વર્તુળ શું સમાવે છે? II

ડેમો સામગ્રી:હોકાયંત્ર, પ્રયોગ માટે સામગ્રી: ગોળાકાર વસ્તુઓ અને દોરડા (દરેક વિદ્યાર્થી માટે) અને શાસકો; વર્તુળ મોડેલ, રંગીન ક્રેયોન્સ.

લક્ષ્ય:"વર્તુળ" અને તેના તત્વોની વિભાવનાનો અભ્યાસ કરવો, તેમની વચ્ચે જોડાણ સ્થાપિત કરવું; નવી શરતોનો પરિચય; પ્રાયોગિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને અવલોકનો કરવાની અને તારણો કાઢવાની ક્ષમતા વિકસાવવી; ગણિતમાં જ્ઞાનાત્મક રસને પોષવું.

પાઠ પ્રગતિ

I. સંસ્થાકીય ક્ષણ

શુભેચ્છાઓ. એક ધ્યેય સુયોજિત.

II. મૌખિક ગણતરી

III. નવી સામગ્રી

તમામ પ્રકારના સપાટ આકૃતિઓમાં, બે મુખ્ય વ્યક્તિઓ અલગ પડે છે: ત્રિકોણ અને વર્તુળ. આ આંકડાઓ તમને બાળપણથી જ જાણીતા છે. ત્રિકોણ કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું? સેગમેન્ટ્સ દ્વારા! વર્તુળ શું છે તે આપણે કેવી રીતે નક્કી કરી શકીએ? છેવટે, આ રેખા દરેક બિંદુએ વળે છે! પ્રખ્યાત ગણિતશાસ્ત્રી ગ્રેથેન્ડિકે, તેમના શાળાના વર્ષોને યાદ કરતા નોંધ્યું કે વર્તુળની વ્યાખ્યા શીખ્યા પછી તેમને ગણિતમાં રસ પડ્યો.

ચાલો ભૌમિતિક ઉપકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળ દોરીએ - હોકાયંત્રબોર્ડ પર નિદર્શન હોકાયંત્ર સાથે વર્તુળ બનાવવું:

પ્લેન પર એક બિંદુ ચિહ્નિત કરો;
અમે હોકાયંત્રના પગને ચિહ્નિત બિંદુ સાથે ટીપ સાથે સંરેખિત કરીએ છીએ, અને આ બિંદુની આસપાસ સ્ટાઈલસ સાથે પગને ફેરવીએ છીએ.

પરિણામ ભૌમિતિક આકૃતિ છે - વર્તુળ

(સ્લાઇડ નંબર 1)

તો વર્તુળ શું છે?

વ્યાખ્યા. પરિઘ -એક બંધ વક્ર રેખા છે, જેનાં તમામ બિંદુઓ પ્લેનમાં આપેલ બિંદુથી સમાન અંતરે છે, જેને કહેવાય છે કેન્દ્રવર્તુળો

(સ્લાઇડ નંબર 2)

પ્લેન વર્તુળને કેટલા ભાગમાં વહેંચે છે?

બિંદુ O- કેન્દ્રવર્તુળો

અથવા - ત્રિજ્યાવર્તુળ (આ એક સેગમેન્ટ છે જે વર્તુળના કેન્દ્રને તેના પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે જોડે છે). લેટિનમાં ત્રિજ્યા-વ્હીલ બોલ્યો.

એબી - તારવર્તુળ (આ વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ છે).

ડીસી - વ્યાસવર્તુળ (આ વર્તુળની મધ્યમાંથી પસાર થતી તાર છે). વ્યાસ ગ્રીક "વ્યાસ" માંથી આવે છે.

DR- ચાપવર્તુળ (આ બે બિંદુઓથી બંધાયેલ વર્તુળનો એક ભાગ છે).

વર્તુળમાં કેટલી ત્રિજ્યા અને વ્યાસ દોરી શકાય?

વર્તુળની અંદરના પ્લેનનો ભાગ અને વર્તુળ પોતે એક વર્તુળ બનાવે છે.

વ્યાખ્યા. વર્તુળ -આ એક વર્તુળ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેનનો ભાગ છે. વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર વર્તુળના કેન્દ્રથી વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સુધીના અંતર કરતાં વધી જતું નથી.

વર્તુળ અને વર્તુળ એકબીજાથી કેવી રીતે અલગ પડે છે અને તેમની વચ્ચે શું સામ્ય છે?

એક વર્તુળની ત્રિજ્યા (r) અને વ્યાસ (d) ની લંબાઈ એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે?

d = 2 * આર (ડી- વ્યાસ લંબાઈ; આર -ત્રિજ્યા લંબાઈ)

વ્યાસ અને કોઈપણ તારની લંબાઈ કેવી રીતે સંબંધિત છે?

વ્યાસ એ વર્તુળના તારોમાં સૌથી મોટો છે!

વર્તુળ એક અદ્ભુત સુમેળભર્યું આકૃતિ છે; પ્રાચીન ગ્રીક લોકો તેને સૌથી સંપૂર્ણ માનતા હતા, કારણ કે વર્તુળ એ એકમાત્ર વળાંક છે જે "પોતાની રીતે સ્લાઇડ" કરી શકે છે, કેન્દ્રની આસપાસ ફરે છે. વર્તુળની મુખ્ય મિલકત એ પ્રશ્નોના જવાબ આપે છે કે શા માટે હોકાયંત્રનો ઉપયોગ તેને દોરવા માટે કરવામાં આવે છે અને શા માટે વ્હીલ્સ ગોળાકાર બનાવવામાં આવે છે, અને ચોરસ અથવા ત્રિકોણાકાર નથી. માર્ગ દ્વારા, વ્હીલ વિશે. આ માનવજાતની મહાન શોધોમાંની એક છે. તે તારણ આપે છે કે વ્હીલ સાથે આવવું એટલું સરળ નહોતું જેટલું લાગે છે. છેવટે, મેક્સિકોમાં રહેતા એઝટેકને પણ લગભગ 16મી સદી સુધી વ્હીલ ખબર ન હતી.

વર્તુળને ચેકર્ડ પેપર પર હોકાયંત્ર વગર એટલે કે હાથથી દોરી શકાય છે. સાચું, વર્તુળ ચોક્કસ કદનું બહાર વળે છે. (શિક્ષક ચેકર્ડ બોર્ડ પર બતાવે છે)

આવા વર્તુળને દર્શાવવાનો નિયમ 3-1, 1-1, 1-3 લખાયેલો છે.

હાથથી આવા વર્તુળનો એક ક્વાર્ટર દોરો.

આ વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલા કોષો જેટલી છે? તેઓ કહે છે કે મહાન જર્મન કલાકાર આલ્બ્રેક્ટ ડ્યુરેર તેના હાથની એક હિલચાલ (નિયમો વિના) વડે એટલી સચોટ રીતે વર્તુળ દોરી શકે છે કે હોકાયંત્ર (કલાકાર દ્વારા કેન્દ્ર સૂચવવામાં આવ્યું હતું) સાથેની અનુગામી તપાસમાં કોઈ વિચલનો દેખાતા નથી.

લેબોરેટરી કામ

તમે પહેલેથી જ જાણો છો કે સેગમેન્ટની લંબાઈ કેવી રીતે માપવી, બહુકોણ (ત્રિકોણ, ચોરસ, લંબચોરસ) ની પરિમિતિ શોધવી. જો વર્તુળ પોતે જ વક્ર રેખા હોય અને લંબાઈના માપનનું એકમ સેગમેન્ટ હોય તો તેની લંબાઈ કેવી રીતે માપવી?

પરિઘ માપવાની ઘણી રીતો છે.

વર્તુળમાંથી ટ્રેસ (એક ક્રાંતિ) સીધી રેખા પર.

શિક્ષક બોર્ડ પર એક સીધી રેખા દોરે છે, તેના પર અને વર્તુળ મોડેલની સીમા પર એક બિંદુને ચિહ્નિત કરે છે. તેમને સંયોજિત કરે છે, અને પછી ચિહ્નિત બિંદુ સુધી વર્તુળને સીધી રેખામાં સરળતાથી ફેરવે છે એવર્તુળ પર એક બિંદુ પર સીધી રેખા પર રહેશે નહીં IN. સેગમેન્ટ એબીપછી પરિઘ સમાન હશે.

લિયોનાર્ડો દા વિન્સી: "ગાડાઓની હિલચાલ હંમેશા અમને બતાવે છે કે વર્તુળના પરિઘને કેવી રીતે સીધો કરવો."

વિદ્યાર્થીઓને સોંપણી:

a) ગોળાકાર પદાર્થના તળિયે ચક્કર લગાવીને વર્તુળ દોરો;

b) ઓબ્જેક્ટના તળિયાને થ્રેડ સાથે લપેટી (એકવાર) જેથી થ્રેડનો અંત વર્તુળ પરના સમાન બિંદુએ શરૂઆત સાથે એકરુપ થાય;

c) આ થ્રેડને સેગમેન્ટમાં સીધો કરો અને શાસકનો ઉપયોગ કરીને તેની લંબાઈને માપો, આ પરિઘ હશે.

શિક્ષકને ઘણા વિદ્યાર્થીઓના માપન પરિણામોમાં રસ છે.

જો કે, પરિઘને સીધી રીતે માપવાની આ પદ્ધતિઓ અસુવિધાજનક છે અને રફ પરિણામો આપે છે. તેથી, પ્રાચીન સમયથી, તેઓએ પરિઘ માપવા માટે વધુ અદ્યતન રીતો શોધવાનું શરૂ કર્યું. માપન પ્રક્રિયા દરમિયાન, અમે નોંધ્યું છે કે વર્તુળની લંબાઈ અને તેના વ્યાસની લંબાઈ વચ્ચે ચોક્કસ સંબંધ છે.

ડી) ઑબ્જેક્ટના તળિયાના વ્યાસને માપો (વર્તુળના તારોમાં સૌથી મોટો);

e) C:d ગુણોત્તર શોધો (દસમાથી સચોટ).

ગણતરીના પરિણામો માટે ઘણા વિદ્યાર્થીઓને પૂછો.

ઘણા વૈજ્ઞાનિકો અને ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સાબિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો કે આ ગુણોત્તર એક સ્થિર સંખ્યા છે, જે વર્તુળના કદથી સ્વતંત્ર છે. પ્રાચીન ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી આર્કિમિડીઝ આ કરનાર સૌ પ્રથમ હતા. તેને આ ગુણોત્તર માટે એકદમ સચોટ અર્થ મળ્યો.

આ સંબંધ ગ્રીક અક્ષર ("પી" વાંચો) દ્વારા સૂચિત થવાનું શરૂ થયું - ગ્રીક શબ્દ "પેરિફેરી" નો પ્રથમ અક્ષર એક વર્તુળ છે.

સી - પરિઘ;

ડી - વ્યાસ લંબાઈ.

નંબર π વિશે ઐતિહાસિક માહિતી:

287 થી 212 બીસી સુધી સિરાક્યુસ (સિસિલી)માં રહેતા આર્કિમિડીઝને માત્ર તર્ક દ્વારા, માપ વિના અર્થ શોધી કાઢ્યો

હકીકતમાં, સંખ્યા π ચોક્કસ અપૂર્ણાંક તરીકે વ્યક્ત કરી શકાતી નથી. 16મી સદીના ગણિતશાસ્ત્રી લુડોલ્ફ પાસે 35 દશાંશ સ્થાનો સાથે તેની ગણતરી કરવાની ધીરજ હતી અને તેણે તેના કબરના સ્મારક પર કોતરવામાં આવે તે માટે π નું મૂલ્ય આપ્યું હતું. 1946 - 1947 માં બે વૈજ્ઞાનિકોએ સ્વતંત્ર રીતે pi ના 808 દશાંશ સ્થાનોની ગણતરી કરી. હવે કમ્પ્યુટર પર π નંબરના એક અબજથી વધુ અંકો મળી આવ્યા છે.

π નું અંદાજિત મૂલ્ય, પાંચ દશાંશ સ્થાનો માટે સચોટ, નીચેની લીટીનો ઉપયોગ કરીને યાદ રાખી શકાય છે (શબ્દમાં અક્ષરોની સંખ્યાના આધારે):

π ≈ 3.14159 - "હું આને બરાબર જાણું છું અને યાદ કરું છું."

પરિઘ ફોર્મ્યુલાનો પરિચય

C:d = π એ જાણીને, C વર્તુળની લંબાઈ કેટલી હશે?

(સ્લાઇડ નં. 3) C = πd C = 2πr

બીજું સૂત્ર કેવી રીતે આવ્યું?

વાંચે છે: પરિઘસંખ્યા π અને તેના વ્યાસના ગુણાંક (અથવા સંખ્યા π અને તેની ત્રિજ્યાના બમણા ઉત્પાદન) ની બરાબર છે.

વર્તુળનો વિસ્તારસંખ્યા π અને ત્રિજ્યાના વર્ગના ગુણાંક સમાન છે.

S = πઆર 2

IV. સમસ્યાનું નિરાકરણ

№1. વર્તુળનો પરિઘ શોધો જેની ત્રિજ્યા 24 સે.મી.ની સંખ્યા π ને નજીકના સોમા સુધી ગોળાકાર છે.

ઉકેલ:π ≈ 3.14.

જો r = 24 cm, તો C = 2 π r ≈ 2 3.14 24 = 150.72(cm).

જવાબ:પરિઘ 150.72 સે.મી.

નંબર 2 (મૌખિક રીતે):અર્ધવર્તુળ સમાન ચાપની લંબાઈ કેવી રીતે શોધવી?

કાર્ય:જો તમે વિષુવવૃત્ત સાથે વિશ્વની આસપાસ વાયર લપેટી અને પછી તેની લંબાઈમાં 1 મીટર ઉમેરો, તો શું ઉંદર વાયર અને જમીન વચ્ચે સરકી શકશે?

ઉકેલ: C = 2 πR, C+1 = 2π(R+x)

માત્ર ઉંદર જ નહીં, પણ મોટી બિલાડી પણ આવા અંતરમાં સરકી જશે. અને એવું લાગે છે કે, પૃથ્વીના વિષુવવૃત્તના 40 મિલિયન મીટરની તુલનામાં 1 મીટરનો અર્થ શું છે?

વી. નિષ્કર્ષ

વર્તુળ બનાવતી વખતે તમારે કયા મુખ્ય મુદ્દાઓ પર ધ્યાન આપવું જોઈએ?
પાઠના કયા ભાગો તમારા માટે સૌથી વધુ રસપ્રદ હતા?
તમે આ પાઠમાં નવું શું શીખ્યા?

ચિત્રો સાથે ક્રોસવર્ડ પઝલનો ઉકેલ(સ્લાઇડ નં. 3)

તે વર્તુળ, તાર, ચાપ, ત્રિજ્યા, વ્યાસ, પરિઘ માટેના સૂત્રોની વ્યાખ્યાઓના પુનરાવર્તન સાથે છે. અને પરિણામે - કીવર્ડ: “CIRCLE” (આડા).

પાઠ સારાંશ: ગ્રેડિંગ, હોમવર્ક પર ટિપ્પણીઓ. ગૃહકાર્ય:પૃષ્ઠ 24, નંબર 853, 854. π 2 વધુ વખત શોધવા માટે એક પ્રયોગ કરો.

વર્તુળ શું છે તેનો સામાન્ય ખ્યાલ મેળવવા માટે, રિંગ અથવા હૂપ જુઓ. તમે એક ગોળ કાચ અને કપ પણ લઈ શકો છો, તેને કાગળના ટુકડા પર ઊંધો મૂકી શકો છો અને તેને પેન્સિલ વડે ટ્રેસ કરી શકો છો. પુનરાવર્તિત વિસ્તરણ સાથે, પરિણામી રેખા જાડી બનશે અને સંપૂર્ણપણે સરળ રહેશે નહીં, અને તેની કિનારીઓ ઝાંખી થઈ જશે. ભૌમિતિક આકૃતિ તરીકેના વર્તુળમાં જાડાઈ જેવી લાક્ષણિકતા હોતી નથી.

વર્તુળ: વ્યાખ્યા અને વર્ણનના મૂળ માધ્યમ

વર્તુળ એ એક જ સમતલમાં સ્થિત અને વર્તુળના કેન્દ્રથી સમાન અંતરે આવેલા ઘણા બધા બિંદુઓનો સમાવેશ કરતું બંધ વળાંક છે. આ કિસ્સામાં, કેન્દ્ર સમાન વિમાનમાં છે. એક નિયમ તરીકે, તે અક્ષર O દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરને ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે અને R અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

જો તમે વર્તુળ પર કોઈપણ બે બિંદુઓને જોડો છો, તો પરિણામી સેગમેન્ટને તાર કહેવામાં આવશે. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતો તાર એ વ્યાસ છે, જે અક્ષર D દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. વ્યાસ વર્તુળને બે સમાન ચાપમાં વિભાજીત કરે છે અને ત્રિજ્યાની લંબાઈ કરતા બમણું છે. આમ, D = 2R, અથવા R = D/2.

તારોના ગુણધર્મો

જો વર્તુળના કોઈપણ બે બિંદુઓ દ્વારા તાર દોરવામાં આવે છે, અને પછી ત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ બાદમાં કાટખૂણે દોરવામાં આવે છે, તો આ સેગમેન્ટ તેના દ્વારા કાપવામાં આવેલ તાર અને ચાપ બંનેને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરશે. કન્વર્સ સ્ટેટમેન્ટ પણ સાચું છે: જો ત્રિજ્યા (વ્યાસ) તારને અડધા ભાગમાં વિભાજીત કરે છે, તો તે તેના માટે લંબરૂપ છે.
જો એક જ વર્તુળમાં બે સમાંતર તાર દોરવામાં આવે, તો તેમના દ્વારા કાપવામાં આવેલા ચાપ તેમજ તેમની વચ્ચે બંધ કરાયેલા ચાપ સમાન હશે.
ચાલો બિંદુ T પર વર્તુળની અંદર છેદતી બે તાર PR અને QS દોરીએ. એક તારનાં સેગમેન્ટ્સનું ઉત્પાદન હંમેશા બીજી તારનાં સેગમેન્ટ્સના ગુણાંક જેટલું જ હશે, એટલે કે, PT x TR = QT x TS.

પરિઘ: સામાન્ય ખ્યાલ અને મૂળભૂત સૂત્રો

આ ભૌમિતિક આકૃતિની મૂળભૂત લાક્ષણિકતાઓમાંની એક પરિઘ છે. સૂત્ર ત્રિજ્યા, વ્યાસ અને સતત "π" જેવા જથ્થાનો ઉપયોગ કરીને મેળવવામાં આવે છે, જે પરિઘના વ્યાસ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તરની સ્થિરતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

આમ, L = πD, અથવા L = 2πR, જ્યાં L પરિઘ છે, D વ્યાસ છે, R ત્રિજ્યા છે.

આપેલ પરિઘ માટે ત્રિજ્યા અથવા વ્યાસ શોધતી વખતે પરિઘ માટેના સૂત્રને પ્રારંભિક તરીકે ગણી શકાય: D = L/π, R = L/2π.

વર્તુળ શું છે: મૂળભૂત ધારણા

કોઈ સામાન્ય બિંદુઓ નથી;
એક સામાન્ય બિંદુ હોય છે, અને સીધી રેખાને સ્પર્શક કહેવાય છે: જો તમે કેન્દ્ર અને સ્પર્શેન્દ્રિય બિંદુ દ્વારા ત્રિજ્યા દોરો છો, તો તે સ્પર્શકને લંબરૂપ હશે;
બે સામાન્ય બિંદુઓ છે, અને રેખાને સેકન્ટ કહેવામાં આવે છે.

2. એક જ પ્લેનમાં પડેલા ત્રણ મનસ્વી બિંદુઓ દ્વારા, એક કરતા વધુ વર્તુળ દોરી શકાતા નથી.

3. બે વર્તુળો માત્ર એક બિંદુ પર સ્પર્શ કરી શકે છે, જે આ વર્તુળોના કેન્દ્રોને જોડતા સેગમેન્ટ પર સ્થિત છે.

4. કેન્દ્રને સંબંધિત કોઈપણ પરિભ્રમણ માટે, વર્તુળ પોતાનામાં ફેરવાય છે.

5. સમપ્રમાણતાની દ્રષ્ટિએ વર્તુળ શું છે?

કોઈપણ બિંદુએ રેખાની સમાન વક્રતા;
બિંદુ O સંબંધિત;
વ્યાસની તુલનામાં અરીસાની સમપ્રમાણતા.

6. જો તમે વર્તુળની સમાન ચાપના આધારે બે મનસ્વી અંકિત ખૂણા બનાવો છો, તો તેઓ સમાન હશે. અડધા જેટલા ચાપ પર આધારિત કોણ, એટલે કે, તાર-વ્યાસથી કાપીને, હંમેશા 90° જેટલો હોય છે.

7. જો તમે સમાન લંબાઈની બંધ વક્ર રેખાઓની તુલના કરો છો, તો તે તારણ આપે છે કે વર્તુળ સૌથી મોટા વિસ્તાર સાથે પ્લેનના વિભાગને સીમાંકિત કરે છે.

ત્રિકોણ દ્વારા અંકિત અને પરિક્રમા કરાયેલ વર્તુળ

વર્તુળ શું છે તેનો વિચાર ત્રિકોણ સાથેના તેના સંબંધના લક્ષણોના વર્ણન વિના અધૂરો રહેશે.

ત્રિકોણમાં અંકિત વર્તુળ બનાવતી વખતે, તેનું કેન્દ્ર હંમેશા ત્રિકોણના આંતરછેદ બિંદુ સાથે સુસંગત રહેશે.
ત્રિકોણની આસપાસ ઘેરાયેલું વર્તુળનું કેન્દ્ર ત્રિકોણની દરેક બાજુના મધ્ય લંબના આંતરછેદ પર સ્થિત છે.
જો આપણે વર્તુળનું વર્ણન કરીએ, તો તેનું કેન્દ્ર કર્ણોની મધ્યમાં હશે, એટલે કે, બાદમાં વ્યાસ હશે.
જો બાંધકામ માટેનો આધાર છે

વર્તુળો અને ચતુષ્કોણ વિશે મૂળભૂત નિવેદનો

વર્તુળનું વર્ણન બહિર્મુખ ચતુર્ભુજની આસપાસ ત્યારે જ કરી શકાય છે જ્યારે તેના વિરોધી આંતરિક ખૂણાઓનો સરવાળો 180° હોય.
બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં અંકિત વર્તુળ બાંધવું શક્ય છે જો તેની વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય.
તમે સમાંતરગ્રામની આસપાસના વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો જો તેના ખૂણા સાચા હોય.
વર્તુળને સમાંતરગ્રામમાં લખી શકાય છે જો તેની બધી બાજુઓ સમાન હોય, એટલે કે તે એક સમચતુર્ભુજ હોય.
જો તે સમદ્વિબાજુ હોય તો જ તમે ટ્રેપેઝોઇડના ખૂણાઓ દ્વારા વર્તુળ બનાવી શકો છો. આ કિસ્સામાં, ઘેરાયેલા વર્તુળનું કેન્દ્ર ચતુષ્કોણના આંતરછેદ પર સ્થિત હશે અને બાજુ તરફ દોરેલા મધ્ય લંબ છે.

આ એક બંધ સપાટ રેખા છે, જેનો દરેક બિંદુ સમાન બિંદુથી સમાન છે ( ઓ), કહેવાય છે કેન્દ્ર.

સીધા ( ઓ.એ., ઓ.બી., ઓએસ. ..) વર્તુળના બિંદુઓ સાથે કેન્દ્રને જોડવું છે radii.

આમાંથી આપણને મળે છે:

1. એકની બધી ત્રિજ્યા વર્તુળસમાન છે.

2. સમાન ત્રિજ્યાવાળા બે વર્તુળો સમાન હશે.

3. વ્યાસબે ત્રિજ્યા સમાન.

4. ડોટ, વર્તુળની અંદર પડેલો કેન્દ્રની નજીક છે, અને વર્તુળની બહાર પડેલો બિંદુ વર્તુળ પરના બિંદુઓ કરતાં કેન્દ્રથી વધુ છે.

5. વ્યાસ, તાર પર લંબરૂપ, આ તાર અને તેના દ્વારા સંકુચિત બંને ચાપને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

6. આર્ક્સ, સમાંતર વચ્ચે બંધ તાર, સમાન છે.

વર્તુળો સાથે કામ કરતી વખતે, નીચેના પ્રમેય લાગુ પડે છે:

1. પ્રમેય . એક સીધી રેખા અને વર્તુળમાં બે કરતા વધુ બિંદુઓ સામ્ય હોઈ શકતા નથી.

આ પ્રમેયમાંથી આપણે બે તાર્કિક અનુસરણ મેળવીએ છીએ પરિણામો:

કોઈ ભાગ નથી વર્તુળરેખા સાથે જોડી શકાતી નથી, કારણ કે અન્યથા રેખા સાથેના વર્તુળમાં બે કરતાં વધુ બિંદુઓ સામ્ય હશે.

એક રેખા, જેનો કોઈ ભાગ સીધી રેખા સાથે જોડી શકાતો નથી, તેને કહેવામાં આવે છે કુટિલ.

અગાઉના થી તે વર્તુળ છે કે અનુસરે છે કુટિલ રેખા.

2. પ્રમેય . કોઈપણ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા જે એક જ લાઇન પર આવેલા નથી, તમે એક વર્તુળ દોરી શકો છો, અને ફક્ત એક જ.

કેવી રીતે પરિણામઆ પ્રમેયમાંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

ત્રણ લંબબાજુઓ માટે ત્રિકોણતેમના મધ્યબિંદુઓ દ્વારા દોરવામાં આવેલા વર્તુળમાં અંકિત એક બિંદુ પર છેદે છે, જે વર્તુળનું કેન્દ્ર છે.

ચાલો સમસ્યા હલ કરીએ. તે સૂચિત કેન્દ્ર શોધવા માટે જરૂરી છે વર્તુળ.

ચાલો સૂચિત એક પર કોઈપણ ત્રણ બિંદુ A, B અને C ને ચિહ્નિત કરીએ, તેમના દ્વારા બે બિંદુઓ દોરીએ તાર, ઉદાહરણ તરીકે, AB અને CB, અને આ તારોની મધ્યમાંથી આપણે સૂચવીએ છીએ લંબ MN અને PQ. ઇચ્છિત કેન્દ્ર, A, B અને C થી સમાન રીતે દૂર હોવાને કારણે, MN અને PQ બંને પર સ્થિત હોવું જોઈએ, તેથી, તે આ કાટખૂણેના આંતરછેદ પર સ્થિત છે, એટલે કે. બિંદુ ઓ પર.

વર્તુળ- આપેલ બિંદુથી આપેલ અંતર પર સ્થિત પ્લેનના તમામ બિંદુઓનો સમાવેશ કરતી ભૌમિતિક આકૃતિ.

આ બિંદુ (O) કહેવાય છે વર્તુળનું કેન્દ્ર.
વર્તુળ ત્રિજ્યા- આ વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુ સાથે કેન્દ્રને જોડતો સેગમેન્ટ છે. તમામ ત્રિજ્યાની લંબાઈ સમાન હોય છે (વ્યાખ્યા પ્રમાણે).
તાર- વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ. વર્તુળની મધ્યમાંથી પસાર થતી તાર કહેવામાં આવે છે વ્યાસ. વર્તુળનું કેન્દ્ર એ કોઈપણ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ છે.
વર્તુળ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ તેને બે ભાગમાં વહેંચે છે. આ દરેક ભાગને કહેવામાં આવે છે વર્તુળની ચાપ. ચાપ કહેવાય છે અર્ધવર્તુળ, જો તેના છેડાને જોડતો સેગમેન્ટ વ્યાસ હોય.
એકમ અર્ધવર્તુળની લંબાઈ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે π .
સામાન્ય છેડાવાળા વર્તુળના બે ચાપના ડિગ્રી માપનો સરવાળો બરાબર છે 360º.
વર્તુળ દ્વારા બંધાયેલ પ્લેનનો ભાગ કહેવામાં આવે છે ચારે બાજુ.
પરિપત્ર ક્ષેત્ર- ચાપ દ્વારા બંધાયેલ વર્તુળનો એક ભાગ અને ચાપના છેડાને વર્તુળના મધ્યમાં જોડતા બે ત્રિજ્યા. ક્ષેત્રને મર્યાદિત કરતી ચાપ કહેવાય છે ક્ષેત્રની ચાપ.
એક સામાન્ય કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળો કહેવામાં આવે છે કેન્દ્રિત.
જમણા ખૂણા પર છેદતા બે વર્તુળો કહેવાય છે ઓર્થોગોનલ.

સીધી રેખા અને વર્તુળની સંબંધિત સ્થિતિ

જો વર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા ઓછું હોય તો ( d), પછી સીધી રેખા અને વર્તુળમાં બે સામાન્ય બિંદુઓ છે. આ કિસ્સામાં લાઇન કહેવામાં આવે છે સેકન્ટવર્તુળના સંબંધમાં.
જો વર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલું હોય, તો સીધી રેખા અને વર્તુળમાં માત્ર એક જ સામાન્ય બિંદુ હોય છે. આ રેખા કહેવાય છે વર્તુળની સ્પર્શક, અને તેમના સામાન્ય બિંદુ કહેવામાં આવે છે રેખા અને વર્તુળ વચ્ચેના સ્પર્શક બિંદુ.
જો વર્તુળના કેન્દ્રથી સીધી રેખા સુધીનું અંતર વર્તુળની ત્રિજ્યા કરતા વધારે હોય, તો સીધી રેખા અને વર્તુળ કોઈ સામાન્ય મુદ્દા નથી

કેન્દ્રિય અને અંકિત ખૂણા

મધ્ય કોણવર્તુળના કેન્દ્રમાં તેના શિરોબિંદુ સાથેનો ખૂણો છે.
અંકિત કોણ- એક ખૂણો જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર આવેલું છે અને જેની બાજુઓ વર્તુળને છેદે છે.

અંકિત કોણ પ્રમેય

એક અંકિત કોણ ચાપના અડધા ભાગ દ્વારા માપવામાં આવે છે જેના પર તે નીચે આવે છે.

કોરોલરી 1.
સમાન ચાપને ઉપાડી રહેલા અંકિત ખૂણા સમાન છે.

કોરોલરી 2.
અર્ધવર્તુળ દ્વારા સબટેન્ડ કરેલ એક અંકિત કોણ એ કાટખૂણો છે.

છેદતી તારોના ભાગોના ઉત્પાદન પર પ્રમેય.

જો વર્તુળના બે તાર એકબીજાને છેદે છે, તો એક તારનાં ભાગોનો ગુણાંક બીજી તારનાં ભાગોના ગુણાંક સમાન છે.

મૂળભૂત સૂત્રો

પરિઘ:

C = 2∙π∙R

ગોળ ચાપ લંબાઈ:

R = С/(2∙π) = D/2

વ્યાસ:

D = C/π = 2∙R

ગોળ ચાપ લંબાઈ:

l = (π∙R) / 180∙α,
જ્યાં α - ગોળાકાર ચાપની લંબાઈનું ડિગ્રી માપ)

વર્તુળ વિસ્તાર:

S = π∙R 2

પરિપત્ર ક્ષેત્રનો વિસ્તાર:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

વર્તુળનું સમીકરણ

લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં, ત્રિજ્યા સાથે વર્તુળનું સમીકરણ છે આરએક બિંદુ પર કેન્દ્રિત સી(x o;y o) ફોર્મ ધરાવે છે:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

મૂળ પર કેન્દ્ર સાથે ત્રિજ્યા r ના વર્તુળના સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

x 2 + y 2 = r 2

પ્રથમ, ચાલો વર્તુળ અને વર્તુળ વચ્ચેનો તફાવત સમજીએ. આ તફાવત જોવા માટે, બંને આંકડા શું છે તે ધ્યાનમાં લેવા માટે તે પૂરતું છે. આ પ્લેન પરના અસંખ્ય બિંદુઓ છે, જે એક કેન્દ્રિય બિંદુથી સમાન અંતરે સ્થિત છે. પરંતુ, જો વર્તુળમાં આંતરિક જગ્યા પણ હોય, તો તે વર્તુળ સાથે સંબંધિત નથી. તે તારણ આપે છે કે વર્તુળ એ એક વર્તુળ છે જે તેને મર્યાદિત કરે છે (વર્તુળ(r)), અને વર્તુળની અંદર રહેલા અસંખ્ય બિંદુઓ.

વર્તુળ પર પડેલા કોઈપણ બિંદુ L માટે, સમાનતા OL=R લાગુ પડે છે. (OL ખંડની લંબાઈ વર્તુળની ત્રિજ્યા જેટલી છે).

વર્તુળ પરના બે બિંદુઓને જોડતો ભાગ તે છે તાર.

વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી સીધો પસાર થતો તાર છે વ્યાસઆ વર્તુળ (D). વ્યાસની ગણતરી સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરી શકાય છે: D=2R

પરિઘસૂત્ર દ્વારા ગણતરી: C=2\pi R

વર્તુળનો વિસ્તાર: S=\pi R^(2)

વર્તુળની ચાપતેનો તે ભાગ કહેવાય છે જે તેના બે બિંદુઓ વચ્ચે સ્થિત છે. આ બે બિંદુઓ વર્તુળના બે ચાપને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. તાર સીડી બે ચાપને સબટેન્ડ કરે છે: CMD અને CLD. સમાન તાર સમાન ચાપને સમાવે છે.

મધ્ય કોણબે ત્રિજ્યા વચ્ચે આવેલો ખૂણો કહેવાય છે.

આર્ક લંબાઈસૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ડિગ્રી માપનો ઉપયોગ કરીને: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
રેડિયન માપનો ઉપયોગ કરીને: CD = \alpha R

વ્યાસ, જે તાર માટે લંબ છે, તે તાર અને તેના દ્વારા સંકુચિત ચાપને અડધા ભાગમાં વહેંચે છે.

જો વર્તુળની તાર AB અને CD બિંદુ N પર છેદે છે, તો બિંદુ N દ્વારા વિભાજિત તારોના ભાગોના ઉત્પાદન એકબીજા સાથે સમાન છે.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

વર્તુળમાં સ્પર્શક

વર્તુળમાં સ્પર્શકવર્તુળ સાથે એક સામાન્ય બિંદુ ધરાવતી સીધી રેખાને કૉલ કરવાનો રિવાજ છે.

જો રેખામાં બે સામાન્ય બિંદુઓ હોય, તો તેને કહેવામાં આવે છે સેકન્ટ.

જો તમે ત્રિજ્યાને સ્પર્શક બિંદુ તરફ દોરો છો, તો તે વર્તુળના સ્પર્શકને લંબરૂપ હશે.

ચાલો આ બિંદુથી આપણા વર્તુળ તરફ બે સ્પર્શક દોરીએ. તે તારણ આપે છે કે સ્પર્શક વિભાગો એકબીજાના સમાન હશે, અને વર્તુળનું કેન્દ્ર આ બિંદુએ શિરોબિંદુ સાથે કોણના દ્વિભાજક પર સ્થિત હશે.

AC = CB

હવે આપણે આપણા બિંદુ પરથી વર્તુળમાં સ્પર્શક અને ભેદ રેખા દોરીએ. અમે મેળવીએ છીએ કે સ્પર્શક સેગમેન્ટની લંબાઈનો ચોરસ સમગ્ર સેકન્ટ સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગના ગુણાંક જેટલો હશે.

AC^(2) = CD \cdot BC

અમે નિષ્કર્ષ પર આવી શકીએ છીએ: પ્રથમ સેકન્ટના સમગ્ર સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગનું ઉત્પાદન બીજા સેકન્ટના સમગ્ર સેગમેન્ટ અને તેના બાહ્ય ભાગના ઉત્પાદન જેટલું છે.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

વર્તુળમાં ખૂણા

સેન્ટ્રલ એંગલ અને ચાપ કે જેના પર તે આરામ કરે છે તેના ડિગ્રી માપ સમાન છે.

\કોણ COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

અંકિત કોણએક ખૂણો છે જેનું શિરોબિંદુ વર્તુળ પર છે અને જેની બાજુઓમાં તાર હોય છે.

તમે ચાપના કદને જાણીને તેની ગણતરી કરી શકો છો, કારણ કે તે આ ચાપના અડધા જેટલા છે.

\કોણ AOB = 2 \કોણ ADB

વ્યાસના આધારે, અંકિત કોણ, જમણો ખૂણો.

\કોણ CBD = \કોણ CED = \કોણ CAD = 90^ (\circ)

અંકિત ખૂણાઓ જે સમાન ચાપને સબટેન્ડ કરે છે તે સમાન છે.

એક તાર પર રહેલ અંકિત ખૂણા સમાન હોય છે અથવા તેમનો સરવાળો 180^ (\circ) જેટલો હોય છે.

\કોણ ADB + \કોણ AKB = 180^ (\circ)

\કોણ ADB = \કોણ AEB = \કોણ AFB

સમાન વર્તુળ પર સમાન ખૂણા અને આપેલ આધાર સાથે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

વર્તુળની અંદર શિરોબિંદુ ધરાવતો ખૂણો અને બે તારોની વચ્ચે સ્થિત હોય છે જે આપેલ અને લંબરૂપ ખૂણામાં સમાયેલ વર્તુળના ચાપના કોણીય મૂલ્યોના અડધા સરવાળા સમાન હોય છે.

\કોણ DMC = \કોણ ADM + \કોણ DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \જમણે)

વર્તુળની બહાર શિરોબિંદુ ધરાવતો ખૂણો અને બે સેકન્ટ્સ વચ્ચે સ્થિત હોય છે, જે ખૂણાની અંદર રહેલા વર્તુળના ચાપના કોણીય મૂલ્યોમાં અડધા તફાવત જેટલો હોય છે.

\કોણ M = \કોણ CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \જમણે)

અંકિત વર્તુળ

અંકિત વર્તુળબહુકોણની બાજુઓનું વર્તુળ સ્પર્શક છે.

બહુકોણના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે તે બિંદુએ, તેનું કેન્દ્ર સ્થિત છે.

દરેક બહુકોણમાં વર્તુળ અંકિત ન હોઈ શકે.

અંકિત વર્તુળ સાથે બહુકોણનો વિસ્તાર સૂત્ર દ્વારા જોવા મળે છે:

S = pr,

p એ બહુકોણની અર્ધ-પરિમિતિ છે,

r એ અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

તે નીચે મુજબ છે કે અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સમાન છે:

r = \frac(S)(p)

જો વર્તુળ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં લખેલું હોય તો વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હશે. અને ઊલટું: એક વર્તુળ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણમાં બંધબેસે છે જો વિરુદ્ધ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો સમાન હોય.

AB + DC = AD + BC

કોઈપણ ત્રિકોણમાં વર્તુળ લખવું શક્ય છે. માત્ર એક જ એક. આકૃતિના આંતરિક ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે તે બિંદુએ, આ અંકિત વર્તુળનું કેન્દ્ર આવેલું હશે.

અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા સૂત્ર દ્વારા ગણવામાં આવે છે:

r = \frac(S)(p) ,

જ્યાં p = \frac(a + b + c)(2)

વર્તુળાકાર

જો કોઈ વર્તુળ બહુકોણના દરેક શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય છે, તો આવા વર્તુળને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે બહુકોણ વિશે વર્ણવેલ.

આ આકૃતિની બાજુઓના લંબ દ્વિભાજકોના આંતરછેદના બિંદુએ પરિઘનું કેન્દ્ર હશે.

ત્રિજ્યાને બહુકોણના કોઈપણ 3 શિરોબિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત ત્રિકોણ વિશે પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા તરીકે ગણતરી કરીને શોધી શકાય છે.

ત્યાં નીચેની શરત છે: વર્તુળને ચતુષ્કોણની આસપાસ માત્ર ત્યારે જ વર્ણવી શકાય છે જો તેના વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો 180^( \circ) બરાબર હોય.

\કોણ A + \કોણ C = \કોણ B + \કોણ D = 180^ (\circ)

કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસ તમે વર્તુળનું વર્ણન કરી શકો છો, અને માત્ર એક. આવા વર્તુળનું કેન્દ્ર તે બિંદુ પર સ્થિત હશે જ્યાં ત્રિકોણની બાજુઓના લંબ દ્વિભાજકો એકબીજાને છેદે છે.