VIII પ્રકારની શાળામાં, વિદ્યાર્થીઓને અપૂર્ણાંકના નીચેના રૂપાંતરણોથી પરિચય કરાવવામાં આવે છે: અપૂર્ણાંકને મોટા અપૂર્ણાંકમાં વ્યક્ત કરવો (6ઠ્ઠો ગ્રેડ), અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને સંપૂર્ણ અથવા મિશ્ર સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરવો (6ઠ્ઠો ગ્રેડ), અપૂર્ણાંકને સમાન અપૂર્ણાંકમાં વ્યક્ત કરવો (7મો ગ્રેડ) , મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક (7મી ગ્રેડ) તરીકે વ્યક્ત કરવી.

સંપૂર્ણ સાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક વ્યક્ત કરવોઅથવા મિશ્ર સંખ્યા

I આ સામગ્રીનો અભ્યાસ કાર્ય સાથે શરૂ થવો જોઈએ: 2 સીવેલા વર્તુળો લો અને તેમાંથી દરેકને 4 સમાન શેરમાં વહેંચો, ચોથા શેરની સંખ્યા ગણો (ફિગ. 25). આગળ, આ જથ્થાને અપૂર્ણાંક (t) તરીકે લખવાની દરખાસ્ત કરવામાં આવે છે, પછી ચોથા ભાગો એકબીજા સાથે ઉમેરવામાં આવે છે અને વિદ્યાર્થીઓને ખાતરી થાય છે કે પરિણામ છે

1 લી વર્તુળ. આથી, -t= 1. ચાર ક્વાર્ટરમાં તે ક્રમશઃ બીજું ઉમેરે છે -ટી,અને વિદ્યાર્થીઓ નીચે લખે છે: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

શિક્ષક એ હકીકત તરફ વિદ્યાર્થીઓનું ધ્યાન દોરે છે કે ધ્યાનમાં લેવાયેલા તમામ કિસ્સાઓમાં, તેઓએ અયોગ્ય અપૂર્ણાંક લીધો હતો, અને પરિવર્તનના પરિણામે તેઓને સંપૂર્ણ અથવા મિશ્ર સંખ્યા પ્રાપ્ત થઈ હતી, એટલે કે, તેઓએ સંપૂર્ણ રીતે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક વ્યક્ત કર્યો હતો. અથવા મિશ્ર સંખ્યા. આગળ, આપણે એ સુનિશ્ચિત કરવાનો પ્રયત્ન કરવો જોઈએ કે વિદ્યાર્થીઓ સ્વતંત્ર રીતે નક્કી કરે કે આ રૂપાંતરણ કઈ અંકગણિતની ક્રિયા દ્વારા કરી શકાય છે જે જવાબ તરફ દોરી જાય છે

4.

8 0 5 .1 7 .3 ″ એલ " પ્રશ્ન છે: -2-=! અને t = 2.4" = 1t અને t T વાય.વી : °D

થી

અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને સંપૂર્ણ અથવા મિશ્ર સંખ્યા તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે અપૂર્ણાંકના અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવાની જરૂર છે, ભાગને પૂર્ણાંક તરીકે લખો, અંશમાં શેષ લખો અને છેદને સમાન છોડો. નિયમ બોજારૂપ હોવાથી, વિદ્યાર્થીઓ તેને હૃદયથી શીખે તે જરૂરી નથી. તેઓ આપેલ રૂપાંતરણ કરવા માટે સંકળાયેલા પગલાઓનો સતત સંચાર કરવામાં સક્ષમ હોવા જોઈએ.

વિદ્યાર્થીઓને સંપૂર્ણ અથવા મિશ્ર સંખ્યા સાથે અયોગ્ય અપૂર્ણાંક વ્યક્ત કરવા માટે પરિચય આપતા પહેલા, તેમની સાથે પૂર્ણાંક સંખ્યાના ભાગાકારની સમીક્ષા કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

વિદ્યાર્થીઓ માટે નવા પરિવર્તનનું એકત્રીકરણ વ્યવહારુ પ્રકૃતિની સમસ્યાઓના ઉકેલ દ્વારા સુવિધા આપવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે:

“એક ફૂલદાનીમાં નારંગીના નવ ક્વાર્ટર હોય છે. સ્કોલ| શું આ ભાગોમાંથી આખું નારંગી બનાવી શકાય? કેટલા ક્વાર્ટર બાકી હશે?

35 16 સમાન શેરમાં કાપવામાં આવે છે. પ્રાપ્ત -^. કેટલા અકબંધ છે!

શું તમે કાર્ડબોર્ડની શીટ્સ કાપી છે? કેટલા સોળમા કટ છે! આગામી ભાગમાંથી? વગેરે.

પૂર્ણાંકો અને મિશ્ર સંખ્યાઓ વ્યક્ત કરવીઅયોગ્ય અપૂર્ણાંક

વિદ્યાર્થીઓને આ નવા રૂપાંતરણનો પરિચય કરાવવો તે પહેલાં સમસ્યાઓ ઉકેલવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે:

“લંબાઈમાં સમાન કાપડના 2 ટુકડા, ચોરસ જેવો આકાર. > 4 સરખા ભાગોમાં કાપો. આવા દરેક ભાગમાંથી સ્કાર્ફ સીવેલું હતું. તમને કેટલા સ્કાર્ફ મળ્યા? I રેકોર્ડ: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

શું તમને વાઇન મળ્યો? નીચે લખો: ત્યાં 1 * વર્તુળ હતું, હવે ત્યાં * વર્તુળ છે, જેનો અર્થ છે

આમ, વિઝ્યુઅલ અને વ્યાવહારિક આધાર પર, અમે ઘણા વધુ ઉદાહરણો ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. વિચારણા હેઠળના ઉદાહરણોમાં, વિદ્યાર્થીઓને મૂળ સંખ્યા (મિશ્ર અથવા પૂર્ણાંક) અને રૂપાંતર પછી પ્રાપ્ત થયેલી સંખ્યા (અયોગ્ય અપૂર્ણાંક) ની સરખામણી કરવા માટે કહેવામાં આવે છે.

વિદ્યાર્થીઓને સંપૂર્ણ સંખ્યા અને મિશ્ર સંખ્યાને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરવાના નિયમનો પરિચય કરાવવા માટે, તમારે મિશ્ર સંખ્યાના છેદ અને અયોગ્ય અપૂર્ણાંકની સરખામણી કરવા તેમજ અંશ કેવી રીતે મેળવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે, તમારે તેમનું ધ્યાન દોરવાની જરૂર છે. :

1 2"=?, 1 = 2", અને એ પણ ^, કુલ ^ 3 ^=?, 3=-^-, અને એ પણ ^, કુલ

હશે -^-. પરિણામે, નિયમ ઘડવામાં આવે છે: જેથી મિશ્ર સંખ્યા

તેને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે, તમારે છેદને પૂર્ણ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે, ઉત્પાદનમાં અંશ ઉમેરો અને છેદને યથાવત રાખીને સરવાળાને અંશ તરીકે લખો.

પ્રથમ, તમારે વિદ્યાર્થીઓને અયોગ્ય અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરવા માટે તાલીમ આપવાની જરૂર છે, પછી કોઈપણ અન્ય પૂર્ણાંક જે છેદ સૂચવે છે, અને માત્ર ત્યારે જ મિશ્ર સંખ્યા:

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત 1

[વધારતી વખતે અપૂર્ણાંકની અપરિવર્તનક્ષમતાનો ખ્યાલ

તેના સભ્યોનો 1 ઘટાડો, એટલે કે, અંશ અને છેદ, VIII પ્રકારની શાળાના વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા ખૂબ જ મુશ્કેલી સાથે માસ્ટર કરવામાં આવશે. આ સમજને દ્રશ્ય અને ઉપદેશાત્મક સામગ્રીનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરવી આવશ્યક છે,

"અને એ મહત્વનું છે કે વિદ્યાર્થીઓ માત્ર શિક્ષકની પ્રવૃત્તિઓનું અવલોકન જ નહીં કરે, પરંતુ શિક્ષણશાસ્ત્રની સામગ્રી સાથે સક્રિયપણે કાર્ય કરે છે અને, અવલોકનો અને વ્યવહારિક પ્રવૃત્તિઓના આધારે, ચોક્કસ નિષ્કર્ષ અને સામાન્યીકરણો પર આવે છે.

ઉદાહરણ તરીકે, શિક્ષક આખું સલગમ લે છે, તેને 2 સમાન ભાગોમાં વહેંચે છે અને પૂછે છે: “આખા સલગમને વિભાજીત કરતી વખતે તમને શું મળ્યું?

અડધા ભાગમાં? (2 અર્ધ.) * સલગમ બતાવો. ચાલો કાપીએ (વિભાજિત)

અડધા સલગમને 2 વધુ સમાન ભાગોમાં. આપણને શું મળશે? -y. ચાલો નીચે લખીએ:

tt=-t- ચાલો આ અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદની સરખામણી કરીએ. કયા સમયે

શું અંશમાં વધારો થયો છે? છેદ કેટલી વખત વધ્યું છે? અંશ અને છેદ બંને કેટલી વખત વધ્યા છે? શું અપૂર્ણાંક બદલાઈ ગયો છે? તે કેમ બદલાયું નથી? શેર કેવી રીતે બન્યા: મોટા કે નાના? સંખ્યા વધી છે કે ઘટી છે

પછી બધા વિદ્યાર્થીઓ વર્તુળને 2 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે, દરેક અડધાને 2 વધુ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે, દરેક ક્વાર્ટરને બીજા ભાગમાં

2 સમાન ભાગો, વગેરે અને નીચે લખો: “o^A^tr^tgg અને m - L- પછી તેઓ સ્થાપિત કરે છે કે અપૂર્ણાંકનો અંશ અને છેદ કેટલી વાર વધ્યો છે, શું અપૂર્ણાંક બદલાયો છે અને પછી તેને ક્રમશઃ 3, 6, 12 સમાન ભાગો વડે વિભાજીત કરો અને લખો:

1 21 4 અપૂર્ણાંક -^ અને -^, -^ અને -^ ની સરખામણી કરતી વખતે, તે જાણવા મળે છે કે

અપૂર્ણાંક tg ના અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યામાં વધારો કરે છે, આનાથી અપૂર્ણાંક બદલાતો નથી.

સંખ્યાબંધ ઉદાહરણોને ધ્યાનમાં લીધા પછી, વિદ્યાર્થીઓને આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવા માટે કહેવામાં આવવું જોઈએ: "જો અંશ બદલાશે તો "સામાન્ય અપૂર્ણાંક" વિષય પરના કેટલાક જ્ઞાનને VIII ની સુધારાત્મક શાળાઓમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, પરંતુ તે વાતચીત કરવામાં આવે છે? માનસિક વિકલાંગતા ધરાવતા બાળકો માટે શાળાઓમાં વિદ્યાર્થીઓને, ગણિત શીખવામાં મુશ્કેલી હોય તેવા બાળકો માટે લેવલીંગ વર્ગોમાં. આ પાઠ્યપુસ્તકમાં એવા ફકરા છે જ્યાં આ સામગ્રીનો અભ્યાસ કરવાની પદ્ધતિ આપવામાં આવી છે,

ફૂદડી (*) દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા ઘટાડવાની વિચારણા કરતી વખતે સમાન ઉદાહરણો આપવામાં આવે છે (અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત થાય છે). ઉદાહરણ તરીકે, cr>"

( 4 \ 8 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત, વર્તુળ I -o- નો 4 આઠમો ભાગ લો.

શેરને મોટું કરીને, તેઓ ચોથા ભાગ લે છે, તેમાંના 2 શેરને વિસ્તૃત કરીને હશે

4 2 1 સેકન્ડ લો. તેમાંના 1 હશે : ~મી = -d--%-અનુયાયીની સરખામણી કરો!આઇ

આ અપૂર્ણાંકોના અંશ અને છેદ, પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે: “માં<>અંશ અને છેદ કેટલી વખત ઘટે છે?

શું અપૂર્ણાંક બદલાશે?

સારી માર્ગદર્શિકા એ 12, 6, 3 સમાન ભાગોમાં વિભાજિત પટ્ટાઓ છે (ફિગ. 26).

એન

ધ્યાનમાં લીધેલા ઉદાહરણોના આધારે, વિદ્યાર્થીઓ નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે: જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે તો અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં (સમાન સંખ્યા દ્વારા ઘટાડો). પછી એક સામાન્ય નિષ્કર્ષ આપવામાં આવે છે - અપૂર્ણાંકનો મુખ્ય ગુણધર્મ: જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ સમાન સંખ્યામાં વખત વધાર્યા અથવા ઘટાડવામાં આવે તો અપૂર્ણાંક બદલાશે નહીં.

અપૂર્ણાંક
ધ્યાન આપો!
ત્યાં વધારાના છે
જેઓ ખૂબ "ખૂબ નથી..." છે તેમના માટે
અને જેઓ "ખૂબ જ...")

હાઇસ્કૂલમાં અપૂર્ણાંકો બહુ ઉપદ્રવ નથી. હાલ પૂરતું. જ્યાં સુધી તમે તર્કસંગત ઘાતાંક અને લઘુગણક સાથે સત્તાઓ ન આવો. અને ત્યાં... તમે કેલ્ક્યુલેટરને દબાવો અને દબાવો, અને તે કેટલાક નંબરોનું સંપૂર્ણ પ્રદર્શન બતાવે છે. તમારે ત્રીજા ધોરણની જેમ તમારા માથા સાથે વિચારવું પડશે.

ચાલો આખરે અપૂર્ણાંકો શોધીએ! સારું, તમે તેમનામાં કેટલી મૂંઝવણમાં આવી શકો છો!? તદુપરાંત, તે બધું સરળ અને તાર્કિક છે. તેથી, અપૂર્ણાંકના પ્રકારો શું છે?

અપૂર્ણાંકના પ્રકાર. રૂપાંતરણો.

અપૂર્ણાંક ત્રણ પ્રકારના હોય છે.

1. સામાન્ય અપૂર્ણાંક , ઉદાહરણ તરીકે:

કેટલીકવાર આડી રેખાને બદલે તેઓ સ્લેશ મૂકે છે: 1/2, 3/4, 19/5, સારું, અને બીજું. અહીં આપણે વારંવાર આ સ્પેલિંગનો ઉપયોગ કરીશું. ટોચના નંબરને બોલાવવામાં આવે છે અંશ, નીચું - છેદજો તમે આ નામોને સતત ગૂંચવતા હોવ (તે થાય છે...), તો તમારી જાતને આ વાક્ય કહો: " Zzzzzયાદ રાખો! Zzzzzછેદ - જુઓ zzzzzઉહ!" જુઓ, બધું યાદ રહેશે.)

આડંબર, કાં તો આડી અથવા ઝોકનો અર્થ થાય છે વિભાગટોચની સંખ્યા (અંશ) થી નીચે સુધી (છેદ). બસ એટલું જ! ડૅશને બદલે, ડિવિઝન ચિહ્ન મૂકવું તદ્દન શક્ય છે - બે બિંદુઓ.

જ્યારે સંપૂર્ણ વિભાજન શક્ય હોય, ત્યારે આ કરવું આવશ્યક છે. તેથી, "32/8" અપૂર્ણાંકને બદલે "4" નંબર લખવાનું વધુ સુખદ છે. તે. 32 ને ફક્ત 8 વડે ભાગ્યા છે.

32/8 = 32: 8 = 4

હું અપૂર્ણાંક "4/1" વિશે પણ વાત કરતો નથી. જે પણ માત્ર "4" છે. અને જો તે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય ન હોય, તો અમે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે છોડી દઈએ છીએ. કેટલીકવાર તમારે વિપરીત ઓપરેશન કરવું પડે છે. પૂર્ણ સંખ્યાને અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો. પરંતુ તેના પર પછીથી વધુ.

2. દશાંશ , ઉદાહરણ તરીકે:

તે આ ફોર્મમાં છે કે તમારે "B" કાર્યોના જવાબો લખવાની જરૂર પડશે.

3. મિશ્ર સંખ્યાઓ , ઉદાહરણ તરીકે:

મિશ્ર સંખ્યાઓનો વ્યવહારિક રીતે હાઇસ્કૂલમાં ઉપયોગ થતો નથી. તેમની સાથે કામ કરવા માટે, તેમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. પરંતુ તમારે ચોક્કસપણે આ કરવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે! નહિંતર, તમે સમસ્યામાં આવા નંબર પર આવશો અને સ્થિર થશો... ક્યાંય બહાર નથી. પરંતુ અમે આ પ્રક્રિયા યાદ રાખીશું! થોડું નીચું.

સૌથી સર્વતોમુખી સામાન્ય અપૂર્ણાંક. ચાલો તેમની સાથે શરૂઆત કરીએ. માર્ગ દ્વારા, જો અપૂર્ણાંકમાં તમામ પ્રકારના લઘુગણક, સાઈન અને અન્ય અક્ષરો હોય, તો આ કંઈપણ બદલતું નથી. અર્થમાં કે બધું અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ સાથેની ક્રિયાઓ સામાન્ય અપૂર્ણાંક સાથેની ક્રિયાઓથી અલગ નથી!

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત.

તો, ચાલો જઈએ! શરૂ કરવા માટે, હું તમને આશ્ચર્યચકિત કરીશ. અપૂર્ણાંક પરિવર્તનની સંપૂર્ણ વિવિધતા એક જ ગુણધર્મ દ્વારા પ્રદાન કરવામાં આવે છે! તે શું કહેવાય છે અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત. યાદ રાખો: જો અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર (વિભાજિત) કરવામાં આવે તો, અપૂર્ણાંક બદલાતો નથી.તે:

તે સ્પષ્ટ છે કે જ્યાં સુધી તમારો ચહેરો વાદળી ન થાય ત્યાં સુધી તમે લખવાનું ચાલુ રાખી શકો છો. સાઈન અને લોગરીધમ્સને તમને મૂંઝવણમાં ન આવવા દો, અમે તેમની સાથે આગળ કામ કરીશું. મુખ્ય વસ્તુ એ સમજવાની છે કે આ તમામ વિવિધ અભિવ્યક્તિઓ છે સમાન અપૂર્ણાંક . 2/3.

શું આપણને આ બધા પરિવર્તનની જરૂર છે? હા! હવે તમે તમારા માટે જોશો. શરૂ કરવા માટે, ચાલો અપૂર્ણાંકના મૂળભૂત ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ અપૂર્ણાંક ઘટાડવા. તે એક પ્રાથમિક વસ્તુ જેવું લાગશે. અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા વડે વિભાજિત કરો અને બસ! ભૂલ કરવી અશક્ય છે! પણ... માણસ સર્જનાત્મક છે. તમે ગમે ત્યાં ભૂલ કરી શકો છો! ખાસ કરીને જો તમારે 5/10 જેવા અપૂર્ણાંકને નહીં, પરંતુ તમામ પ્રકારના અક્ષરો સાથેની અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ ઘટાડવાની હોય.

વધારાનું કામ કર્યા વિના અપૂર્ણાંકને યોગ્ય રીતે અને ઝડપથી કેવી રીતે ઘટાડવું તે વિશેષ વિભાગ 555 માં વાંચી શકાય છે.

એક સામાન્ય વિદ્યાર્થી અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા (અથવા અભિવ્યક્તિ) વડે વિભાજિત કરવાની તસ્દી લેતો નથી! તે ફક્ત ઉપર અને નીચે સમાન છે તે બધું જ પાર કરે છે! આ તે છે જ્યાં એક લાક્ષણિક ભૂલ, એક ભૂલ, જો તમે ઈચ્છો તો, છૂપાઈ જાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, તમારે અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવવાની જરૂર છે:

અહીં વિચારવા જેવું કંઈ નથી, ઉપરના અક્ષર “a” અને નીચે “2” ને ક્રોસ કરો! અમને મળે છે:

બધું જ સાચું છે. પરંતુ ખરેખર તમે વિભાજિત કર્યું બધા અંશ અને બધા છેદ "a" છે. જો તમે ફક્ત બહાર જવા માટે ટેવાયેલા છો, તો ઉતાવળમાં તમે અભિવ્યક્તિમાં "a" ને પાર કરી શકો છો.

અને તેને ફરીથી મેળવો

જે સ્પષ્ટપણે અસત્ય હશે. કારણ કે અહીં બધા"a" પરનો અંશ પહેલેથી જ છે શેર કરેલ નથી! આ અપૂર્ણાંક ઘટાડી શકાતો નથી. બાય ધ વે, આવો ઘટાડો શિક્ષક માટે એક ગંભીર પડકાર છે. આ માફ નથી! શું તમને યાદ છે? ઘટાડતી વખતે, તમારે વિભાજીત કરવાની જરૂર છે બધા અંશ અને બધા છેદ

અપૂર્ણાંક ઘટાડવાથી જીવન ઘણું સરળ બને છે. તમને ક્યાંક અપૂર્ણાંક મળશે, ઉદાહરણ તરીકે 375/1000. હવે હું તેની સાથે કેવી રીતે કામ કરવાનું ચાલુ રાખી શકું? કેલ્ક્યુલેટર વિના? ગુણાકાર, કહો, ઉમેરો, ચોરસ!? અને જો તમે ખૂબ આળસુ ન હોવ, અને કાળજીપૂર્વક તેને પાંચ, અને બીજા પાંચ, અને તે પણ... જ્યારે તે ટૂંકું કરવામાં આવે છે, ટૂંકમાં. ચાલો 3/8 મેળવીએ! વધુ સરસ, ખરું ને?

અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત તમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરવાની મંજૂરી આપે છે અને તેનાથી વિપરીત કેલ્ક્યુલેટર વગર! યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા માટે આ અગત્યનું છે, ખરું ને?

અપૂર્ણાંકને એક પ્રકારમાંથી બીજામાં કેવી રીતે રૂપાંતરિત કરવું.

દશાંશ અપૂર્ણાંક સાથે બધું સરળ છે. જેમ સાંભળવામાં આવે છે, તેમ લખાય છે! ચાલો 0.25 કહીએ. આ શૂન્ય પોઈન્ટ પચીસસોમો છે. તેથી અમે લખીએ છીએ: 25/100. અમે ઘટાડીએ છીએ (અમે અંશ અને છેદને 25 વડે વિભાજીત કરીએ છીએ), અમને સામાન્ય અપૂર્ણાંક મળે છે: 1/4. બધા. તે થાય છે, અને કંઈપણ ઘટતું નથી. 0.3 ની જેમ. આ ત્રણ દસમો છે, એટલે કે. 3/10.

જો પૂર્ણાંકો શૂન્ય ન હોય તો શું? તે બરાબર છે. અમે સંપૂર્ણ અપૂર્ણાંક લખીએ છીએ કોઈપણ અલ્પવિરામ વિનાઅંશમાં, અને છેદમાં - જે સાંભળ્યું છે. ઉદાહરણ તરીકે: 3.17. આ ત્રણ પોઈન્ટ સત્તર સોમો ભાગ છે. આપણે અંશમાં 317 અને છેદમાં 100 લખીએ છીએ. આપણને 317/100 મળે છે. કંઈ ઘટતું નથી, એટલે બધું. આ જવાબ છે. પ્રાથમિક, વોટસન! જે કહેવામાં આવ્યું છે તેમાંથી, એક ઉપયોગી નિષ્કર્ષ: કોઈપણ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે .

પરંતુ કેટલાક લોકો કેલ્ક્યુલેટર વિના સામાન્યથી દશાંશમાં વિપરીત રૂપાંતરણ કરી શકતા નથી. અને તે જરૂરી છે! યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષા પર તમે જવાબ કેવી રીતે લખશો!? કાળજીપૂર્વક વાંચો અને આ પ્રક્રિયામાં નિપુણતા મેળવો.

દશાંશ અપૂર્ણાંકની વિશેષતા શું છે? તેણીનો છેદ છે હંમેશાકિંમત 10, અથવા 100, અથવા 1000, અથવા 10000 અને તેથી વધુ. જો તમારા સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં આના જેવું છેદ હોય, તો કોઈ સમસ્યા નથી. ઉદાહરણ તરીકે, 4/10 = 0.4. અથવા 7/100 = 0.07. અથવા 12/10 = 1.2. જો વિભાગ “B” માં કાર્યનો જવાબ 1/2 નીકળે તો શું? જવાબમાં શું લખીશું? દશાંશ જરૂરી છે...

ચાલો યાદ કરીએ અપૂર્ણાંકની મુખ્ય મિલકત ! ગણિત તમને અનુકૂળ રીતે અંશ અને છેદને સમાન સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવાની મંજૂરી આપે છે. કંઈપણ, માર્ગ દ્વારા! શૂન્ય સિવાય, અલબત્ત. તો ચાલો આ મિલકતનો ઉપયોગ આપણા ફાયદા માટે કરીએ! છેદને શેના વડે ગુણાકાર કરી શકાય છે, એટલે કે. 2 જેથી તે 10, અથવા 100, અથવા 1000 બને (નાનું સારું છે, અલબત્ત...)? 5 પર, દેખીતી રીતે. નિઃસંકોચ છેદનો ગુણાકાર કરો (આ છે અમનેજરૂરી) 5 વડે. પરંતુ તે પછી અંશનો પણ 5 વડે ગુણાકાર થવો જોઈએ. આ પહેલેથી જ છે ગણિતમાંગણીઓ આપણને 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0.5 મળે છે. બસ.

જો કે, તમામ પ્રકારના છેદ આવે છે. તમે જોશો, ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 3/16. 100 અથવા 1000 બનાવવા માટે 16 ને શું વડે ગુણાકાર કરવો તે અજમાવી જુઓ... શું તે કામ કરતું નથી? પછી તમે ખાલી 3 ને 16 વડે ભાગી શકો છો. કેલ્ક્યુલેટરની ગેરહાજરીમાં, તમારે પ્રાથમિક શાળામાં શીખવવામાં આવતા કાગળના ટુકડા પર ખૂણા વડે ભાગવું પડશે. અમને 0.1875 મળે છે.

અને ત્યાં ખૂબ જ ખરાબ છેદ પણ છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક 1/3 ને સારા દશાંશમાં ફેરવવાની કોઈ રીત નથી. કેલ્ક્યુલેટર અને કાગળના ટુકડા બંને પર, આપણને 0.3333333 મળે છે... આનો અર્થ એ કે 1/3 એ ચોક્કસ દશાંશ અપૂર્ણાંક છે અનુવાદિત નથી. 1/7, 5/6 અને તેથી વધુ. તેમાંના ઘણા છે, અનુવાદ ન કરી શકાય તેવા. આ આપણને બીજા ઉપયોગી નિષ્કર્ષ પર લાવે છે. દરેક અપૂર્ણાંકને દશાંશમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતો નથી !

માર્ગ દ્વારા, આ સ્વ-પરીક્ષણ માટે ઉપયોગી માહિતી છે. વિભાગ "B" માં તમારે તમારા જવાબમાં દશાંશ અપૂર્ણાંક લખવો આવશ્યક છે. અને તમને મળ્યું, ઉદાહરણ તરીકે, 4/3. આ અપૂર્ણાંક દશાંશમાં રૂપાંતરિત થતો નથી. આનો અર્થ એ છે કે તમે રસ્તામાં ક્યાંક ભૂલ કરી છે! પાછા જાઓ અને ઉકેલ તપાસો.

તેથી, અમે સામાન્ય અને દશાંશ અપૂર્ણાંકો શોધી કાઢ્યા. જે બાકી છે તે મિશ્ર સંખ્યાઓ સાથે વ્યવહાર કરવાનું છે. તેમની સાથે કામ કરવા માટે, તેમને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરવું આવશ્યક છે. આ કેવી રીતે કરવું? તમે છઠ્ઠા ધોરણના વિદ્યાર્થીને પકડીને તેને પૂછી શકો છો. પરંતુ છઠ્ઠા ધોરણનો વિદ્યાર્થી હંમેશા હાથમાં હોતો નથી... તમારે તે જાતે કરવું પડશે. તે મુશ્કેલ નથી. તમારે અપૂર્ણાંક ભાગના છેદને સમગ્ર ભાગ દ્વારા ગુણાકાર કરવાની અને અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ ઉમેરવાની જરૂર છે. આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ હશે. છેદ વિશે શું? છેદ એ જ રહેશે. તે જટિલ લાગે છે, પરંતુ વાસ્તવમાં બધું સરળ છે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ધારો કે તમે સમસ્યામાં નંબર જોઈને ગભરાઈ ગયા હતા:

શાંતિથી, ગભરાટ વિના, અમે વિચારીએ છીએ. આખો ભાગ 1. એકમ છે. અપૂર્ણાંક ભાગ 3/7 છે. તેથી, અપૂર્ણાંક ભાગનો છેદ 7 છે. આ છેદ સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો છેદ હશે. અમે અંશ ગણીએ છીએ. આપણે 7 ને 1 (પૂર્ણાંક ભાગ) વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ અને 3 (અપૂર્ણાંક ભાગનો અંશ) ઉમેરીએ છીએ. આપણને 10 મળે છે. આ સામાન્ય અપૂર્ણાંકનો અંશ હશે. બસ. તે ગાણિતિક સંકેતોમાં પણ સરળ લાગે છે:

તે સ્પષ્ટ છે? પછી તમારી સફળતા સુરક્ષિત! સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં કન્વર્ટ કરો. તમારે 10/7, 7/2, 23/10 અને 21/4 મેળવવું જોઈએ.

રિવર્સ ઓપરેશન - અયોગ્ય અપૂર્ણાંકને મિશ્ર સંખ્યામાં રૂપાંતરિત કરવું - હાઇ સ્કૂલમાં ભાગ્યે જ જરૂરી છે. સારું, જો એમ હોય તો... અને જો તમે હાઈસ્કૂલમાં નથી, તો તમે વિશેષ વિભાગ 555 જોઈ શકો છો. માર્ગ દ્વારા, તમે ત્યાં અયોગ્ય અપૂર્ણાંક વિશે પણ શીખી શકશો.

ઠીક છે, તે વ્યવહારીક બધું છે. તમે અપૂર્ણાંકના પ્રકારો યાદ કર્યા અને સમજ્યા કેવી રીતે તેમને એક પ્રકારમાંથી બીજામાં સ્થાનાંતરિત કરો. પ્રશ્ન રહે છે: શેના માટે આ કરો? આ ગહન જ્ઞાન ક્યાં અને ક્યારે લાગુ કરવું?

હું જવાબ આપું છું. કોઈપણ ઉદાહરણ પોતે જરૂરી ક્રિયાઓ સૂચવે છે. જો ઉદાહરણમાં સામાન્ય અપૂર્ણાંક, દશાંશ અને મિશ્ર સંખ્યાઓ પણ એકસાથે મિશ્ર કરવામાં આવે, તો આપણે દરેક વસ્તુને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ. તે હંમેશા કરી શકાય છે. ઠીક છે, જો તે 0.8 + 0.3 જેવું કંઈક કહે છે, તો અમે તેને તે રીતે ગણીએ છીએ, કોઈપણ અનુવાદ વિના. શા માટે આપણે વધારાના કામની જરૂર છે? અમે અનુકૂળ ઉકેલ પસંદ કરીએ છીએ અમને !

જો કાર્ય બધા દશાંશ અપૂર્ણાંકો છે, પરંતુ અમ... અમુક પ્રકારના દુષ્ટ, સામાન્ય લોકો પર જાઓ અને તેનો પ્રયાસ કરો! જુઓ, બધું કામ કરશે. ઉદાહરણ તરીકે, તમારે નંબર 0.125 નો વર્ગ કરવો પડશે. જો તમને કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરવાની આદત ન પડી હોય તો તે એટલું સરળ નથી! તમારે ફક્ત કૉલમમાં સંખ્યાઓનો ગુણાકાર કરવાની જરૂર નથી, તમારે અલ્પવિરામ ક્યાં દાખલ કરવો તે વિશે પણ વિચારવું પડશે! તે ચોક્કસપણે તમારા માથામાં કામ કરશે નહીં! જો આપણે સામાન્ય અપૂર્ણાંક તરફ આગળ વધીએ તો શું?

0.125 = 125/1000. અમે તેને 5 થી ઘટાડીએ છીએ (આ શરૂઆત માટે છે). અમને 25/200 મળે છે. ફરી એકવાર 5 સુધીમાં. આપણને 5/40 મળે છે. ઓહ, તે હજુ પણ સંકોચાઈ રહ્યું છે! 5 પર પાછા! અમને 1/8 મળે છે. અમે તેને સરળતાથી ચોરસ કરી શકીએ છીએ (અમારા મગજમાં!) અને 1/64 મેળવી શકીએ છીએ. બધા!

ચાલો આ પાઠનો સારાંશ આપીએ.

1. અપૂર્ણાંક ત્રણ પ્રકારના હોય છે. સામાન્ય, દશાંશ અને મિશ્ર સંખ્યાઓ.

2. દશાંશ અને મિશ્ર સંખ્યાઓ હંમેશાસામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. રિવર્સ ટ્રાન્સફર હંમેશા નહીંશક્ય

3. કાર્ય સાથે કામ કરવા માટે અપૂર્ણાંકના પ્રકારની પસંદગી કાર્ય પર જ આધાર રાખે છે. જો એક કાર્યમાં વિવિધ પ્રકારના અપૂર્ણાંકો હોય, તો સૌથી વિશ્વસનીય બાબત એ છે કે સામાન્ય અપૂર્ણાંક પર સ્વિચ કરવું.

હવે તમે પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો. પ્રથમ, આ દશાંશ અપૂર્ણાંકને સામાન્ય અપૂર્ણાંકમાં રૂપાંતરિત કરો:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

તમને આના જેવા જવાબો મળવા જોઈએ (ગડબડમાં!):

ચાલો આને લપેટીએ. આ પાઠમાં અમે અપૂર્ણાંક વિશેના મુખ્ય મુદ્દાઓ પર અમારી યાદશક્તિને તાજી કરી છે. તેમ છતાં, એવું બને છે કે તાજું કરવા માટે કંઈ ખાસ નથી...) જો કોઈ વ્યક્તિ સંપૂર્ણપણે ભૂલી ગયો હોય, અથવા હજી સુધી તેને માસ્ટર ન કર્યો હોય... તો પછી તમે વિશેષ વિભાગ 555 પર જઈ શકો છો. બધી મૂળભૂત બાબતો ત્યાં વિગતવાર આવરી લેવામાં આવી છે. ઘણા અચાનક બધું સમજોશરૂ કરી રહ્યા છે. અને તેઓ ફ્લાય પર અપૂર્ણાંક ઉકેલે છે).

જો તમને આ સાઈટ ગમે તો...

માર્ગ દ્વારા, મારી પાસે તમારા માટે કેટલીક વધુ રસપ્રદ સાઇટ્સ છે.)

તમે ઉદાહરણો ઉકેલવાની પ્રેક્ટિસ કરી શકો છો અને તમારું સ્તર શોધી શકો છો. ત્વરિત ચકાસણી સાથે પરીક્ષણ. ચાલો શીખીએ - રસ સાથે!)

તમે કાર્યો અને ડેરિવેટિવ્ઝથી પરિચિત થઈ શકો છો.

આ લેખ અપૂર્ણાંકો ધરાવતી સમીકરણોને રૂપાંતરિત કરવા પર એક સામાન્ય દેખાવ પ્રદાન કરે છે. અહીં આપણે મૂળભૂત પરિવર્તનો જોઈશું જે અપૂર્ણાંક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ માટે લાક્ષણિક છે.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

અપૂર્ણાંક અને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ સાથે અભિવ્યક્તિઓ

પ્રથમ, ચાલો સ્પષ્ટ કરીએ કે આપણે કયા પ્રકારનાં અભિવ્યક્તિ પરિવર્તનનો સામનો કરવા જઈ રહ્યા છીએ.

લેખના શીર્ષકમાં સ્વ-સ્પષ્ટીકરણ વાક્ય છે “ અપૂર્ણાંક સાથે અભિવ્યક્તિઓ" એટલે કે, નીચે આપણે સંખ્યાત્મક સમીકરણો અને સમીકરણોને ચલ સાથે રૂપાંતરિત કરવા વિશે વાત કરીશું જેમાં ઓછામાં ઓછો એક અપૂર્ણાંક છે.

ચાલો આપણે તરત જ નોંધ લઈએ કે "અપૂર્ણાંકનું રૂપાંતર: એક સામાન્ય દૃશ્ય" લેખના પ્રકાશન પછી અમને હવે વ્યક્તિગત અપૂર્ણાંકોમાં રસ નથી. આમ, આગળ આપણે સરવાળો, તફાવતો, ઉત્પાદનો, મૂળ, શક્તિઓ, લઘુગણક સાથેના આંશિક અને વધુ જટિલ અભિવ્યક્તિઓને ધ્યાનમાં લઈશું, જે ફક્ત ઓછામાં ઓછા એક અપૂર્ણાંકની હાજરી દ્વારા એક થાય છે.

અને ચાલો આરક્ષણ પણ કરીએ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓ. આ અપૂર્ણાંકો સાથેના અભિવ્યક્તિઓ સમાન નથી. અપૂર્ણાંક સાથેના અભિવ્યક્તિઓ એ વધુ સામાન્ય ખ્યાલ છે. અપૂર્ણાંક સાથેની દરેક અભિવ્યક્તિ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ નથી. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિ અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ નથી, જો કે તેમાં અપૂર્ણાંક હોય છે, તે સંપૂર્ણ તર્કસંગત અભિવ્યક્તિ છે. તેથી તમારે અપૂર્ણાંક સાથેની અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ ન કહેવું જોઈએ કે તે એક છે તેની સંપૂર્ણ ખાતરી કર્યા વિના.

અપૂર્ણાંકો સાથે અભિવ્યક્તિઓનું મૂળભૂત ઓળખ પરિવર્તન

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.

આ કિસ્સામાં, તમે કૌંસ ખોલી શકો છો, જે અભિવ્યક્તિ આપે છે , જેમાં સમાન પદો અને , તેમજ −3 અને 3 છે. તેમને એકસાથે લાવ્યા પછી આપણને અપૂર્ણાંક મળે છે.

ચાલો ઉકેલ લખવાનું ટૂંકું સ્વરૂપ બતાવીએ:

જવાબ:

.

વ્યક્તિગત અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરવું

આપણે જે અભિવ્યક્તિઓ રૂપાંતર વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ તે અન્ય અભિવ્યક્તિઓથી અલગ પડે છે મુખ્યત્વે અપૂર્ણાંકની હાજરીમાં. અને અપૂર્ણાંકની હાજરીને તેમની સાથે કામ કરવા માટે સાધનોની જરૂર છે. આ ફકરામાં આપણે આપેલ અભિવ્યક્તિના સંકેતમાં સમાવિષ્ટ વ્યક્તિગત અપૂર્ણાંકોના પરિવર્તનની ચર્ચા કરીશું, અને પછીના ફકરામાં આપણે મૂળ અભિવ્યક્તિ બનાવતા અપૂર્ણાંકો સાથે ક્રિયાઓ કરવા આગળ વધીશું.

કોઈપણ અપૂર્ણાંક સાથે જે મૂળ અભિવ્યક્તિનો અભિન્ન ભાગ છે, તમે અપૂર્ણાંકને રૂપાંતરિત કરતા લેખમાં દર્શાવેલ કોઈપણ પરિવર્તન કરી શકો છો. એટલે કે, તમે એક અલગ અપૂર્ણાંક લઈ શકો છો, તેના અંશ અને છેદ સાથે કામ કરી શકો છો, તેને ઘટાડી શકો છો, તેને નવા છેદમાં ઘટાડી શકો છો, વગેરે. તે સ્પષ્ટ છે કે આ પરિવર્તન સાથે, પસંદ કરેલ અપૂર્ણાંક સમાન સમાન અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલવામાં આવશે, અને મૂળ અભિવ્યક્તિ સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલવામાં આવશે. ચાલો એક ઉદાહરણ જોઈએ.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને અપૂર્ણાંક સાથે કન્વર્ટ કરો સરળ સ્વરૂપમાં.

ઉકેલ.

ચાલો અપૂર્ણાંક સાથે કામ કરીને પરિવર્તન શરૂ કરીએ. પ્રથમ, ચાલો કૌંસ ખોલીએ અને અપૂર્ણાંકના અંશમાં સમાન શબ્દો રજૂ કરીએ: . હવે તે કૌંસમાંથી અંશમાં સામાન્ય અવયવ x અને બીજગણિત અપૂર્ણાંકનો અનુગામી ઘટાડો કરવાની વિનંતી કરે છે: . જે બાકી છે તે મૂળ અભિવ્યક્તિમાં અપૂર્ણાંકને બદલે પરિણામી પરિણામને બદલવાનું છે, જે આપે છે .

જવાબ:

.

અપૂર્ણાંક સાથે વસ્તુઓ કરવું

અપૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિઓને રૂપાંતરિત કરવાની પ્રક્રિયાના એક ભાગમાં ઘણી વખત કરવું શામેલ હોય છે અપૂર્ણાંક સાથે કામગીરી. તેઓ ક્રિયાઓના સ્વીકૃત ક્રમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે. તે પણ ધ્યાનમાં રાખવું યોગ્ય છે કે કોઈપણ સંખ્યા અથવા અભિવ્યક્તિ હંમેશા 1 ના છેદ સાથે અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ઉદાહરણ.

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો .

ઉકેલ.

સમસ્યાનો ઉકેલ વિવિધ ખૂણાઓથી સંપર્ક કરી શકાય છે. ચર્ચા હેઠળના વિષયના સંદર્ભમાં, અમે અપૂર્ણાંકો સાથે કામગીરી કરીને આગળ વધીશું. ચાલો અપૂર્ણાંકના ગુણાકાર સાથે પ્રારંભ કરીએ:

હવે આપણે છેદ 1 સાથે અપૂર્ણાંકના રૂપમાં ઉત્પાદન લખીશું, ત્યારબાદ આપણે અપૂર્ણાંકને બાદ કરીશું:

જો ઇચ્છિત અને જરૂરી હોય, તો તમે હજી પણ છેદમાં અતાર્કિકતાથી તમારી જાતને મુક્ત કરી શકો છો , જ્યાં તમે પરિવર્તન પૂર્ણ કરી શકો છો.

જવાબ:

મૂળ, શક્તિઓ, લઘુગણક વગેરેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ.

અપૂર્ણાંક સાથે અભિવ્યક્તિઓનો વર્ગ ખૂબ વિશાળ છે. આવા અભિવ્યક્તિઓ, અપૂર્ણાંકો ઉપરાંત, મૂળ, વિવિધ ઘાતાંક સાથેની શક્તિઓ, મોડ્યુલો, લઘુગણક, ત્રિકોણમિતિ કાર્યો વગેરે સમાવી શકે છે. સ્વાભાવિક રીતે, તેમને કન્વર્ટ કરતી વખતે, અનુરૂપ ગુણધર્મો લાગુ કરવામાં આવે છે.

અપૂર્ણાંકને લાગુ પડે છે, તે અપૂર્ણાંકના મૂળની મિલકત, અપૂર્ણાંકના ઘાતની મિલકત, ભાગના મોડ્યુલસની મિલકત અને તફાવતના લઘુગણકની મિલકતને પ્રકાશિત કરવા યોગ્ય છે. .

સ્પષ્ટતા માટે, અહીં કેટલાક ઉદાહરણો છે. ઉદાહરણ તરીકે, અભિવ્યક્તિમાં ડિગ્રીના ગુણધર્મોના આધારે, પ્રથમ અપૂર્ણાંકને ડિગ્રી સાથે બદલવા માટે તે ઉપયોગી થઈ શકે છે, જે પછીથી તમને સ્ક્વેર ડિફરન્સના સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્તિ રજૂ કરવાની મંજૂરી આપે છે. લઘુગણક અભિવ્યક્તિને કન્વર્ટ કરતી વખતે તમે લોગરિધમ્સના તફાવત સાથે અપૂર્ણાંકના લઘુગણકને બદલી શકો છો, જે પછીથી તમને સમાન શબ્દો લાવવાની મંજૂરી આપે છે અને આમ અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવે છે: . ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓને રૂપાંતરિત કરવા માટે સમાન ખૂણાના કોસાઇન અને સાઇનના ગુણોત્તરને સ્પર્શક સાથે બદલવાની જરૂર પડી શકે છે. યોગ્ય સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને અડધા દલીલમાંથી સંપૂર્ણ દલીલ તરફ જવાનું પણ જરૂરી હોઈ શકે છે, જેનાથી અપૂર્ણાંક દલીલથી છૂટકારો મળે છે, ઉદાહરણ તરીકે, .

મૂળ, શક્તિઓ વગેરેના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ. લેખોમાં અભિવ્યક્તિઓના રૂપાંતરણને વધુ વિગતવાર આવરી લેવામાં આવ્યું છે:

• મૂળના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અતાર્કિક અભિવ્યક્તિઓનું પરિવર્તન,
• શક્તિઓના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર,
• લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને લઘુગણક અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર,
• ત્રિકોણમિતિ અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર.

અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરતી વખતે છેલ્લે કરવામાં આવતી અંકગણિત કામગીરી એ "માસ્ટર" ક્રિયા છે.

એટલે કે, જો તમે અક્ષરોને બદલે કેટલીક (કોઈપણ) સંખ્યાઓ બદલો છો અને અભિવ્યક્તિના મૂલ્યની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરો છો, તો જો છેલ્લી ક્રિયા ગુણાકાર છે, તો અમારી પાસે ઉત્પાદન છે (અભિવ્યક્તિ પરિબળ છે).

જો છેલ્લી ક્રિયા સરવાળો અથવા બાદબાકી હોય, તો તેનો અર્થ એ છે કે અભિવ્યક્તિ પરિબળિત નથી (અને તેથી ઘટાડી શકાતી નથી).

આને મજબૂત કરવા માટે, થોડા ઉદાહરણો જાતે ઉકેલો:

ઉદાહરણો:

ઉકેલો:

1. હું આશા રાખું છું કે તમે તરત જ કાપવા માટે ઉતાવળ કરી નથી અને? આના જેવા એકમોને "ઘટાડવા" માટે તે હજી પણ પૂરતું ન હતું:

પ્રથમ પગલું ફેક્ટરાઇઝેશન હોવું જોઈએ:

4. અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી. અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ સુધી ઘટાડીને.

સામાન્ય અપૂર્ણાંકો ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી એ એક પરિચિત ક્રિયા છે: અમે એક સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ.

ચાલો યાદ કરીએ:

જવાબો:

1. છેદ અને પ્રમાણમાં અવિભાજ્ય છે, એટલે કે, તેમાં સામાન્ય પરિબળો નથી. તેથી, આ સંખ્યાઓનો LCM તેમના ઉત્પાદનની બરાબર છે. આ સામાન્ય છેદ હશે:

2. અહીં સામાન્ય છેદ છે:

3. અહીં, સૌ પ્રથમ, અમે મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અયોગ્યમાં રૂપાંતરિત કરીએ છીએ, અને પછી સામાન્ય યોજના અનુસાર:

જો અપૂર્ણાંકમાં અક્ષરો હોય તો તે સંપૂર્ણપણે અલગ બાબત છે, ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો કંઈક સરળ સાથે પ્રારંભ કરીએ:

a) છેદમાં અક્ષરો હોતા નથી

અહીં બધું સામાન્ય આંકડાકીય અપૂર્ણાંકો જેવું જ છે: આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ, દરેક અપૂર્ણાંકને ખૂટતા પરિબળ દ્વારા ગુણાકાર કરીએ છીએ અને અંશ ઉમેરી/બાદ કરીએ છીએ:

હવે અંશમાં તમે સમાન આપી શકો છો, જો કોઈ હોય તો, અને તેમને અવયવી શકો છો:

તેને જાતે અજમાવી જુઓ:

જવાબો:

b) છેદમાં અક્ષરો હોય છે

ચાલો અક્ષરો વિના સામાન્ય છેદ શોધવાના સિદ્ધાંતને યાદ કરીએ:

· સૌ પ્રથમ, અમે સામાન્ય પરિબળો નક્કી કરીએ છીએ;

· પછી આપણે એક સમયે બધા સામાન્ય પરિબળો લખીએ છીએ;

· અને તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

છેદના સામાન્ય પરિબળોને નિર્ધારિત કરવા માટે, અમે પ્રથમ તેમને મુખ્ય પરિબળોમાં પરિબળ કરીએ છીએ:

ચાલો સામાન્ય પરિબળો પર ભાર મૂકીએ:

હવે ચાલો એક સમયે એક સામાન્ય પરિબળ લખીએ અને તેમાં બધા બિન-સામાન્ય (અન્ડરલાઇન કરેલ નથી) પરિબળો ઉમેરીએ:

આ સામાન્ય છેદ છે.

ચાલો પત્રો પર પાછા જઈએ. છેદ બરાબર એ જ રીતે આપવામાં આવે છે:

· છેદનું પરિબળ;

સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો;

· બધા સામાન્ય પરિબળો એકવાર લખો;

· તેમને અન્ય તમામ બિન-સામાન્ય પરિબળો દ્વારા ગુણાકાર કરો.

તેથી, ક્રમમાં:

1) છેદનું પરિબળ:

2) સામાન્ય (સમાન) પરિબળો નક્કી કરો:

3) બધા સામાન્ય અવયવોને એકવાર લખો અને તેમને અન્ય તમામ (બિન રેખાંકિત) પરિબળો વડે ગુણાકાર કરો:

તેથી અહીં એક સામાન્ય છેદ છે. પ્રથમ અપૂર્ણાંકને વડે ગુણાકાર કરવો આવશ્યક છે, બીજો - વડે:

માર્ગ દ્વારા, ત્યાં એક યુક્તિ છે:

ઉદાહરણ તરીકે: .

આપણે છેદમાં સમાન પરિબળો જોઈએ છીએ, ફક્ત બધા જ અલગ-અલગ સૂચકાંકો સાથે. સામાન્ય છેદ હશે:

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી

એક ડિગ્રી સુધી.

ચાલો કાર્યને જટિલ બનાવીએ:

અપૂર્ણાંકને સમાન છેદ કેવી રીતે બનાવવું?

ચાલો અપૂર્ણાંકની મૂળભૂત મિલકતને યાદ કરીએ:

તે ક્યાંય એવું નથી કહેતું કે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાંથી સમાન સંખ્યાને બાદ કરી શકાય (અથવા ઉમેરી શકાય). કારણ કે તે સાચું નથી!

તમારા માટે જુઓ: કોઈપણ અપૂર્ણાંક લો, ઉદાહરણ તરીકે, અને અંશ અને છેદમાં કેટલીક સંખ્યા ઉમેરો, ઉદાહરણ તરીકે, . તમે શું શીખ્યા?

તેથી, બીજો અવિશ્વસનીય નિયમ:

જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદમાં ઘટાડી દો, ત્યારે માત્ર ગુણાકારની ક્રિયાનો ઉપયોગ કરો!

પરંતુ તમારે શું મેળવવા માટે ગુણાકાર કરવાની જરૂર છે?

તેથી વડે ગુણાકાર કરો. અને વડે ગુણાકાર કરો:

અમે એવા અભિવ્યક્તિઓ કહીશું જેનું પરિબળ "પ્રાથમિક પરિબળો" કરી શકાતું નથી.

ઉદાહરણ તરીકે, - આ એક પ્રાથમિક પરિબળ છે. - સમાન. પરંતુ ના: તે પરિબળ બની શકે છે.

અભિવ્યક્તિ વિશે શું? શું તે પ્રાથમિક છે?

ના, કારણ કે તે પરિબળ બની શકે છે:

(તમે પહેલેથી "" વિષયમાં ફેક્ટરાઇઝેશન વિશે વાંચ્યું છે).

તેથી, પ્રાથમિક પરિબળો કે જેમાં તમે અક્ષરો સાથે અભિવ્યક્તિનું વિઘટન કરો છો તે સરળ પરિબળોના એનાલોગ છે જેમાં તમે સંખ્યાઓનું વિઘટન કરો છો. અને અમે તેમની સાથે તે જ રીતે વ્યવહાર કરીશું.

આપણે જોઈએ છીએ કે બંને છેદનો ગુણક છે. તે ડિગ્રી સુધી સામાન્ય સંપ્રદાય પર જશે (શા માટે યાદ રાખો?).

પરિબળ પ્રાથમિક છે, અને તેમની પાસે સામાન્ય પરિબળ નથી, જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ અપૂર્ણાંકને ફક્ત તેના દ્વારા ગુણાકાર કરવો પડશે:

બીજું ઉદાહરણ:

ઉકેલ:

તમે ગભરાટમાં આ છેદનો ગુણાકાર કરો તે પહેલાં, તમારે તેમને કેવી રીતે પરિબળ બનાવવું તે વિશે વિચારવાની જરૂર છે? તેઓ બંને રજૂ કરે છે:

સરસ! પછી:

બીજું ઉદાહરણ:

ઉકેલ:

હંમેશની જેમ, ચાલો છેદને ફેક્ટરાઇઝ કરીએ. પ્રથમ છેદમાં આપણે તેને ફક્ત કૌંસની બહાર મૂકીએ છીએ; બીજામાં - ચોરસનો તફાવત:

એવું લાગે છે કે ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળો નથી. પરંતુ જો તમે નજીકથી જુઓ, તો તે સમાન છે... અને તે સાચું છે:

તો ચાલો લખીએ:

એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું: કૌંસની અંદર આપણે શરતોની અદલાબદલી કરી, અને તે જ સમયે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાઈ ગયું. નોંધ લો, તમારે આ વારંવાર કરવું પડશે.

હવે ચાલો તેને સામાન્ય સંપ્રદાય પર લાવીએ:

સમજાયું? ચાલો હવે તેને તપાસીએ.

સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેના કાર્યો:

જવાબો:

અહીં આપણે એક વધુ વસ્તુ યાદ રાખવાની જરૂર છે - સમઘનનો તફાવત:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે બીજા અપૂર્ણાંકના છેદમાં "સરવાળાનો વર્ગ" સૂત્ર નથી! સરવાળોનો વર્ગ આના જેવો દેખાશે: .

A એ સરવાળોનો કહેવાતો અપૂર્ણ વર્ગ છે: તેમાંનો બીજો શબ્દ પ્રથમ અને છેલ્લો ગુણાંક છે, અને તેમના ડબલ ગુણાંકનો નહીં. સરવાળોનો આંશિક ચોરસ એ ક્યુબ્સના તફાવતના વિસ્તરણના પરિબળોમાંનું એક છે:

જો ત્યાં પહેલેથી જ ત્રણ અપૂર્ણાંક હોય તો શું કરવું?

હા, એ જ વાત! સૌ પ્રથમ, ચાલો ખાતરી કરીએ કે છેદમાં પરિબળોની મહત્તમ સંખ્યા સમાન છે:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જો તમે એક કૌંસની અંદરના ચિહ્નો બદલો છો, તો અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. જ્યારે આપણે બીજા કૌંસમાં ચિહ્નો બદલીએ છીએ, ત્યારે અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન ફરીથી વિરુદ્ધમાં બદલાય છે. પરિણામે, તે (અપૂર્ણાંકની સામેનું ચિહ્ન) બદલાયું નથી.

અમે સંપૂર્ણ પ્રથમ છેદને સામાન્ય છેદમાં લખીએ છીએ, અને પછી તેમાં એવા બધા પરિબળો ઉમેરીએ છીએ જે હજી સુધી લખાયા નથી, બીજામાંથી અને પછી ત્રીજામાંથી (અને તેથી વધુ, જો ત્યાં વધુ અપૂર્ણાંક હોય તો). એટલે કે, તે આના જેવું બહાર આવ્યું છે:

હમ્મ... અપૂર્ણાંક સાથે શું કરવું તે સ્પષ્ટ છે. પણ બેનું શું?

તે સરળ છે: તમે અપૂર્ણાંક કેવી રીતે ઉમેરવું તે જાણો છો, બરાબર? તેથી, આપણે બેને અપૂર્ણાંક બનાવવાની જરૂર છે! ચાલો યાદ રાખીએ: અપૂર્ણાંક એ ભાગાકારની ક્રિયા છે (અંશને છેદ દ્વારા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, જો તમે ભૂલી ગયા હોવ તો). અને સંખ્યાને વડે ભાગવા સિવાય બીજું કંઈ સરળ નથી. આ કિસ્સામાં, સંખ્યા પોતે બદલાશે નહીં, પરંતુ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવાશે:

તમને જે જોઈએ છે તે જ!

5. અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર.

સારું, સૌથી મુશ્કેલ ભાગ હવે સમાપ્ત થઈ ગયો છે. અને આપણી આગળ સૌથી સરળ છે, પરંતુ તે જ સમયે સૌથી મહત્વપૂર્ણ:

પ્રક્રિયા

સંખ્યાત્મક અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરવાની પ્રક્રિયા શું છે? આ અભિવ્યક્તિના અર્થની ગણતરી કરીને યાદ રાખો:

શું તમે ગણતરી કરી?

તે કામ કરવું જોઈએ.

તેથી, ચાલો હું તમને યાદ કરાવું.

પ્રથમ પગલું એ ડિગ્રીની ગણતરી કરવાનું છે.

બીજું ગુણાકાર અને ભાગાકાર છે. જો ત્યાં એક જ સમયે અનેક ગુણાકાર અને વિભાગો હોય, તો તે કોઈપણ ક્રમમાં કરી શકાય છે.

અને અંતે, અમે સરવાળો અને બાદબાકી કરીએ છીએ. ફરીથી, કોઈપણ ક્રમમાં.

પરંતુ: કૌંસમાં અભિવ્યક્તિનું મૂલ્યાંકન બદલામાં કરવામાં આવે છે!

જો ઘણા કૌંસ એકબીજા દ્વારા ગુણાકાર અથવા વિભાજિત કરવામાં આવે છે, તો આપણે પહેલા દરેક કૌંસમાં અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરીએ છીએ, અને પછી તેમને ગુણાકાર અથવા વિભાજીત કરીએ છીએ.

જો કૌંસની અંદર વધુ કૌંસ હોય તો શું? સારું, ચાલો વિચારીએ: કૌંસની અંદર કેટલીક અભિવ્યક્તિ લખેલી છે. અભિવ્યક્તિની ગણતરી કરતી વખતે, તમારે પ્રથમ શું કરવું જોઈએ? તે સાચું છે, કૌંસની ગણતરી કરો. સારું, અમે તેને શોધી કાઢ્યું: પહેલા આપણે આંતરિક કૌંસની ગણતરી કરીએ છીએ, પછી બાકીનું બધું.

તેથી, ઉપરોક્ત અભિવ્યક્તિ માટેની પ્રક્રિયા નીચે મુજબ છે (હાલની ક્રિયા લાલ રંગમાં પ્રકાશિત થયેલ છે, એટલે કે, જે ક્રિયા હું અત્યારે કરી રહ્યો છું):

ઠીક છે, તે બધું સરળ છે.

પરંતુ આ અક્ષરો સાથેની અભિવ્યક્તિ સમાન નથી?

ના, તે જ છે! ફક્ત અંકગણિત કામગીરીને બદલે, તમારે બીજગણિત કરવાની જરૂર છે, એટલે કે, અગાઉના વિભાગમાં વર્ણવેલ ક્રિયાઓ: સમાન લાવવું, અપૂર્ણાંક ઉમેરવું, અપૂર્ણાંક ઘટાડવું, વગેરે. માત્ર એટલો જ તફાવત ફેક્ટરિંગ બહુપદીની ક્રિયા હશે (અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આપણે ઘણીવાર તેનો ઉપયોગ કરીએ છીએ). મોટેભાગે, ફેક્ટરાઇઝ કરવા માટે, તમારે I નો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે અથવા સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવાની જરૂર છે.

સામાન્ય રીતે અમારો ધ્યેય અભિવ્યક્તિને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે.

ઉદાહરણ તરીકે:

ચાલો અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ.

1) પ્રથમ, અમે કૌંસમાં અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવીએ છીએ. ત્યાં આપણી પાસે અપૂર્ણાંકનો તફાવત છે, અને અમારો ધ્યેય તેને ઉત્પાદન અથવા ભાગ તરીકે રજૂ કરવાનો છે. તેથી, અમે અપૂર્ણાંકને સામાન્ય છેદ પર લાવીએ છીએ અને ઉમેરીએ છીએ:

આ અભિવ્યક્તિને વધુ સરળ બનાવવી અશક્ય છે અહીં તમામ પરિબળો પ્રાથમિક છે (શું તમને હજુ પણ યાદ છે કે આનો અર્થ શું છે?).

2) અમને મળે છે:

અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર: શું સરળ હોઈ શકે છે.

3) હવે તમે ટૂંકી કરી શકો છો:

બસ, બસ. કંઈ જટિલ નથી, બરાબર?

બીજું ઉદાહરણ:

અભિવ્યક્તિને સરળ બનાવો.

પ્રથમ, તેને જાતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરો, અને તે પછી જ ઉકેલ જુઓ.

ઉકેલ:

સૌ પ્રથમ, ચાલો ક્રિયાઓનો ક્રમ નક્કી કરીએ.

પ્રથમ, ચાલો કૌંસમાં અપૂર્ણાંક ઉમેરીએ, તેથી બે અપૂર્ણાંકને બદલે આપણને એક મળે છે.

પછી આપણે અપૂર્ણાંકનું વિભાજન કરીશું. સારું, ચાલો છેલ્લા અપૂર્ણાંક સાથે પરિણામ ઉમેરીએ.

હું પગલાઓને યોજનાકીય રીતે નંબર આપીશ:

હવે હું તમને પ્રક્રિયા બતાવીશ, વર્તમાન ક્રિયાને લાલ રંગમાં ટિન્ટ કરીને:

1. જો ત્યાં સમાન હોય, તો તેઓ તરત જ લાવવા જોઈએ. આપણા દેશમાં જે પણ સમયે સમાન મુદ્દાઓ ઉદભવે છે, તેને તાત્કાલિક લાવવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.

2. આ જ અપૂર્ણાંક ઘટાડવા માટે લાગુ પડે છે: ઘટાડવાની તક દેખાય કે તરત જ તેનો લાભ લેવો જોઈએ. અપવાદ એ અપૂર્ણાંકો માટે છે જે તમે ઉમેરો અથવા બાદ કરો છો: જો તેઓ હવે સમાન છેદ ધરાવે છે, તો પછી ઘટાડો પછી માટે છોડી દેવો જોઈએ.

તમારા પોતાના પર ઉકેલવા માટે અહીં કેટલાક કાર્યો છે:

અને શરૂઆતમાં શું વચન આપવામાં આવ્યું હતું:

જવાબો:

ઉકેલો (સંક્ષિપ્ત):

જો તમે ઓછામાં ઓછા પ્રથમ ત્રણ ઉદાહરણોનો સામનો કર્યો હોય, તો પછી તમે આ વિષયમાં નિપુણતા મેળવી લીધી હોવાનું માની લો.

હવે શીખવા પર!

રૂપાંતરિત અભિવ્યક્તિઓ. સારાંશ અને મૂળભૂત સૂત્રો

મૂળભૂત સરળીકરણ કામગીરી:

• સમાન લાવવું: સમાન શબ્દો ઉમેરવા (ઘટાડવા) માટે, તમારે તેમના ગુણાંક ઉમેરવા અને અક્ષરનો ભાગ સોંપવો પડશે.
• અવયવીકરણ:સામાન્ય પરિબળને કૌંસની બહાર મૂકવું, તેને લાગુ કરવું વગેરે.
• અપૂર્ણાંક ઘટાડવો: અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સમાન બિન-શૂન્ય સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર અથવા ભાગાકાર કરી શકાય છે, જે અપૂર્ણાંકના મૂલ્યમાં ફેરફાર કરતું નથી.
  1) અંશ અને છેદ કારણભૂત
  2) જો અંશ અને છેદમાં સામાન્ય અવયવો હોય, તો તેને વટાવી શકાય છે.

  મહત્વપૂર્ણ: માત્ર ગુણક ઘટાડી શકાય છે!

• અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી:
  ;
• અપૂર્ણાંકનો ગુણાકાર અને ભાગાકાર:
  ;

શાળાના બીજગણિત અભ્યાસક્રમમાંથી આપણે વિશિષ્ટતાઓ તરફ આગળ વધીએ છીએ. આ લેખમાં આપણે એક વિશેષ પ્રકારના તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનો વિગતવાર અભ્યાસ કરીશું - તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, અને એ પણ ધ્યાનમાં લો કે કઈ લાક્ષણિકતા સમાન છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનું રૂપાંતરણસ્થાન લેવું.

ચાલો આપણે તરત જ નોંધ લઈએ કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો જે અર્થમાં આપણે નીચે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ તેને કેટલાક બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકોમાં બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. એટલે કે, આ લેખમાં આપણે તર્કસંગત અને બીજગણિતીય અપૂર્ણાંકોને સમાન વસ્તુનો અર્થ સમજીશું.

હંમેશની જેમ, ચાલો વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો સાથે પ્રારંભ કરીએ. આગળ આપણે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને નવા છેદમાં લાવવા અને અપૂર્ણાંકના સભ્યોના ચિહ્નો બદલવા વિશે વાત કરીશું. આ પછી, આપણે અપૂર્ણાંકને કેવી રીતે ઘટાડવું તે જોઈશું. છેલ્લે, ચાલો ઘણા અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ કરીએ. અમે ઉદાહરણો અને ઉકેલોના વિગતવાર વર્ણન સાથે તમામ માહિતી પ્રદાન કરીશું.

પૃષ્ઠ નેવિગેશન.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોની વ્યાખ્યા અને ઉદાહરણો

8મા ધોરણના બીજગણિત પાઠમાં તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. અમે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું, જે યુ એન. મકરીચેવ એટ અલ દ્વારા 8મા ધોરણ માટે બીજગણિત પાઠ્યપુસ્તકમાં આપવામાં આવી છે.

આ વ્યાખ્યા સ્પષ્ટ કરતી નથી કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપની બહુપદી હોવી જોઈએ કે નહીં. તેથી, અમે ધારીશું કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો માટેના સંકેતોમાં પ્રમાણભૂત અને બિન-માનક બહુપદી બંને હોઈ શકે છે.

અહીં થોડા છે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના ઉદાહરણો. તેથી, x/8 અને - તર્કસંગત અપૂર્ણાંક. અને અપૂર્ણાંક અને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકની જણાવેલ વ્યાખ્યામાં બંધબેસતું નથી, કારણ કે તેમાંના પ્રથમ અંશમાં બહુપદી હોતી નથી, અને બીજામાં, અંશ અને છેદ બંનેમાં એવા અભિવ્યક્તિઓ હોય છે જે બહુપદી નથી.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનું રૂપાંતર

કોઈપણ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ એ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના કિસ્સામાં, બહુપદીઓ અને સંખ્યાઓ છે; તેથી, સમાન રૂપાંતરણ કોઈપણ અભિવ્યક્તિની જેમ, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ સાથે કરી શકાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશમાં અભિવ્યક્તિને છેદની જેમ, સમાન સમાન અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે.

તમે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદમાં સમાન પરિવર્તન કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, અંશમાં તમે સમાન શબ્દોને જૂથ બનાવી શકો છો અને ઘટાડી શકો છો, અને છેદમાં તમે ઘણી સંખ્યાઓના ગુણાંકને તેના મૂલ્ય સાથે બદલી શકો છો. અને કારણ કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદ બહુપદીઓ છે, તેથી તેમની સાથે બહુપદીની લાક્ષણિકતા રૂપાંતરણ કરવું શક્ય છે, ઉદાહરણ તરીકે, પ્રમાણભૂત સ્વરૂપમાં ઘટાડો અથવા ઉત્પાદનના સ્વરૂપમાં રજૂઆત.

સ્પષ્ટતા માટે, ચાલો કેટલાક ઉદાહરણોના ઉકેલોને ધ્યાનમાં લઈએ.

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને કન્વર્ટ કરો જેથી અંશ પ્રમાણભૂત સ્વરૂપનું બહુપદી ધરાવે છે, અને છેદમાં બહુપદીનું ઉત્પાદન હોય છે.

ઉકેલ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને નવા છેદમાં ઘટાડવાનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવા માટે થાય છે.

અપૂર્ણાંકની સામે, તેમજ તેના અંશ અને છેદમાં બદલાતા ચિહ્નો

અપૂર્ણાંકના મુખ્ય ગુણધર્મનો ઉપયોગ અપૂર્ણાંકના સભ્યોના ચિહ્નોને બદલવા માટે થઈ શકે છે. ખરેખર, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને -1 વડે ગુણાકાર કરવો એ તેમના ચિહ્નોને બદલવા સમાન છે, અને પરિણામ આપેલ અપૂર્ણાંક સમાન અપૂર્ણાંક છે. તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો સાથે કામ કરતી વખતે આ રૂપાંતરણનો વારંવાર ઉપયોગ કરવો પડે છે.

આમ, જો તમે એકસાથે અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદના ચિહ્નો બદલો છો, તો તમને મૂળ એક સમાન અપૂર્ણાંક મળશે. આ નિવેદનનો જવાબ સમાનતા દ્વારા આપવામાં આવે છે.

ચાલો એક ઉદાહરણ આપીએ. તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ફોર્મના અંશ અને છેદના બદલાયેલા ચિહ્નો સાથે સમાન સમાન અપૂર્ણાંક દ્વારા બદલી શકાય છે.

અપૂર્ણાંક સાથે, તમે અન્ય સમાન પરિવર્તન કરી શકો છો, જેમાં અંશ અથવા છેદનું ચિહ્ન બદલાય છે. ચાલો અનુરૂપ નિયમ જણાવીએ. જો તમે અપૂર્ણાંકના ચિહ્નને અંશ અથવા છેદના ચિહ્ન સાથે બદલો છો, તો તમને એક અપૂર્ણાંક મળે છે જે મૂળ સમાન હોય છે. લેખિત નિવેદન સમાનતાઓને અનુરૂપ છે અને .

આ સમાનતાઓ સાબિત કરવી મુશ્કેલ નથી. સાબિતી સંખ્યાઓના ગુણાકારના ગુણધર્મો પર આધારિત છે. ચાલો તેમાંથી પ્રથમ સાબિત કરીએ: . સમાન પરિવર્તનનો ઉપયોગ કરીને, સમાનતા સાબિત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંકને અભિવ્યક્તિ દ્વારા બદલી શકાય છે અથવા.

આ મુદ્દાને સમાપ્ત કરવા માટે, અમે બે વધુ ઉપયોગી સમાનતાઓ રજૂ કરીએ છીએ અને. એટલે કે, જો તમે માત્ર અંશ અથવા માત્ર છેદનું ચિહ્ન બદલો છો, તો અપૂર્ણાંક તેની નિશાની બદલશે. ઉદાહરણ તરીકે, અને .

અપૂર્ણાંક તર્કસંગત અભિવ્યક્તિઓનું રૂપાંતર કરતી વખતે ગણવામાં આવતા પરિવર્તનો, જે અપૂર્ણાંકની શરતોના સંકેતને બદલવાની મંજૂરી આપે છે, તેનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકો ઘટાડવા

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું નીચેનું રૂપાંતરણ, જેને તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનો ઘટાડો કહેવાય છે, તે અપૂર્ણાંકના સમાન મૂળભૂત ગુણધર્મ પર આધારિત છે. આ રૂપાંતરણ સમાનતાને અનુરૂપ છે, જ્યાં a, b અને c કેટલાક બહુપદી છે, અને b અને c બિન-શૂન્ય છે.

ઉપરોક્ત સમાનતા પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાનો અર્થ તેના અંશ અને છેદમાં સામાન્ય પરિબળથી છૂટકારો મેળવવાનો થાય છે.

ઉદાહરણ.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંક રદ કરો.

ઉકેલ.

સામાન્ય પરિબળ 2 તરત જ દૃશ્યમાન છે, ચાલો તેના દ્વારા ઘટાડો કરીએ (લખતી વખતે, સામાન્ય પરિબળોને વટાવવું અનુકૂળ છે જેના દ્વારા ઘટાડો કરવામાં આવે છે). અમારી પાસે છે . x 2 =x·x અને y 7 =y 3 ·y 4 (જો જરૂરી હોય તો જુઓ), તે સ્પષ્ટ છે કે x એ પરિણામી અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદનો સામાન્ય પરિબળ છે, જેમ કે y 3 છે. ચાલો આ પરિબળો દ્વારા ઘટાડીએ: . આ ઘટાડો પૂર્ણ કરે છે.

ઉપર અમે અનુક્રમે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનો ઘટાડો કર્યો. અથવા અપૂર્ણાંકને 2 x y 3 દ્વારા તરત જ ઘટાડીને, એક પગલામાં ઘટાડો કરવાનું શક્ય હતું. આ કિસ્સામાં, ઉકેલ આના જેવો દેખાશે: .

જવાબ:

.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઘટાડતી વખતે, મુખ્ય સમસ્યા એ છે કે અંશ અને છેદનો સામાન્ય પરિબળ હંમેશા દેખાતો નથી. તદુપરાંત, તે હંમેશા અસ્તિત્વમાં નથી. સામાન્ય પરિબળ શોધવા અથવા તેની ગેરહાજરી ચકાસવા માટે, તમારે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને અવયવિત કરવાની જરૂર છે. જો ત્યાં કોઈ સામાન્ય પરિબળ નથી, તો મૂળ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને ઘટાડવાની જરૂર નથી, અન્યથા, ઘટાડો હાથ ધરવામાં આવે છે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોને ઘટાડવાની પ્રક્રિયામાં વિવિધ ઘોંઘાટ ઊભી થઈ શકે છે. મુખ્ય સૂક્ષ્મતાની ચર્ચા ઉદાહરણોનો ઉપયોગ કરીને અને વિગતવાર રીતે બીજગણિતીય અપૂર્ણાંક ઘટાડવા લેખમાં કરવામાં આવી છે.

તર્કસંગત અપૂર્ણાંકોના ઘટાડા વિશેની વાતચીતને સમાપ્ત કરીને, અમે નોંધીએ છીએ કે આ રૂપાંતર સમાન છે, અને તેના અમલીકરણમાં મુખ્ય મુશ્કેલી અંશ અને છેદમાં બહુપદીઓના પરિબળમાં રહેલી છે.

અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું પ્રતિનિધિત્વ

તદ્દન ચોક્કસ, પરંતુ કેટલાક કિસ્સાઓમાં ખૂબ જ ઉપયોગી, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકનું રૂપાંતર છે, જે તેની રજૂઆતમાં કેટલાક અપૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે અથવા સંપૂર્ણ અભિવ્યક્તિ અને અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે સમાવે છે.

એક તર્કસંગત અપૂર્ણાંક, જેનો અંશ અનેક મોનોમિયલ્સના સરવાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી બહુપદી ધરાવે છે, તે હંમેશા સમાન છેદ સાથે અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે લખી શકાય છે, જેનાં અંશ અનુરૂપ મોનોમિઅલ્સ ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, . આ પ્રતિનિધિત્વ સમાન છેદ સાથે બીજગણિત અપૂર્ણાંક ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવાના નિયમ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે.

સામાન્ય રીતે, કોઈપણ તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે ઘણી જુદી જુદી રીતે વ્યક્ત કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, અપૂર્ણાંક a/b ને બે અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે - એક મનસ્વી અપૂર્ણાંક c/d અને અપૂર્ણાંક a/b અને c/d વચ્ચેના તફાવતની બરાબર. આ વિધાન સાચું છે, કારણ કે સમાનતા ધરાવે છે . ઉદાહરણ તરીકે, તર્કસંગત અપૂર્ણાંકને વિવિધ રીતે અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે: ચાલો મૂળ અપૂર્ણાંકને પૂર્ણાંક અભિવ્યક્તિ અને અપૂર્ણાંકના સરવાળા તરીકે કલ્પના કરીએ. અંશને છેદ વડે કૉલમ વડે ભાગવાથી, આપણને સમાનતા મળે છે . કોઈપણ પૂર્ણાંક n માટે અભિવ્યક્તિ n 3 +4 ની કિંમત પૂર્ણાંક છે. અને અપૂર્ણાંકનું મૂલ્ય પૂર્ણાંક છે જો અને માત્ર જો તેનો છેદ 1, −1, 3, અથવા −3 હોય. આ મૂલ્યો અનુક્રમે n=3, n=1, n=5 અને n=−1 મૂલ્યોને અનુરૂપ છે.

જવાબ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

સંદર્ભો.

• બીજગણિત:પાઠ્યપુસ્તક 8મા ધોરણ માટે. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓ / [યુ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; દ્વારા સંપાદિત એસ. એ. ટેલિયાકોવ્સ્કી. - 16મી આવૃત્તિ. - એમ.: શિક્ષણ, 2008. - 271 પૃષ્ઠ. : બીમાર. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 7 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 13મી આવૃત્તિ, રેવ. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 160 પૃષ્ઠ.: બીમાર. ISBN 978-5-346-01198-9.
• મોર્ડકોવિચ એ. જી.બીજગણિત. 8 મી ગ્રેડ. 2 કલાકમાં ભાગ 1. સામાન્ય શિક્ષણ સંસ્થાઓના વિદ્યાર્થીઓ માટે પાઠ્યપુસ્તક / એ. જી. મોર્ડકોવિચ. - 11મી આવૃત્તિ, ભૂંસી નાખી. - એમ.: નેમોસીન, 2009. - 215 પૃષ્ઠ: બીમાર. ISBN 978-5-346-01155-2.
• ગુસેવ વી.એ., મોર્ડકોવિચ એ.જી.ગણિત (તકનીકી શાળાઓમાં પ્રવેશ કરનારાઓ માટે માર્ગદર્શિકા): પ્રોક. ભથ્થું.- એમ.; ઉચ્ચ શાળા, 1984.-351 પૃ., બીમાર.