સમાન વોલ્યુમ ધરાવતી બે આકૃતિઓને સમાન કદ કહેવામાં આવે છે. સમાન અને સમાન આંકડા

VIII વર્ગ: વિષય 3. આંકડાઓના વિસ્તારો. પાયથાગોરિયન પ્રમેય.

1. વિસ્તારનો ખ્યાલ. સમાન કદના આંકડા.

જો લંબાઈ એ રેખાની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે, તો વિસ્તાર એ બંધ આકૃતિની સંખ્યાત્મક લાક્ષણિકતા છે. એ હકીકત હોવા છતાં કે આપણે રોજિંદા જીવનમાંથી વિસ્તારના ખ્યાલથી સારી રીતે પરિચિત છીએ, આ ખ્યાલને કડક વ્યાખ્યા આપવી સરળ નથી. તે તારણ આપે છે કે બંધ આકૃતિના ક્ષેત્રફળને નીચેની બાબતો ધરાવતી કોઈપણ બિન-નકારાત્મક જથ્થા કહી શકાય. આકૃતિઓના ક્ષેત્રોને માપવાના ગુણધર્મો:

સમાન આંકડાઓમાં સમાન ક્ષેત્રો છે. જો આપેલ બંધ આકૃતિને ઘણી બંધ આકૃતિઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે, તો આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ તેના ઘટક આકૃતિઓના ક્ષેત્રોના સરવાળા જેટલું છે (આકૃતિ 1 માં આકૃતિ વિભાજિત કરવામાં આવી છે. nઆંકડા આ કિસ્સામાં, આકૃતિનો વિસ્તાર, જ્યાં સિ- ચોરસ i-મી આકૃતિ).

સૈદ્ધાંતિક રીતે, તે જથ્થાના સમૂહ સાથે આવવું શક્ય બનશે જેમાં રચનાત્મક ગુણધર્મો હોય, અને તેથી આકૃતિના ક્ષેત્રને લાક્ષણિકતા આપો. પરંતુ સૌથી વધુ પરિચિત અને અનુકૂળ મૂલ્ય એ છે કે જે ચોરસના વિસ્તારને તેની બાજુના ચોરસ તરીકે દર્શાવે છે. ચાલો આ "કરાર" ને આંકડાઓના ક્ષેત્રોને માપવાની ત્રીજી મિલકત કહીએ:

ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુના ચોરસ જેટલું છે (આકૃતિ 2).

આ વ્યાખ્યા સાથે, આંકડાઓનો વિસ્તાર ચોરસ એકમોમાં માપવામાં આવે છે ( સેમી 2, કિમી 2, ha=100m 2).

આંકડા સમાન વિસ્તારો હોવાનું કહેવાય છે કદમાં સમાન .

ટિપ્પણી: સમાન આંકડાઓમાં સમાન ક્ષેત્રો હોય છે, એટલે કે, સમાન આંકડાઓ કદમાં સમાન હોય છે. પરંતુ સમાન-કદના આંકડા હંમેશા સમાન હોતા નથી (ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 3 એક ચોરસ અને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બતાવે છે જે સમાન જમણા ખૂણાવાળા ત્રિકોણથી બનેલો છે (માર્ગ દ્વારા, જેમ કે, આંકડા કહેવાય છે સમાન રીતે બનેલું ); તે સ્પષ્ટ છે કે ચોરસ અને ત્રિકોણ કદમાં સમાન છે, પરંતુ સમાન નથી, કારણ કે તેઓ ઓવરલેપ થતા નથી).

આગળ, અમે આકૃતિઓના ક્ષેત્રોને માપવાના ઘડવામાં આવેલા ગુણધર્મોના આધારે તમામ મુખ્ય પ્રકારના બહુકોણ (લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના જાણીતા સૂત્ર સહિત) ના ક્ષેત્રોની ગણતરી માટે સૂત્રો મેળવીશું.

2. લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ. સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ.

લંબચોરસના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર: લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બે અડીને બાજુઓ (આકૃતિ 4) ના ગુણાંક જેટલું છે.

આપેલ:

એબીસીડી- લંબચોરસ;

ઈ.સ=a, એબી=b.

સાબિત કરો: SABCD=a× b.

પુરાવો:

1. બાજુ વિસ્તૃત કરો એબીએક સેગમેન્ટ માટે બી.પી.=a, અને બાજુ ઈ.સ- એક સેગમેન્ટ માટે ડી.વી.=b. ચાલો એક સમાંતરગ્રામ બનાવીએ APRV(આકૃતિ 4). ત્યારથી Ð એ=90°, APRV- લંબચોરસ. તે જ સમયે એપી=a+b=એ.વી, Þ APRV- બાજુ સાથેનો ચોરસ ( a+b).

2. ચાલો સૂચિત કરીએ બી.સી.Ç આર.વી=ટી, સીડીÇ પીઆર=પ્ર. પછી BCQP- બાજુ સાથેનો ચોરસ a, સીડીવીટી- બાજુ સાથેનો ચોરસ b, CQRT- બાજુઓ સાથે લંબચોરસ aઅને b.

સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર: સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ તેની ઊંચાઈ અને તેના આધાર (આકૃતિ 5) ના ગુણાંક જેટલું છે.

ટિપ્પણી: સમાંતર ચતુષ્કોણના આધારને સામાન્ય રીતે તે બાજુ કહેવામાં આવે છે જેમાં ઊંચાઈ દોરવામાં આવે છે; તે સ્પષ્ટ છે કે સમાંતરગ્રામની કોઈપણ બાજુ આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે.

આપેલ:

એબીસીડી- p/g;

બી.એચ.^ઈ.સ, એચÎ ઈ.સ.

સાબિત કરો: SABCD=ઈ.સ× બી.એચ..

પુરાવો:

1. ચાલો તેને આધાર પર લઈ જઈએ ઈ.સઊંચાઈ સીએફ(આકૃતિ 5).

2. બી.સી.ïê એચએફ, બી.એચ.ïê સીએફ, Þ બીસીએફએચ- વ્યાખ્યા દ્વારા p/g. Ð એચ=90°, Þ બીસીએફએચ- લંબચોરસ.

3. બીસીએફએચ– p/g, Þ p/g ગુણધર્મ અનુસાર બી.એચ.=સીએફ, Þ ડી બીએએચ=D સીડીએફકર્ણ અને પગ સાથે ( એબી=સીડીસેન્ટ. p/g અનુસાર, બી.એચ.=સીએફ).

4. SABCD=SABCF+એસડી સીડીએફ=SABCF+એસડી બીએએચ=SBCFH=બી.એચ.× બી.સી.=બી.એચ.× ઈ.સ. #

3. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર: ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ તેની ઊંચાઈ અને તેના આધાર (આકૃતિ 6)ના અડધા ઉત્પાદન જેટલું છે.

ટિપ્પણી: આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણનો આધાર એ બાજુ છે કે જેના પર ઊંચાઈ દોરવામાં આવે છે. ત્રિકોણની ત્રણ બાજુઓમાંથી કોઈપણ તેના આધાર તરીકે સેવા આપી શકે છે.

આપેલ:

બી.ડી^A.C., ડીÎ A.C..

સાબિત કરો: .

પુરાવો:

1. ચાલો ડી પૂર્ણ કરીએ ABC p/y થી એબીકેસીશિરોબિંદુમાંથી પસાર થઈને બીપ્રત્યક્ષ બી.કે.ïê A.C., અને ટોચ મારફતે સી- સીધા સી.કેïê એબી(આકૃતિ 6).

2. ડી ABC=D કેસીબીત્રણ બાજુએ ( બી.સી.- સામાન્ય, એબી=કે.સીઅને A.C.=કે.બી. St. p/g અનુસાર), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

કોરોલરી 2: જો આપણે p/u ડીને ધ્યાનમાં લઈએ ABCઊંચાઈ સાથે એ.એચ., કર્ણ તરફ દોરવામાં આવે છે બી.સી., તે . આમ, p/u માં કર્ણ તરફ દોરવામાં આવેલી ડી-કેની ઊંચાઈ તેના પગના ઉત્પાદનના ગુણોત્તર અને કર્ણના ગુણોત્તર જેટલી છે. . સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે આ સંબંધનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે.

4. ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટેના સૂત્રમાંથી કોરોલરીઝ: સમાન ઊંચાઈ અથવા પાયાવાળા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર; આકૃતિઓમાં સમાન ત્રિકોણ; બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કર્ણ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની મિલકત.

ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેના સૂત્રમાંથી, બે પરિણામો પ્રાથમિક રીતે અનુસરે છે:

1. સમાન ઊંચાઈવાળા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર તેમના પાયાના ગુણોત્તર સમાન (આકૃતિ 8 માં ).

2. સમાન પાયાવાળા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર તેમની ઊંચાઈના ગુણોત્તર સમાન (આકૃતિ 9 માં ).

ટિપ્પણી: સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, સામાન્ય ઊંચાઈવાળા ત્રિકોણનો વારંવાર સામનો કરવો પડે છે. આ કિસ્સામાં, એક નિયમ તરીકે, તેમના પાયા સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે, અને પાયાની વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ સામાન્ય છે (ઉદાહરણ તરીકે, આકૃતિ 10 માં એસ 1:એસ 2:એસ 3=a:b:c). તમારે આવા ત્રિકોણની કુલ ઊંચાઈ જોવાનું શીખવું જોઈએ.

ઉપરાંત, ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર ઉપયોગી તથ્યો આપે છે જે તમને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. આકૃતિઓમાં સમાન ત્રિકોણ:

1. મનસ્વી ત્રિકોણનો મધ્યક તેને બે સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે (આકૃતિ 11 માં ડી A.B.M.અને ડી ACMઊંચાઈ એ.એચ.- સામાન્ય અને આધારો બી.એમ.અને સી.એમ.મધ્યની વ્યાખ્યા દ્વારા સમાન; તે અનુસરે છે કે ડી A.B.M.અને ડી ACMકદમાં સમાન).

2. સમાંતરગ્રામના કર્ણ તેને ચાર સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજીત કરે છે (આકૃતિ 12 માં એ.ઓ.- ત્રિકોણનો મધ્યક એબીડીત્રિકોણના અગાઉના ગુણધર્મને કારણે કર્ણ p/g, Þના ગુણધર્મ દ્વારા ABOઅને ADOકદમાં સમાન; કારણ કે બી.ઓ.- ત્રિકોણનો મધ્યક ABC, ત્રિકોણ ABOઅને બીસીઓકદમાં સમાન; કારણ કે CO- ત્રિકોણનો મધ્યક BCD, ત્રિકોણ બીસીઓઅને ડીસીઓકદમાં સમાન; આમ, એસડી ADO=એસડી ABO=એસડી બીસીઓ=એસડી ડીસીઓ).

3. ટ્રેપેઝોઇડના કર્ણ તેને ચાર ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે; તેમાંથી બે, બાજુની બાજુઓને અડીને, કદમાં સમાન છે (આકૃતિ 13).

આપેલ:

એબીસીડી- ટ્રેપેઝોઇડ;

બી.સી.ïê ઈ.સ; A.C.Ç બી.ડી=ઓ.

સાબિત કરો: એસડી ABO=એસડી ડીસીઓ.

પુરાવો:

1. ચાલો ઊંચાઈઓ દોરીએ બી.એફ.અને સીએચ(આકૃતિ 13). પછી ડી એબીડીઅને ડી એસીડીઆધાર ઈ.સ- સામાન્ય અને ઊંચાઈ બી.એફ.અને સીએચસમાન Þ એસડી એબીડી=એસડી એસીડી.

2. એસડી ABO=એસડી એબીડી ‑ એસડી AOD=એસડી એસીડી ‑ એસડી AOD=એસડી ડીસીઓ. #

જો તમે બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ (આકૃતિ 14) ના કર્ણ દોરો છો, તો ચાર ત્રિકોણ રચાય છે, જેનાં ક્ષેત્રો ખૂબ જ સરળ રીતે યાદ રહે તેવા ગુણોત્તરથી સંબંધિત છે. આ સંબંધની વ્યુત્પત્તિ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેના સૂત્ર પર જ આધાર રાખે છે; જો કે, તે સાહિત્યમાં ભાગ્યે જ જોવા મળે છે. સમસ્યાઓના નિરાકરણમાં ઉપયોગી હોવાથી, નીચે ઘડવામાં આવશે અને સાબિત થશે તે સંબંધ ખૂબ ધ્યાન આપવાને પાત્ર છે:

બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કર્ણ દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની મિલકત: જો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કર્ણ એબીસીડીએક બિંદુ પર છેદે ઓ, પછી (આકૃતિ 14).

એબીસીડી- બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

પુરાવો:

1. બી.એફ.- એકંદર ઊંચાઈ ડી AOBઅને ડી બીઓસી; Þ એસડી AOB:એસડી બીઓસી=એ.ઓ.:CO.

2. ડી.એચ.- એકંદર ઊંચાઈ ડી AODઅને ડી C.O.D.; Þ એસડી AOD:એસડી C.O.D.=એ.ઓ.:CO.

5. સમાન ખૂણા ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર.

સમાન ખૂણા ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ગુણોત્તર પર પ્રમેય: સમાન ખૂણો ધરાવતા ત્રિકોણના વિસ્તારો આ ખૂણાઓને બંધ કરતી બાજુઓના ઉત્પાદન તરીકે સંબંધિત છે (આકૃતિ 15).

આપેલ:

ડી ABC, ડી એ 1બી 1સી 1;

Ð બી.એ.સી=Ð બી 1એ 1સી 1.

સાબિત કરો:

.

પુરાવો:

1. તેને રે પર નીચે મૂકો એબીસેગમેન્ટ એબી 2=એ 1બી 1, અને બીમ પર A.C.- સેગમેન્ટ A.C. 2=એ 1સી 1 (આકૃતિ 15). પછી ડી એબી 2સી 2=ડી એ 1બી 1સીબે બાજુઓ પર 1 અને તેમની વચ્ચેનો કોણ ( એબી 2=એ 1બી 1 અને A.C. 2=એ 1સીબાંધકામ દ્વારા 1, અને આર બી 2A.C. 2=р બી 1એ 1સી 1 શરત દ્વારા). મતલબ, .

2. બિંદુઓને જોડો સીઅને બી 2.

3. સીએચ- એકંદર ઊંચાઈ ડી એબી 2સીઅને ડી ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મિલકત.

સમાન ખૂણા ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ગુણોત્તર અને સમાન ઊંચાઈવાળા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોના ગુણોત્તર પરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને, અમે ફક્ત એક હકીકતને સાબિત કરીએ છીએ જે સમસ્યાઓ હલ કરવામાં અત્યંત ઉપયોગી છે અને તે આંકડાઓના ક્ષેત્રો સાથે સીધો સંબંધિત નથી. :

ત્રિકોણ દ્વિભાજક ગુણધર્મ:ત્રિકોણનો દ્વિભાજક તે બાજુને વિભાજિત કરે છે કે જેના પર તે તેમની બાજુની બાજુઓના પ્રમાણસર ભાગોમાં દોરવામાં આવે છે.

આપેલ:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

પુરાવો:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. પોઈન્ટ 1 અને 2 થી આપણને મળે છે: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

ટિપ્પણી:આત્યંતિક સભ્યો અથવા મધ્યમ સભ્યોને યોગ્ય પ્રમાણમાં બદલી શકાય છે, તેથી નીચેના સ્વરૂપમાં ત્રિકોણના દ્વિભાજકની મિલકતને યાદ રાખવી વધુ અનુકૂળ છે (આકૃતિ 16): .

7. ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર.

ટ્રેપેઝોઇડના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર: ટ્રેપેઝોઇડનું ક્ષેત્રફળ તેની ઊંચાઈના ઉત્પાદન અને તેના પાયાના અડધા સરવાળા જેટલું છે.

આપેલ:

એબીસીડી- ટ્રેપેઝોઇડ;

બી.સી.ïê ઈ.સ;

બી.એચ.- ઊંચાઈ.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

પુરાવો:

1. ચાલો એક કર્ણ દોરીએ બી.ડીઅને ઊંચાઈ ડીએફ(આકૃતિ 17). BHDF- લંબચોરસ, Þ બી.એચ. = ડીએફ.

પરિણામ: સમાન ઊંચાઈવાળા ટ્રેપેઝોઈડના વિસ્તારોનો ગુણોત્તર તેમની મધ્ય રેખાઓના ગુણોત્તર (અથવા પાયાના સરવાળાના ગુણોત્તર) જેટલો છે.

8. પરસ્પર લંબરૂપ કર્ણ સાથે ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ.

પરસ્પર લંબરૂપ કર્ણ સાથે ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટેનું સૂત્ર: પરસ્પર લંબરૂપ કર્ણવાળા ચતુર્ભુજનું ક્ષેત્રફળ તેના કર્ણના અડધા ગુણાંક જેટલું છે.

એબીસીડી- ચતુષ્કોણ;

A.C.^બી.ડી.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

પુરાવો:

1. ચાલો સૂચિત કરીએ A.C.Ç બી.ડી=ઓ. કારણ કે A.C.^બી.ડી, એ.ઓ.- ઊંચાઈ ડી એબીડી, એ CO- ઊંચાઈ ડી સીબીડી(અનુક્રમે બહિર્મુખ અને બિન-બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કિસ્સાઓ માટે આકૃતિઓ 18a અને 18b).

2.
(ચિહ્નો “+” અથવા “-” અનુક્રમે બહિર્મુખ અને બિન-બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના કિસ્સાઓને અનુરૂપ છે). #

પાયથાગોરિયન પ્રમેય વિવિધ પ્રકારની સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં અત્યંત મહત્વની ભૂમિકા ભજવે છે; તે તમને તેની બે જાણીતી બાજુઓના આધારે કાટકોણ ત્રિકોણની અજાણી બાજુ શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેયના ઘણા જાણીતા પુરાવા છે. ચાલો ચોરસ અને ત્રિકોણના ક્ષેત્રોની ગણતરી કરવા માટેના સૂત્રોના આધારે તેમાંથી સૌથી સરળ રજૂ કરીએ:

પાયથાગોરિયન પ્રમેય: કાટકોણ ત્રિકોણમાં, કર્ણનો વર્ગ પગના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય છે.

આપેલ:

ડી ABC- p/u;

Ð એ=90°.

સાબિત કરો:

બી.સી. 2=એબી 2+A.C. 2.

પુરાવો:

1. ચાલો સૂચિત કરીએ A.C.=a, એબી=b. ચાલો તેને કિરણ પર મૂકીએ એબીસેગમેન્ટ બી.પી.=a, અને બીમ પર A.C.- સેગમેન્ટ સીવી=b(આકૃતિ 19). ચાલો બિંદુ દ્વારા દોરીએ પીપ્રત્યક્ષ પીઆરïê એ.વી, અને બિંદુ દ્વારા વી- સીધા વી.આરïê એપી. પછી APRV- વ્યાખ્યા દ્વારા p/g. તદુપરાંત, ત્યારથી આર એ=90°, APRV- લંબચોરસ. અને કારણ કે એ.વી=a+b=એપી, APRV- બાજુ સાથેનો ચોરસ a+b, અને એસએપીઆરવી=(a+b)2. આગળ આપણે બાજુને વિભાજીત કરીશું પીઆરબિંદુ પ્રવિભાગોમાં PQ=bઅને QR=a, અને બાજુ આર.વી- બિંદુ ટીવિભાગોમાં આરટી=bઅને ટીવી=a.

2. ડી ABC=D PQB=D RTQ=D વીસીટીબે બાજુએ, Þ Ð એસીબી=Ð PBQ=Ð આરક્યુટી=Ð વીટીસી, બી.સી.=QB=T.Q.=સી.ટી., અને https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. કારણ કે બી.સી.=QB=T.Q.=સી.ટી., સીબીક્યુટી- સમચતુર્ભુજ તે જ સમયે QBC=180°-(р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð એસીબી)=Ð બી.એ.સી=90°; Þ સીબીક્યુટી- ચોરસ, અને SCBQT=બી.સી. 2.

4. તેથી, બી.સી. 2=એબી 2+A.C. 2. #

વ્યસ્ત પાયથાગોરિયન પ્રમેય એ કાટકોણ ત્રિકોણની નિશાની છે, એટલે કે, તે તમને ત્રિકોણની ત્રણ જાણીતી બાજુઓનો ઉપયોગ કરીને તપાસવાની મંજૂરી આપે છે કે તે જમણો છે કે કેમ.

પાયથાગોરિયન પ્રમેયની વાત કરો: જો ત્રિકોણની એક બાજુનો વર્ગ તેની બીજી બે બાજુઓના ચોરસના સરવાળા જેટલો હોય, તો ત્રિકોણ જમણો ખૂણો હોય છે અને તેની સૌથી લાંબી બાજુ કર્ણ છે.

આપેલ:

બી.સી. 2=એબી 2+A.C. 2.

સાબિત કરો:ડી ABC- p/u;

Ð એ=90°.

પુરાવો:

1. જમણો ખૂણો બનાવો એ 1 અને તેની બાજુઓ પર સેગમેન્ટ્સ મૂકો એ 1બી 1=એબીઅને એ 1સી 1=A.C.(આકૃતિ 20). પરિણામી p/u માં ડી એ 1બી 1સીપાયથાગોરિયન પ્રમેય દ્વારા 1 બી 1સી 12=એ 1બી 12+એ 1સી 12=એબી 2+A.C. 2; પરંતુ શરત મુજબ એબી 2+A.C. 2=બી.સી. 2; Þ બી 1સી 12=બી.સી. 2, Þ બી 1સી 1=બી.સી..

2. ડી ABC=D એ 1બી 1સી 1 ત્રણ બાજુએ ( એ 1બી 1=એબીઅને એ 1સી 1=A.C.બાંધકામ દ્વારા, બી 1સી 1=બી.સી.બિંદુ 1 થી), Þ Ð એ=Ð એ 1=90°, Þ D ABC- p/u. #

કાટકોણ ત્રિકોણ કે જેની બાજુની લંબાઈ કુદરતી સંખ્યામાં દર્શાવવામાં આવે છે તેને કહેવામાં આવે છે પાયથાગોરિયન ત્રિકોણ , અને અનુરૂપ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ત્રિપુટીઓ છે પાયથાગોરિયન ત્રિપુટી . પાયથાગોરિયન ત્રિપુટીઓ યાદ રાખવા માટે ઉપયોગી છે (આમાંની મોટી સંખ્યા અન્ય બેના ચોરસના સરવાળા જેટલી છે). અહીં કેટલાક પાયથાગોરિયન ટ્રિપલ છે:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

3, 4, 5 બાજુઓ સાથેનો કાટકોણ ત્રિકોણનો ઉપયોગ ઇજિપ્તમાં કાટખૂણો બાંધવા માટે કરવામાં આવતો હતો અને તેથી આવા ત્રિકોણ કહેવાય છે ઇજિપ્તીયન .

10. હેરોનનું સૂત્ર.

હેરોનનું સૂત્ર તમને તેની ત્રણ જાણીતી બાજુઓમાંથી મનસ્વી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની મંજૂરી આપે છે અને ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવામાં અનિવાર્ય છે.

બગલાનું સૂત્ર: બાજુઓ સાથે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ a, bઅને cનીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે: , ત્રિકોણની અર્ધ-પરિમિતિ ક્યાં છે.

આપેલ:

બી.સી.=a; A.C.=b; એબી=c.). પછી .

4. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી માટે સૂત્રમાં ઊંચાઈ માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિને બદલો: #

રોજિંદા જીવનમાં, આપણે ઘણી જુદી જુદી વસ્તુઓથી ઘેરાયેલા છીએ. તેમાંના કેટલાક સમાન કદ અને સમાન આકાર ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બે સરખા શીટ્સ અથવા સાબુના બે સરખા બાર, બે સરખા સિક્કા વગેરે.

ભૂમિતિમાં, સમાન કદ અને આકાર ધરાવતી આકૃતિઓ કહેવામાં આવે છે સમાન આંકડા. નીચેની આકૃતિ બે આકૃતિઓ A1 અને A2 દર્શાવે છે. આ આંકડાઓની સમાનતા સ્થાપિત કરવા માટે, આપણે તેમાંથી એકને ટ્રેસિંગ પેપર પર નકલ કરવાની જરૂર છે. અને પછી ટ્રેસિંગ પેપરને ખસેડો અને એક આકૃતિની નકલને બીજી આકૃતિ સાથે જોડો. જો તેઓ મેળ ખાતા હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે આ આંકડાઓ સમાન આંકડા છે. આ કિસ્સામાં, સામાન્ય સમાન ચિહ્નનો ઉપયોગ કરીને A1 = A2 લખો.

બે ભૌમિતિક આકૃતિઓની સમાનતા નક્કી કરવી

આપણે કલ્પના કરી શકીએ છીએ કે પ્રથમ આકૃતિ બીજા આકૃતિ પર લગાવવામાં આવી હતી, અને ટ્રેસિંગ પેપર પર તેની નકલ નથી. તેથી, ભવિષ્યમાં આપણે બીજી આકૃતિ પર તેની નકલ નહીં, પણ આકૃતિને જ સુપરઇમ્પોઝ કરવા વિશે વાત કરીશું. ઉપરના આધારે, આપણે એક વ્યાખ્યા ઘડી શકીએ છીએ બે ભૌમિતિક આકૃતિઓની સમાનતા.

બે ભૌમિતિક આકૃતિઓ સમાન કહેવાય છે જો તેઓને એક આકૃતિને બીજી પર સુપરઇમ્પોઝ કરીને જોડી શકાય. ભૂમિતિમાં, કેટલાક ભૌમિતિક આકૃતિઓ (ઉદાહરણ તરીકે, ત્રિકોણ) માટે, વિશિષ્ટ લાક્ષણિકતાઓ ઘડવામાં આવે છે, જ્યારે પરિપૂર્ણ થાય છે, ત્યારે આપણે કહી શકીએ કે આકૃતિઓ સમાન છે.

તમારા અભ્યાસમાં મદદની જરૂર છે?

આકૃતિઓ સમાન કહેવાય છે જો તેમનો આકાર અને કદ સમાન હોય.આ વ્યાખ્યા પરથી તે અનુસરે છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો આપેલ લંબચોરસ અને ચોરસ સમાન ક્ષેત્રો ધરાવે છે, તો પણ તેઓ સમાન આકૃતિઓ બની શકતા નથી, કારણ કે આ આકારમાં વિવિધ આકૃતિઓ છે. અથવા, બે વર્તુળો ચોક્કસપણે સમાન આકાર ધરાવે છે, પરંતુ જો તેમની ત્રિજ્યા અલગ હોય, તો તે સમાન આંકડાઓ પણ નથી, કારણ કે તેમના કદ મેળ ખાતા નથી. સમાન આકૃતિઓ છે, ઉદાહરણ તરીકે, સમાન લંબાઈના બે વિભાગો, સમાન ત્રિજ્યાવાળા બે વર્તુળો, જોડીની સમાન બાજુઓવાળા બે લંબચોરસ (એક લંબચોરસની ટૂંકી બાજુ બીજાની ટૂંકી બાજુ સમાન છે, એક લંબચોરસની લાંબી બાજુ) અન્યની લાંબી બાજુ સમાન છે).

સમાન આકારના આંકડા સમાન છે કે કેમ તે આંખ દ્વારા નક્કી કરવું મુશ્કેલ બની શકે છે. તેથી, સરળ આંકડાઓની સમાનતા નક્કી કરવા માટે, તેઓ માપવામાં આવે છે (શાસક અથવા હોકાયંત્રનો ઉપયોગ કરીને). વિભાગોમાં લંબાઈ હોય છે, વર્તુળોમાં ત્રિજ્યા હોય છે, લંબચોરસની લંબાઈ અને પહોળાઈ હોય છે, ચોરસની માત્ર એક બાજુ હોય છે. અહીં એ નોંધવું જોઈએ કે તમામ આંકડાઓની સરખામણી કરી શકાતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, રેખાઓની સમાનતા નક્કી કરવી અશક્ય છે, કારણ કે કોઈપણ રેખા અનંત છે અને તેથી, બધી રેખાઓ એકબીજાની સમાન હોવાનું કહી શકાય. તે જ કિરણો માટે જાય છે. તેમની શરૂઆત હોવા છતાં, તેમનો કોઈ અંત નથી.

જો આપણે જટિલ (મનસ્વી) આકૃતિઓ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ, તો તે નક્કી કરવું પણ મુશ્કેલ હોઈ શકે છે કે તેઓ સમાન આકાર ધરાવે છે કે કેમ. છેવટે, આકૃતિઓ અવકાશમાં ઊંધી કરી શકાય છે. નીચેનું ચિત્ર જુઓ. આ આંકડાઓ આકારમાં સમાન છે કે નહીં તે કહેવું મુશ્કેલ છે.

આમ, આંકડાઓની સરખામણી કરવા માટે વિશ્વસનીય સિદ્ધાંત હોવો જરૂરી છે. તે આના જેવું છે: સમાન આંકડાઓ જ્યારે એકબીજા પર લાગુ થાય છે ત્યારે એકરૂપ થાય છે.

સુપરપોઝિશન દ્વારા બે ચિત્રિત આકૃતિઓની તુલના કરવા માટે, તેમાંથી એક પર ટ્રેસિંગ પેપર (પારદર્શક કાગળ) લાગુ કરો અને તેના પર આકૃતિના આકારની નકલ (ડ્રો) કરો. તેઓ બીજા આકૃતિ પર ટ્રેસીંગ પેપર પર એક નકલ મૂકવાનો પ્રયાસ કરે છે જેથી આંકડાઓ એકરૂપ થાય. જો આ સફળ થાય છે, તો આપેલ આંકડા સમાન છે. જો નહીં, તો પછી આંકડા સમાન નથી. ટ્રેસિંગ પેપર લગાવતી વખતે, તમે તેને ગમે તે રીતે ફેરવી શકો છો, તેમજ તેને ફેરવી શકો છો.

જો તમે આકારો જાતે કાપી શકો છો (અથવા તે અલગ સપાટ પદાર્થો છે અને દોરેલા નથી), તો પછી ટ્રેસિંગ કાગળની જરૂર નથી.

ભૌમિતિક આકૃતિઓનો અભ્યાસ કરતી વખતે, તમે તેમના ભાગોની સમાનતા સાથે સંકળાયેલ તેમની ઘણી સુવિધાઓ જોઈ શકો છો. તેથી, જો તમે વ્યાસ સાથે વર્તુળને ફોલ્ડ કરો છો, તો તેના બે ભાગો સમાન હશે (તે ઓવરલેપ દ્વારા એકરૂપ થશે). જો તમે લંબચોરસને ત્રાંસાથી કાપો છો, તો તમને બે જમણા ત્રિકોણ મળશે. જો તેમાંથી એકને 180 ડિગ્રી ઘડિયાળની દિશામાં અથવા કાઉન્ટરક્લોકવાઇઝમાં ફેરવવામાં આવે, તો તે બીજા સાથે એકરુપ થશે. એટલે કે, કર્ણ લંબચોરસને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે.

કયા આંકડાઓને સમાન કહેવામાં આવે છે?

આંકડા સમાન કહેવાય છે, જે સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે ત્યારે એકરૂપ થાય છે.

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપતી વખતે સામાન્ય ભૂલ એ છે કે ભૌમિતિક આકૃતિની સમાન બાજુઓ અને ખૂણાઓનો ઉલ્લેખ કરીને જવાબ આપવો. જો કે, આ ધ્યાનમાં લેતું નથી કે ભૌમિતિક આકૃતિની બાજુઓ સીધી હોવી જરૂરી નથી. તેથી, માત્ર ભૌમિતિક આકૃતિઓનો સંયોગ જ્યારે સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે ત્યારે તેમની સમાનતાની નિશાની હોઈ શકે છે.

વ્યવહારમાં, ઓવરલેનો ઉપયોગ કરીને આ તપાસવું સરળ છે;

બધું ખૂબ જ સરળ અને સુલભ છે, સામાન્ય રીતે સમાન આંકડા તરત જ દેખાય છે.

સમાન આંકડાઓ તે છે જેમના ભૂમિતિના પરિમાણો એકરૂપ થાય છે. આ પરિમાણો છે: બાજુઓની લંબાઈ, ખૂણાઓનું કદ, જાડાઈ.

આકૃતિઓ સમાન છે તે સમજવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો ઓવરલેનો ઉપયોગ કરવાનો છે. જો આકૃતિઓના કદ સમાન હોય, તો તેને સમાન કહેવામાં આવે છે.

સમાનફક્ત તે જ ભૌમિતિક આકૃતિઓ કે જેમાં બરાબર સમાન પરિમાણો છે તેનું નામ આપવામાં આવ્યું છે:

1) પરિમિતિ;

2) વિસ્તાર;

4) પરિમાણો.

એટલે કે, જો એક આકૃતિ બીજા પર લગાવવામાં આવે છે, તો તે એકરૂપ થશે.

જો આકૃતિઓ સમાન પરિમિતિ અથવા વિસ્તાર ધરાવે છે, તો તે સમાન છે તેવું માનવું એક ભૂલ છે. વાસ્તવમાં, સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતા ભૌમિતિક આકૃતિઓને ક્ષેત્રફળમાં સમાન કહેવામાં આવે છે.

જ્યારે સમાન આકૃતિઓ સમાન કદ, આકાર, ક્ષેત્રફળ અને પરિમિતિ ધરાવે છે ત્યારે આકૃતિઓને સમાન કહેવામાં આવે છે. પરંતુ ક્ષેત્રફળમાં સમાન હોય તેવા આંકડાઓ એકબીજાના સમાન ન હોઈ શકે.

ભૂમિતિમાં, નિયમો અનુસાર, સમાન આંકડાઓમાં સમાન ક્ષેત્ર અને પરિમિતિ હોવી આવશ્યક છે, એટલે કે, તેમની પાસે એકદમ સમાન આકારો અને કદ હોવા જોઈએ. અને જ્યારે એકબીજા પર દબાણ કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ સંપૂર્ણપણે મેળ ખાતા હોવા જોઈએ. જો ત્યાં કોઈ વિસંગતતા છે, તો પછી આ આંકડાઓ હવે સમાન કહી શકાય નહીં.

આકૃતિઓને સમાન કહી શકાય, જો કે તેઓ જ્યારે એકબીજા પર લગાવવામાં આવે ત્યારે તેઓ સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય, એટલે કે. તેઓ સમાન કદ, આકાર અને તેથી વિસ્તાર અને પરિમિતિ તેમજ અન્ય લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે. નહિંતર, અમે આંકડાઓની સમાનતા વિશે વાત કરી શકતા નથી.

સમાન શબ્દમાં સાર છે.

આ એવા આંકડા છે જે સંપૂર્ણપણે એકબીજા સાથે સમાન છે. એટલે કે, તેઓ સંપૂર્ણપણે એકરૂપ છે. જો કોઈ આકૃતિને બીજાની ટોચ પર મૂકવામાં આવે છે, તો પછી આકૃતિઓ પોતાની જાતને બધી બાજુઓ પર ઓવરલેપ કરશે.

તેઓ સમાન છે, એટલે કે, સમાન છે.

સમાન ત્રિકોણથી વિપરીત (તે નિર્ધારિત કરવા માટે કે તે શરતોમાંથી એકને પરિપૂર્ણ કરવા માટે પૂરતું છે - સમાનતાના ચિહ્નો), સમાન આંકડાઓ તે છે જેનો માત્ર આકાર જ નહીં, પણ પરિમાણો પણ સમાન છે.

તમે સુપરપોઝિશન પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નક્કી કરી શકો છો કે એક આકૃતિ બીજી સમાન છે કે નહીં. આ કિસ્સામાં, આંકડાઓ બંને બાજુઓ અને ખૂણાઓ સાથે મેળ ખાતા હોવા જોઈએ. આ સમાન આંકડા હશે.

ફક્ત આવા આંકડાઓ સમાન હોઈ શકે છે જો, જ્યારે સુપરઇમ્પોઝ કરવામાં આવે, ત્યારે તેમની બાજુઓ અને ખૂણા સંપૂર્ણપણે એકરૂપ થાય. વાસ્તવમાં, તમામ સરળ બહુકોણ માટે, તેમના ક્ષેત્રોની સમાનતા પણ આકૃતિઓની સમાનતા સૂચવે છે. ઉદાહરણ: બાજુ a ધરાવતો ચોરસ હંમેશા સમાન બાજુ a વાળા બીજા ચોરસ જેટલો જ રહેશે. આ જ લંબચોરસ અને રોમ્બસને લાગુ પડે છે - જો તેમની બાજુઓ અન્ય લંબચોરસની બાજુઓ જેટલી હોય, તો તે સમાન છે. વધુ જટિલ ઉદાહરણ: ત્રિકોણ એકરૂપ હશે જો તેમની પાસે સમાન બાજુઓ અને અનુરૂપ ખૂણા હોય. પરંતુ આ ફક્ત ખાસ કિસ્સાઓ છે. વધુ સામાન્ય કિસ્સાઓમાં, આકૃતિઓની સમાનતા હજુ પણ સુપરપોઝિશન દ્વારા સાબિત થાય છે, અને પ્લેનિમેટ્રીમાં આ સુપરપોઝિશનને મોશનલી ગતિ કહેવામાં આવે છે.

ભૂમિતિમાં મૂળભૂત ખ્યાલોમાંની એક આકૃતિ છે. આ શબ્દ મર્યાદિત સંખ્યામાં રેખાઓ દ્વારા મર્યાદિત પ્લેન પરના બિંદુઓના સમૂહનો સંદર્ભ આપે છે. કેટલાક આંકડા સમાન ગણી શકાય, જે ચળવળના ખ્યાલ સાથે ગાઢ રીતે સંબંધિત છે. ભૌમિતિક આકૃતિઓ એકલતામાં નહીં, પરંતુ એક અથવા બીજી રીતે એકબીજાના સંબંધમાં ગણી શકાય - તેમની પરસ્પર ગોઠવણી, સંપર્ક અને સંલગ્નતા, સ્થિતિ "વચ્ચે", "અંદર", "વધુ" ની વિભાવનાઓમાં વ્યક્ત કરાયેલ સંબંધ, “ઓછા”, “સમાન” .ભૂમિતિ આકૃતિઓના અપરિવર્તનશીલ ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરે છે, એટલે કે. જે અમુક ભૌમિતિક પરિવર્તન હેઠળ યથાવત રહે છે. અવકાશનું આ પ્રકારનું પરિવર્તન, જેમાં ચોક્કસ આકૃતિ બનાવતા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર યથાવત રહે છે, તેને ચળવળ કહેવામાં આવે છે તે વિવિધ સંસ્કરણોમાં દેખાઈ શકે છે: સમાંતર અનુવાદ, સમાન રૂપાંતર, અક્ષની આસપાસ પરિભ્રમણ, સીધી રેખાની તુલનામાં સમપ્રમાણતા. અથવા પ્લેન, કેન્દ્રીય, રોટેશનલ, પોર્ટેબલ સમપ્રમાણતા.

ચળવળ અને સમાન આંકડા

સમાન અને સમાન આંકડા