અંદાજ ચોકસાઈ, વિશ્વાસ સ્તર (વિશ્વસનીયતા)

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

નાના વોલ્યુમના નમૂના લેતી વખતે, અંતરાલ અંદાજનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ કારણ કે આ એકંદર ભૂલોને ટાળે છે, બિંદુ અંદાજથી વિપરીત.

અંતરાલ એ એક અંદાજ છે જે બે સંખ્યાઓ દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે - અંતરાલના અંત જે અંદાજિત પરિમાણને આવરી લે છે. અંતરાલ અંદાજ અમને અંદાજોની ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતા સ્થાપિત કરવા દે છે.

નમૂનાના ડેટામાંથી મળેલ આંકડાકીય લાક્ષણિકતા *ને અજાણ્યા પરિમાણના અંદાજ તરીકે સેવા આપવા દો. અમે તેને સતત સંખ્યા ગણીશું (કદાચ રેન્ડમ ચલ). તે સ્પષ્ટ છે કે * પરિમાણ β જેટલું વધુ સચોટ રીતે નિર્ધારિત થાય છે, તફાવતનું સંપૂર્ણ મૂલ્ય નાનું | - * |. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, જો >0 અને | - * |< , то чем меньше, тем оценка точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

જો કે, આંકડાકીય પદ્ધતિઓ અમને સ્પષ્ટપણે જણાવવા દેતી નથી કે અંદાજ * અસમાનતાને સંતોષે છે | - *|<, можно лишь говорить о вероятности, с которой это неравенство осуществляется.

* દ્વારા અંદાજની વિશ્વસનીયતા (વિશ્વાસની સંભાવના) એ સંભાવના છે જેની સાથે અસમાનતાનો અહેસાસ થાય છે | - *|<. Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

સંભાવના દો કે | - *|<, равна т.е.

અસમાનતાને બદલીને | - *|< равносильным ему двойным неравенством -<| - *|<, или *- <<*+, имеем

પી(*-< <*+)=.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (*-, *+) એ વિશ્વાસ અંતરાલ કહેવાય છે જે આપેલ વિશ્વસનીયતા સાથે અજાણ્યા પરિમાણને આવરી લે છે.

જાણીતા વિતરણને જોતાં સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

વસ્તીના જાણીતા પ્રમાણભૂત વિચલન સાથેના નમૂના સરેરાશ x પર આધારિત સામાન્ય રીતે વિતરિત જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા X ની ગાણિતિક અપેક્ષાની વિશ્વસનીયતા સાથેનો અંતરાલ અંદાજ એ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ છે

x - t(/n^?)< a < х + t(/n^?),

જ્યાં t(/n^?)= એ અંદાજની ચોકસાઈ છે, n એ નમૂનાનું કદ છે, t એ લેપ્લેસ ફંક્શન Ф(t) ની દલીલનું મૂલ્ય છે, જેના પર Ф(t)=/2 છે.

સમાનતા t(/n^?)= થી, નીચેના તારણો દોરી શકાય છે:

1. જેમ જેમ નમૂનાનું કદ n વધે છે, સંખ્યા ઘટે છે અને તેથી, અંદાજની ચોકસાઈ વધે છે;

2. અંદાજની વિશ્વસનીયતામાં વધારો = 2Ф(t) ટીમાં વધારો તરફ દોરી જાય છે (Ф(t) એ વધતું કાર્ય છે), અને તેથી વધારો; બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, શાસ્ત્રીય અંદાજની વિશ્વસનીયતામાં વધારો તેની ચોકસાઈમાં ઘટાડો કરે છે.

ઉદાહરણ. રેન્ડમ ચલ X પાસે જાણીતા પ્રમાણભૂત વિચલન =3 સાથે સામાન્ય વિતરણ છે. અજ્ઞાત ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો a નમૂનાનો અર્થ x છે, જો નમૂનાનું કદ n = 36 હોય અને અંદાજની વિશ્વસનીયતા = 0.95 આપવામાં આવે.

ઉકેલ. ચાલો ટી શોધીએ. સંબંધ 2Ф(t) = 0.95 થી આપણે Ф(t) = 0.475 મેળવીએ છીએ. કોષ્ટકમાંથી આપણે t=1.96 શોધીએ છીએ.

ચાલો અંદાજની ચોકસાઈ શોધીએ:

ચોકસાઈ વિશ્વાસ અંતરાલ માપન

T(/n^?)= (1.96.3)/ /36 = 0.98.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ છે: (x - 0.98; x + 0.98). ઉદાહરણ તરીકે, જો x = 4.1, તો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની નીચેની આત્મવિશ્વાસ મર્યાદાઓ છે:

x - 0.98 = 4.1 - 0.98 = 3.12; x + 0.98 = 4.1 + 0.98 = 5.08.

આમ, અજ્ઞાત પરિમાણ a ના મૂલ્યો, નમૂનાના ડેટા સાથે સુસંગત, અસમાનતાને સંતોષે છે 3.12< а < 5,08. Подчеркнем, что было бы ошибочным написать Р (3,12 < а < 5,08) = 0,95. Действительно, так как а - постоянная величина, то либо она заключена в найденном интервале (тогда событие 3,12 < а < 5,08 достоверно и его вероятность равна единице), либо в нем не заключена (в этом случае событие 3,12 < а < 5,08 невозможно и его вероятность равна нулю). Другими словами, доверительную вероятность не следует связывать с оцениваемым параметром; она связана лишь с границами доверительного интервала, которые, как уже было указано, изменяются от выборки к выборке.

ચાલો આપેલ વિશ્વસનીયતાનો અર્થ સમજાવીએ. વિશ્વસનીયતા = 0.95 સૂચવે છે કે જો પૂરતા પ્રમાણમાં મોટી સંખ્યામાં નમૂના લેવામાં આવે છે, તો તેમાંથી 95% વિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરે છે જેમાં પરિમાણ ખરેખર સમાયેલ છે; માત્ર 5% કિસ્સાઓમાં તે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલથી આગળ વધી શકે છે.

જો પૂર્વનિર્ધારિત ચોકસાઈ અને વિશ્વસનીયતા સાથે ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી હોય, તો લઘુત્તમ નમૂનાનું કદ જે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ ચોકસાઈની ખાતરી કરશે.

અજાણ્યા સાથે સામાન્ય વિતરણની ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢવા માટે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

વસ્તીના અજ્ઞાત પ્રમાણભૂત વિચલન સાથેના નમૂનાના આધારે સામાન્ય રીતે વિતરિત જથ્થાત્મક લાક્ષણિકતા X ની ગાણિતિક અપેક્ષાની વિશ્વસનીયતા સાથેનો અંતરાલ અંદાજ એ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ છે

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?),

જ્યાં s એ "સુધારેલ" નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન છે, t() આપેલ અને n માટે કોષ્ટકમાંથી જોવા મળે છે.

ઉદાહરણ. વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા X સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. n=16 ના નમૂનાના કદના આધારે, નમૂનાનો અર્થ x = 20.2 અને "સુધારેલ" માનક વિચલન s = 0.8 મળી આવ્યો હતો. 0.95 ની વિશ્વસનીયતા સાથે વિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને અજાણી ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ કાઢો.

ઉકેલ. ચાલો t() શોધીએ. કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, = 0.95 અને n=16 દ્વારા આપણે t()=2.13 શોધીએ છીએ.

ચાલો આત્મવિશ્વાસની મર્યાદાઓ શોધીએ:

x - t() (s/n^?) = 20.2 - 2.13 *. 0.8/16^? = 19.774

x + t()(s/n^?) = 20.2 + 2.13 * 0.8/16^? = 20.626

તેથી, 0.95 ની વિશ્વસનીયતા સાથે, અજ્ઞાત પરિમાણ a 19.774 ના વિશ્વાસ અંતરાલમાં સમાયેલ છે.< а < 20,626

માપેલ જથ્થાના સાચા મૂલ્યનો અંદાજ

અમુક ભૌતિક જથ્થાના સ્વતંત્ર સમાન-ચોકસાઇ માપન કરવા દો, જેનું સાચું મૂલ્ય અજ્ઞાત છે.

અમે વ્યક્તિગત માપના પરિણામોને રેન્ડમ ચલો Хl, Х2,…Хn તરીકે ધ્યાનમાં લઈશું. આ જથ્થાઓ સ્વતંત્ર છે (માપ સ્વતંત્ર છે). તેમની પાસે સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા a (માપેલા જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય), સમાન ભિન્નતા ^2 (માપ સમાન રીતે સચોટ છે) અને સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે (આ ધારણા અનુભવ દ્વારા પુષ્ટિ મળે છે).

આમ, આત્મવિશ્વાસના અંતરાલો મેળવવામાં કરવામાં આવેલી તમામ ધારણાઓ પૂર્ણ થાય છે, અને તેથી, અમે સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવા માટે સ્વતંત્ર છીએ. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનો ઉપયોગ કરીને વ્યક્તિગત માપનના પરિણામોના અંકગણિત સરેરાશ પરથી માપેલ મૂલ્યના સાચા મૂલ્યનો અંદાજ લગાવી શકાય છે.

ઉદાહરણ. ભૌતિક જથ્થાના નવ સ્વતંત્ર સમાન-ચોકસાઇ માપના ડેટાના આધારે, વ્યક્તિગત માપના પરિણામોનો અંકગણિત સરેરાશ x = 42.319 અને "સુધારેલ" પ્રમાણભૂત વિચલન s = 5.0 હોવાનું જણાયું હતું. વિશ્વસનીયતા = 0.95 સાથે માપેલ મૂલ્યના સાચા મૂલ્યનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે.

ઉકેલ. માપેલ જથ્થાનું સાચું મૂલ્ય તેની ગાણિતિક અપેક્ષા જેટલું છે. તેથી, આપેલ વિશ્વસનીયતા = 0.95 સાથે a ને આવરી લેતા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક અપેક્ષા (અજ્ઞાત આપેલ) નો અંદાજ કાઢવામાં સમસ્યા આવે છે.

x - t()(s/n^?)< a < х + t()(s/n^?)

કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, y = 0.95 અને l = 9 નો ઉપયોગ કરીને આપણે શોધીએ છીએ

ચાલો અંદાજની ચોકસાઈ શોધીએ:

t())(s/n^?) = 2.31 * 5/9^?=3.85

ચાલો આત્મવિશ્વાસની મર્યાદાઓ શોધીએ:

x - t() (s/n^?) = 42.319 - 3.85 = 38.469;

x + t() (s/n^?) = 42.319 +3.85 = 46.169.

તેથી, 0.95 ની વિશ્વસનીયતા સાથે, માપેલ મૂલ્યનું સાચું મૂલ્ય 38.469 ના વિશ્વાસ અંતરાલમાં રહેલું છે< а < 46,169.

સામાન્ય વિતરણના પ્રમાણભૂત વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.

સામાન્ય વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા Xને સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવા દો. "સુધારેલ" નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન s માંથી અજ્ઞાત સામાન્ય માનક વિચલનનો અંદાજ કાઢવો જરૂરી છે. આ કરવા માટે, અમે અંતરાલ અંદાજનો ઉપયોગ કરીશું.

"સુધારેલ" નમૂનાના પ્રમાણભૂત વિચલન s પર આધારિત સામાન્ય રીતે વિતરિત માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા X ના પ્રમાણભૂત વિચલન o નો અંતરાલ અંદાજ (વિશ્વસનીયતા સાથે) એ વિશ્વાસ અંતરાલ છે

s (1 -- q)< < s (1 + q) (при q < 1),

0 < < s (1 + q) (при q > 1),

જ્યાં આપેલ n n માટે કોષ્ટકમાંથી q મળે છે.

ઉદાહરણ 1. સામાન્ય વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા X સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. n = 25 ના નમૂનાના કદના આધારે, s = 0.8 નું "સુધારેલ" પ્રમાણભૂત વિચલન મળ્યું. 0.95 ની વિશ્વસનીયતા સાથે સામાન્ય માનક વિચલનને આવરી લેતો આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો.

ઉકેલ. ડેટા = 0.95 અને n = 25 સાથે કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે q = 0.32 શોધીએ છીએ.

જરૂરી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ s (1 -- q)< < s (1 + q) таков:

0,8(1-- 0,32) < < 0,8(1+0,32), или 0,544 < < 1,056.

ઉદાહરણ 2. સામાન્ય વસ્તીની માત્રાત્મક લાક્ષણિકતા X સામાન્ય રીતે વિતરિત કરવામાં આવે છે. n=10 ના નમૂનાના કદના આધારે, s = 0.16 નું "સુધારેલ" પ્રમાણભૂત વિચલન મળ્યું. 0.999 ની વિશ્વસનીયતા સાથે સામાન્ય માનક વિચલનને આવરી લેતા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ શોધો.

ઉકેલ. ડેટા = 0.999 અને n=10 પર આધારિત પરિશિષ્ટ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને, આપણે 17= 1.80 (q > 1) શોધીએ છીએ. જરૂરી વિશ્વાસ અંતરાલ છે:

0 < < 0,16(1 + 1,80), или 0 < < 0,448.

ગ્રેડમાપન ચોકસાઈ

ભૂલ સિદ્ધાંતમાં, રેન્ડમ માપન ભૂલોના પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને માપનની ચોકસાઈ (સાધન ચોકસાઈ) દર્શાવવાનો રિવાજ છે. મૂલ્યાંકન માટે, "સુધારેલ" માનક વિચલન s નો ઉપયોગ થાય છે. સામાન્ય રીતે માપન પરિણામો પરસ્પર સ્વતંત્ર હોવાથી, સમાન ગાણિતિક અપેક્ષા (માપેલા મૂલ્યનું સાચું મૂલ્ય) અને સમાન વિક્ષેપ (સમાન-ચોકસાઇ માપના કિસ્સામાં), અગાઉના ફકરામાં દર્શાવેલ સિદ્ધાંત મૂલ્યાંકન કરવા માટે લાગુ પડે છે. માપનની ચોકસાઈ.

ઉદાહરણ. 15 સમાન-ચોકસાઇના માપના આધારે, s = 0.12 નું "સુધારેલ" પ્રમાણભૂત વિચલન મળ્યું. 0.99 ની વિશ્વસનીયતા સાથે માપનની ચોકસાઈ શોધો.

ઉકેલ. માપનની ચોકસાઈ રેન્ડમ ભૂલોના પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, તેથી સમસ્યા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ s (1 -- q) શોધવામાં આવે છે.< < s (1 + q) , покрывающего с заданной надежностью 0,99

= 0.99 અને n = 15 માટે પરિશિષ્ટ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને આપણે q = 0.73 શોધીએ છીએ.

જરૂરી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ

0,12(1-- 0,73) < < 0,12(1+0,73), или 0.03 < < 0,21.

સંબંધિત આવર્તન પરથી સંભાવના અંદાજ (દ્વિપદી વિતરણ).

સાપેક્ષ આવર્તન w દ્વારા દ્વિપદી વિતરણની અજ્ઞાત સંભાવના p નો અંતરાલ અંદાજ (વિશ્વસનીયતા સાથે) એ વિશ્વાસ અંતરાલ છે (અંદાજે p1 અને p2 સાથે)

p1< p < p2,

જ્યાં n એ પરીક્ષણોની કુલ સંખ્યા છે; m એ ઘટનાની ઘટનાઓની સંખ્યા છે; w - ગુણોત્તર m/n સમાન સંબંધિત આવર્તન; t એ લેપ્લેસ ફંક્શનની દલીલનું મૂલ્ય છે, જેના પર Ф(t) = /2.

ટિપ્પણી. n ના મોટા મૂલ્યો માટે (સેંકડોના ક્રમમાં) વિશ્વાસ અંતરાલની અંદાજિત મર્યાદા તરીકે લઈ શકાય છે

ઘણીવાર મૂલ્યાંકનકર્તાએ તે સેગમેન્ટના રિયલ એસ્ટેટ માર્કેટનું વિશ્લેષણ કરવાનું હોય છે જેમાં મિલકતનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે. જો બજાર વિકસિત હોય, તો પ્રસ્તુત ઑબ્જેક્ટ્સના સમગ્ર સમૂહનું વિશ્લેષણ કરવું મુશ્કેલ બની શકે છે, તેથી વિશ્લેષણ માટે ઑબ્જેક્ટના નમૂનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ નમૂનો હંમેશા એકરૂપ થતો નથી; કેટલીકવાર તેને આત્યંતિક મુદ્દાઓ - ખૂબ ઊંચા અથવા ખૂબ નીચા બજાર ઑફર્સથી સાફ કરવું જરૂરી છે. આ હેતુ માટે તેનો ઉપયોગ થાય છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આ અભ્યાસનો હેતુ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી માટે બે પદ્ધતિઓનું તુલનાત્મક વિશ્લેષણ કરવાનો છે અને estimatica.pro સિસ્ટમમાં વિવિધ નમૂનાઓ સાથે કામ કરતી વખતે શ્રેષ્ઠ ગણતરી વિકલ્પ પસંદ કરવાનો છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ એ નમૂનાના આધારે ગણવામાં આવતા વિશેષતા મૂલ્યોનું અંતરાલ છે, જે જાણીતી સંભાવના સાથે સામાન્ય વસ્તીના અંદાજિત પરિમાણ ધરાવે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાનો મુદ્દો એ છે કે નમૂના ડેટાના આધારે આવા અંતરાલનું નિર્માણ કરવું જેથી તે આપેલ સંભાવના સાથે કહી શકાય કે અંદાજિત પરિમાણનું મૂલ્ય આ અંતરાલમાં છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વિશ્વાસ અંતરાલ ચોક્કસ સંભાવના સાથે અંદાજિત મૂલ્યનું અજ્ઞાત મૂલ્ય ધરાવે છે. અંતરાલ જેટલો વિશાળ છે, તેટલી અચોક્કસતા વધારે છે.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નક્કી કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓ છે. આ લેખમાં આપણે 2 પદ્ધતિઓ જોઈશું:

• મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલન દ્વારા;
• ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્ય દ્વારા.

CI ની ગણતરી માટે વિવિધ પદ્ધતિઓના તુલનાત્મક વિશ્લેષણના તબક્કાઓ:

1. ડેટા સેમ્પલ બનાવવું;

2. અમે આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને તેની પ્રક્રિયા કરીએ છીએ: અમે સરેરાશ મૂલ્ય, મધ્ય, વિચલન, વગેરેની ગણતરી કરીએ છીએ;

3. બે રીતે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરો;

4. સાફ કરેલા નમૂનાઓ અને પરિણામી આત્મવિશ્વાસ અંતરાલોનું વિશ્લેષણ કરો.

સ્ટેજ 1. ડેટા સેમ્પલિંગ

estimatica.pro સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાની રચના કરવામાં આવી હતી. નમૂનામાં "ખ્રુશ્ચેવ" પ્રકારના લેઆઉટ સાથે 3જી પ્રાઇસ ઝોનમાં 1-રૂમના એપાર્ટમેન્ટના વેચાણ માટેની 91 ઑફરોનો સમાવેશ થાય છે.

કોષ્ટક 1. પ્રારંભિક નમૂના

ફિગ.1. પ્રારંભિક નમૂના

સ્ટેજ 2. પ્રારંભિક નમૂનાની પ્રક્રિયા

આંકડાકીય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને નમૂનાની પ્રક્રિયા કરવા માટે નીચેના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી જરૂરી છે:

1. અંકગણિત સરેરાશ

2. મધ્યક - નમૂનાનું લક્ષણ દર્શાવતી સંખ્યા: નમૂનાના ઘટકોનો બરાબર અડધો ભાગ મધ્યક કરતાં મોટો છે, બાકીનો અડધો ભાગ મધ્યક કરતાં ઓછો છે

(મૂલ્યોની વિચિત્ર સંખ્યાવાળા નમૂના માટે)

3. શ્રેણી - નમૂનામાં મહત્તમ અને લઘુત્તમ મૂલ્યો વચ્ચેનો તફાવત

4. ભિન્નતા - ડેટાની વિવિધતાનો વધુ ચોક્કસ અંદાજ કાઢવા માટે વપરાય છે

5. નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન (ત્યારબાદ - SD) એ અંકગણિત સરેરાશની આસપાસ ગોઠવણ મૂલ્યોના વિક્ષેપનું સૌથી સામાન્ય સૂચક છે.

6. વિવિધતાનો ગુણાંક - ગોઠવણ મૂલ્યોના સ્કેટરિંગની ડિગ્રીને પ્રતિબિંબિત કરે છે

7. ઓસિલેશન ગુણાંક - સરેરાશની આસપાસના નમૂનામાં આત્યંતિક કિંમત મૂલ્યોની સંબંધિત વધઘટને પ્રતિબિંબિત કરે છે

કોષ્ટક 2. મૂળ નમૂનાના આંકડાકીય સૂચકાંકો

વિવિધતાનો ગુણાંક, જે ડેટાની એકરૂપતાને દર્શાવે છે, તે 12.29% છે, પરંતુ ઓસિલેશનનો ગુણાંક ખૂબ વધારે છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે મૂળ નમૂનો એકરૂપ નથી, તેથી ચાલો વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા આગળ વધીએ.

સ્ટેજ 3. કોન્ફિડન્સ અંતરાલની ગણતરી

પદ્ધતિ 1. મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી.

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ નીચે પ્રમાણે નક્કી કરવામાં આવે છે: ન્યૂનતમ મૂલ્ય - પ્રમાણભૂત વિચલન મધ્યમાંથી બાદ કરવામાં આવે છે; મહત્તમ મૂલ્ય - પ્રમાણભૂત વિચલન મધ્યમાં ઉમેરવામાં આવે છે.

આમ, આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ (47179 CU; 60689 CU)

ચોખા. 2. વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યો 1.

પદ્ધતિ 2. ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્યનો ઉપયોગ કરીને આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ બનાવવો

એસ.વી. ગ્રિબોવ્સ્કી તેમના પુસ્તક "સંપત્તિ મૂલ્યના અંદાજ માટે ગાણિતિક પદ્ધતિઓ" માં વિદ્યાર્થી ગુણાંક દ્વારા આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની પદ્ધતિનું વર્ણન કરે છે. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતી વખતે, અંદાજકર્તાએ પોતે જ મહત્ત્વનું સ્તર ∝ સેટ કરવું જોઈએ, જે સંભવિતતા નક્કી કરે છે કે જેની સાથે વિશ્વાસ અંતરાલ બાંધવામાં આવશે. સામાન્ય રીતે, 0.1 ના મહત્વના સ્તરોનો ઉપયોગ થાય છે; 0.05 અને 0.01. તેઓ 0.9 ની આત્મવિશ્વાસ સંભાવનાઓને અનુરૂપ છે; 0.95 અને 0.99. આ પદ્ધતિ સાથે, ગાણિતિક અપેક્ષાઓ અને ભિન્નતાના સાચા મૂલ્યો વ્યવહારીક રીતે અજાણ હોવાનું માનવામાં આવે છે (જે વ્યવહારિક અંદાજની સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે લગભગ હંમેશા સાચું હોય છે).

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ સૂત્ર:

n - નમૂનાનું કદ;

મહત્વના સ્તર સાથે ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી વિતરણ) નું નિર્ણાયક મૂલ્ય ∝, સ્વતંત્રતા n-1 ની ડિગ્રીની સંખ્યા, જે વિશિષ્ટ આંકડાકીય કોષ્ટકો અથવા MS એક્સેલ (→"આંકડાકીય"→ STUDIST) નો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરવામાં આવે છે;

∝ - મહત્વ સ્તર, ∝=0.01 લો.

ચોખા. 2. વિશ્વાસ અંતરાલમાં આવતા મૂલ્યો 2.

સ્ટેજ 4. આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટે વિવિધ પદ્ધતિઓનું વિશ્લેષણ

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવાની બે પદ્ધતિઓ - મધ્ય અને વિદ્યાર્થીના ગુણાંક દ્વારા - અંતરાલોના વિવિધ મૂલ્યો તરફ દોરી જાય છે. તદનુસાર, અમને બે અલગ-અલગ ક્લીન સેમ્પલ મળ્યા.

કોષ્ટક 3. ત્રણ નમૂનાઓ માટે આંકડા.

કરવામાં આવેલ ગણતરીઓના આધારે, અમે કહી શકીએ કે વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા મેળવેલ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ મૂલ્યો એકબીજાને છેદે છે, તેથી તમે મૂલ્યાંકનકર્તાના વિવેકબુદ્ધિથી કોઈપણ ગણતરી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

જો કે, અમે માનીએ છીએ કે estimatica.pro સિસ્ટમમાં કામ કરતી વખતે, બજારના વિકાસની ડિગ્રીના આધારે વિશ્વાસ અંતરાલની ગણતરી કરવા માટેની પદ્ધતિ પસંદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે:

• જો બજાર અવિકસિત છે, તો મધ્ય અને પ્રમાણભૂત વિચલનનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો, કારણ કે આ કિસ્સામાં નિવૃત્ત વસ્તુઓની સંખ્યા ઓછી છે;
• જો બજાર વિકસિત હોય, તો ટી-આંકડા (વિદ્યાર્થી ગુણાંક) ના નિર્ણાયક મૂલ્ય દ્વારા ગણતરી લાગુ કરો, કારણ કે મોટા પ્રારંભિક નમૂનાનું નિર્માણ શક્ય છે.

લેખ તૈયાર કરવા માટે નીચેનાનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો હતો:

1. ગ્રિબોવ્સ્કી એસ.વી., સિવેટ્સ એસ.એ., લેવીકીના આઈ.એ. મિલકતના મૂલ્યનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેની ગાણિતિક પદ્ધતિઓ. મોસ્કો, 2014

2. સિસ્ટમ ડેટા estimatica.pro

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આત્મવિશ્વાસની સંભાવના.

આંકડાઓ માટે સંભાવના સિદ્ધાંતની અરજી.

મૂળભૂત ખ્યાલો.

ગાણિતિક આંકડા એ ગણિતની એક શાખા છે જે વિશાળ રેન્ડમ ઘટનાઓ અને અસાધારણ ઘટનાઓના અવલોકનોના પરિણામે પ્રાપ્ત પ્રાયોગિક ડેટાની પ્રક્રિયા અને વિશ્લેષણ માટેની પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરે છે.

ઑબ્જેક્ટ્સ પર કરવામાં આવેલા અવલોકનો અપવાદ વિના અભ્યાસ હેઠળ વસ્તીના તમામ સભ્યોને આવરી શકે છે અને આ વસ્તીના સભ્યોના અમુક ચોક્કસ ભાગના સર્વેક્ષણો સુધી મર્યાદિત હોઈ શકે છે. પ્રથમ અવલોકનને સતત અથવા સંપૂર્ણ કહેવામાં આવે છે, બીજું આંશિક અથવા પસંદગીયુક્ત .

સ્વાભાવિક રીતે, સૌથી સંપૂર્ણ માહિતી સતત અવલોકન દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે, પરંતુ તે હંમેશા આશરો લેતી નથી. પ્રથમ, સતત અવલોકન ખૂબ જ શ્રમ-સઘન છે, અને બીજું, તે ઘણીવાર વ્યવહારીક રીતે અશક્ય અથવા અવ્યવહારુ પણ હોય છે. તેથી, મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, તેઓ પસંદગીયુક્ત સંશોધનનો આશરો લે છે.

એવી વસ્તી કે જેમાંથી તેના કેટલાક સભ્યોને કોઈ રીતે સંયુક્ત અભ્યાસ માટે પસંદ કરવામાં આવ્યા હોય તેને કહેવામાં આવે છે સામાન્ય વસ્તી , અને એક અથવા બીજી રીતે પસંદ કરેલ સામાન્ય વસ્તીનો એક ભાગ એ નમૂનાની વસ્તી છે અથવા નમૂના .

વસ્તીનું પ્રમાણ સૈદ્ધાંતિક રીતે અમર્યાદિત છે, પરંતુ વ્યવહારમાં તે હંમેશા મર્યાદિત છે.

નમૂનાનું કદ મોટું અથવા નાનું હોઈ શકે છે, પરંતુ તે બે કરતા ઓછું હોઈ શકતું નથી.

નમૂનામાં પસંદગી અવ્યવસ્થિત રીતે કરી શકાય છે (લોટરી અથવા લોટરી પદ્ધતિ દ્વારા). અથવા આયોજિત, સર્વેના કાર્ય અને સંગઠન પર આધાર રાખીને. નમૂનાનું પ્રતિનિધિત્વ કરવા માટે, લાક્ષણિકતાની વિવિધતાની શ્રેણી પર ધ્યાન આપવું અને તેની સાથે નમૂનાના કદનું સંકલન કરવું જરૂરી છે.

2. અજ્ઞાત વિતરણ કાર્યનું નિર્ધારણ.

તેથી અમે પસંદગી કરી. ચાલો અવલોકન કરેલ મૂલ્યોની શ્રેણીને અંતરાલોમાં વિભાજીત કરીએ, , …. સમાન લંબાઈ. અંતરાલોની આવશ્યક સંખ્યાનો અંદાજ કાઢવા માટે, તમે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો:

આગળ દો m i - અવલોકન કરેલ મૂલ્યોની સંખ્યા જેમાં શામેલ છે iમીઅંતરાલ વિભાજન કરીને m i અવલોકનોની કુલ સંખ્યા દીઠ n, અમે અનુરૂપ આવર્તન મેળવીએ છીએ i-ઓહઅંતરાલ: , અને . ચાલો નીચેનું કોષ્ટક બનાવીએ:

જે કહેવાય છે આંકડાકીય રીતે બંધ . પ્રયોગમૂલક (અથવા આંકડાકીય ) વિતરણ કાર્ય રેન્ડમ ચલ એ ઘટનાની આવર્તન છે જેમ કે પ્રયોગના પરિણામ રૂપે જથ્થો કરતાં ઓછું મૂલ્ય લેશે x:

વ્યવહારમાં, આંકડાકીય વિતરણ કાર્યના મૂલ્યો શોધવા માટે તે પૂરતું છે F*(x) બિંદુઓ પર , જે આંકડાકીય શ્રેણીના અંતરાલોની સીમાઓ છે:

(5.2)

એ નોંધવું જોઇએ કે ખાતે અને ખાતે. પોઈન્ટનું કાવતરું કરીને અને તેમને સરળ વળાંક સાથે જોડીને, અમે પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યનો અંદાજિત આલેખ મેળવીએ છીએ (ફિગ. 5.1). બર્નૌલીના મોટી સંખ્યાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, અમે સાબિત કરી શકીએ છીએ કે એકતાની નજીકની સંભાવના સાથે પૂરતી મોટી સંખ્યામાં પરીક્ષણો સાથે, પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્ય આપણા માટે અજાણ્યા રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાર્યથી ઇચ્છિત જેટલું ઓછું છે.

મોટે ભાગે, પ્રયોગમૂલક વિતરણ કાર્યને કાવતરું કરવાને બદલે, વ્યક્તિ નીચે મુજબ કરે છે. અંતરાલ એબ્સીસા અક્ષ પર રચાયેલ છે, ,…. . દરેક અંતરાલ પર, એક લંબચોરસ બનાવવામાં આવે છે, જેનો વિસ્તાર આ અંતરાલને અનુરૂપ આવર્તન સમાન હોય છે. ઊંચાઈ h i આ લંબચોરસ ની બરાબર છે, જ્યાં દરેક અંતરાલની લંબાઈ છે. તે સ્પષ્ટ છે કે તમામ બાંધેલા લંબચોરસના ક્ષેત્રોનો સરવાળો એક સમાન છે.

ચાલો એવા ફંક્શનને ધ્યાનમાં લઈએ જે અંતરાલમાં સ્થિર હોય અને તેની બરાબર હોય. આ ફંક્શનનો ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે હિસ્ટોગ્રામ . તે એક સ્ટેપ્ડ લાઇન છે (ફિગ. 5.2). બર્નૌલીના મોટી સંખ્યાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તે સાબિત કરી શકાય છે કે નાની અને મોટી સંખ્યાઓ માટે, વ્યવહારિક નિશ્ચિતતા સાથે, ઇચ્છિત હોય તેટલું ઓછું, સતત રેન્ડમ ચલની વિતરણ ઘનતાથી અલગ પડે છે.

આમ, વ્યવહારમાં, રેન્ડમ ચલના અજ્ઞાત વિતરણ કાર્યનો પ્રકાર નક્કી થાય છે.

3. અજ્ઞાત વિતરણ પરિમાણોનું નિર્ધારણ.

આમ, અમને એક હિસ્ટોગ્રામ મળ્યો જે સ્પષ્ટતા આપે છે. પ્રસ્તુત પરિણામોની સ્પષ્ટતા અમને અભ્યાસ હેઠળના ઑબ્જેક્ટ વિશે વિવિધ તારણો અને નિર્ણયો કરવા દે છે.

જો કે, તેઓ સામાન્ય રીતે ત્યાં અટકતા નથી, પરંતુ અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલી પ્રક્રિયાઓ અથવા ઘટનાઓની સંભવિત પદ્ધતિઓ સંબંધિત ચોક્કસ ધારણાઓને ચકાસવા માટે ડેટાનું વિશ્લેષણ કરીને આગળ વધે છે.

દરેક સર્વેમાં ડેટા પ્રમાણમાં નાનો હોવા છતાં, અમે વિશ્લેષણના પરિણામો સમગ્ર વાસ્તવિક અથવા કલ્પનાશીલ સમૂહ (એટલે ​​​​કે, વસ્તી)નું પૂરતું વર્ણન કરવા ઈચ્છીએ છીએ.

આ કરવા માટે, પ્રાયોગિક ડેટા (નમૂના) ના આધારે ગણતરી કરાયેલ સૂચકાંકો સામાન્ય વસ્તીના પરિમાણો સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે તે વિશે કેટલીક ધારણાઓ કરવામાં આવે છે.

આ સમસ્યાનો ઉકેલ એ પ્રાયોગિક ડેટાના કોઈપણ વિશ્લેષણનો મુખ્ય ભાગ છે અને ઉપર ચર્ચા કરેલ સંખ્યાબંધ સૈદ્ધાંતિક વિતરણોના ઉપયોગ સાથે નજીકથી સંબંધિત છે.

આંકડાકીય અનુમાનમાં સામાન્ય વિતરણનો વ્યાપક ઉપયોગ પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક બંને વાજબીપણું ધરાવે છે.

પ્રથમ, પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે ઘણા કિસ્સાઓમાં સામાન્ય વિતરણ ખરેખર પ્રાયોગિક ડેટાની એકદમ સચોટ રજૂઆત છે.

બીજું, તે સૈદ્ધાંતિક રીતે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે હિસ્ટોગ્રામ અંતરાલોના સરેરાશ મૂલ્યો સામાન્યની નજીકના કાયદા અનુસાર વિતરિત કરવામાં આવે છે.

જો કે, તે સ્પષ્ટપણે સમજવું જોઈએ કે સામાન્ય વિતરણ માત્ર એક સંપૂર્ણ ગાણિતિક સાધન છે અને તે જરૂરી નથી કે વાસ્તવિક પ્રાયોગિક ડેટા સામાન્ય વિતરણ દ્વારા ચોક્કસ રીતે વર્ણવવામાં આવે. જો કે ઘણા કિસ્સાઓમાં, નાની ભૂલને મંજૂરી આપીને, અમે કહી શકીએ કે ડેટા સામાન્ય રીતે વિતરિત થાય છે.

સંખ્યાબંધ સૂચકાંકો, જેમ કે સરેરાશ, ભિન્નતા, વગેરે, નમૂનાનું લક્ષણ દર્શાવે છે અને તેને આંકડા કહેવામાં આવે છે. સમાન સૂચકાંકો, પરંતુ સમગ્ર વસ્તી સાથે સંબંધિત, પરિમાણો કહેવામાં આવે છે. આમ, આપણે કહી શકીએ કે આંકડા પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે સેવા આપે છે.

સામાન્ય સરેરાશ એ મૂલ્યોનો અંકગણિત સરેરાશ છે સામાન્ય વસ્તી વોલ્યુમ:

નમૂનાનો સરેરાશ એ નમૂનાના વોલ્યુમનો અંકગણિત સરેરાશ છે:

(5.4)

જો પસંદગી ટેબલના રૂપમાં હોય.

નમૂનાનો સરેરાશ સામાન્ય સરેરાશના અંદાજ તરીકે લેવામાં આવે છે.

સામાન્ય વિચલન એ વસ્તીના મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોનો અંકગણિત સરેરાશ છે તેમના સરેરાશ મૂલ્યમાંથી:

સામાન્ય પ્રમાણભૂત વિચલન એ સામાન્ય વિચલનોનું વર્ગમૂળ છે: .

નમૂનાનો તફાવત એ તેમના સરેરાશમાંથી નમૂનાના મૂલ્યોના વિચલનના વર્ગોનો અંકગણિત સરેરાશ છે:

નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.

પ્રાયોગિક પરિણામો સાથે વધુ સારી રીતે મેળ કરવા માટે, પ્રયોગમૂલક (અથવા સુધારેલ) ભિન્નતાનો ખ્યાલ રજૂ કરવામાં આવ્યો છે:

સામાન્ય માનક વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે, સુધારેલ પ્રમાણભૂત વિચલન અથવા પ્રયોગમૂલક ધોરણનો ઉપયોગ કરો:

(5.5)

કિસ્સામાં જ્યારે બધા નમૂના મૂલ્યો અલગ હોય, એટલે કે. , , ફોર્મ્યુલા અને ફોર્મ લો:

(5.6)

આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ. આત્મવિશ્વાસની સંભાવના.

ગણતરીના પરિણામે મેળવેલા વિવિધ આંકડા એ વસ્તીના અનુરૂપ પરિમાણોના પોઈન્ટ અંદાજો છે.

જો આપણે સામાન્ય વસ્તીમાંથી ચોક્કસ સંખ્યામાં નમૂનાઓ કાઢીએ અને તેમાંના દરેક માટે અમને રુચિના આંકડા શોધીએ, તો ગણતરી કરેલ મૂલ્યો રેન્ડમ ચલોનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે જે અંદાજિત પરિમાણની આસપાસ કેટલાક ફેલાયેલા છે.

પરંતુ, એક નિયમ તરીકે, પ્રયોગના પરિણામે, સંશોધક પાસે તેના નિકાલ પર એક નમૂનો છે. તેથી, અંતરાલ અંદાજ મેળવવા માટે તે નોંધપાત્ર રસ ધરાવે છે, એટલે કે. ચોક્કસ અંતરાલ કે જેની અંદર, ધારી શકાય તેમ, પરિમાણનું સાચું મૂલ્ય રહેલું છે.

આંકડાઓના આધારે વસ્તીના પરિમાણો વિશે આત્મવિશ્વાસપૂર્ણ નિર્ણયો માટે પૂરતી તરીકે ઓળખાતી સંભાવનાઓને આત્મવિશ્વાસ કહેવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, પરિમાણનો અંદાજ કેવી રીતે કરવો તે ધ્યાનમાં લો.

પ્રમેય 1 અને 2, જો કે તે સામાન્ય છે, એટલે કે તે એકદમ વ્યાપક ધારણાઓ હેઠળ ઘડવામાં આવ્યા છે, તેઓ તે નક્કી કરવાનું શક્ય બનાવતા નથી કે અંદાજ અંદાજિત પરિમાણોની કેટલી નજીક છે. હકીકત એ છે કે -અંદાજ સુસંગત છે, તે ફક્ત અનુસરે છે કે જેમ જેમ નમૂનાનું કદ વધે છે, મૂલ્ય પી(|θ * – θ | < δ), δ < 0, приближается к 1.

નીચેના પ્રશ્નો ઉભા થાય છે.

1) નમૂનાનું કદ શું હોવું જોઈએ? p,જેથી નિર્દિષ્ટ ચોકસાઈ
|θ * – θ | = δ અગાઉ સ્વીકૃત સંભાવના સાથે બાંયધરી આપવામાં આવી હતી?

2) જો નમૂનાનું કદ જાણીતું હોય અને ભૂલ-મુક્ત નિષ્કર્ષની સંભાવના આપવામાં આવે તો અંદાજની ચોકસાઈ કેટલી છે?

3) નમૂનાના કદને જોતાં, નિર્દિષ્ટ અંદાજની ચોકસાઈ સુનિશ્ચિત કરવામાં આવશે તેવી સંભાવના કેટલી છે?

ચાલો આપણે કેટલીક નવી વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ.

વ્યાખ્યા. અસમાનતાને પરિપૂર્ણ કરવાની સંભાવના γ,|θ *– θ | < δ એ અંદાજ θ નું આત્મવિશ્વાસ સ્તર અથવા વિશ્વસનીયતા કહેવાય છે.

ચાલો અસમાનતામાંથી આગળ વધીએ | θ *–θ | < δ к двойному неравенству. Известно, что . Поэтому доверительную вероятность можно записать в виде

કારણ કે θ (અંદાજિત પરિમાણ) એક સ્થિર સંખ્યા છે, અને θ * - રેન્ડમ મૂલ્ય, આત્મવિશ્વાસની સંભાવનાની વિભાવના નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: આત્મવિશ્વાસ સંભાવના γ એ સંભાવના છે કે અંતરાલ ( θ *– δ, θ *+ δ) અંદાજિત પરિમાણને આવરી લે છે.

વ્યાખ્યા. રેન્ડમ અંતરાલ(θ *–δ , θ *+δ ), જેની અંદર અજ્ઞાત અંદાજિત પરિમાણ સંભાવના γ સાથે આવેલું હોય તેને વિશ્વાસ અંતરાલ İ કહેવાય છે, વિશ્વાસ ગુણાંકને અનુરૂપ γ,

İ= (θ*– δ, θ*+ δ ). (3)

આકારણીની વિશ્વસનીયતા γ અગાઉથી સ્પષ્ટ કરી શકાય છે, તો પછી, અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા રેન્ડમ ચલના વિતરણ કાયદાને જાણીને, વ્યક્તિ વિશ્વાસ અંતરાલ શોધી શકે છે İ . જ્યારે આપેલ આપેલ હોય ત્યારે વિપરીત સમસ્યા પણ હલ થાય છે İ અંદાજની અનુરૂપ વિશ્વસનીયતા જોવા મળે છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, γ = 0.95; પછી નંબર આર= 1 – y = 0.05 બતાવે છે કે આકારણીની વિશ્વસનીયતા વિશેના નિષ્કર્ષ કેટલી સંભાવના સાથે ભૂલભરેલા છે. નંબર р=1–γકહેવાય છે મહત્વનું સ્તર.વિશિષ્ટ કેસના આધારે મહત્વનું સ્તર અગાઉથી સેટ કરવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે આર 0.05 ની બરાબર લેવામાં આવે છે; 0.01; 0.001.

ચાલો જાણીએ કે સામાન્ય રીતે વિતરિત લાક્ષણિકતાની ગાણિતિક અપેક્ષા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ કેવી રીતે બનાવવો. તેવું દર્શાવવામાં આવ્યું છે

ચાલો નમૂનાના અર્થનો ઉપયોગ કરીને ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ લગાવીએ, તે ધ્યાનમાં લઈએ કે તેનું સામાન્ય વિતરણ* પણ છે. અમારી પાસે છે

(4)

અને ફોર્મ્યુલા (12.9.2) થી આપણને મળે છે

ધ્યાનમાં લેતા (13.5.12), અમે મેળવીએ છીએ

(5)

સંભાવના જાણવા દો γ . પછી

લેપ્લેસ ફંક્શનના ટેબલનો ઉપયોગ કરવાની સુવિધા માટે, ચાલો એ સેટ કરીએ

અંતરાલ

(7)

પરિમાણ આવરી લે છે a = એમ(એક્સ) સંભાવના સાથે γ .

મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં પ્રમાણભૂત વિચલન σ(X)જે લાક્ષણિકતાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે તે અજ્ઞાત છે. તેથી, તેના બદલે σ (એક્સ) મોટા નમૂના સાથે ( n> 30) સુધારેલ નમૂના પ્રમાણભૂત વિચલન લાગુ કરો s, જે બદલામાં એક અંદાજ છે σ (એક્સ), આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ જેવો દેખાશે

İ =

ઉદાહરણ.સંભાવના γ = 0.95 સાથે, માટે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધો એમ(એક્સ) - જવની વિવિધતા "મોસ્કોવ્સ્કી 121" ના કાનની લંબાઈ. વિતરણ એક કોષ્ટક દ્વારા નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવે છે જેમાં "ફેરફાર અંતરાલો (x i, એક્સ i+ 1) સંખ્યાઓ લેવામાં આવે છે, જુઓ કે રેન્ડમ ચલને ધ્યાનમાં લો એક્સસામાન્ય વિતરણને આધીન છે.

ઉકેલ. નમૂના મોટો છે ( n= 50). અમારી પાસે છે

ચાલો અંદાજની ચોકસાઈ શોધીએ

ચાલો આત્મવિશ્વાસની મર્યાદા વ્યાખ્યાયિત કરીએ:

આમ, વિશ્વસનીયતા સાથે γ = 0.95 ગાણિતિક અપેક્ષા વિશ્વાસ અંતરાલમાં સમાયેલ છે આઈ= (9,5; 10,3).

તેથી, મોટા નમૂનાના કિસ્સામાં ( n> 30), જ્યારે સુધારેલ પ્રમાણભૂત વિચલન વસ્તીમાં લાક્ષણિકતા મૂલ્યના પ્રમાણભૂત વિચલનથી સહેજ વિચલિત થાય છે, ત્યારે વિશ્વાસ અંતરાલ શોધી શકાય છે. પરંતુ મોટા નમૂના બનાવવા હંમેશા શક્ય નથી અને તે હંમેશા સલાહભર્યું નથી. (7) થી તે સ્પષ્ટ છે કે નાનું p,વિશ્વાસ અંતરાલ જેટલો વિશાળ, એટલે કે. આઈનમૂનાના કદ પર આધાર રાખે છે પી.

અંગ્રેજી આંકડાશાસ્ત્રી ગોસેટ (ઉપનામ વિદ્યાર્થી) એ સાબિત કર્યું કે લાક્ષણિકતાના સામાન્ય વિતરણના કિસ્સામાં એક્સસામાન્યીકરણની સામાન્ય વસ્તીમાં એક રેન્ડમ ચલ

(8)

માત્ર નમૂનાના કદ પર આધાર રાખે છે. રેન્ડમ ચલનું વિતરણ કાર્ય મળી આવ્યું હતું ટીઅને સંભાવના પી(ટી < t γ), t γ- આકારણી ચોકસાઈ. સમાનતા દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કાર્ય

s (n, t γ) = પી(|ટી| < t γ) = γ (9)

નામ આપવામાં આવ્યું છે વિદ્યાર્થીનું ટી-વિતરણસાથે n- સ્વતંત્રતાની 1 ડિગ્રી. ફોર્મ્યુલા (9) રેન્ડમ ચલને સંબંધિત કરે છે ટી,આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ İ અને આત્મવિશ્વાસની સંભાવના γ . તેમાંથી બેને જાણીને, તમે ત્રીજાને શોધી શકો છો. ધ્યાનમાં લેતા (8), અમારી પાસે છે

(10)

અમે (13.7.10) ની ડાબી બાજુની અસમાનતાને સમકક્ષ અસમાનતા સાથે બદલીએ છીએ . પરિણામે આપણને મળે છે

(11)

જ્યાં t γ=t(γ ,n). કાર્ય માટે t γકોષ્ટકોનું સંકલન કરવામાં આવ્યું છે (જુઓ પરિશિષ્ટ 5). મુ n>30મી t γઅને ટી,કોષ્ટકમાંથી મળેલ લેપ્લેસ કાર્યો વ્યવહારીક રીતે એકરૂપ થાય છે.

માનક વિચલનનો અંદાજ કાઢવા માટે વિશ્વાસ અંતરાલ σ xસામાન્ય વિતરણના કિસ્સામાં.

પ્રમેય.તે જાણી લઈએ કે રેન્ડમ વેરીએબલનું સામાન્ય વિતરણ છે. પછી આ કાયદાના પરિમાણ σ x નો અંદાજ કાઢવા માટે, સમાનતા ધરાવે છે

(12)

જ્યાંγ – સેમ્પલ સાઈઝ n અને અંદાજ β ની ચોકસાઈના આધારે આત્મવિશ્વાસની સંભાવના.

કાર્ય γ = Ψ (n, β )નો સારી રીતે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો છે. તે નક્કી કરવા માટે વપરાય છે β = β (γ ,n). માટે β = β (γ ,n) કોષ્ટકો જાણીતા અનુસાર સંકલિત કરવામાં આવ્યા છે n(નમૂના કદ) અને γ (આત્મવિશ્વાસની સંભાવના) નક્કી થાય છે β .

ઉદાહરણ.સામાન્ય રીતે વિતરિત રેન્ડમ ચલના પરિમાણનો અંદાજ કાઢવા માટે, એક નમૂનો બનાવવામાં આવ્યો હતો (50 ગાયોની દૈનિક દૂધની ઉપજ) અને ગણતરી કરવામાં આવી હતી. s= 1.5. સંભાવના સાથેના આત્મવિશ્વાસ અંતરાલને શોધો γ = 0,95.

ઉકેલ. ટેબલ મુજબ β (γ , p)માટે n= 50 અને γ = 0.95 આપણે શોધીએ છીએ β = 0.21 (જુઓ પરિશિષ્ટ 6).

અસમાનતા (13) અનુસાર, આપણે વિશ્વાસ અંતરાલની સીમાઓ શોધીએ છીએ. અમારી પાસે છે

1.5 – 0.21·1.5 = 1.185; 1.5 + 0.21 1.5 = 1.185;