વેક્ટર બાદબાકી સૂત્ર. જાણીતા ઘટકો સાથે વેક્ટર્સ ઉમેરવા અને બાદબાકી કરવી

ov, પ્રથમ તમારે આપેલ બિંદુથી વેક્ટરને સ્થગિત કરવા જેવા ખ્યાલને સમજવાની જરૂર છે.

વ્યાખ્યા 1

જો બિંદુ $A$ એ કોઈપણ વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ ની શરૂઆત છે, તો વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ એ બિંદુ $A$ (ફિગ. 1) થી વિલંબિત હોવાનું કહેવાય છે.

આકૃતિ 1. $\overrightarrow(a)$ પોઈન્ટ $A$ થી પ્લોટ કરેલ

ચાલો નીચેનો પ્રમેય રજૂ કરીએ:

પ્રમેય 1

કોઈપણ બિંદુથી $K$ એક વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ અને વધુમાં, માત્ર એક જ પ્લોટ કરી શકે છે.

પુરાવો.

અસ્તિત્વ:અહીં ધ્યાનમાં લેવાના બે કિસ્સાઓ છે:

વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ શૂન્ય છે.

આ કિસ્સામાં, તે સ્પષ્ટ છે કે ઇચ્છિત વેક્ટર વેક્ટર $\overrightarrow(KK)$ છે.

વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ બિન-શૂન્ય છે.

ચાલો બિંદુ $A$ દ્વારા વેક્ટરની શરૂઆત $\overrightarrow(a)$, અને બિંદુ $B$ દ્વારા વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ નો અંત દર્શાવીએ. ચાલો વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ ની સમાંતર $K$ બિંદુ દ્વારા $b$ એક સીધી રેખા દોરીએ. ચાલો આ લાઇન પર $\left|KL\right|=|AB|$ અને $\left|KM\right|=|AB|$ સેગમેન્ટ્સ બનાવીએ. $\overrightarrow(KL)$ અને $\overrightarrow(KM)$ વેક્ટર્સનો વિચાર કરો. આ બે વેક્ટરમાંથી, ઇચ્છિત એક તે હશે જે વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ (ફિગ. 2) સાથે સહ-નિર્દેશિત કરવામાં આવશે.

આકૃતિ 2. પ્રમેય 1 નું ચિત્ર

વિશિષ્ટતા:વિશિષ્ટતા "અસ્તિત્વ" બિંદુમાં હાથ ધરવામાં આવેલા બાંધકામમાંથી તરત જ અનુસરે છે.

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

વેક્ટરની બાદબાકી. નિયમ એક

ચાલો આપણે $\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(b)$ વેક્ટર્સ આપીએ.

વ્યાખ્યા 2

$\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(b)$ બે વેક્ટરનો તફાવત એ વેક્ટર $\overrightarrow(c)$ છે, જે વેક્ટર $\overrightarrow(b)$ માં ઉમેરવા પર, વેક્ટરને $\ આપે છે. overrightarrow(a)$, એટલે કે

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\]

હોદ્દો:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(c)$.

ચાલો સમસ્યાનો ઉપયોગ કરીને બે વેક્ટર વચ્ચેનો તફાવત બનાવવાનું વિચારીએ.

ઉદાહરણ 1

$\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(b)$ ને વેક્ટર આપવા દો. વેક્ટર $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ બનાવો.

ઉકેલ.

ચાલો એક આર્બિટરી પોઈન્ટ $O$ બનાવીએ અને તેમાંથી $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b)$ને પ્લોટ કરીએ. બિંદુ $B$ ને બિંદુ $A$ સાથે જોડીને, અમે વેક્ટર $\overrightarrow(BA)$ (ફિગ. 3) મેળવીએ છીએ.

આકૃતિ 3. બે વેક્ટરનો તફાવત

બે વેક્ટરનો સરવાળો બનાવવા માટે ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણે તે જોઈએ છીએ

\[\overrightarrow(OB)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(OA)\]

\[\overrightarrow(b)+\overrightarrow(BA)=\overrightarrow(a)\]

વ્યાખ્યા 2 થી, આપણે તે મેળવીએ છીએ

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)\]

જવાબ:$\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(BA)$.

આ સમસ્યામાંથી આપણે બે વેક્ટરનો તફાવત શોધવા માટે નીચેનો નિયમ મેળવીએ છીએ. તફાવત શોધવા માટે $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$ તમારે $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(OB)=\overrightarrow(b) માંથી વેક્ટર્સ પ્લોટ કરવાની જરૂર છે. એક મનસ્વી બિંદુ $O$ )$ અને બીજા વેક્ટરના છેડાને પ્રથમ વેક્ટરના અંત સાથે જોડો.

વેક્ટરની બાદબાકી. નિયમ બે

ચાલો નીચે આપેલ ખ્યાલને યાદ કરીએ જે આપણને જોઈએ છે.

વ્યાખ્યા 3

વેક્ટર $\overrightarrow(a_1)$ વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ માટે આર્બિટરી કહેવાય છે જો આ વેક્ટર દિશામાં વિરુદ્ધ હોય અને તેની લંબાઈ સમાન હોય.

હોદ્દો:વેક્ટર $(-\overrightarrow(a))$ એ વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ ની વિરુદ્ધ છે.

બે વેક્ટરના તફાવત માટેનો બીજો નિયમ દાખલ કરવા માટે, આપણે પહેલા નીચેના પ્રમેયને રજૂ કરવાની અને સાબિત કરવાની જરૂર છે.

પ્રમેય 2

કોઈપણ બે વેક્ટર $\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(b)$ માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

\[\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\]

પુરાવો.

વ્યાખ્યા 2 દ્વારા, અમારી પાસે છે

અમે બંને ભાગોમાં $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ વેક્ટર ઉમેરીએ છીએ, અમને મળે છે

વેક્ટર $\overrightarrow(b)$ અને $\left(-\overrightarrow(b)\right)$ વિરુદ્ધ છે, તો $\overrightarrow(b)+\left(-\overrightarrow(b)\right)=\ ઓવરરાઇટ એરો (0)$. અમારી પાસે છે

પ્રમેય સાબિત થયો છે.

આ પ્રમેયમાંથી આપણે બે વેક્ટર વચ્ચેના તફાવત માટે નીચેનો નિયમ મેળવીએ છીએ: તફાવત શોધવા માટે $\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)$, આપણે વેક્ટરને પ્લોટ કરવાની જરૂર છે $\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(a) )$ એક મનસ્વી બિંદુ $O$ થી, પછી, પરિણામી બિંદુ $A$ થી, વેક્ટર $\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(b)$ને પ્લોટ કરો અને પ્રથમ વેક્ટરની શરૂઆતને અંત સાથે જોડો. બીજું વેક્ટર.

વેક્ટર તફાવતના ખ્યાલ પર સમસ્યાનું ઉદાહરણ

ઉદાહરણ 2

સમાંતર ચતુષ્કોણ $ADCD$ આપવામાં આવે જેના કર્ણ બિંદુ $O$ પર છેદે છે. $\overrightarrow(AB)=\overrightarrow(a)$, $\overrightarrow(AD)=\overrightarrow(b)$ (ફિગ. 4). $\overrightarrow(a)$ અને $\overrightarrow(b)$ વેક્ટર્સ દ્વારા નીચેના વેક્ટર્સને વ્યક્ત કરો:

a) $\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)$

b) $\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)$

આકૃતિ 4. સમાંતરગ્રામ

ઉકેલ.

a) અમે ત્રિકોણના નિયમ અનુસાર ઉમેરણ કરીએ છીએ, અમને મળે છે

\[\overrightarrow(DC)+\overrightarrow(CB)=\overrightarrow(DB)\]

બે વેક્ટરના તફાવત માટેના પ્રથમ નિયમમાંથી, આપણને મળે છે

\[\overrightarrow(DB)=\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\]

b) $\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(AO)$ હોવાથી, આપણને મળે છે

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(OC)=\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)\]

પ્રમેય 2 દ્વારા, અમારી પાસે છે

\[\overrightarrow(BO)-\overrightarrow(AO)=\overrightarrow(BO)+\left(-\overrightarrow(AO)\right)=\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)\]

ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, આપણી પાસે આખરે છે

\[\overrightarrow(BO)+\overrightarrow(OA)=\overrightarrow(BA)=-\overrightarrow(AB)=-\overrightarrow(a)\]

વેક્ટર ઉમેરણ કેવી રીતે થાય છે તે હંમેશા વિદ્યાર્થીઓ માટે સ્પષ્ટ હોતું નથી. બાળકોને ખબર નથી હોતી કે તેમની પાછળ શું છુપાયેલું છે. તમારે ફક્ત નિયમો યાદ રાખવા પડશે, અને સાર વિશે વિચારવું નહીં. તેથી, વેક્ટર જથ્થાના સરવાળા અને બાદબાકીના સિદ્ધાંતો વિશે તે ચોક્કસ છે કે ઘણું જ્ઞાન જરૂરી છે.

બે અથવા વધુ વેક્ટરનો ઉમેરો હંમેશા એક વધુ પરિણમે છે. તદુપરાંત, તે કેવી રીતે મળે છે તે ધ્યાનમાં લીધા વિના, તે હંમેશા સમાન રહેશે.

મોટેભાગે, શાળા ભૂમિતિના અભ્યાસક્રમમાં, બે વેક્ટરનો ઉમેરો ગણવામાં આવે છે. તે ત્રિકોણ અથવા સમાંતરગ્રામના નિયમ અનુસાર કરી શકાય છે. આ રેખાંકનો જુદા જુદા દેખાય છે, પરંતુ ક્રિયાનું પરિણામ સમાન છે.

ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરણ કેવી રીતે થાય છે?

જ્યારે વેક્ટર્સ બિન-કોલિનિયર હોય ત્યારે તેનો ઉપયોગ થાય છે. એટલે કે, તેઓ સમાન સીધી રેખા પર અથવા સમાંતર રાશિઓ પર આવેલા નથી.

આ કિસ્સામાં, પ્રથમ વેક્ટરને કેટલાક મનસ્વી બિંદુથી પ્લોટ કરવું આવશ્યક છે. તેના અંતથી તેને સમાંતર અને બીજાની સમાન દોરવાની જરૂર છે. પરિણામ એ વેક્ટર હશે જે પ્રથમની શરૂઆતથી શરૂ થશે અને બીજાના અંતમાં સમાપ્ત થશે. પેટર્ન ત્રિકોણ જેવું લાગે છે. તેથી નિયમનું નામ.

જો વેક્ટર સમરેખા હોય, તો આ નિયમ પણ લાગુ કરી શકાય છે. માત્ર ડ્રોઇંગ એક લીટી સાથે સ્થિત હશે.

સમાંતર ચતુષ્કોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઉમેરણ કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?

ફરી? માત્ર બિન-કોલિનિયર વેક્ટરને લાગુ પડે છે. બાંધકામ એક અલગ સિદ્ધાંત અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે. જોકે શરૂઆત એક જ છે. આપણે પ્રથમ વેક્ટરને બાજુ પર રાખવાની જરૂર છે. અને તેની શરૂઆતથી - બીજું. તેના આધારે, સમાંતરગ્રામ પૂર્ણ કરો અને બંને વેક્ટરની શરૂઆતથી કર્ણ દોરો. આ પરિણામ હશે. સમાંતરગ્રામના નિયમ અનુસાર વેક્ટર ઉમેરણ આ રીતે કરવામાં આવે છે.

અત્યાર સુધીમાં બે થયા છે. પરંતુ જો તેમાંના 3 અથવા 10 હોય તો શું? નીચેની તકનીકનો ઉપયોગ કરો.

બહુકોણ નિયમ કેવી રીતે અને ક્યારે લાગુ પડે છે?

જો તમારે વેક્ટર્સ ઉમેરવાની જરૂર હોય, જેની સંખ્યા બે કરતા વધુ છે, તો ડરશો નહીં. તે બધાને અનુક્રમે એક બાજુએ મૂકવા અને સાંકળની શરૂઆતને તેના અંત સાથે જોડવા માટે પૂરતું છે. આ વેક્ટર જરૂરી રકમ હશે.

વેક્ટર સાથેની કામગીરી માટે કયા ગુણધર્મો માન્ય છે?

શૂન્ય વેક્ટર વિશે.જે જણાવે છે કે જ્યારે તેમાં ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે મૂળ પ્રાપ્ત થાય છે.

વિરોધી વેક્ટર વિશે.એટલે કે, લગભગ એક જેની વિરુદ્ધ દિશા અને સમાન તીવ્રતા છે. તેમનો સરવાળો શૂન્ય હશે.

ઉમેરાની કોમ્યુટેટીવિટી પર.કંઈક કે જે પ્રાથમિક શાળાથી જાણીતું છે. શરતોની સ્થિતિ બદલવાથી પરિણામ બદલાતું નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, કયા વેક્ટરને પહેલા બંધ કરવું તે મહત્વનું નથી. જવાબ હજુ પણ સાચો અને અનન્ય હશે.

ઉમેરાની સંગતતા પર.આ કાયદો તમને જોડીમાં ટ્રિપલમાંથી કોઈપણ વેક્ટર ઉમેરવા અને તેમાં ત્રીજો ઉમેરવાની મંજૂરી આપે છે. જો તમે આ પ્રતીકોનો ઉપયોગ કરીને લખો છો, તો તમને નીચે મુજબ મળશે:

પ્રથમ + (બીજો + ત્રીજો) = બીજો + (પ્રથમ + ત્રીજો) = ત્રીજો + (પ્રથમ + સેકન્ડ).

વેક્ટર તફાવત વિશે શું જાણીતું છે?

બાદબાકીની કોઈ અલગ કામગીરી નથી. આ એ હકીકતને કારણે છે કે તે આવશ્યકપણે ઉમેરા છે. તેમાંથી માત્ર બીજાને વિરુદ્ધ દિશા આપવામાં આવે છે. અને પછી બધું એવું કરવામાં આવે છે કે જાણે વેક્ટર્સ ઉમેરવાનું માનવામાં આવે છે. તેથી, તેમના તફાવત વિશે વ્યવહારીક રીતે કોઈ વાત નથી.

તેમની બાદબાકી સાથે કાર્યને સરળ બનાવવા માટે, ત્રિકોણ નિયમમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છે. હવે (બાદબાકી કરતી વખતે) બીજા વેક્ટરને પ્રથમની શરૂઆતથી અલગ રાખવું આવશ્યક છે. જવાબ એ જ હશે જે મીન્યુએન્ડના અંતિમ બિંદુને સબટ્રાહેન્ડ જેવા જ એક સાથે જોડે છે. જો કે તમે તેને પહેલા વર્ણવ્યા મુજબ મુલતવી રાખી શકો છો, ફક્ત બીજાની દિશા બદલીને.

કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટરનો સરવાળો અને તફાવત કેવી રીતે શોધવો?

સમસ્યા વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ આપે છે અને અંતિમ પરિણામ માટે તેમના મૂલ્યો શોધવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં, બાંધકામો કરવાની જરૂર નથી. એટલે કે, તમે સરળ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરી શકો છો જે વેક્ટર્સ ઉમેરવા માટેના નિયમનું વર્ણન કરે છે. તેઓ આના જેવા દેખાય છે:

a (x, y, z) + b (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -b (k, l, m) = c (x-k, y-l, z-m).

તે જોવાનું સરળ છે કે ચોક્કસ કાર્યના આધારે કોઓર્ડિનેટ્સ ઉમેરવા અથવા બાદબાકી કરવાની જરૂર છે.

ઉકેલ સાથે પ્રથમ ઉદાહરણ

શરત. એક લંબચોરસ ABCD આપેલ છે. તેની બાજુઓ 6 અને 8 સે.મી.ની બરાબર છે. વિકર્ણોના આંતરછેદ બિંદુને O અક્ષર દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે. વેક્ટર AO અને VO વચ્ચેના તફાવતની ગણતરી કરવી જરૂરી છે.

ઉકેલ. પ્રથમ તમારે આ વેક્ટર દોરવાની જરૂર છે. તેઓ લંબચોરસના શિરોબિંદુઓથી કર્ણના આંતરછેદના બિંદુ સુધી નિર્દેશિત થાય છે.

જો તમે ડ્રોઇંગને નજીકથી જોશો, તો તમે જોઈ શકો છો કે વેક્ટર પહેલેથી જ જોડાયેલા છે જેથી તેમાંથી બીજો પ્રથમના અંત સાથે સંપર્કમાં હોય. માત્ર એટલું જ કે તેની દિશા ખોટી છે. તે આ બિંદુથી શરૂ થવું જોઈએ. જો વેક્ટર ઉમેરવામાં આવે તો આ છે, પરંતુ સમસ્યામાં બાદબાકીનો સમાવેશ થાય છે. રોકો. આ ક્રિયાનો અર્થ છે કે તમારે વિરુદ્ધ નિર્દેશિત વેક્ટર ઉમેરવાની જરૂર છે. આનો અર્થ એ છે કે VO ને OV સાથે બદલવાની જરૂર છે. અને તે તારણ આપે છે કે બે વેક્ટરોએ ત્રિકોણના નિયમમાંથી પહેલેથી જ બાજુઓની જોડી બનાવી છે. તેથી, તેમના ઉમેરાનું પરિણામ, એટલે કે, ઇચ્છિત તફાવત, વેક્ટર AB છે.

અને તે લંબચોરસની બાજુ સાથે એકરુપ છે. તમારા આંકડાકીય જવાબ લખવા માટે, તમારે નીચેનાની જરૂર પડશે. લંબાઈની દિશામાં લંબચોરસ દોરો જેથી મોટી બાજુ આડી હોય. નીચે ડાબી બાજુથી શિરોબિંદુઓને નંબર આપવાનું શરૂ કરો અને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં જાઓ. પછી વેક્ટર AB ની લંબાઈ 8 સેમી જેટલી હશે.

જવાબ આપો. AO અને VO વચ્ચેનો તફાવત 8 સે.મી.

બીજું ઉદાહરણ અને તેનો વિગતવાર ઉકેલ

શરત. સમચતુર્ભુજ ABCD ના કર્ણ 12 અને 16 સેમી છે તેમના આંતરછેદનો બિંદુ O અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. AO અને VO વચ્ચેના તફાવત દ્વારા બનેલા વેક્ટરની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. સમચતુર્ભુજના શિરોબિંદુઓનું હોદ્દો અગાઉની સમસ્યાની જેમ જ રહેવા દો. પ્રથમ ઉદાહરણના ઉકેલની જેમ, તે તારણ આપે છે કે જરૂરી તફાવત વેક્ટર AB જેટલો છે. અને તેની લંબાઈ અજાણ છે. સમચતુર્ભુજની એક બાજુની ગણતરી કરવા માટે સમસ્યાનું નિરાકરણ આવ્યું.

આ હેતુ માટે, તમારે ત્રિકોણ ABO ને ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર પડશે. તે લંબચોરસ છે કારણ કે સમચતુર્ભુજના કર્ણ 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર છેદે છે. અને તેના પગ અડધા કર્ણ સમાન છે. એટલે કે, 6 અને 8 સે.મી. સમસ્યામાં માંગેલી બાજુ આ ત્રિકોણમાં કર્ણ સાથે એકરુપ છે.

તેને શોધવા માટે તમારે પાયથાગોરિયન પ્રમેયની જરૂર પડશે. કર્ણનો વર્ગ 6 2 અને 8 2 નંબરોના સરવાળા જેટલો હશે. વર્ગીકરણ પછી, પ્રાપ્ત મૂલ્યો છે: 36 અને 64. તેમનો સરવાળો 100 છે. તે અનુસરે છે કે કર્ણ 10 સે.મી.ની બરાબર છે.

જવાબ આપો. AO અને VO વેક્ટર્સ વચ્ચેનો તફાવત 10 સેમી છે.

વિગતવાર ઉકેલ સાથે ત્રીજું ઉદાહરણ

શરત. બે વેક્ટરના તફાવત અને સરવાળાની ગણતરી કરો. તેમના કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીતા છે: પ્રથમમાં 1 અને 2 છે, બીજામાં 4 અને 8 છે.

ઉકેલ. સરવાળો શોધવા માટે તમારે પ્રથમ અને બીજા કોઓર્ડિનેટ્સ જોડીમાં ઉમેરવાની જરૂર પડશે. પરિણામ 5 અને 10 નંબરો હશે. જવાબ કોઓર્ડિનેટ્સ (5; 10) સાથે વેક્ટર હશે.

તફાવત માટે, તમારે કોઓર્ડિનેટ્સ બાદબાકી કરવાની જરૂર છે. આ ક્રિયા કર્યા પછી, -3 અને -6 નંબરો પ્રાપ્ત થશે. તેઓ ઇચ્છિત વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ હશે.

જવાબ આપો. વેક્ટરનો સરવાળો (5; 10) છે, તેમનો તફાવત (-3; -6) છે.

ચોથું ઉદાહરણ

શરત. વેક્ટર AB ની લંબાઈ 6 cm છે, BC 8 cm છે બીજાને 90 ડિગ્રીના ખૂણા પર પ્રથમના છેડેથી મુકવામાં આવે છે. ગણતરી કરો: a) વેક્ટર VA અને BC ના મોડ્યુલો અને VA અને BC વચ્ચેના તફાવતના મોડ્યુલ વચ્ચેનો તફાવત; b) સમાન મોડ્યુલોનો સરવાળો અને સરવાળાના મોડ્યુલ.

ઉકેલ: a) સમસ્યામાં વેક્ટરની લંબાઈ પહેલેથી જ આપવામાં આવી છે. તેથી, તેમના તફાવતની ગણતરી કરવી મુશ્કેલ નથી. 6 - 8 = -2. તફાવત મોડ્યુલ સાથે પરિસ્થિતિ કંઈક અંશે વધુ જટિલ છે. પ્રથમ તમારે એ શોધવાની જરૂર છે કે બાદબાકીનું પરિણામ કયું વેક્ટર હશે. આ હેતુ માટે, વેક્ટર BA, જે AB ની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત છે, તેને બાજુએ મૂકવો જોઈએ. પછી વેક્ટર BC ને તેના છેડેથી દોરો, તેને મૂળની વિરુદ્ધ દિશામાં દિશામાન કરો. બાદબાકીનું પરિણામ વેક્ટર CA છે. તેના મોડ્યુલસની ગણતરી પાયથાગોરિયન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે. સરળ ગણતરીઓ 10 સે.મી.ના મૂલ્ય તરફ દોરી જાય છે.

b) વેક્ટરના મોડ્યુલીનો સરવાળો 14 સેમી જેટલો છે બીજો જવાબ શોધવા માટે, કેટલાક રૂપાંતરણની જરૂર પડશે. વેક્ટર BA એ આપેલ - ABની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત છે. બંને વેક્ટર એક જ બિંદુ પરથી નિર્દેશિત થાય છે. આ સ્થિતિમાં, તમે સમાંતરગ્રામ નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો. ઉમેરાનું પરિણામ કર્ણ હશે, અને માત્ર એક સમાંતરગ્રામ નહીં, પણ એક લંબચોરસ હશે. તેના કર્ણ સમાન છે, જેનો અર્થ છે કે સરવાળાનું મોડ્યુલસ પાછલા ફકરામાં સમાન છે.

જવાબ: a) -2 અને 10 સેમી; b) 14 અને 10 સે.મી.

ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં, વિદ્યાર્થીઓ અને શાળાના બાળકો ઘણીવાર વેક્ટરના જથ્થા સાથે સંકળાયેલી સમસ્યાઓનો સામનો કરે છે અને તેના પર વિવિધ કામગીરી કરે છે. વેક્ટર જથ્થાઓ અને અમે ઉપયોગમાં લેવાતા સ્કેલર જથ્થામાં શું તફાવત છે, જેનું એકમાત્ર લક્ષણ તેમની સંખ્યાત્મક મૂલ્ય છે? હકીકત એ છે કે તેમની પાસે દિશા છે.

વેક્ટર જથ્થાનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં સૌથી વધુ સ્પષ્ટ રીતે સમજાવાયેલ છે. સૌથી સરળ ઉદાહરણો દળો (ઘર્ષણ બળ, સ્થિતિસ્થાપક બળ, વજન), ઝડપ અને પ્રવેગક છે, કારણ કે સંખ્યાત્મક મૂલ્યો ઉપરાંત તેમની પાસે ક્રિયાની દિશા પણ છે. સરખામણી માટે, ચાલો આપીએ સ્કેલર જથ્થાનું ઉદાહરણ: આ બે બિંદુઓ અથવા શરીરના સમૂહ વચ્ચેનું અંતર હોઈ શકે છે. સરવાળો અથવા બાદબાકી જેવા વેક્ટર જથ્થાઓ પર કામગીરી કરવી શા માટે જરૂરી છે? આ જરૂરી છે જેથી 2 અથવા વધુ તત્વો ધરાવતી વેક્ટર સિસ્ટમની ક્રિયાનું પરિણામ નક્કી કરવું શક્ય બને.

વેક્ટર ગણિતની વ્યાખ્યાઓ

ચાલો રેખીય કામગીરી કરતી વખતે વપરાતી મુખ્ય વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ.

1. વેક્ટર એ નિર્દેશિત સેગમેન્ટ છે (પ્રારંભિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુ ધરાવે છે).
2. લંબાઈ (મોડ્યુલસ) એ નિર્દેશિત સેગમેન્ટની લંબાઈ છે.
3. કોલિનિયર એ બે વેક્ટર છે જે કાં તો એક જ રેખાના સમાંતર હોય છે અથવા એકસાથે તેના પર આવેલા હોય છે.
4. વિપરિત રીતે નિર્દેશિત વેક્ટર્સને કોલિનિયર કહેવામાં આવે છે અને તે જ સમયે જુદી જુદી દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે. જો તેમની દિશા એકરુપ હોય, તો તેઓ સહ-દિશા પર આધારિત છે.
5. વેક્ટર સમાન હોય છે જ્યારે તેઓ સહ-દિશામાં હોય અને તીવ્રતામાં સમાન હોય.
6. બે વેક્ટરનો સરવાળો aઅને bઆવા વેક્ટર છે c, જેની શરૂઆત પ્રથમની શરૂઆત સાથે અને અંત બીજાના અંત સાથે એકરુપ હોય છે, જો કે bજ્યાં તે સમાપ્ત થાય છે તે જ બિંદુથી શરૂ થાય છે a.
7. વેક્ટર તફાવત aઅને bરકમનું નામ આપો aઅને ( - b ), ક્યાં ( - b ) - વિરુદ્ધ વેક્ટર તરફ નિર્દેશિત b. ઉપરાંત, બે વેક્ટર વચ્ચેના તફાવતની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે: તફાવત cવેક્ટરની જોડી aઅને bતેઓ આને બોલાવે છે c, જે સબટ્રાહેન્ડમાં ઉમેરવામાં આવે છે bએક મિનિટ બનાવે છે a

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિ

વિશ્લેષણાત્મક પદ્ધતિમાં કાવતરું કર્યા વિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તફાવતના કોઓર્ડિનેટ્સ મેળવવાનો સમાવેશ થાય છે. સપાટ (દ્વિ-પરિમાણીય), વોલ્યુમેટ્રિક (ત્રિ-પરિમાણીય) અથવા n-પરિમાણીય જગ્યા માટે ગણતરીઓ કરવી શક્ય છે.

દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યા માટે અને વેક્ટર જથ્થો a {a₁;a₂) અને b {b₁;b₂} ગણતરીઓ આના જેવી દેખાશે: c {c₁; c₂} = {a₁ - b₁; a₂ – b₂}.

ત્રીજા સંકલન ઉમેરવાના કિસ્સામાં, ગણતરી એ જ રીતે હાથ ધરવામાં આવશે, અને માટે a {a₁;a₂; a₃) અને b {b₁;b₂; b₃) તફાવતના કોઓર્ડિનેટ્સ જોડીવાર બાદબાકી દ્વારા પણ મેળવવામાં આવશે: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ - b₁; a₂ – b₂; a₃ – b₃}.

ગ્રાફિકલી તફાવતની ગણતરી

તફાવતને ગ્રાફિકલી બનાવવા માટે, તમારે ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. આ કરવા માટે, તમારે ક્રિયાઓનો નીચેનો ક્રમ કરવો આવશ્યક છે:

1. આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને, વેક્ટર બનાવો જેના માટે તમારે તફાવત શોધવાની જરૂર છે.
2. તેમના છેડા ભેગા કરો (એટલે ​​​​કે, આપેલ રાશિઓની સમાન બે નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સ બનાવો, જે એક જ બિંદુ પર સમાપ્ત થશે).
3. બંને નિર્દેશિત વિભાગોની શરૂઆતને જોડો અને દિશા સૂચવો; પરિણામી તે જ બિંદુથી શરૂ થશે જ્યાં વેક્ટર મીન્યુએન્ડ શરૂ થાય છે અને જ્યાં સબટ્રાહેન્ડ શરૂ થાય છે ત્યાં જ સમાપ્ત થાય છે.

બાદબાકીની કામગીરીનું પરિણામ નીચેની આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે.

તફાવત બાંધવા માટેની એક પદ્ધતિ પણ છે, જે પાછલા એક કરતા સહેજ અલગ છે. તેનો સાર વેક્ટર તફાવત પ્રમેયના ઉપયોગમાં રહેલો છે, જે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સની જોડીનો તફાવત શોધવા માટે, તેમાંથી વિરુદ્ધ રીતે નિર્દેશિત સેગમેન્ટ સાથે તેમાંથી પ્રથમનો સરવાળો શોધવા માટે તે પૂરતું છે. બીજું બાંધકામ અલ્ગોરિધમ આના જેવો દેખાશે:

1. પ્રારંભિક નિર્દેશિત સેગમેન્ટ્સ બનાવો.
2. જે બાદબાકી કરવામાં આવી છે તે પ્રતિબિંબિત થવી જોઈએ, એટલે કે, તેનાથી વિરુદ્ધ નિર્દેશિત અને સમાન સેગમેન્ટ બનાવો; પછી તેની શરૂઆતને મિન્યુએન્ડ સાથે જોડો.
3. સરવાળો બનાવો: પ્રથમ સેગમેન્ટની શરૂઆત બીજાના અંત સાથે જોડો.

આ નિર્ણયનું પરિણામ આકૃતિમાં બતાવવામાં આવ્યું છે:

સમસ્યાનું નિરાકરણ

કુશળતાને એકીકૃત કરવા માટે, અમે ઘણા કાર્યોનું વિશ્લેષણ કરીશું જેમાં તમારે વિશ્લેષણાત્મક અથવા ગ્રાફિકલી રીતે તફાવતની ગણતરી કરવાની જરૂર છે.

સમસ્યા 1. પ્લેનમાં 4 પોઈન્ટ આપવામાં આવ્યા છે: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). વેક્ટર q = AB - CD ના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરો અને તેની લંબાઈની પણ ગણતરી કરો.

ઉકેલ. પ્રથમ તમારે કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની જરૂર છે એબીઅને સીડી. આ કરવા માટે, અંતિમ બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી પ્રારંભિક બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ બાદ કરો. માટે એબીશરૂઆત છે એ(1; -3), અને અંત - બી(0; 4). ચાલો નિર્દેશિત સેગમેન્ટના કોઓર્ડિનેટ્સની ગણતરી કરીએ:

એબી {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

માટે સમાન ગણતરી કરવામાં આવે છે સીડી:

સીડી {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

હવે, કોઓર્ડિનેટ્સ જાણીને, તમે વેક્ટર વચ્ચેનો તફાવત શોધી શકો છો. પ્લેન સમસ્યાઓના વિશ્લેષણાત્મક ઉકેલ માટેનું સૂત્ર અગાઉ ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યું હતું: માટે c = a- bકોઓર્ડિનેટ્સ ફોર્મ ધરાવે છે ( c₁; c₂} = {a₁ - b₁; a₂ – b₂). ચોક્કસ કેસ માટે, તમે લખી શકો છો:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

લંબાઈ શોધવા માટે q, ચાલો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

સમસ્યા 2. આકૃતિ m, n અને p વેક્ટર્સ દર્શાવે છે.

તેમના માટે તફાવતો બાંધવા જરૂરી છે: પી- n; m- n; m- એન- પી. તેમાંથી કયું મોડ્યુલસ સૌથી નાનું છે તે શોધો.

ઉકેલ. સમસ્યા માટે ત્રણ બાંધકામોની જરૂર છે. ચાલો કાર્યના દરેક ભાગને વધુ વિગતમાં જોઈએ.

ભાગ 1.નિરૂપણ કરવા માટે પી- n,ચાલો ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીએ. આ કરવા માટે, સમાંતર અનુવાદનો ઉપયોગ કરીને, અમે સેગમેન્ટ્સને જોડીએ છીએ જેથી તેમનો અંતિમ બિંદુ એકરૂપ થાય. હવે શરૂઆતના બિંદુઓને જોડીએ અને દિશા નક્કી કરીએ. અમારા કિસ્સામાં, તફાવત વેક્ટર સબટ્રાહેન્ડની જેમ જ જગ્યાએથી શરૂ થાય છે n

ભાગ 2.ચાલો નિરૂપણ કરીએ m - n. હવે ઉકેલવા માટે આપણે વેક્ટર તફાવત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું. આ કરવા માટે, તમારે વિરુદ્ધ વેક્ટર બનાવવાની જરૂર છે n,અને પછી તેની રકમ સાથે શોધો mપરિણામી પરિણામ આના જેવો દેખાશે:

ભાગ 3.તફાવત શોધવા માટે m - n - p,તમારે અભિવ્યક્તિને બે ક્રિયાઓમાં વિભાજીત કરવી જોઈએ. વેક્ટર બીજગણિતમાં અંકગણિતના નિયમો જેવા જ કાયદા હોવાથી, નીચેના વિકલ્પો શક્ય છે:

• m - (n + p): આ કિસ્સામાં, રકમ પ્રથમ પ્લોટ કરવામાં આવે છે n+p, જે પછી બાદ કરવામાં આવે છે m;
• (m - n) - પી: અહીં તમારે પહેલા શોધવાની જરૂર છે m - n, અને પછી આ તફાવતમાંથી બાદબાકી કરો પી;
• (m - p) - n: પ્રથમ ક્રિયા નક્કી કરવામાં આવે છે m - p, જે પછી તમારે પ્રાપ્ત પરિણામમાંથી બાદબાકી કરવાની જરૂર છે n.

સમસ્યાના પાછલા ભાગમાં અમને પહેલાથી જ તફાવત મળ્યો છે m - n, આપણે ફક્ત તેમાંથી બાદબાકી કરવી પડશે પી. ચાલો તફાવત પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપેલ બે વેક્ટર વચ્ચેનો તફાવત બનાવીએ. જવાબ નીચેની છબીમાં બતાવવામાં આવ્યો છે (લાલ મધ્યવર્તી પરિણામ સૂચવે છે, અને લીલો અંતિમ પરિણામ સૂચવે છે).

તે નક્કી કરવાનું બાકી છે કે કયા વિભાગોમાં સૌથી નાનું મોડ્યુલસ છે. ચાલો યાદ રાખીએ કે વેક્ટર ગણિતમાં લંબાઈ અને મોડ્યુલસની વિભાવનાઓ સમાન છે. ચાલો દૃષ્ટિની લંબાઈનો અંદાજ કરીએ પી- n, m- એનઅને m- એન-પી. દેખીતી રીતે, સૌથી ટૂંકો જવાબ અને સૌથી નાનો મોડ્યુલસ એ સમસ્યાના છેલ્લા ભાગમાં જવાબ છે, એટલે કે m- એન-પી.

નિયમિત સંખ્યાઓની જેમ સ્કેલર ઉમેરી, ગુણાકાર અને વિભાજિત કરી શકાય છે.

કારણ કે વેક્ટર માત્ર સંખ્યાત્મક મૂલ્ય દ્વારા જ નહીં, પણ દિશા દ્વારા પણ વર્ગીકૃત થયેલ છે, વેક્ટરનો ઉમેરો નંબરો ઉમેરવાના નિયમોનું પાલન કરતું નથી. ઉદાહરણ તરીકે, વેક્ટરની લંબાઈ દો a= 3 મીટર, b= 4 મીટર, પછી a + b= 3 m + 4 m = 7 m પરંતુ વેક્ટરની લંબાઈ \(\vec c = \vec a + \vec b\) 7 m (ફિગ. 1) ની બરાબર નહીં હોય.

ચોખા. 1.

વેક્ટર બનાવવા માટે \(\vec c = \vec a + \vec b\) (ફિગ. 2), વેક્ટર ઉમેરવા માટેના વિશેષ નિયમો લાગુ કરવામાં આવે છે.

અને સરવાળા વેક્ટરની લંબાઈ \(\vec c = \vec a + \vec b\) કોસાઈન પ્રમેય \(c = \sqrt(a^2+b^2-2a\cdot b\cdot \) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. cos \alpha)\ ), જ્યાં \(\alpha\,\) એ વેક્ટર \(\vec a\) અને \(\vec b\) વચ્ચેનો ખૂણો છે.

ત્રિકોણ નિયમ

વિદેશી સાહિત્યમાં આ પદ્ધતિને "પૂંછડીથી માથા" કહેવામાં આવે છે.

બે વેક્ટર ઉમેરવા માટે \(\vec a\) અને \(\vec b\) (ફિગ. 3, a) તમારે વેક્ટર \(\vec b\) ને પોતાની સાથે સમાંતર ખસેડવાની જરૂર છે જેથી તેની શરૂઆત તેની સાથે એકરુપ થાય. વેક્ટરનો અંત \(\vec a\) (ફિગ. 3, b). પછી તેમનો સરવાળો વેક્ટર \(\vec c\) હશે, જેની શરૂઆત વેક્ટરની શરૂઆત \(\vec a\), અને અંત વેક્ટરના અંત સાથે થાય છે \(\vec b\) (ફિગ. 3, સી).

જો તમે વેક્ટર \(\vec b\) ને બદલે વેક્ટર \(\vec b\) (ફિગ. 4) ને ખસેડશો તો પરિણામ બદલાશે નહીં, એટલે કે. \(\vec b + \vec a = \vec a + \vec b\) ( વેક્ટરની વિનિમયાત્મક મિલકત).

ત્રિકોણ નિયમનો ઉપયોગ કરીને, તમે બે સમાંતર વેક્ટર ઉમેરી શકો છો \(\vec a\) અને \(\vec b\) (ફિગ. 6, a) અને \(\vec a\) અને \(\vec d\) ( ફિગ. 7, એ). આ વેક્ટર્સનો સરવાળો \(\vec c = \vec a + \vec b\) અને \(\vec f = \vec a + \vec d\) ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 6, b અને 7, b. વધુમાં, વેક્ટરના મોડ્યુલો \(c = a + b\) અને \(f=\left|a-d\right|\).

ત્રણ અથવા વધુ વેક્ટર ઉમેરતી વખતે ત્રિકોણ નિયમ લાગુ કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, \(\vec c = \vec a_1 + \vec a_2 +\vec a_3 +\vec a_4\) (ફિગ. 8).

સમાંતરગ્રામ નિયમ

બે વેક્ટર ઉમેરવા માટે \(\vec a\) અને \(\vec b\) (ફિગ. 9, a) તમારે તેમને પોતાની સાથે સમાંતર ખસેડવાની જરૂર છે જેથી વેક્ટરની શરૂઆત \(\vec a\) અને \(\ vec b\) એક બિંદુ પર હતા (ફિગ. 9, b). પછી એક સમાંતરગ્રામ બનાવો જેની બાજુઓ આ વેક્ટર હશે (ફિગ. 9, c). પછી સરવાળો \(\vec a+ \vec b\) એ વેક્ટર \(\vec c\) હશે, જેની શરૂઆત વેક્ટરની સામાન્ય શરૂઆત સાથે એકરુપ થાય છે અને અંત સમાંતર ચતુષ્કોણ (ફિગ) ના વિરુદ્ધ શિરોબિંદુ સાથે થાય છે. 9, ડી).

વેક્ટર બાદબાકી

બે વેક્ટર \(\vec a\) અને \(\vec b\) (ફિગ. 11) વચ્ચેનો તફાવત શોધવા માટે, તમારે વેક્ટર \(\vec c = \vec a + \left(-) શોધવાની જરૂર છે. \vec b \right) \) (cm.

એક્સ અને yવેક્ટર કહેવાય છે zજેમ કે z+y=x.

વિકલ્પ 1.બધા વેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુઓ કોઓર્ડિનેટ્સની ઉત્પત્તિ સાથે સુસંગત છે.

ચાલો વેક્ટરનો તફાવત બનાવીએ અને .

વેક્ટર તફાવત પ્લોટ કરવા માટે z=x-y, તમારે વેક્ટર ઉમેરવાની જરૂર છે xની વિરુદ્ધ સાથે yવેક્ટર y". વિરોધી વેક્ટર y"તે બિલ્ડ કરવા માટે સરળ છે:

વેક્ટર y"વેક્ટરની વિરુદ્ધ છે y, કારણ કે y+y"= 0, જ્યાં 0 એ યોગ્ય કદનું શૂન્ય વેક્ટર છે. આગળ, વેક્ટર ઉમેરણ કરવામાં આવે છે xઅને y":

અભિવ્યક્તિ (1) પરથી તે સ્પષ્ટ છે કે વેક્ટર્સ વચ્ચેનો તફાવત રચવા માટે, તે વેક્ટરના અનુરૂપ કોઓર્ડિનેટ્સમાં તફાવતની ગણતરી કરવા માટે પૂરતું છે. xઅને y.

ચોખા. 1

ચિત્રમાં ફિગ. 1 દ્વિ-પરિમાણીય જગ્યામાં વેક્ટર્સનો તફાવત દર્શાવવામાં આવે છે x=(10.3) અને y=(2,4).

ચાલો ગણતરી કરીએ z=x-y=(10-3,3-4)=(7,-1). ચાલો પ્રાપ્ત પરિણામની ભૌમિતિક અર્થઘટન સાથે સરખામણી કરીએ. ખરેખર, વેક્ટર બનાવ્યા પછી y"અને વેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુની સમાંતર હિલચાલ y"વેક્ટરના અંતિમ બિંદુ સુધી x, આપણને વેક્ટર મળે છે y"", અને વેક્ટર ઉમેર્યા પછી xઅને y"", આપણને વેક્ટર મળે છે z.

વિકલ્પ 2.વેક્ટરના પ્રારંભિક બિંદુઓ મનસ્વી છે.

ચોખા. 2

ચિત્રમાં ફિગ. 2 દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશમાં વેક્ટરનો તફાવત દર્શાવવામાં આવે છે x=એબીઅને y=સીડી, ક્યાં એ(1,0), બી(11,3), સી(1,2), ડી(3.6). વેક્ટરની ગણતરી કરવા માટે z=x-y, વેક્ટરની વિરુદ્ધ બાંધવામાં આવે છે yવેક્ટર y":

આગળ તમારે વેક્ટર ઉમેરવાની જરૂર છે xઅને y". વેક્ટર y"સમાંતર ખસે છે જેથી બિંદુ સી"બિંદુ સાથે સુસંગત બી. આ કરવા માટે, બિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સમાં તફાવતોની ગણતરી કરવામાં આવે છે બીઅને સાથે.