કાર્યને ઘણી રીતે સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. તે નિયમ પર આધાર રાખે છે જેનો ઉપયોગ તેને સ્પષ્ટ કરવા માટે થાય છે. ફંક્શનને સ્પષ્ટ કરવાનું સ્પષ્ટ સ્વરૂપ y = f (x) છે. એવા સમયે હોય છે જ્યારે તેનું વર્ણન અશક્ય અથવા અસુવિધાજનક હોય છે. જો ત્યાં ઘણી જોડીઓ (x; y) છે જેને અંતરાલ (a; b) પરના પરિમાણ t માટે ગણતરી કરવાની જરૂર છે. સિસ્ટમ x = 3 cos t y = 3 sin t ને 0 ≤ t સાથે ઉકેલવા માટે< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
પેરામેટ્રિક ફંક્શનની વ્યાખ્યા
અહીંથી આપણી પાસે x = φ (t), y = ψ (t) મૂલ્ય t ∈ (a; b) માટે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને x = φ (t) માટે inverse ફંક્શન t = Θ (x) છે, પછી આપણે y = ψ (Θ (x)) ફોર્મના ફંક્શનના પેરામેટ્રિક સમીકરણને સ્પષ્ટ કરવા વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ.
એવા કિસ્સાઓ છે જ્યારે, ફંક્શનનો અભ્યાસ કરવા માટે, x ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધવું જરૂરી છે. ચાલો ફોર્મ y x " = ψ " (t) φ " (t) ના પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રને ધ્યાનમાં લઈએ, ચાલો 2જી અને nમી ક્રમના વ્યુત્પન્ન વિશે વાત કરીએ.
પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટેના સૂત્રની વ્યુત્પત્તિ
આપણી પાસે તે x = φ (t), y = ψ (t), વ્યાખ્યાયિત અને t ∈ a માટે વિભેદક છે; b, જ્યાં x t " = φ " (t) ≠ 0 અને x = φ (t), તો ત્યાં t = Θ (x) સ્વરૂપનું વ્યસ્ત કાર્ય છે.
શરૂ કરવા માટે, તમારે પેરામેટ્રિક કાર્યમાંથી સ્પષ્ટ કાર્ય તરફ જવું જોઈએ. આ કરવા માટે, તમારે ફોર્મ y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) નું જટિલ કાર્ય મેળવવાની જરૂર છે, જ્યાં દલીલ x છે.
જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટેના નિયમના આધારે, આપણે મેળવીએ છીએ કે y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .
આ બતાવે છે કે t = Θ (x) અને x = φ (t) એ વ્યસ્ત કાર્ય સૂત્ર Θ " (x) = 1 φ " (t), પછી y " x = ψ " Θ (x) Θ " માંથી વ્યસ્ત કાર્યો છે. (x) = ψ " (t) φ " (t) .
ચાલો ભિન્નતાના નિયમ અનુસાર ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને ઘણા ઉદાહરણો ઉકેલવા પર વિચાર કરીએ.
ઉદાહરણ 1
x = t 2 + 1 y = t ફંક્શન માટે વ્યુત્પન્ન શોધો.
ઉકેલ
શરત પ્રમાણે આપણી પાસે છે કે φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, અહીંથી આપણે મેળવીએ છીએ કે φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. તમારે વ્યુત્પન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ અને ફોર્મમાં જવાબ લખવો જોઈએ:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
જવાબ: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
ફંક્શન h ના વ્યુત્પન્ન સાથે કામ કરતી વખતે, પરિમાણ t એ જ પરિમાણ t દ્વારા દલીલ x ની અભિવ્યક્તિનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેથી વ્યુત્પન્નના મૂલ્યો અને દલીલ સાથે પેરામેટ્રિકલી સ્પષ્ટ કરેલ ફંક્શન વચ્ચેનું જોડાણ ન ગુમાવે. જે આ મૂલ્યોને અનુરૂપ છે.
પેરામેટ્રિકલી આપેલ ફંક્શનના સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ નક્કી કરવા માટે, તમારે પરિણામી ફંક્શન પર ફર્સ્ટ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ માટે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે, પછી અમને તે મળશે
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
ઉદાહરણ 2
આપેલ ફંક્શન x = cos (2 t) y = t 2 ના 2જા અને 2જા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો.
ઉકેલ
શરત દ્વારા આપણે મેળવીએ છીએ કે φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2.
પછી પરિવર્તન પછી
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
તે અનુસરે છે કે y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
અમે મેળવીએ છીએ કે 1લા ક્રમના વ્યુત્પન્નનું સ્વરૂપ x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) છે.
ઉકેલવા માટે, તમારે સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ ફોર્મ્યુલા લાગુ કરવાની જરૂર છે. આપણને ફોર્મની અભિવ્યક્તિ મળે છે
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 પાપ (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
પછી પેરામેટ્રિક ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને 2જી ઓર્ડર ડેરિવેટિવનો ઉલ્લેખ કરો
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
સમાન ઉકેલ બીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે. પછી
φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 પાપ (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2
અહીંથી આપણે તે મેળવીએ છીએ
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 પાપ (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
જવાબ: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)
પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્યો સાથે ઉચ્ચ ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ સમાન રીતે જોવા મળે છે.
જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો
લઘુગણક ભિન્નતા
પ્રાથમિક કાર્યોના વ્યુત્પન્ન
ભિન્નતાના મૂળભૂત નિયમો
કાર્ય વિભેદક
ફંક્શન ઇન્ક્રીમેન્ટનો મુખ્ય રેખીય ભાગ એડી xકાર્યની ભિન્નતા નક્કી કરવામાં
ડી f=f(x)-f(x 0)=એ(x - x 0)+o(x - x 0), x®x 0
કાર્યના વિભેદક કહેવાય છે f(x) બિંદુ પર x 0 અને સૂચવવામાં આવે છે
ડીએફ(x 0)=f¢(x 0) ડી x=Aડી x
તફાવત બિંદુ પર આધાર રાખે છે x 0 અને ઇન્ક્રીમેન્ટમાંથી ડી xડી પર xતે જ સમયે તેઓ તેને સ્વતંત્ર ચલ તરીકે જુએ છે, તેથી દરેક બિંદુ પર વિભેદક એ ઇન્ક્રીમેન્ટ Dનું રેખીય કાર્ય છે x
જો આપણે કાર્ય તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ f(x)=x, પછી આપણને મળે છે dx=ડી x,dy=Adx. આ લીબનીઝના સંકેત સાથે સુસંગત છે
સ્પર્શકના ઓર્ડિનેટના વધારા તરીકે વિભેદકનું ભૌમિતિક અર્થઘટન.
ચોખા. 4.3
1) f= const , f¢= 0,df= 0ડી x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
પરિણામ. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢=c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 અને વ્યુત્પન્ન અસ્તિત્વમાં છે, તો પછી f¢=(u¢v-v¢ u)/વિ 2 .
સંક્ષિપ્તતા માટે અમે સૂચિત કરીશું u=u(x), યુ 0 = u(x 0), પછી
ડી ખાતે મર્યાદામાં પસાર થવું x® 0 અમે જરૂરી સમાનતા મેળવીએ છીએ.
5) જટિલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન.
પ્રમેય. જો ત્યાં f¢ છે(x 0), g¢(x 0)અને x 0 =g(t 0), પછી અમુક પડોશમાં ટી 0 જટિલ કાર્ય f વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે(g(t)), તે બિંદુ t પર વિભેદક છે 0 અને
પુરાવો.
f(x)-f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ યુ(x 0).
f(g(t))-f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- જી(t 0))+ a( g(t))(g(t)- જી(t 0)).
ચાલો આ સમાનતાની બંને બાજુઓને વિભાજિત કરીએ ( t - t 0) અને ચાલો મર્યાદા પર જઈએ t®t 0 .
6) વ્યસ્ત કાર્યના વ્યુત્પન્નની ગણતરી.
પ્રમેય. f ને સતત અને સખત રીતે એકવિધ રહેવા દો[a,b]. બિંદુ x પર ચાલો 0 Î( a,b)ત્યાં f¢ છે(x 0)¹ 0 , પછી વ્યસ્ત કાર્ય x=f -1 (y)બિંદુ y છે 0 વ્યુત્પન્ન સમાન
પુરાવો. અમે ગણીએ છીએ fસખત રીતે એકવિધ રીતે વધી રહી છે, પછી f -1 (y) સતત છે, એકવિધ રીતે [ f(a),એફ(b)]. ચાલો મૂકીએ y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. વ્યસ્ત કાર્યની સાતત્યતાને કારણે ડી y®0 Þ ડી x®0, અમારી પાસે છે
મર્યાદામાં પસાર થતાં, અમે જરૂરી સમાનતા મેળવીએ છીએ.
7) સમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન વિષમ છે, વિષમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન સમ છે.
ખરેખર, જો x® - x 0 , તે - x® x 0 , તેથી જ
વિષમ કાર્ય માટે સમ કાર્ય માટે
1) f= const f¢(x)=0.
2) f(x)=x,f¢(x)=1.
3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,
4) f(x)=a x,(a x)¢ = કુહાડી ln a
5) ln a
6) f(x)=ln x,
પરિણામ. (એક સમ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન વિષમ છે)
7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .
8) (પાપ x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- પાપ x,(cos x)¢= (પાપ( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-પાપ x
10) (ટીજી x)¢= 1/cos 2 x
11) (ctg x)¢= -1/પાપ 2 x
16)શ x, ch x.
f(x),, જેમાંથી તે તેને અનુસરે છે f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .
સમાન સૂત્ર અલગ રીતે મેળવી શકાય છે f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
ઉદાહરણ. ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની ગણતરી કરો f=x x.
=x x = x x = x x = x x(ln x+ 1).
પ્લેન પર પોઈન્ટનું ભૌમિતિક સ્થાન
આપણે તેને ફંક્શનનો ગ્રાફ કહીશું, પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે. તેઓ ફંક્શનના પેરામેટ્રિક સ્પષ્ટીકરણ વિશે પણ વાત કરે છે.
નોંધ 1.જો x, yમાટે સતત [a,b] અને x(t) સેગમેન્ટ પર સખત રીતે એકવિધ (ઉદાહરણ તરીકે, સખત રીતે એકવિધ રીતે વધે છે), પછી [ a,b], a=x(a) , b=x(b) કાર્ય વ્યાખ્યાયિત f(x)=y(t(x)), જ્યાં ટી(x) – inverse function to x(t). આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ફંક્શનના ગ્રાફ સાથે એકરુપ છે
જો વ્યાખ્યાનું ડોમેન પેરામેટ્રિકલી આપેલ ફંક્શનને મર્યાદિત સંખ્યામાં સેગમેન્ટમાં વિભાજિત કરી શકાય છે ,k = 1,2,...,એન,જેમાંના દરેક પર એક કાર્ય છે x(t) સખત રીતે એકવિધ છે, પછી પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્ય મર્યાદિત સંખ્યામાં સામાન્ય કાર્યોમાં વિઘટિત થાય છે fk(x)=y(t -1 (x)) ડોમેન્સ સાથે [ x(એ k), x(b k)] વિભાગો વધારવા માટે x(t) અને ડોમેન્સ સાથે [ x(b k), x(એ k)] ઘટતા કાર્યના ક્ષેત્રો માટે x(t). આ રીતે મેળવેલા કાર્યોને પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત ફંક્શનની સિંગલ-વેલ્યુડ શાખાઓ કહેવામાં આવે છે.
આકૃતિ પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્યનો ગ્રાફ બતાવે છે
પસંદ કરેલ પરિમાણીકરણ સાથે, વ્યાખ્યા વિસ્તાર ફંક્શન sin(2 t), બરાબર: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , અને, તે મુજબ, ગ્રાફ આ વિભાગોને અનુરૂપ પાંચ અસ્પષ્ટ શાખાઓમાં વિભાજિત થશે.
ચોખા. 4.4
ચોખા. 4.5
તમે પોઈન્ટના સમાન ભૌમિતિક સ્થાનનું એક અલગ પરિમાણ પસંદ કરી શકો છો
આ કિસ્સામાં આવી માત્ર ચાર શાખાઓ હશે. તેઓ કડક એકવિધતાના ક્ષેત્રોને અનુરૂપ હશે tÎ ,tÎ ,ટીÎ ,tÎ કાર્યો પાપ (2 t).
ચોખા. 4.6
ફંક્શન સિનની એકવિધતાના ચાર વિભાગો(2 t) લાંબા સેગમેન્ટ પર.
ચોખા. 4.7
એક આકૃતિમાં બંને ગ્રાફનું નિરૂપણ તમને બંને કાર્યોના મોનોટોનિસિટી વિસ્તારોનો ઉપયોગ કરીને, પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યના ગ્રાફનું લગભગ નિરૂપણ કરવાની મંજૂરી આપે છે.
ઉદાહરણ તરીકે, સેગમેન્ટને અનુરૂપ પ્રથમ શાખાને ધ્યાનમાં લો tÎ . આ વિભાગના અંતે કાર્ય x=પાપ (2 t) મૂલ્યો લે છે -1 અને 1 , તેથી આ શાખાને [-1,1] પર વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવશે. આ પછી, તમારે બીજા કાર્યના એકવિધતાના ક્ષેત્રો જોવાની જરૂર છે y= cos( t), તેણી પાસે છે એકવિધતાના બે વિભાગો . આ અમને કહેવાની મંજૂરી આપે છે કે પ્રથમ શાખામાં એકવિધતાના બે વિભાગો છે. ગ્રાફના અંતિમ બિંદુઓ મળ્યા પછી, તમે ગ્રાફની એકવિધતાની પ્રકૃતિ સૂચવવા માટે તેમને સીધી રેખાઓ સાથે જોડી શકો છો. દરેક શાખા સાથે આ કર્યા પછી, અમે ગ્રાફની અસ્પષ્ટ શાખાઓના એકવિધતાના વિસ્તારો મેળવીએ છીએ (તે આકૃતિમાં લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થાય છે)
ચોખા. 4.8
પ્રથમ સિંગલ-વેલ્યુડ શાખા f 1 (x)=y(t(x)) , સાઇટને અનુરૂપ માટે નક્કી કરવામાં આવશે xઓ[-1,1] . પ્રથમ સિંગલ-વેલ્યુડ શાખા tÎ , xઓ[-1,1].
અન્ય તમામ ત્રણ શાખાઓમાં પણ વ્યાખ્યાનું ડોમેન હશે [-1,1] .
ચોખા. 4.9
બીજી શાખા tÎ xઓ[-1,1].
ચોખા. 4.10
ત્રીજી શાખા tÎ xઓ[-1,1]
ચોખા. 4.11
ચોથી શાખા tÎ xઓ[-1,1]
ચોખા. 4.12
ટિપ્પણી 2. સમાન કાર્યમાં વિવિધ પેરામેટ્રિક સેટિંગ્સ હોઈ શકે છે. ભિન્નતાઓ બંને કાર્યોની પોતાની ચિંતા કરી શકે છે x(t), વાય(t) , અને વ્યાખ્યાનું ક્ષેત્ર આ કાર્યો.
સમાન કાર્ય માટે વિવિધ પેરામેટ્રિક સોંપણીઓનું ઉદાહરણ
અને tઓ[-1, 1] .
નોંધ 3.જો x,y સતત ચાલુ હોય , x(ટી)-સેગમેન્ટ પર સખત રીતે એકવિધ અને ત્યાં ડેરિવેટિવ્ઝ છે y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, પછી છે f¢(x 0)= .
ખરેખર, .
છેલ્લું વિધાન પેરામેટ્રિકલી વ્યાખ્યાયિત કાર્યની સિંગલ-વેલ્યુડ શાખાઓને પણ લાગુ પડે છે.
4.2 ઉચ્ચ ઓર્ડરના વ્યુત્પન્ન અને તફાવત
ઉચ્ચ ડેરિવેટિવ્ઝ અને ડિફરન્સિયલ્સ. પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત કાર્યોનો ભિન્નતા. લીબનીઝનું સૂત્ર.
અત્યાર સુધી, અમે પ્લેન પરની રેખાઓના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લીધા છે જે આ રેખાઓના બિંદુઓના વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સને સીધા જ જોડે છે. જો કે, રેખાને વ્યાખ્યાયિત કરવાની બીજી પદ્ધતિનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે, જેમાં વર્તમાન કોઓર્ડિનેટ્સને ત્રીજા ચલના કાર્યો તરીકે ગણવામાં આવે છે.
ચાલો ચલના બે કાર્યો આપીએ
t ના સમાન મૂલ્યો માટે ગણવામાં આવે છે. પછી આમાંથી કોઈપણ t નું મૂલ્ય ચોક્કસ મૂલ્ય અને y ના ચોક્કસ મૂલ્યને અનુલક્ષે છે, અને તેથી ચોક્કસ બિંદુ સુધી. જ્યારે ચલ t વિધેયોની વ્યાખ્યાના ડોમેનમાંથી તમામ મૂલ્યોમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે બિંદુ સમીકરણો (73) માં ચોક્કસ રેખા Cનું વર્ણન કરે છે તેને આ રેખાના પેરામેટ્રિક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે, અને ચલ કહેવામાં આવે છે એક પરિમાણ.
ચાલો ધારીએ કે ફંક્શનમાં વ્યસ્ત ફંક્શન છે આ ફંક્શનને સમીકરણો (73) ના બીજામાં બદલીને, આપણે સમીકરણ મેળવીએ છીએ
y ને કાર્ય તરીકે વ્યક્ત કરવું
ચાલો એ કહેવા માટે સંમત થઈએ કે આ કાર્ય સમીકરણો (73) દ્વારા પેરામેટ્રિકલી આપવામાં આવે છે. આ સમીકરણોમાંથી સમીકરણ (74) માં સંક્રમણને પેરામીટર એલિમિનેશન કહેવામાં આવે છે. પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યોને ધ્યાનમાં લેતી વખતે, પરિમાણને બાકાત રાખવું માત્ર જરૂરી નથી, પણ હંમેશા વ્યવહારિક રીતે શક્ય નથી.
ઘણા કિસ્સાઓમાં, પરિમાણના વિવિધ મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, પછી ગણતરી કરવા માટે, સૂત્રો (73), દલીલ અને કાર્ય y ના અનુરૂપ મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરીને તે વધુ અનુકૂળ છે.
ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.
ઉદાહરણ 1. મૂળ અને ત્રિજ્યા R પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળ પર એક મનસ્વી બિંદુ બનવા દો. આ બિંદુના કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ્સ x અને y તેના ધ્રુવીય ત્રિજ્યા અને ધ્રુવીય કોણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે, જેને આપણે અહીં t દ્વારા સૂચવીએ છીએ, નીચે પ્રમાણે ( જુઓ પ્રકરણ I, § 3, ફકરો 3):
સમીકરણો (75) ને વર્તુળના પેરામેટ્રિક સમીકરણો કહેવામાં આવે છે. તેમાંનું પરિમાણ ધ્રુવીય કોણ છે, જે 0 થી .
જો સમીકરણો (75) ને પદ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે અને ઉમેરવામાં આવે છે, તો ઓળખના આધારે પરિમાણ દૂર થાય છે અને કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં વર્તુળનું સમીકરણ પ્રાપ્ત થાય છે, જે બે પ્રાથમિક કાર્યોને વ્યાખ્યાયિત કરે છે:
આમાંના દરેક ફંક્શનને સમીકરણો (75) દ્વારા પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ કરવામાં આવે છે, પરંતુ આ ફંક્શન્સ માટે પેરામીટર રેન્જ અલગ છે. તેમાંથી પ્રથમ માટે; આ ફંક્શનનો ગ્રાફ ઉપલા અર્ધવર્તુળ છે. બીજા કાર્ય માટે, તેનો આલેખ નીચલું અર્ધવર્તુળ છે.
ઉદાહરણ 2. એક સાથે અંડાકારને ધ્યાનમાં લો
અને મૂળ અને ત્રિજ્યા a પર કેન્દ્ર સાથેનું વર્તુળ (ફિગ. 138).
લંબગોળના દરેક બિંદુ M સાથે આપણે વર્તુળના બિંદુ N ને સાંકળીએ છીએ, જે બિંદુ M સમાન એબ્સીસા ધરાવે છે અને તેની સાથે Ox અક્ષની સમાન બાજુએ સ્થિત છે. બિંદુ N ની સ્થિતિ, અને તેથી બિંદુ M, બિંદુના ધ્રુવીય કોણ t દ્વારા સંપૂર્ણપણે નિર્ધારિત થાય છે, આ કિસ્સામાં, તેમના સામાન્ય એબ્સીસા માટે આપણે નીચેની અભિવ્યક્તિ મેળવીએ છીએ: x = a. અમે અંડાકારના સમીકરણમાંથી બિંદુ M પર ઓર્ડિનેટ શોધીએ છીએ:
ચિહ્ન પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું કારણ કે બિંદુ M ના ઓર્ડિનેટ અને બિંદુ N ના ઓર્ડિનેટમાં સમાન ચિહ્નો હોવા જોઈએ.
આમ, અંડાકાર માટે નીચેના પેરામેટ્રિક સમીકરણો મેળવવામાં આવે છે:
અહીં પરિમાણ t 0 થી બદલાય છે.
ઉદાહરણ 3. બિંદુ a) અને ત્રિજ્યા a પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળને ધ્યાનમાં લો, જે દેખીતી રીતે મૂળમાં x-અક્ષને સ્પર્શે છે (ફિગ. 139). ચાલો ધારીએ કે આ વર્તુળ x-અક્ષ સાથે સરક્યા વિના ફરે છે. પછી વર્તુળનો બિંદુ M, જે પ્રારંભિક ક્ષણે કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે મેળ ખાતો હતો, તે સાયક્લોઇડ તરીકે ઓળખાતી રેખાનું વર્ણન કરે છે.
ચાલો સાયક્લોઇડના પેરામેટ્રિક સમીકરણો મેળવીએ, જ્યારે તેના નિશ્ચિત બિંદુને સ્થિતિ O થી સ્થિતિ M પર ખસેડીએ ત્યારે વર્તુળના પરિભ્રમણના કોણ MSV ને પરિમાણ તરીકે લઈએ. પછી બિંદુ M ના કોઓર્ડિનેટ્સ અને y માટે આપણે નીચેના સમીકરણો મેળવીએ છીએ:
વર્તુળ લપસ્યા વિના ધરી સાથે ફરે છે તે હકીકતને કારણે, OB સેગમેન્ટની લંબાઈ ચાપ BM ની લંબાઈ જેટલી છે. ચાપ BM ની લંબાઈ ત્રિજ્યા a અને કેન્દ્રીય કોણ t ના ગુણાંક જેટલી હોવાથી, પછી . તેથી જ. પરંતુ તેથી,
આ સમીકરણો સાયક્લોઇડના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે. જ્યારે પરિમાણ t 0 થી વર્તુળમાં બદલાશે ત્યારે એક સંપૂર્ણ ક્રાંતિ થશે. બિંદુ M ચક્રવાતની એક ચાપનું વર્ણન કરશે.
અહીં પરિમાણ t ને બાકાત રાખવાથી બોજારૂપ અભિવ્યક્તિઓ થાય છે અને તે વ્યવહારીક રીતે અવ્યવહારુ છે.
રેખાઓની પેરામેટ્રિક વ્યાખ્યા ખાસ કરીને મિકેનિક્સમાં વપરાય છે, અને પરિમાણની ભૂમિકા સમય દ્વારા ભજવવામાં આવે છે.
ઉદાહરણ 4. ચાલો બંદૂકમાંથી છોડવામાં આવેલા અસ્ત્રના માર્ગને આડા a ખૂણા પર પ્રારંભિક ગતિ સાથે નક્કી કરીએ. અમે હવાના પ્રતિકાર અને અસ્ત્રના પરિમાણોની અવગણના કરીએ છીએ, તેને ભૌતિક બિંદુ ગણીએ છીએ.
ચાલો કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ પસંદ કરીએ. ચાલો કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ તરીકે થૂથમાંથી અસ્ત્રના પ્રસ્થાન બિંદુને લઈએ. ચાલો બળદની અક્ષને આડી રીતે દિશામાન કરીએ, અને ઓય અક્ષને ઊભી રીતે, તેમને બંદૂકના બેરલ સાથે સમાન વિમાનમાં મૂકીએ. જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ન હોત, તો અસ્ત્ર ઓક્સ અક્ષ સાથે એક ખૂણો બનાવીને સીધી રેખામાં આગળ વધશે અને તે સમય t પર અસ્ત્રના કોઓર્ડિનેટ્સ અનુક્રમે સમાન હશે: . ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે, આ ક્ષણે અસ્ત્ર એક રકમ દ્વારા ઊભી રીતે નીચે આવવું જોઈએ, તેથી, વાસ્તવમાં, ટી સમયે, અસ્ત્રના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
આ સમીકરણોમાં સતત માત્રા હોય છે. જ્યારે t બદલાય છે, ત્યારે અસ્ત્ર ટ્રેજેક્ટરી પોઈન્ટ પરના કોઓર્ડિનેટ્સ પણ બદલાશે. સમીકરણો અસ્ત્ર પ્રક્ષેપણના પેરામેટ્રિક સમીકરણો છે, જેમાં પરિમાણ સમય છે
પ્રથમ સમીકરણમાંથી અભિવ્યક્ત કરવું અને તેને બદલવું
બીજું સમીકરણ, આપણે અસ્ત્ર પ્રક્ષેપણનું સમીકરણ સ્વરૂપમાં મેળવીએ છીએ. આ એક પેરાબોલાનું સમીકરણ છે.
કાર્યને પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ કરવા દો:
(1)
જ્યાં અમુક વેરીએબલને પેરામીટર કહેવાય છે. અને ચલના ચોક્કસ મૂલ્ય પર વિધેયોને ડેરિવેટિવ્ઝ રાખવા દો.
(2)
વધુમાં, ફંક્શનમાં બિંદુના ચોક્કસ પડોશમાં વ્યસ્ત કાર્ય પણ છે.
;
.
પછી કાર્ય (1) બિંદુ પર એક વ્યુત્પન્ન છે, જે, પેરામેટ્રિક સ્વરૂપમાં, સૂત્રો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:
અહીં અને ફંક્શનના ડેરિવેટિવ્ઝ છે અને ચલ (પેરામીટર) ના સંદર્ભમાં.
તેઓ ઘણીવાર નીચે પ્રમાણે લખવામાં આવે છે:
.
પછી સિસ્ટમ (2) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે:
.
પુરાવો
.
શરત દ્વારા, ફંક્શનમાં વ્યસ્ત કાર્ય છે. ચાલો તેને તરીકે દર્શાવીએ
પછી મૂળ કાર્યને જટિલ કાર્ય તરીકે રજૂ કરી શકાય છે:
ચાલો જટિલ અને વ્યસ્ત કાર્યોને અલગ પાડવાના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
.
નિયમ સાબિત થયો છે.
.
બીજી રીતે સાબિતી
.
ચાલો બિંદુ પરના કાર્યના વ્યુત્પન્નની વ્યાખ્યાના આધારે, બીજી રીતે વ્યુત્પન્ન શોધીએ:
ચાલો નોટેશન રજૂ કરીએ:
;
;
;
.
પછી પાછલું સૂત્ર ફોર્મ લે છે:
.
ચાલો એ હકીકતનો લાભ લઈએ કે ફંક્શનમાં બિંદુની પડોશમાં વ્યસ્ત કાર્ય છે.
.
શરત દ્વારા, ફંક્શનમાં વ્યસ્ત કાર્ય છે. ચાલો તેને તરીકે દર્શાવીએ
ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ:
અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને આના દ્વારા વિભાજિત કરો:
(1)
ખાતે, . પછી
(2)
ઉચ્ચ ઓર્ડર ડેરિવેટિવ્ઝ
.
ઉચ્ચ ઓર્ડરના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે, ઘણી વખત ભિન્નતા કરવી જરૂરી છે. ચાલો કહીએ કે આપણે નીચેના ફોર્મમાંથી પેરામેટ્રિક રીતે વ્યાખ્યાયિત ફંક્શનનું સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે:
(3)
ફોર્મ્યુલા (2) નો ઉપયોગ કરીને આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ, જે પેરામેટ્રિક રીતે પણ નક્કી કરવામાં આવે છે:
ચાલો ચલ દ્વારા પ્રથમ વ્યુત્પન્નતા દર્શાવીએ:
.
પછી, વેરીએબલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું બીજું ડેરિવેટિવ શોધવા માટે, તમારે ચલના સંદર્ભમાં ફંક્શનનું પ્રથમ ડેરિવેટિવ શોધવાની જરૂર છે.
.
ચલ પર ચલની અવલંબન પણ પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ થયેલ છે:
સૂત્રો (1) અને (2) સાથે (3) ની સરખામણી કરીને, આપણે શોધીએ છીએ:
.
હવે ચાલો ફંક્શન્સ દ્વારા પરિણામ વ્યક્ત કરીએ અને .
નોંધ કરો કે આપણે વ્યુત્પન્ન માટે સંકેત દાખલ કરવાની જરૂર નથી.
;
.
તમે તેને આ રીતે લખી શકો છો:
ઉદાહરણ 1
પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
ઉકેલ
અમે આદર સાથે ડેરિવેટિવ્ઝ શોધીએ છીએ.
;
.
ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકમાંથી આપણે શોધીએ છીએ:
.
અમે અરજી કરીએ છીએ:
.
અમે અરજી કરીએ છીએ:
અહીં .
.
આવશ્યક વ્યુત્પન્ન:
જવાબ આપો
ઉદાહરણ 2
પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
પરિમાણ દ્વારા વ્યક્ત કરેલ કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
.
ચાલો પાવર ફંક્શન્સ અને રૂટ માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ:
.
વ્યુત્પન્ન શોધવું:
.
વ્યુત્પન્ન શોધવી.
.
આવશ્યક વ્યુત્પન્ન:
આ કરવા માટે, અમે ચલ રજૂ કરીએ છીએ અને જટિલ કાર્યના વ્યુત્પન્ન માટે સૂત્ર લાગુ કરીએ છીએ.
અમે ઇચ્છિત વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ:
પરિમાણિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યનું વ્યુત્પન્ન શોધો:
ઉદાહરણ 3
ઉદાહરણ 1 માં પેરામેટ્રિક રીતે વ્યાખ્યાયિત કાર્યના બીજા અને ત્રીજા ક્રમના ડેરિવેટિવ્ઝ શોધો:
ઉદાહરણ 1 માં અમને પ્રથમ ઓર્ડર વ્યુત્પન્ન મળ્યો:
ચાલો હોદ્દો રજૂ કરીએ.
.
પછી કાર્ય આદર સાથે વ્યુત્પન્ન છે.
.
તે પેરામેટ્રિક રીતે સ્પષ્ટ થયેલ છે:
.
ના સંદર્ભમાં બીજું વ્યુત્પન્ન શોધવા માટે, આપણે પ્રથમ વ્યુત્પન્નને સંદર્ભમાં શોધવાની જરૂર છે.
ચાલો દ્વારા તફાવત કરીએ.
અમને ઉદાહરણ 1 માં નું વ્યુત્પન્ન મળ્યું:
.
આના સંદર્ભમાં સેકન્ડ-ઓર્ડર ડેરિવેટિવ એ આ સંદર્ભમાં પ્રથમ-ક્રમના વ્યુત્પન્ન સમાન છે:
.
તેથી, અમને પેરામેટ્રિક સ્વરૂપના સંદર્ભમાં બીજા-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન મળ્યું:
.
હવે આપણે ત્રીજો ક્રમ વ્યુત્પન્ન શોધીએ છીએ. ચાલો હોદ્દો રજૂ કરીએ.
પછી આપણે ફંક્શનના પ્રથમ-ક્રમનું વ્યુત્પન્ન શોધવાની જરૂર છે, જે પેરામેટ્રિક રીતે ઉલ્લેખિત છે:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
આવશ્યક વ્યુત્પન્ન:
ના સંદર્ભમાં વ્યુત્પન્ન શોધો.
આ કરવા માટે, અમે તેને સમાન સ્વરૂપમાં ફરીથી લખીએ છીએ:
