવામાં આવે છે (n-1)મીઓર્ડર, જે મેટ્રિક્સમાંથી મેળવવામાં આવે છે એ, તેના ઘટકોને પાર કરીને i-thરેખાઓ અને jthકૉલમ દ્વારા ગુણાકાર.

તત્વના બીજગણિતીય પૂરક તરીકે સૂચવવામાં આવે છે. આમ, .

ઉદાહરણ તરીકે, મેટ્રિક્સ માટે તત્વનું બીજગણિતીય પૂરક છે.

બીજું, અમને નિર્ણાયકના બે ગુણધર્મોની જરૂર પડશે, જેની અમે વિભાગમાં ચર્ચા કરી છે મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી:

નિર્ણાયકના આ ગુણધર્મોના આધારે, વ્યાખ્યા મેટ્રિક્સને સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની ક્રિયાઓઅને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ખ્યાલ સાચો છે: , જ્યાં ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ છે જેના તત્વો બીજગણિતીય પૂરક છે.

મેટ્રિક્સ ખરેખર મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત છે એ, કારણ કે સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે . ચાલો તે બતાવીએ

ચાલો કંપોઝ કરીએ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમસમાનતાનો ઉપયોગ કરીને .

ચાલો ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

મેટ્રિક્સ આપ્યું . વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની ગણતરી કરીએ એ, તેને ત્રીજા સ્તંભના ઘટકોમાં વિઘટન કરવું:

નિર્ણાયક શૂન્ય નથી, તેથી મેટ્રિક્સ એઉલટાવી શકાય તેવું

ચાલો બીજગણિત ઉમેરણોનું મેટ્રિક્સ શોધીએ:

તેથી જ

ચાલો બીજગણિત ઉમેરણોમાંથી મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરીએ:

હવે આપણે ઇન્વર્સ મેટ્રિક્સ તરીકે શોધીએ છીએ :

ચાલો પરિણામ તપાસીએ:

સમાનતાઓ સંતુષ્ટ છે, તેથી, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે જોવા મળે છે.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ, સમાનતાનો ખ્યાલ , મેટ્રિક્સ પરની કામગીરીની વ્યાખ્યાઓ અને મેટ્રિક્સના નિર્ધારકના ગુણધર્મો નીચેનાને યોગ્ય ઠેરવવાનું શક્ય બનાવે છે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ગુણધર્મો:

રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની અનુરૂપ પ્રણાલીઓને હલ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ઘટકોને શોધવા.

ચાલો ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાની બીજી રીત પર વિચાર કરીએ એઓર્ડર nપર n.

આ પદ્ધતિ ઉકેલ પર આધારિત છે nસાથે રેખીય અસંગત બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો nઅજ્ઞાત સમીકરણોની આ પ્રણાલીઓમાં અજાણ્યા ચલો એ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સના ઘટકો છે.

વિચાર ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સને આ રીતે દર્શાવીએ એક્સ, એટલે કે, . વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વ્યાખ્યા દ્વારા, પછી

સ્તંભો દ્વારા અનુરૂપ તત્વોની સમાનતા, આપણને મળે છે nરેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમો

અમે તેમને કોઈપણ રીતે હલ કરીએ છીએ અને મળેલા મૂલ્યોમાંથી એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ બનાવીએ છીએ.

ચાલો આ પદ્ધતિને ઉદાહરણ સાથે જોઈએ.

ઉદાહરણ.

મેટ્રિક્સ આપ્યું . વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ.

ચાલો સ્વીકારીએ . સમાનતા આપણને રેખીય અસંગત બીજગણિત સમીકરણોની ત્રણ પ્રણાલી આપે છે:

જો જરૂરી હોય તો, અમે આ સિસ્ટમોના ઉકેલનું વર્ણન કરીશું નહીં, વિભાગનો સંદર્ભ લો રેખીય બીજગણિત સમીકરણોની સિસ્ટમો ઉકેલવી.

સમીકરણોની પ્રથમ સિસ્ટમમાંથી આપણી પાસે, બીજામાંથી - , ત્રીજામાંથી - . તેથી, જરૂરી વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ ફોર્મ ધરાવે છે . પરિણામ સાચું છે તેની ખાતરી કરવા માટે અમે તેને તપાસવાની ભલામણ કરીએ છીએ.

ચાલો સારાંશ આપીએ.

અમે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સની વિભાવના, તેના ગુણધર્મો અને તેને શોધવા માટેની ત્રણ પદ્ધતિઓ જોઈ.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલોનું ઉદાહરણ

કાર્ય 1.વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ઉકેલો. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 4

ફોર્મની શરૂઆત

ફોર્મનો અંત

ઉકેલ. ચાલો મેટ્રિક્સને ફોર્મમાં લખીએ: વેક્ટર B: B T = (1,2,3,4) (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) માટે મુખ્ય નિર્ણાયક માઇનોર. +4 ( 3 2-6 2) = -3 (2,1) માટે માઇનોર): = 3 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 માઇનોર (3 ,1) માટે: = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 (4,1) માટે ગૌણ: = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 સગીરનો નિર્ણાયક ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સબીજગણિત ઉમેરણો ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6)-3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4)-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4) -5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 (3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4)-3 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -3 ∆ 4.3 = -2 (5 3-3 4)-3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6-3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પરિણામો વેક્ટર X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

પણ જુઓ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને SLAE ના ઉકેલોઓનલાઇન. આ કરવા માટે, તમારો ડેટા દાખલ કરો અને વિગતવાર ટિપ્પણીઓ સાથે ઉકેલ મેળવો.

કાર્ય 2. સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખો અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરો. પરિણામી ઉકેલ તપાસો. ઉકેલ:xml:xls

ઉદાહરણ 2. સમીકરણોની સિસ્ટમને મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં લખો અને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલો. ઉકેલ:xml:xls

ઉદાહરણ. ત્રણ અજાણ્યા સાથે ત્રણ રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમ આપવામાં આવી છે. આવશ્યક: 1) તેનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલ શોધો ક્રેમર સૂત્રો; 2) મેટ્રિક્સ સ્વરૂપમાં સિસ્ટમ લખો અને મેટ્રિક્સ કેલ્ક્યુલસનો ઉપયોગ કરીને તેને હલ કરો. પદ્ધતિસરની ભલામણો. ક્રેમરની પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલ્યા પછી, "સોર્સ ડેટા માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પદ્ધતિ દ્વારા ઉકેલો" બટન શોધો. તમને યોગ્ય ઉકેલ મળશે. આમ, તમારે ફરીથી ડેટા ભરવાની જરૂર રહેશે નહીં. ઉકેલ. ચાલો અજ્ઞાત માટે ગુણાંકના મેટ્રિક્સ A દ્વારા દર્શાવીએ; X - અજાણ્યાઓની મેટ્રિક્સ-કૉલમ; B - મફત સભ્યોની મેટ્રિક્સ-કૉલમ:

વેક્ટર B: B T =(4,-3,-3) આ સંકેતોને ધ્યાનમાં લેતા, સમીકરણોની આ સિસ્ટમ નીચેનું મેટ્રિક્સ સ્વરૂપ લે છે: A*X = B. જો મેટ્રિક્સ A બિન-એકવચન છે (તેનો નિર્ણાયક બિન-શૂન્ય છે , તો તેમાં એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 છે, જે સમીકરણની બંને બાજુઓને A -1 વડે ગુણાકાર કરે છે, તો આપણને મળે છે: A -1 *A*X = A -1 *B, A -1 *A=E. રેખીય સમીકરણોની સિસ્ટમના ઉકેલનું મેટ્રિક્સ સંકેત. સમીકરણોની સિસ્ટમનો ઉકેલ શોધવા માટે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ A -1 ની ગણતરી કરવી જરૂરી છે. જો મેટ્રિક્સ A નો નિર્ણાયક બિનશૂન્ય હોય તો સિસ્ટમ પાસે ઉકેલ હશે. ચાલો મુખ્ય નિર્ણાયક શોધીએ. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 તેથી, નિર્ણાયક 14 ≠ 0, તેથી આપણે ઉકેલ ચાલુ રાખો. આ કરવા માટે, આપણે બીજગણિત ઉમેરણો દ્વારા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધીએ છીએ. ચાલો આપણે બિન-એકવચન મેટ્રિક્સ A રાખીએ:

અમે બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરીએ છીએ.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 =-1 x 2 = 14 / 14 = 1 x 3 = 28 / 14 =2 પરીક્ષા. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 દસ્તાવેજ:xml:xls જવાબ: -1,1,2.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવી- એક સમસ્યા જે ઘણીવાર બે પદ્ધતિઓ દ્વારા હલ થાય છે:

• બીજગણિત ઉમેરણોની પદ્ધતિ, જેમાં નિર્ણાયકો શોધવા અને મેટ્રિસિસ ટ્રાન્સપોઝ કરવાની જરૂર છે;
• અજાણ્યાઓને દૂર કરવાની ગૌસીયન પદ્ધતિ, જેમાં મેટ્રિસીસના પ્રાથમિક રૂપાંતર કરવાની જરૂર છે (પંક્તિઓ ઉમેરો, સમાન સંખ્યા દ્વારા પંક્તિઓનો ગુણાકાર કરો, વગેરે).

જેઓ ખાસ કરીને વિચિત્ર છે, ત્યાં અન્ય પદ્ધતિઓ છે, ઉદાહરણ તરીકે, રેખીય પરિવર્તનની પદ્ધતિ. આ પાઠમાં આપણે આ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે ઉલ્લેખિત ત્રણ પદ્ધતિઓ અને અલ્ગોરિધમ્સનું વિશ્લેષણ કરીશું.

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ એ, આવા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે

એ
. (1)

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ , જે આપેલ ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે શોધવાની જરૂર છે એ, આવા મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે

જેનું ઉત્પાદન મેટ્રિસિસ એજમણી બાજુએ ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, એટલે કે.
. (1)

ઓળખ મેટ્રિક્સ એ એક કર્ણ મેટ્રિક્સ છે જેમાં તમામ કર્ણ તત્વો એક સમાન હોય છે.

પ્રમેય.દરેક બિન-એકવચન (નૉન-ડિજનરેટ, બિન-એકવચન) ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધી શકે છે, અને માત્ર એક. વિશિષ્ટ (ડિજનરેટ, એકવચન) ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ અસ્તિત્વમાં નથી.

ચોરસ મેટ્રિક્સ કહેવાય છે ખાસ નથી(અથવા બિન-અધોગતિ, બિન-એકવચન), જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય નથી, અને ખાસ(અથવા અધોગતિ, એકવચન) જો તેનો નિર્ણાયક શૂન્ય છે.

મેટ્રિક્સનો વ્યસ્ત માત્ર ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે જ શોધી શકાય છે. સ્વાભાવિક રીતે, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ પણ ચોરસ અને આપેલ મેટ્રિક્સ જેવા જ ક્રમમાં હશે. એક મેટ્રિક્સ કે જેના માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધી શકાય છે તેને ઇન્વર્ટિબલ મેટ્રિક્સ કહેવામાં આવે છે.

માટે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સંખ્યાના વ્યસ્ત સાથે સંબંધિત સામ્યતા છે. દરેક નંબર માટે a, શૂન્યની બરાબર નથી, આવી સંખ્યા છે bકે કામ aઅને bએક સમાન: ab= 1. નંબર bસંખ્યાના વ્યસ્તને કહેવાય છે b. ઉદાહરણ તરીકે, નંબર 7 માટે પારસ્પરિક 1/7 છે, કારણ કે 7*1/7=1.

બીજગણિત ઉમેરણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું (સંલગ્ન મેટ્રિક્સ)

બિન-એકવચન ચોરસ મેટ્રિક્સ માટે એવ્યસ્ત એ મેટ્રિક્સ છે

મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક ક્યાં છે એ, a એ મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ છે એ.

ચોરસ મેટ્રિક્સ સાથે જોડાણ એસમાન ક્રમનું મેટ્રિક્સ છે, જેનાં તત્વો મેટ્રિક્સ A ના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકના અનુરૂપ ઘટકોના બીજગણિતીય પૂરક છે. આમ, જો

તે

અને

બીજગણિત ઉમેરણોની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટેનું અલ્ગોરિધમ

1. આ મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધો એ. જો નિર્ણાયક શૂન્યની બરાબર હોય, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવાનું બંધ થઈ જાય છે, કારણ કે મેટ્રિક્સ એકવચન છે અને તેનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વમાં નથી.

2. આદર સાથે ટ્રાન્સપોઝ કરેલ મેટ્રિક્સ શોધો એ.

3. સ્ટેપ 2 માં મળેલ મેરીટ્ઝના બીજગણિતીય પૂરક તરીકે યુનિયન મેટ્રિક્સના તત્વોની ગણતરી કરો.

4. સૂત્ર (2) લાગુ કરો: મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકના વ્યસ્તનો ગુણાકાર કરો એ, પગલું 4 માં મળેલ યુનિયન મેટ્રિક્સ માટે.

5. આ મેટ્રિક્સનો ગુણાકાર કરીને સ્ટેપ 4 માં મેળવેલ પરિણામ તપાસો એવ્યસ્ત મેટ્રિક્સ સુધી. જો આ મેટ્રિક્સનું ઉત્પાદન ઓળખ મેટ્રિક્સ સમાન હોય, તો વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ યોગ્ય રીતે મળી આવ્યું હતું. નહિંતર, ઉકેલ પ્રક્રિયા ફરીથી શરૂ કરો.

ઉદાહરણ 1.મેટ્રિક્સ માટે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ. વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે, તમારે મેટ્રિક્સનો નિર્ણાયક શોધવાની જરૂર છે એ. આપણે ત્રિકોણના નિયમ દ્વારા શોધીએ છીએ:

તેથી, મેટ્રિક્સ એ- બિન-એકવચન (બિન-અધોગતિ, બિન-એકવચન) અને તેના માટે એક વ્યસ્ત છે.

ચાલો આ મેટ્રિક્સ સાથે સંકળાયેલ મેટ્રિક્સ શોધીએ એ.

ચાલો મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સ શોધીએ એ:

અમે મેટ્રિક્સના સંદર્ભમાં સ્થાનાંતરિત મેટ્રિક્સના બીજગણિતીય પૂરક તરીકે સંબંધિત મેટ્રિક્સના ઘટકોની ગણતરી કરીએ છીએ એ:

તેથી, મેટ્રિક્સ મેટ્રિક્સ સાથે જોડાયેલું છે એ, ફોર્મ ધરાવે છે

ટિપ્પણી.તત્વોની ગણતરી કરવાનો અને મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરવાનો ક્રમ અલગ હોઈ શકે છે. તમે પહેલા મેટ્રિક્સના બીજગણિતીય પૂરકની ગણતરી કરી શકો છો એ, અને પછી બીજગણિતીય પૂરક મેટ્રિક્સને સ્થાનાંતરિત કરો. પરિણામ યુનિયન મેટ્રિક્સના સમાન ઘટકો હોવા જોઈએ.

સૂત્ર (2) ને લાગુ કરીને, આપણે મેટ્રિક્સને મેટ્રિક્સની વિરુદ્ધ શોધીએ છીએ એ:

ગૌસીઅન અજાણી નાબૂદી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવું

ગૌસિયન એલિમિનેશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મેટ્રિક્સના વ્યસ્ત શોધવાનું પ્રથમ પગલું મેટ્રિક્સને સોંપવાનું છે એસમાન ક્રમનું ઓળખ મેટ્રિક્સ, તેમને ઊભી પટ્ટીથી અલગ કરે છે. અમને ડ્યુઅલ મેટ્રિક્સ મળશે. ચાલો આ મેટ્રિક્સની બંને બાજુઓને વડે ગુણાકાર કરીએ, પછી આપણને મળે છે

,

ગૌસીઅન અજાણી નાબૂદી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધવા માટે અલ્ગોરિધમ

1. મેટ્રિક્સ માટે એસમાન ક્રમનું ઓળખ મેટ્રિક્સ સોંપો.

2. પરિણામી દ્વિ મેટ્રિક્સનું રૂપાંતર કરો જેથી ડાબી બાજુએ તમને એકમ મેટ્રિક્સ મળે, પછી જમણી બાજુએ, ઓળખ મેટ્રિક્સને બદલે, તમને આપોઆપ એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ મળે. મેટ્રિક્સ એડાબી બાજુ પ્રાથમિક મેટ્રિક્સ પરિવર્તન દ્વારા ઓળખ મેટ્રિક્સમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

2. જો મેટ્રિક્સ ટ્રાન્સફોર્મેશનની પ્રક્રિયામાં હોય એઓળખ મેટ્રિક્સમાં કોઈપણ પંક્તિ અથવા કોઈપણ કૉલમમાં ફક્ત શૂન્ય હશે, પછી મેટ્રિક્સનો નિર્ધારક શૂન્ય સમાન છે, અને પરિણામે, મેટ્રિક્સ એએકવચન હશે, અને તેમાં વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નથી. આ કિસ્સામાં, વ્યસ્ત મેટ્રિક્સનું વધુ નિર્ધારણ અટકે છે.

ઉદાહરણ 2.મેટ્રિક્સ માટે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

અને અમે તેને રૂપાંતરિત કરીશું જેથી ડાબી બાજુએ આપણને ઓળખ મેટ્રિક્સ મળે. અમે પરિવર્તન શરૂ કરીએ છીએ.

ડાબી અને જમણી મેટ્રિક્સની પ્રથમ પંક્તિને (-3) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી પંક્તિમાં ઉમેરો, અને પછી પ્રથમ પંક્તિને (-4) વડે ગુણાકાર કરો અને તેને ત્રીજી પંક્તિમાં ઉમેરો, પછી આપણને મળશે

.

અનુગામી રૂપાંતરણોમાં કોઈ અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ નથી તેની ખાતરી કરવા માટે, ચાલો પહેલા દ્વિ મેટ્રિક્સની ડાબી બાજુએ બીજી હરોળમાં એક એકમ બનાવીએ. આ કરવા માટે, બીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને તેમાંથી ત્રીજી લીટી બાદ કરો, તો આપણને મળશે

.

ચાલો પ્રથમ લીટીને બીજી સાથે ઉમેરીએ અને પછી બીજી લીટીને (-9) વડે ગુણાકાર કરીએ અને તેને ત્રીજી લીટી સાથે ઉમેરીએ. પછી આપણને મળે છે

.

પછી ત્રીજી લાઇનને 8 વડે વિભાજીત કરો

.

ત્રીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરો અને તેને બીજી લીટીમાં ઉમેરો. તે તારણ આપે છે:

.

ચાલો બીજી અને ત્રીજી લાઈનો અદલાબદલી કરીએ, પછી આપણને આખરે મળશે:

.

આપણે જોઈએ છીએ કે ડાબી બાજુ આપણી પાસે ઓળખ મેટ્રિક્સ છે, તેથી, જમણી બાજુ આપણી પાસે વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ છે. આમ:

.

તમે મૂળ મેટ્રિક્સને મળેલા વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ વડે ગુણાકાર કરીને ગણતરીઓની સાચીતા ચકાસી શકો છો:

પરિણામ એક વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ હોવું જોઈએ.

ઉદાહરણ 3.મેટ્રિક્સ માટે

વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ શોધો.

ઉકેલ. ડ્યુઅલ મેટ્રિક્સનું સંકલન

અને અમે તેને રૂપાંતરિત કરીશું.

આપણે પ્રથમ લીટીને 3 વડે અને બીજી 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ, અને બીજીમાંથી બાદ કરીએ છીએ, અને પછી આપણે પ્રથમ લીટીને 5 વડે અને ત્રીજી લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને ત્રીજી લીટીમાંથી બાદ કરીએ છીએ, પછી આપણને મળે છે.

.

આપણે પ્રથમ લીટીને 2 વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને તેને બીજીમાં ઉમેરીએ છીએ, અને પછી ત્રીજી લીટીમાંથી બીજી બાદ કરીએ છીએ, પછી આપણને મળે છે.

.

આપણે જોઈએ છીએ કે ડાબી બાજુની ત્રીજી લીટીમાં બધા તત્વો શૂન્ય સમાન છે. તેથી, મેટ્રિક્સ એકવચન છે અને તેમાં કોઈ વ્યસ્ત મેટ્રિક્સ નથી. અમે વધુ વ્યસ્ત મેરિટ્ઝ શોધવાનું બંધ કરીએ છીએ.