બહુકોણ એ પ્લેનનો એક ભાગ છે જે બંધ તૂટેલી રેખાથી બંધાયેલ છે. બહુકોણના ખૂણા બહુકોણના શિરોબિંદુઓના બિંદુઓ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. બહુકોણના ખૂણાના શિરોબિંદુઓ અને બહુકોણના શિરોબિંદુઓ સંયોગ બિંદુઓ છે.
વ્યાખ્યા. સમાંતરગ્રામ એ એક ચતુર્ભુજ છે જેની વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર છે.
સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મો
1. વિરોધી બાજુઓ સમાન છે.
ફિગ માં. 11 એબી = સીડી; બી.સી. = ઈ.સ.
2. વિરોધી ખૂણા સમાન છે (બે તીવ્ર અને બે સ્થૂળ ખૂણા).
ફિગ માં. 11∠ એ = ∠સી; ∠બી = ∠ડી.
3 કર્ણ (બે વિરોધી શિરોબિંદુઓને જોડતા રેખા વિભાગો) છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે.
ફિગ માં. 11 વિભાગો એ.ઓ. = ઓ.સી.; બી.ઓ. = ઓ.ડી..
વ્યાખ્યા. ટ્રેપેઝોઇડ એ એક ચતુષ્કોણ છે જેમાં બે વિરુદ્ધ બાજુઓ સમાંતર હોય છે અને અન્ય બે નથી.
સમાંતર બાજુઓ તેણીને કહેવામાં આવે છે કારણો, અને અન્ય બે બાજુઓ છે બાજુઓ.
ટ્રેપેઝોઇડ્સના પ્રકાર
1. ટ્રેપેઝોઇડ, જેની બાજુઓ સમાન નથી,
કહેવાય છે બહુમુખી(ફિગ. 12).
2. ટ્રેપેઝોઇડ જેની બાજુઓ સમાન હોય તેને કહેવામાં આવે છે સમદ્વિબાજુ(ફિગ. 13).
3. ટ્રેપેઝોઇડ જેમાં એક બાજુ પાયા સાથે જમણો ખૂણો બનાવે છે તેને કહેવામાં આવે છે લંબચોરસ(ફિગ. 14).
ટ્રેપેઝોઈડ (ફિગ. 15) ની બાજુની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને ટ્રેપેઝોઈડની મધ્યરેખા કહેવામાં આવે છે ( MN). ટ્રેપેઝોઇડની મધ્યરેખા પાયાની સમાંતર અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી છે.
ટ્રેપેઝોઇડને કપાયેલ ત્રિકોણ (ફિગ. 17) કહી શકાય, તેથી ટ્રેપેઝોઇડના નામ ત્રિકોણના નામ જેવા જ છે (ત્રિકોણ સ્કેલેન, સમદ્વિબાજુ, લંબચોરસ છે).
સમાંતરગ્રામ અને ટ્રેપેઝોઇડનો વિસ્તાર
નિયમ. સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળતેની બાજુના ઉત્પાદન અને આ બાજુએ દોરેલી ઊંચાઈ સમાન છે.
મધ્ય રેખાપ્લાનિમેટ્રીમાં આકૃતિઓ - આપેલ આકૃતિની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ. ખ્યાલનો ઉપયોગ નીચેના આંકડાઓ માટે થાય છે: ત્રિકોણ, ચતુર્ભુજ, ટ્રેપેઝોઇડ.
ત્રિકોણની મધ્ય રેખા
ગુણધર્મો
- ત્રિકોણની મધ્ય રેખા પાયાની સમાંતર અને તેના અડધા જેટલી છે.
- મધ્ય રેખા 1/2 ના ગુણાંક સાથે મૂળ સમાન અને હોમોથેટિક ત્રિકોણને કાપી નાખે છે; તેનું ક્ષેત્રફળ મૂળ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગ જેટલું છે.
- ત્રણ મધ્ય રેખાઓ મૂળ ત્રિકોણને ચાર સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે. આ ત્રિકોણના મધ્ય ભાગને પૂરક અથવા મધ્ય ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે.
ચિહ્નો
- જો કોઈ સેગમેન્ટ ત્રિકોણની એક બાજુની સમાંતર હોય અને ત્રિકોણની એક બાજુના મધ્યબિંદુને ત્રિકોણની બીજી બાજુએ આવેલા બિંદુ સાથે જોડે, તો આ મધ્યરેખા છે.
ચતુષ્કોણની મધ્યરેખા
ચતુષ્કોણની મધ્યરેખા- ચતુષ્કોણની વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો ભાગ.
ગુણધર્મો
પ્રથમ રેખા 2 વિરુદ્ધ બાજુઓને જોડે છે. બીજો અન્ય 2 વિરુદ્ધ બાજુઓને જોડે છે. ત્રીજું બે કર્ણના કેન્દ્રોને જોડે છે (તમામ ચતુર્ભુજમાં નહીં કે કર્ણને આંતરછેદના બિંદુએ અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે).
- જો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં મધ્ય રેખા ચતુષ્કોણના કર્ણ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે, તો કર્ણ સમાન છે.
- ચતુર્ભુજની મધ્યરેખાની લંબાઈ અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતાં અડધા કરતાં ઓછી અથવા તેની બરાબર હોય તો જો આ બાજુઓ સમાંતર હોય, અને માત્ર આ કિસ્સામાં.
- મનસ્વી ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સમાંતર ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે. તેનું ક્ષેત્રફળ ચતુષ્કોણના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે, અને તેનું કેન્દ્ર મધ્ય રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ પર આવેલું છે. આ સમાંતરગ્રામને વેરિગ્નન સમાંતરચતુષ્કોણ કહેવાય છે;
- છેલ્લા બિંદુનો અર્થ નીચે મુજબ છે: બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં તમે ચાર દોરી શકો છો બીજા પ્રકારની મધ્ય રેખાઓ. બીજા પ્રકારની મધ્ય રેખાઓ- ચતુષ્કોણની અંદરના ચાર વિભાગો, કર્ણની સમાંતર તેની બાજુની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. ચાર બીજા પ્રકારની મધ્ય રેખાઓબહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાંથી, તેને ચાર ત્રિકોણ અને એક કેન્દ્રિય ચતુષ્કોણમાં કાપો. આ કેન્દ્રિય ચતુર્ભુજ એક વેરિગ્નન સમાંતરગ્રામ છે.
- ચતુર્ભુજની મધ્ય રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ તેમનો સામાન્ય મધ્યબિંદુ છે અને કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને દ્વિભાજિત કરે છે. વધુમાં, તે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓનું કેન્દ્રબિંદુ છે.
- મનસ્વી ચતુષ્કોણમાં, મધ્ય રેખાનો વેક્ટર પાયાના વેક્ટરના અડધા સરવાળા જેટલો હોય છે.
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા- આ ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ. ટ્રેપેઝોઈડના પાયાના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને ટ્રેપેઝોઈડની બીજી મધ્યરેખા કહેવામાં આવે છે.
તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), ક્યાં ઈ.સઅને બી.સી.- ટ્રેપેઝોઇડનો આધાર.
ભૌમિતિક આકારોની મધ્ય રેખાઓ
વૈજ્ઞાનિક કાર્ય
1. મિડલાઇનના ગુણધર્મો
1. ત્રિકોણના ગુણધર્મો:
· જ્યારે ત્રણેય મધ્ય રેખાઓ દોરવામાં આવે છે, ત્યારે 4 સમાન ત્રિકોણ બને છે, જે 1/2 ના ગુણાંક સાથે મૂળ સમાન હોય છે.
· મધ્ય રેખા ત્રિકોણના પાયાની સમાંતર અને તેના અડધા જેટલી છે;
· મધ્ય રેખા એક ત્રિકોણને કાપી નાખે છે જે આ સમાન હોય છે, અને તેનું ક્ષેત્રફળ તેના ક્ષેત્રફળના એક ચતુર્થાંશ જેટલું છે.
2. ચતુષ્કોણના ગુણધર્મો:
· જો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં મધ્ય રેખા ચતુષ્કોણના કર્ણ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે, તો કર્ણ સમાન છે.
ચતુર્ભુજની મધ્યરેખાની લંબાઈ અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતાં અડધા કરતાં ઓછી અથવા તેની બરાબર હોય તો જો આ બાજુઓ સમાંતર હોય, અને માત્ર આ કિસ્સામાં.
મનસ્વી ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સમાંતર ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે. તેનો વિસ્તાર ચતુષ્કોણના અડધા વિસ્તાર જેટલો છે અને તેનું કેન્દ્ર મધ્ય રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ પર આવેલું છે. આ સમાંતર ચતુર્ભુજને વેરિનોન્સ સમાંતર ચતુષ્કોણ કહેવાય છે;
· ચતુર્ભુજની મધ્ય રેખાઓના આંતરછેદનું બિંદુ એ તેમનો સામાન્ય મધ્યબિંદુ છે અને કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને દ્વિભાજિત કરે છે. વધુમાં, તે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓનું કેન્દ્રબિંદુ છે.
3. ટ્રેપેઝોઇડના ગુણધર્મો:
· મધ્ય રેખા ટ્રેપેઝોઇડના પાયાની સમાંતર અને તેમના અર્ધ સરવાળા જેટલી હોય છે;
સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સમચતુર્ભુજના શિરોબિંદુઓ છે.
દ્વિપદી ગુણાંક
Cnk નંબરોમાં અસંખ્ય નોંધપાત્ર ગુણધર્મો છે. આ ગુણધર્મ આખરે આપેલ સમૂહ X ના સબસેટ વચ્ચે વિવિધ સંબંધોને વ્યક્ત કરે છે. તેઓ સીધા જ સૂત્ર (1)...ના આધારે સાબિત થઈ શકે છે.
દ્વિપદી ગુણાંક
1. વિસ્તરણ ગુણાંક (a + b)n નો સરવાળો 2n ની બરાબર છે. તેને સાબિત કરવા માટે, a = b = 1 મૂકવું પૂરતું છે. પછી દ્વિપદી વિસ્તરણની જમણી બાજુએ આપણી પાસે દ્વિપદી ગુણાંકનો સરવાળો હશે, અને ડાબી બાજુએ: (1 + 1)n = 2n. 2.સદસ્ય ગુણાંક...
સમીકરણની વિભાવના સાથે સંબંધિત સામગ્રીના મહત્વ અને વિશાળતાને લીધે, ગણિતની આધુનિક પદ્ધતિઓમાં તેનો અભ્યાસ સમીકરણો અને અસમાનતાઓની સામગ્રી-પદ્ધતિગત રેખામાં ગોઠવવામાં આવે છે...
બિન-ઋણાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગુણાકાર અર્ધજૂથો
ચાલો S એ 1 અને એકતાના કોઈ વિભાજક સાથેનું વિનિમયાત્મક ગુણાકાર અફર અર્ધજૂથ બનીએ. આવા અર્ધજૂથોને અભિન્ન અથવા કોનિક કહેવામાં આવે છે. જો gcd(,)=1...
અમારા અભ્યાસનો વિષય સરેરાશ મૂલ્ય હશે, ચાલો આપણે સૌ પ્રથમ સાહિત્યમાં સરેરાશને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે તે વિશે વાત કરીએ. નીચે પ્રમાણે ઘણી શરતોને સમાવતા મજબૂત વ્યાખ્યા છે. વ્યાખ્યા...
શાસ્ત્રીય સરેરાશનું સામાન્યીકરણ
અમે હવે અર્ધ-સરેરાશ માટે ઉપર દર્શાવેલ સ્વયંસિદ્ધ વ્યાખ્યાનો ઉલ્લેખ કરવા માટે તૈયાર છીએ. અમે ખાસ કિસ્સાઓથી શરૂ કરીશું - સૌથી સરળ સરેરાશ...
ગાણિતિક આંકડાઓની મૂળભૂત વિભાવનાઓ
અંતરાલ ભિન્નતા શ્રેણી માટે અંકગણિત સરેરાશની ગણતરી કરતી વખતે, પ્રથમ ઉપલા અને નીચલા મર્યાદાના અડધા સરવાળા તરીકે દરેક અંતરાલ માટે સરેરાશ નક્કી કરો અને પછી સમગ્ર શ્રેણીનો સરેરાશ. સરેરાશ...
પ્રાયોગિક ડેટા પર પ્રક્રિયા કરવાની સૌથી સરળ રીતો
વાસ્તવિક પ્રક્રિયાઓનું વર્ણન કરવા માટે ઉપરોક્ત પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ.
જો કે, કઈ પદ્ધતિ ચોક્કસ પ્રક્રિયાને સૌથી વધુ સચોટ રીતે વર્ણવે છે તે વિશે અસ્પષ્ટ નિષ્કર્ષ કાઢવો અશક્ય છે. ઉદાહરણ તરીકે...
ઝેરનું વિતરણ. ઘટનાઓના સરળ પ્રવાહના સ્વયંસિદ્ધ
હવે તે કેસને ધ્યાનમાં લો જ્યારે બંને વસ્તી સામાન્ય વિતરણને આધીન હોય, પરંતુ બે સામાન્ય ભિન્નતાઓની સમાનતા વિશેની પૂર્વધારણાઓની કસોટી સમાનતાની પૂર્વધારણાના અસ્વીકારમાં સમાપ્ત થાય છે...
વ્યક્તિલક્ષી VAS અને પ્રતિક્રિયાશીલ સંધિવા પ્રવૃત્તિના પ્રયોગશાળા સંકેતો વચ્ચેના સહસંબંધનું રીગ્રેશન વિશ્લેષણ
પ્રેક્ટિસના ઘણા કિસ્સાઓમાં, વિચારણા હેઠળની લાક્ષણિકતા પર એક અથવા બીજા પરિબળનો પ્રભાવ કેટલી હદે નોંધપાત્ર છે તે પ્રશ્ન છે. આ કિસ્સામાં, પરિબળ એ ચેપનો પ્રકાર છે જેના કારણે પ્રતિક્રિયાશીલ સંધિવા અને ESR, CRP ના ચિહ્નો...
રેન્ડમ વેક્ટર
રેન્ડમ ચલોની સહપ્રવૃત્તિ તેમની સંયુક્ત સંભાવના ઘનતા દ્વારા સંબંધ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: . (57.1) (57.1) માં ઇન્ટિગ્રેન્ડ તે માટે બિન-નકારાત્મક છે જેના માટે, એટલે કે, માટે, અથવા, . અને ઊલટું, ક્યારે, અથવા...
ભેજ સામગ્રીની આંકડાકીય ગણતરીઓ
વિવિધ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યાત્મક એકીકરણ
લંબચોરસ પદ્ધતિ ઇન્ટિગ્રેન્ડને સ્થિરાંક સાથે બદલીને મેળવવામાં આવે છે. સ્થિર તરીકે, તમે સેગમેન્ટ પર કોઈપણ બિંદુએ ફંક્શનનું મૂલ્ય લઈ શકો છો. સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતા ફંક્શન મૂલ્યો સેગમેન્ટની મધ્યમાં અને તેના છેડે છે...
સંખ્યાત્મક પદ્ધતિઓ
1 ડાબી અને જમણી લંબચોરસ પદ્ધતિઓની ભૂલને ઘટાડવા માટે, સરેરાશ પદ્ધતિ પ્રસ્તાવિત કરવામાં આવી હતી, એટલે કે. એક પદ્ધતિ જેમાં લંબચોરસની ઊંચાઈ h સેગમેન્ટની મધ્યમાં ગણવામાં આવે છે (ફિગ. 7). આકૃતિનો ઉલ્લેખ કરીને તે જોવાનું સરળ છે ...
ગોમેલ સાયન્ટિફિક એન્ડ પ્રેક્ટિકલ કોન્ફરન્સ ઓફ સ્કૂલનાં બાળકો ગણિત, તેની એપ્લિકેશન્સ અને ઇન્ફર્મેશન ટેક્નોલોજીઓ પર "શોધ"
શૈક્ષણિક અને સંશોધન કાર્ય
ભૌમિતિક આકારોની મધ્ય રેખાઓ
મોરોઝોવા એલિઝાવેટા
ગોમેલ 2010
પરિચય
1.મિડલાઇનના ગુણધર્મો
2. ત્રિકોણ, ચતુર્ભુજ, સમાંતર
3. ચતુર્ભુજ, ટેટ્રાહેડ્રોન. સમૂહના કેન્દ્રો
4. ટેટ્રાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, સમાંતર, સમઘન
નિષ્કર્ષ
વપરાયેલ સાહિત્યની સૂચિ
અરજી
ભૂમિતિ એ સામાન્ય સંસ્કૃતિનો એક અભિન્ન ભાગ છે, અને ભૌમિતિક પદ્ધતિઓ વિશ્વને સમજવા, આસપાસની જગ્યા વિશે વૈજ્ઞાનિક વિચારોની રચના અને બ્રહ્માંડની સંવાદિતા અને સંપૂર્ણતાની શોધમાં ફાળો આપે છે. ભૂમિતિ ત્રિકોણથી શરૂ થાય છે. હવે બે સહસ્ત્રાબ્દીઓથી, ત્રિકોણ ભૂમિતિનું પ્રતીક છે, પરંતુ તે પ્રતીક નથી. ત્રિકોણ એ ભૂમિતિનો અણુ છે. ત્રિકોણ અખૂટ છે - તેના નવા ગુણધર્મો સતત શોધવામાં આવે છે. તેના તમામ જાણીતા ગુણધર્મો વિશે વાત કરવા માટે, તમારે મહાન જ્ઞાનકોશના વોલ્યુમ સાથે તુલનાત્મક વોલ્યુમની જરૂર છે. અમે ભૌમિતિક આકારોની મધ્ય રેખાઓ અને તેમના ગુણધર્મો વિશે વાત કરવા માંગીએ છીએ.
અમારું કાર્ય પ્રમેયની સાંકળ શોધી કાઢે છે જે સમગ્ર ભૂમિતિ અભ્યાસક્રમને આવરી લે છે. તે ત્રિકોણની મધ્ય રેખાઓ વિશેના પ્રમેયથી શરૂ થાય છે અને ટેટ્રાહેડ્રોન અને અન્ય પોલિહેડ્રાના રસપ્રદ ગુણધર્મો તરફ દોરી જાય છે.
આકૃતિની મધ્યરેખા એ આપેલ આકૃતિની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ છે.
1. મિડલાઇનના ગુણધર્મો
ત્રિકોણના ગુણધર્મો:
જ્યારે ત્રણેય મધ્ય રેખાઓ દોરવામાં આવે છે, ત્યારે 4 સમાન ત્રિકોણ બને છે, જે 1/2 ના ગુણાંક સાથે મૂળ સમાન હોય છે.
મધ્ય રેખા ત્રિકોણના પાયાની સમાંતર અને તેના અડધા જેટલી છે;
મધ્ય રેખા એક ત્રિકોણને કાપી નાખે છે જે આ સમાન હોય છે, અને તેનું ક્ષેત્રફળ તેના ક્ષેત્રફળનો એક ચતુર્થાંશ છે.
ચતુર્ભુજના ગુણધર્મો:
જો બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં મધ્ય રેખા ચતુષ્કોણના કર્ણ સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે, તો કર્ણ સમાન છે.
ચતુર્ભુજની મધ્યરેખાની લંબાઈ અન્ય બે બાજુઓના સરવાળા કરતાં અડધા કરતાં ઓછી અથવા તેની બરાબર હોય તો જો આ બાજુઓ સમાંતર હોય, અને માત્ર આ કિસ્સામાં.
મનસ્વી ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સમાંતર ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ છે.
તેનું ક્ષેત્રફળ ચતુષ્કોણના અડધા ક્ષેત્રફળ જેટલું છે, અને તેનું કેન્દ્ર મધ્ય રેખાઓના આંતરછેદના બિંદુ પર આવેલું છે. આ સમાંતર ચતુર્ભુજને વેરિનોન્સ સમાંતર ચતુષ્કોણ કહેવાય છે;
ચતુર્ભુજની મધ્ય રેખાઓના આંતરછેદનો બિંદુ એ તેમનો સામાન્ય મધ્યબિંદુ છે અને કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતા સેગમેન્ટને દ્વિભાજિત કરે છે. વધુમાં, તે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓનું કેન્દ્રબિંદુ છે.
ટ્રેપેઝોઇડ ગુણધર્મો:
મધ્ય રેખા ટ્રેપેઝોઇડના પાયાની સમાંતર છે અને તેમના અર્ધ સરવાળાની બરાબર છે;
સમદ્વિબાજુ ટ્રેપેઝોઇડની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સમચતુર્ભુજના શિરોબિંદુઓ છે.
કોઈપણ ત્રિકોણ KLM સાથે, ત્રણ સમાન ત્રિકોણ AKM, BLK, CLM જોડી શકાય છે, જેમાંથી પ્રત્યેક ત્રિકોણ KLM સાથે મળીને સમાંતર ચતુષ્કોણ બનાવે છે (ફિગ. 1). આ કિસ્સામાં, AK = ML = KB, અને શિરોબિંદુ K ત્રિકોણના ત્રણ જુદા જુદા ખૂણાના સમાન ત્રણ ખૂણાને અડીને છે, કુલ 180° છે, તેથી K એ સેગમેન્ટ AB ની મધ્ય છે; તેવી જ રીતે, L એ સેગમેન્ટ BC નો મધ્યબિંદુ છે, અને M એ સેગમેન્ટ CA નો મધ્યબિંદુ છે.
પ્રમેય 1. જો આપણે કોઈપણ ત્રિકોણમાં બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડીએ, તો આપણને ચાર સમાન ત્રિકોણ મળે છે, જેમાં મધ્ય એક બીજા ત્રણમાંથી દરેક સાથે સમાંતર ચતુષ્કોણ બનાવે છે.
આ ફોર્મ્યુલેશનમાં ત્રિકોણની ત્રણેય મધ્ય રેખાઓ એક સાથે સામેલ છે.
પ્રમેય 2. ત્રિકોણની બે બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતો ખંડ ત્રિકોણની ત્રીજી બાજુની સમાંતર અને તેના અડધા જેટલો છે (જુઓ આકૃતિ 1).
તે આ પ્રમેય અને તેની વાતચીત છે - કે એક સીધી રેખા આધારની સમાંતર અને ત્રિકોણની એક બાજુની મધ્યમાંથી પસાર થતી બીજી બાજુને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે - સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે મોટાભાગે જરૂરી છે.
ત્રિકોણની મધ્ય રેખાઓ પરના પ્રમેયમાંથી ટ્રેપેઝોઇડ (ફિગ. 2) ની મધ્યરેખાના ગુણધર્મને અનુસરે છે, તેમજ મનસ્વી ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા વિભાગો પરના પ્રમેયને અનુસરે છે.
પ્રમેય 3. ચતુર્ભુજની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ સમાંતરગ્રામના શિરોબિંદુઓ છે. આ સમાંતર ચતુષ્કોણની બાજુઓ ચતુષ્કોણના કર્ણની સમાંતર છે અને તેમની લંબાઈ કર્ણની અડધી લંબાઈ જેટલી છે.
વાસ્તવમાં, જો K અને L એ બાજુઓ AB અને BC (ફિગ. 3) ના મધ્યબિંદુઓ છે, તો KL એ ત્રિકોણ ABC ની મધ્યરેખા છે, તેથી KL સેગમેન્ટ વિકર્ણ AC ની સમાંતર છે અને તેના અડધા જેટલી છે; જો M અને N એ બાજુઓ CD અને AD ના મધ્યબિંદુઓ છે, તો MN પણ AC ને સમાંતર અને AC/2 ની બરાબર છે. આમ, KL અને MN સેગમેન્ટ્સ એકબીજાના સમાંતર અને સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે ચતુષ્કોણ KLMN એક સમાંતરગ્રામ છે.
પ્રમેય 3 ના પરિણામે, અમને એક રસપ્રદ હકીકત મળે છે (ભાગ 4).
પ્રમેય 4. કોઈપણ ચતુર્ભુજમાં, વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા ભાગોને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વહેંચવામાં આવે છે.
આ વિભાગોમાં તમે સમાંતરગ્રામના કર્ણ જોઈ શકો છો (ફિગ. 3 જુઓ), અને સમાંતરચતુષ્કોણમાં કર્ણને આંતરછેદના બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે (આ બિંદુ સમાંતરગ્રામની સપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર છે).
આપણે જોઈએ છીએ કે પ્રમેય 3 અને 4 અને આપણો તર્ક બંને બિન-બહિર્મુખ ચતુર્ભુજ માટે અને સ્વ-છેદતા ચતુષ્કોણ બંધ તૂટેલી રેખા માટે બંને સાચા રહે છે (ફિગ. 4; પછીના કિસ્સામાં તે બહાર આવી શકે છે કે સમાંતર KLMN "અધોગતિ" છે. - બિંદુઓ K, L, M, N સમાન સીધી રેખા પર આવેલા છે).
ચાલો આપણે બતાવીએ કે પ્રમેય 3 અને 4 થી આપણે ત્રિકોણના મધ્યક પર મુખ્ય પ્રમેય કેવી રીતે મેળવી શકીએ.
પ્રમેય5 . ત્રિકોણના મધ્યકો એક બિંદુ પર છેદે છે અને તેને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે (જે શિરોબિંદુમાંથી મધ્યક દોરવામાં આવ્યો છે તેમાંથી ગણતરી).
ચાલો ત્રિકોણ ABC ના બે મધ્યક AL અને SC દોરીએ. O તેમના આંતરછેદ બિંદુ બનવા દો. બિન-બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ ABCO ની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ K, L, M અને N (ફિગ. 5) બિંદુઓ છે - સમાંતર ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ, અને અમારા રૂપરેખાંકન માટે તેના કર્ણ KM અને LN ના આંતરછેદના બિંદુ હશે મધ્યક O ના આંતરછેદનું બિંદુ. તેથી, AN = NO = OL અને CM = MO = OK, એટલે કે બિંદુ O એ દરેક મધ્યક AL અને CK ને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
મધ્યક SC ને બદલે, અમે શિરોબિંદુ B માંથી દોરેલા મધ્યકને ધ્યાનમાં લઈ શકીએ અને ખાતરી કરી શકીએ કે તે મધ્યક AL ને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરે છે, એટલે કે તે સમાન બિંદુ Oમાંથી પસાર થાય છે.
3. ચતુષ્કોણ અને ટેટ્રાહેડ્રોન. સમૂહના કેન્દ્રો
પ્રમેય 3 અને 4 એ ચાર કડીઓ AB, BC, CD, DA ધરાવતી કોઈપણ અવકાશી બંધ તૂટેલી રેખા માટે પણ સાચા છે, જેના ચાર શિરોબિંદુ A, B, C, D એક જ સમતલમાં આવેલા નથી.
આવા અવકાશી ચતુર્ભુજને કાગળમાંથી ચતુર્ભુજ ABCD કાપીને અને તેને ચોક્કસ ખૂણા પર ત્રાંસા વાળીને મેળવી શકાય છે (ફિગ. 6, a). તે સ્પષ્ટ છે કે ત્રિકોણ ABC અને ADC ની મધ્ય રેખાઓ KL અને MN તેમની મધ્ય રેખાઓ રહે છે અને તે સેગમેન્ટ AC ની સમાંતર અને AC/2 ની સમાન હશે. (અહીં આપણે એ હકીકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ કે સમાંતર રેખાઓનો મૂળભૂત ગુણધર્મ અવકાશ માટે સાચો રહે છે: જો બે રેખાઓ KL અને MN ત્રીજી રેખા ACની સમાંતર હોય, તો KL અને MN એક જ સમતલમાં રહે છે અને એકબીજાની સમાંતર હોય છે.)
આમ, બિંદુઓ K, L, M, N એ સમાંતરગ્રામના શિરોબિંદુઓ છે; આમ, સેગમેન્ટ્સ KM અને LN છેદે છે અને આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે. ચતુર્ભુજને બદલે, આપણે ટેટ્રાહેડ્રોન વિશે વાત કરી શકીએ છીએ - એક ત્રિકોણાકાર પિરામિડ ABCD: મધ્યબિંદુઓ K, L, M, N તેની કિનારીઓ AB, AC, CD અને DA હંમેશા એક જ પ્લેનમાં રહે છે. આ સમતલ (ફિગ. 6, b) સાથે ટેટ્રાહેડ્રોનને કાપીને, આપણે એક સમાંતરગ્રામ KLMN મેળવીએ છીએ, જેની બે બાજુઓ ધાર ACની સમાંતર અને સમાન હોય છે.
AC/2, અને અન્ય બે એજ BD ને સમાંતર અને BD/2 ની બરાબર છે.
સમાન સમાંતર ચતુષ્કોણ - ટેટ્રાહેડ્રોનનો "મધ્યમ વિભાગ" - વિરુદ્ધ ધારની અન્ય જોડી માટે બનાવી શકાય છે. આ ત્રણ સમાંતરગ્રામોમાંથી દરેક બેમાં એક સામાન્ય કર્ણ હોય છે. આ કિસ્સામાં, કર્ણના મધ્યબિંદુઓ એકરૂપ થાય છે. તેથી અમને એક રસપ્રદ પરિણામ મળે છે:
પ્રમેય 6. ટેટ્રાહેડ્રોનની વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓને જોડતા ત્રણ વિભાગો એક બિંદુએ છેદે છે અને તેના દ્વારા અડધા ભાગમાં વિભાજિત થાય છે (ફિગ. 7).
ઉપરોક્ત ચર્ચા કરેલ આ અને અન્ય હકીકતો મિકેનિક્સની ભાષામાં કુદરતી રીતે સમજાવવામાં આવી છે - સમૂહના કેન્દ્રની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને. પ્રમેય 5 ત્રિકોણના એક નોંધપાત્ર બિંદુ વિશે વાત કરે છે - મધ્યના આંતરછેદના બિંદુ; પ્રમેય 6 માં - ટેટ્રેહેડ્રોનના ચાર શિરોબિંદુઓ માટે એક નોંધપાત્ર બિંદુ વિશે. આ બિંદુઓ અનુક્રમે ત્રિકોણ અને ટેટ્રાહેડ્રોનના સમૂહના કેન્દ્રો છે. ચાલો પહેલા મધ્યક પર પ્રમેય 5 પર પાછા આવીએ.
ચાલો ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર ત્રણ સરખા વજન મૂકીએ (ફિગ. 8).
ચાલો દરેકના સમૂહને એક તરીકે લઈએ. ચાલો આ લોડ સિસ્ટમના સમૂહનું કેન્દ્ર શોધીએ.
ચાલો આપણે પહેલા શિરોબિંદુ A અને B પર સ્થિત બે ભારને ધ્યાનમાં લઈએ: તેમના દળનું કેન્દ્ર AB સેગમેન્ટની મધ્યમાં સ્થિત છે, તેથી આ વજનને AB (AB) ખંડના મધ્ય K માં મુકવામાં આવેલા સમૂહ 2 ના એક ભારથી બદલી શકાય છે. ફિગ. 8, એ). હવે તમારે બે ભારવાળી સિસ્ટમના દળનું કેન્દ્ર શોધવાની જરૂર છે: એક બિંદુ C પર દળ 1 ધરાવતું અને બિંદુ K પર દળ 2 ધરાવતું બીજું. લિવરના નિયમ મુજબ, આવી સિસ્ટમના દળનું કેન્દ્ર અહીં સ્થિત છે. બિંદુ O, સેગમેન્ટ SC ને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરીને (મોટા સમૂહ સાથે બિંદુ K પર લોડની નજીક - ફિગ. 8, b).
આપણે પહેલા B અને C પોઈન્ટ પરના લોડને જોડી શકીએ છીએ, અને પછી BC ના મધ્ય L સેગમેન્ટમાં પરિણામી લોડને A બિંદુ A પર લોડ સાથે જોડી શકીએ છીએ. અથવા પહેલા A અને C, a લોડને જોડી શકીએ છીએ. પછી B ઉમેરો. કોઈપણ રીતે આપણે સમાન પરિણામ મેળવવું જોઈએ. દળનું કેન્દ્ર આમ બિંદુ O પર સ્થિત છે, દરેક મધ્યકને 2:1 ના ગુણોત્તરમાં વિભાજીત કરીને, શિરોબિંદુથી ગણીને. સમાન વિચારણાઓ પ્રમેય 4 ને સમજાવી શકે છે - હકીકત એ છે કે ચતુર્ભુજની વિરુદ્ધ બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને જોડતા ભાગો એકબીજાને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે (સમાંતરગ્રામના કર્ણ તરીકે સેવા આપે છે): તે ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ પર સમાન વજન મૂકવા અને જોડવા માટે પૂરતું છે. તેમને બે રીતે જોડીમાં (ફિગ. 9).
અલબત્ત, પ્લેન પર અથવા અવકાશમાં (ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ પર) સ્થિત ચાર એકમ વજનને બે જોડીમાં ત્રણ રીતે વિભાજિત કરી શકાય છે; દળનું કેન્દ્ર બિંદુઓની આ જોડીને જોડતા વિભાગોના મધ્યબિંદુઓ વચ્ચે મધ્યમાં સ્થિત છે (ફિગ. 10) - પ્રમેય 6 ની સમજૂતી. (સપાટ ચતુષ્કોણ માટે, પ્રાપ્ત પરિણામ આના જેવું દેખાય છે: બે વિભાગો જે મધ્યબિંદુઓને જોડે છે. વિરુદ્ધ બાજુઓ, અને કર્ણના મધ્યબિંદુઓને જોડતો સેગમેન્ટ, એક બિંદુ પર છેદે છે ઓહ અને તેને અડધા ભાગમાં વહેંચો).
બિંદુ O દ્વારા - ચાર સમાન ભારના સમૂહનું કેન્દ્ર - ચાર વધુ વિભાગો પસાર થાય છે, તેમાંથી દરેકને અન્ય ત્રણના સમૂહના કેન્દ્ર સાથે જોડે છે. આ ચાર વિભાગોને 3:1 ના ગુણોત્તરમાં બિંદુ O દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે. આ હકીકતને સમજાવવા માટે, તમારે પહેલા ત્રણ વજનના સમૂહનું કેન્દ્ર શોધવું જોઈએ અને પછી ચોથાને જોડવું જોઈએ.
4. ટેટ્રાહેડ્રોન, ઓક્ટાહેડ્રોન, સમાંતર, સમઘન
કાર્યની શરૂઆતમાં, અમે મધ્ય રેખાઓ દ્વારા ચાર સમાન ત્રિકોણમાં વિભાજિત ત્રિકોણ તરફ જોયું (ફિગ. 1 જુઓ). ચાલો મનસ્વી ત્રિકોણાકાર પિરામિડ (ટેટ્રાહેડ્રોન) માટે સમાન બાંધકામ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. ચાલો ટેટ્રાહેડ્રોનને નીચે પ્રમાણે ટુકડાઓમાં કાપીએ: દરેક શિરોબિંદુમાંથી બહાર નીકળતી ત્રણ ધારની મધ્યમાંથી, અમે એક સપાટ કટ બનાવીએ છીએ (ફિગ. 11, એ). પછી ટેટ્રાહેડ્રોનમાંથી ચાર સરખા નાના ટેટ્રાહેડ્રોન કાપવામાં આવશે. ત્રિકોણ સાથે સામ્યતા દ્વારા, કોઈ એવું વિચારશે કે મધ્યમાં અન્ય સમાન ટેટ્રાહેડ્રોન હશે. પરંતુ આ એવું નથી: ચાર નાનાને દૂર કર્યા પછી મોટા ટેટ્રાહેડ્રોનમાંથી જે પોલિહેડ્રોન રહે છે તેમાં છ શિરોબિંદુઓ અને આઠ ચહેરા હશે - તેને અષ્ટાહેડ્રોન (ફિગ. 11.6) કહેવામાં આવે છે. ટેટ્રાહેડ્રોનના આકારમાં ચીઝના ટુકડાનો ઉપયોગ કરીને આને ચકાસવાની એક અનુકૂળ રીત છે. પરિણામી ઓક્ટાહેડ્રોન સમપ્રમાણતાનું કેન્દ્ર ધરાવે છે, કારણ કે ટેટ્રાહેડ્રોનની વિરુદ્ધ કિનારીઓનાં મધ્યબિંદુઓ એક સામાન્ય બિંદુ પર છેદે છે અને તેના દ્વારા વિભાજિત થાય છે.
એક રસપ્રદ બાંધકામ મધ્ય રેખાઓ દ્વારા ચાર ત્રિકોણમાં વિભાજિત ત્રિકોણ સાથે સંકળાયેલું છે: આપણે આ આકૃતિને ચોક્કસ ટેટ્રેહેડ્રોનના વિકાસ તરીકે ગણી શકીએ.
ચાલો કાગળમાંથી કાપેલા તીવ્ર ત્રિકોણની કલ્પના કરીએ. તેને મધ્ય રેખાઓ સાથે વાળીને જેથી શિરોબિંદુઓ એક બિંદુ પર એકરૂપ થાય, અને આ બિંદુએ એકરૂપ થતા કાગળની ધારને ગુંદર કરીને, અમને એક ટેટ્રેહેડ્રોન મળે છે જેમાં ચારેય ચહેરા સમાન ત્રિકોણ હોય છે; તેની વિરુદ્ધ ધાર સમાન છે (ફિગ. 12). આવા ટેટ્રાહેડ્રોનને અર્ધ-નિયમિત કહેવામાં આવે છે. આ ટેટ્રાહેડ્રોનના ત્રણ "મધ્યમ વિભાગો"માંથી પ્રત્યેક - સમાંતરગ્રામો જેની બાજુઓ વિરુદ્ધ કિનારીઓ સાથે સમાંતર છે અને તેમના અર્ધભાગ સમાન છે - એક સમચતુર્ભુજ હશે.
તેથી, આ સમાંતરગ્રામના કર્ણ - વિરુદ્ધ ધારના મધ્યબિંદુઓને જોડતા ત્રણ વિભાગો - એકબીજાને લંબરૂપ છે. અર્ધ-નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોનના અસંખ્ય ગુણધર્મો પૈકી, અમે નીચેની બાબતોની નોંધ કરીએ છીએ: તેના દરેક શિરોબિંદુઓ પર એકરૂપ થતા ખૂણાઓનો સરવાળો 180° (આ ખૂણાઓ અનુક્રમે મૂળ ત્રિકોણના ખૂણાઓ સાથે સમાન છે) બરાબર છે. ખાસ કરીને, જો આપણે સમભુજ ત્રિકોણથી શરૂઆત કરીએ, તો આપણને નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન મળે છે
કાર્યની શરૂઆતમાં આપણે જોયું કે દરેક ત્રિકોણને મોટા ત્રિકોણની મધ્ય રેખાઓ દ્વારા રચાયેલ ત્રિકોણ તરીકે ગણી શકાય. આવા બાંધકામ માટે અવકાશમાં કોઈ સીધી સામ્યતા નથી. પરંતુ તે તારણ આપે છે કે કોઈપણ ટેટ્રાહેડ્રોનને સમાંતર ના "મુખ્ય" તરીકે ગણી શકાય, જેમાં ટેટ્રાહેડ્રોનની તમામ છ ધાર ચહેરાના કર્ણ તરીકે સેવા આપે છે. આ કરવા માટે, તમારે અવકાશમાં નીચેનું બાંધકામ કરવાની જરૂર છે. ટેટ્રેહેડ્રોનની દરેક ધાર દ્વારા આપણે વિરુદ્ધ ધારની સમાંતર પ્લેન દોરીએ છીએ. ટેટ્રેહેડ્રોનની વિરુદ્ધ ધાર દ્વારા દોરવામાં આવેલા વિમાનો એકબીજાના સમાંતર હશે (તેઓ "મધ્યમ વિભાગ" ના પ્લેન સાથે સમાંતર છે - ટેટ્રેહેડ્રોનની અન્ય ચાર ધારની મધ્યમાં શિરોબિંદુઓ સાથેનો સમાંતર). આનાથી સમાંતર વિમાનોની ત્રણ જોડી ઉત્પન્ન થાય છે, જેનું આંતરછેદ ઇચ્છિત સમાંતર પાઈપ બનાવે છે (બે સમાંતર વિમાનો ત્રીજા દ્વારા સમાંતર સીધી રેખાઓ સાથે છેદે છે). ટેટ્રાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ બાંધવામાં આવેલા સમાંતર નળીવાળા (ફિગ. 13) ના ચાર બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓ તરીકે સેવા આપે છે. તેનાથી વિપરીત, કોઈપણ સમાંતરમાં તમે ચાર બિન-સંલગ્ન શિરોબિંદુઓ પસંદ કરી શકો છો અને તેમાંથી દરેક ત્રણમાંથી પસાર થતા વિમાનો સાથે ખૂણાના ટેટ્રાહેડ્રોનને કાપી શકો છો. આ પછી, એક "કોર" રહેશે - એક ટેટ્રાહેડ્રોન, જેની કિનારીઓ સમાંતરના ચહેરાના કર્ણ છે.
જો મૂળ ટેટ્રાહેડ્રોન અર્ધ-નિયમિત હોય, તો પછી બાંધવામાં આવેલા સમાંતર પાઈપનો દરેક ચહેરો સમાન કર્ણ સાથેનો સમાંતરગ્રામ હશે, એટલે કે. લંબચોરસ
વિરુદ્ધ પણ સાચું છે: લંબચોરસ સમાંતર પાઈપનો "કોર" એ અર્ધ-નિયમિત ટેટ્રાહેડ્રોન છે. ત્રણ સમચતુર્ભુજ - આવા ટેટ્રાહેડ્રોનના મધ્ય વિભાગો - ત્રણ પરસ્પર લંબરૂપ વિમાનોમાં આવેલા છે. તેઓ ખૂણાઓને કાપીને આવા ટેટ્રાહેડ્રોનમાંથી મેળવેલા અષ્ટાહેડ્રોનની સમપ્રમાણતાના પ્લેન તરીકે સેવા આપે છે.
નિયમિત ટેટ્રેહેડ્રોન માટે, તેની આસપાસ વર્ણવેલ સમાંતર પાઈપ એક ક્યુબ હશે (ફિગ. 14), અને આ ક્યુબના ચહેરાના કેન્દ્રો - ટેટ્રેહેડ્રોનની કિનારીઓની મધ્યો - નિયમિત અષ્ટાહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓ હશે, તમામ જેમના ચહેરા નિયમિત ત્રિકોણ છે. (ઓક્ટાહેડ્રોનની સપ્રમાણતાના ત્રણ પ્લેન ટેટ્રાહેડ્રોનને ચોરસમાં છેદે છે.)
આમ, આકૃતિ 14 માં આપણે તરત જ પાંચમાંથી ત્રણ પ્લેટોનિક ઘન (નિયમિત પોલિહેડ્રા) - ક્યુબ, ટેટ્રાહેડ્રોન અને ઓક્ટાહેડ્રોન જોઈએ છીએ.
નિષ્કર્ષ
કરેલા કાર્યના આધારે, નીચેના તારણો દોરી શકાય છે:
મિડલાઇન્સ ભૌમિતિક આકારોમાં વિવિધ ઉપયોગી ગુણધર્મો ધરાવે છે.
એક પ્રમેય આંકડાઓની મધ્ય રેખાનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરી શકાય છે, અને મિકેનિક્સની ભાષામાં પણ સમજાવી શકાય છે - સમૂહના કેન્દ્રની વિભાવનાનો ઉપયોગ કરીને.
મધ્ય રેખાઓનો ઉપયોગ કરીને, તમે વિવિધ પ્લાનમેટ્રિક (સમાંતરચતુષ્કોણ, સમચતુર્ભુજ, ચોરસ) અને સ્ટીરિયોમેટ્રિક આકૃતિઓ (ક્યુબ, ઓક્ટાહેડ્રોન, ટેટ્રાહેડ્રોન, વગેરે) બનાવી શકો છો.
મધ્ય રેખાઓના ગુણધર્મો કોઈપણ સ્તરની સમસ્યાઓને તર્કસંગત રીતે ઉકેલવામાં મદદ કરે છે.
વપરાયેલ સ્ત્રોતો અને સાહિત્યની યાદી
યુએસએસઆર એકેડેમી ઓફ સાયન્સ અને એકેડેમી ઓફ પેડાગોજિકલ સાયન્સ ઓફ લિટરેચરનું માસિક લોકપ્રિય વિજ્ઞાન ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ગણિત જર્નલ. “ક્વોન્ટમ નંબર 6 1989 પૃ. 46.
એસ. અક્સીમોવા. મનોરંજક ગણિત. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ, "ટ્રિગોન", 1997 પૃષ્ઠ. 526.
વી.વી.
શ્લીકોવ, એલ.ઇ. ઝેઝેટકો. ભૂમિતિમાં પ્રાયોગિક પાઠ, 10મા ધોરણ: શિક્ષકો માટે એક માર્ગદર્શિકા - Mn.: ટેટ્રાસિસ્ટમ્સ, 2004 p.
68.76, 78.
અરજી
ટ્રેપેઝોઇડની મધ્ય રેખા કર્ણના આંતરછેદ બિંદુમાંથી કેમ પસાર થઈ શકતી નથી?
BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - સમાંતર.
બિંદુઓ E અને F એ ચહેરાના કર્ણના આંતરછેદ બિંદુઓ છે. અનુક્રમે AA1B 1 B અને BB 1 C 1 C, અને બિંદુઓ K અને T અનુક્રમે પાંસળી AD અને DC ના મધ્યબિંદુઓ છે.
શું એ સાચું છે કે EF અને CT રેખાઓ સમાંતર છે? ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમમાં ABCA 1 B 1 C 1 બિંદુઓ O અને F અનુક્રમે AB અને BC ની કિનારીઓની મધ્યમાં છે. બિંદુઓ T અને K અનુક્રમે AB 1 અને BC 1 ખંડની મધ્યમાં છે. TK અને OF સીધી રેખાઓ કેવી રીતે સ્થિત છે? ABCA 1 B 1 C 1 એ નિયમિત ત્રિકોણાકાર પ્રિઝમ છે, જેની તમામ કિનારીઓ એકબીજાની સમાન છે. બિંદુ O એ ધાર CC 1 ની મધ્યમાં છે, અને બિંદુ F એ ધાર BB પર આવેલું છે] જેથી BF: FB X =1:3. TK અને OF સીધી રેખાઓ કેવી રીતે સ્થિત છે?એક બિંદુ K બનાવો કે જેના પર સીધી રેખા AO ની સમાંતર F બિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા l પ્લેન ABC ને છેદે છે. પ્રિઝમના કુલ સપાટી વિસ્તારની ગણતરી કરો જો KF = 1 સે.મી.આકૃતિ અગાઉ. 2. આભૌમિતિક આકૃતિ . આબંધ દ્વારા રચાય છે
રેખા
. બહિર્મુખ અને બિન-બહિર્મુખ છે. યુ
A B C D N M L K P પ્રૂફ: K, L, M, N બિંદુઓને જોડો અને વિકર્ણ AC દોરો; ∆ACD માં NM એ મધ્ય રેખા છે, જેનો અર્થ છે NM AC અને NM=1/2 AC; ∆ABC માં KL એ મધ્ય રેખા છે, જેનો અર્થ છે KL AC અને KL=1/2 AC; NM=1/2 AC=KL, NM AC KL, જેનો અર્થ છે ચતુષ્કોણ KLMN એ સમાંતરગ્રામ છે. A L B M C D K P N પ્રૂફ: K, L, M, N બિંદુઓને જોડો અને કર્ણ DB દોરો; ∆CDB માં NM એ મધ્ય રેખા છે, જેનો અર્થ છે NM DB અને NM=1/2 DB; ∆ADC માં KL એ મધ્યમ રેખા છે, જેનો અર્થ છે KL DB અને KL=1/2 DB; NM=1/2 DB=KL, NM DB KL, જેનો અર્થ થાય છે ચતુષ્કોણ KLMN એ સમાંતરગ્રામ છે. ચાલો સાબિત કરીએ કે KLMN એ વેરિગ્નન સમાંતરગ્રામ છે, જેમાં KM અને NM એ ABCD ની મધ્ય રેખાઓ છે.
જેનો અર્થ થાય છે... ચતુષ્કોણ KLMN એ વેરિગ્નન સમાંતરગ્રામ છે, તેના આંતરછેદ બિંદુ પરના કર્ણ કોઈપણ ચતુષ્કોણની મધ્ય રેખાઓ દ્વિભાજિત છે.
કોરોલરીઝ: 1. જો ચતુર્ભુજની મધ્યરેખાઓ સમાન હોય, તો ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓ (વરિગ્નન સમાંતર ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ) સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે. સાબિતી: વેરિગ્નન સમાંતર ચતુષ્કોણમાં સમાન મધ્યરેખાઓ સમાન કર્ણ હોવાથી, આ સમાંતર ચતુષ્કોણ એક લંબચોરસ છે, અને વર્તુળ હંમેશા તેની આસપાસ વર્ણવી શકાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેના શિરોબિંદુઓ સમાન વર્તુળ પર આવેલા છે.
કોરોલરીઝ: 2. જો ચતુષ્કોણની મધ્યરેખાઓ લંબરૂપ હોય, તો ચતુષ્કોણના કર્ણ સમાન હોય છે. પુરાવો: KM સાથે NL┴KM અને NL સમાંતર KLMN માં કર્ણ હોવાથી, તો KLMN એક સમચતુર્ભુજ છે. તેથી KL = LM = MN = NK. ત્યારથી AC =2 KL અને BD =2 NK, તો AC = BD. A K B L C M D N P O A P K C D M N L B
કોરોલરીઝ: A K B L C M D N P O A P K C D M N L B 3. જો ચતુષ્કોણના કર્ણ સમાન હોય, તો ચતુષ્કોણની મધ્ય રેખાઓ લંબરૂપ હોય છે. સાબિતી: AC =2 MN =2 KL, BD =2 NK =2 ML અને AC = BD, તો KL = LM = MN = NK. આનો અર્થ એ છે કે KLMN એક સમચતુર્ભુજ છે, અને સમચતુર્ભુજમાં કર્ણ લંબ છે, એટલે કે, NL┴KM.
ઉદાહરણ તરીકે: આવી સમસ્યાનું નિરાકરણ કરવા માટે, વ્યક્તિએ વેરિગ્નન સમાંતરગ્રામના ગુણધર્મોમાંથી એકને જાણ્યા વિના સખત મહેનત કરવી પડશે:
વેરિગ્નન સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ શું છે? બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ માટેનો પુરાવો: ∆ABD અને ∆ANK ને ધ્યાનમાં લો: a).
