સમાન સમતલ પર લંબરૂપ બે રેખાઓ સમાંતર છે. બે વિમાનો એક જ રેખાના સમાંતર છે

પ્લેન અને તેના પર ન પડેલો બિંદુ આપવામાં આવે:

આપેલ બિંદુ પરથી આપેલ સમતલ પર પડેલો કાટખૂણો એ આપેલ બિંદુને સમતલ પરના બિંદુ સાથે જોડતો અને સમતલની કાટખૂણે સીધી રેખા પર પડેલો ભાગ છે;
- પ્લેનમાં પડેલા આ સેગમેન્ટના અંતને લંબનો આધાર કહેવામાં આવે છે;
- એક બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર એ આ બિંદુથી પ્લેન સુધી દોરેલા કાટખૂણેની લંબાઈ છે;

આપેલ બિંદુથી આપેલ પ્લેન તરફ દોરવામાં આવેલી ઝોક રેખા એ આપેલ બિંદુને પ્લેન પરના બિંદુ સાથે જોડતો કોઈપણ સેગમેન્ટ છે જે પ્લેન પર લંબ નથી;
- પ્લેનમાં પડેલા સેગમેન્ટના અંતને વળેલું આધાર કહેવામાં આવે છે;

કાટખૂણેના પાયાને જોડતો ભાગ અને એક જ બિંદુ પરથી દોરેલા ત્રાંસી પ્રક્ષેપણને ત્રાંસી પ્રક્ષેપણ કહેવાય છે.

આકૃતિમાં, બિંદુ A થી, લંબરૂપ AB અને વળેલું AC સમતલ તરફ દોરવામાં આવે છે. બિંદુ B એ કાટખૂણેનો આધાર છે, બિંદુ C એ વળાંકવાળાનો આધાર છે, BC એ પ્લેન પર વળેલા ACનું પ્રક્ષેપણ છે.

ત્રણ લંબ પ્રમેય:

જો પ્લેન પર સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે વળેલું આધાર, તેની કાટખૂણે અંદાજો, પછી તે લંબરૂપ છે વલણ. અને ઊલટું: જો સમતલમાં કોઈ સીધી રેખા વલણવાળી રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે લંબરૂપ છે અને ત્રાંસુ પ્રક્ષેપણ.

જો ત્રીજું સમતલ, આ વિમાનોના આંતરછેદની રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તેને કાટખૂણે છેદે છે તેવા બે વિમાનોને લંબરૂપ કહેવાય છે.

ઉદાહરણ #1

ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળના મધ્યમાં એક સીધી રેખા દોરવામાં આવે છે, જે ત્રિકોણના પ્લેન પર લંબ છે. સાબિત કરો કે આ રેખા પરનો દરેક બિંદુ ત્રિકોણની બાજુઓથી સમાન છે.

A, B, C એ વર્તુળ સાથે ત્રિકોણની બાજુઓના સંપર્કના બિંદુઓ છે, O વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને S એ લંબ પરનું બિંદુ છે. ત્રિજ્યા OA ત્રિકોણની બાજુ પર લંબ હોવાથી, ત્રણ લંબના પ્રમેય મુજબ, સેગમેન્ટ SA આ બાજુ લંબ છે, અને તેની લંબાઈ ત્રિકોણની બાજુના બિંદુ S થી અંતર છે. પાયથાગોરિયન પ્રમેય મુજબ, SA=, જ્યાં r એ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. એ જ રીતે આપણે શોધીએ છીએ: , એટલે કે બિંદુ S થી ત્રિકોણની બાજુઓ સુધીના તમામ અંતર સમાન છે.

સુરક્ષા પ્રશ્નો:

1. આપેલ બિંદુ પરથી સમતલ પર પડતું કાટખૂણે શું કહેવાય?
2. ત્રાંસી પ્રક્ષેપણ શું છે?

વ્યવહારુ ભાગ:

1. એક સીધી રેખા a અને પ્લેન આપેલ છે. એક રેખા દ્વારા સમતલને લંબરૂપ સમતલ દોરો.

2. સાબિત કરો કે જો કોઈ રેખા પ્લેનની સમાંતર હોય, તો તેના તમામ બિંદુઓ પ્લેનથી સમાન અંતરે છે.

3. બે ઝુકાવ એક બિંદુથી પ્લેન તરફ દોરવામાં આવે છે, જેમાંથી એક બીજા કરતા 20 સે.મી. મોટો છે. વલણવાળા અંદાજો 10 સેમી અને 30 સેમી છે.

4. ચોરસની બાજુ 4 સે.મી. છે. ચોરસના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતર તેના કર્ણના આંતરછેદના બિંદુથી 6 સે.મી.ના અંતરે છે. આ બિંદુથી ચોરસના શિરોબિંદુઓ સુધીનું અંતર શોધો.

5. બે ઝુકાવવાળા ઢોળાવ એક બિંદુથી સમતલ સુધી દોરવામાં આવ્યા છે, જે 10 સેમી અને 17 સેમી છે.

6. બે ઝુકાવવાળા ઢોળાવ એક બિંદુથી સમતલ તરફ દોરવામાં આવે છે, જે 23 સે.મી. અને 33 સે.મી.ના સમાન હોય છે, જો ઝોકના અંદાજો 2:3 ના ગુણોત્તરમાં હોય તો આ બિંદુથી પ્લેન સુધીનું અંતર શોધો.

8. રેખા a એ પ્લેન ABC ને લંબ છે. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. MC શોધો.

9. જમણો ત્રિકોણ ABC (C = 90°) ના પગ 4 cm અને 3 cm બિંદુ M ત્રિકોણ ABC ના સમતલથી √6 cm ના અંતરે અને તેના તમામ શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે સ્થિત છે. બિંદુ M થી ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ સુધીનું અંતર શોધો.

સાહિત્ય:

1. ગણિત: શરૂઆતની સંસ્થાઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક. અને બુધવાર પ્રો. શિક્ષણ / M.I. બશ્માકોવ. -એમ.: પબ્લિશિંગ સેન્ટર "એકેડેમી", 2010.

સ્વતંત્ર કાર્ય નંબર 5.

પ્લેસમેન્ટ અને ક્રમચયોની સંખ્યાની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ.

પાઠનો હેતુ: નમૂનાઓની સંખ્યાની ગણતરી સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટેની પદ્ધતિઓમાં નિપુણતા મેળવવી

સૈદ્ધાંતિક ભાગ:

કોમ્બીનેટોરિક્સ એ ગણિતનો એક ભાગ છે જે આપેલ નિયમો અનુસાર ચોક્કસ મર્યાદિત સમૂહના ઘટકોને પસંદ કરવા અને ગોઠવવાની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સમર્પિત છે, એટલે કે. કોમ્બીનેટરિક્સ મર્યાદિત સમૂહમાંથી તત્વો પસંદ કરવાની અને આ તત્વોને અમુક ક્રમમાં ગોઠવવાની સમસ્યાને હલ કરે છે.

m - તત્વો () દ્વારા n - તત્વોની ગોઠવણી એ આપેલ n - તત્વો દ્વારા m - તત્વોથી બનેલા સંયોજનો છે જે તત્વોમાં અથવા તત્વોના ક્રમમાં એકબીજાથી અલગ પડે છે.

N(n-1)(n-2)…(n-m+1)

ઉદાહરણ નંબર 1. સંખ્યા 1...9માંથી કેટલી ત્રણ-અંકની સંખ્યાઓ બનાવી શકાય?

n - તત્વોના ક્રમચય એ n - તત્વો દ્વારા આ n - તત્વોની પ્લેસમેન્ટની સંખ્યા છે.

N(n-1)(n-2)…1=n!

ઉદાહરણ નંબર 2. એક શેલ્ફ પર 5 પુસ્તકો કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

m - તત્વો દ્વારા n - તત્વોના સંયોજનો એ આપેલ n - તત્વો દ્વારા m - તત્વોથી બનેલા સંયોજનો છે જે ઓછામાં ઓછા એક તત્વ દ્વારા એકબીજાથી અલગ પડે છે.

ઉદાહરણ નંબર 3. એક જૂથમાં 30 વિદ્યાર્થીઓ છે. પરીક્ષા પાસ કરવા માટે, તેઓને ત્રણ જૂથોમાં વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. આ કેટલી રીતે કરી શકાય?

સુરક્ષા પ્રશ્નો:

1. સંયોજનશાસ્ત્રના લક્ષ્યોની રૂપરેખા આપો.

2. m ના n તત્વોના સંયોજનોની સંખ્યા શું કહેવાય છે?

3. m માં n તત્વોના સ્થાનની સંખ્યાને શું કહેવાય છે?

4. n તત્વોનું ક્રમચય શું કહેવાય છે?

વ્યવહારુ ભાગ:

1. 25 લોકોનું જૂથ 4 વિદ્યાર્થીઓને વૈજ્ઞાનિક અને વ્યવહારુ પરિષદમાં કેટલી રીતે મોકલી શકે છે?

2. દસ વિદ્યાર્થીઓએ હાથ મિલાવ્યા. કેટલા હેન્ડશેક હતા?

3. વિવિધ રંગોની સામગ્રીના સાત ટુકડાઓમાંથી ત્રણ-રંગી પટ્ટાવાળા ધ્વજને કેટલી રીતે બનાવી શકાય?

4. પાંચમાંથી કોઈપણ ભાષામાંથી કોઈપણ ભાષામાં અનુવાદ કરવા સક્ષમ થવા માટે કેટલા શબ્દકોશો પ્રકાશિત કરવા જોઈએ?

5. ગણતરી કરો:

6. ગણતરી કરો:

7. ગણતરી કરો: 5! + 6!

8. 4 ના 10 તત્વોની ગોઠવણીની સંખ્યા શોધો.

9. ગણતરી કરો:

10. ત્રીસ વિદ્યાર્થીઓએ ફોટોગ્રાફની આપલે કરી. કુલ કેટલા ફોટોગ્રાફ્સ હતા?

11. ત્રણ હોદ્દા માટે આઠ ઉમેદવારોમાંથી ત્રણ લોકોને કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

12. સમીકરણ ઉકેલો:

13. અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો:

14. અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરો.

2. બિંદુ C પર છેદતી બે રેખાઓ આપેલ છે. શું આ દરેક રેખાઓ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી કોઈપણ ત્રીજી રેખા તેમની સાથે સમાન સમતલમાં રહે છે?

3.

4. બે સમાંતર વિમાનો વચ્ચેનું અંતર 8 સેમી છે, એક સીધો ભાગ, જેની લંબાઈ 17 સેમી છે, તે તેમની વચ્ચે સ્થિત છે જેથી તેના છેડા વિમાનો સાથે જોડાયેલા હોય. દરેક પ્લેન પર આ સેગમેન્ટનું પ્રક્ષેપણ શોધો.

5. સાચું નિવેદન કરવા માટે વાક્ય પૂર્ણ કરો:

ડી) મને ખબર નથી

6. રેખાઓ a અને b લંબ છે. બિંદુઓ A અને B સીધી રેખા a, બિંદુ C અને D સીધી રેખા b થી સંબંધિત છે. શું AC અને BD એક જ વિમાનમાં સીધી રેખાઓ છે?

7. ABCDA1B1C1D1 ક્યુબમાં AC અને B1D1 ચહેરાના કર્ણ દોરેલા છે. તેમની સંબંધિત સ્થિતિ શું છે?

8. ABCDA1B1C1D1 ક્યુબની ધાર m ની બરાબર છે. સીધી રેખાઓ AB અને CC1 વચ્ચેનું અંતર શોધો.

A) 2m B) 1/2m C) m D) મને ખબર નથી

9. નિવેદન સાચું છે કે કેમ તે નક્કી કરો:

A) હા B) ના C) હંમેશા નહીં D) ખબર નથી

10. ABCDA1B1C1D1 ક્યુબમાં, BCD અને ВСС1В1 પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°

11. શું પાયા પર લંબરૂપ માત્ર એક બાજુનો ચહેરો ધરાવતો પ્રિઝમ છે?

A) હા B) ના C) મને ખબર નથી

12. શું લંબચોરસ સમાંતર નળીનો કર્ણ તેની બાજુની ધાર કરતા ઓછો હોઈ શકે?

A) હા B) ના C) મને ખબર નથી

13. ધાર 10 સાથે સમઘનનું બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શું છે?

A) 40 B) 400 C) 100 D) 200

14. જો તેનો કર્ણ d હોય તો ઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2

15. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડમાં સમપ્રમાણતાના કેટલા પ્લેન હોય છે?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6

16. કોઈપણ નિયમિત પિરામિડનો અક્ષીય વિભાગ શું છે?

એ) સમભુજ ત્રિકોણ

બી) લંબચોરસ

બી) ટ્રેપેઝોઇડ

ડી) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

1. બે અલગ-અલગ બિન-સંયોગી વિમાનોમાં કેટલી સામાન્ય રેખાઓ હોઈ શકે?
A) 1 B) 2 C) અનંત સંખ્યા D) કોઈ નહીં E) મને ખબર નથી
2. બિંદુ C પર છેદતી બે રેખાઓ આપેલ છે. શું આ દરેક રેખાઓ સાથે સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી કોઈપણ ત્રીજી રેખા તેમની સાથે સમાન સમતલમાં રહે છે?
A) હંમેશા હા B) હંમેશા ના C) જૂઠું બોલે છે, પરંતુ હંમેશા નહીં D) મને ખબર નથી
3. નિવેદન સાચું છે કે કેમ તે નક્કી કરો:
બે વિમાનો સમાંતર છે જો તેઓ સમાન રેખાના સમાંતર હોય.
A) હા B) ના C) ખબર નથી D) હંમેશા નહીં
4. બે સમાંતર વિમાનો વચ્ચેનું અંતર 8 સેમી છે, એક સીધો ભાગ, જેની લંબાઈ 17 સેમી છે, તે તેમની વચ્ચે સ્થિત છે જેથી કરીને તેના છેડા વિમાનો સાથે જોડાયેલા હોય. દરેક પ્લેન પર આ સેગમેન્ટનું પ્રક્ષેપણ શોધો.
A) 15 cm B) 9 cm C) 25 cm D) મને ખબર નથી
5. સાચું નિવેદન કરવા માટે શબ્દસમૂહ પૂર્ણ કરો:
જો બે લંબ સમતલમાંથી કોઈ એકમાં રહેલી સીધી રેખા તેમના આંતરછેદની રેખાને લંબરૂપ હોય, તો તે...
એ) બીજા પ્લેનની સમાંતર
બી) અન્ય પ્લેન સાથે છેદે છે
બી) અન્ય પ્લેન પર લંબરૂપ
ડી) મને ખબર નથી
6. રેખાઓ a અને b લંબ છે. બિંદુઓ A અને B સીધી રેખા a, બિંદુ C અને D સીધી રેખા b થી સંબંધિત છે. શું AC અને BD એક જ પ્લેનમાં સીધી રેખાઓ છે?
A) હા B) ના C) હંમેશા નહીં D) મને ખબર નથી
7. ABCDA1B1C1D1 ક્યુબમાં AC અને B1D1 ચહેરાના કર્ણ દોરેલા છે. તેમની સંબંધિત સ્થિતિ શું છે?
A) છેદે B) છેદે C) સમાંતર D) ખબર નથી
8. ABCDA1B1C1D1 ક્યુબની ધાર m બરાબર છે. સીધી રેખાઓ AB અને CC1 વચ્ચેનું અંતર શોધો.
A) 2m B) B) m D) મને ખબર નથી
9. નિવેદન સાચું છે કે કેમ તે નક્કી કરો:
જો બે સીધી રેખાઓ સમાન સમતલ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે, તો તે સમાંતર છે.
A) હા B) ના C) હંમેશા નહીં D) મને ખબર નથી
10. ABCDA1B1C1D1 ક્યુબમાં, BCD અને ВСС1В1 પ્લેન વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. શું પાયા પર લંબરૂપ માત્ર એક બાજુનો ચહેરો ધરાવતો પ્રિઝમ છે?
A) હા B) ના C) મને ખબર નથી
12. શું લંબચોરસ સમાંતર નળીનો કર્ણ તેની બાજુની ધાર કરતા ઓછો હોઈ શકે?
A) હા B) ના C) મને ખબર નથી
13. કિનારી 10 વાળા ક્યુબની બાજુની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ શું છે?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. જો તેનો કર્ણ d હોય તો ઘનનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. નિયમિત ચતુષ્કોણીય પિરામિડમાં સમપ્રમાણતાના કેટલા પ્લેન હોય છે?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. કોઈપણ નિયમિત પિરામિડનો અક્ષીય વિભાગ શું છે?
એ) સમભુજ ત્રિકોણ
બી) લંબચોરસ
બી) ટ્રેપેઝોઇડ
ડી) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ

પોઈન્ટ કે જે સમાન લાઇન પર આવેલા નથી?

2. શું બે અલગ-અલગ વિમાનોમાં માત્ર બે સામાન્ય બિંદુઓ હોઈ શકે છે?

પ્રત્યક્ષ a અનેb એક બિંદુ પર છેદે એમ.એક સીધી રેખા c જે બિંદુ Mમાંથી પસાર થતી નથી તે રેખાઓને છેદે છે એઅને b. શું આ ત્રણેય રેખાઓ એક જ પ્લેનમાં છે? રેખાઓની સંબંધિત સ્થિતિ શું છે: 1) એ 1 ડી અને MN; 2) એ 1 ડી અને V 1C; 3) MN અને A 1B1(ફિગ. 1). પ્રત્યક્ષ એઅને b સીધી રેખા સાથે ઓળંગી સાથે.સીધા કરી શકો છો એઅને b સમાંતર હોવું? બે રેખાઓ સમાન સમતલની સમાંતર છે. શું આપણે કહી શકીએ કે આ રેખાઓ એકબીજાની સમાંતર છે? જો નહીં, તો તેમની સંબંધિત સ્થિતિ શું છે? આકૃતિ 2 માં સીધી રેખાઓ છે પ્રકાર સમાંતર પોઈન્ટ એઅને INઅનુક્રમે સીધા પ્રકારનો છે; b પ્લેનમાં આવેલું છે α, a\\b. રેખા b અને c ની સાપેક્ષ સ્થિતિ શું છે? ચતુર્ભુજ આપેલ છે એબીસીડી અને વિમાન α. તેના કર્ણ એસીઅને બી.ડી પ્લેનની સમાંતર α. પરસ્પર સ્થિતિ શું છે એબીઅને વિમાનો α? વિમાનો α અને β સમાંતર છે. એક બિંદુ પર છેદે છે એમસીધા એઅને b વિમાનને છેદે α અનુક્રમે પોઈન્ટ પર INઅને એ,અને પ્લેન β - બિંદુઓ પર ઇઅને એફવલણ શોધો

10. સપાટતા α સમાંતર પાયાના પાયાના કર્ણ અને ઉપલા આધારની એક બાજુની મધ્યમાંથી પસાર થાય છે. વિભાગનો પ્રકાર નક્કી કરો.

5. સમાંતર રેખાઓ

કોરોલરી 1. જો કોઈ રેખા સમાંતર રેખાઓમાંથી એકને છેદે છે, તો તે બીજી રેખાને પણ છેદે છે.

કોરોલરી 2. ત્રીજાની સમાંતર બે રેખાઓ સમાંતર છે.

પરિણામો